Limite Anotacao
Limite Anotacao
Limite Anotacao
𝑳𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔: 𝑻𝒆𝒐𝒓𝒊𝒂
Sumário
Sumário ................................................................................................................................................ 1
1 Limites........................................................................................................................................... 2
1.1 Verificar ou calcular o valor dos limites..................................................................................... 4
1.1.1 Limites Triviais ou Imediatos: ............................................................................................ 4
a) Quando já se tem o gráfico ou quando ele é facilmente esboçável ........................................................... 4
b) Limites de Funções Contínuas................................................................................................................................... 8
1.1.2 Limites Não-Imediatos ..................................................................................................... 13
a) Técnicas Algébricas Básicas .................................................................................................................................... 13
b) Limites Inexistentes.................................................................................................................................................... 16
c) Assíntotas ........................................................................................................................................................................ 20
d) Limites Fundamentais ............................................................................................................................................... 23
1.2 Principais Teoremas ............................................................................................................... 24
1.2.1 Teoremas sobre as Propriedades dos Limites ................................................................... 24
1.2.2 Teorema sobre Desigualdade ........................................................................................... 25
1.2.3 Teorema do Confronto ou do Sanduíche ........................................................................... 25
1.2.4 Teorema da Unicidade do Limite ...................................................................................... 26
1.2.5 Definição de Função Contínua (à esquerda e à direita de um ponto e em um ponto) .......... 26
1.2.6 Teorema do Valor Intermediário ...................................................................................... 26
1.3 Revisão .................................................................................................................................. 27
1.3.1 Limites Triviais ou imediatos: quando L=f(a) ................................................................... 27
a) Quando já se tem o gráfico ou quando ele é facilmente esboçável ........................................................ 27
b) Funções Contínuas ...................................................................................................................................................... 27
1.3.2 Limites Não-Imediatos ..................................................................................................... 28
a) Técnicas Algébricas Básicas .................................................................................................................................... 28
b) Limites Inexistentes.................................................................................................................................................... 29
c) Assíntotas ........................................................................................................................................................................ 29
d) Limites Fundamentais ............................................................................................................................................... 30
1.3.3 Teoremas e Revisão Geral ............................................................................................. 31
1.3.4 Ultimate Fight ................................................................................................................. 32
2
1 Limites
Limites
Funções
Quando já se Técnicas Infinitos e Limites
Contínuas Assíntotas
tem o Gráfico Algébricas Inexistentes Fundamentais
L = f(a)
3
𝑳𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔 𝑳𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒊𝒔
𝐸𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠
𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = 𝑳
𝒙→𝒂−
𝑒 𝑑𝑖𝑧𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒:
𝐼𝑠𝑠𝑜 𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑑𝑖𝑧𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑝𝑟ó𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝒙) 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟 𝑑𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎 (𝒂),
𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 (𝒂), 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑝𝑟ó𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝒚) 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟á 𝑑𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 (𝑳).
𝐴𝑛𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒:
𝐸𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠
𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = 𝑳
𝒙→𝒂+
𝑒 𝑑𝑖𝑧𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒:
𝐼𝑠𝑠𝑜 𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑑𝑖𝑧𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑝𝑟ó𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝒙) 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟 𝑑𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎 (𝒂),
𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒎𝒂𝒊𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 (𝒂), 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑝𝑟ó𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝒚) 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟á 𝑑𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 (𝑳).
𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖çã𝑜 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
Respostas:
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) =
𝑥→5−
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) =
𝑥→5+
𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒖çã𝒐:
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎𝑠:
𝑖𝑖) 𝐷𝑎í
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) =
𝑥→0−
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) =
𝑥→0+
𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑓(𝑥) = ⌊𝑥⌋, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 (𝑥) 𝑅𝑒𝑎𝑙, 𝑓(𝑥) é 𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜
𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒖çã𝒐:
𝑳𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔
𝑆𝑢𝑝𝑜𝑛ℎ𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) 𝑒𝑠𝑡𝑒𝑗𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑠𝑒𝑢 𝐷𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 𝑒𝑚 𝑢𝑚 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑑𝑜 (𝑎),
(∗)
⏞
𝒆𝒙𝒄𝒆𝒕𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒔𝒊𝒗𝒆𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝒂𝒃𝒔𝒄𝒊𝒔𝒔𝒂 (𝒂) , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = 𝑳
𝒙→𝒂
𝑒 𝑑𝑖𝑧𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒:
𝒐 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒇(𝒙), 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙 𝒕𝒆𝒏𝒅𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒂 𝒂𝒃𝒔𝒄𝒊𝒔𝒔𝒂 (𝒂), é 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 à 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂 (𝑳).
𝐼𝑠𝑠𝑜 𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑑𝑖𝑧𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑝𝑟ó𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝒙) 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟 𝑑𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎 (𝒂),
𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝑝𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝒊𝒏𝒇𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒂 (𝒂), 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒐 𝑝𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓𝒆𝒔 𝑎 (𝒂),
(∗) 𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑠𝑒 𝑜𝑠 3 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑛𝑡𝑒𝑠, 𝑞𝑢𝑒 𝑠ã𝑜 𝑖𝑑ê𝑛𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠, 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑎𝑏𝑖𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎 (𝑎):
𝒒𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒂 𝒂𝒃𝒔𝒄𝒊𝒔𝒔𝒂 𝒇𝒐𝒓 (𝒂), 𝑠𝑒𝑟á 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒: 𝒍𝒊𝒎− 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎+ 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = 𝑳
𝒙→𝒂 𝒙→𝒂 𝒙→𝒂
∗ 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑜𝑠 3 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠, 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 (𝑎) é 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (𝑎, 𝐿).
𝟏) 𝒇(𝒂) 𝒆𝒔𝒕á 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒅𝒂, 𝒐𝒖 𝒔𝒆𝒋𝒂, (𝒂) 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏𝒄𝒆 𝒂𝒐 𝑫𝒐𝒎í𝒏𝒊𝒐 𝒆 (𝒇(𝒂)) 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏𝒄𝒆 à 𝑰𝒎𝒂𝒈𝒆𝒎
Encontrar o valor dos Limites em intervalos onde as funções são contínuas é muito
fácil, pois basta calcular o f(a) e igualar o valor encontrado ao limite desejado.
𝑷𝒓𝒐𝒑𝒓𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒅𝒂𝒔 (𝑭𝒖𝒏çõ𝒆𝒔 𝑪𝒐𝒏𝒕í𝒏𝒖𝒂𝒔 𝒆𝒎 𝒔𝒆𝒖𝒔 𝑫𝒐𝒎í𝒏𝒊𝒐𝒔)
𝑆𝑒𝑗𝑎𝑚 𝑓(𝑥) 𝑒 𝑔(𝑥) 𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎𝑠, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜:
Notas ao Leitor
✓ Para que você domine os Limites das seguintes funções, será necessário que você ou se recorde ou
saiba identificar rapidamente os Domínios de todas elas, assim como que se recorde ou saiba
esboçar rapidamente os gráficos de todas elas.
✓ Talvez isto seja complicado neste momento por causa de eventuais deficiências em Matemática
Básica. Mas, de uma forma ou de outra, sugiro que não se preocupe! Não tente decorar todos estes
gráficos na força bruta, não há necessidade!
✓ Apenas continue a leitura e o estudo desta apostila, pois ao longo dos capítulos e ao final do tópico
Análise Gráfica o aluno já NÃO irá precisar lembrar de gráfico algum, pois já será capaz de esboçá-los
todos rapidamente.
