Taller 1 programación lineal

Presentado : juan sebastian escobar

1.     La fábrica de Hilados y Tejidos "Manizales" requiere fabricar dos tejidos de

calidad diferente T y T’; se dispone de 500 Kg de hilo a, 300 Kg de hilo b y 108 Kg
de hilo c. Para obtener un metro de T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr
de b y 72 gr de c; para producir un metro de T’ por día se necesitan 200 gr de a,
100 gr de b y 27 gr de c.

El T se vende a $4000 el metro y el T’ se vende a $5000 el metro. Si se debe

obtener el máximo beneficio, ¿cuántos metros de T y T’ se deben fabricar?

Solución:

Variable decisión:

X1 : cantidad de metros de t a fabricar

X2 : candidad de metros de t` a fabricar

Zmax : 4000x1 + 5000x2

Restricciones:

Pasamos de kg a g

125x1 + 200x2 <= 500.000 Hilo a

150x1 + 100x2 <= 300,000 Hilo b

72x1 + 27x2 <= 108.000 Hilo c

X1,X2 >= 0

2. La empresa "Caldas" tiene un sistema de producción constituido por tres

secciones, a través de las cuales elabora dos productos. En la primera sección lo
más que se pueden procesar son 300 unidades del artículo uno o 400 del producto
dos diariamente; la sección segunda fabrica como mínimo 350 unidades del
producto uno o 450 unidades del producto dos por día. La sección tercera puede
elaborar hasta 400 unidades del artículo uno o 500 unidades del artículo dos
diariamente.

Si los productos uno y dos generan una utilidad de $1000 y $700 respectivamente.
¿Cuántos productos de cada uno se deben fabricar para maximizar la utilidad?

Plantear el anterior problema como un modelo de Programación Lineal.

 Variables de decisión:

X: Cantidad del producto 1 a fabricar por dia

X2: Cantidad del artículo 2 a fabricar por dia

F.O: Max Z : 100x1 + 700x2

RESTRICCIONES:

4x1 + 3x2 <= 1200

9x1 + 7x2 >=3150

5X1 + 4x2 <=2000

x1,x2 >= 0

3. En una planta, la demanda estimada para el próximo año es la siguiente:

Primer trimestre: 15000 unidades de A.

Segundo       trimestre: 25000 unidades de A.

Tercer trimestre: 40000 unidades de A.

Cuarto trimestre: 20000 unidades de A.

En el almacén se cuenta con 10000 unidades, al iniciarse el período v se desea

disponer de un inventario de 5000 unidades al finalizar el año. La producción
durante el último trimestre del período anterior fue de 5000 unidades.

Si el costo de aumento de la producción C1= $50 por unidad, el costo de

disminución de la producción C2= $30 por unidad y el costo de almacenaje C3=
$20 por unidad.

¿Qué cantidad deberá producirse en cada trimestre para minimizar costos de

manejo de producción?

Plantear este problema como un modelo de Programación Lineal

Solución

Variables de decisión =

Xa: producción durante el trimestre a

 Ia: inventario al finalizar el trimestre a

C1: costo aumento de producción

C2: costo de disminución de producción

C3. costo de almacenamiento de producción

Da: demanda del trimestre a

Aa: unidades adicionales producidas sobre el nivel del trimestre a - 1

Ra: unidades en que el nivel de producción disminuyo sobre el trimestre a - 1

Io: 10000 unidades a diciembre 31 de 1997 inventario

I4 5000 unidades a Diciembre 31 de 1998 Inventario.

Xo: 5000 unidades que se producen en el cuarto trimestre de 1997.

