2E Matematicas - Ud01 PDF
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ESO
MATEMTICAS
Operaciones Divisibilidad
Nmeros
enteros
Criterios Descomposicin
factorial
Operaciones
MCD mcm
Resuelve
Puntos en la recta
Representa los siguientes nmeros en una recta:
a) 3 b) 5 c) 0 d) 8
Solucin:
-3 0 5 8
Resolucin de problemas
Luis se encuentra en un ascensor situado en la 5 plan-
ta de un edificio de 40. Primero sube 4 plantas, en un
segundo desplazamiento baja 3 plantas y posterior-
mente vuelve a ascender otros 9 pisos. En qu piso se
encuentra Luis? Plantea la resolucin mediante una
operacin combinada de nmeros naturales y luego re-
sulvelo.
Solucin: 5 + 4 3 + 9 = 15. Se encuentra en la 15
planta del edificio.
ejemplos
3 (15 8) (4 3) 4 = 3 (7) (1) 4 = 21 4 = 17
81 : (6 + 9 : 3) + 3 5 2 3 = 81 : (6 + 3) + 15 6 = 81 : (9) + 15 6 =
= 9 + 15 6 = 24 6 = 18
3 (24 : 8 2 1 + 3 4 + 6 3) 2 (6 3) = 3 (3 2 + 3 4 + 18) 2 (3) =
= 3 (18) 6 = 54 6 = 48
2. Opera:
a) (8 + 7 + 5) : 5 3 : (8 5) d) (17 4 2) : 3 + 2 (8 6)
ACTIVIDADES
b) 2 (6 2 3) + 12 (7 4) e) 13 : (5 + 4 2) + 3 (5 4)
c) 12 + (7 + 2) : 3 5 3 f) 10 + (14 + 12) : 13 7
3. Resuelve:
15 (6 + 5 3 3) 5 (6 + 4 7) + 9 : (7 + 4 2 4)
16 UNIDAD 1
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
a) 5 b) 6 c) 3 d) 5 e) 0 f) 1 g) 2 h) 8
5. Calcula el opuesto de los nmeros siguientes y represntalos en una recta.
a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 3 f) 0 g) 1 h) 7
6. Calcula el valor absoluto de 3, 10, 3, 115, 0, 142, 44 y 28.
Nmeros enteros 17
ejemplos
(+3) + (+5) = 3 + 5 = 8
(+4) + (3) = 4 3 = 1
(5) (+ 4) = 5 4 = 9
(+16) (+12) (12) (+32) = 16 12 + 12 32 = = (16 + 12) (12 + 32) =
= 28 44 = 16
Parafacilitar las
12 + 13 8 + 5 +17 = (12 + 13 + 5 + 17) 8 = 47 8 = 39 operaciones, cuando
en una expresin aparezcan
13 15 + 14 8 = 14 (13 + 15 + 8) = 14 36 = 22 varios nmeros enteros, es
conveniente sumar todos los
positivos por un lado ylos
negativos por otro y, a
continuacin, operar los
dos resultados.
7. Opera:
a) (+4) + (+3) c) (5) + (+1) e) (8) + (2)
b) (+3) + (5) d) (+1) + (+9) f) (6) + (4)
b) 3 15 + 15 + 16 d) 3 + 8 + 5 4 + 9 f) 35 + 21 6 + 27 + 4
18 UNIDAD 1
Para multiplicar nmeros enteros tenemos que: Regla de los signos para
1. Multiplicar los valores absolutos de los nmeros.
la multiplicacin
ejemplos
(+4) : (+2) = +2
(+8) : (4) = 2
(55) : (5) = +11
(+20) : (2) : (5) = (+ : : ) (20 : 2 : 5) = +2
(30) : (5) : (3) = 2
(70) : (+2) : (7) = +5
Nmeros enteros 19
n veces
De una manera ms general: 0 = 0 0 ... 0 = 0
n
n
veces
a a a ... a = a n
a =a
1
a =1
0
a) 5 5 5 5 5 5 5 c) 6 6 6 e) 1 1 1 1
b) 4 4 d) 7 7 7 7 f) 9 9
17. Calcula el resultado de las siguientes potencias:
a) (5)2 b) (6)3 c) (9)4 d) (3)3 e) (7)1
20 UNIDAD 1
an : am = a n m 9 : 3 = (9 : 3) = 3
6 6 6 6
8 : 4 = (8 : 4) = 2
4 4 4 4
(a n)m = a n m (5 ) = 5 = 5
3 4 34 12
18. Opera:
a) 33 34 b) 74 7 c) 23 43 d) 32 52
19. Opera:
a) 42 : 4 b) 77 : 74 c) 124 : 34 d) 15 : 12
20. Opera:
ACTIVIDADES
Nmeros enteros 21
ejemplos
120 1 + 2 + 0 = 3 120 es divisible entre 3.
