Tema3G1Distribuciones de Probabilidad
Tema3G1Distribuciones de Probabilidad
Tema3G1Distribuciones de Probabilidad
b
a
dx x f ) (
4.- P (X = Xk) = 0
Esta ltima propiedad nos indica que la probabilidad de un punto no existe por lo
tanto se cumplir, para las variables continuas lo siguiente:
f x dx
a
b
( )
Toda funcin de distribucin de variable aleatoria continua cumple las siguientes
propiedades:
82
1.- lim F(x) = 0 4.- P(x1< x x2)= F(x2) - F(x1)
x - y como P(X = Xk) = 0 entonces:
2.- lim F(x) = 1 P(x1 < x x2) = P(x1 x x2)=
x P(x1 < x < x2)=P(x1 x < x2)
3.- F(x) es una funcin no 5.- La derivada parcial de F(x) decreciente,
esto es si: respecto a x es igual f (x)
x1 x2 entonces F(x1) F(x2)
De su definicin y sus propiedades se puede concluir que para calcular
probabilidad a partir de la funcin de distribucin sera:
P(x xk) = F(x)
P(x > xk) = 1 - F(x)
P(x1 < x x2) = F(x2) - F(x1)
Las desigualdades de mayor, o mayor igual se tendrn en cuenta si se le aplica a
variables discretas. En variables continuas recuerden que no es necesario, ya
que no existe la probabilidad de un punto.
E9em"#os/
1.- Un determinado experimento aleatorio tiene como funcin de probabilidad la
relacin:
f (x) = (1+x)/10 para x=0, 1, 2, 3
Se pide:
a.- Verifique las propiedades de f(x)
b.- P(x >1)
c.- F(1)
!.- Probabilidad de que x tome por lo menos valor 1
e.- Probabilidad de que x tome a lo sumo valor 2
$.- F(3)
So#ucin/
a.- Pro"ie!a! $ 325 :
f (x0)= 1/10; f (x1)= 2/10; f (x2)= 3/10; f (x3)= 4/10; por tanto f (x) > 0
Pro"ie!a! 0ue #a suma !e $ 325 !es!e : a ; 7 <
f (x)= 1/10[(1+0)+(1+1)+(1+2)+(1+3)] = 10/10 = 1
3
b.- P(x > 1) = f (x) = (1+2)/10 + (1+3)/10 = 3/10 + 4/10 = 7/10=0.7
x = 2
c.- x f (x) F(x)
0 1/10 1/10 F(1) = 3/10 = 0.3 esto nos indica que x es menor
1 2/10 3/10 igual a 1.
2 3/10 6/10
3 4/10 10/10
Deben fijarse que F(x), se determina y representa lo mismo que Ni, es decir las
frecuencias absolutas acumuladas.
3
d.- P(x 1) = f (x) = 1 - f (x=0) = 1 - 1/10 = 9/10 = 0.9
x = 1
83
Tambin se podra hacer, sumando, en vez de por el complemento:
= 1/10[(1+1) + (1+2) + (1+3) ] =
= 1/10 (2 + 3 + 4) = 9/10 = 0.9
2
e.- P(x 2) = f (x) = 1 - f (x=3) = 1 - 4/10 = 6/10 = 0.6
x = 0
Tambin se podra hacer sumando en vez de por el complemento:
= 1/10[(1+0) + (1+1) + (1+2)] =
= 1/10 (1 + 2 + 3) = 6/10 = 0.6
f.- F(3)= 1 Esto indica que x es menor o igual a 3.
..-Sea f (x) = 1/18(3 + 2x) una funcin de densidad para 2 < x < 4
a.- Verifique si se cumplen las propiedades de f (x)
b.- Calcule P(x < 3)
c.- P(x 3)
d.- P(x = 3)
e.- Halle F(x)
f.- Calcule P(2 < x 3) haciendo uso de la F(x)
So#ucin/
a.- f (x) = 1/18 (3 2x)dx +
2
4
= 1/18[ 3x + 2x
2
/2 ]= 1/18[(12+16) - (6+4)]
= 1/18 (28 - 10) = 18/18 = 1
b.- P(x < 3)= 1/18 ] ( ) / 3 2 2
2
3
+
x dx k
xk
= 1/ 18(3x + 2x / 2] = [(3x + x - (6 + 4)]
2
k
2
= 1/18(3xk + x
2
k - 10) por tanto F(x) ser
%325 7 <,<+ 32
.
= ;2 - <:5
f.- P(2 < x 3) = F(3) - F(2)
= [1/18(9+9-10) ] - [1/18(4+6-10) ]
= 1/18(8 - 0) = 8/18 = 4/9 = 0.44
ARATERI#TIA# NU0ERIA# !E UNA VARIABLE ALEATORIA
Las caractersticas numricas son medidas que permiten sintetizar la informacin
de forma tal que ofrecen las caractersticas generales del fenmeno en estudio,
84
es decir, sus rasgos principales. Tambin se conocen como parmetros de las
variables aleatorias.
Las caractersticas fundamentales que se estudiarn son: Media y varianza
El valor medio de una Variable aleatoria, se denomina valor esperado
esperanza matemtica se denota por E 325.
E# &a#or es"era!o !e una &ariab#e a#eatoria se "ue!e consi!erar como su
"rome!io "on!era!o sobre to!os #os resu#ta!os "osib#es sien!o #as
1"on!eraciones1 #a "robabi#i!a! re#aciona!a con ca!a uno !e #os
resu#ta!os.