F.O: minZ: (20*5000)+ C1(A1+A2+A3+A4)+C2(R1+R2+R3+R4)+C3(I1+I2+I3+I4)

RESTRICCIONES:

Io +x1 >= D1

I1 +x2 >= D2

I2 +x3 >= D3

I3 +x4 >= D4

X1 – Xo = A1-R1

X2 – X1 = A2-R2

X3 – X2 = A3-R3

X4 – X3 = A4-R4

Aa,Ra,Xa >= 0

4.     Al Director Financiero de la Corporación Financiera Nacional le han dado $50000000

para que invierta en un período de tres años. El Director ha determinado que existen tres
oportunidades de inversión disponibles en el momento y que son las siguientes: la
inversión A rinde el 18% anual; la inversión B rinde el 12% el primer año y el 21% los años
siguientes y la inversión C rinde el 55% al final del tercer año y no se puede volver a
invertir.
 También ha encontrado que al comienzo del segundo año existe otra oportunidad
de inversión, la D que produce 25% al final del tercer año y por una sola vez. El
Director Financiero desea saber cuánto dinero invertir, dónde y cuándo en tal
forma que la cantidad de dinero disponible al inicio del cuarto año sea máximo.

Plantear el anterior problema como un modelo de Programación Lineal.

Solución:

Variable de decisión:

Xij:cantidad de unidades monetarias invertiadas en el año i en la inversión j

Donde i= (1,2,3) , donde j=(A,B,C,D)

F.O:
MaxZ=50.000.000+0,18(XA1+XA2+XA3)+(0,12XB1+0,21XB2+0,21XB3)+0,55C1+0,25D2

RESTRICICONES:

XA1+XA2+XA3 <= 50.000.000

-0,18XA1+XA2-0,12XB1+XB2+XC1+XD2 < 50.000.000

-0,18XA1-0,18XA2-0,12XB1-0,21XB2+XA3+XB3+XC1+XD2 < 50.000.000

Xij>= 0

5. Suponga que una gallina toma dos semanas para poner doce huevos para la
venta o para empollar cuatro huevos. ¿Cuál es el mejor programa de poner
huevos y empollar si al final del cuarto período todas las gallinas y pollos se
venden a $12000 cada uno, los huevos a $200 cada uno? Asuma:

A. Un inventario inicial de cien huevos y cien gallinas.

B. Cien gallinas y cero huevos.

C. Cien gallinas y cero huevos y también un inventario final de cien gallinas y cero
huevos.

Plantear el anterior problema como un modelo de Programación Lineal.

Solución:
Variables de decisión:

Xij: cantidad de gallinas en el periodo i y en la actividad j

Donde i= (1,2,3,4) j;(1,2) 1=(poner) 2=(empollar)

A) Para un inventario inicial de cien huevos y cien gallinas

maxZ=12000(100+200(X12+X22+X32+X42))+200(100-4X12+12X21-4X32+12X31-
4X42+12X41)

SUJETO a:

Primer periodo

X11+x12<=100

4x21<=100

Segundo periodo

X21+x22<=100

-12x11+4x12+4x22<=100

Tercer periodo

X31+x32<=100

-12x11+4x12-12x21+4x22+4x32<=100

Cuarto periodo

X41+x42<=100

-12x11+4x12-12x21+4x22-12x31+4x32+4x42<=100

Xij>=0

B) maxZ:1200(100+200(x22+x32+x42))+200(12x11-4x22+12x21-4x32+12x31-
4x42+12x41)

SUJETO a:

Primer periodo

X11+X12 <=100

Segundo periodo
 X21+X22<=100

-12X11+4X22<=0

Tercer periodo

X31+X32<=100

-12X11-12X21+4X32<=0

Cuarto periodo

X41+X42<=100

-12X11-12X21+4X22-12X31+4X32+4X42<=0

Xij >= 0

C) maxZ:800(100+200(x22+x32+x42))+800*100

SUJETO a :

Primer periodo

X11+X12<=100

X21+X22<=100

-12X11+4X22<=0

X31+X32<=100

-12X11-12X21+4X22+4X32<=0

X41+X42<=100

-12X11-12X21+4X22-12X31+4X32+4X42<=0

12(x11+x21+x31+x41)-200(x22+x32+x42)=100

Xij>=0

6. Los príncipes de Serendipity se fueron en un pequeño viaje. Ellos no podían llevar

muchas maletas; Más de trescientos libras las ponían a pensar. Planearon hasta el
centavo. Cuando regresaron a Ceilán Descubrieron que sus dineros estaban a
punto de acabar. Cuando, para su alegría, el príncipe Guillermo encontró una pila
de cocos en el suelo.
 "Cada uno nos producirá sesenta rupias", dijo el príncipe Ricardo cuando pisó una
piel de león.

