Aplicaci

on del control H infinito al PPCar

Carolina Albea-Sanchez, Manuel G. Ortega, Francisco Salas, Francisco Rubio

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Carolina Albea-Sanchez, Manuel G. Ortega, Francisco Salas, Francisco Rubio. Aplicacion del
control H infinito al PPCar. XXVII Jornadas de Automatica, Sep 2006, Espana. pp.1, 2006.
<hal-00604267>

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 DEL CONTROL H AL PPCAR
APLICACION

Carolina Albea, Manuel G. Ortega, Francisco Salas, Francisco R. Rubio

Dept. Ingeniera de Sistemas y Automatica
Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla
Camino de los Descubrimientos, s/n. 41092, Sevilla
{calbea, ortega, salas, rubio}@cartuja.us.es

Resumen mixta, ponderando funciones de sensibilidad para

imponer cotas superiores a las correspondientes
En este artculo se presentan controladores H li- funciones. La otra va de obtener el control H
neal para un sistema no lineal subactuado que est
a ha sido utilizando realimentacion del vector de es-
sometido a perturbaciones, comparando los resul- tados. Para la sntesis del controlador se han usado
tados obtenidos con otros controladores disenados tanto algoritmos de resolucion con vector de esta-
en trabajos anteriores. dos [1], as como Linear Matrix Inequalities (LMI)
[4, 5, 2].
Palabras clave: Control H , Sensibilidad Mix-
ta, Realimentacion de estados, Pendulo invertido Los resultados obtenidos de la simulacion de los
controladores anteriores aplicados al modelo no li-
neal del PPCar se han comparado entre s y con
un controlador sintonizado en trabajos anteriores
1. INTRODUCCION utilizando el metodo de optimizacion LQR.
En este artculo se presenta un controlador robus- El resto del artculo se organiza de la siguiente
to para un sistema no lineal subactuado que esta manera: en la seccion 2, se describe el sistema
sometido a perturbaciones, eligiendo la teora de PPCar, obteniendose el modelo linealizado a par-
control H por sus buenas caractersticas de ro- tir del cual se van a dise nar los controladores.
bustez y comportamiento. En la seccion 3, se da una breve descripcion de
las tecnicas que seran empleadas en este artculo
El sistema es un modelo de un vehculo que cons- para la sntesis de controladores robustos y que se
ta de un pendulo invertido sobre una plataforma aplicaran al sistema PPCar, comprobando su fun-
movil con dos ruedas construdo en el departamen- cionamiento mediante simulacion. Se comparan,
to de Ingeniera de Sistemas y Automatica de la en el punto 4, los resultados obtenidos entre los
Universidad de Sevilla y bautizado con el nombre controladores sintonizados con H y otras tec-
de PPCAR. nicas aplicadas anteriormente. Terminando en el
punto 5 con las conclusiones.

2. DEL
DESCRIPCION
SISTEMA

El PPCar es un sistema que consta de dos sub-

sistemas: un robot movil con traccion diferencial
y un pendulo invertido sobre el vehculo movil.
El esquema del modelo aparece en la Fig. 2. La
estrategia de control H se aplicara al pendulo
invertido sobre un vehculo movil.
Haciendo equilibrio de fuerzas y de momentos se
pueden obtener las ecuaciones del modelo del sis-
tema

(M + m) x + M l cos M l2 = F (1)
Figura 1: PPCar
M l cos + M l2 M gl sin
x = 0 (2)

Se han sintetizado controladores H lineales si- donde

guiendo dos enfoques distintos. En el primero de
ellos, se ha utilizado el enfoque de sensibilidad m: masa del carro
 w z
P(s)

u v

K(s)

Figura 3: Esquema de la estrategia de control H .

tos: sensibilidad mixta y realimentacion del esta-

do.

