Trabajo Optimizacion.

1.
Se desea construir una caja de base cuadrada y abierta por la parte superior, utilizando para ello
una lmina cuadrada de 1,20 m. de lado, recortando un cuadrado pequeo en cada esquina y
doblando los bordes hacia arriba. Determinar la longitud de los lados para obtener una caja de
volumen mximo.
Solucin
Se construye la figura segn el enunciado.
1,2m
x
1,2-2x
1,2m
1,2-2x
x
x
El volumen de la caja es:
1,2m
2x
1,2m
2x
V ( x) (1, 2 2 x) 2 x
Derivar la funcin volumen e igualar a cero para encontrar el valor de x que maximice al
volumen. Es decir:
V '( x)
12
(5 x 1)(5 x 3) 0
25
Valores crticos:
1 3
;
5 5
Ubicar los puntos crticos en la recta real:
+
1/5
+
3/5
1
x m 0, 2m
5
3
x m 0, 6m
5
Del grfico se concluye que

maximiza al volumen y
minimiza al volumen. Por lo tanto, las dimensiones de la caja que tiene volumen mximo es:
0,8m
0,2m
0,8m
Fig. d
2. Una ventana rectangular coronada por un semicrculo, tiene un permetro dado. Determinar las
dimensiones que dejan pasar el mximo de luz.
Solucin
Se construye el grfico segn el enunciado en un plano cartesiano:
Y
y
El permetro: P = longitud de la semicircunferencia + los tres lados del rectngulo.
P ( 2) x
2
P = x + 2x + 2y ; x > 0, y > 0
Que pase la mxima luz significa que el rea de la ventana debe ser de rea mxima. Entonces el
rea total es:
rea total = rea del semicrculo + rea del rectngulo
A( x )
x2
x2
P ( 2) x
x2
2 xy
2 x[
] Px
2x2
2
2
2
2
Derivando e igualando a cero se tiene:
A '( x ) P x 4 x 0 x
P
4
Use el criterio de la segunda derivada para determinar si el valor crtico de la primera derivada
genera el valor mximo de la funcin rea. Es decir:
A ''( x) 4 0 A(
P
)
4
Por lo tanto, las dimensiones de la venta son:
x
Radio del crculo:
P
4
es valor mximo de la funcin rea.
2x
Base del rectngulo:
Altura
P ( 2) x
2P
4
del
P ( 2)
P
( 4)
yx
Altura de la ventana:
rectngulo:
P( 4) ( 2) P
P
2( 4)
( 4)
2P
4
3. Se necesita disear una lata cilndrica con radio r y altura h. La base y la tapa deben hacerse de
cobre, con un costo de 2 cntimos / centmetro cuadrado. El lado curvo se hace de aluminio, que
cuesta 1 cntimo/centmetro cuadrado. Buscamos las dimensiones que maximicen el volumen de
la lata. La nica restriccin es que el costo total de la lata sea
300
cntimos.
Solucin
Base y Tapa
Lado Lateral
r
2 rh
4r
Costo total = Costo 1 + Costo 2
150 2r 2
300 4 r 2 rh h
r
2
.. ( 1 )
Volumen de la lata es:
150 2r 2
V (r ) r h r [
] 2 (75r r 3 )
r
2
Derivar e igualar a cero para encontrar el valor de x que maximice al volumen de la lata. Es
decir:
V '( x ) 2 (75 3r 2 ) 0 r 5
La raz negativa se descarta pues el radio nunca es negativo.
Por el criterio de la segunda derivada se tiene:
V ''( x) 12 r 0 V (5)
es volumen mximo.
Por lo tanto, las dimensiones de la lata son:
h 20
Altura:
; Radio:
r 5
4. Se va a construir un embalaje con tapa para contener 2 m 3 de naranjas. ste se va a dividir en

dos partes mediante una separacin paralela a sus extremos cuadrados. Encuentre las
dimensiones del embalaje que requiere la menor cantidad de material.
Solucin
rea total:
A( x; y ) 3x 2 4 xy ... (1)
x
x
Volumen:
V ( x; y ) x 2 y 2 y
Luego, (2) en (1) se tiene el rea:
A( x ) 3x 2 4 x
2
x
3x 2
2
x2
... (2)
8
x
Derivar e igualar a cero.
A '( x ) 6 x
8
x
6 x3 8
x
0 x
2
1,10
6
Derivar por segunda vez.
A ''( x) 6
Entonces, por el criterio de la segunda derivada,