344 3 + 4 + 4 = 11 344 no es divisible entre 3.
Un nmero es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es mltiplo de 3.
ejemplos
120 120 termina en 0 120 es divisible entre 5.
231 231 termina en 1 231 no es divisible entre 5.
Un nmero es divisible entre 5 si acaba en 0 o 5.
ejemplos
120 120 termina en 0 120 es divisible entre 10.
432 432 acaba en 2 432 no es divisible entre 10.
Un nmero es divisible entre 10 si acaba en 0.
ejemplos
132 1 + 2 3 = 0 132 es divisible entre 11.
343 3 + 3 4 = 2 343 no es divisible entre 11.
Un nmero es divisible entre 11 si al sumar las cifras que ocupan posicin
impar y restarle las que ocupan posicin par el resultado es 0 u 11.
23. Cules de los siguientes nmeros son divisibles entre 5 o entre 10?
a) 40 b) 15 c) 20 d) 23 e) 68 f) 52 g) 100 h) 300 i) 342
22 UNIDAD 1
36 = 2 2 3 3 = 2 32 2 Descomposicin
encolumna
Veamos cmo se consigue la factorizacin de un nmero.
Para realizar las descomposicio
Tomemos como ejemplo el nmero 120: nes fac toriales de una manera
ms prctica las solemos expre
1. Dividimos el nmero 120 entre el menor nmero primo posible. En
sar en columna:
nuestro caso, como 120 es par, se puede dividir entre 2:
120 2
120 : 2 = 60
60 2
2. Seguimos dividiendo entre ese primo hasta que el resultado deje de 30 2
ser divisible. Como 60 es par se puede dividir nuevamente entre 2:
15 3
60 : 2 = 30 5 5
Volvemos a dividir entre 2, 30 : 2 = 15 1
b) 3 5
2 2
d) 5 7
2
f) 22 7 h) 22 3 52 13
27. Descompn en factores primos:
a) 900 b) 1.575 c) 12.600
28. Utilizando la descomposicin factorial, encuentra todos los divisores de:
a) 81 b) 180 c) 90
Nmeros enteros 23
ejemplo
Calcular el mnimo comn mltiplo de 6, 8 y 9.
1. Descomponemos los nmeros en factores primos:
6 2 8 2 9 3
3 3 4 2 3 3
1 2 2 1
1
6=23 8 = 23 9 = 32
2. Ahora tomamos los factores primos comunes y no comunes con
mayor exponente: 23 y 32.
As, tenemos mcm(6, 8, 9) = 23 32 = 8 9 = 72
24 UNIDAD 1
Nmeros enteros 25
Opuestos: a) 5 5 5 5 = 54 b) 6 6 6 6 6 = 65
5. Resuelve:
11. Calcula MCD(12, 40).
a) [(4 + 2) 6] + (8 + 4) (2 5) (4 6)
Solucin
b) (3 5) + 5 + [6 : ( 2)] (10 12) [(6 12) : 9)]
12 2 40 2
Solucin
62 20 2
a) [(4 + 2) 6] + (8 + 4) (2 5) (4 6) = 33 10 2
= [(2) 6] + (12) (7) (2) = [8] + 12 14 =
1 55
= 8 + 12 14 = 22 + 12 = 10
1
b) (3 5) + 5 + [6 : (2)] (10 12) [(6 12) : 9)] =
= (2) + 5 + [3] (2) [(18) : 9] = 12 = 22 3 40 = 23 5
= +2 + 5 3 + 2 [2] = +2 + 5 3 4 = 7 7 = 0 MCD(12, 40) = 2 = 4
2
26 UNIDAD 1
Nmeros enteros 27
28 UNIDAD 1
PROBLEMAS
87. Sandra y Mara tardan 4 y 6 min respectivamente en 93. Paloma tiene 18 kiwis y 32 pltanos. Los quiere guar
dar una vuelta alrededor de un campo de ftbol. Si han dar en bandejas de tal manera que cada bandeja ten
coincidido a las 10:00, a qu hora volvern a coincidir? ga la misma cantidad de fruta y esta sea mxima.