Perceba que, inclusive funções como a seguinte, são contínuas em seus domínios:
𝟒
𝟏 𝟑 (−𝟓)
𝟐
𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 − 𝟕
√
𝑬𝒙. 𝒅𝒆 𝑭𝒖𝒏çã𝒐 𝑨𝒍𝒈é𝒃𝒓𝒊𝒄𝒂: 𝟑𝒙 + + 𝒙 +
𝒙 −𝒙𝟓 + 𝟑𝒙 − 𝟖
𝑨𝒔 𝟑 𝑬𝒙𝒄𝒆çõ𝒆𝒔 𝑰𝒎𝒑𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔
𝐴𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠 𝑠ã𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎𝑠 𝑒𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑢 𝑝𝑟ó𝑝𝑟𝑖𝑜 𝐷𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜:
𝐹𝑢𝑛çã𝑜 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝐹𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑥 𝑂 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑎 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑥
𝑂𝑢 𝐹𝑢𝑛çã𝑜 𝑆𝑒𝑟𝑟𝑜𝑡𝑒 𝑜𝑢 𝐷𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑆𝑒𝑟𝑟𝑎 𝒇(𝒙) = { 𝒙 } = 𝒙 − ⌊ 𝒙 ⌋
(𝑆𝑎𝑤 𝑇𝑜𝑜𝑡ℎ 𝑊𝑎𝑣𝑒 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛)
𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑎 𝑞𝑢𝑒: ⌊ 𝒙 ⌋ + { 𝒙 } = 𝒙
𝑅𝑒𝑙𝑒𝑚𝑏𝑟𝑒:
𝐷𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎, 𝑜 𝑎𝑙𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑣𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 𝑠ã𝑜 𝑻𝑹𝑰𝑽𝑰𝑨𝑰𝑺,
𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 à 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎 (𝑎), 𝒃𝒂𝒔𝒕𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒆 𝒇(𝒂).
𝑥2 + 6 (3)2 + 6
𝑙𝑖𝑚 (2√𝑥 + 1 + √2𝑥 + ) = 𝑙𝑖𝑚 (2√(3) + 1 + √2(3) + ) = 7 + √6
𝑥→3 𝑥2 − 4 𝑥→3 (3)2 − 4
2 4 −5 −𝑥 3 + 4𝑥 − 9 2 4 −(1)3 + 4(1) − 9
𝑙𝑖𝑚 (3𝑥 2 +
+ √𝑥 + 𝑥 − 1 + ) = 3. (1)2
+ + √(1) −5 + 1 − 1 +
𝑥→1 𝑥 −𝑥 5 + 3𝑥 − 8 1 −(1)5 + 3(1) − 8
−6
=3+2+1+ =7
−6
𝑙𝑖𝑚(𝑥 𝑥 ) =
𝑥→𝑒
𝑙𝑖𝑚𝜋([𝑠𝑒𝑛(𝑥 )]𝑠𝑒𝑛(𝑥) ) =
𝑥→
6
𝑭𝒖𝒏çã𝒐 𝑳𝒐𝒈𝒂𝒓í𝒕𝒎𝒊𝒄𝒂: 𝑙𝑖𝑚 (log10 𝑥) = log10 100 = log10 102 = 2 log10 10 = 2.1 = 2
𝑥→100
𝑥 2
𝑂𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: 𝑙𝑖𝑚(𝑙𝑛(𝑥 𝑥 + 𝑥 3 + 2𝑥 + 𝑥 + log 2 𝑥)) = 𝑙𝑛(22 + 23 + 22 + 2 + log 2 2)
𝑥→2
= ln(24 + 23 + 22 + 2 + 1) = ln(16 + 8 + 4 + 2 + 1) = ln(31)
12
𝑭𝒖𝒏çõ𝒆𝒔 𝑻𝒓𝒊𝒈𝒐𝒏𝒐𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔
Nota: as demais Funções Trigonométricas serão tratadas no Apêndice ao final deste Capítulo.
|𝑥|
2) 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑒: 𝑙𝑖𝑚 (𝑥 + |𝑥| + )=
𝑥→5 𝑥
|𝑥|
3) 𝑙𝑖𝑚+ (𝑥 + |𝑥| + )=
𝑥→0 𝑥
𝑭𝒖𝒏çõ𝒆𝒔 ⌊ 𝒙 ⌋, { 𝒙 } 𝒆 ⌈ 𝒙 ⌉:
4) 𝑙𝑖𝑚 (⌊ 𝑥 ⌋ + { 𝑥 } + ⌈ 𝑥 ⌉) =
𝑥→(12,7)−
5) 𝑙𝑖𝑚 (⌊ 𝑥 ⌋ + { 𝑥 } + ⌈ 𝑥 ⌉) =
1 +
𝑥→(𝑛+ ) , (𝑛 ∈ 𝑁)
2
13
De uma forma ou de outra, para avaliarmos ambos os casos acima, utilizaremos artifícios matemáticos como:
𝒙𝟐 − 𝟒
𝑪𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒆 𝒐 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒊𝒏𝒕𝒆 𝑳𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆: 𝒍𝒊𝒎 =𝑳
𝒙→𝟐 𝒙−𝟐
1ª Análise: Tentemos calcular o f(2) por Substituição Direta como temos feito até agora:
𝑥 2 − 4 22 − 4 0
𝑙𝑖𝑚 = = (𝐼𝑛𝑑𝑒𝑟𝑡𝑒𝑚𝑖𝑛𝑎çã𝑜)
𝑥→2 𝑥 − 2 2−2 0
Como não conseguimos calcular por Substituição Direta, teremos que aplicar outras técnicas para
conseguir calcular limites deste tipo.
𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑠 (𝒙) 𝑠𝑒 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎 (𝟐), 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑝𝑟ó𝑥𝑖𝑚𝑜 𝒇(𝒙) 𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 (𝟒).
𝐸𝑛𝑡𝑟𝑒𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜, 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑓𝑖𝑟𝑚𝑎𝑟 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑔𝑜𝑟𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑳 𝒔𝒆𝒓á 𝒆𝒙𝒂𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂 4.
𝑃𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝐿 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑢𝑚 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑖𝑡𝑜 𝑝𝑟ó𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑎 𝑒𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑜 4,0000000001, 𝑜𝑢 𝑢𝑚 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟.
14
𝑁𝑜𝑡𝑎: 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠 𝑓(𝑥) 𝑒 𝑔(𝑥) 𝑠ã𝑜 𝒒𝒖𝒂𝒔𝒆 𝑖𝑑ê𝑛𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠, 𝑎 ú𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 é 𝑞𝑢𝑒
𝑔(𝑥) 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 (2) 𝑛𝑜 𝑠𝑒𝑢 𝑑𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜, 𝑒𝑛𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑓(𝑥) 𝑛ã𝑜 𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖.
2
𝑥2 − 4
𝑥 −4 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ 2
𝑓(𝑥) = ; 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 2) 𝑒 ℎ(𝑥) = { 𝑥 − 2
𝑥−2
6, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 2
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑠 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜𝑠, 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑒 − 𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑠 𝑡𝑟ê𝑠 𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑒𝑚 𝑜 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜
𝑁𝑜𝑡𝑎 1: 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝒐 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 (𝒂) 𝒑𝒐𝒅𝒆 𝒏𝒆𝒎 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏𝒄𝒆𝒓
𝒂𝒐 𝑫𝒐𝒎í𝒏𝒊𝒐 𝒅𝒂 𝒇𝒖𝒏çã𝒐, 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎.
