UNIVERSIDAD ABIERTA Y A

DISTANCIA DE MÉXICO

Transformaciones y series

Unidad 1. Series de Fourier

Actividad 1. Espacios Vectoriales

Docente en línea:

MARCO VINICIO LLANES RUEDA

Alumno: José Juan Meza Espinosa

ES162003482

Fecha: 8 de abril del 2020

1. En los siguientes problemas demuestre que el conjunto dado de funciones
es ortogonal en el intervalo indicado. Encuentra la norma de cada función
en el conjunto.
𝝅
a. {𝐬𝐢𝐧(𝒙) , 𝐬𝐢𝐧(𝟑𝒙) , 𝐬𝐢𝐧(𝟓𝒙) , … }; [𝟎, 𝟐 ]
Respuesta:
En general el conjunto la función seno es una función impar, y ahora en este caso cada
argumentó también es impar, entonces podemos escribir 2 funciones impares y su
argumento impar de la siguiente manera:
sin((2𝑛 + 1)𝑥) sin((2𝑚 + 1)𝑥)

Donde: 𝑚 = 0,1,2, … y 𝑛 = 0,1,2, …

𝝅
𝟐

∫ sin((2𝑛 + 1)𝑥) sin((2𝑚 + 1)𝑥) 𝑑𝑥 =

0
Usando la fórmula 14.353 de [1]
𝝅
𝟐
sin (((2𝑛 + 1) − (2𝑚 + 1))𝑥) sin (((2𝑛 + 1) + (2𝑚 + 1))𝑥)
= − | =
2((2𝑛 + 1) − (2𝑚 + 1)) 2((2𝑛 + 1) + (2𝑚 + 1))
0
𝝅
sin(2(𝑛 − 𝑚)𝑥) sin(2(𝑚 + 𝑛 + 1)𝑥) 𝟐
= − | =
4(𝑛 − 𝑚) 4(𝑚 + 𝑛 + 1) 0
𝝅 𝝅
sin (2(𝑛 − 𝑚) ( )) sin (2(𝑚 + 𝑛 + 1) ( )) sin(2(𝑛 − 𝑚)(𝟎)) sin(2(𝑚 + 𝑛 + 1)(𝟎))
𝟐 𝟐
=( − )−( − )=
4(𝑛 − 𝑚) 4(𝑚 + 𝑛 + 1) 4(𝑛 − 𝑚) 4(𝑚 + 𝑛 + 1)

sin((𝑛 − 𝑚)𝝅) sin((𝑚 + 𝑛 + 1)𝝅) 0 0

=( − )−( − )=
4(𝑛 − 𝑚) 4(𝑚 + 𝑛 + 1) 4(𝑛 − 𝑚) 4(𝑚 + 𝑛 + 1)
0 0
=( − ) − (0 − 0) =
4(𝑛 − 𝑚) 4(𝑚 + 𝑛 + 1)
= (0 − 0) − (0) =
= (0) = 0

Entonces el conjunto {sin(𝑥) , sin(3𝑥) , sin(5𝑥) , … } ∴Es un sistema ortogonal de funciones.

Norma de cada función en el conjunto

Página 5-6 de [2]
1
𝒃 2

‖𝑓‖ = (∫ 𝒇𝟐 (𝒕) 𝒅𝒕)

𝒂
1
𝝅 2
𝟐 1
2 (𝑡)
𝟏 2 1
‖sin(𝑥)‖ = ∫ sin 𝒅𝒕 = ( 𝝅) = √𝜋
𝟒 2
𝟎
( )
 1
𝜋 2
2 1
1 2 1
‖sin(3𝑥)‖ = ∫ sin2 (3𝑡) 𝑑𝑡 = ( 𝜋) = √𝜋
4 2
0
( )
1
𝜋 2
2 1
2 (5𝑡)
1 2 1
‖sin(5𝑥)‖ = ∫ sin 𝑑𝑡 = ( 𝜋) = √𝜋
4 2
0
( )
1
𝜋 2 1
2 𝜋 2
4𝑡 − 2 sin(2(1 + 2𝑛)𝑡) + 8𝑛𝑡2
‖sin((2𝑛 + 1)𝑥)‖ = ∫ sin2((2𝑛 + 1)𝑡) 𝑑𝑡 =( | ) =
16𝑛 + 8 0
0
( )
1
𝜋 𝜋 𝜋 2
4 ( ) − 2 sin (2(1 + 2𝑛) ( )) + 8𝑛 ( ) 0
2 2 2
=( − ) =
16𝑛 + 8 16𝑛 + 8
1
2𝜋 − 2 sin((1 + 2𝑛)𝜋) + 4𝑛𝜋 0 2
=( − ) =
16𝑛 + 8 16𝑛 + 8
1 1 1 1
2𝜋 − 2 ∗ 0 + 4𝑛𝜋 2 2𝜋 + 4𝑛𝜋 2 2 + 4𝑛 2 2 + 4𝑛 2
=( ) =( ) =( 𝜋) = ( 𝜋) =
16𝑛 + 8 16𝑛 + 8 16𝑛 + 8 4(4𝑛 + 2)
1
1 2 1
= ( 𝜋) = √𝜋
4 2
1
‖sin((2𝑛 + 1)𝑥)‖ = √𝜋
2
para 𝑛 = 0,1,2, …

