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Prova de Matematica 2013-2014
Prova de Matematica 2013-2014
Prova de Matematica 2013-2014
3n
1. Considere a sucessão de termo geral an = − , n ∈ N.
n+1
(a) Verique se an é uma sucessão monótona.
(b) Determine o primeiro termo da sucessão e calcule lim an .
n→∞
(c) Verique que −3 < an ≤ −1, ∀n ∈ N.
(d) Justique a veracidade da seguinte armação: "∃n ∈ N : an = −2".
x
2. Considere a função real de variável real denida por f (x) = .
x2 −1
3 √
3. (a) Resolva, em R a equação ln x3 − ln x − 2 ln x = 1.
2
(b) Sendo f (x) = ex
2 +3x
ln (1 + x2 ), determine f 0 (x).
4. Considere as funções reais de variável real f e g tais que f (x) = cos x − 2 e g(x) = 2 − sin x.
π
5π
(a) Calcule f − + g .
3 6
(b) Resolva a equação f (x) + g(x) = 0.
n π o
5. (a) Faça um esboço no plano complexo do conjunto A = z ∈ C : |z| ≤ 3 ∨ arg z = k , k ∈ R .
4
1
(b) Considere os dois números complexos z1 = a − i, z2 = 1 + bi. Determine os valores de
a, b ∈ R tais que z1 .z2 = −4.i96 − 2.i123 . ( z2 representa o conjugado de z2 )
7. Uma caixa contém 48 lâmpadas elétricas, das quais 10 são defeituosas. Todas as lâmpadas têm
aparência igual e igual probabilidade de serem escolhidas. Retiram-se 3 lâmpadas ao acaso.
(a) Qual a probabilidade de serem todas defeituosas?
(b) Qual a probabilidade de pelo menos 2 serem defeituosas?
(c) Qual a probabilidade de haver alguma defeituosa?
(Simplique as expressões mas não efetue os cálculos)
2
Formulário
Limites notáveis
x n
lim 1+ = ex , ∀x ∈ R
n→+∞ n
ex − 1
lim =1
x→0 x
Trigonometria
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b
π π π
6 4 3
√ √
1 2 3
sin
2 2 2
√ √
3 2 1
cos
2 2 2
Regras de derivação
(eu )0 = u0 eu
u0
(ln u)0 =
u
(u + v)0 = u0 + v 0
(uv)0 = u0 v + uv 0
u 0 u0 v − uv 0
=
v v2
(un )0 = nun−1 u0
Complexos
(ρ cis θ)n = ρn cis (nθ)
√ θ + 2kπ
, k ∈ {0, 1, ..., n − 1}
p
n
ρ cis θ = n ρ cis
n