U1 s5 s6 Maximos y Minimos

CURSO: CLCULO III
Tema
Mximos y mnimos
Docentes: Juan Ponte
EJERCICIOS PROPUESTOS: MXIMOS Y MNIMOS SIN RESTRICCIONES

1. Para las siguientes funciones calcule los mximos y mnimos en caso de
existir:
2
2
a) f ( x, y) 3 x 2 xy y 8 y
3
2
2
2
b) f ( x, y ) y x y 2 x 2 y 4 y 8
1 x
c) f ( x, y) e
2 y2
3
3
2
2
d) f ( x, y ) x y 3x 6 y 3 x 12 y 7
2. El beneficio que se obtiene produciendo x unidades del modelo A e y
unidades
del
modelo
2
se
aproxima
mediante
el
modelo
p ( x, y ) 8 x 10 y 0.001( x xy y ) 10000 . Halle el nivel de produccin que
reporta un beneficio mximo

3. El rea de una caja rectangular sin tapa es de
108u 2 . Halle que
dimensiones debe tener para conseguir el mximo volumen

4. Una empresa fabrica dos productos. Los ingresos totales que origina la
venta de x1 unidades del primero y de x2 unidades del segundo son
R 5 x12 8 x22 2 x1x2 42 x1 102 x2 . Halle x1 y x2 de manera que los ingresos
sean mximos.
5. Una placa plana tiene la forma del crculo de centro (0,0) y radio 1. La
placa, incluyendo el borde, se calienta de manera que la temperatura en

2
2
un punto ( x, y ) es T ( x, y ) x 2 y x . Determine los puntos con mayor y
menor temperatura de la placa, as como la temperatura en cada uno de
ellos
6. Una empresa fabrica velas en dos lugares. El costo de produccin de x1

2
unidades en el lugar 1 es C1 0,02 x1 4 x1 500 ; y el costo de produccin de
x2 unidades en el lugar 2 es C2 0,05 x2 2 4 x2 275 . Las velas se venden a
$15 por unidad. Halle la cantidad que debe producirse en cada lugar para
aumentar al mximo el beneficio.

7. En un campeonato de triatln por equipos se sitan los boxees en los
puntos A = (0, 0), B = (0, 1) y C = (1, 0) del borde de un lago. Cada equipo
formado por 3 triatletas es conducido en barco a un punto D del lago
elegido por el equipo, desde donde se lanzaran al agua para nadar cada
uno de los 3 a su zona de boxees (las 3 distintas, siendo A, B y C) y coger
a continuacin la bici para iniciar el siguiente tramo. Sabiendo que las
habilidades nadadoras de los 3 miembros de tu equipo son similares,
donde les aconsejaras que eligieran como punto D para minimizar el
tiempo total?
EJERCICIOS PROPUESTOS: MXIMOS Y MNIMOS CON

RESTRICCIONES
2
2
2
2
8. Halle los mximos y mnimos de f ( x, y ) 25 x y sujeto a x y 4 y 0
2
2
2
9. Halle los valores extremos de f ( x, y, z ) x xy y 3z sujeto a x 2 y 4 z 60
10. Calcule el valor mnimo de

2 x 3 y 4 z 49
f ( x, y, z ) 2 x 2 y 2 3 z 2 sujeta a la restriccin
11. Para surtir una orden de 100 unidades de su producto, una empresa desea
distribuir la produccin entre sus dos plantas, planta 1 y planta 2. La

2
funcin de costo est dada por: C f (q1, q2 ) 0.1q1 7q1 15q2 1000 donde
q1 , q2 son los nmeros de unidades producidas en las plantas 1 y 2
respectivamente. Cmo debe distribuirse la produccin para minimizar

los costos?
12. Una empresa de cartonaje fabrica cajas rectangulares de manera que la
suma de la altura de la caja y el permetro de la base es de 96 cm. Halle

las dimensiones de la caja de mximo volumen que puede ofrecer dicha
empresa.
13. Las latas de un refresco tienen una capacidad de 1/3 de litro. Suponiendo
que son cilndricas, calcule las dimensiones de manera que se puedan

construir con la menor cantidad posible de metal. (Nota: 1 litro equivale a
1 decmetro cbico)
14. Un disco circular tiene la forma de una regin acotada por el crculo
x 2 y 2 1 . Si T
es la temperatura de cualquier punto ( x, y ) del disco y
T 2 x 2 y 2 y , encuentre los puntos ms calientes y ms fros en disco
2
2
15. La funcin de produccin de una empresa es f (l , k ) 12l 20k l 2k
el
l
k
costo de
y
para la compaa es de 4 y 8 por unidad respectivamente.
Si la empresa quiere que el costo total de los insumos sea 88, encuentre la
produccin mxima posible sujeta a este control de presupuesto.
16. Se sabe que
en la produccin de cierto artculo se usa la siguiente ley
f ( x, y ) x ( y 2) 2 en la que x e y estn dados en kilogramos y son los

2
insumos necesarios que estn relacionados segn la ecuacin x 1 y . Se

pide averiguar para que valores de x e y la produccin es mxima y para
que valores es mnima.
17. Para fabricar determinadas vigas metlicas se usa aluminio, hierro y
magnesio. La cantidad de vigas que se produce usando x toneladas de

aluminio, y toneladas de hierro y z toneladas de magnesio es Q( x, y, z ) xyz .
Si el costo del aluminio es de 6 euros por tonelada, el del hierro es de 4
euros por tonelada y el del magnesio de 9 euros por tonelada, Cuntas
toneladas de cada material deben usarse para producir 1000 vigas al
menor coste posible?

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EJERCICIOS PROPUESTOS: MXIMOS Y MNIMOS SIN RESTRICCIONES

2. El beneficio que se obtiene produciendo x unidades del modelo A e y

p ( x, y ) 8 x 10 y 0.001( x xy y ) 10000 . Halle el nivel de produccin que

reporta un beneficio mximo

108u 2 . Halle que

dimensiones debe tener para conseguir el mximo volumen

R 5 x12 8 x22 2 x1x2 42 x1 102 x2 . Halle x1 y x2 de manera que los ingresos

placa, incluyendo el borde, se calienta de manera que la temperatura en

6. Una empresa fabrica velas en dos lugares. El costo de produccin de x1

x2 unidades en el lugar 2 es C2 0,05 x2 2 4 x2 275 . Las velas se venden a

aumentar al mximo el beneficio.

EJERCICIOS PROPUESTOS: MXIMOS Y MNIMOS CON

10. Calcule el valor mnimo de

distribuir la produccin entre sus dos plantas, planta 1 y planta 2. La

q1 , q2 son los nmeros de unidades producidas en las plantas 1 y 2

respectivamente. Cmo debe distribuirse la produccin para minimizar

suma de la altura de la caja y el permetro de la base es de 96 cm. Halle

que son cilndricas, calcule las dimensiones de manera que se puedan

es la temperatura de cualquier punto ( x, y ) del disco y

T 2 x 2 y 2 y , encuentre los puntos ms calientes y ms fros en disco

en la produccin de cierto artculo se usa la siguiente ley

f ( x, y ) x ( y 2) 2 en la que x e y estn dados en kilogramos y son los

insumos necesarios que estn relacionados segn la ecuacin x 1 y . Se

magnesio. La cantidad de vigas que se produce usando x toneladas de

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