𝑁𝑜𝑡𝑎 2: 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑖𝑜 é 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (2, 4).
𝑥2 − 4
𝑓(𝑥) = { 𝑥 − 2 , 𝑥 ≠ 2
3𝑝 − 5, 𝑥 = 2
𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒖çã𝒐: 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑢𝑗𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑒 2, 𝑏𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝟐)
𝒙→𝟐
𝒙𝟐 − 𝟒 (𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟐) ∗
𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑎 𝑞𝑢𝑒, 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑚 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝒍𝒊𝒎 = 𝒍𝒊𝒎 ⏞ 𝒍𝒊𝒎 (𝒙 + 𝟐) = 𝟐 + 𝟐 = 𝟒
=
𝒙→𝟐 𝒙 − 𝟐 𝒙→𝟐 (𝒙 − 𝟐) 𝒙→𝟐
∗
𝑴é𝒕𝒐𝒅𝒐 𝑮𝒆𝒓𝒂𝒍 ( =
⏞)
1) 𝑭𝒂𝒕𝒐𝒓𝒂çã𝒐:
𝑥 2 − 32 (𝑥 − 3)(𝑥 + 3) ∗
𝑙𝑖𝑚 ( ) = 𝑙𝑖𝑚 ( ⏞ 𝑙𝑖𝑚(𝑥 + 3) = 3 + 3 = 2.3 = 6
)=
𝑥→3 𝑥−3 𝑥→3 (𝑥 − 3) 𝑥→3
2) 𝑫𝒆𝒔𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂çã𝒐:
𝒙 ∗ 1 1
= 𝑙𝑖𝑚 ( )=
⏞ 𝑙𝑖𝑚 ( )=
𝑥→0 𝒙(√𝑥 + 3 + √3) 𝑥→0 √𝑥 + 3 + √3 2√3
3) 𝑴𝒖𝒅𝒂𝒏ç𝒂 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊á𝒗𝒆𝒍:
3
√𝑥 − 1
𝑙𝑖𝑚 ( ) ; √𝑥 ∈ 𝑅 → 𝑥 > 0 → 𝑥 = 𝑡 6 𝑒 𝑛𝑜𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑥 → 1 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑚 𝑡 6 → 1
𝑥→1 √𝑥 − 1
3
√𝑡 6 − 1 𝑡2 − 1 (𝑡 − 1)(𝑡 + 1) ∗ 𝑡+1 2
𝑙𝑖𝑚 ( ) = 𝑙𝑖𝑚 ( 3 ) = 𝑙𝑖𝑚 ( 2
) =
⏞ 𝑙𝑖𝑚 ( 2 )=
6
𝑡→1 √𝑡 − 1 𝑡→1 𝑡 − 1 𝑡→1 (𝑡 − 1)(𝑡 + 𝑡 + 1) 𝑡→1 𝑡 + 𝑡 + 1 3
4) 𝑩𝒊𝒏ô𝒎𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝑵𝒆𝒘𝒕𝒐𝒏:
𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑜 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 7 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖 𝑗𝑢𝑠𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑥 2 . (𝐴𝑠𝑠𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑟á 𝑎𝑏𝑜𝑟𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑚 𝑏𝑟𝑒𝑣𝑒)
(𝑥 + ∆𝑥)2 − (𝑥)2
𝑁𝑎 𝑛𝑜𝑡𝑎çã𝑜 𝑢𝑠𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑡𝑒𝑟í𝑎𝑚𝑜𝑠: 𝑆𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 ; 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 ( ) = 2𝑥.
∆𝑥→0 ∆𝑥
𝑵𝒐𝒕𝒂: 𝒏𝒐 𝒕ó𝒑𝒊𝒄𝒐 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝒐 𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒍′ 𝑯𝒐𝒔𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍, 𝒔𝒆𝒓á 𝒆𝒏𝒔𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒎𝒐 𝒆𝒇𝒆𝒕𝒖𝒂𝒓 𝒕𝒐𝒅𝒐𝒔 𝒆𝒔𝒕𝒆𝒔 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔 𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒔𝒆𝒎𝒑𝒓𝒆
𝒖𝒎𝒂 𝒎𝒆𝒔𝒎𝒂 𝒓𝒆𝒈𝒓𝒂! 𝑻𝒐𝒅𝒂𝒗𝒊𝒂, 𝒂𝒔 𝒓𝒆𝒇𝒆𝒓𝒊𝒅𝒂𝒔 𝒕é𝒄𝒏𝒊𝒄𝒂𝒔 𝒂𝒍𝒈é𝒃𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔 𝒔ã𝒐 𝒎𝒖𝒊𝒕𝒐 𝒊𝒎𝒑𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍𝒆𝒗𝒂𝒓 𝒐 𝒏í𝒗𝒆𝒍 𝒅𝒂 𝒔𝒖𝒂
Á𝒍𝒈𝒆𝒃𝒓𝒂, 𝒑𝒐𝒊𝒔 𝒕𝒂𝒊𝒔 𝒓𝒆𝒄𝒖𝒓𝒔𝒐𝒔 𝒂𝒍𝒈é𝒃𝒓𝒊𝒄𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒅𝒆𝒎 𝒔𝒆𝒓 𝒓𝒆𝒒𝒖𝒊𝒔𝒊𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒂 𝒒𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒆𝒓 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒏𝒂𝒔 𝒒𝒖𝒆𝒔𝒕õ𝒆𝒔!
16
b) Limites Inexistentes
𝑨𝒕𝒆𝒏çã𝒐!
𝒆𝒏𝒕ã𝒐 𝑒𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑢𝑚 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 (Ú𝒏𝒊𝒄𝒐, 𝑭𝒊𝒏𝒊𝒕𝒐 𝒆 𝑩𝒆𝒎 𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒅𝒐) 𝒑𝒂𝒓𝒂 (𝑳)!
→ 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑨𝒐 𝐼𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 (𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎 = ± ∞) 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑖𝑚 (𝑓(𝑥)) = 𝐿,
𝑥→±∞
𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 (𝑳) 𝒖𝒎 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 (Ú𝒏𝒊𝒄𝒐, 𝑭𝒊𝒏𝒊𝒕𝒐 𝒆 𝑩𝒆𝒎 𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒅𝒐).
→ 𝑳𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔 𝑰𝒏𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒐𝒔 (𝑳 = ± ∞) 𝒏ã𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎, 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑳 𝒏ã𝒐 é 𝒖𝒎 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒐 𝒏𝒆𝒎 𝒃𝒆𝒎 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒅𝒐.
𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝐵𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
→ 𝑆𝑒 𝑎 ≠ ± ∞ 𝑒 𝑙𝑖𝑚− 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚+ 𝑓(𝑥) = 𝐿, 𝒑𝒐𝒅𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒔𝒄𝒓𝒆𝒗𝒆𝒓 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = 𝑳
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝒙→𝒂
𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑚 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝐵𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (𝑎, 𝐿), 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟:
𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑎 𝑞𝑢𝑒
𝑀𝑎𝑠:
𝑁𝑜𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎 é 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎 é 1 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎 é 4.
𝑳𝒆𝒎𝒃𝒓𝒆 − 𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆: (∄) 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂 (𝒏ã𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆), 𝒆𝒏𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒒𝒖𝒆: (∃) 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂 (𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆)
17
𝑪𝒂𝒔𝒐 𝟐:
𝜋
𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑒𝑛 ( )
𝑥→0 𝑥
𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑛𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑛ã𝑜 𝑒𝑠𝑡á 𝑏𝑒𝑚 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜, 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑠𝑒𝑢 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 [−1,1].