El clculo del valor esperado est en dependencia si se est trabajando con
variables aleatorias discretas o continuas. En el caso de las variables aleatorias
discreta, esta medida de resumen se puede obtener multiplicando cada resultado
posible de xi por su probabilidad correspondiente P(xi) y despus sumando los
productos resultantes. Por lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria
discreta xi se puede expresar de la siguiente forma:
N
= E 325 = 2i $ 325
i 7 <
En el caso de las variables aleatorias continuas, esta medida de resumen se
obtiene integrando desde x0 hasta xn el producto de la variable x por su funcin de
probabilidad. Por lo tanto el valor esperado de la variable aleatoria continua xi se
puede expresar de la siguiente forma:
= E 325 7
xn
x
dx x xf
0
) (
"RO"IE!A!E# !EL VALOR E#"ERA!O
1.- La esperanza de una constante es igual a la propia constante.
E 345 7 4
2.- La esperanza del producto de una constante por una variable es igual a la
constante por la esperanza de la variable.
E 3425 = 4 E 325
3.- Si x1, x2 , ... , xn son variables aleatorias entonces:
n n
E 3 2i 5 7 E 325
i 7< i 7 <
4.- La esperanza de la suma (o resta) de una constante y una variable es igual a
la constante mas la suma (o resta) de la esperanza de x.
E 34 25 7 4 E 325
5.- Si la media poblacional es igual a la esperanza de x, entonces la esperanza de
las desviaciones con respecto a la media es igual a cero
Si 7 E 325 entonces #a E 32 -57 :
6.- Si x e y son variables aleatorias independientes entonces, la esperanza del
producto de "x" e "y" es igual al producto de la esperanza de "x" y de la esperanza
de "y".
85
E 32'5 7 E 325 E 3'5
7.- La esperanza del producto de la suma de n, variables y constantes es igual a
la suma del producto de las "n" constantes por las esperanza de las variables.
E 3C<2< = C.2. = ...= Cn2n 5 7 C< E 32<5= C. E 32.5= ...= Cn E 32n5
VARIAN>A
La &arian?a es i(ua# a #a es"eran?a !e #as !es&iaciones con res"ecto a #a
me!ia@ a# cua!ra!o/
V325 7 E 32 - 5
.
Tambin se simboliza por
2
(sigma al cuadrado, letra griega). Esta definicin
hace un tanto difcil el clculo de la varianza, ya que como se dijo anteriormente
en el clculo de la esperanza, la variable, es lo que est dentro del parntesis, y
en este caso lo que est dentro del parntesis, es (x - )
2
.
Por lo tanto para el clculo de la varianza para una variable aleatoria discreta
sera (x - )
2
f(x) y en el caso de variables aleatorias continuas sera
( ) ( ) x f x dx
2
.
Haciendo transformaciones matemticas se puede llegar a obtener una frmula
de clculo para la varianza que es mucho ms cmoda.
V325 7 E 32
.
5 - AE 325B
.
en el caso de la variable discreta la:
E32
.
5 7 2
.
$ 325 y en el caso de variables continua E 32
.
)= x f x dx
x
xn
2
1
( )
"RO"IE!A!E# !E LA VARIAN1A
1.- La varianza de una variable es igual o mayor que cero.
V325 :
2.- La varianza de una constante es igual a cero.
V345 7 :
3.- La varianza del producto de una constante por una variable es igual a la
constante al cuadrado por la varianza de la variable.
V3425 7 4
.
V325
4.- La varianza de la suma de una constante ms una variable es igual a la
varianza de la variable.
V34=25 7 V325
5.- Si x1 , x2 , ...xn son variables aleatorias independientes, entonces la varianza
de la suma de "n" variables es igual a la suma de las varianza de las variables.
n n
V3 2i5 7 V32i5
i 7 < i 7 <
6.- La varianza de la suma del producto de "n" variables por "n" constantes es
igual a la suma del producto de las "n" constantes al cuadrado por las varianzas
de las variables.
V3C< 2< = C. 2. = ... = Cn 2n5 7 C
.
< V32<5 = C
.
. V32.5 = ... = C
.
n V32n5
86
E9ercicios.-
E9em"#o <.- La funcin de una variable aleatoria x, esta dado por:
x = 1 2 3 4
f(x)=1/6 1/3 1/6 1/3
Calcular el valor esperado de x y su varianza.
So#ucin/ Primeramente se debe definir si es una variable aleatoria discreta o
continua ya que en dependencia del tipo de variable as ser su clculo. En este
caso es discreta, se sabe, porque la variable toma valores definidos: 1, 2, 3, y 4
Para ello se debe buscar x f (x) y x
2
f (x)
x f (x) = 1/6 2/3 3/6 4/3
x
2
f (x)= 1/6 4/3 9/6 16/3
E (x)= = x f (x) = 1/6 + 2/3 + 3/6 + 4/6 = (1+4+3+8)/6 = 16/6
= 2,66
V(x)= E(x
2
) - [E(x)]
2
E(x
2
) = x
2
f (x)
= 8.33 - 2,66
2
= 1/6 + 4/3 + 9/6 + 16/3
= 8.33 - 7.07 = (1+ 8 + 9 + 32)/6 = 50/6 = 8.33
= 1.26
E9em"#o ..- Si f (x) = x/2 para 0 < x < 2
a.- Cul ser el valor de la varianza de x?
b.- Hallar E (x+3)
c.- Hallar E (2x
2
)
d.- Cul ser el valor de V(2x)?
e.- Cul es el valor de la desviacin tpica de x?
