Tarea para 16 Septiembre - Terminar de Decidir Caso Propuesto de Prueba de Hipotesis y Subir Dos Casos Aplicados

Universidad de Guayaquil
Facultad de Ciencias Matemáticas
Carrera Software - Cátedra Estadísticas II
TAREA PARA 16 SEPTIEMBRE - TERMINAR DE

DECIDIR CASO PROPUESTO DE PRUEBA DE
HIPOTESIS Y SUBIR DOS CASOS APLICADOS
Fecha de entrega: viernes, 15 septiembre del 2022.
Docente: Ing. Lopezdominguez Rivas Leili Genoveva, Msc
Curso: SOF-S-MA-4-9
Estudiante: Ligia Yanina Morán Mosquera

Tabla de Contenido
Introducción ...................................................................................................................... 2
Función masa de probabilidad .......................................................................................... 2
Función de distribución .................................................................................................... 3
Expresión 1: Función de distribución ........................................................................... 3
Expresión 2: F(X) ......................................................................................................... 3
Expresión 3: Función de distribución conocidos los valores pi ................................... 3
Expresión 4: Función de distribución en la v.a. continua ............................................. 4
Expresión 5: Función de distribución y función de densidad ....................................... 4
Expresión 6: Valores extremos de la función de distribución ...................................... 4
Distribución Binomial ...................................................................................................... 4
Función masa de probabilidad .......................................................................................... 5
Función de distribución .................................................................................................... 6
Cuantiles de la distribución binomial ............................................................................... 6
Referencia ......................................................................................................................... 6
Introducción
En la teoría de la probabilidad existen muchos modelos teóricos que resultan de utilidad
en una gran variedad de situaciones prácticas, ya que sirven para modelizar gran número
de situaciones reales. Estas distribuciones o modelos de probabilidad se dividen en dos
grandes grupos dependiendo del tipo de la variable que modelizan. Así, distinguimos
entre distribuciones de probabilidad discretas, si la variable aleatoria que modelizan es de
naturaleza discreta y distribuciones de probabilidad continuas, cuando la variable
aleatoria es continua.
Existen muchas distribuciones de probabilidad, pero dado el carácter introductorio de esta
práctica, nos limitaremos a estudiar la distribución binomial y la distribución de
Poisson como ejemplos de distribuciones discretas y la distribución Normal para ilustrar
las distribuciones continuas.
Función masa de probabilidad