Por lo tanto, las dimensiones del embalaje son:
y
largo
36
2
x
, ancho
16
x3
2
A( 3 )
6
2
1,10
6
es rea mnima.
y alto
2
1,10
6
1. Tres fbricas estn situados en los vrtices de un tringulo issceles. Las

fbricas B y C que distan entre si de 16 Km estn situados en la base,
mientras que la fbrica A dista 10 Km de la base del tringulo. A qu
distancia de A, a lo largo de la altura, se debe colocar una instalacin de

bombeo de agua de manera que se emplee la menor longitud de caeras
para abastecer de agua las tres fbricas?
Solucin:
Sea
la distancia buscada desde A, hasta M. Hagamos un grfico del
problema,
N 8
Usando el teorema de Pitgoras se encuentra la hipotenusa del tringulo

rectngulo
ABC
BMN , esto es,
64+(10x )2
es issceles, es decir el ngulo
adems
BAN
L= AM + BM + CM
El objetivo es minimizar
L=x +2 64 +(10x)2
L' =1
BC , de
BC .
la longitud de las caeras, para abastecer de agua a las tres
fbricas,
Derivando
C ,
es congruente con el tringulo
CAN . Por tanto N es punto medio del lado
B es igual al ngulo
AN , es altura, lo cual cae perpendicularmente al lado
esto se tiene que el tringulo
Sea
. Adems como el tringulo
L , tenemos
2(10x)
64+(10x )2
Igualamos a cero para optimizar:
2 ( 10x )
64+( 10x )
=0 1=
2 ( 10x )
64 +( 10 x )
64+ ( 10x )2 =2(10x )
10x >0
Podemos elevar al cuadrado a ambos lados de la igualdad, pues

, representa longitud (ver grfico), entonces:
64+ (10x )2=4 (10x)2 64=3 ( 10x )2
64
64
64
2
= ( 10x )
=10x x=10
3
3
3
El valor que nos interesa es
x=10
64
x 5.4
3
Para asegurar que nos genera un mnimo, usamos el criterio de la primera

derivada, para esto usamos puntos cercanos al 5.4, estos sern 5 y 6,
luego reemplazamos en la primera derivada y analizamos en la recta real:
+
5.4
El cambio de menos a ms garantiza que el valor para
x=5.4
genera un
mnimo, por lo tanto la instalacin de bombeo se debe colocar a

del vrtice
A .
5.4 km

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1.

Del grfico se concluye que

Derivando e igualando a cero se tiene:

Por lo tanto, las dimensiones de la venta son:

es valor mximo de la funcin rea.

Costo total = Costo 1 + Costo 2

Por lo tanto, las dimensiones de la lata son:

4. Se va a construir un embalaje con tapa para contener 2 m 3 de naranjas. ste se va a dividir en

Luego, (2) en (1) se tiene el rea:

Derivar e igualar a cero.

Derivar por segunda vez.

Entonces, por el criterio de la segunda derivada,

1. Tres fbricas estn situados en los vrtices de un tringulo issceles. Las

distancia de A, a lo largo de la altura, se debe colocar una instalacin de

la distancia buscada desde A, hasta M. Hagamos un grfico del

Usando el teorema de Pitgoras se encuentra la hipotenusa del tringulo

BMN , esto es,

es issceles, es decir el ngulo

la longitud de las caeras, para abastecer de agua a las tres

es congruente con el tringulo

CAN . Por tanto N es punto medio del lado

AN , es altura, lo cual cae perpendicularmente al lado

esto se tiene que el tringulo

. Adems como el tringulo

Igualamos a cero para optimizar:

64+ ( 10x )2 =2(10x )

Podemos elevar al cuadrado a ambos lados de la igualdad, pues

64+ (10x )2=4 (10x)2 64=3 ( 10x )2

El valor que nos interesa es

Para asegurar que nos genera un mnimo, usamos el criterio de la primera

El cambio de menos a ms garantiza que el valor para

mnimo, por lo tanto la instalacin de bombeo se debe colocar a

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