Solucin: Qu tipo de variable es esta? La forma de presentar el recorrido de la
variable x, indica que es una variable continua.
a.- E (x) = 1 2 3
0
2
/ ( ) / ) x f x dx dx = 1/ 2 x = 1/ 2[x = 1/ 2(8 / 3 - 0)
2
0
2
3
=8/6 = 4/3 = 1.33
E (x
2
)= 1 2 1 2 4 1 2 16 4 16 8 2
2
0
2
4
/ ( ) / ( / ) / ( / ) / x f x dx dx x = 1/ 2 x
3
0
2
= = = =
V(x) = E (x
2
) - [E (x)]
2
= 2 - 1.33
2
= 2 - 1.77 = 0.23
b.- E(x+3) = E (x) + 3 = 1.33 + 3 = 4.33
c.- E(2x
2
) = 2 E(x
2
) = 2 . 2 = 4
d.- V(2x) = 2
2
V(x) = 4 (0.23) = 0.92
e.-
= =
2
0 23 ,
= 0,48
Recuerde que la desviacin tpica se representa por la letra griega sigma y que
es la raz cuadrada positiva de la varianza (V(x) =
2
)
Deben hacer los ejercicios del Laboratorio desde la pagina 95/102, los ejercicios
139/140, 142/144, 145e/148 excepto el d, el 150 de la pagina 108 a la 110 los
ejercicios 153/155 158.Desde la pagina 155 a la 1!1 los ejercicios 210/211, 213,
87
215, 219/225 Desde la pagina 154 a 1!0 los ejercicios 208, 209, 212, 214, 215,
21", 220 22!.
AUTOE8AMEN
<.- Qu entiende por variable aleatoria?
..- A que se denomina funcin de probabilidad?
;.- Cmo se denomina a la funcin de probabilidad de variable aleatoria discreta
y continua y como se denota.
C.- Cmo se define la Funcin de Distribucin?
*.- A partir de la definicin de Funcin de distribucin como determinara las
siguientes probabilidades para una variable aleatoria discreta y para una variable
aleatoria continua: (utilizando F(x))
a.- P(x xk)
b.- P(x > xk)
c.- P(x1 x < x2)
!.- P(x1< x x2)
e.- P(x1 < x < x2)
$.- P(x1 x x2)
D.- Se conoce la funcin de densidad f (x)= c(4+6x-3x
2
) para 0 < x < 2
Calcular:
a.- El valor de C
b.- La funcin de distribucin.
c.- P(x >1)
!.- P(x < x < 1.5)
e.- P(x > 1.9)
E.-El tiempo en trimestres que transcurre entre dos perturbaciones ciclnicas, se
ha podido determinar, que tiene la siguiente funcin de densidad:
f (x) = 4/9(x - x
3
) para 1 < x < 2 se pide:
a.- Calcule el tiempo esperado que debe transcurrir entre dos ciclones.
b.- De una medida de la desviacin tpica con que ocurren stos.
SEMANA VIII. Distribucin Binomia#. Uti#i?acin !e tab#as esta!)sticas.
Distribucin !e Poisson. Uti#i?acin !e tab#as esta!)sticas.
BIBLIOFRA%IA/ Esta!)stica. Ca")tu#o * "G(inas -;,-E.
En la semana anterior vimos como usar las probabilidades estudiadas en
Las variables aleatorias, as como para desarrollar el concepto de Esperanza
matemtica y llegar a los MODELOS como sntesis de los resultados anteriores
en un plano de mayor nivel.
88
Esto es, los modelos se producen a partir de un riguroso estudio de los ms
importantes resultados del comportamiento de diferentes procesos aleatorios
(experimentos), y para todo aquello que pueda presentarse como analoga a las
caractersticas que exige dicho modelo, adems de que brindan una aplicacin
simplificada de la realidad.
Se debe sealar que todo modelo contiene:
Caractersticas del experimento: Condiciones que tienen que cumplirse para
su aplicacin.
Definicin de la variable aleatoria y su recorrido.
f(x) ....Su funcin de probabilidad.
F(x) ....Su funcin de distribucin.(destacando importancia en V.A.C )
Parmetros (caractersticas numricas) al menos y
2
Para lograr una identificacin con las distribuciones (o modelos) fundamentales
en este Tema, los mencionaremos y marcaremos con un asterisco (* ) los que
estudiaremos.
Bernoull Como resumen de los experimentos
Binomial (* ) estudiados en el Tema 2 Probabilidades
V.A.Discreta Hipergeomtrica
_______________________________________________________
Poisson (* ) Como inters formativo para la teora de
las Colas y empleo en la asignatura
Programacin Matemtica.
Exponencial
________________________________________________________
V.A.Continua Normal (* )
Chi-Cuadrado (* ) Plataforma para el estudio de la
T'Student (* ) nferencia Estadstica.
!I#TRIBUION BINO0IAL
La distribucin Binomial es una de las distribuciones discretas ms utilizadas. Su
nombre se debe a la relacin que tiene la misma con el desarrollo del binomio:
(p+q)
n
= C
x
n
p
x
q
n - x
89
Esta distribucin est relacionada con la distribucin de Bernoull, que es la
distribucin de la variable aleatoria x, que toma solamente valores cero y uno
(fracaso y xito), cuando se realiza un solo experimento.
Sin embargo existen con frecuencia experimentos de carcter repetitivos en que
interesa registrar la ocurrencia o no ocurrencia de un suceso.
Considrese que "p" es la probabilidad de que el suceso ocurra, esto es, l xito.