𝐿𝑜𝑔𝑜:
𝝅
[𝒍𝒊𝒎 𝒔𝒆𝒏 ( )] ∄ (𝑵ã𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆)
𝒙→𝟎 𝒙
𝑪𝒂𝒔𝒐 𝟑:
𝑶𝒔 𝑳𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔 𝑰𝒏𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒐𝒔
𝐴𝑛𝑎𝑙𝑖𝑠𝑒 𝑜𝑠 𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜:
1 1
𝑎) 𝑦 = 𝑏) 𝑦 = +4
𝑥 𝑥−2
𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑎 𝑞𝑢𝑒:
1 1
𝑙𝑖𝑚− ( ) = −∞ 𝑒 𝑙𝑖𝑚+ ( ) = +∞
𝑥→0 𝑥 𝑥→0 𝑥
1 1
𝑙𝑖𝑚− ( + 4) = −∞ 𝑒 𝑙𝑖𝑚+ ( + 4) = +∞
𝑥→2 𝑥−2 𝑥→2 𝑥−2
18
➢ 𝑂 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 (±∞) 𝑛ã𝑜 é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑒𝑙𝑒 𝑛ã𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑒 𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠
𝑑𝑒 𝑎𝑑𝑖çã𝑜, 𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎çã𝑜, 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎çã𝑜, 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠ã𝑜, 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎çã𝑜, 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑎çã𝑜.
∞
𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚, 𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠õ𝑒𝑠 𝑠ã𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠: ∞ − ∞, 𝑒𝑡𝑐.
∞
𝑁𝑜𝑡𝑎 𝐼𝑚𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒: 𝑶𝒔 𝑳𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔 𝒂𝒃𝒂𝒊𝒙𝒐 𝑬𝑿𝑰𝑺𝑻𝑬𝑴 𝒑𝒐𝒓 𝒑𝒐𝒔𝒔𝒖𝒊𝒓 𝒖𝒎
𝑚𝑎𝑠 𝑵Ã𝑶 𝑠ã𝑜 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝐿𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑖𝑠 𝑵𝑬𝑴 𝐵𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑖𝑠. 𝑆ã𝑜 𝑎𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑨𝒐 𝐼𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 (𝒂𝒑𝒆𝒏𝒂𝒔 𝒊𝒔𝒔𝒐).
1 1
𝑙𝑖𝑚 ( ) = 0 𝑒 𝑙𝑖𝑚 ( ) = 0
𝑥→−∞ 𝑥 𝑥→+∞ 𝑥
1 1
𝑙𝑖𝑚 ( + 4) = 4 𝑒 𝑙𝑖𝑚 ( + 4) = 4
𝑥→−∞ 𝑥−2 𝑥→+∞ 𝑥 − 2
𝑁𝑒𝑚 𝑜 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) é 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙. 𝐴𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛çã𝑜: 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥).
𝑥→∞ 𝑥→∞ 𝑥→ +∞
1 1
𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚, 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒: 𝒍𝒊𝒎 ( + 4) = 𝒍𝒊𝒎 ( + 4) = 4
𝒙→∞ 𝑥−2 𝒙→+∞ 𝑥 − 2
𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑎 𝑞𝑢𝑒, 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑐𝑜𝑚𝑜, 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛çã𝑜, (3 = +3, 4 = +4), 𝑡𝑎𝑚𝑏é𝑚 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 (∞ = +∞).
𝟏 𝟏
𝑵𝒐𝒕𝒂: 𝒍𝒊𝒎− ( 𝟐
) = +∞ 𝒆 𝒍𝒊𝒎+ ( 𝟐 ) = +∞
𝒙→𝟎 𝒙 𝒙→𝟎 𝒙
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑜 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 à 𝐸𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑎 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑑ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜
𝟏 𝟏
𝒍𝒊𝒎−(𝒇(𝒙)) ; 𝒍𝒊𝒎+(𝒇(𝒙)) ; 𝒍𝒊𝒎 ( ) ; 𝒍𝒊𝒎 [𝒔𝒆𝒏 ( )] ; 𝒍𝒊𝒎 (𝒔𝒆𝒏(𝒙))
𝒙→∞ 𝒙→∞ 𝒙→𝟎 𝒙 𝒙→𝟎 𝒙 𝒙→+∞
𝟐) 𝑳𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔 𝑰𝒏𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒐𝒔 𝒏ã𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎, 𝒎𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒅𝒆𝒎 𝒔𝒆𝒓 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒅𝒂 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒊𝒏𝒕𝒆 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂: 𝑳 = ±∞.
1 1 1
𝑎) 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝒑𝒐𝒅𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒔𝒄𝒓𝒆𝒗𝒆𝒓: 𝑙𝑖𝑚− ( ) = −∞ , 𝑙𝑖𝑚+ ( ) = +∞ 𝑒 𝑡𝑎𝑚𝑏é𝑚 𝑙𝑖𝑚± ( ) = ±∞
𝑥→0 𝑥 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 𝑥
1
𝑏) 𝑀𝑎𝑠, 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒂 𝑼𝒏𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒐 𝑳𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆, 𝑵Ã𝑶 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟: 𝑙𝑖𝑚 ( ) = ±∞ (𝐸𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜).
𝑥→0 𝑥
𝟏
𝑷𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒐 𝑳𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆 𝑩𝒊𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍 (𝒍𝒊𝒎 ( )) 𝒂𝒍é𝒎 𝒅𝒆 𝒏ã𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒊𝒓 𝑵ã𝒐 𝒑𝒐𝒔𝒔𝒖𝒊 𝒏𝒐𝒕𝒂çã𝒐 𝒎𝒂𝒕𝒆𝒎á𝒕𝒊𝒄𝒂.
𝒙→𝟎 𝒙
1 1 1
𝑐) 𝑃𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑖𝑚− ( 2
) = +∞ 𝑒 𝑙𝑖𝑚+ ( 2 ) = +∞. 𝐷𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎, 𝒑𝒐𝒅𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒔𝒄𝒓𝒆𝒗𝒆𝒓 𝑙𝑖𝑚 ( 2 ) = +∞.
