01construccion de Intervalo de Confianza

CURSO:
Estadística aplicada
PROFESOR:
LIC. Jorge Antonio Tuero
TEMA:
CONSTRUCCIÓN DEL INTERVALO DE CONFIANZA Y

CANTIDAD PIVOTAL
ALUMNOS:
Merma Pauccara Alex
Diaz Sosa J. Nickol
CONSTRUCCION DE INTERVALO DE CONFIANZA
Un intervalo de confianza es una técnica de estimación utilizada

en estadística inferencial que permite acotar un par o varios pares de valores,
dentro de los cuales se encontrará la estimación puntual buscada (con una
determinada probabilidad).
El intervalo de confianza nos va a permitir calcular dos valores alrededor de una media
muestral (uno superior y otro inferior). Estos valores van a acotar un rango dentro del
cual, con una determinada probabilidad, se va a localizar el parámetro poblacional.
“Un Intervalo de Confianza”
ESTIMADOR PUNTUAL: Utiliza un número único o valor para localizar una estimación
del parámetro
ESTIMADOR POR INTERVALO DE CONFIANZA: Denota un rango dentro del cual se

puede encontrar el parámetro y el nivel de confianza que el intervalo contiene al
parámetro.
LIMITES DE CONFIANZA: Son los límites del intervalo de confianza inferior (LIC) y
superior (LSC), se determinan sumando y restando a la media de la muestra X̄ un
cierto número Z (dependiendo del nivel o coeficiente de confianza) de errores
estándar de la media
σ X̄ .
INTERPRETACIÓN DEL INTERVALO DE CONFIANZA: Tener un 95% de confianza en que

la media poblacional real y desconocida se encuentra entre los valores LIC y LSC.
Conocer la media verdadera de la población, por lo general, suele ser algo muy
complicado. Pensemos en una población de 4 millones de personas. ¿Podríamos saber
el gasto medio en consumo por hogar de esa población? En principio sí. Simplemente
tendríamos que hacer una encuesta entre todos los hogares y calcular la media. Sin
embargo, seguir ese proceso sería tremendamente laborioso y complicaría bastante el
estudio.
Ante una situación así es mejor escoger una muestra de la población en general (una
muestra de 500 personas) y encontrar dos valores simétricos respecto a la media.
En conclusión, el intervalo de confianza no sirve para dar una estimación puntual del
parámetro poblacional, si nos va a servir para hacernos una idea aproximada de cuál
podría ser el verdadero de este. Nos permite acotar entre dos valores en dónde se
encontrará la media de la población.
Niveles de confianza más usados:
90%=1,64
95%=1,96
99%=2.58
Grafica del intervalo de confianza
_Formula de intervalo de confianza para la proporción

Un estimador puntual de la proporción P en un experimento binomial está dado por la
estadística P=X/N, donde X representa el número de éxitos en N pruebas. Por tanto, la
proporción de la muestra p=x/n se utilizará como estimador puntual del parámetro P. Si
no se espera que la proporción P desconocida esté demasiado cerca de 0 ó de 1, se puede
establecer un intervalo de confianza para P al considerar la distribución muestral de
proporciones. Intervalos de confianza para la proporción
Considerando el valor z para la distribución de proporciones

_Formula de intervalo confianza para obtener la media poblacional
Ejercicios resueltos
Ejercicio1
De una muestra de 100 familias de una población, hay 20 que poseen lavaplatos.
Calcula el intervalo de confianza aproximado para la proporción poblacional, para un
nivel de confianza del 99%.
Solución:
Datos: P=0.20+0.1032
n=100 muestra
x=20 poseen lavaplatos
p=x/n= 20/100=0,20
Z= 99% = 2.58
√
P=p ± Z (
p.q
n
¿) ¿
P=0.20 ± 2, 58 (
√ 0,20∗0,80
100
)
P=0, 20 ± 0.1032
P=0.20+0.1032=0,3032
P=0.20-0.1032=0,0968
(0,0968 a 0,3032)
Esto significa que tenemos una confianza del 99% de que la proporción en la población
está comprendida entre 0,097 y 0,303.
Ejercicio2
La puntuación media obtenida por una muestra aleatoria simple de 81 alumnos de
secundaria en el examen de cierta asignatura ha sido 25 puntos. Suponiendo que
la distribución de las puntuaciones de la población es normal con desviación típica
igual a 20,25 puntos, ¿calcular el intervalo de confianza para la media de la
población con un nivel de significación de 0,01.
Solución:
Datos:
n=81 0,005
1-α=0,99
X=25
σ=20,25 −z ∝/2 z ∝/2
α=0,01
Z=0,99+0,005=0,995=2,575
S
IC=X±Z*
√n
20,25
IC=25±2,575*
√ 81
IC=25±5,794
IC1=19,206
IC2=30,794
(19.206 a 30,794)
CANTIDAD PIVOTAL
El método del pivotal es uno de los principales métodos de construcción de intervalos

de confianza. Generaliza la técnica empleada en la construcción del intervalo utilizado
como primer ejemplo.
Se basa en la elección de una variable aleatoria que sea función de la muestra y del
parámetro a estimar, con la condición de que sea una función continua y monótona
del parámetro y que su distribución sea conocida e independiente del parámetro.
Llamemos φ (θ, X) a la variable escogida y que recibe el nombre de estadístico pivote.
Bajo estas condiciones, fijado el nivel de confianza (1−α )· 100 %, es posible encontrar
los valores a y b tales que P(a ≤ φ (θ , X)≤ b)=1−α (1)
Por las condiciones exigidas sobre el estadístico, será posible despejar θ y obtener los
límites para el intervalo.
P¿
Siendo L 1=φ−1(a , X )i L2=φ−1(b , X )los límites del intervalo deseado.
Hemos de tener en cuenta que los valores a y b que verifican (1) en general no son
únicos. La elección se hace generalmente buscando que el intervalo tenga la máxima
precisión, es decir, la longitud mínima. Para distribuciones simétricas y unimodales
(Normal o t de Student, por ejemplo) se consigue tomando el intervalo centrado, es
decir, dejando una probabilidad de α/2 a cada lado.
Ejercicio:
Supongamos que los rendimientos de las acciones de una empresa siguen una
distribución normal de media μ euros y varianza σ 2=1, se toma una m.a.s. De 20
rendimientos y se tiene:
5.29 3.66 5.71 6.62 4.30 5.85 6.25 3.40 3.55 5.57
4.60 5.69 5.81 5.71 6.29 5.66 6.19 3.79 4.98 4.84
calcular un intervalo de confianza al 90% para el rendimiento promedio de dicha

empresa.
1
x= ( 5.29+3.66+ …+4.84 )=5.188
20
( x−z α
σ
2 √n
,x+zα
σ
2 √n
)(
= 5.188−1.645×
1
√10
,5.188+1.645 ×
1
√ 10 )
¿( 4.6678 ,5.7082)

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Un intervalo de confianza es una técnica de estimación utilizada

“Un Intervalo de Confianza”

ESTIMADOR POR INTERVALO DE CONFIANZA: Denota un rango dentro del cual se

INTERPRETACIÓN DEL INTERVALO DE CONFIANZA: Tener un 95% de confianza en que

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