쾨니히의 정리(세트 이론)

In set theory, König's theorem states that if the axiom of choice holds, I is a set, $\kappa _{i}$ and $\lambda _{i}$ are cardinal numbers for every i in I, and $\kappa _{i}<\lambda _{i}$ for every i in I, then

\displaystyle \sum _{i\in I}\kappa _{i}<\prod _{i\in I}\lambda _{i}.}

여기서의 합은 세트_i m의 불연속 결합의 카디널리티이고, 제품은 데카르트 제품의 카디널리티다.그러나 선택의 공리를 사용하지 않으면 합과 산출물을 기수로 정의할 수 없으며 불평등 기호의 의미를 명확히 할 필요가 있을 것이다.

쾨니히의 정리는 쾨니히(1904)에 의해 0이 아닌 기수 순서의 합이 그들의 생산물보다 엄격히 증가하는 약간 약한 형태로 도입되었다.

세부 사항

결과의 정확한 진술: 만약 내가 세트라면, $A_{i}<B_{i}$ 와_i B는_i I의 모든 I에 대해, $A_{i}<B_{i}$ Ai $A_{i}<B_{i}$ < $A_{i}<B_{i}$ i {\ $displaystyle$ A_ ${i$ }< $B_{i}}>$ 에 대해 $A_{i}<B_{i}$ 설정된다.

\sum _{i\in I}A_{i}<\prod _{i\in I}B_{i}}

여기서 <는 카디널리티에서 절대적으로 적은 것을 의미한다. 즉, A에서_i B까지_i 주사 기능이 있지만 다른 방향으로 가는 것은 아니다.관련 노조가 해체될 필요는 없다(비분립노조는 선택의 공리를 전제로 한 해체본보다 더 클 수 없다).이 공식에서 쾨니히의 정리는 선택의 공리와 동등하다.^[1]

(물론 쾨니히의 정리는 기수 m과_i n이_i 유한하고 지수 set I이 유한하다면 사소한 것이다.내가 비어 있으면 왼쪽 합은 빈 합이고 따라서 0인 반면 올바른 제품은 빈 제품이고 따라서 1)이다.

쾨니히의 정리가 주목할 만한 것은 결론의 엄격한 불평등 때문이다.예를 들어 i < $m_{i}<n_{i}$ i $m_{i}<n_{i}$ {\ $displaystyle m_{i}<n_{i}}},$ I에 있는 모든 I에 $m_{i}<n_{i}$ 대해 결론을 내릴 수만 있다면, 무한의 총액과 추기경들의 산출물에는 쉬운 규칙이 많이 있다.

\sum _{i\in I}m_{i}\leq \sum _{i\in I}n_{i}}

예를 들어 $n_{i}=2$ m $m_{i}=1$ = $m_{i}=1$ $m_{i}=1$ 및 $n_{i}=2$ $n_{i}=2$ = 2 $n_{i}=2$ 를 설정하면 지수 set I가 자연수인 경우, 양쪽에 대해 $\aleph _{0}$ $\aleph _{0}$ ${\$ 의 합계가 산출되며, 우리는 동등하다.

쾨니히의 정리 코롤러리

$\kappa }$ 이(가) 추기경이라면 $\kappa$ $\kappa <2^{\kappa }$ < $\kappa <2^{\kappa }$ $\kappa <2^{\kappa }$ $<\$ \displaystyle \ $cappa$

κ에서 i마다_i m = 1_i, n = 2를 취하면, 위의 불평등의 왼쪽은 κ에 불과한 반면, 오른쪽은 κ에서^κ {0}까지의 함수 카디널리티, 즉 κ의 동력 집합의 카디널리티인 것이다.따라서 쾨니그의 정리는 칸토르의 정리에 대한 대체 증거를 우리에게 준다.(물론 역사적으로 칸토르의 정리가 훨씬 앞서 증명되었다.)

선택공리

선택의 공리를 말하는 한 가지 방법은 "비어 있지 않은 세트의 임의적인 데카르트 제품은 비어 있지 않다"이다.B를_i I의 각 I에 대해 비어 있지 않은 세트가 되게 하라.I의 각 I에 대해 A_i = {}을(를) 두십시오.따라서 쾨니그의 정리로는 다음과 같은 것이 있다.

i $\forall i\in I(\{\}<B_{i})$ I $\forall i\in I(\{\}<B_{i})$ ( $\forall i\in I(\{\}<B_{i})$ { $\forall i\in I(\{\}<B_{i})$ < B $\forall i\in I(\{\}<B_{i})$ ) ${\displaystyle \forall$ i $\$ in I $(\{\}<B_{i$ }}})인 경우 $\{\}<\prod _{i\in I}B_{i}$ { $\{\}<\prod _{i\in I}B_{i}$ I $\{\}<\prod _{i\in I}B_{i}$ $\{\}<\prod _{i\in I}B_{i}$ B $\{\}<\prod _{i\in I}B_{i}$ ${\$ I $\{\}<\prod _{i\in I}B_{i}$

즉, 주어진 비어 있지 않은 세트_i B의 데카르트 제품은 빈 세트 합보다 카디널리티가 더 크다.그러므로 그것은 비어 있지 않다, 이것은 선택의 공리가 말하는 것이다.쾨니히의 정리로부터 선택의 공리가 따르기 때문에, 우리는 그 정리의 결과를 논의할 때 선택의 공리를 자유롭고 암묵적으로 사용할 것이다.

