RAZONAMIENTO LOGICO

Alcides TERAN VELASQUEZ

---------------------------------------------------------------------------------

1 OPERACIONES MENTALES
1. Suma de números fraccionarios
Se debe conocer algunas sumas o restas muy necesarias, las denominaremos notables:
1 1 3 2 5 1 1 3 2 1
     
2 3 6 6 2 3 6 6
1 1 5 1 1 1
Por tanto recordar que:    
2 3 6 2 3 6
También recordar que: un quebrado mixto, puede anotarse como suma:
1 1
3 3 Son prácticamente iguales.
2 2
Veamos algunos ejercicios:
1 1
Sumar 3  1  ?
2 3
Descomponer mentalmente:
1 1 1 1 1 1 5
3 1  3 1  Finalmente: 3 1  4
2 3 2 3 2 3 6

2. Multiplicación por 5
10 7 10 18
75  7   10  3.5  10  35 18  5  18    10  9  10  90
2 2 2 2

3. Multiplicación por 11:

35  11  3 _ 5  385 75  11  7 _ 5  7125  825
325  11  3__ 5  3575
4. Sumas verticales y horizontales.
5. Sucesiones de Fracciones:
6. Cuadrado mágico impar
Son disposiciones rectangulares de numeros, cuya suma de cada fila o cada columna y de las
diagonales es la misma.
2 7 6
9 5 1 Arr, Der o Izq
4 3 8

Algoritmos, para formar un cuadrado mágico, se tienen procedimientos denominados

algoritmos:

1) Colocar el 1 al medio de una columna lateral,

2) Luego ir ARRIBA-DERECHA.
3) Si está ocupada ir a IZQUIERDA.

1
Ejemplo: Teniendo los números en la figura inicial:

1) Se observa el 9 al centro, por tanto, la suma será el triple: 3x9 = 27

2) La esquina inferior izquierda será 11, y así sucesivamente.

Ejemplo: Teniendo los números en la figura inicial:

1) Habiendo dos esquinas opuestas, el termino central será el promedio: (31+37)/2=34

2) Establecer la secuencia, las esquinas en posiciones pares.
31 34 37

3) Luego la secuencia queda anotada de posiciones pares queda:

31 33 34 35 37
4) Los números 33 y 35 quedan en las esquinas
5) Verificar con: Abajo-Izq o Derecha

2
 Otro algoritmo: colocar los números 1 2 3 4 5 6 7 8 9, en el cuadrado mágico, u otra
secuencia de 9 números, conociendo el inicio:

.Luego los números que están fuera del cuadrado, colocarlos a la casilla central del frente:

Acertijo: Hacer un cuadrado con 3 lápices

7. Cuadrado mágico par

Denominado también cuadrado diabólico.

1 2 3 4 16 2 3 13
5 6 7 8 5 11 10 8
9 10 11 12 9 7 6 12
13 14 15 16 4 14 15 1

3
 2 RAZONAMIENTO MATEMATICO

El razonamiento lógico matemático es una habilidad y capacidad relacionada con la forma abstracta
de ver los números o cantidades y poder realizar operaciones con ellas.

2.1 Ecuaciones

Ejemplo 1) Resolver el sistema de ecuaciones gráficas, llamadas también ecuaciones locas

a) 20 b) 15 c) 10 d) 30 e) N.A.
Solución: la 1era ecuación, tiene objetos iguales, por tanto el lápiz vale 10.
Rpta. d)

Ejemplo 2) Un bolígrafo y un lápiz se compran por Bs. 10.80, el bolígrafo cuesta 10 Bs. más que el
lápiz, ¿Cuánto cuesta el lápiz?
a) 10 b) 0.80 c) 0.40 d) 0.60 e) N.A.
Solución: plantear los precios:
B + L = 10.80 Pero B = L + 10
L + 10 + L = 10.80
Rpta. c)