"Miren", gritó el príncipe Roberto. Cuando observó más pieles de león debajo del
árbol. "Estas pieles nos pueden producir hasta trescientas rupias cada una, si las
podemos llevar hasta la orilla del mar".

Cada piel pesaba quince libras y cada coco cinco, pero haciendo de tripas corazón
pudieron llevar todo a la orilla.

La embarcación de regreso a la isla era pequeña, Quince pies cúbicos de equipaje

- eso era todo.

Cada piel de león tomaba un pie cúbico, mientras que ocho cocos ocupaban el
mismo espacio. Con todo el equipaje se hicieron a la mar y en el viaje calcularon lo
que sería su nueva riqueza.

"Eureka", gritó Roberto. Nuestra fortuna es tan grande, que no existe otra forma de
retornar así.

Con cualquier otra piel o coco que hubiéramos traído ahora seríamos más pobres.
Y no sé qué le escribiré a mi amigo Horacio en Inglaterra, seguramente sólo él
sabrá apreciar nuestro Serendipity.

Plantear el anterior problema como un modelo de Programación Lineal.

Solución:

Variable de decisión:

X1= catidad de cocos trasportados en el bote

X2= cantidad de pieles de león transportados en el bote

F.O: maxZ=60x1+300x2

Sujeto a :

5x1+15x2<=300

1/8x1+x2<=15

X1,x2>=0

7.

7.     Un barco tiene tres bodegas: Proa, popa y centro; los límites de capacidad para esas
tres bodegas son:
BODEGAS PESO ( Ton ) VOLUMEN ( FT3 )

Proa 2000 100.000

Popa 1500 300.000

Centro 3000 135.000

Se ofrecen las siguientes cargas y los responsables del barco pueden aceptar todo o
parte de cada carga:

CARGAS CANTIDAD (Ton) VOLUMEN (Ton/ FT3 ) UTILIDAD( $ / Ton )

A 6000 60 6

B 4000 50 8

C 2000 25 5

Buscando conservar el equilibrio en el barco, el peso de cada bodega debe ser

proporcional a su capacidad en toneladas. ¿Cómo se debe repartir la carga buscando
maximizar las ganancias totales?

Plantear el anterior problema como un modelo de Programación Lineal.

SOLUCION:

VARIABLES DE DECISION:

Ax= Cantidad de toneladas de carga A a almacenar en proa.

Ay= Cantidad de toneladas de carga A a almacenar en popa.

Az= Cantidad de toneladas de carga A a almacenar en centro.

Bx= Cantidad de toneladas de carga B a almacenar en proa.

By= Cantidad de toneladas de carga B a almacenar en popa.

Bz= Cantidad de toneladas de carga B a almacenar en centro.

Cx= Cantidad de toneladas de carga C a almacenar en proa.

Cy= Cantidad de toneladas de carga C a almacenar en popa.

Cz= Cantidad de toneladas de carga C a almacenar en centro.

Función Objetivo
Zmax = 6(Ax + Ay + Az) + 8(Bx + By + Bz) + 5(Cx + Cy + Cz)

Restricciones
Ax + Bx + Cx <= 2000

Ay + By + Cy <= 1500

Az + Bz + Cz <= 3000

Ax + Ay + Az <= 6000

Bx + By + Bz <= 4000

Cx + Cy + Cz <= 2000

60Ax + 50Bx + 25Cx <= 100000

60Ay + 50By + 25Cy <= 300000

60Az + 50Bz + 25Cz <= 135000

Restricciones de equilibrio del barco

(Ax + Bx + Cx) – ((2000(Ay + By + Cy))/1500) = 0 Relación de peso proa – popa

(Ax + Bx + Cx) – ((2000(Az + Bz + Cz)/3000) = 0 Relación de peso proa – centro

Ax,Ay,Az,Bx,By,Bz,Cx,Cy,Cz >= 0

8. Un fabricante de electrodomésticos produce cuatro modelos de lavadoras L1, L2, L3 y

L4. Estos aparatos constan fundamentalmente de un tambor metálico recubierto con una
carcasa, el cual gira por efecto de un motor eléctrico controlado por un microprocesador
electrónico.

