Estimación Estadística
Estimación Estadística
Estimación Estadística
1) Si c = 1.96 y suponiendo que la distribución de es normal,
P(| | < 1.96 ) = 0.95
En la siguiente figura aparece el área correspondiente.
Parámetro
Estimador x (insesgado E( x ) = y tiene una distribución de muestreo normal si el tamaño
de la muestra es grande).
Estimación para : 9.1.
Cota para el error de estimación (usando s para aproximar ):
1.96 x = 1.96 / n 1.96 s / n = 1.96 0.24 / 50 0.07.
Como
P (| x | < 1.96 x ) = 0.95 P(| x | < 0.07) = 0.95
Podemos decir que
La probabilidad de que el error de estimación sea menor que 0.07 es de 95%.
En la siguiente figura aparece el área correspondiente.
INTERVALOS DE CONFIANZA
Usando la tabla 4 se puede calcular
Coeficiente de (1 z/2 LIC LSC
confianza c + c
1
0.90 0.45 1.6 1.645 + 1.645
45
0.95 0.475 1.9 1.96 + 1.96
6
0.99 0.495 2.5 2.575 + 2.575
75
1) Se quiere determinar el valor de z/2 para obtener un intervalo de confianza que tenga
coeficiente de confianza 1 = 90%= 0.9. Como
(1 0.45,
Se debe ubicar en la tabla 4 de la normal, un valor de z/2 tal que
P (0 < z < z/2) = (1
En la tabla 4, no hay ningún valor de probabilidad igual a 0.45, sin embargo los valores más
cercanos a 0.45 son
0.4495 que corresponde a P (0 < z < 1.64) ( P (0 < z < 1.64) = 0.4495 )
0.4505 que corresponde a P (0 < z < 1.65) (P (0 < z < 1.65) = 0.4505)
Cumpliéndose 0.45 = (0.4495 + 0.4505) / 2. Luego se toma z/2 = (1.64 + 1.65) / 2 = 1.645.
Nota: Se elige el valor de z/2 que dé la probabilidad que esté más cerca de (1 , o
bien, si (1 está a la mitad de dos valores de probabilidad se procede como en el caso
anterior.
Parámetro
Estimador x (insesgado E( x ) = y tiene una distribución de muestreo normal si el tamaño
de la muestra es grande).
Debemos encontrar z/2 tal que P(| x | < z/2 x ) = 0.90
Según la tabla anterior, z/2 = 1.645. Así P(| x | < 1.645 x ) = 0.90.
Como
x = 9.1
x = / n s / n = 0.24 / 50 0.034
1.645 x 1.645 0.034 0.056
Entonces
P(|9.1 | < 0.056) = 0.90
Conclusión: El intervalo
[9.1 0.056, 9.1 + 0.056] = [9.044, 9.156]
Contiene a con una probabilidad de 90%.
Nota. Si no hubiéramos tenido la estimación s dada por una muestra anterior, podríamos
haber recurrido a la regla empírica para dar un valor aproximado de , siempre y cuando
conociéramos en que intervalo caen las mediciones, esto es, cual es el menor y mayor valor
posible para las mediciones.
Esta regla nos dice que el intervalo ( 2) contendrá aproximadamente 95% de
las mediciones. Este intervalo tiene longitud 4. Además supongamos que sabemos que las
mediciones caen en un intervalo de longitud 1. Luego
4 1 1 / 4 = 0.25
4) Para llevar a cabo un control de calidad sobre el peso que pueden resistir
los 300 forjados (suelos) de una construcción, realizamos 12 pruebas resultando
la resistencia media hasta la rotura de 350kg/cm2 con desviación típica de 20. Si
trabajamos con nivel de confianza de 0,9.
a) ¿Ante qué tipo de muestreo nos encontramos ?¿Por qué ?
b)¿Entre que valores oscila la resistencia media de los 300 forjados , si por
experiencias anteriores sabemos que dicha resistencia se distribuye
normalmente ?
n ≥ 4
7) En una fábrica de componentes electrónicos, la proporción de
componentes finales defectuosos era del 20%. Tras una serie de
operaciones e inversiones destinadas a mejorar el rendimiento se
analizó una muestra aleatoria de 500 componentes, encontrándose
que 90 de ellos eran defectuosos. ¿Qué nivel de confianza debe
adoptarse para aceptar que el rendimiento no ha sufrido variaciones?