4
2.2 Sucesiones
Es un conjunto de números, o una secuencia ordenada de números, dispuestos entre sí por una ley
de formación, la cual se obtiene empleando las operaciones elementales de: suma, resta,
multiplicación, división, potenciación y radicación.
a1 a2 a 3 ... an Términos de la sucesión
Las sucesiones elementales son las progresiones Aritméticas y Geométricas.
Las aritméticas, donde sus términos se forman aumentando una cantidad d, llamada diferencia;
a2  a1  d a 3  a 2  d …. así sucesivamente
Las geométricas, donde sus términos se forman multiplicando una cantidad q, llamada razón;
a2  a1q a 3  a2q …. así sucesivamente
La progresión aritméticas elemental es la sucesión de los números naturales:
1 2 3 ... n
Sin embargo en el razonamiento, la diferencia puede ser positiva o negativa, entero o fraccionaria,
además las sucesiones pueden ser:
- Numéricas
- Literales
- Alfanuméricas

Una sucesión de números 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89;... ¿El número que sigue es? Fibonacci

Ejemplo 3) Indica la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

I. La sucesión formada por los múltiplos de 4 es infinita.
II. El término que sigue en la sucesión 5/7; 10/17; 15/37; 20/77... es 25/157.
III. La sucesión formada por los múltiplos de 5 mayores de 4 y menores que 100 es infinita.

a) VVF b) VVV c) VFV d) FFV e) FVV

Rpta. a)

Ejemplo 4) Hallar el producto de los 4 primeros términos de la sucesión {(2n + 1)/(n + 3)} es…
a) 3/4 b) 12/11 c) 9/8 d) 1/2 e) N.A.
Rpta. c)
Ejemplo 5) Ricardo y José se proponen resolver cada día un cierto número de problemas de
matemática. Ricardo le dice a José que hagan una competencia: “Yo comenzaré con 5
problemas y cada día aumentaré 3 problemas más que el día anterior”. José le responde:
“Bueno, yo comenzaré con 2 y cada día duplicaré el número del día anterior”. ¿Cuántos
problemas resolvieron ambos en 5 días?
a) 55 b) 117 c) 107 d) 85 e) 127

Ejemplo 6) El alquiler de una cabina de internet es Bs 1,50 por cada hora, y por cada hora adicional se
paga Bs 0,30 más. ¿Cuánto se pagará al cabo de 5 horas?
a) 2,70 b) 10,50 c) 9,50 d) 11,50 e) 9,70

Ejemplo 7) Hallar el término que continua:

A: 4 11 21 34 …
5
 Resolución: Aplicamos diferencias, hasta tener un patrón o que sean una constante:
d1 7 10 13
d2 3 3
Así la secuencia d1 es 7 10 13 16
Luego la sucesión A: 4 11 21 34 50
Rpta. 50

Ejemplo 8) Hallar el término que continua:

A: -1 2 7 16 33 …
Resol: d1 3 5 9 17
d2 2 4 8 doble
Asi d2 es 2 4 8 16
Luego d1 3 5 9 17 33(17+16)
Finalmente -1 2 7 16 33 66
Rpta. 66

Ejemplo 9) Hallar el término que continua:

A: 5 41 149 329…
Resol: Por diferencias
5 41 149 329 …
36 108 180
72 72 72
Continúa 180 + 72 = 252
Luego 329 + 252 = 581
Rpta. 581
Ejemplo 10) Hallar x + y, si las sucesiones son:
A: 13, 29, 61, 125, x,…
B: 5, 41, 149, 329, y,….
a) 938 b) 834 c) 983 d) 883 e) 934
A: Doble del anterior más 3
B: Anterior ejercicio.

Ejemplo 11) Hallar el número que ocupa la casilla en blanco.

¿ ? 6 14 31 66 137

Hacer diferencias hasta tener un patrón, el patrón debe tener al menos 2 términos.

a) 1/2 b) 2/25 c) 2/5 d) 5/2 e) N.A.