Figura 2: Modelo del PPCar 3.1. ENFOQUE DEL PROBLEMA DE

SENSIBILIDAD MIXTA

M: masa del pendulo El problema de la sensibilidad mixta, en la teora

de control clasica, trata de moldear varias fun-
l: altura del centro de masa
ciones de sensibilidad simultaneamente. En este
g: aceleracion de la gravedad artculo se moldearan: la funcion de sensibilidad
(S), la funcion de sensibilidad al control (KS) y la
La variable de control del sistema es la fuerza F , funcion de sensibilidad complementaria (T) con un
las variables de estado son: el angulo , la veloci- mismo controlador. Para moldear dichas funciones
dad angular y la velocidad lineal x = v, y la se utilizan sus ponderaciones correspondientes a
variable de salida es . modo de especificaciones del sistema. Estas pon-
deraciones actuaran como filtros.
El sistema se puede linealizar en torno al punto
de equilibrio = 0, = 0, v = 0 y F = 0 que Para conseguir esta ponderacion, se utilizar
a la
es localmente inestable, pudiendo hacer las apro- norma infinito, de manera que se obtenga la si-
ximaciones cos 1 y sin 0, de modo que, las guiente desigualdad:
ecuaciones en forma matricial queden

0 1 0 0 Ws S(j)

= (M +m)g
0 0 + ml F
1 WKS KS(j) < 1 (4)
ml
v M g
0 0 v 1
m
WT T (j)
m
(3)

Para la eleccion de las funciones de ponderacion es

conveniente tener en cuenta ciertas limitaciones,
3. CONTROL H LINEAL
entre las que destacamos las siguientes:
El control robusto esta asociado a la necesidad de
un controlador que sea valido para todo el con- La habilidad para mantener la salida dentro
junto de plantas de una familia. Para ello se suele de unos margenes determinados depende de
hacer uso de una estimacion de las incertidum- las propiedades de la planta. Ademas, sera
bres, de modo que, el rango de funcionamiento de difcil de controlar si el sistema es inestable
la planta quede acotado. o/y si tiene grandes perturbaciones siendo el
Por su parte, la idea de la tecnica de control H sistema no lineal.
es encontrar una ley de control, K, que aten ue la
relacion entre la energa del vector objetivo, z, y Es conveniente realizar un escalado previo del
la energa del vector de perturbaciones, w, siendo sistema a controlar.
la atenuacion conseguida, como se muestra en la
Fig. 3
El desconocimiento relativo del sistema suele
En funcion de como se disene la planta generaliza- aumentar a medida que aumenta la frecuencia
da, P (s), se conseguiran no solo cotas de compor- y, por consiguiente, no se puede controlar un
tamiento, sino que ademas cotas de robustez. sistema a frecuencias en las que no se conoce.
A continuacion, se procede a la sntesis de contro- De alguna manera, tendremos impuesto una
ladores H lineales siguiendo dos enfoques distin- cota superior en el ancho de banda de control.
3.1.1. Sntesis de Controladores H bajo N : numero de integradores
el enfoque del problema de i : parametro de ajuste
sensibilidad mixta
5. Disenar la matriz de ponderacion WKS (s),
Para el caso de sensibilidad mixta S/KS/T , la tomandola como una constante para ponde-
planta generalizada, Fig. 3, tiene la forma particu- rar la se
nal de control.
lar de la Fig. 4. Como puede observarse, la planta
generalizada (y por tanto la sntesis del contro- 6. Si no se cumplen las especificaciones aumen-
lador) depende exclusivamente del sistema nomi- tar el parametro de ajuste de WS (s) y volver
nal elegido y de las funciones de ponderacion dis- a iterar.
e
nadas.
3.1.2. Aplicaci
on del control H lineal en
el PPCar
P(s) W S (s) z1
w= r
El problema consiste en rechazo de perturbaciones
W KS (s) z2 z en el angulo , con resolucion del vector de estado.