𝑥→0 𝑥 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 𝑥
1
𝑂𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎, 𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑚 ( ) 𝒏ã𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆, 𝒑𝒐𝒓é𝒎, 𝒆𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒔𝒔𝒖𝒊 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂çã𝒐 𝒎𝒂𝒕𝒆𝒎á𝒕𝒊𝒄𝒂:
𝑥→0 𝑥2
𝟏
𝒍𝒊𝒎 ( ) = +∞
𝒙→𝟎 𝒙𝟐
20
c) Assíntotas
𝑨𝒔𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂𝒔
𝑨𝒔𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂𝒔 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒊𝒔
𝑨𝒔𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂𝒔 𝑯𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒊𝒔
𝑨 𝒓𝒆𝒕𝒂 𝒚 = 𝒂 é 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑚𝑎 𝒂𝒔𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒂 𝒇𝒖𝒏çã𝒐 𝒇(𝒙),
𝒂𝒎 𝒙𝒎
𝑺𝒆𝒎𝒑𝒓𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎 ( ) 𝒔ó 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎 𝒂𝒔 𝒕𝒓ê𝒔 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒊𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒔𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔:
𝒙→±∞ 𝒃𝒏 𝒙𝒏
𝑎𝑚
➢ 𝑚 > 𝑛 → 𝐿 = ±∞ (𝐷𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟á 𝑑𝑜 𝑆𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 ) (𝑵ã𝒐 𝒉á 𝑨𝒔𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂𝒔)
𝑏𝑛
➢ 𝑚 < 𝑛 → 𝐿 = 0 (𝒚 = 𝟎 é 𝒖𝒎𝒂 𝑨𝒔𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝑯𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍)
𝑎𝑚 𝒂𝒎
➢ 𝑚=𝑛 →𝐿= (𝒚 = é 𝒖𝒎𝒂 𝑨𝒔𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝑯𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍)
𝑏𝑛 𝒃𝒏
𝑬𝒙𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐𝒔:
2𝑥 3 − 2𝑥 + 5 2𝑥 4 − 2𝑥 + 5 2𝑥 4 − 2𝑥 + 5
𝑎) 𝑙𝑖𝑚 ( 3 ) 𝑏) 𝑙𝑖𝑚 ( 3 ) 𝑐) 𝑙𝑖𝑚 ( 5 )
𝑥→+∞ 1𝑥 + 3𝑥 + 7 𝑥→−∞ 1𝑥 + 3𝑥 + 7 𝑥→+∞ 1𝑥 + 3𝑥 + 7
𝑺𝒐𝒍𝒖çõ𝒆𝒔:
2 5
2𝑥 3 − 2𝑥 + 5 𝑥 3 (2 − 2 + 3 ) 2𝑥 3
𝑎) 𝑙𝑖𝑚 ( 3 ) = 𝑙𝑖𝑚 ( 𝑥 𝑥 ) = 𝑙𝑖𝑚 ( 3 ) = 𝑙𝑖𝑚 (2 ) = 2;
𝑥→+∞ 1𝑥 + 3𝑥 + 7 𝑥→+∞ 3 7 𝑥→+∞ 1𝑥 𝑥→+∞
𝑥 3 (1 + 2 + 3 )
𝑥 𝑥
2𝑥 4 − 2𝑥 + 5 2𝑥 4
𝑏) 𝑙𝑖𝑚 ( 3 ) = 𝑙𝑖𝑚 ( 3 ) = 𝑙𝑖𝑚 (2𝑥 ) = −∞
𝑥→−∞ 1𝑥 + 3𝑥 + 7 𝑥→−∞ 1𝑥 𝑥→−∞
2𝑥 4 − 2𝑥 + 5 2𝑥 4 2
𝑐) 𝑙𝑖𝑚 ( 5 ) = 𝑙𝑖𝑚 ( 5 ) = 𝑙𝑖𝑚 ( ) = 0
𝑥→+∞ 1𝑥 + 3𝑥 + 7 𝑥→+∞ 1𝑥 𝑥→+∞ 𝑥
10𝑥 20 − 9𝑥 3 + 8
𝑓) 𝑙𝑖𝑚 ( 21 )=0
𝑥→−∞ 5𝑥 + 2𝑥 11 + 2𝑥 2
22
𝑎𝑚 𝑥 𝑚 + 𝑎𝑚−1 𝑥 𝑚−1 + ⋯ + 𝑎𝑖 𝑥 𝑖
𝑪𝒂𝒔𝒐 𝑰𝑰) 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚± ( )=
𝑥→0 𝑏𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑏𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑏𝑗 𝑥 𝑗
=0
𝒊 ⏞ 𝑥 𝑚−𝑖 + 𝑎
𝒙 (𝑎 𝑚−1−𝑖 + ⋯ + 𝑎 1
𝑚 𝑚−1 𝑥 𝑖+1 𝑥 + 𝒂𝒊 )
𝒂𝒊 𝒙𝒊
= 𝑙𝑖𝑚± = 𝒍𝒊𝒎± ( )
𝑥→0 𝒙→𝟎 𝒃𝒋 𝒙𝒋
𝒙𝒋 (𝑏
⏟𝑛 𝑥
𝑛−𝑗 + 𝑏
𝑛−1 𝑥
𝑛−1−𝑗 + ⋯ + 𝑏 1
𝑗+1 𝑥 + 𝒃𝒋 )
( =0 )
𝒂𝒊 𝒙𝒊
𝑺𝒆𝒎𝒑𝒓𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝑳 = 𝒍𝒊𝒎± ( ) 𝒔ó 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎 𝒂𝒔 𝒕𝒓ê𝒔 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒊𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒔𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔:
𝒙→0 𝒃𝒋 𝒙𝒋
𝑬𝒙𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐𝒔:
2𝑥 4 − 2𝑥 2 + 5𝑥 2𝑥 4 − 2𝑥 2 + 5𝑥 2𝑥 3 − 2𝑥 + 5
𝑎) 𝑙𝑖𝑚+ ( ) 𝑏) 𝑙𝑖𝑚 ( ) 𝑐) 𝑙𝑖𝑚 ( )
𝑥→0 1𝑥 6 + 3𝑥 5 + 7𝑥 4 𝑥→0 1𝑥 3 + 3𝑥 + 7 𝑥→0 1𝑥 3 + 3𝑥 + 7
𝑺𝒐𝒍𝒖çõ𝒆𝒔:
2𝑥 4 − 2𝑥 2 + 5𝑥 𝑥(2𝑥 3 − 2𝑥 + 5) 5𝑥 5
𝑎) 𝑙𝑖𝑚+ ( 6 ) = 𝑙𝑖𝑚 ( ) = 𝑙𝑖𝑚 ( ) = 𝑙𝑖𝑚 ( ) = +∞
𝑥→0 1𝑥 + 3𝑥 5 + 7𝑥 4 𝑥→0+ 𝑥 4 (𝑥 2 + 3𝑥 + 7) 𝑥→0+ 7𝑥 4 𝑥→0+ 7𝑥 3
2𝑥 4 − 2𝑥 2 + 5𝑥 5𝑥
𝑏) 𝑙𝑖𝑚 ( 3
) = 𝑙𝑖𝑚 ( ) = 0
𝑥→0 1𝑥 + 3𝑥 + 7 𝑥→0 7
2𝑥 3 − 2𝑥 + 5 5 5
𝑐) 𝑙𝑖𝑚 ( 3
) = 𝑙𝑖𝑚 ( ) =
𝑥→0 1𝑥 + 3𝑥 + 7 𝑥→0 7 7
10𝑥 20 − 9𝑥 3 − 8
𝑓) 𝑙𝑖𝑚− ( 21 ) = −∞
𝑥→0 5𝑥 + 2𝑥 11 + 2𝑥 5
23
d) Limites Fundamentais
𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝟏) 𝑶 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒇𝒖𝒏𝒅𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒂 𝒇𝒖𝒏çã𝒐
𝒙
𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝒍𝒊𝒎 ( )=𝟏
𝒙→𝟎 𝒙
𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒙
𝒍𝒊𝒎 ( ) = 𝒍𝒊𝒎 ( ) = 𝟏.