Y que "q" es la probabilidad de que el suceso no ocurra, es decir el fracaso y
donde q =1- p
Si se realizan "n" repeticiones independientes del experimento en cuestin y se
representa por x, el nmero de xitos obtenidos en las n repeticiones del
experimento entonces se puede decir que la probabilidad de que ocurran "x"
xitos, viene dada por:
f (x) = C
x
n
p
x
q
n - x
donde X= 0, 1, ... , n
Distribucin Binomia#/ Antecedentes: los experimentos son con reposicin e
independientes (del Tema 2)
<.- Caracter)sticas:
- Que el resultado del experimento se pueda clasificar en una de dos
categora mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustiva conocidas por
xito y fracaso (donde p = probabilidad de xito y q = probabilidad de fracaso
siendo p conocida).
- Qu se realicen "n" pruebas (finitas)
- Que las pruebas sean independientes.
- Que la probabilidad de xito sea constante de una observacin a otra.
..- De$inicin !e #a &ariab#e:
X # de veces que ocurren los xitos en n pruebas.
X = 0, 1, 2, ... , n
;.- %uncin !e Probabi#i!a!: f(x) = C
x
n
p
x
q
n - x
xk
C.- %uncin !e Distribucin/ F(x) = f ( x)
x = 0
*.- ParGmetros/
n
7 E(x) = x f (x) = np
.
7 V(x) = E(x
2
) - [E(x)]
2
= npq
x = 0
D.- Re"resentacin/ X B (n, p)
La distribucin BNOMAL ha sido utilizada en numerosas aplicaciones:
- EN JUEGOS DE AZAR.
Qu probabilidad hay que aparezca el color azul al girar 15 veces o ms la
rueda de una ruleta?.
- EN EL CONTROL DE LA CALDAD DE UN PRODUCTO.
90
Qu probabilidad hay de que en una muestra de 20 conos de hilo del mismo
tipo ninguno est, defectuoso, si el 10% de todos los conos de hilo producido en
cierta planta son defectuosos?
- EN LA EDUCACON.
Qu probabilidad tiene un estudiante de aprobar un examen de 5 preguntas de
opcin mltiple (cada una de ellas contiene 4 opciones) si adivina en cada
pregunta? (Aprobar se define como lograr correcto el 60% de las preguntas; es
decir, acertar por lo menos 3 preguntas)
- EN LAS FNANZAS.
Cul es la probabilidad de que cierta accin mostrar un aumento en su precio
al cierre, en una base diaria durante 10 sesiones (consecutivas) de operaciones,
si en realidad los cambios de precios en el mercado accionario son aleatorios?.
Fgense que esta distribucin queda definida por dos parmetros "n" y "p" y cada
vez que se especifican estos parmetros se puede presentar una distribucin de
probabilidad Binomial particular.
FORMA.
Una distribucin binomial puede ser simtrica sesgada. Siempre que
p = 0.5, la distribucin binomial ser simtrica, sin tomar en cuenta que tan
grande o pequeo sea el valor de "n. Sin embargo, cuando "p es diferente de
0.5, la distribucin ser sesgada. Cuanto ms cerca se encuentre "p de 0.5 y
mayor sea el nmero de observaciones "n, menos sesgada ser la distribucin,
por otra parte, con una "p pequea la distribucin tendr un gran sesgo a la
derecha y para una "p muy grande la distribucin tendra un gran sesgo a la
izquierda.
Los clculos de probabilidad a partir de la funcin, pueden llegar a ser muy
tediosos, en especial cuando aumenta "n, sin embargo se pueden obtener las
probabilidades directamente de la tabla Binomial, que est en la Seleccin de
tablas estadsticas y de esta forma evitar clculos fatigosos. Esta tabla
proporciona, para diversas combinaciones de n y p, las probabilidades de que la
variable aleatoria binomial tome valores x = 0, 1, 2, ..., n
Sin embargo debe tenerse en cuenta que no estn todos y cada uno de los
valores de "p que se necesitan, y hay casos en que sera necesario invertir la
probabilidad de xito por la de fracaso y volver a enunciar la variable y buscar en
la tabla los valores equivalentes de x que piden, esto se ver concretamente en
un ejercicio.
HCmo estG estructura!a esta tab#aI
Tiene en la primera fila los valores de "p; en la primera columna los valores de
"n y en la segunda columna los valores de x, pero estn representados en ella
por una k.
91
Y as sucesivamente.
Si se quiere tener el resultado de la probabilidad se combinan los valores de n y p
y dentro de ellos se busca el valor de x que se necesita digamos que se tiene una
distribucin binomial donde n = 2 y p = 0,15 y quiere obtener la P(x = 1) donde se
interceptan estos valores se obtiene la probabilidad, que en este caso es igual a
0.2550.
E9em"#o.
En la industria "rayonera" de Matanzas se est realizando una investigacin
acerca de la disciplina laboral.
Las estadsticas demuestran que el 5% de los obreros son ausentistas, si se
selecciona una muestra aleatoria de 5 trabajadores. Calcule la probabilidad que:
a.- 2 de ellos sean ausentistas.
b.- entre 3 y 5 sea ausentistas.
c.- de que todos asistan.
d.- al menos 4 sean ausentistas
Aqu se puede observar que la distribucin binomial se ajusta, ya que:
- el resultado se puede clasificar en xito y fracaso (ausentistas y no ausentistas
respectivamente)
- las pruebas son independientes, es decir que un obrero sea ausentista es
independiente de que otro lo sea.
- n es finito, 5 trabajadores ausentistas.
92
- p es constante, el 5% de los trabajadores son ausentistas.
