Universidade Federal de Viçosa

Departamento de Matemática

MAT 141 (Turma 1) – Cálculo Diferencial e Integral I – 2017/II

1a Lista de Derivadas (26/09/2017)

1) Calcule f 0 (p), usando definição de derivada.

a) f (x) = x2 + x e p = 1. c) f (x) = 2x3 − x2 e p = 1.

1 √
b) f (x) = 2 e p = 2. d) f (x) = 3 x e p = 2.
x

2) Verifique se f é derivável em x = 1. Em caso afirmativo calcule f 0 (1).

( (
2x + 1, se x < 1 x2 + 2, se x < 1
a) f (x) = b) f (x) =
−x + 4, se x ≥ 1 2x + 1, se x ≥ 1
(
x + 1, se x < 2
3) Seja f (x) = 2
. A função f é contı́nua em x = 2? É derivável em x = 2? Justifique.
x + 2, se x ≥ 2

4) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f em (p, f (p)).

√
a) f (x) = x2 e p = 2 b) f (x) = xep=9 c) f (x) = x2 − x e p = 1

dy
5) Calcule .
dx
a) y = x8 + x6 + x5 + 3x c) y = axn + 2xn−1 + kx
2 +a2
b) y − 2 = x−3 + 8x2 d) xb − 4x = y

6) Dê exemplo de uma função real f tal que f 0 (1) = 0. O que este valor significa?

7) Encontre os pontos onde a reta tangente ao gráfico de f definida por f (x) = x4 + 4x é paralela ao eixo x.

8) Ache as condições sobre b, c e d para que o gráfico do polinômio p(x) = x3 + bx2 + cx + d tenha:

a) exatamente duas tangentes horizontais.

b) exatamente uma tangente horizontal.
c) não tenha tangente horizontal.

9) A reta normal ao gráfico de uma função f num ponto do gráfico é a reta perpendicular à reta tangente ao
gráfico da função nesse ponto. Determine a reta normal ao gráfico de f (x) = x3 + 2x − 1 em (1, f (1)).

10) Determine a função derivada de f .

√
a) f (x) = x2 + 3
x + cos(x) + sen(x) x2 ln(x)
c) f (x) = +
ln(x) x
√
3
d) f (x) = tg(x) + cotg (x)
x
b) f (x) = √
2 e) f (x) = cos(40)x
x
 f) f (x) = 4sec (x) − 2cossec (x) x+1
j) f (x) =
2 cos(x)
g) f (x) = x2 sen(x) + 2x cos(x) tg(x)
k) f (x) =
h) f (x) = sen(x) tg(x) cos(x) − 4
sen(x) − 1
i) f (x) = sen(x) cos(x)sec (x) l) f (x) =
cos(x) + 1

11) Sejam f, g e h funções deriváveis. Determine

 0
0 f (x)g(x)
[f (x)g(x)h(x)] e .
h(x)

log2 (x)
12) Determine a derivada de f (x) = .
log4 (x)
ln(x)
Dica: Para x > 0, loga x = , com a > 0 e a 6= 1.
ln(a)
13) Esboce o gráfico de f, f 0 e f 00 .
(
a) f (x) = x2 |x| x2 + 2x, se x ≥ −1
b) f (x) =
x, se x < −1

14) Encontre os valores de x tais que f 0 (x) = 0.

a) f (x) = x2 − 3x + 4 b) f (x) = ex x2
c) f (x) = −
(x − 1)2

15) Dada a função f (x) = (x − 1)3 , determine

a) x tal que f 0 (x) = 0. b) intervalo em que f 0 (x) > 0

16) Cada figura é o gráfico de uma função f . Esboce o gráfico de f 0 e determine onde f não é derivável.

y y
1 1
x x
a) −2 −1 1 2 b) −2 −1 1 2

17) Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função real f tal que f 0 (x) > 0, para todo x ∈ R. O que esse
resultado parece indicar a respeito da função f ?
(1 − x)3
18) Dada a função f (x) = determine:
3x − 2
a) Os valores de x para os quais f 0 (x) = 0.
b) Os valores de x para os quais f 00 (x) = 0.
c) As assı́ntotas verticais e horizontais ao gráfico de f , se existirem.
d) Os intervalos em que f 0 (x) > 0 e os intervalos em que f 0 (x) < 0.
e) Os intervalos em que f 00 (x) > 0 e os intervalos em que f 00 (x) < 0.