𝒙→𝟎 𝒙 𝒙→𝟎 𝒙
𝟏 𝒙
𝟏ª 𝑽𝒊𝒔𝒖𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂çã𝒐: 𝒍𝒊𝒎 (𝟏 + ) = 𝒆 = 𝟐, 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖 …
𝒙→±∞ 𝒙
𝟏
𝑨𝒈𝒐𝒓𝒂, 𝒑𝒆𝒓𝒄𝒆𝒃𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆 𝒕𝒓𝒐𝒄𝒂𝒓𝒎𝒐𝒔 ( ) 𝒑𝒐𝒓 (𝒌), 𝒕𝒆𝒓𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆
𝒙
𝟏
(𝒒𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙 → ±∞, ( ) → 𝟎, 𝒅𝒂í 𝒌 → 𝟎) , 𝒆 𝒂í 𝒗𝒆𝒎:
𝒙
𝟏
𝟐ª 𝑽𝒊𝒔𝒖𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂çã𝒐: 𝒍𝒊𝒎(𝟏 + 𝒌)𝒌 = 𝒆 = 𝟐, 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖 …
𝒌→𝟎
𝟑) 𝑶 𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒐 𝒍𝒏(𝒂)
𝒂𝒙 − 𝟏
𝒍𝒊𝒎 ( ) = 𝒍𝒏(𝒂)
𝒙→𝟎 𝒙
𝟏 𝟑𝒙 − 𝟏
𝒍𝒊𝒎 [𝒙𝒔𝒆𝒏 ( )] = 𝒍𝒊𝒎 ( )=
𝒙→+∞ 𝒙 𝒙→𝟎 𝒙
𝒕𝒈(𝒙) 𝒆𝒙 − 𝟏
𝒍𝒊𝒎 ( )= 𝒍𝒊𝒎 ( )=
𝒙→𝟎 𝒙 𝒙→𝟎 𝒙
24
1) 𝑙𝑖𝑚[𝑐] = 𝑐
𝑥→𝑎
2) 𝑙𝑖𝑚[𝑥] = 𝑎
𝑥→𝑎
𝑙𝑖𝑚 [𝑔(𝑥)]
10) 𝑙𝑖𝑚[𝑓(𝑥)][𝑔(𝑥)] = 𝑙𝑖𝑚[𝑓(𝑥)]𝑥→𝑎 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓 𝑒 𝑔 ≥ 0, 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑡𝑜 𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑓 𝑒 𝑔 𝑠𝑒𝑟𝑒𝑚
𝑥→𝑎 𝑥→𝑎
𝐸𝑡𝑐 …
1 1 𝟏º 𝑬𝒓𝒓𝒐! 1 1 𝟐º 𝑬𝒓𝒓𝒐!
𝑙𝑖𝑚 [ − ] = ⏞ 𝑙𝑖𝑚 [ ] − 𝑙𝑖𝑚 [ ]=∞−∞ = ⏞ 0
𝑡→1 𝑡 − 1 𝑡(𝑡 − 1) 𝑡→1 𝑡 − 1 𝑡→1 𝑡(𝑡 − 1)
𝑂 𝟏º 𝑬𝒓𝒓𝒐 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑢 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑢𝑠𝑜𝑢 𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑚 𝑢𝑚 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑠 𝑠ã𝑜 𝑰𝒏𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔.
𝑂 𝟐º 𝑬𝒓𝒓𝒐 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑢 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑚 𝑜 𝑠í𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑒 𝑒𝑙𝑒 𝑓𝑜𝑠𝑠𝑒 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜.
1 1 (𝑡 − 1) (∗) 1 1
𝑙𝑖𝑚 [ − ] = 𝑙𝑖𝑚 [ ]=⏞ 𝑙𝑖𝑚 [ ] = = 1
𝑡→1 𝑡 − 1 𝑡(𝑡 − 1) 𝑡→1 𝑡(𝑡 − 1) 𝑡→1 𝑡 1
25
𝑆𝑒 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟 𝑝𝑟ó𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 (𝑎), 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑣𝑒𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 (𝑎), 𝑒𝑛𝑡ã𝑜
𝑒𝑛𝑡ã𝑜
𝒍𝒊𝒎 𝒈(𝒙) = 𝑳
𝒙→𝒂
𝟏
𝑬𝒙𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐: 𝑴𝒐𝒔𝒕𝒓𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒊𝒎 (𝒙𝟐 𝒔𝒆𝒏 ( )) = 𝟎
𝒙→𝟎 𝒙
𝟏 𝟏 𝟏
𝒍𝒊𝒎 [𝒙𝟐 𝒔𝒆𝒏 ( )] = 𝒍𝒊𝒎(𝒙𝟐 ) 𝒍𝒊𝒎 (𝒔𝒆𝒏 ( )) , 𝒑𝒐𝒊𝒔 𝒐 𝒍𝒊𝒎 (𝒔𝒆𝒏 ( )) ∄
𝒙→𝟎 𝒙 𝒙→𝟎 𝒙→𝟎 𝒙 𝒙→𝟎 𝒙
1
𝐸𝑛𝑡ã𝑜, 𝑓𝑎ç𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑛𝑡𝑒. 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑏á𝑠𝑖𝑐𝑎 (−1 ≤ 𝑠𝑒𝑛 ( ) ≤ +1)
𝑥
𝟏
𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑥 2 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 𝑅𝑒𝑎𝑙, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑟: (−𝑥 2 ≤ 𝒙𝟐 𝒔𝒆𝒏 ( ) ≤ +𝑥 2 )
𝒙
𝐶𝑜𝑚𝑜: 𝑙𝑖𝑚(−𝑥 2 ) = 𝑙𝑖𝑚(+𝑥 2 ) = 0 𝐸𝑛𝑡ã𝑜, 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑜 𝑆𝑎𝑛𝑑𝑢í𝑐ℎ𝑒, 𝑑𝑒𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟:
𝑥→0 𝑥→0
𝟏
𝒍𝒊𝒎 (𝒙𝟐 𝒔𝒆𝒏 ( )) = 𝟎. 𝑉𝑖𝑠𝑢𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝒙→𝟎 𝒙
26
𝟏) 𝒇(𝒂) 𝒆𝒔𝒕𝒆𝒋𝒂 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒅𝒂, 𝒐𝒖 𝒔𝒆𝒋𝒂, (𝒂) 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏ç𝒂 𝒂𝒐 𝑫𝒐𝒎í𝒏𝒊𝒐 𝒆 (𝑳) 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏ç𝒂 à 𝑰𝒎𝒂𝒈𝒆𝒎
𝟐) 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒂, 𝒐𝒖 𝒔𝒆𝒋𝒂 𝒍𝒊𝒎− 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎+ 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = 𝑳
𝒙→𝒂 𝒙→𝒂 𝒙→𝒂 𝒙→𝒂
𝑛𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜. 𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑁 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑓(𝑎) 𝑒 𝑓(𝑏), 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏),
𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑖𝑟á 𝑜𝑏𝑟𝑖𝑔𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝒑𝒆𝒍𝒐 𝒎𝒆𝒏𝒐 𝒖𝒎 (𝒄) 𝒆𝒎 (𝒂, 𝒃) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝒇(𝒄) = 𝑵:
𝒇(𝒄) = 𝑵
𝑬𝒙𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐: 𝑷𝒓𝒐𝒗𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏ô𝒎𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒓𝒆𝒂𝒊𝒔 𝒅𝒆 𝒈𝒓𝒂𝒖 í𝒎𝒑𝒂𝒓 𝒑𝒐𝒔𝒔𝒖𝒊 𝒑𝒆𝒍𝒐 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒔 𝟏 𝒓𝒂𝒊𝒛 𝒓𝒆𝒂𝒍.