쾨니히의 정리 및 공동 마무리

쾨니히의 정리도 추기경 수의 공정에 중요한 결과를 가져온다.

$\kappa \geq \aleph _{0}$ $\kappa \geq \aleph _{0}$ ${\$ 인 경우 $\kappa <\kappa ^{\operatorname {cf} (\kappa )}$ < $\kappa <\kappa ^{\operatorname {cf} (\kappa )}$ cf cf $\kappa <\kappa ^{\operatorname {cf} (\kappa )}$ ( $\kappa <\kappa ^{\operatorname {cf} (\kappa )}$ $){\$ $\kappa <\kappa ^{\operatorname {cf} (\kappa )}$

κ에 접근하는 서수의 엄격히 증가하는 cf(cf)시퀀스를 선택한다.각각 κ보다 작기 때문에 κ인 그들의 합은 κ의 cf(κ)복사본의 산물보다 적다.

이스턴의 정리에 따르면 쾨니히의 정리의 다음 결과는 정규 추기경들에게 연속 함수에 대한 유일한 비경쟁적 제약이다.

$\kappa \geq \aleph _{0}$ $\kappa \geq \aleph _{0}$ ${\$ 및 $\lambda \geq 2$ λ 2 ${\displaystyle \lambda \$ $\kappa <\operatorname {cf} (\lambda ^{\kappa })$ $\lambda \geq 2$ 인 경우 $\kappa <\operatorname {cf} (\lambda ^{\kappa })$ $\kappa <\operatorname {cf} (\lambda ^{\kappa })$ < $\da \operatorname {cf$

$\mu =\lambda ^{\kappa }$ = ${\$ $\mu =\lambda ^{\kappa }$ 이(가)와 반대로 $\kappa \geq \operatorname {cf} (\mu )$ $\kappa \geq \operatorname {cf} (\mu )$ cf $\kappa \geq \operatorname {cf} (\mu )$ cf $\kappa \geq \operatorname {cf} (\mu )$ \( $\kappa \geq \operatorname {cf} (\mu )$ ) ${\displaystystyle \kappa$ \geq $\operatorname {cf}(\$ mu )}(\ $mu$ $\kappa \geq \operatorname {cf} (\mu )$ Then using the previous corollary, $\mu <\mu ^{\operatorname {cf} (\mu )}\leq \mu ^{\kappa }=(\lambda ^{\kappa })^{\kappa }=\lambda ^{\kappa \cdot \kappa }=\lambda ^{\kappa }=\mu$ , a contradiction.

쾨니히의 정리 증명

특히 선택의 공리를 포함한 제르멜로-프렌켈 세트 이론을 가정하면 우리는 정리를 증명할 수 있다.Remember that we are given $\forall i\in I\quad A_{i}<B_{i}$ , and we want to show : ${\displaystyle \sum _{i\in I}A_{i}<\prod _{i\in I}B_{i}.$ $}$

선택 공리는 조건 A < B가 A에서 B까지의 기능이 없고 B가 비어 있지 않다는 조건과 동등하다는 것을 암시한다.그래서 우리는 A에서_i B_i≠{}까지의 기능이 없다는 것을 알게 되었고, A에서 B의 제품까지의 해체조합으로부터 B의 제품까지의 기능 f는 어떠한 기능도 허탈하지 않으며 제품이 비어 있지 않다는 것을 보여줘야 한다.제품이 비어 있지 않다는 것은 선택의 공리와 그 요인이 비어 있지 않다는 사실에서 즉시 나타난다.각각의 경우에 나는 B에_i 투영된 f의 구성 하에서 A의 이미지가_i 아닌 B에서_i b를_i 선택한다.그러면 원소 b의_i 제품은 f의 이미지에 없으므로 f는 As의 분리 결합을 B의 제품에 매핑하지 않는다.

메모들

^ Rubin, H.; Rubin, J. E. (1985). Equivalents of the Axiom of Choice, II. New York, NY: North Holland. pp. 185. ISBN 0-444-87708-8.

참조

M. Holz, K. Steffens and E. Weitz (1999). Introduction to Cardinal Arithmetic. Birkhäuser. ISBN 3-7643-6124-7.
쾨니히, J.(1904년),"Zum Kontinuum-Problem", Krazer에, 아돌프(교육.), Verhandlungen 데 dritten Internationalen Mathematiker-Kongresses 하이델베르크에서 vom 8. 변했고 13.8월 1904년,를 대신하여 서명함. 144–147, 2015-01-04에 원래에서 보관 시, 쾨니히, J.(1905년),"Zum Kontinuum-Problem", Mathematische Annalen, 60(2):177–180, doi:10.1007/BF01677263로 출판되 2014-06-14 돌려받지 못 했다.

[Rubin_1985-1] Rubin, H.; Rubin, J. E. (1985). Equivalents of the Axiom of Choice, II. New York, NY: North Holland. pp. 185. ISBN 0-444-87708-8.

[1]

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