19) Mostre que a função y = xe−x satisfaz à equação xy 0 = (1 − x)y.

20) Ao adicionar um bactericida a um meio nutritivo onde bactérias estavam crescendo, a população de bactérias
continuou a crescer por um tempo, mas depois começou a diminuir. O tamanho da população no instante t
(em horas) foi dada por p(t) = 106 + 104 t − 103 t2 . Determine as taxas de crescimento para t = 5 h e t = 10 h.

23) Depois de aberta a válvula inferior de um tanque de armazenamento é necessário esperar 12h para esvaziá-
lo. A profundidade y (em metros) do lı́quido no tanque, t horas depois que a válvula foi aberta, é dada por
t 2


y = 6 1 − 12 metros.
dy
a) Encontre a taxa dt (m/h) de esvaziamento do tanque no instante t.
b) Quando a altura do lı́quido no tanque diminuirá mais rapidamente? E mais lentamente? Quais os valores
de dy
dt nesses instantes?

24) Seja f tal que f (x) = |x2 − 1|. Mostre que f não é derivável nos pontos , x = −1 e x = 1. Para tanto,
analise analiticamente (via definição de derivada) e, depois, geometricamente (exibindo o esboço gráfico de f e
localizando as quinas no gráfico).

25) Considere o gráfico da função real f .

a) Em quais pontos f não é derivável?

b) Em quais pontos f tem derivada nula?
c) Em quais intervalos f tem derivada negativa e/ou positiva? Por que?

26) Associe o gráfico de cada função (a)–(d) com o gráfico de sua derivada em (1)–(4).

27) Se a reta tangente ao gráfico da função f no ponto (4, 3) passa pelo ponto (0, 2), calcule f (4) e f 0 (4).

28) Determine as constantes a e b tais que: f (x) = x2 + ax + b, f (1) = −4 e f 0 (2) = 5.

29) Mostre que a função f (x) = x3 + 7x − 3 não possui uma reta tangente com inclinação igual a 4.

30) Encontre os pontos do gráfico da função f definida por f (x) = x3 − x2 − x + 1 em que a reta tangente é
horizontal.
31) Calcule a área do triângulo retângulo ABC, de ângulo reto em B, indicado na figura. Sabe-se que a reta r é
normal à curva f (x) = x2 − 1 no ponto C, cuja abscissa é 1.

32) A partir dos gráficos das funções reais f e g, exibidos abaixo, esboce o gráfico de f 0 e de g 0 .

33) Os gráficos das funções f e g são dados abaixo. Se p(x) = f (x).g(x) e q(x) = f (x)/g(x), calcule p0 (1) e q 0 (5).

34) Determine a função derivada de f definida por:

√
a) (x2 + 4x − 5)4 h) 1 + 4x2
√
b) (2x4 − 7x3 )e i) 3 2x
√
c) (x2 + 4)−2 j) e x

d) sec (6x) k) ln(x2 + 2x)

e) cotg (10x) l) esen(x)
f) cos(3x2 + 1) m) tg(ln(x))
1
− 21
g) 4x + 5x
2 n) ln(tg(x))

dy
35) Determine .
dx
1 1 √ √
a) + =1 c) 3
x+ 3 xy = 4y 2
x y
b) x2 y 2 = x2 + y 2 d) 2x3 y + 3xy 3 = 5

36) Determine uma equação da reta tangente à curva 16x4 + y 4 = 32 no ponto (1, 2).