𝒏𝝅 𝒏𝝅
b. {𝟏, 𝐜𝐨𝐬 ( 𝒑 𝒙) , 𝐬𝐢𝐧 ( 𝒑 𝒙) }, 𝑛 = 0,1,2, … 𝑚 = 0,1,2, … ; [−𝒑, 𝒑]
Respuesta:
𝑝 𝑝
𝑛𝜋 𝑛𝜋
∫ 1 cos ( 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ cos ( 𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑝 𝑝
−𝑝 −𝑝
Usando la fórmula 14.369 de [1]
𝑛𝜋 𝑝 𝑛𝜋 𝑛𝜋
sin ( 𝑝 𝑥) sin ( (𝑝)) sin ( (−𝑝))
𝑝 𝑝
= 𝑛𝜋 | = 𝑛𝜋 − 𝑛𝜋 =
𝑝 −𝑝 𝑝 𝑝
El coseno es una función impar 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)
 𝑛𝜋 𝑛𝜋
sin ( 𝑝 (𝑝)) − sin ( 𝑝 (𝑝))
sin(𝑛𝜋) sin(𝑛𝜋) sin(𝑛𝜋)
= 𝑛𝜋 − 𝑛𝜋 = 𝑛𝜋 + 𝑛𝜋 = 2 𝑛𝜋 =
𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝
sin(𝑛𝜋) = 0 para 𝑛 = 0,1,2
sin(𝑛𝜋) 0
= 2 𝑛𝜋 = 2 𝑛𝜋 = 0
𝑝 𝑝
𝑝 𝑝
𝑛𝜋 𝑛𝜋
∫ 1 sin ( 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ sin ( 𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑝 𝑝
−𝑝 −𝑝
Usando la fórmula 14.339 de [1]
𝑛𝜋 𝑝 𝑛𝜋 𝑛𝜋
cos ( 𝑥) cos ( 𝑝 (𝑝)) cos ( 𝑝 (−𝑝))
𝑝
=− 𝑛𝜋 | =− 𝑛𝜋 − 𝑛𝜋 =
𝑝 −𝑝 𝑝 𝑝
( )
𝑛𝜋 𝑛𝜋
cos ( (𝑝)) cos ( (𝑝))
𝑝 𝑝 cos(𝑛𝜋) cos(𝑛𝜋)
=− 𝑛𝜋 − 𝑛𝜋 = −( 𝑛𝜋 − 𝑛𝜋 ) =
𝑝 𝑝 𝑝 𝑝
( )
El coseno es una función par 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥)
= −(0) = 0