Rpta. d) 5/2
Ejemplo 12) Calcular 2x – y2, siendo las sucesiones M y N:
M = 5; 14; 32; 68; x;...
N = 6; 10; 12; 18; 18; 26; 24; 34; y;...
a) 620 b) 220 c) -720 d) – 320 e) -620
Resol: M: por diferencias: hasta dobles.
N: por saltos en parejas:
Rpta. e)
6
 Ejemplo 13) Determinar el valor de p-q, siendo la sucesión:
5 -1 7 0 17 5 67 30 p q
Resolución: Se pueden desglosar en dos sucesiones:
A: 5 7 17 67 p
B: -1 0 5 30 q
Aplicar diferencias en cada sucesión, donde p=3a7 q=15b (determine a y b)
a) 182 b) 172 c) 162 d) 152 e) N.A.

Resol: M: por diferencias: hasta dobles.

N: por saltos en parejas:
Rpta. c)
Ejemplo 14) Señalar los dos números que continuarían la siguiente serie:
46 47 48 45 50 43 52 41 54

a) 39 - 57 b) 39 - 56 c) 38 - 56 d) 56 - 39 e) N.A.
Solución: Se trata de sucesión de puntos sumando o restando:
Rpta. b o c, ¿Cuál?

2.3 Cripto-aritmética

Ejemplo 15) Sabiendo que a=2, b=3, c=5, d=1, e=7, f=6, g=4, h=8, i=0, Indicar el código resultante
de la serie:
"cadadiaceacfe"
a) 5211402572567. b) 5213106572567. c) 5212402572567. d) 5212102572567.
Rpta. ?

Ejemplo 16) Siendo la suma de números, donde cada letra es un digito decimal, hallar el valor de M.
MAS + SAL = ALLA
a) 4 b) 7 c) 8 d) 5 e) N.A.
Resolución: Es un problema conocido como cripto-aritmética:
Plantearlo como:

M A S
+ S A L
A L L A
Observando la suma de los dígitos de la izquierda, se calcula que A es …

Rpta.

7
Ejemplo 17) Sea la suma de códigos, Siendo E = 2V, hallar LOVE.
LOV + LOV = 48L
a) 2214 b) 2432 c) 4818 d) 2412 e) 2812
Resolución: Es un problema de dígitos, planteado como:
L O V
+ L O V
4 8 L

Observando la suma de los dígitos de la izquierda, se calcula que L es …

Rpta. d)

Ejemplo 18) Sean las multiplicaciones criptográficas, hallar la producto ABC por MN.
ABC x M = 2312 y ABC x N = 1734

Resolución: Es un problema de dígitos, plantearlo como multiplicación ordinaria:

Ejemplo 19) Siendo la potencia (a+b+c)2 = 144. Hallar la suma abc + bca + cab

Resolución: Es un problema de dígitos, plantearlo como suma ordinaria:

Ejemplo 20) Sea la suma, descifrar los dígitos:

SIN
+ SIN
NADA
Resolución: Es un problema de criptografía, se ve que N es 1, luego…

8
Ejemplo 21) Descifrar la multiplicación o ROMPE 4 veces:

ROMPE
 4
EPMOR
Resolución: Es un de criptografía, empezar 4 por cuanto termina en 8 o 2:

Ejemplo 22) Hallar los dígitos o números de la multiplicación:

4
 
96
 43
9
Resolución: Es un problema criptográfico, partir de la suma de productos parciales:

6
 4

 3 2
4 5 0

Ejemplo 23) Descifrar la división:

6* 5
* **
17
**
2

Resolución: Es un problema criptográfico, partir de la última multiplicación:

9
Ejemplo 24) Hallar los dígitos o números de la división:

5*** **
*8 **3
*3
**
3*
*6
2

Resolución: Es un problema criptográfico, partir de la última multiplicación:

Ejemplo 25) Hallar los dígitos o números de la división:

**** **
8* *1*
2*
*6
8*
**
3

Resolución: Es un problema criptográfico, partir de la última multiplicación:

Ejemplo 26) Hallar los dígitos o números de la división:

****** ***
***
*** ****.****
***
***
***
***
***
****
****
0

Resolución: Es un problema de dígitos, en este caso observar si hay ceros:

- En la 2da división se baja 2 cifras del dividendo, entonces hay un 0 al cociente.
- En la 5ta división se bajan 3 cifras del dividendos, por tanto hay dos 0 al cociente.
- Por lo anterior, el cociente seria: *0**,*00*
- Cuando se acaban los dígitos del dividendo, y se coloca el punto decimal al cociente, se
bajan del dividendo CEROS, por tanto la última división genera la última resta que es un
múltiplo de 1000:
*000
*000
- Por lo anterior el divisor de 3 cifras, debe ser un submúltiplo o divisor de *000,
- El divisor debe ser un múltiplo de 5 pero de 3 cifras.
10
2.4 Puzzles

Los puzles, son arreglos de números, a veces se confunden con los cuadrados mágicos.