Por tanto puedo decir que X B(5, 0.05)
So#ucin
X: nmero de obreros ausentistas de 5
a.- P (x = 2) = f(2) = = = ) 8574 . 0 )( 0025 . 0 ( 10 95 . 0 05 . 0
3 2 5
2
C 0.0214
ya que
10
! 3 * 1 * 2
! 3 * 4 * 5
! 2 !* 3
! 5
! )! (
!
5
2
= = = =
= C
x x n
n
C
n
x
Sin embargo esto se resuelve muy fcil utilizando la tabla, buscando para n=5, y
para una p=0.05 y dentro de ellos x = 2 donde se interceptan se obtiene este
valor encontrado, es decir 0.0214. Luego podemos concluir que nicamente ser
necesario hacer el clculo a travs de la funcin de probabilidad cuando no exista
en la tabla la probabilidad de xito que se tiene (p)
b.- P(3 x 5) = f(3) + f(4) + f(5)
= 0.011 + 0 + 0
=0.011
c.- P (x=0) = f(0) = 0.7738
d.- P (x 4) = f (4) + f (5)
= 0 + 0
= 0
Tambin si no se tuviese la tabla habra que sustituir en la funcin de probabilidad
los valores y resolverla.
E9em"#o.
La probabilidad de que un avin de combate regrese de una misin sin sufrir
daos es de 0.85 y se envan 4 aviones a una misin, hallar la probabilidad de
que:
a.- De 2 a 4 regresen sin sufrir averas.
b.- Al menos 3 regresen sin sufrir daos.
c.- A lo sumo dos regresen sin sufrir daos.
d.- Promedio de aviones sin sufrir daos.
e.- Probabilidad de que todos regresen daados.
Se aprecia en este ejercicio que cumple las caractersticas de una distribucin
binomial, no obstante llegue Ud. a sus propias conclusiones.
8/ nJmero !e a&iones !e combate 0ue re(resan sin su$rir !aKos.
n = 4 y p = 0.85 q = 0.15. Como en la tabla no est p = 0.85 tendra que usar la
funcin y sustituir los valores en ella para calcular las probabilidades que piden.
No obstante existe otra opcin para utilizar la tabla y sera nombrar la variable
invertida es decir plantear como probabilidad de xito, lo que tal como dan la
informacin es la de fracaso, que es igual a 0.15, que si est en la tabla. Pero
esto a su vez implicara buscar una equivalencia entre lo que pide el problema y
la forma en que est expresada la variable.
Y esto se hace as sencillamente para no hacer el clculo de la probabilidad a
travs de la funcin, que sin lugar a dudas es un tanto fatigoso, y poderlo hacer a
travs de la tabla.
93
8/ L !e a&iones !e combate 0ue re(resan !aKa!os
n = 4 p = 0.15 y q = 0.85 Para BUSCAR la equivalencia entre lo que
pide el problema y como se tiene expresada la variable se debe hacer una tabla
que ayude a ver claramente lo que se va a calcular.
sin sufrir qu regrese 1 avin sin sufrir dao? no es lo
daos daados mismo que decir que regresen 3 daados?
Qu regresen 3 aviones sin sufrir dao? no
0 4 es lo mismo que decir que regrese 1 avin
1 3 daado?
2 2 Es decir se busca la equivalencia entre lo que
3 1 pide el problema y la forma en que se tiene
4 0 enunciada la variable
a.- p(2 x 4) p(x 2) = f (0) + f (1) + f (2)
= 0.5220 + 0.3685 + 0.0975
= 0.9880
b.- p(x 3) p(x 1) = f (0) + f (1)
= 0.5220 + 0.3685
= 0.8905
c.- p(x 2) p(x 2) = f(2) + f(3) + f(4)
= 0.0975 + 0.0115 + 0.0005
= 0.1095
d.- np = 4(0,85) = 3.4 =
npq = 0.85(0.15)(4) = 0.1275(4) = 0.51 =
2
e.- p(x = 4) = 0.005 Esta pregunta est realizada tal como est designada
la variable, de ah que no haya que buscar equivalen-
cia. De haber estado formulada la variable como al ini-
cio, habra que haber buscado p(x=0).
Realizar los ejercicios 251 al 268, del Laboratorio de Estadstica Matemtica que
estn en las pginas 181 a 186.
!I#TRIBUION !E "OI##ON$
Esta distribucin se refiere a aquellas situaciones en las cuales el suceso ocurre
repetidamente, pero al azar, es decir sin seguir una periodicidad dada, se produce
aleatoriamente.
A la ocurrencia del suceso se le denomina CAMBO.
Estos cambios pueden ocurrir en el tiempo, o en puntos aleatorios, o en una lnea
de espera. Es decir pueden formularse en funcin del tiempo, unidades de
longitud, rea o volumen etc..
El inters estar centrado en: nmero de cambios que ocurren en un intervalo
dado. E9em"#o/ Nmero de barcos que llegan al puerto de la Habana en una
semana. E9em"#o/ Nmero de negocios que cierran, por semana, en Ciudad de la
Habana.
94
La variable aleatoria discreta: 87 L !e M2itos "or uni!a! (es decir, por intervalo
de tiempo, longitud, rea, etc.).
Se dice que se da un proceso de Poisson si se pueden observar sucesos o
eventos discretos, en un intervalo continuo (de tiempo, longitud, rea etc.), de
forma tal que si se acorta el intervalo lo suficiente:
1.- La probabilidad de observar exactamente un cambio un xito en el intervalo,
es estable.
2.- La probabilidad de observar dos o ms cambios xitos en el intervalo es
cero.