𝑝
𝑛𝜋 𝑚𝜋
∫ cos ( 𝑥) sin ( 𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑝 𝑝
−𝑝
Usando la fórmula 14.400 de [1]
𝑝
𝑛𝜋 𝑚𝜋 𝑛𝜋 𝑚𝜋
cos (( 𝑝 − 𝑝 ) 𝑥) cos (( 𝑝 + 𝑝 ) 𝑥)
=− − | =
𝑛𝜋 𝑚𝜋 𝑛𝜋 𝑚𝜋 |
2( 𝑝 − 𝑝 ) 2( 𝑝 + 𝑝 )
−𝑝
𝑛𝜋 𝑚𝜋 𝑛𝜋 𝑚𝜋 𝑛𝜋 𝑚𝜋 𝑛𝜋 𝑚𝜋
cos (( − ) (𝑝)) cos (( + ) (𝑝)) cos (( − ) (−𝑝)) cos (( + ) (−𝑝))
𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝
= − 𝑛𝜋 𝑚𝜋 − 𝑛𝜋 𝑚𝜋 − − 𝑛𝜋 𝑚𝜋 − 𝑛𝜋 𝑚𝜋 =
2( − ) 2( + ) 2( − ) 2( + )
𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝
( ) ( )
cos((𝑛 − 𝑚)𝜋) cos((𝑛 + 𝑚)𝜋) cos(−(𝑛 − 𝑚)𝜋) cos(−(𝑛 + 𝑚)𝜋)
= (− 𝑛𝜋 𝑚𝜋 − 𝑛𝜋 𝑚𝜋 ) − (− 𝑛𝜋 𝑚𝜋 − 𝑛𝜋 𝑚𝜋 ) =
2( 𝑝 − 𝑝 ) 2( 𝑝 + 𝑝 ) 2( 𝑝 − 𝑝 ) 2( 𝑝 + 𝑝 )
El coseno es una función par 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥)
cos((𝑛 − 𝑚)𝜋) cos((𝑛 + 𝑚)𝜋) cos((𝑛 − 𝑚)𝜋) cos((𝑛 + 𝑚)𝜋)
= (− 𝑛𝜋 𝑚𝜋 − 𝑛𝜋 𝑚𝜋 ) − (− 𝑛𝜋 𝑚𝜋 − 𝑛𝜋 𝑚𝜋 ) =
2( 𝑝 − 𝑝 ) 2( 𝑝 + 𝑝 ) 2( 𝑝 − 𝑝 ) 2( 𝑝 + 𝑝 )
 cos((𝑛 − 𝑚)𝜋) cos((𝑛 + 𝑚)𝜋) cos((𝑛 − 𝑚)𝜋) cos((𝑛 + 𝑚)𝜋)
=− 𝑛𝜋 𝑚𝜋 − 𝑛𝜋 𝑚𝜋 + 𝑛𝜋 𝑚𝜋 + 𝑛𝜋 𝑚𝜋 =
2( − ) 2( + ) 2( − ) 2( + )
𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 𝑝
cos((𝑛 − 𝑚)𝜋) cos((𝑛 − 𝑚)𝜋) cos((𝑛 + 𝑚)𝜋) cos((𝑛 + 𝑚)𝜋)
=− 𝑛𝜋 𝑚𝜋 + 𝑛𝜋 𝑚𝜋 − 𝑛𝜋 𝑚𝜋 + 𝑛𝜋 𝑚𝜋 =
2( 𝑝 − 𝑝 ) 2( 𝑝 − 𝑝 ) 2( 𝑝 + 𝑝 ) 2( 𝑝 + 𝑝 )
=0+0=0

Norma de cada función en el conjunto

Página 5-6 de [2]
1
𝑏 2

‖𝑓‖ = (∫ 𝑓 2 (𝑡) 𝑑𝑡)

𝑎
1 1 1
𝑝 2 𝑝 2 𝑝 2
1 1
‖1‖ = ( ∫(1)2 𝑑𝑡) = ( ∫(1)2 𝑑𝑡) = ( ∫ 1 𝑑𝑡) = (𝑡|𝑝−𝑝 )2 = (𝑝 − (−𝑝))2 =
−𝑝 −𝑝 −𝑝
1 1
= (𝑝 + 𝑝)2 = (2𝑝)2 = √2𝑝
1
𝑝 2
𝑛𝜋 𝑛𝜋
‖cos ( 𝑥)‖ = ( ∫ cos 2 ( 𝑥) 𝑑𝑡) =
𝑝 𝑝
−𝑝
Usando la fórmula 14.377 de [1]
1
𝑝 2
𝑛𝜋
sin (2 ( 𝑥))
𝑥 𝑝
= + | =
2 𝑛𝜋 |
4( 𝑝 )
( −𝑝 )
1
2
𝑛𝜋 𝑛𝜋
sin (2 ( 𝑝 (𝑝))) sin (2 ( 𝑝 (−𝑝)))
(𝑝) (−𝑝)
= + 𝑛𝜋 − + 𝑛𝜋 =
2 4( 𝑝 ) 2 4( 𝑝 )