Ejemplo 27) Resolver el puzzle:

9 (55) 6

4 (29) 7

2 (?) 11
a) 31 b) 23 c) 40 d) 26 e) N.A.
Solución: Aplicando una multiplicación y sumando:
Rpta. b)

Ejemplo 28) Resolver el cuadro, cual al valor que falta:

a) 12 b) 20 c) 24 d) 36 e) N.A.
Resolución: Es un cuadrado mágico o puzzle?:
Rpta. cual)

Ejemplo 29) Se define el operador (*) mediante la tabla:

Determina [(8*7)*5]* 2
a) 2 b) 5 c) 4 d) 1 e) 6

Rpta. c)

Ejemplo 30) Resuelva el acertijo:

1+4=5
2 + 5 = 12

11
 3 + 6 = 21
8 + 11 = ¿ ?
a) 96 b) 88 c) 56 d) 90 e) N.A.
Resolución: Aplicando una multiplicación y sumando:
Rpta. a)

Ejemplo 31) Completar el puzzle:

4 8 16

5 10 20

6 12 ¿ ?

a) 26 b) 28 c) 24 d) 20 e) N.A.

Resolución: Aplicando una multiplicación y sumando:

Rpta. c)

Ejemplo 32) Completar el puzzle:

¿? 8

64 27

a) 9 b) 1 c) 7 d) 125 e) N.A.
Resolución: Generalmente al ver 27, 64 y 8 pueden ser potencias:
Rpta. b) o d), ¿Cuál?

Ejemplo 33) En la figura se muestra una cuadrícula donde se ven 4 cuadrados de tamaños diferentes (colores)
¿Cuántos cuadrados congruentes, que tengan como vértice al punto A y estén dentro de la
cuadricula, se puede dibujar?

a) 14 b) 12 c) 10 d) 8 e) N.A.

Resolución: Se trata de cuadrados con vértice en A:

Rpta. a)

12
Ejemplo 34) Escriba en las casillas de la figura los números enteros del 1 al 9, un número en cada cuadradito
y, sin repetir, de tal manera que la suma de los números escritos en la fila y columna sea la misma
e igual a 27. ¿Cuál es el número que se escribe en el cuadradito sombreado?

a) 9 b) 5 c) 2 d) 6 e) N.A.
Resolución: Es un problema donde se aplica suma de extremos en números naturales, por propiedad
de una progresión aritmética.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Sumas 1 + 9 = 10
2 + 8 = 10
3 + 7 = 10
Para este caso sumar solo hasta 8:
1 + 8 = 9
2 + 7 = 9
3 + 6 = 9
4 + 5 = 9
Estos números se pondrán en los extremos, y al centro estará el 9.
Rpta. a)

Ejemplo 35) En el cuadro adjunto se escriben los números 1; 2; 3 y 4 sin repetición, en cada fila, cada
columna y cada diagonal. Determinar a – b.

a) -1 b) 3 c) 2 d) -3 e) N.A.

Solución: En la primera columna, sólo hay opción para 1 y 4, pero en la primera casilla debe estar el
1, y luego se completa….:
Rpta. b o d, ¿Cuál?

Ejemplo 36) En la secuencia triangular, completar el ultimo triangulo.

13
 a) 23 b) 13 c) 31 d) 24 e) N.A.

Solución: En la primera columna, sólo hay opción para 1 y 4, pero en la primera casilla debe estar el
1, y luego se completa….:
Rpta. a o d, ¿Cuál?

14