Matemáticas

Contenidos para la
PAES
 CONTENIDOS (Según ejes de la PAES)

Números

▪︎ Conjunto de los números enteros y racionales.

▪︎ Porcentajes.
▪︎ Potencias y Raíces.

Álgebra y Funciones

▪︎ Expresiones algebraicas.
▪︎ Proporcionalidad.
▪︎ Ecuaciones e inecuaciones de primer grado.
▪︎ Sistemas de ecuaciones.
▪︎ Función lineal y afín.
▪︎ Función cuadratica.

Geometría

▪︎ Figuras geométricas.
▪︎ Cuerpos geométricos.
▪︎ Transfomaciones isométricas.

Proporcionalidad y estadística

▪︎ Representación de datos a través de tablas y gráficos.

▪︎ Medidas de tendencia central y rango.
▪︎ Medidas de posición.
▪︎ Reglas de las probabilidades.
Números
 Números Enteros ¿Cuáles son?
• Positivos.
• Negativos.
•Cero.
• Ley de los signos:
{...-1,0,1...}

Suma y Resta
(+) + (+)= Se suma y se pone el signo +
(-) + (-)= Se suma y se pone el signo -
(+) + (-)= Se resta y se pone el signo del número mayor

Multiplicación
(+) x (+)= + (5) x (4)= 20
(-) x (-)= + (-2) x (-6)= 12
(+) x (-)= - (7) x (-3)= -21
(-) x (+)= - (-1) x (6)= -6

División
(+) ÷ (+)= + (15) ÷ (3)= 5
(-) ÷ (-)= + (-6) ÷ (-2)= 3
(+) ÷ (-)= - (21) ÷ (-3)= -7
(-) ÷ (+)= - (-10) ÷ (5)= -2
 • Orden de resolución de ejercicios
con números enteros:
PAPOMUDAS
Es el orden en el que se resuelven operaciones combinadas con
números enteros.

PO MUD AS
(si hay varios (Potencias, raíces o (se resuelven en el
trabajas desde el logaritmos). orden que deseen)
centro hacia afuera, (se deben resolver
resolviendo cada de izquierda a
capa de derecha).
operaciones dentro
de los parentesis a
medida que
avanzas).

Los números
enteros se pueden
ubicar en una recta
numérica porque
es un conjunto
ordenado.

Ejemplos:

a. b.
(-8)•2+4-12÷(-4)+1= 2 + (3-5)2²=
[

-16 +4 +3 +1= 2+ (-2) 2²=

[

-12 + 3 + 1= 2+ (-2) 4=
[

-9 + 1= 2+ ( -8)= -6//
8//
• Conceptos importantes de los números
enteros:

Neutro aditivo
El elemento neutro aditivo es el "cero", porque si lo
sumo no pasa nada.

Neutro multiplicativo
El elemento neutro multiplicativo es el "uno", porque si
lo multiplico no pasa nada.

Inverso aditivo
Es el opuesto de un número (normalmente se le cambia
el signo a dicho número). Corresponde a un número que
me permita que el resultado me de "cero".

Inverso multiplicativo
(Recíproco), número (menos el cero) que me permita
que el resultado de la multiplicación sea 1 (es dar vuelta
el número). Ej: El Recíproco de 2 es 1/2.
Asociatividad
(a+b)+c= a+(b+c) (a•b)c= a(b•c)

Distributividad
a•(b+c)= a•b+a•c

Conmutatividad
El orden de los factores no altera el producto:
Ejemplo: (2•7) es lo mismo que (7•2).

Multiplos
Se obtienen multiplicando un número por otro número
entero cualquiera.
Ejemplo: 15 es multiplo de 5, porque al multiplicar el 5
con el 3 resulta 15.
 Divisores
Aquellos números que al dividir al número original dan
como resultado otro número entero.

•Subconjuntos de los números enteros:

Primos Pares
Son los números que
solo tienen
divisores (el 1 y el
dos
2n
mismo número).
*El número 1 NO es primo.

Impares Antecesor

2n+1 (n-1)
Sucesor Recuerda:
Siempre antes o

(n+1)
después de un
paréntesis si no hay
signo, es porque se
debe multiplicar.
Números Racionales ¿Cuáles son?
•Fracciones.
•Decimales.
•Mixtos.
* El denominador
• Tipos de Fracciones: cero no existe.