(( ) ( ))
1
2
(𝑝) sin(2𝑛𝜋) (−𝑝) sin(2𝑛𝜋)
= (+ 𝑛𝜋 )−( − 𝑛𝜋 ) =
2 4( 𝑝 ) 2 4( 𝑝 )
( )
1
2
(𝑝) sin(2𝑛𝜋) (−𝑝) sin(2𝑛𝜋)
=( + 𝑛𝜋 − 2 + 𝑛𝜋 ) =
2 4( 𝑝 ) 4( 𝑝 )
1
2 1
(𝑝) 0 (−𝑝) 0 (𝑝) (𝑝) 2 1
=( + 𝑛𝜋 − + 𝑛𝜋 ) = ( + ) = (𝑝)2 = √𝑝
2 4( 𝑝 ) 2 4( 𝑝 ) 2 2
 1
𝑝 2
𝑛𝜋 𝑛𝜋
‖sin ( 𝑥) ‖ = ( ∫ sin2 ( 𝑥) 𝑑𝑡) =
𝑝 𝑝
−𝑝
Usando la fórmula 14.347 de [1]
1
𝑝 2
𝑛𝜋 1
sin (2 ( 𝑝 𝑥))
𝑥 | 𝑝 (−𝑝) 2 1
= − 𝑛𝜋 | =( − ) = (𝑝)2 = √𝑝
2 4( 𝑝 ) 2 2
( −𝑝 )

c. 𝒇𝟏 (𝒙) = 𝒆𝒙 , 𝒇𝟐 (𝒙) = 𝒙𝒆−𝒙 − 𝒆−𝒙 [𝟎, 𝟐]

Respuesta:
2 2 2 2 2

∫ 𝑓1 (𝑥)𝑓2 (𝑥) 𝑑𝑥 = ∫(𝑒 𝑥 )( 𝑥𝑒 −𝑥 − 𝑒 −𝑥 ) 𝑑𝑥 = ∫(𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 1 𝑑𝑥 =

0 0 0 0 0
2
1 1 1
= 𝑥 2 − 𝑥| = ( (2)2 − (2)) − ( (0)2 − (0)) =
2 0 2 2

(2 − (2)) − (0) = 0
Norma de cada función en el conjunto
Página 5-6 de [2]
1
𝑏 2

‖𝑓‖ = (∫ 𝑓 2 (𝑡) 𝑑𝑡)

𝑎
1 1
2 2 2 2

‖𝑒 𝑥 ‖ = (∫(𝑒 𝑥 )2 𝑑𝑡) = (∫ 𝑒 2𝑥 𝑑𝑡) =

0 0
Usando la fórmula 14.509 de [1]
1 1 1
2𝑥 2 2
𝑒 𝑒 2(2) 𝑒4 1 𝑒 2(0) 2 2
=( | ) =( − ) = ( − )
2 0 2 2 2 2
1 1
2 2 2 2

‖𝑥𝑒−𝑥 − 𝑒−𝑥 ‖ = (∫(𝑥𝑒−𝑥 − 𝑒−𝑥 )2 𝑑𝑡) = (∫( 𝑥 2 𝑒−2𝑥 − 2𝑥 𝑒−2𝑥 + 𝑒−2𝑥 ) 𝑑𝑡) =
0 0
Usando la fórmula 14.511, 14.510 y 14.509 de [1]
1
−2𝑥 −2𝑥 −2𝑥 2 2
𝑒 2𝑥 2 𝑒 1 𝑒
=( (𝑥 2 − + 2
)+ (𝑥 + )+ | ) =
−2 −2 (−2) −2 −2 −2 0
 1 1 1
2 2
1 1 1 5 1 2 5 1 2
= ( 𝑥𝑒 −2𝑥 − 𝑥 2 𝑒 −2𝑥 − 𝑒 −2𝑥 | ) = (− 𝑒 −4 − (− )) = (− 𝑒 −4 + ) =
2 2 4 0 4 4 4 4

1 1
1 5 2 (1 − 5𝑒 −4 )2
= ( − 𝑒 −4 ) =
4 4 2

2. Sea {𝝓𝒏 (𝒙)} un conjunto ortogonal de funciones en [𝒂, 𝒃] tal que 𝝓𝟎 (𝒙) = 𝟏
𝒃
y 𝝓𝟏 (𝒙) = 𝒙. Demuestre que ∫𝒂 (𝜶𝒙 + 𝜷) 𝒅𝒙 = 𝟎 para 𝒏 = 𝟐, 𝟑, …: y todos los
𝜶 y 𝜷 constantes.
Respuesta:
Tenemos que:
𝑏
0 𝑚≠𝑛
∫ 𝜙𝑚 (𝑥) 𝜙𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 = {
𝑎
𝑟𝑛 𝑚 = 𝑛

Pagina 5, formula 1.18, [3], [2]

𝑏
𝑏
∫ (𝛼𝑥 + 𝛽) 𝜙𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 = ∫[𝛼𝜙0 (𝑥) + 𝛽𝜙1 (𝑥)]𝜙𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑎
𝑏