3.- La ocurrencia de un cambio xito en cualquier intervalo es estadsticamente
independiente de sucesos en cualquier otro intervalo.
E9em"#o/ Supngase que se estudian las llamadas recibidas por hora en la
Central telefnica de una estacin de polica. Cualquier llamada que se reciba es
un evento discreto en un punto determinado durante un intervalo continuo de una
hora.
#n $na hora se recibir%n 180 lla&adas co&o pro&edio. 'hora si se di(idiera el
inter(alo de $na hora en 3!00 inter(alos consec$ti(os de $n seg$ndo, se tendr)a*
= 180/3600 = 0.05/segundos
1.- La cantidad esperada ( promedio) de llamadas recibidas en cualquier
intervalo de un segundo sera 0.05, es decir sera estable.
2.- La probabilidad de recibir ms de una llamada en cualquier intervalo de un
segundo es cero.
3.- Recibir determinada llamada en cualquier intervalo de un segundo no tiene
efecto (es decir es estadsticamente independiente) sobre recibir una llamada en
cualquier otro intervalo de un segundo.
<.- CARACTERISTICAS/ Sin antecedentes, importancia para su uso en
programacin Matemtica.
- Nmero de observaciones finitas pero no numerables, n
- Se observa si ocurre un suceso que se denomina cambios
- Las observaciones de cambios asociados a un intervalo t
(esto es, el suceso ocurre repetidamente en el tiempo, pero al azar sin seguir
una periodicidad dada, se produce aleatoriamente)
..- De$inicin !e #a Variab#e/
x: # de cambios que se producen en un intervalo "t"
X : 0, 1, 2, ...,
95
;.- %uncin !e "robabi#i!a!/ f (x) = e
x
/ x ! donde = promedio
(histrico)de cambios en una unidad "t" y "e es una constante (2.71828)
xk
C.- %uncin !e Distribucin/ F(x) = f(x)
x = 0
*.- ParGmetros/
= Coinciden numricamente aunque por supuesto ,
2
= est expresada en unidades lineales y
2
en unida-
des cuadrticas.
D.- Simb#icamente se e2"resa como/
X P ( )
Esta distribucin queda definida por un solo parmetro, " .
%ORMA/
La distribucin de Poisson estar sesgada hacia la derecha cuando es
pequea.
Se acercar a la simetra (con su punto ms alto en el centro) segn aumente .
De la misma forma que se plante en la distribucin binomial que el clculo de
probabilidad se haca fatigoso a travs de la funcin, sucede con esta
distribucin, pero esta distribucin tambin est tabulada, encontrndose su tabla
en la Seleccin de Tablas estadsticas.
HCmo estG estructura!a #a tab#aI
Tiene en la primera fila los valores de , y en la primera columna los valores de x
designados en esta tabla por k.
En ella aparecen grupos de valores para valores de desde 0.1 hasta 8, estando
estos grupos definidos hasta donde "x" puede tomar valores, proporciona los
valores de con aproximacin hasta la dcima.
96
Se debe sealar que para ejercicios con valores de mayores de 8 se debe usar
la tabla de "e a la menos x" que est en la pagina 20 de la Seleccin de tablas
estadsticas; sustituyendo en la frmula de la funcin los valores
correspondientes.
E9ercicio.L<
Una pizarra telefnica recibe 480 llamadas en una hora, pero no puede recibir
ms de 12 llamadas en un minuto.
Determine:
a.- La probabilidad de que se produzcan 10 llamadas en un minuto.
b.- La probabilidad de que la pizarra quede saturada en un minuto dado.
c.- La probabilidad de que se produzcan a lo sumo 1 llamada en un minuto.
d.- La probabilidad de que se produzcan mas de 2 llamadas en un minuto.
e.- El nmero de llamadas esperadas en un minuto.
x: # de llamadas que se reciben en un minuto
= 480/hora Se tiene que llevar a las mismas unidades que
piden la probabilidad: en minutos.
97
Se puede hacer a travs de una simple regla de 3
480 ------ 60 mts
------ 1 mt 480/60 = 8 por mt
= 8 /mt
Ahora se va a la tabla y se busca un = 8, y dentro de este grupo se busca el
valor de la X o las X que se necesitan.
a.- P(x=10) = f (10) = 0.0993
b.- P(x > 12) = Porque como la pizarra no puede recibir ms de 12 llamadas en
un minuto, quedara saturada si recibe ms de 12 llamadas
P(x >12) = 1 - P(x 12)
= 1 - [p(x=0)+ p(x=1)+ p(x=2)+ p(x=3)+ .... +p(x=12)
= 1 - 0.9362
= 0.0638
Deben darse cuenta que en la distribucin de Poisson "x" toma valores desde 0
hasta , por tanto NUNCA SE PUEDE CALCULAR p(x > p(x que un valor
cualquiera directamente, sino que siempre en estos casos hay que trabajar con el
complemento. Y tener en cuenta que si la igualdad est en la parte izquierda de
la expresin no debe estar en la derecha si la igualdad no est en la parte
izquierda deber estar en la derecha, esto es, debe estar en uno de los dos lados
de la expresin.
c.- P(x 1) = f (0) + f (1)
= 0.0003 + 0.0027
= 0.0030
d.- P(x >2) = 1 - P(x 2)
= 1 - [f (0)+ f (1)+ f (2)]
= 1 (0.0030 + 0.0027 + 0.0107
= 1 0.0137 = 0.9860
e.- = = 8 en un minuto.
E9ercicios L.
