포화 모형

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수학 논리학에서, 특히 하위 분야 모델 이론에서, 포화 모델 M은 그 크기를 고려할 때 "합리적으로 예상"될 수 있는 만큼의 완전한 유형을 실현하는 모델이다.예를 들어 하이퍼레알의 초고속 모델은 $\aleph {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1} - 포화상태로$$ 되어 있어 내부 세트의 내림차순마다 비어 있지 않은 교차점이 있음을 의미한다.^[1]

정의

κ은 유한하거나 무한한 추기경이 되고 M은 어떤 1차 언어의 모델이 되게 하라.그 다음, M은 than 이하의 카디널리티의 모든 서브셋 A ⊆ M에 대해, 모델 M은 A를 통해 모든 완전한 타입을 실현하는 경우에 satur 포화상태라고 한다.M 모델은 M -포화상태일 경우 포화상태라고 하며, 여기서 M은 M의 카디널리티를 나타낸다.즉, 크기가 M 미만인 매개변수 집합에 걸쳐 모든 완전한 유형을 실현한다. 일부 저자에 따르면 모델 M이 ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$} -포화되면 countable parameters 집합에 걸쳐 모든 완전한 유형을 실현한다.^[2]다른 사람들에 따르면, 셀 수 있고 포화되면 셀 수 없이 포화상태라고 한다.^[3]

동기

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겉으로 보기에 더 직관적인 개념(모든 유형의 언어가 실현된다는 것)은 너무 약한 것으로 판명된다(그리고 1-sativation과 같은 약한 포화도로 적절하게 명명된다).차이점은 많은 구조물들이 정의할 수 없는 요소들을 포함하고 있다는 사실에 있다(예를 들어, R의 어떤 초월적 요소들은 단어의 정의에 의해, 필드의 언어로 정의할 수 없다).하지만, 그것들은 여전히 구조의 일부를 형성하고 있기 때문에, 우리는 그것들과의 관계를 묘사할 타입이 필요하다.따라서 유형 정의에서 구조로부터 매개변수 집합을 허용한다.이 인수는 우리가 놓칠 수 있는 모델의 특정 특징에 대해 토론할 수 있게 해준다. 예를 들어, 특정 증가 시퀀스_n c에 대한 바운드는 아마도 많은 파라미터를 사용하는 유형 {x c_n c : n ω Ω}을(를) 실현하는 것으로 표현될 수 있다.시퀀스를 정의할 수 없는 경우, 구조에 대한 이 사실은 기본 언어를 사용하여 설명할 수 없으므로, ℵ₁ 포화 구조는 시퀀스를 구속하지 않을 수 있지만, ℵ 포화 구조는 포화 상태가 된다.

모델보다 절대적으로 작은 파라미터 세트만 요구하는 이유는 사소한 것이다: 이러한 제한이 없으면 무한 모델이 포화되지 않는다.모델 M, 타입 {x ≠ m : m ∈ M}을 생각해 보자. 이 타입의 유한 부분집합은 각각 (무한) 모델 M에서 실현되기 때문에, 콤팩트함에 의해 M과 일치하지만, 사소한 것으로는 실현되지 않는다.보편적으로 만족하지 못하는 정의는 무용지물이다. 따라서 제약이 있다.

예

포화 모델은 다음과 같은 특정 이론과 표준에 대해 존재한다.

• (Q, <)—평소의 순서가 있는 합리적인 숫자의 집합은 포화상태다.직관적으로, 이것은 이론과 일치하는 어떤 유형도 순서 유형에 의해 암시되기 때문이다; 즉 변수가 들어오는 순서는 구조에서 그들의 역할에 대해 알아야 할 모든 것을 말해준다.
• (R, <)—평소의 순서가 있는 실수의 집합은 포화 상태가 아니다.예를 들어, 모든 자연수 n에 대해 x> - ${\$을(를) 포함하는 유형(한 변수 x에)과 x< ${\$x$<0}}$을(를)을)을(를)을)을(를 참조하십시오이 유형은 R과 다른 파라미터를 사용한다.형식의 모든 유한 부분 집합은 어떤 실제 x에 의해 R에서 실현되므로, 압축성에 의해 유형은 구조와 일치하지만, 0보다 작은 시퀀스 -1/n(최소 상한)에 대한 상한을 의미하기 때문에 실현되지 않는다.따라서 (R,<)는 Ω₁ 포화되지 않고 포화되지 않는다.그러나 본질적으로 Q와 동일한 이유로 Ω 포화된다. 모든 유한 형식은 주문 유형에 의해 주어지며, 일관성이 있다면 순서의 밀도 때문에 항상 실현된다.
• 엔드포인트 없이 완전히 순서가 정해진 밀도는 ℵ 포화_α 상태인 경우에만 η_α 세트다.
• 하나의 비논리적 기호가 가장자리 존재 관계인 카운트 가능한 무작위 그래프도 포화상태인데, 그 이유는 유형을 정의하는 데 사용되는 변수와 매개변수로 구성된 유한 하위 그래프에 의해 완전한 유형이 분리(흡수)되기 때문이다.

Q 이론과 카운트 가능한 랜덤 그래프의 이론은 모두 등단법을 통해 Ω 범주로 나타낼 수 있다.이것은 다음과 같이 일반화할 수 있다:카디날리티의 독특한 모델 κ은 카운트 가능한 κ 범주형 이론의 포화상태다.

그러나 모든 모델이 포화상태의 초등연장을 가지고 있다는 진술은 ZFC에서 증명할 수 없다.사실, 이 진술은^<κ = = such과 같은 적절한 등급의 추기경의 존재와 동등하다^{[citation needed]}.후자의 정체는 일부 λ의 경우 = = 2^+λ = 2에 해당하거나, κ에 강하게 접근할 수 없다.

프라임 모델과의 관계

포화모델의 개념은 다음과 같은 방법으로 프라임모델의 개념에 이중적이다: T를 1차 언어(즉, 그 언어에서 상호적으로 일관된 문장의 집합)에서 카운트할 수 있는 이론이 되게 하고 P를 T의 프라임모델이 되게 한다.그 후 P는 T의 다른 모델에 기초적으로 내장되는 것을 인정한다.포화 모델에 대한 등가 개념은 T의 "합리적으로 작은" 모델은 포화 모델에 원소적으로 내장된다는 것이다. 여기서 "합리적으로 작은" 모델은 포화 모형이 내장될 모형의 카디널리티를 의미한다.어떤 포화 모델도 동질적이다.그러나, 셀 수 있는 이론의 경우 독특한 프라임 모델이 있지만, 포화 모델은 반드시 특정한 카디널리티에 특정된다.특정한 이론적 설정 가정을 고려할 때 포화 모델(대규모 카디널리티는 아님)은 임의의 이론에 대해 존재한다.λ안정적인 이론에 대해서는 카디널리티 λ의 포화 모델이 존재한다.

메모들

참조

• Chang, C. C.; Keisler, H. J. 모델 이론.제3판.논리와 수학의 기초에 관한 연구, 73.1990년 암스테르담 노스홀랜드 출판사16+16 pp.ISBN 0-444-88054-2
• R. Goldblatt(1998년).과급에 대한 강의.비표준 분석의 도입.스프링거.
• 마커, 데이비드(2002년).모델 이론: 소개.뉴욕: 스프링거-베를라크.ISBN 0-387-98760-6
• Poizat, Bruno; Trans: Klein, Moses (2000), A Course in Model 이론, New York: Springer-Verlag.ISBN 0-387-98655-3
• Sacks, Gerald E. (1972), Saturated model theory, W. A. Benjamin, Inc., Reading, Mass., MR 0398817