Una variable aleatoria no está perfectamente definida si no se conocen los valores que
puede tomar (recorrido), pero dichos valores son impredecibles. Puesto que el
comportamiento de una variable aleatoria está gobernado por el azar, debemos determinar
dicho comportamiento en términos de probabilidades. Para ello se utilizan dos funciones:
la Función Masa de Probabilidad y la Función de Distribución.
La función masa de probabilidad de una variable aleatoria discreta es una función
que a cada valor posible de dicha v.a. le asigna una probabilidad. Así en los ejemplos:
• Ejemplo. La v.a. X = “Cara superior de una moneda ” puede tomar los
valores X={1, 0} con probabilidades P(X)={1/2, 1/2}. Así, la probabilidad de que
la v.a.
• X tome el valor 1, que se denota por P[X=1], vale 1/2 (P[X=1]=1/2) y que
• X tome el valor 0, que se denota por, P[X=0], vale 1/2 (P[X=0]=1/2).
• Ejemplo. La v.a. X = “Máximo de los dos números obtenidos” puede tomar los
valores X={1, 2, 3, 4, 5, 6} con probabilidades P(X)={1/36, 3/36, 5/36, 7/36, 9/36,
11/36}. Así, por ejemplo, P[X=2]=3/36 o P[X=6]=11/36.
la Función Masa de Probabilidad de la variable aleatoria discreta X, se denota por pi, y
se define como la probabilidad de que la v.a. X tome un valor xi, pi=P[X=xi], si verifica
las siguientes propiedades:
• ∑i=1kpi=1
• pi≥0∀i
En una variable aleatoria continua no tiene sentido determinar una función, como en las
vv.aa. discretas, que asigne a cada valor posible de dicha v.a. una probabilidad; puesto
que la v.a. continua puede tomar infinitos valores y la probabilidad de que la v.a. tome un
valor determinado vale cero. Por ello, en el caso continuo definiremos una función que
nos permita calcular la probabilidad de que la v.a. esté comprendida en un intervalo de
valores específico. Dicha función recibe el nombre de Función de Densidad de
probabilidad, y se denota por f(x).
La Función de Densidad de probabilidad, es una función definida para todos los
números reales tal que satisface las siguientes condiciones:
1. f(x)≥0 (no negativa) ∀x
2. ∫+∞−∞f(x)dx=1 (El área comprendida entre la gráfica de f y el eje x es igual a 1)
3. P[a<X<b]=∫baf(x)dx (Para cualquier valor real entre los números a y
b, P[a<X<b] representa el área comprendida entre la gráfica de f(x), el eje OX y
las rectas x=a y x=b).
Función de distribución
Se define la Función de Distribución de la variable aleatoria X, y se denota por F(X),
como la probabilidad de que la v.a. X tome un valor menor o igual que x
FX(x)=P[X≤x]∀x
Expresión 1: Función de distribución
Es decir, F(X) es una función de los números reales, R, en el intervalo [0,1]
FX:R⟶[0,1] de forma que
∀x∈R,FX(x)=P[X≤x]
Expresión 2: F(X)
La variable aleaoria discreta está caracterizada por la función masa de probabilidad.
Conocidos los valores pi se puede conocer la función de distribución. En efecto,
F(x1)F(x2)⋮F(xi)=P[X≤x1]=P[X=x1]=p1=P[X≤x2]=P[X=x1]+P[X=x2]=p1+p2⋮=P[X≤
xi]=∑j=1iP[X=xj]=p1+p2+⋯+pi
Expresión 3: Función de distribución conocidos los valores pi
Propiedades
• P1) FX(.) es una función no-decreciente
• P2) FX(.) es continua a la derecha
• P3) FX(+∞)=+1 y FX(−∞)=0
• P4) P[x1<X≤x2]=F(x2)–F(x1)
• P5) P[X>x]=1–F(x)
En la variable aleatoria continua X, recibe el nombre de Función de Distribución, y se
denota por FX (o F cuando en el contexto está claro a la v.a. que se refiere), la
función F:R→[0,1] definida por:
F(xi)=P[X≤xi]=∫xi−∞f(x)dx
Expresión 4: Función de distribución en la v.a. continua
La función de densidad y la función de distribución de una v.a. continua están

relacionadas:
F(x)=∫x−∞f(x)dx f(x)=∂F(x)∂x=F´(x)
Expresión 5: Función de distribución y función de densidad
Por lo tanto se verifica:
1. P[a<X<b]=F(b)–F(a)
2. P[X<a]=F(a)
3. P[X>b]=1–F(b)
La función de distribución es monótona no-decreciente, continua por lo menos a la

derecha y tal que
limx→−∞F(x)=0 y limx→+∞F(x)=1
Expresión 6: Valores extremos de la función de distribución
Se comprueba fácilmente que si X es una v.a. continua entonces la probabilidad del
suceso X igual a constante es cero, P[X=a]=0 , aunque no es el suceso imposible. En
efecto,
P[X=a]=∫aaf(x)dx=0
Distribución Binomial
Consideremos repeticiones independientes de un experimento aleatorio con dos posibles
resultados a los cuales nos referiremos genéricamente como “éxito” y “fracaso”. El
éxito ocurre con una probabilidad p y el fracaso, por tanto, con una probabilidad q=1−p.
En este contexto, interesa estudiar el número de éxitos en estas repeticiones del
experimento aleatorio y, para ello, se define la siguiente variable aleatoria, X = “Número
de éxitos en n ensayos independientes con probabilidad de éxito constante p ”.
Entonces decimos que X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, y lo
representamos como X→B(n,p).
La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta, mide el número de
éxitos en una secuencia de n ensayos independientes, con una probabilidad fija p de
ocurrencia de éxitos entre los ensayos.
Es evidente que los posibles valores que puede tomar la variable aleatoria (o, lo que es lo
mismo, el número de ensayos exitosos de los que se realizan) son los valores
comprendidos entre 0 y n.
A continuación, vamos a definir y calcular:
1. La probabilidad de que la variable aleatoria X tome cada valor concreto o,

equivalentemente, el valor de la función masa de probabilidad en cada uno de
estos puntos
2. La probabilidad que acumula cada uno de los valores de la variable aleatoria X, es
decir, el valor de la función de distribución en cada punto de la variable
3. Cuantiles de la distribución binomial
4. Valores aleatorios de la distribución binomial.
Función masa de probabilidad