W T(s) z3 El controlador sera calculado considerando que el

sistema esta modelado con formulacion entrada-
G(s)
y + e salida, siendo su u
nica variable de salida el angulo
-
. De este modo, su funcion de transferencia queda
u v 1
G(s) = (M +m)g
(7)
K(s) ml(s2 lm )
de la que es facil deducir que el sistema es inestable
Figura 4: Planta del enfoque de sensibilidad mixta. en bucle abierto.
Con el controlador obtenido se pretende estabi-
El problema de sntesis que se plantea se formula lizar las tres variables de estado.
como encontrar un controlador estabilizante, K,
tal que se cumpla la siguiente expresion El valor de las constantes del sistema seran

Ws S(j) m = 30Kg (8)

WKS KS(j) < (5) M = 70Kg (9)

WT T (j)
l = 1m (10)
g = 9,8m/s2 (11)
donde es la relacion de energa conseguida.
Los pasos propuestos en [3] a seguir para la sntesis La incertidumbre utilizada radica en la masa del
de controladores H para este tipo de sistema son: pendulo ya que los usuarios que lo van a utilizar
pueden tener distintos pesos. Las incertidumbres
1. Elegir un sistema nominal, preferentemente multiplicativas se calcularan con Mmin = 40Kg y
de bajo orden aunque las incertidumbres sean con Mmax = 140Kg.
mayores, y escalarlo.
El sistema se escala teniendo en cuenta que la
2. Estimar las incertidumbres multiplicativas a fuerza maxima que se puede aplicar es 500N y
la salida respecto al modelo nominal elegido. que el angulo maximo aplicable es 15o sobre la
vertical.
3. Dise
nar la matriz de ponderacion WT (s) de
modo que sea un filtro paso alto de las incer- Las funciones de ponderacion utilizadas
tidumbres multiplicativas anteriores. 0,45(0,0015s + 1)
WT = (12)
4. Dise
nar la matriz de ponderacion 1,5s + 1
!N (0,0015s + 10)
N s + 10(i 1)
i T WS = (13)
WS = (6) s + 15
s + N i 10(i 1) T
WKS = 0,001 (14)
con
Con estas funciones de ponderacion se obtiene un
i 0,5 controlador donde las funciones multiplicativas de
i 104 las incertidumbres esten por debajo de la cota su-
T : Frecuencia de corte WT diag perior marcada por las funcion de ponderacion
correspondiente. Y utilizando una = 1 las fun- 1.8

ciones de sensibilidad y sus ponderaciones tienen 1.6

una atenuaci on de = 0,5972. El controlador uti- 1.4

lizado tiene la forma 1.2

velocidad (m/s)
1
1,531 1011 s3 + 1,021 1017 s2 + 1,157 1018 + 3,278 1018
K =
s4 + 6,904 105 s3 + 1,587 1010 s2 + 1,14 1013 s + 1,14 1012 0.8

(15)
0.6

0.4

3.1.3. Resultados y Simulaciones 0.2

0
La evolucion de las variables de estado obtenidas
se representan en la Fig. 5, Fig. 6 y Fig. 7. En ellas, 0.2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
tiempo (s)
se observa que la accion de control presenta un
buen funcionamiento para las variables de estado
pero no se controla la velocidad lineal de Figura 7: Velocidad lineal v utilizando enfoque de sen-
y ,
sibilidad mixta.
equilibrio. Esto se debe a que la u nica variable de
estado controlada es y cuando esta alcanza el
punto de equilibrio, = 0, se tiene x = 0, por constante y en posicion vertical tras realizar la per-
tanto v = cte. turbacion.
0.3
3.2. CONTROL H CON
0.25
DEL
REALIMENTACION
VECTOR DE ESTADOS
0.2

La norma H representa, como hemos dicho, la

atenuacion existente entre la energa del vector ob-
angulo (rad)

0.15

jetivo y la energa del vector de perturbaciones de

0.1
un sistema. De esta forma, el control H puede ser
visto como un problema de optimizacion que bus-
0.05
ca una ley de control que minimice la atenuacion
0
ofrecida a una se nal de perturbacion cualquiera,
de un sistema en bucle cerrado.
0.05
0 2 4 6 8 10
tiempo (s)
12 14 16 18 20
En este apartado, a diferencia del anterior, se va a
hace uso de las medidas de las variables de estado,

Figura 5: Angulo del pendulo con la vertical uti- suponiendo que estas son accesibles. Ademas, para
lizando enfoque de sensibilidad mixta. poder sintetizar una ley de control, se va a utilizar
una formulacion del problema de sntesis en forma
0.2 de LMIs.
0
Para ello, se tendra en cuenta que un sistema con
incertidumbre parametrica (como es el caso que
0.2
nos ocupa) se puede representar mediante el si-
guiente sistema matricial:
velocidad angular (rad/s)