Propias: El denominador es mayor que el numerador.

2
EJemplo: __
5
Impropias: El denominador es menor que el numerador.
8
Ejemplo: __
7

• ¿Cómo paso de Fracción impropia a

número mixto?
Ejemplo:

16 =
__
3 5 1
__
3
Se divide el numerador con el
denominar y el resultado será la parte
16:3=5 entera del número mixto, el
1
denominador se mantiene y por último
la parte restante en la división se
transforma en el numerador de la nueva
fracción.
• MCM en suma y resta de fracciones:
El Mínimo común múltiplo corresponde al menor múltiplo
positivo en común que tienen dos o más números.
Ejemplo:

3 ____
____ 2
+ = Paso 1: Encontrar el MCM entre los
4 5 denominadores 4 y 5.

___________
4 5 2 Vamos descomponiendo
___________
mientras nos planteamos una
2 5 pregunta, ¿Cuántas veces me cabe
el 4 y el 5 en el 2?
(este paso se repite hasta que los
números queden en 1.

Como el 5 no cabe de forma

exacta en el 2, entonces se
repite.
____________

___________
4 5 2
2 5 2
Cuando ya no se pueda descomponer por el
1// 5 5 número que pusimos (en este caso 2),
seguimos con otro que caiga de forma exacta
1// con el número que queda.

Paso 2: Tomamos los números con

los que descompusimos los
denominadores y los
multiplicamos.
2•2•5= 20
El resultado de esta multiplicación es el
MCM.
Paso 3: Amplificamos cada fracción (numerador y
denominador por el número que al multiplicar el
denominador me de el MCM).

3 •5 ____
____ 2 •4 ____
15 + ____ 23
8 = ____
+ =
4 •5 5 •4 20 20 20 //
Paso 4: Sumamos, conservando el
denominador (recuerda revisar si se
puede simplificar).

• MCD (máximo común divisor):

Corresponde al mayor divisor común entre dos o más
números.
Ejemplo:

___________
18 24 36 2
_________

9 12 18 3 se multiplican
3 4 6
MCD= 6
se dividen juntos, si hay un
numero que ya no se pueda
dividir, se termina la
operación.
 DECIMALES
• Finito:
Tiene fin.
◇ Decimal finito a Fracción:

1,7= 17 Paso 1: Se escribe el número

10 completo sin coma.

Paso 2: Siempre va un 1 y se
colocan ceros dependiendo de la
cantidad de ceros después de la
coma.

• Periódico:
No tiene fin y tiene número(s) que se repite(n).
◇ Decimal periodico a Fracción:

_
2,5= 25-2 Paso 1: Se escribe todo y se resta lo
9 que está antes de la coma.

Paso 2: Se escriben nueves

dependiendo de cuantos números
hay después de la coma.
• Semiperiódico:
◇ Decimal Semiperiódico a Fracción:

__
3,543= 3543- 35 Paso 1: Se resta el número
990 completo con la parte que
no es periódica.

Paso 2: Se escriben nueves dependiendo de

cuantos números periodicos hay después
de la coma y se escriben ceros dependiendo
de cuantos números no periódicos hay
después de la coma.

• Operatoria con racionales:

* Los decimales se transforman a Fracción o se resuelven
con normalidad.

Suma y resta
- Fracción de Igual denominador:
5
_ 3 8 4 7 -3
_
+ _= _ _ - _=
7 7 7 // 5 5 5
//
- Fracción de distinto denominador: (se usa MCM)
7
_ 1 2 7 3 4 6
+ _ - _= _ + _ - _ = _= 1
6 2 3 6 6 6 6 //
 Multiplicación y división
La multiplicación se resuelve con normalidad, de lo
posible se debe simplificar:

/ . _/= _
¹2 5 ¹ 1
_
¹ / / ² //
5 4 2

Al dividir se da vuelta la segunda fracción y la

operación se transforma en una multiplicación:

11
_:_4 11
=_ . _
7 = 77
_
5 7 5 4 20 //

• Número mixto a Fracción:

+
5 •
_1 = _______
3
5•3+1
3
= 16
__
3 //
 Porcentajes Porción de un
total representada
como una fracción

a
de 100 partes
iguales

a%= ------
100
• ¿Cómo puedo calcularlos?
Ejemplo: Encuentra el 40% de 180.
(hay dos maneras de calcularlo)

1) Regla de 3:

n° de algo % x= 40 / . 180 / 72
---------------- = ---------- = 72//
//
100 1
180 100

x 40

2) Amplificación:

40/
--------- . 180
/ = 72//
100//
 Números Enteros
Corresponde a una
multiplicación
reiterada de

• Partes de una potencia: números.

a n
Base
Exponente

Se Multiplica la base tantas veces indique el exponente.