27
1.3 Revisão
1.3.1 Limites Triviais ou imediatos: quando L=f(a)
𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆:
𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = ; 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) =
𝒙→(𝟎) 𝝅 +
𝒙→( )
𝟐
𝒍𝒊𝒎
𝝅 −
𝒇(𝒙) = ; 𝒍𝒊𝒎𝝅 𝒇(𝒙) =
𝒙→( 𝟐 ) 𝒙→(− )
𝟐
b) Funções Contínuas
79 9𝑥 −8 − 8 𝑥3 − 9 79 9. (1)−8 − 8 (1)3 − 9 −8
𝑙𝑖𝑚 (5𝑥 3 + √ + ) = 5. (1) 3
+ √ + =5+1+ =4
𝑥→1 𝑥 3 5
−𝑥 + 5 1 5
−(1) + 5 4
𝜋 𝜋
𝑡𝑔(𝑥) + 𝑠𝑒𝑐(𝑥) + 𝑐𝑡𝑔 (𝑥 + ) 𝑡𝑔(0) + 𝑠𝑒𝑐(0) + 𝑐𝑡𝑔 (0 + ) 0 + 1 + 0 1
𝑙𝑖𝑚 ( 2 )= 2 = =
𝜋 𝜋
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + csc (𝑥 + ) 𝑠𝑒𝑛(0) + 𝑐𝑜𝑠(0) + csc (0 + ) 0 + 1 + 1 2
2 2
|𝑥|
𝑙𝑖𝑚+ (𝑥 + |𝑥| + + 𝑠𝑔𝑛(𝑥)) = 0 + 0 + 1 + 1 = 2
𝑥→0 𝑥
1) 𝑭𝒂𝒕𝒐𝒓𝒂çã𝒐:
𝑥 2 − 𝑎2 (𝑥 − 𝑎)(𝑥 + 𝑎) ∗
𝑙𝑖𝑚 ( ) = 𝑙𝑖𝑚 ( ⏞ 𝑙𝑖𝑚(𝑥 + 𝑎) = 𝑎 + 𝑎 = 2𝑎
)=
𝑥→𝑎 𝑥−𝑎 𝑥→2 𝑥−𝑎 𝑥→𝑎
2) 𝑫𝒆𝒔𝒓𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂çã𝒐:
𝒙 ∗ 1 1
= 𝑙𝑖𝑚 ( )=
⏞ 𝑙𝑖𝑚 ( )=
𝑥→0 𝒙(√𝑥 + 𝑎 + √𝑎) 𝑥→0 √𝑥 + 𝑎 + √𝑎 2√𝑎
3) 𝑴𝒖𝒅𝒂𝒏ç𝒂 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊á𝒗𝒆𝒍:
3
√𝑥 − 1
𝑙𝑖𝑚 ( ) ; √𝑥 ∈ 𝑅 → 𝑥 > 0 → 𝑥 = 𝑡 6 𝑒 𝑛𝑜𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑥 → 1 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑚 𝑡 6 → 1
𝑥→1 √𝑥 − 1
3
√𝑡 6 − 1 𝑡2 − 1 (𝑡 − 1)(𝑡 + 1) ∗ 𝑡+1 2
𝑙𝑖𝑚 ( ) = 𝑙𝑖𝑚 ( 3
) = 𝑙𝑖𝑚 ( 2
) =
⏞ 𝑙𝑖𝑚 ( 2 )=
𝑡→1 √𝑡 6 − 1 𝑡→1 𝑡 −1 𝑡→1 (𝑡 − 1)(𝑡 + 𝑡 + 1) 𝑡→1 𝑡 + 𝑡 + 1 3
4) 𝑩𝒊𝒏ô𝒎𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝑵𝒆𝒘𝒕𝒐𝒏:
𝑛. (𝑛 − 1) 𝑛−2 2
(𝑥 + ℎ)𝑛 − (𝑥)𝑛 𝒙𝒏 + 𝑛𝑥 𝑛−1 ℎ + 𝑥 ℎ + ⋯ + 𝑛𝑥 1 ℎ𝑛−1 + ℎ𝑛 − 𝒙𝟐
𝑙𝑖𝑚 ( ) = 𝑙𝑖𝑚 ( 2 )=
ℎ→0 ℎ ℎ→0 ℎ
𝑛. (𝑛 − 1) 𝑛−2 1
ℎ (𝑛𝑥 𝑛−1 + 𝑥 ℎ + ⋯ + 𝑛𝑥 1 ℎ𝑛−2 + ℎ𝑛−1 ) ∗
2
𝑙𝑖𝑚 ( )=
⏞
ℎ→0 ℎ
𝑛. (𝑛 − 1) 𝑛−2 1
𝑙𝑖𝑚 (𝑛𝑥 𝑛−1 + 𝑥 ℎ + ⋯ + 𝑛𝑥 1 ℎ𝑛−2 + ℎ𝑛−1 ) = 𝑛𝑥 𝑛−1
ℎ→0 2
29
b) Limites Inexistentes
3) 𝑨𝒔𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂𝒔 𝑯𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒊𝒔
𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒𝑚 𝑎 𝑢𝑚 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒐 𝒆 𝒃𝒆𝒎 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒅𝒐 (𝑳) 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒
𝑜𝑢 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒:
✓ 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚, 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑒𝑚 𝑢𝑚 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 𝑒 𝑏𝑒𝑚 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜
✓ 𝑃𝑜𝑠𝑠𝑢𝑒𝑚 𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑜𝑡𝑎çã𝑜:
𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = 𝑳 𝒐𝒖 𝒍𝒊𝒎 𝒇(𝒙) = 𝑳
𝒙→(−∞) 𝒙→(+∞)
4) 𝑨𝒔𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂𝒔 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒊𝒔
𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒𝑚 𝑎 (±∞) 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎 (𝑎):
× 𝑁ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚, 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑒𝑚 𝑢𝑚 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 𝑒 𝑏𝑒𝑚 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜
✓ 𝑻𝒐𝒅𝒂𝒗𝒊𝒂, 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑎 𝑛𝑜𝑡𝑎çã𝑜 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 (= ±∞) 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑒
𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑎𝑟 (𝑎 𝒕𝒆𝒏𝒅ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜) 𝑒𝑚 𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒
𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎 (𝑎):
𝒍𝒊𝒎+ 𝒇(𝒙) = −∞ ; 𝒍𝒊𝒎+ 𝒇(𝒙) = +∞ ; 𝒍𝒊𝒎− 𝒇(𝒙) = −∞ ; 𝒍𝒊𝒎− 𝒇(𝒙) = +∞
𝒙→(𝒂 ) 𝒙→(𝒂 ) 𝒙→(𝒂 ) 𝒙→(𝒂 )
(𝑬𝒍𝒆𝒔 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂𝒎 𝑨𝒔𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂𝒔 𝑽𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒊𝒔).