37) Determine f n (x), em que:

a) f (x) = 2x4 + 3, n = 3. c) f (x) = cos(x), n = 3.

 2
1
b) f (x) = , n = 2. d) f (x) = sen(2x), n = 50.
x
 x3 dy
38) Seja y = √ . Calcule .
x+ x dx x=1

39) Seja f : R −→ R derivável e seja g(t) = f (t2 + 1). Supondo f 0 (2) = 5, calcule g 0 (1).

40) Calcule as derivadas das seguintes funções

√
a) y = arcsen x
b) y = (1 + arccos 3x)3
c) y = ln(arctg x2 )
3
d) y = 3arcsen x
e) (tg x)arctg x

41) Assuma y em função de x e determine y 0 por derivação implı́cita.

a) y = xsen y
b) ex cos y = xey
c) x2 + xarcsen y = yex
r
1 + x2
42) Verifique que y = é uma solução da equação diferencial
1 − x2

(xy 2 + x) + (x2 y − y)y 0 = 0.

43) Resolva os seguintes problemas de taxas relacionadas:

a) Uma escada de 6 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a
deslizar horizontalmente, à razão de 0,6 m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede, quando
está a 4 m do solo?
b) Dois carros, um dirigindo-se para o leste à taxa de 72 km/h e o outro para o sul à taxa de 54 km/h estão
viajando em direção ao cruzamento de duas rodovias. A que taxa os carros se aproximam um do outro, no
instante em que o primeiro estiver a 400 m e o segundo estiver a 300 m do cruzamento?
c) Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diâmetro varia à razão de 0,01 cm/min. Determine a taxa
à qual a área de uma das faces varia quando o diâmetro está em 30 cm.
d) Um incêndio em um campo aberto se alastra em forma de cı́rculo. O raio do cı́rculo aumenta à razão de
1 m/min. Determine a taxa à qual a área incendiada está aumentando quando o raio é de 20 m.
e) Uma luz está no alto de um poste de 5 m. Um menino de 1,6 m se afasta do poste à razão 1,2 m/s. A que
taxa aumenta o comprimento de sua sombra quando ele está a 6 m do poste? A que taxa se move a ponta
de sua sombra?
f) A areia que vaza de um depósito forma uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio. Se a altura
da pilha aumenta à razão de 15 cm/min, determine a velocidade com que a areia está escoando quando a
altura da pilha é 25 cm.
g) Suponha que uma bola de neve esférica é formada de tal maneira que seu volume aumenta à taxa de 8
dm3 /min. Determine a taxa a qual o raio é aumentado quando a bola de neve tem 4 dm de diâmetro.
 h) As extremidades de um cocho horizontal de 8 m de comprimento são trapézios isósceles de bases de 2 m
e 1 m. A altura do cocho é de 0,6 m. Se o nı́vel da água está subindo à razão de 0,1 cm/min, quando a
profundidade da água é de 0,3 m com que velocidade a água está entrando no cocho?
i) Às 8 h o navio A está a 25 km ao sul do navio B. Se o navio A está navegando para o oeste a uma velocidade
de 16 km/h e o navio B está navegando para o sul a 20 km/h, determine a razão em que a distância entre
os navios está variando às 8h30min.
j) Um farol giratório completa uma volta a cada 15 segundos. O farol está a 60 m de P, o ponto mais próximo
em uma praia retilı́nea. Determine a razão em que um raio de luz do farol está se movendo ao longo da
praia em um ponto, Q, a 150 m de P .

44) Determine a função derivada de f definida por:

a) (5x3 + 2x)3 (x − x2 )2 sen (2x)

j)
√ ln x2
b) 4 1 + 2x + x3
k) 2sen (x2 ) cos(x + 1)
(x − 1)4
c) √
q p
(x2 + 2x)5 l) x + x + x
d) cos(ex + 1) r
x−1
p m)
e) 3 (1 + x4 )2 x+1
x √
f) √ n) e x (x3 − 5x)
2
x +1
√
g) (x2 + 1) 3 x2 + 2 o) ex cos x
 2 
h) sen (sen (sen x))) x sen x
p) ln √
22x cos(3x) 1+x
i) q) tg 2 (3x)
sen (5x)

45) Sejam f e g duas funções diferenciáveis. Se F (x) = f (g(x)), g(3) = 6, g 0 (3) = 4, f 0 (3) = 2 e f 0 (6) = 7, calcule
F 0 (3).