La función masa de probabilidad de una variable aleatoria discreta, la cual suele
representarse por pi, es una función que asigna una determinada probabilidad a cada uno
de los puntos de la variable.
pi=P[X=xi]
En R, los valores de la función masa de probabilidad de una variable con distribución
binomial se obtienen a través de la función dbinom, la cual necesita los siguientes
argumentos:
dbinom(x, size, prob)
donde:
• x: es el valor (o los valores) de la variable para el cual (o los cuales) queremos

calcular la función masa de probabilidad
• size y prob: son los dos parámetros de la distribución binomial (n y p,
respectivamente). En caso de que el argumento esté formado por dos o más
valores, éstos vendrán concatenados mediante la función c(,).
Función de distribución
La función de distribución evaluada en un punto xi xi de una variable aleatoria discreta se
denota por F(xi) y viene dada por
F(xi)=P[X≤xi]=P[X=0]+P[X=1]+⋯+P[X=xi]
Cuantiles de la distribución binomial

Por definición, el cuantil de orden α de una distribución de probabilidad es aquel valor
de la distribución que deja a su izquierda una proporción de valores α (o,
equivalentemente, un porcentaje del (α×100)). Esto es, el cuantil de orden α, será aquel
valor k tal que
P[X≤k]=α
Referencia
Alvarado Martínez, H., & Retamal Pérez, L. (2010). La aproximación binomial por la
normal: Una experiencia de reflexión sobre la práctica. Paradigma
(Maracay), 31(2), 89–108. Revisado agosto 3, 2022, url:
http://ve.scielo.org/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S10112251201000020007
Aproximación de la distribución binomial a la normal. (n.d.). 1Library.co Revisado
agosto 3, 2022, url: https://1library.co/article/aproximaci%C3%B3n-de-la-
distribuci%C3%B3n-binomial-a-la-normal.zk62ed1
Práctica 4. (n.d.). Ugr.es. Revisado agosto 3, 2022, url:
https://wpd.ugr.es/~bioestad/guia-de-r/practica-4/

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Fecha de entrega: viernes, 15 septiembre del 2022.

Docente: Ing. Lopezdominguez Rivas Leili Genoveva, Msc

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Función masa de probabilidad .......................................................................................... 2

Función de distribución .................................................................................................... 3

Expresión 1: Función de distribución ........................................................................... 3

Expresión 2: F(X) ......................................................................................................... 3

Expresión 3: Función de distribución conocidos los valores pi ................................... 3

Expresión 4: Función de distribución en la v.a. continua ............................................. 4

Expresión 5: Función de distribución y función de densidad ....................................... 4

Expresión 6: Valores extremos de la función de distribución ...................................... 4

Distribución Binomial ...................................................................................................... 4

Función masa de probabilidad .......................................................................................... 5

Función de distribución .................................................................................................... 6

Cuantiles de la distribución binomial ............................................................................... 6

Función masa de probabilidad

La función de densidad y la función de distribución de una v.a. continua están

Por lo tanto se verifica:

La función de distribución es monótona no-decreciente, continua por lo menos a la

A continuación, vamos a definir y calcular:

1. La probabilidad de que la variable aleatoria X tome cada valor concreto o,

Función masa de probabilidad

• x: es el valor (o los valores) de la variable para el cual (o los cuales) queremos

Cuantiles de la distribución binomial

normal: Una experiencia de reflexión sobre la práctica. Paradigma

(Maracay), 31(2), 89–108. Revisado agosto 3, 2022, url:

Aproximación de la distribución binomial a la normal. (n.d.). 1Library.co Revisado

agosto 3, 2022, url: https://1library.co/article/aproximaci%C3%B3n-de-la-

Práctica 4. (n.d.). Ugr.es. Revisado agosto 3, 2022, url:

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