𝜋
𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑒𝑛 ( ) (∄ 𝑒 𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎çã𝑜 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎)
𝑥→0 𝑥
𝟏
𝒍𝒊𝒎 ( ) = +∞ (𝑷𝒐𝒔𝒔𝒖𝒊 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂çã𝒐 𝒎𝒂𝒕𝒆𝒎á𝒕𝒊𝒄𝒂, 𝒂𝒑𝒆𝒔𝒂𝒓 𝒅𝒆 𝒏ã𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒊𝒓)
𝒙→𝟎 𝒙𝟐
c) Assíntotas
7𝑥 51 − 5𝑥 4 + 8 9𝑥 87 + 𝜋. 𝑥 19 7𝑥 109 + 2𝜋 7 15𝑥 78 + √𝜋. 𝑥 19 − 6
𝑙𝑖𝑚 ( ) + 𝑙𝑖𝑚 ( ) + 𝑙𝑖𝑚 ( ) + 𝑙𝑖𝑚 ( )
𝑥→−∞ 5𝑥 53 + 3𝑥 15 + 𝑥 5 𝑥→+∞ 9
3𝑥 87 − √𝑒 𝑥→0 5𝑥 108 − 𝜋 7 𝑥→+∞ 7
5𝑥 77 + 𝑥 38 − √𝑒
30
d) Limites Fundamentais
𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒕𝒈(𝒙)
𝟏) 𝑶 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒇𝒖𝒏𝒅𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒂 𝒇𝒖𝒏çã𝒐 𝒆 𝒅𝒂 𝒇𝒖𝒏çã𝒐
𝒙 𝒙
𝒕𝒈(𝒙) 𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝒍𝒊𝒎 ( ) = 𝒍𝒊𝒎 ( )=𝟏
𝒙→𝟎 𝒙 𝒙→𝟎 𝒙
𝟏 𝒙
𝟏ª 𝑽𝒊𝒔𝒖𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂çã𝒐: 𝒍𝒊𝒎 (𝟏 + ) = 𝒆 = 𝟐, 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖 …
𝒙→±∞ 𝒙
𝟏
𝟐ª 𝑽𝒊𝒔𝒖𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂çã𝒐: 𝒍𝒊𝒎(𝟏 + 𝒌)𝒌 = 𝒆 = 𝟐, 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖 …
𝒌→𝟎
𝟏 𝟏 𝒌
𝑁𝑜𝑡𝑎: 𝑆𝑒 𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 0: 𝒍𝒊𝒎(𝟏 + 𝒙)𝒙 =
⏟ 𝒍𝒊𝒎+ (𝟏 + ) = 𝟏
𝒙→∞
1
𝒌→𝟎 𝒌
(𝑥 = )
𝑘
𝟑) 𝑶 𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒐 𝒍𝒏(𝒂)
𝒂𝒙 − 𝟏
𝒍𝒊𝒎 ( ) = 𝒍𝒏(𝒂)
𝒙→𝟎 𝒙
31
4) Revisão de 8 Limites
√𝑥 + 𝑎 − √𝑎
𝑙𝑖𝑚 ( )=
𝑥→0 𝑥
𝑡𝑔(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑥
𝑙𝑖𝑚 ( ) = 𝑙𝑖𝑚 ( ) = 𝑙𝑖𝑚 ( ) =
𝑥→0 𝑥 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 𝑥
𝑡𝑔𝑚 (𝑥)
𝑙𝑖𝑚 ( )=
𝑥→0 𝑠𝑒𝑛𝑛 (𝑥)
1 𝑥 1
𝑙𝑖𝑚 (1 + ) ⏟ 𝑙𝑖𝑚(1 + 𝑘)𝑘 =
=
𝑥→±∞ 𝑥 1
𝑘→0
(𝑥 = 𝑘)
1 1 𝑘
𝑙𝑖𝑚 (1 + 𝑥)𝑥 =
⏟ 𝑙𝑖𝑚+ (1 + ) =
𝑥→∞
1
𝑘→0 𝑘
(𝑥 = 𝑘)
𝑎𝑥 − 1
𝑙𝑖𝑚 ( )=
𝑥→0 𝑥
𝑒𝑥 − 1
𝑙𝑖𝑚 ( )=
𝑥→0 𝑥
𝑏𝑥 − 𝑎𝑥
𝑙𝑖𝑚 ( )=
𝑥→0 𝑥
|𝑥|
5) 𝑙𝑖𝑚+ (𝑥 + |𝑥| + + 𝑠𝑔𝑛(𝑥) + ⌊ 𝑥 ⌋ + { 𝑥 } + ⌈ 𝑥 ⌉) =
𝑥→0 𝑥
1
6) 𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 (𝑙𝑖𝑚 𝑥𝑠𝑒𝑛 ( 3 )) 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒐 𝑺𝒂𝒏𝒅𝒘𝒊𝒄𝒉
𝑥→0 𝑥
7) 𝑃𝑟𝑜𝑣𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑜 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛ô𝑚𝑖𝑜 (𝑥 3 − 1.6𝑥 2 + 0.06) 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 3 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑧 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠, 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑚𝑎 𝑛𝑜𝑠
8) 𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑢 𝑒 𝑑𝑒 𝑣 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑛𝑜𝑠 𝑅𝑒𝑎𝑖𝑠:
𝑥 4 − 13𝑥 2 + 36
( ) ,𝑥 ≠ 2𝑒 𝑥 ≠ 3
𝑥 2 − 5𝑥 + 6
𝑓(𝑥) =
𝑢2 − 11𝑢 + 48, 𝑥 = 2
{ 𝑣 2 − 19𝑣 + 90, 𝑥 = 3
32
𝑥 𝑥
1
[𝑐𝑜𝑠 (
5 −3 )]
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
[(1+𝑥)𝑥 ]
𝑡𝑔(𝑥) 𝑥 1 𝑥
𝑇 = 𝑙𝑖𝑚+ [ ] [ ]+ 𝑙𝑛 ((1 + ) )
𝑥→0 𝑥 𝑥 1 𝜋 𝑥
(1 + 𝑥)𝑥 𝜋
𝑠𝑒𝑛2 ([ ] . )
𝑒 2
{
√𝑥+𝑎−√𝑎
11
√
1 5𝑥 𝑒𝑥 − 1 𝑥 𝑡𝑔3 (𝑥)
− (1 + ) . 𝑙𝑛 [ =
𝑥 𝑥 ] 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)
}
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜:
𝑥 𝑥
𝟏 𝒄𝒐𝒔 ( 𝑙𝑖𝑚+ (
5 −3 ))
𝒍𝒊𝒎 [(𝟏+𝒙)𝒙 ] 𝑥→0 𝑥
𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒙→𝟎+ 𝒕𝒈(𝒙) 𝟏 𝐱
𝑻 = [ 𝑙𝑖𝑚+ [ ]] . 𝒍𝒊𝒎+ [ ]+ 𝟏 𝝅
𝒍𝒏 [ 𝒍𝒊𝒎+ ((𝟏 + ) )]
𝑥→0 𝒙 𝒙→𝟎 𝒙 𝒙→𝟎 𝒙
𝒍𝒊𝒎+ [(𝟏 + 𝒙)𝒙 ]
𝝅
𝒔𝒆𝒏𝟐 ([𝒙→𝟎 ] 𝟐)
𝒆
√𝒙+𝒂−√𝒂
𝟓 𝒍𝒊𝒎[ ]
𝟏𝟏 𝟏 𝒙 𝒆𝒙 − 𝟏 𝒙→𝟎 𝒙
𝒙𝟑
+ √ 𝒍𝒊𝒎 [(𝟏 + ) ] . 𝒍𝒏 [ 𝒍𝒊𝒎+ [ ]] [ 𝒍𝒊𝒎+ 𝟐 ]
𝒙→𝟎+ 𝒙 𝒙→𝟎 𝒙 𝒙→𝟎 𝒙
5
𝑐𝑜𝑠 (𝑙𝑛 ( )) (
1
)
𝑇 = 1 .1 + 𝑒 3 11
√ 5
𝑙𝑛(1) + 1 . 𝑙𝑛[ln(𝑒)] 𝑎 [0]
2√
𝑒 𝜋 𝜋
𝑠𝑒𝑛2 [[ ] ( ) ]
𝑒 2
𝑇 =1+0+0=1→𝑇 =1