46) Seja g uma função duas vezes derivável e f dada por f (x) = g(x + 2 cos(3x)). Sabendo que g 0 (2) = 1 e que
g 00 (2) = 8, determine f 00 (x) e f 00 (0).

47) Calcule as derivadas das funções hiperbólicas.

48) Determine f 0 (3) sabendo-se que f (5 + 2x) + f (2x2 + 1) = 4x2 + 4x + 2.

49) Mostre que as retas tangentes às curvas C1 : 4y 3 − x2 y − x + 5y = 0 e C2 : x4 − 4y 3 + 5x + y = 0 na origem,

são perpendiculares.
x2 y2
50) Considere a elipse 2 + 2 = 1 e desenhe a reta tangente num ponto arbitrário qualquer (xp , yp ) dessa curva.
a b
Derivando implicitamente, mostre que a tangente, em qualquer ponto arbitrário (xp , yp ) da elipse, tem equação
xp x yp y
+ 2 = 1.
a2 b
51) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de f .

a) f (x) = x3 + 2x2 + x + 1 1
b) f (x) = x +
x
 Gabarito
1) a) 3 1 c) 4 1
b) − d) √
3
4 3 4
f (1 + h) − f (1) f (1 + h) − f (1)
2) a) A função f não é derivável em x = 1, pois lim = −1 e lim = 2.
h→0+ h h→0 − h
b) A função f é derivável em x = p.

3) A função f não é contı́nua em x = 2, pois não existe o limite de f (x) quando x tende a 2. Portanto, f não é
derivável em x = 2.

4) a) y = 4x − 4 b) x − 6y + 9 = 0 c) y = x − 1
dy
5) a) = 8x7 + 6x5 + 5x4 + 3
dx
dy
b) = −3x−4 + 16x
dx
dy
c) = anxn−1 + 2(n − 1)xn−2 + k
dx
dy 2 +a2 −1
d) = (b2 + a2 )xb −4
dx
6) Considere a função f definida por f (x) = x2 − 2x. A tangente ao gráfico de f que passa por (1, f (1)) é
horizontal.
y

x
−2

7) −1

8) a) b2 > 3c, d ∈ R b) b2 = 3c, d ∈ R c) b2 < 3c, d ∈ R

1 11
9) y = − +
5 5
2 g) 2xsen (x) + x2 cos(x) + 2 cos(x) − 2xsen (x)
1 −
10) a) 2x + x 3 − sen (x) + cos(x)
3 h) sen (x) + sen (x)sec 2 (x)
7
1 − i) cos(x)
b) − x 6
6 2 cos(x) + 2(x + 1)sen (x)
2x ln(x) − x 1 − ln(x) j)
c) + 4sen 2 (x)
(ln(x))2 x2
sec 2 (x)(cos(x) − 4) + tg (x)sen (x)
d) sec 2 (x) − cossec 2 (x) k)
(cos(x) − 4)2
e) cos(40)
1 + cos(x) − sen (x)
f) 4sec (x)tg (x) + 2cossec (x)cotg (x) l)
(cos(x) + 1)2

11) [f (x)g(x)h(x)]0 = f 0 (x)g(x)h(x) + f (x)g 0 (x)h(x) + f (x)g(x)h0 (x)

 f (x)g(x) 0 f 0 (x)g(x)h(x) + f (x)g 0 (x)h(x) − f (x)g(x)h0 (x)
=
h(x) (h(x)2 )
12) 0
( ( (
x3 , se x ≥ 0 3x2 , se x ≥ 0 6x, se x ≥ 0
13) a) f (x) = , f 0 (x) = e f 00 (x) =
−x3 , se x < 0 −3x2 , se x < 0 −6x, se x < 0
 y y y
y = f 0 (x)
y = f 00 (x)
y = f (x)
x
x
x