Ejemplos:
a) 2³= 2•2•2= 8// b) (-5)³= -5•-5•-5= -125//

c) _
4² 16 d) -3²= 3•3= -9
=_
5 5 //
Se mantiene el signo (-) de afuera.

(
e) 4 ² 16
(
_ =_
5 25 //

Cuando el exponente es impar el resultado conserva el signo de

la base y si es par, el resultado será positivo o cero.
Ejemplos:
8⁰=1// (-9)³= -729 // (-3)²= 9//
• Propiedades de las potencias:

Multiplicación
Igual base y distinto exponente:

a m
• a =a n m+n

Mismo exponente y distintas bases:

m
a m
• b = (a • b)
m

División
Igual base y distinto exponente:

a : a =a
m n m-n

Mismo exponente y distintas bases:

m
a : b = (a : b)
m m
 Potencia de una potncia

(a)= a
n
m m• n

Raíces

• Partes de una raíz:

n
b= a
índice = número
natural mayor que 1.

n
a =b
cantidad subradical

Ejemplos: 16 = ² 16 = 4 (porque 4²= 16)

⁵ 32 = 2 ³ -27 = -3 -9 = No tiene solución en los IR.

* Si el índice es par, lo demás no puede ser negativo.

• Propiedades:

Raíz de una potencia

/
n
a =a
n Ejemplo: ³ 4³/ = 4
2
Ejemplo: ³ 8⁴ =(³ 8 )⁴ = 2⁴= 16//

}
n m
am = (n a ) con a > 0

Multiplicación de raíces de igual índice

n
a. b = a.b
n n

Ejemplo: ³ 4 . ³ 2 = ³ 4. 2 = ³ 8 = 2//

División de raíces de igual índice

n n n
a : b = a:b

Ejemplo: ⁵ 64 : ⁵ 2 = ⁵ 64:2 = ⁵ 32= 2//

 Raíz de una raíz
* No hay
propiedades de
n
m .
n m
suma y resta en
potencias ni

a = a raíces.

Composición y descomposición
Álgebra
 Expresiones algebraicas

• Término algebraico:

Signo

- 4x²y
Coeficiente
Factor Literal
Numérico

Grado de término algebraico

Se suman los exponentes de las letras solamente:

2x² -----> 2°
4⁵ x³y⁴------> 4°

Grado de una expresión algebraico

Se utiliza el exponente mayor:

4x³+ 8x⁶- 4x⁵ ------> 6°

 Eliminación de paréntesis

Multiplicación de polinomios
1. monomio por monomio:

2. monomio por polinomio:

3. polinomio por polinomio:

(2a-4b)(3x-1)= 6ax-2a-12bx+4b//
(Se multiplica término por término).
• Productos Notables:

Cuadrado de binomio Suma por su diferencia

(a+b)²= a²+2ab+b²
(a+b)(a-b)=a²-b²
(a-b)²= a²-2ab+b²

Binomios con un término en común

(x+a)(x+b)= x²+(a+b)x+ab

Cubo de binomio

(a+b)³= a³+3a²b+3ab²+b³

(a-b)³= a³-3a²b+3ab²-b³
• Factorización:

Factor común

ab + ac = a(b + c)

Factor común compuesto

Diferencias de cuadrados

a² - b² = (a + b) (a - b)
Trinomio cuadrado perfecto

Se cumple cuando al
multiplicar por 2 las
raíces de a y b resulta
2ab.