Sea f (0)= e
-
/0! = 0.00674
Se pide:
a.- Hallar el valor de
b.- calcule la probabilidad de que X=5 , en 1.5t
So#ucin/
a.- Se sabe que en ( )
! 0
0
0
= f ,
0
= 1; 0! = 1 por propiedades de los
factoriales.
Por tanto se busca e
-
= 0.00674 en la tabla de e
-x
que est en la pagina 20 de la
seleccin de tablas estadsticas.
Y se obtiene que e
-5
= 0.00674 lo que implica que = 5
b.- P(X=5) = f (5) = 0.0141 para un =1.5
98
Pueden hacer los ejercicios desde el 286 a 303 del Laboratorio de Estadstica
Matemtica , que estn en las pginas desde la 202 a 206.
AUTOE8AMEN
<.- Cuales son las caractersticas de una distribucin Binomial?
..- Qu parmetros define la distribucin Binomial?
;.- Cuales son las caractersticas de una distribucin de Poisson?
C.- Qu parmetros define la distribucin de Poisson?
*.- Diga cul es la media y la varianza en la distribucin Binomial?
D.- Diga cul es la media y la varianza en la distribucin de Poisson?
E.- Estas dos variables, corresponde a variables aleatorias discretas o
continuas?
+.-HQu representa en la distribucin de Poisson?
-.- Diga que expresa la variable X en la distribucin binomial, y cual es su
recorrido.
<:.-Diga que expresa la variable X en la distribucin de Poisson, y cul es su
recorrido.
<<.- Sobre la base de la experiencia anterior, la impresora principal del centro de
cmputo de cierta universidad funciona adecuadamente el 90% del tiempo. Si se
hace una muestra aleatoria de 10 inspecciones:
a.- Cul es la probabilidad de que la impresora principal funcione en forma
apropiada...
a.<.- exactamente nueve veces?
a...- por lo menos nueve veces?
a.;.- cuando ms 9 veces?
a.C.- ms de 9 veces?
a.*.- menos de 9 veces?
b.- Cuantas veces se puede esperar que funcione en forma apropiada la
impresora principal?
<..- El nmero promedio de automviles que se detienen por minuto para tomar
gasolina en cierta gasolinera perteneciente a CUPET de Ciudad de la Habana es
1.2. Cul es la probabilidad de qu en determinado minuto se detengan ...
a.- menos de dos automviles?
b.- ms de tres automviles?
c.- menos de dos automviles ms de tres?
!.- dos tres automviles para tomar gasolina?
e.- al menos dos automviles?
99
Ahora se pasar a estudiar las distribuciones correspondientes a variables
aleatorias continuas que se imparten en este programa, se comenzar por la
distribucin Normal.
SEMANA I8.- Distribucin Norma#. Uti#i?acin !e tab#as esta!)sticas.
Distribucin Ni-Cua!ra!o ' TOstu!ent. Uti#i?acin !e tab#as esta!)stica !e
ambas !istribuciones.
BIBLIOFRA%IA/ Esta!)stica ca"itu#o * "G(inas !e #a -+,<:+
!I#TRIBUION NOR0AL
Luego de estudiar dos distribuciones de probabilidad discreta se prestar
atencin a las funciones continuas de densidad de probabilidad, las que se
producen por algn proceso de medicin en diversos fenmenos de inters.
Los modelos continuos tienen aplicaciones importantes en los negocios y en las
ciencias sociales, adems de en la ngeniera y la Fsica.
Muchas de las tcnicas utilizadas en estadstica aplicada se basan en la
distribucin Normal o de Gauss.
1.- CARACTERSTCAS.
- Tiene la forma de una campana boca a bajo.
- Es simtrica con respecto a X =
- La funcin est definida en todo el eje X
- La funcin tiene un mximo en X = = Me = Md
- Tiene dos puntos de inflexin en + y -
- Su variable aleatoria asociada tiene rango infinito ( < < )
= Me = Md +
2.- FUNCON DE PROBABLDAD
f x ( ) / = 1 2
e
x 1 2
2
/ ( / )
donde: e=2.71828 y
=3.14159
3.- FUNCON DE DSTRBUCN
F(x) = f x dx
xk
( )
" son
constantes matemticas.
5.- REPRESENTACON
X (, )
Por lo tanto habr tantas curvas normales, como valores o combinaciones
Particulares de , y haya.
Como es una variable continua para calcular probabilidad se tendra que integrar
la funcin de X, en el intervalo que se quiere hallar la probabilidad.
HCmo se "o!r)a 6acer una tab#a@ "ara no tener 0ue inte(ra#I
La nica forma de hacer una tabla para evitar este clculo sera estandarizando la
variable, es decir cualquier variable aleatoria normal X, se convierte en una
variable aleatoria estandarizada "Z" que siempre tendra como media cero y
desviacin tpica 1; y as se tendra la posibilidad de tabular los resultados.
Pues bien Z N(0,1) y su funcin de probabilidad es:
2
2
1
2
1
) (
z
z f
donde: Z
x
=
1
2 1 2
K
= 2, 3;
2
=
/(
- 2) para
=3, 4
Cuando
2
= X
2
1 + X
2
2 + ... + X
2
v
A la distribucin, se le llama distribucin de Ji-cuadrado, siendo su funcin de
densidad:
f x K ( )
( )/
=
e
-x/2 2 2
Cuando x > 0
y (x ) = 0 cuando x 0
En esta funcin (nu), es un entero positivo, que se le llama grado de libertad de
la distribucin y K es una constante que depende de
Para > 2 la curva de (x) tiene un mximo en x = ( - 2)
La distribucin
2
tiene como = y
2
=2
Cuando (nu) es grande ( > 30) la distribucin
2
se puede aproximar a la
distribucin normal. Observe que esta distribucin depende de un slo parmetro
(nu).