( ( (
x2 + 2x, se x ≥ −1 2x + 2, se x > −1 2, se x > −1
b) f (x) = , f 0 (x) = e f 00 (x) =
x, se x < −1 1, se x < −1 0, se x < −1
y y y
y = f (x) y = f 0 (x) y = f 00 (x)

−1 x x x
−1 −1

14) a) 3/2 b) não existe c) 0

15) a) x = −1 b) f 0 (x) > 0 para x 6= −1

y
16) a) f não é derivável em x = −1 e em x = −1.
1
x
−1 1
−1

b) f não é derivável em x = −1 e em x = −1. y

1
x
−1 1
−1

y
17) A função é crescente.

18) a) x = 1 e x = 1/2
b) 1
c) Assı́ntota vertical em x = 2/3. Não tem assı́ntota horizontal.
d) f 0 (x) > 0 em (−∞, 1/2) e f 0 (x) < 0 em (1/2, 2/3), (2/3, 1) e em (1, +∞).
e) f 00 (x) > 0 em (2/3, 1) e f 00 (x) < 0 em (−∞, 2/3) e em (1, +∞).
dp
20) t = 5, = 0 (parou o crescimento)
dt
dp
t = 10, = −1000 bactérias/h (velocidade decrescente da população de bactérias).
dt
dy t
23) a) = −1
dt 12
 dy dy
b) (0) = −1m/h (mais rapidamente) (12) = 0m/h (mais lentamente)
dt dt
24) f−0 (−1) = −2 e f+0 (−1) = 2. Portanto, não existe f 0 (−1).
f−0 (1) = −2 e f+0 (1) = 2. Portanto, não existe f 0 (1).

25) a) Em x0 = −1 e em x0 = 8 pois o gráfico de f tem uma quina nestes pontos. Em x0 = 4 pois f é descontı́nua
neste ponto. E, em x0 = 11 pois a reta tangente ao gráfico de f é vertical neste ponto, ou seja, o limite da
definição de derivada é infinito.
b) Em x0 = 9 e em x0 = 10 pois, nestes pontos, a reta tangente é paralela ao eixo x.
c) f 0 (x) < 0 nos intervalos (−∞, −1), (8, 9) e (10, +∞), pois nestes intervalos a função é decrescente.
f 0 (x) > 0 nos intervalos (−1, 4), (4, 8) e (9, 10) pois nestes intervalos a função é crescente.

26) (a)-(2); (b)-(4); (c)-(1); (d)-(3).

27) f (4) = 3 e f 0 (4) = 1/4

28) a = 1 e b = −6

29) Mostre que a equação f 0 (p) = 3p2 + 7 = 4 não tem solução em R.

30) Resolva a equação f 0 (x) = 0. Os pontos são (−1/3, 32/27) e (1, 0).

31) Determine a equação da reta normal para obter o ponto A(−3/2, 5/4) (interseção entre a reta e a função). O
ponto B(−3/2, 0) tem abscissa igual a do ponto A. Com isso, a área é igual a 25/16u.a.

33) p0 (1) = 0 e q 0 (5) = −2/3.