Video explicativo del

Trinomio de la forma ejercicio (minuto 3:00)

6x²+11x-2 /• 6
_

___________ (6x)²+11(6x)-12
=_6(6x²+11x-2)= ______________
6 6

6x= u _u²+11u-12
________= (u+12)
______(u-1)
____
6 6
= (6x+12)(6x-1)=
___________ _ 6(x+2)(6x-1)
/__________
6 6/
= (x+2)(6x-1)//
 Proporcionalidad

• Razón:
antecedente

a
-----
b
consecuente

• Proporción:

a y d = extremos
b y c = medios
a c
----- = ----- a es a b,

b d
como c es a d

En una proporción de dos o más razones existe una constante

K, tal que:

a c e
----- =-----=----- =k
b d f a:c:e=b:d:f
 Teorema fundamental de las proporciones
En toda proporción, el producto entre los extremos es igual
al producto de los medios:

a c
----- =-----
b d
a. d = b . c

• Proporcionalidad directa:
Dos variables (x e y) son directamente proporcionales si el
cuociente entre sus valores correspondientes es constante.

x
----- =k x = variable independiente

y y = variable dependiente

Se puede representar por una recta que pasa por el origen:

(+) = si la flecha va para arriba.

(-) = si la flecha va para abajo.
• Proporcionalidad inversa:
Dos variables (x e y) son inversamente proporcionales
cuando el producto entre las cantidades correspondientes
se mantiene constante.

x . y =k
Se puede representar por una hipérbola:
 Ecuaciones e Inecuaciones

• Ecuaciones de primer grado:

Igualdad que contiene una o más variables.

ax + b = 0
Ejemplo:
7x-4= 3+5x
7x-5x= 3+4
Las X se dejan a un lado y los números
2x= 7
que se encuentran solos al otro lado
x= 7/2

• Inecuaciones de primer grado:

Desigualdades (comparación entre dos cantidades
_ ó _
mediante símbolos: >,<, > <)que contienen términos
algebraicos.

Ejemplos: 6<7 ; _
4 _ _ 4 ; 2m _
5 ; p> < 5n
>
3 7
Una desigualdad puede mantener o cambiar su sentido,
cuando se aplica una operación determinada.
• Propiedades de las Inecuaciones:
1. Suma o resta: No cambia el sentido de la operación.
Ejemplo:

a) 4-3 <
_ 7-3
1 <_ 4

2. Multiplicación o división con números positivos: No

cambia el sentido.
3. Multiplicación o división con números negativos: Sí
cambia el sentido.
Ejemplo: a) 4 < 7 /• -8
-32 >-56

• Intervalos:
Para representarlos se utilizan corchetes "[ , ]".
Tipos: 1) Cerrado: [5,8] -------> se toma el 5 y el 8

(se pintan los círculos porque

_

se incluye el 5 y el 8) - 0 5 8 +

2) Abierto: ]5,8[ (no se toma el 5 ni el 8)

_

- 0 5 8 +
 3) Infinito: [5, [
Siempre debe ser abierto

_
- 0 5 +

4) Semiabierto ó semicerrado: Tiene un corchete abierto y

otro cerrado.

Ejemplos:

a)

b)
 Sistemas de ecuaciones

Conjunto de ecuaciones donde hay más de una incógnita.

Todo sistema se puede escribir como:

ax + by = c
ax + ey = f
• Método alternativo de resolución:
--Reducción--
Se debe despejar una de las incógnitas x ó y
2x + 3y = 9 • 2 (puede ser cualquiera).
x - 2y = 1 • 3

/
4x + 6y = 18
/
3x - 6y = 3 Se reemplaza X en una de las ecuaciones.

7x = 21 3-2y = 1
x= 21:7 3-1 = 2y
x= 3 2/2 = y
1 =y
 Función lineal y afín

• Función afín:

Una función afín tiene la forma y = f(x) = mx + n , con x

perteneciente a los números reales, m y n números reales
distintos de cero. Su dominio y recorrido son todos los
números reales, y su gráfica es una línea recta que no es
paralela a ninguno de los ejes y no pasa por el origen.

La "m" es la pendiente de la función (o de la recta) y

determina la tasa de crecimiento o decrecimiento de la
función. Gráficamente, indica la inclinación de la recta
respecto al eje X; a mayor valor absoluto de la pendiente,
mayor es la inclinación. El signo de la pendiente
determina si la función es creciente (pendiente positiva) o
decreciente (pendiente negativa).