La funcin de distribucin viene dada por:
=
xk
dx x f x F
0
) ( ) (
Y est tabulada para distintos valores de los grados de libertad (el nmero de
variables independientes que intervienen en una expresin dada)
Es una distribucin deformada a la derecha:
109
0
Estructura de la tabla: Tabla limitada para algunos valores de (nu), no es posible
el total en el recorrido 0 < x <
Novedad: El rea o probabilidad se encuentra en la primera fila y en la primera
columna los grados de libertad, y en el cuerpo de la tabla estn los valores de ji-
cuadrado.
Como lo que est tabulado en la funcin de distribucin, la misma proporciona el
rea desde cero hasta un punto.
ENEMPLO/
Se conoce que una variable en estudio tiene una distribucin
2
, resuelva las
siguientes proposiciones:
a.- Calcule P (
2
(17) >10.1) y represente el rea en un grfico.
b.- Halle P(5.7 <
2
(17) < 21.6)
c.- Diga el valor de P(
2
(17) < 27.6)
d.- Hallar Xk si P(
2
(17) >
2
k) = 0.8
e.- Calcule la P(7.56 <
2
(17) < 16.3)
f.- Hallar los g.l. que satisfacen P(
2
> 8.9) = 0.99
g.- De la lectura de los valores en la tabla de F(x) diga que valores
2
1 y
2
2
alrededor de
2
(21) = 20.3 forman probabilidades de reas centrales.
Solucin:
110
a.- P(
2
17) > 10.1) = 1 - P(
2
(17) < 10.1)
= 1 - F
2
(10.1) se busca en la tabla a partir de = 17
= 1 - 0.10 el valor en esa lnea = 10.1 y el valor
= 0.90 que le corresponde en la primera fila
es la probabilidad buscada, resultando en este caso igual a 0.10. Y as se
procede en todos los casos. Esta tabla es similar a la de t'student en la forma de
proceder para obtener la probabilidad.
(Aqu en este inciso se aplic una de las propiedades de la F(x).
b.- P(5.7 <
2
(17) < 21.6) = F
2
(21.6) - F
2
(5.7) por propiedad de Fx
= 0.80 - 0.005 = 0.755
c.- P(
2
(17) < 27.6) = F
2
(27.6) = 0.95 por definicin de F(x)
d.- P(
2
(17) > Xk) = 0.8 ===> P(
2
(17) < Xk) = 0.20 por tanto Xk = 12
e.- P(7.56 <
2
(17) < 16.3) = F
2
(16.3) - F
2
(7.56)
= 0.50 - 0.025 = 0.475 por propiedad de Fx
f.- P(
2
> 8.9) = 0.99 ===> P(
2
< 8.9) = 0.01 por tanto = 21 esto se obtiene
recorriendo los valores de
2
0.01 y donde est 8.9 un valor prximo a l, y se
busca el grado de libertad que le corresponde a este valor.
g.- Puntos
2
1 y
2
2 simtricos que forman un rea central con
2
21 = 20.3 son:
2
1
2
2 Probabilidad rea
17.2 23.9 0.30 0.70 0.40
15.4 26.2 0.20 0.80 0.60
13.2 29.6 0.10 0.90 0.80
11.6 32.7 0.05 0.95 0.90
10.3 35.5 0.025 0.975 0.95
8.9 38.9 0.01 0.99 0.98
8.03 31.4 0.005 0.995 0.99
De esta distribucin puede hacer los ejercicios 360 a 366 del laboratorio de
Estadstica Matemtica en las pginas desde la 243 a 246.
Distribucin S%T !e %is6er
111
AUTOEVALUACION
<.- Cules son las caractersticas de la distribucin normal
..- Qu parmetros la definen?
;.- Qu distribucin tiene Z, y cules son su media y varianza?
112
C.- A qu tipo de variable corresponden estos tres modelos: Normal, T'Student y
Ji-Cuadrado?
*.- El anlisis estadstico de 1000 llamadas telefnicas de larga distancia
realizadas desde las oficinas centrales de la Corporacin Cimex, seala que la
duracin de estas llamadas est distribuida normalmente con = 240 segundos y
desviacin tpica igual a 40 segundos.
a.- Qu porcentaje de llamadas dur menos de 180 segundos?
b.- Cul es la probabilidad de que una llamada en particular durara entre 180 y
300 segundos?
c.- Cuantas llamadas duraron menos de 180 segundos ms de 300 segundos?
d.- Qu porcentaje de las llamadas dur entre 110 y 180 segundos?
e.- Cul es la duracin mnima del 1% de las llamadas ms largas?
D.- Determine el valor de Xo en cada uno de los siguientes casos:
a.- P(Xo < X < 26,2) = 0.98 conociendo que X sigue
2
12
b.- P(Xo < X < 2,76) = 0.98 conociendo que X sigue t (10)
E.- Calcule cada uno de los valores siguientes:
Con <* (ra!os !e #iberta!:
a.- t0.90 b.- t0.10 c.-t0.95 d.-t0.05 e.-t0.975 f.-t0.025
g.- t0.99 h.- t0.01 i.-t0.995 j.-t0.005
Con .* (ra!os !e #iberta!/
a.-
2
0.90 b.-
2
0.10 c.-
2
0.95 d.-
2
0.05 e.-
2
0.99 f.-
2
0.01
g.-
2
0.975 h.-
2
0.025 i.-
2
0.995 j.-
2
0.80
113