0.4
x = A()x(t) + Bu ()u(t) + Bw ()w(t) (16)
0.6 z(t) = Cz ()x(t) + Duz ()u(t) + Dwz ()w(t) (17)
u(t) = Kx(t) (18)
0.8

donde R siendo Rq un vector de parame-

tros de incertidumbre, o lo que es lo mismo, un
1

1.2 politopo de vertices conocidos. Las matrices A(),

Bu (), Bw (), Cz (), Duz (), Dwz () son matri-
1.4
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 ces afines de .
tiempo (s)

Para transformar el sistema (16)(18) en LMI, se

Figura 6: Velocidad angular utilizando enfoque de busca una funcion de Liapunov, V . Con esta fun-
sensibilidad mixta. cion de Liapunov el sistema tendra que cumplir la
restriccion
Esta estrategia de control es interesante si se de-
sea que el PPCar permanezca con una velocidad V + z 0 z 2 w0 w < 0 (19)

Tras una serie de transformaciones, aplicadas so- Y = 17,2439 5,0402 15,7166 (27)
bre cada uno de los extremos del politopo, se
puede hallar un controlador por realimentacion del El controlador obtenido es
estado que cumplan con las restricciones de ate-
K = 22907 3440 566 (28)
nuacion de energa. Estos algoritmos se pueden en-
contrar programados en herramientas informati-
cas, como por ejemplo [2]. 3.2.2. Resultados y simulaciones

Los resultados de las simulaciones con el contro-

3.2.1. Aplicaci
on del control H por lador (28) en el modelo del sistema real aparecen
realimentaci
on del estado al PPCar en la Fig. 8, Fig. 9, Fig. 10. En ellas se puede apre-
ciar, como las tres variables de salida se estabilizan
La aplicacion de esta tecnica de control al PP-
en el punto de equilibrio. Ademas, se puede notar
Car se ha planteado como un problema de recha-
que las evoluciones de las variables de salida y
zo de perturbaciones con realimentacion de las va-
son rapidas y suaves.
riables de estado, y con una incertidumbre en el
parametro de la masa del pendulo (M ). Se toman 0.3

dos variaciones de M , correspondiente a los valo-

res maximo y mnimo posibles, obteniendo los dos 0.25

vertices en el politopo. La perturbacion existente

solo afecta a la variable de estado correspondiente
0.2

al angulo . El problema en formulacion LMI en

angulo (m/s)
0.15
bucle cerrado queda de la siguiente manera.
0.1

x(t)
= (A + Bu K)x(t) + Bw w(t) (20)
z(t) = (Cz + Duz K)x(t) + Dwz w(t) (21) 0.05

Al ser un problema de regulacion, el vector x co-

rresponde con el vector de variables de estado, y 0.05
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

por tanto, las matrices A() son de dimensiones tiempo (s)

33 y las matrices B() son de dimensiones 13.

Figura 8: Angulo del pendulo con la vertical uti-
Los valores del parametro M en los vertices del lizando realimentaci
on de estado.
politopo son: M = 40Kg para el primer vertice y
M = 140Kg par el segundo vertice. Con estos va- 0.2

lores se calculan las matrices A() y B() corres- 0

pondientes. Asimismo, las matrices para calcular 0.2

el controlador H por realimentacion de estados
velocidad angular (rad/s)

son
0.4

1 0.6

Bw = 1 (22) 0.8

1
1

100 0 0 1.2

Cz = 0 1 0 (23) 1.4

0 0 1
1.6

0,01 1.8
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Duz = 0,01 (24) tiempo (s)

0,01
Figura 9: Velocidad angular utilizando reali-
0,1 mentaci
on de estado.
Dwz = 0,1 (25)
0,1 DE
4. COMPARACION
Tras las iteraciones correspondientes nos queda RESULTADOS
= 41,234 y las matrices
A continuacion se compararan con otros estudios