La "n" es el coeficiente de posición de la recta asociada a

una función afín y determina dónde la recta intersecta el
eje Y. Hay cuatro posibles gráficos que pueden representar
una función afín:
 Pendiente positiva (m > 0) Pendiente negativa (m < 0)
Coeficiente de posición positivo (n > 0) Coeficiente de posición positivo (n > 0)

Y Y

X X

Pendiente positiva (m > 0) Pendiente negativa (m < 0)

Coeficiente de posición negativo (n < 0) Coeficiente de posición negativo (n < 0)

Y Y

X X
• Función lineal:
Una función lineal tiene la forma y = f(x) = mx, con x en los
reales y m un número real distinto de cero. Su dominio y
recorrido son todos los números reales, y su gráfica es una
línea recta que no es paralela a ninguno de los ejes y que
pasa por el origen del plano cartesiano.

Al igual que en la función afín, el parámetro m es la

pendiente de la función (o de la recta) y su análisis es el
mismo que se explicó anteriormente. Existen dos posibles
gráficos para representar una función lineal con x en los
reales:

Pendiente positiva (m > 0) Pendiente negativa (m < 0)

Y Y

X X
• Cuadro de resumen de funciones de
comportamiento lineal:

f(x)= ax +b
1) Función afín: No pasa por el (0,0).
Algebraicamente se escribe cómo:
a = es la pendiente (asciende o desciende si se le cambia el
signo).
b = es el coeficiente de posición y no depende de x, corta al eje
y.

2) Función lineal: Pasa por el origen (0,0).

Algebraicamente se escribe cómo :
g(x)= ax
a = es la pendiente.
El coeficiente de posición es cero.
(Mientras más cercano al cero sea el número, la línea se
acerca a la X, si son más grandes se acercan al eje y.

3) Constante: Está arriba, bajo o encima del eje x.

h(x)= b
La pendiente es cero.
b= coeficientedeposición.
Fórmula para modelar una situación de dos variables. Lo que
está encerrado en un círculo es pata calcular la pendiente.

• Ecuaciones de segundo grado/ ecuación

cuadrática:
El máximo exponente es 2. A las soluciones se les llama raíces.

Con a, b y c números reales y

a≠0
ax²+bx+c=0

Resolución:
1) Factorizando:
Ejemplo
(No siempre se puede aplicar
este método)
2) Con fórmula:

Ejemplo

•Propiedades (atajo):
Suma de las soluciones: x1+x2= -b/a
Producto de las soluciones: x1•x2= c/a
 Función cuadrática
Da como resultado una parabola.

• ¿Qué me dicen los coeficientes?

¤ Si el valor de "a" es positivo (a>0), la
parabola es cóncava hacia arriba.
(como una carita feliz)

¤ Si el valor de "a" es negativo (a<0), la

parabola es cóncava hacia abajo.
(como una carita triste) "a" no puede ser cero.

¤ El coeficiente "b" nos indica el traslado de la parabola hacia el

lado derecho o izquierdo.
•Si b=0, entonces la parabola no se traslada para ningún lado,
sino que estará centrada en el eje "y".
•Si los signos son iguales de a y b, la parábola irá hacia la
izquierda.
•Si los signos de a y b son distintos, la parábola irá hacia la
derecha.
++ +-
ab ab
-- -+
¤ "C" nos indicará la intersección con el eje Y.

• Discriminante:
Es el calculo que se obtiene mediante la operación:

= b²-4ac

Tiene múltiples posibilidades:

1) Si su resultado es un número mayor que cero, la
parábola cortará al eje X en dos puntos

2) Si el resultado es igual a cero, significa que la

parabola intersecta al eje x en un único punto.
3) Si es negativo, la parábola no intersecta al eje x.

• Vértice:
Geometría
 Figuras Geométricas

• Áreas y perímetros:
1) Triángulo:

Área= base
_____(b)
___•__altura
______(h)
__
2
L L
h
Perímetro= L+L+b

2) Cuadrado:
a

Área= a²
a a
Perímetro= a+a+a+a

a
 3) Rectángulo:

b
Área= b • a
a a
Perímetro= 2b+2a

3) Rombo: (equivalente a un cuadrado)

a h a
Área= a • h
a
Perímetro= a+a+a+a

4) Romboide: (equivalente a un rectángulo)

a
n
h
n
Área= a • h
a
Perímetro= a+n+a+n
 5) Trapecio: Tiene un par de lados opuestos paralelos.