Cuntas bandejas de kiwis habr? Cuntos pltanos
88. Tengo 24 botes de mermelada y los quiero embalar en
habr en cada bandeja?
cajas de manera que en cada caja haya el mismo nme
ro de botes. De cuntas maneras los podr embalar? 94. El plato de una bicicleta tiene 54 dientes y el pin 36. Si
Cuntos botes y cuntas cajas habr de cada manera? un diente del plato y otro del pin estn alineados en
este momento, cuntas vueltas darn el plato y el pi
89. Tenemos 10 pares de zapatos de caballero y 15 pares
n hasta que vuelvan a coincidir estos mismos dientes?
de zapatos de mujer. Los queremos guardar en cajas
95. Dos autobuses salen cada 18 y 24 das de la sede prin
de manera que no se mezclen los unos con los otros y
cipal. Si salen hoy, cundo volvern a salir juntos?
que el nmero de zapatos en cada caja sea igual y lo
mayor posible. Cuntos pares habr en cada caja?
Cuntas cajas habr?
90. A una estacin de tren llegan los trenes procedentes
de las ciudades A y B. El tren A pasa cada 8 min y el tren
B cada 12 min. Si coinciden a las 8:30, cundo volve
rn a coincidir?
91. Dos cometas se ven desde la Tierra cada 36 y 40 aos
respectivamente. Si se vieron el 1920, en qu ao vol
vern a verse los dos desde la Tierra?
92. Un cuarto trastero tiene las siguientes dimensiones:
30 dm de largo, 10 dm de ancho y 20 dm de alto. Si
queremos llenarlo con cajas cbicas lo ms grandes
posible, qu dimensiones tendrn esas cajas?
AUTOEVALUACIN
1. Opera: 6. Descompn los siguientes nmeros en factores pri
a)(3 + 5) : 2 15 : (8 3) b)3 (6 3) + 5 (7 5) mos:
a)40 b)81 c)150
2. Calcula el opuesto y el valor absoluto de los siguientes
nmeros y represntalos en una recta: 7. Calcula el mnimo comn mltiplo de:
a)1 b)0 c)6 d)4 e)1 a)60 y 80 b)200 y 180
3. Resuelve las siguientes operaciones con parntesis: 8. Calcula el mximo comn divisor de:
a)(4 3 + 15) + (6 5 + 13) a)60 y 80 b)200 y 180
b)(2 + 15 8) (3 + 5) (3 5 2)
9. De cuntas maneras podr embotellar 50 L de agua?
4. Resuelve las siguientes operaciones: Qu medida tendrn los envases? Cuntos envases
habr de cada medida?
a)[(7 13) 7] + (5 + 3) (10 5) (3 9)
b)[(15 10) : (5 1 5)] + (5 7) : (10 8) 10. Debo dividir una parcela rectangular de 150 m de largo
por 100 m de ancho en parcelas cuadradas, todas de la
5. Opera: misma medida y lo ms grandes posible. Qu dimen
a)33 34 b)53 : 52 c)63 : 33 d)54 24 siones tendrn estas parcelas?
Nmeros enteros 29
Microsoft Excel nos ayuda a resolver operaciones con nmeros enteros y potencias de manera muy sencilla.
Vamos a resolver la siguiente operacin:
9 : (1 4) + 2 (3 5) + 32
Como ya sabes, para multiplicar en Excel debemos usar el smbolo * , en vez del smbolo . Y, para dividir,
usamos el smbolo / , en vez de : . Adems, para realizar una potencia usamos el smbolo ^ .
Pasos:
=9 / (1 4) + 2 * (3 5) + 3^2
Matemticas recreativas
El problema de los puentes de Knigsberg
30 UNIDAD 1
1 De cuntas formas puede dividir para envasar la leche de la que dispone para poder transportarla?
3 El distribuidor de lcteos impone al lechero una nueva condicin, solo puede usar recipientes que ten
gan una capacidad par. Qu posibilidades le quedan? Indcalas distinguiendo la capacidad del recipien
te y el nmero de recipientes que tendra que usar.
4 Los envases de 2 litros cuestan 50 cts y los de 6 litros cuestan 1 . Si por 2 litros de leche recibe 1 y por
6 litros 2 y 50 cts. cmo le interesar ms la venta al lechero?
5 Al final el lechero decide envasar la leche en 9 garrafas, pero se ha dado cuenta de que en una de ellas ha
puesto ms leche que en el resto. Para saber cul es la que pesa ms solo dispone de una balanza. Con
solo dos pesadas se puede saber cul es la que tiene ms leche. Sabras cmo?
6 Existen otras medidas tradicionales en los pueblos que han sido usadas para medir la leche, entre ellas
est el cuartillo. Busca en qu consiste e investiga otras distintas a esta.
Nmeros enteros 31