Los modelos L1 y L3 son lavadoras con menor capacidad de carga (4 kgr), necesitando 5
mt2 de material metálico, mientras que los modelos L2 y L4 que cargan 10 kgr, requieren
8,5 mt2 de material metálico. La cantidad de material metálico disponible es de 10000
mt2.

Los modelos L1 y L2 llevan un motor denominado M1 y un microprocesador P1; los

modelos L3 y L4 tienen un motor M2 y un microprocesador P2. El motor M1 es menos
potente que el M2 y el microprocesador P1 tiene menos programas que el
microprocesador P2; el material necesario para fabricar los motores puede obtenerse
prácticamente sin limitación.

Los motores se ensamblan en una nave de montaje con una capacidad de trabajo de
3000 horas, siendo requeridas una hora para montar un motor M1 y 1,5 horas para
ensamblar un motor M2. En cuanto a los microprocesadores se pueden fabricar en la
propia empresa en una sección de la planta de montaje o se pueden encargar a un
fabricante de material electrónico. En el primer caso, compiten con la fabricación de los
motores M1 y M2 necesitando 0,3 horas la fabricación de P1 a un costo de $ 100000 y
0,75 horas la fabricación de P2 con un costo de $ 180000. En el segundo caso, el
vendedor puede suministrar cualquier cantidad de P1 y P2 a un precio de $ 180000 y $
360000 respectivamente.

Finalmente, las lavadoras se montan en otra nave de acabado con capacidad de 5000
horas, siendo preciso un tiempo de 1,5 horas para el modelo L1, 2,3 horas para el modelo
L2, 3 horas para el modelo L3 y 4,2 horas para el modelo L4. Para satisfacer a todos los
segmentos, el fabricante decide que la producción mínima de cada modelo sea de 300
unidades. Como dato adicional se conoce, según informe del departamento de mercadeo,
que la demanda de modelos de mayor capacidad es siempre superior a la demanda de
los modelos de menor capacidad, por lo que la producción combinada de los modelos L2
y L4 debe ser superior a la producción combinada de los modelos L1 y L3.

La utilidad proporcionada es de $160000 para el modelo L1, $170000 para el modelo L2,
$180000 para el modelo L3 y $200000 para el modelo L4. Plantear un modelo de
Programación Lineal para la planificación de la producción de las lavadoras teniendo
como objetivo la maximización de los beneficios.

Solución:

X1= numero de lavadoras L1 a fabricar

X2= cantidad de clavadoras L1 a producir
X3=numero de lavadoras L3 a fabricar
X4=cantidad de lavadoras L4 a producir
X5=numero de microprocesadores P1 a fabricar en la empresa
X6= cantidad de microprocesadores P1 a comprar.
X7=numero de microprocesadores P2 a producir en la empresa
X8=cantidad de microprocesadores P2 a comprar
X9=numero de motores M1 a fabricar
X10= cantidad de motores m2 a producir

F.O: MaxZ=160000x1+170000x2+180000x3+200000x4+100000x5-180000x6-180000x7-
360000x8

Sujeto a:

5x1+8,5x2+5x3+8,5x4 >=10000
0,3x5+0,75x7+x9+1,5x10>=3000
1,5x1+2,3x2+3x3+4,2x4>=5000
-x1-x2+x9>=0
-x3-x4+x10>=0
X1+x2-x5-x6<=0
X3+x4-x7-x8<=0
-x1+x2-x3+x4<=0
X1>=300
X2>=300
X3>=300
X4>=300

X1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10 >= 0