0,017 0,1241 0,0945 previos [6], los resultados obtenidos con la estrate-
Q = 0,1241 0,9845 0,9703 (26) gia de control H lineal y las dos tecnicas em-
0,0945 0,9703 2,0451 pleadas para llegar a ella:
 2 0.2

0.1

1.5

velocidad angular (rad/s)

velocidad (m/s)

1
0.1

0.2
0.5

0.3

0.4

0.5 0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
tiempo (s) tiempo (s)

Figura 10: Velocidad lineal v utilizando reali- Figura 12: Velocidad angular utilizando LQR
mentaci
on de estado.
1.2

1. Ponderacion de las funciones de sensibilidad 1

para tomarlas como cotas superiores de las
correspondientes funciones de sensibilidad 0.8

2. LMI
velocidad (m/s)

0.6

La estrategia de control lineal desarrollada ante- 0.4

riormente fue el metodo de optimizacion LQR. La

evolucion de cada variable de salida se puede ob- 0.2

servar en las figuras: Fig. 11, Fig. 12 y Fig. 13

0

0.3

0.2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0.25 tiempo (s)

0.2
Figura 13: Velocidad lineal v utilizando LQR
angulo (m/s)

0.15

0.1
podemos hacer en la Fig. 16, donde se nota de
forma cualitativa que la variable de salida v tiene
0.05 un tiempo de establecimiento menor y una sobre-
oscilacion mayor utilizando control H con LMI
0 que con el control LQR.
0.05
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

tiempo (s)
Con el controlador H se tiene menos sobre-
oscilacion y menor o igual tiempo de estable-

Figura 11: Angulo del pendulo con la vertical uti- cimiento en la variable de salida y por con-
lizando LQR.
que con el control
siguiente en la variable ,
LQR. Haciendo que el sistema responda de
En la Fig. 14 se observa que utilizando el control modo mas suave y mas rapido.
LQR se tiene una sobreoscilacion de un 28,24 %
mas que utilizando control H con el enfoque de Con el control H utilizando LMI la variable
sensibilidad mixta, siendo el tiempo de estableci- de salida v tarda menos en estabilizarse que
miento el mismo en ambas estrategias. No obstan- con la optimizacion LQR, aunque tiene mas
te, en la Fig. 7 se nota que con el control H sobreoscilacion.
anterior la variable de salida velocidad no se esta-
biliza en el punto de equilibrio. En la Fig. 15 se Con H y utilizando las ponderaciones de
puede apreciar que utilizando el control LQR se las funciones de sensibilidad, ya se vio que
tiene una sobreoscilacion de un 71 % y un tiempo la velocidad lineal se estableca en un punto
de establecimiento de un 16,21 % mas que utilizan- distinto al equilibrio.
do control H con LMI. Una observacion mas, la
 5. CONCLUSIONES
0.2

En esta memoria se han desarrollado controladores

0.15
H lineales utilizando diferentes enfoques: sensi-
bilidad mixta y realimentacion del estado. Estos
controladores fueron simulados en el modelo no
angulo (rad)

0.1

lineal del sistema y comparados con otros contro-

0.05
ladores obtenidos en estudios previos a partir de
la estrategia LQR.
0
0.0183

0.0255
Los resultados de esta comparacion pueden con-
cluir que las respuestas de las variables utilizan-
3.7
do los controladores H lineales son mas suaves
y tienen una mayor velocidad de establecimiento,
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

tiempo (s)
que con la estrategia de optimizacion LQR desar-
Figura 14: Caracterstica de la variable con con- rollada en estudios previos.
trol LQR (continua), caracterstica de la variable con
control H con enfoque de sensibilidad mixta (discon- Referencias
tinua)
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0.2 and R. Smith. -Analysis and Synthesis Tool-
box. The MathWorks, The MathWorks, INc. 3
Apple Hill Drive Natick, MA 01760-2098, on-
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line only for version 3.06 edition, June 2001.
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angulo (m/s)

0.1
ple Hill Drive Natick, MA 01760-2098. LMI
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0

Jornadas de Autom atica, pages 445451, 2005.

0.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
tiempo (s)

Figura 16: Variable de salida v con control LQR (con-

tinua), variable de salida v con control H con LMI
(discontinua)