= ∫[𝛼𝜙0 (𝑥)𝜙𝑛 (𝑥) + 𝛽𝜙1 (𝑥)𝜙𝑛 (𝑥)] 𝑑𝑥 =

𝑎
𝑏 𝑏

= ∫ 𝛼𝜙0 (𝑥)𝜙𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝛽𝜙1 (𝑥)𝜙𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 =

𝑎 𝑎
𝑏 𝑏

= 𝛼 ∫ 𝜙0 (𝑥)𝜙𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 + 𝛽 ∫ 𝜙1 (𝑥)𝜙𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 = 0

𝑎 𝑎
𝑏 𝑏

= 𝛼 ∫ 𝜙0 (𝑥)𝜙𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 + 𝛽 ∫ 𝜙1 (𝑥)𝜙𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 = 0

⏟
𝑎 ⏟
𝑎
0≠𝑛 1≠𝑛

Es decir cuando 𝑛 = 0 y 𝑛 = 1, tendrían valor. Pero cuando 2 ≤ 𝑛 se cumple que

=𝛼∗0+𝛽∗0=0
Entonces solo se cumplirá si 𝑛 = 2,3, …
3. Sea {𝝓𝒏 (𝒙)} un conjunto ortogonal 𝑹 de funciones en [𝒂, 𝒃] tal que 𝝓𝟎 (𝒙) =
𝒃
𝟏. Demuestra que ∫𝒂 𝝓𝒏 (𝒙) 𝒅𝒙 = 𝟎 para 𝒏 = 𝟐, 𝟑, …
Respuesta:
Tenemos que:
 𝑏
0 𝑚≠𝑛
∫ 𝜙𝑚 (𝑥) 𝜙𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 = {
𝑎
𝑟𝑛 𝑚=𝑛

Pagina 5, formula 1.18, [3], [2]

𝑏
𝑏 𝑏
∫ 𝜙𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ (1) 𝜙𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝜙0 (𝑥)𝜙𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 = 0
𝑎 ⏟𝑎
𝑎
0≠𝑛

Para 𝑛 = 1,2,3, . . ..

4. De acuerdo con 𝒇𝟏 (𝒙) = 𝒙 y 𝒇𝟐 (𝒙) = 𝒙𝟐 en el intervalo [−𝟐, 𝟐]. Determine si

son ortogonales las funciones y además encontrar las constantes 𝒄𝟏 y 𝒄𝟐
tales que 𝒇𝟑 (𝒙) = 𝒙 + 𝒄𝟏 𝒙𝟐 + 𝒄𝟐 𝒙𝟑 sea ortogonal a 𝒇𝟏 y 𝒇𝟐 a la vez, en el
mismo intervalo.
Respuesta:
2 2 2
2)
1 42 1
∫ 𝑓1 (𝑥)𝑓2 (𝑥) 𝑑𝑥 = ∫(𝑥)(𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 | = ((2)4 − (−2)4 ) =
3
4 −2 4
−2 −2 −2
1
= (16 − 16) = 0
4
2 2
64 16 5
∫ 𝑓1 (𝑥)𝑓3 (𝑥) 𝑑𝑥 = ∫(𝑥)( 𝑥 + 𝑐1 𝑥 2 + 𝑐2 𝑥 3 ) 𝑑𝑥 = 𝑐2 + = 0 → 𝑐2 = −
5 3 12
−2 −2
2 2
5 3 64
∫ 𝑓2 (𝑥)𝑓3 (𝑥) 𝑑𝑥 = ∫(𝑥 2 ) ( 𝑥 + 𝑐1 𝑥 2 − 𝑥 ) 𝑑𝑥 = − 𝑐1 = 0 → 𝑐1 = 0
12 5
−2 −2

5
𝑓3 (𝑥) = 𝑥 + 𝑐1 𝑥 2 + 𝑐2 𝑥 3 → 𝑓3 (𝑥) = 𝑥 + 0𝑥 2 − 𝑥 3
12
5 3
𝑓3 (𝑥) = 𝑥 − 𝑥
12

Bibliografía:
[1] M. Spigel, Manual de Formulas y tablas matematicas. Mexico: McGraw-Hill, 1991.
[2] «Unidad 1. Series de Fourier», en Transformaciones y series, Mexico: UNADM, 2020,
pp. 1-20.
[3] H. P. Hsu, Analisis de Fourier. Wilmington, EUA: Addison-Wesley Iberomericana,
1987.