34) a) 4(x2 + 4x − 5)3 (2x + 4) 2

2 −
i) (2x) 3
b) e(2x4 − 7x7 )e−1 (8x3 − 21x2 ) 3
c) −2(x2 + 4)−3 (2x) 1
1 − √x
j) x 2 e
d) 6sec (6x)tg (6x) 2
2x + 2
e) −10cossec (10x) k) 2
x +2
f) −6xsen (3x2 + 1)
l) cos(x)esen (x)
1 3
− 5 − 1
g) 2x 2 − x 2 m) sec 2 (ln(x))
2 x
1 1
− n)
2
h) 4x(1 + 4x ) 2 cos(x)sen (x)

y2
p
dy dy y + 3 y2
35) a) =− 2 c) = p √
dx x dx 3
24 3 y 5 . x2 − x
dy x(1 − y 2 ) dy 3y(y 2 + 2x2 )
b) = d) =−
dx y(x2 − 1) dx x(2x2 + 9y 2 )

36) y = −2x + 4

37) a) f 000 (x) = 48x c) f 000 (x) = sen (x)

6
b) f 00 (x) = 4 d) f (50) (x) = −250 sen(2x)
x
 dy 9
38) x=1
=
dx 8
39) g 0 (1) = 10
1
40) a) √ √
2 1−x x
−9(1 + arccos 3x)3
b) √
1 − 9x2
2x
c)
(1 + x4 )arctg x2
3
3 ln 3 x2 3arcsen x
d) √
1 − x6
 
ln(tg x)
e) (tg x)arctg x cotg xsec x arctg x +
1 + x2
sen y
41) a)
1 − x cos y
ex cos y − ey
b)
ex sen y + xey
p
1 − y 2 (yex − arcsen y − 2x)
c) p
x − ex 1 − y 2
√
−3 5 f) 9375π cm3 /min
43) a) m/s
10
b) Os carros se aproximam a uma taxa g) 0.5π dm/min
dz
de 90 Km/h ( = −90). h) 0, 84 dm/min
dx
c) 0, 15π cm2 /min
i) Os barcos se aproximam a uma taxa
d) 40π m2 /min 172 dz 172
de km/h ( =− )
e) velocidade do comprimento da sombra: 0, 564m/s 17 dt 17
velocidade da ponta da sombra: 1, 764 m/s j) 3480π m/min

44) a) (5x3 + 2x)2 (x − x2 )(−65x4 + 55x3 − 14x2 + 10x)

2 + 3x2
b) p
4 4 (1 + 2x + x3 )3
2(x − 1)3 (5 + 4x − 3x2 )
c)
x2 + 2x)6
d) −2xsen(x2 + 1)
8x3
e) √
3 3 1 + x4
1
f) p
(1 + x2 )3
√ x2 + 1
 
3 2
g) 2x x + 2 1 + 2
3x + 6
h) cos[sen (sen (x))] cos[sen(x)] cos(x)
22x ln(4) cos(3x) − 3 22x sen (3x)sen (5x) − 5 22x cos(3x) cos(5x)
i)
sen 2 (5x)
2x cos(2x) ln(x2 ) − 2sen (2x)
j)
2sen (2x)x ln2 (x2 )
 k) 4x cos(x2 ) cos(x + 1) − 2sen (x2 )sen (x + 1)
√ p √ √
4 x x+ x+2 x+1
l) √ p √
q p √
8 x x+ x x+ x+ x
1
m) √
(x + 1) x2 − 1
√
n) e x [ x3 √
−5x
+ 3x2 − 5]
2 x
o) ex cos x[cos x − xsen (x)]
2 1
p) x + cotg x + 2+2x

q) 6tg (3x)sec 2 (3x)

45) F 0 (3) = 28

46) f ”(x) = g”(x + 2 cos(3x))(1 − 6sen (3x))2 − 18 cos(3x)g 0 (x + 2cos(3x)) e f ”(0) = −10.

47) [senh (x)]0 = cosh(x) [coth(x)]0 = − cosech2 (x)

[cosh(x)]0 = senh (x) [sech(x)]0 = − sech(x).tgh (x)
[tgh (x)]0 = sech2 (x) [cosech(x)]0 = − cosech(x) coth(x)

48) 2
1
51) a) estritamente crescente em ] − ∞, −] e [− , +∞[
3
1
estritamente decrescente em [−1, ]
3
b) estritamente crescente em ] − ∞, −] e [1, +∞[
estritamente decrescente [−1, 0[ e ]0, 1].