b
Área= _(a+b)h
_______
h 2
Perímetro= contorno

• Tipos de triángulos:
a) Según sus lados:

Escaleno
(tres lados distintos) Isósceles
(dos lados iguales)

Equilatero
(Tres lados iguales de y
tres ángulos de 60°)
 b) Según sus ángulos:

ACUTÁNGULO RECTÁNGULO OBTUSÁNGULO

= = =
Ángulos agudos 1 recto y 2 agudos 1 obtuso y 2 agudos

Relación de Ángulos con los Triángulos

• Teorema de Pitágoras:
Hi
po

c² = a²+b²
Cateto

te
nu
sa

Cateto
• Segmentos circulares:

<---Diametro--->
2r = d

]
radio

Área= (r • )• r= r²•
Perímetro= 2 • r • = d•

Cuerpos Geométricos
 Transformaciones
Isométricas

•Vectores:
Un vector es un segmento orientado desde un punto inicial u
origen hasta uno final o extremo. Y se denota por:
-Módulo: corresponde a la longitud del vector.
-Dirección: está dada por larecta que contiene al
vector.
-Sentido: orientación dadadesde el origen al
punto final.

-Magnitud:

Para calcular el módulo,

dirección o sentido se
utiliza esta fórmula y los
datos se pueden sacar de la
siguiente forma en un
plano cartesiano:
•¿Qué son las transformaciones
isométricas?
Las transformaciones isométricas son operaciones que se
aplican a figuras geométricas en el plano cartesiano y que
conservan las distancias y ángulos entre los puntos de
esas figuras. Es decir, las figuras resultantes de estas
transformaciones son congruentes a las figuras
originales. Las principales transformaciones isométricas
son:

1) Traslación:
2) Rotación:

3) Reflexión:
Probabilidad y
Estadística
 Tablas y Gráficos

•Tablas de frecuencia absoluta y relativa:

Permiten mostrar de forma ordenada los datos
estadísticos.
Ejemplo:
Los siguientes datos corresponden a la cantidad de
hermanos que tiene un grupo de personas:

Cantidad de N° de personas
hermanos
0 5
1 3
2 5
3 2

- Frecuencia absoluta: Es el número de veces que se repite

un dato.
- Frecuencia relativa: Es el cociente entre la frecuencia
absoluta y el total de datos. La suma del resultado de las
divisiones debe resultar 1.
 Cantidad de Frecuencia Frecuencia
hermanos Absoluta Relativa
O 5 0,33 ----> 5:15= 0,33

1 3 0,2

2 5 0,33
3 2 0,13

Total 15 1

•Tipos de gráficos:
 Medidas de tendencia
central

• Moda:
Es el valor que más veces se repite

•Media:
Corresponde a la suma de todos los datos dividido por el
total (promedio).

•Mediana:
Es el valor que está en medio de todos los datos. Si el
resultado es un número entero, la mediana estará entre
ese valor y el siguiente, pero si son dos números diferentes
se debe sacar la media entre esos dos valores.

Rango

Es la diferencia (resta) entre el dato mayor y el dato menor.

 Medidas de posición

• Cuartiles:
Los cuartiles dividen un conjunto de datos en cuatro
partes iguales. Existen tres cuartiles principales.
Se reprentan con la letra: Q

• Formula para la posición del cuartil K si la cantidad de

datos (n) es impar:
 • Formula para la posición del cuartil K si la cantidad de
datos (n) es par:

• Percentiles:
Los percentiles dividen un conjunto de datos en 100 partes
iguales. Se representa con la letra P.
• Formula para la posición del cuartil K si la cantidad de
datos (n) es impar:

• Formula para la posición del cuartil K si la cantidad de

datos (n) es par:
• Diagrama de caja:
Rango intercuartil: Q1-Q3

Dato menor Q1 Q2 Q3 Dato mayor

(es el dato (25% de los (50% de los (75% de los (es el dato
de menor datos). datos). datos). de mayor
valor). valor).

Reglas de las
Probabilidades
• Suma o Adición (unión):
Para eventos mutuamente excluyentes (eventos que no
pueden ocurrir simultáneamente):

Para eventos no mutuamente excluyentes (eventos que

pueden ocurrir simultáneamente):
• Multiplicación (intersección):
Para eventos independientes:

Para eventos dependientes: