Laboratório de Física II

Prof. Javier Alcides Ellena

PRÁTICA III
Oscilações livre, amortecidas e forçadas

Breno Alberton Valente Nº USP: 15443451

Fernando de Oliveira Vieira Filho Nº USP: 13862883
Marcus Paulo de Araújo Hungria Santana Nº USP: 15507872

São Carlos 2024

1. INTRODUÇÃO
Na física, o estudo das oscilações é fundamental para compreender diversos
fenômenos que envolvem movimentos repetitivos em torno de um ponto específico.
Esses conceitos também se aplicam a outras áreas da física não newtoniana, como o
eletromagnetismo.

O estudo desses fenômenos possui várias aplicações práticas. Um exemplo disso

são os satélites, que descrevem órbitas ao redor de um astro. Quando projetado no
diâmetro dessa órbita, seu movimento pode ser interpretado como uma oscilação. Outra
aplicação relevante está na engenharia civil, onde o estudo de oscilações é essencial para
projetar estruturas como pontes e edifícios. Esses projetos consideram as frequências
naturais de vibração para evitar ressonâncias indesejadas, que poderiam comprometer
a integridade das construções durante eventos como ventos fortes ou terremotos. Dessa
forma, o domínio das oscilações e de suas características nos permite desenvolver
tecnologias em diversas áreas do conhecimento, além de oferecer grandes benefícios
para o estudo de outros fenômenos que apresentam analogias com essas oscilações.

2. OBJETIVOS
O objetivo desta prática é estudar o comportamento de um oscilador massa-mola
vertical, analisando sua amplitude e frequência em diferentes condições do meio. Nesta
prática, o sistema será estudado tanto no ar quanto na água, e também será explorado o
estudo das oscilações forçadas, com ênfase no fenômeno da ressonância.

Por meio de cinco experimentos distintos, buscamos medir os seguintes

parâmetros: a frequência de oscilação de um sistema massa-mola vertical em oscilação
livre; a frequência de oscilação e a amplitude de um sistema massa-mola vertical
amortecido (imerso em água); a frequência de ressonância de um oscilador forçado
livre; e a amplitude de um oscilador forçado amortecido (imerso na água).

3. MATERIAIS E MÉTODOS

3.1 - Materiais
• Oscilador massa-mola vertical montado conforme a Figura 1;
 Figura 1: Oscilador massa-mola. Fonte: Autores.

• Proveta de cerca de 1L preenchida com água para análise de oscilações amortecidas

em água, ilustrada pela Figura 2;

Figura 2: Proveta preenchida com água. Fonte: Autores.

• Cronômetro com precisão de 0, 01s, consoante com a Figura 3;.

 Figura 3: Cronômetro. Fonte: Autores

• Trena com precisão de 0,1 cm para medição da amplitude das oscilações, conforme a
Figura 4.

Figura 4: Trena. Fonte: Autores.

3.2 - Métodos
Experimento 1 - Oscilações simples no ar.

Com o objetivo de determinar a frequência natural de um sistema massa-mola,

conforme descrito na Seção 2, foi realizada uma análise utilizando os conceitos de
movimento harmônico simples, investigando o comportamento desse sistema quando
em oscilação livre. Embora esse movimento, como qualquer movimento real, apresente
algum tipo de amortecimento, nas primeiras oscilações no ar, a dissipação de energia é
suficientemente pequena para ser desconsiderada neste experimento. Assim, o sistema
será tratado como um oscilador harmônico simples.

Nesse experimento, utilizando o oscilador massa-mola vertical, ilustrado na

Seção 3.1, a mola foi alongada além da posição de equilíbrio e solta. O período 𝑇0 da
oscilação foi medido, com o uso do cronômetro, 3 vezes, com 10 oscilações em cada
aferição, e usado, para cada medida, para calcular a frequência angular de oscilação,
como será demonstrado nas próximas seções do relatório.

Experimento 2 - Oscilações amortecidas na água.

Experimento 2.1 - Análise do período e frequência.

O procedimento descrito na Seção 3.2.1 foi repetido, mas desta vez, a massa foi
posta para oscilar dentro de uma proveta com água, que é substancialmente mais
viscosa do que o ar. Assim, o amortecimento não pode ser desprezado, e esse sistema
será tratado como um oscilador harmônico amortecido.

Após retirar a massa da posição de equilíbrio e soltar, ela oscila e o período 𝑇1 e a

frequência ω1 foram registrados para análise e comparação com os resultados obtidos
na Seção 3.2.1.

Experimento 2.2 - Análise da amplitude.

Nessa etapa do experimento, a massa foi novamente deslocada para longe da

posição de equilíbrio até uma amplitude inicial 𝑥0​ e, em seguida, solta. A variação das
amplitudes extremas em função do tempo foi analisada. A massa foi solta da posição 𝑥0​e
foram medidas as amplitudes nos instantes 𝑇𝑖= 0, 𝑇1/2, 𝑇1, 3𝑇1/2, 2𝑇1, 5𝑇1/2, 3𝑇1, …, 5
𝑇1, em que 𝑇1 é o período de oscilação médio calculado com os dados obtidos na Seção
anterior.

Essa fase da atividade foi realizada com o auxílio de um suporte e um celular,

utilizados para gravar o comportamento do sistema e posteriormente facilitar a
visualização da posição 𝑥𝑖 da massa nos tempos 𝑇𝑖 mencionados.

Experimento 3 - Oscilações forçadas.

Experimento 3.1 - Análise do período e frequência no ar.

Nessa parte, o objetivo é analisar o movimento oscilatório de um sistema

massa-mola no ar, porém agora com aplicação contínua de uma força gerada por um
motor a uma frequência Ω.

Para isso, mediu-se, com auxílio da trena, a amplitude máxima 𝑥0 para cada
frequência angular Ω do motor, processo que foi realizado 9 vezes no total. Esse
processo consistiu em medir o período de rotação, com o uso do cronômetro, do motor
do oscilador em quatro frequências antes de atingir a frequência de ressonância, quatro
depois, além da própria frequência de ressonância, que havia sido previamente marcada
com uma fita no dispositivo. A Figura 5 ilustra o processo detalhadamente o
funcionamento da prática em relação ao uso do oscilador massa-mola vertical.

Figura 5: Em (a) é apresentada a montagem experimental de um oscilador massa-mola vertical.

Já em (b) ilustra os experimentos de oscilação forçada, em que a posição do ponto de suspensão
vertical da mola pode ser ajustada verticalmente por meio de uma alavanca acoplada a um disco
girante com frequência Ω. Fonte: Apostila de Lab de Física Geral II (2018).

Experimento 3.2 - Análise do período e frequência na água.

O procedimento descrito na Seção 3.3.1 foi repetido, mas desta vez com o corpo
oscilando dentro da proveta com água, essa servindo como amortecimento para o
sistema que agora encontra-se em seu estado de movimento harmônico amortecido
forçado.
No experimento, como na Seção 3.3.1, analisou-se a frequência do movimento e
sua amplitude observando como um depende do outro, além da análise do momento
que a frequência atinge a ressonância natural da mola e sua amplitude se torna máxima.

4. RESULTADOS E DISCUSSÕES
Experimento 1 - Oscilações simples no ar.

O primeiro experimento consiste em pendurar um peso verticalmente a uma

mola suspensa e, com o auxílio de um cronômetro, mede-se o tempo necessário para o
sistema realizar 10 oscilações completas. Esse procedimento foi repetido 3 vezes e os
dados obtidos foram registrados. Nesse contexto, o diagrama de forças atuando no
corpo utilizado durante a realização da prática está ilustrado conforme a Figura 6.

Figura 6: Sistema massa-mola onde (a) representa a posição de equilíbrio do sistema e (b)
ilustra as forças atuantes em um corpo quando o sistema está em uma posição deslocada. Fonte:
Beer et al. (2012)

De acordo com o diagrama de corpo livre da Figura 6, as forças que atuam sobre
o corpo são seu peso, direcionado para baixo, e a força 𝐹 da mola. Assim, a equação de
movimento (considerando o sentido positivo para baixo) é:

2
𝑑𝑥 𝑥
2 + 𝑘 𝑚
= 0 (1)
𝑑𝑡

A equação (1) é uma equação diferencial ordinária (EDO), serve para descrever a
posição de um movimento harmônico simples (MHS) e tem como solução:

𝑥(𝑡) = 𝐴 · 𝑐𝑜𝑠(ω0𝑡 + γ) (2)

onde 𝐴 é a amplitude da oscilação, ω0 é a frequência natural de oscilação (rad/s) do

sistema e γ é uma constante de fase.

Calculando a segunda derivada de 𝑥(𝑡) em relação ao tempo, substituindo na

equação (2) e resolvendo para ω0, obtemos:
 𝑘
ω0 = 𝑚
(3)

onde 𝑘 é a constante elástica da mola e 𝑚 é a massa do corpo suspenso.

O período 𝑇 é o tempo necessário para que o oscilador harmônico complete um

ciclo completo de oscilação, ou seja, para que ele retorne à mesma posição. A equação
que relaciona o período com a frequência angular ω0​é:

2π 2π × ∆𝑇
ω0 = 𝑇
± 2 (4)
𝑇

Com a equação (4), foi possível construir a Tabela 1, em que o período 𝑇0

utilizado é o tempo de 10 oscilações dividido por 10.

Tabela 1: Períodos 𝑇𝑜 de oscilação no ar; frequência angular ω𝑜 e módulo da diferença entre a

frequência ω𝑜 e a frequência média ω.

i (𝑇𝑜𝑖 ± 0, 01) s (ω𝑜𝑖 ± 0, 03) rad/s ||ω − ω|| rad/s

| 𝑜𝑖 |

1 1,34 4,69 0,03

2 1,35 4,65 0,00

3 1,36 4,62 0,03

Anotação: a incerteza associada ao período corresponde ao erro do cronômetro (0,01 s),

enquanto a incerteza da frequência natural é a média dos valores de erro obtidos pela equação
(4) para os três resultados de ω𝑖.

Com esses resultados, calculamos um valor para a frequência natural por meio da
média dos valores apresentados na Tabela 1, resultando em:

ω0 = (4, 65 ± 0, 03) 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Experimento 2 - Oscilações amortecidas na água.

 Experimento 2.1 - Análise do período e frequência.

O procedimento descrito na Seção anterior foi repetido, mas desta vez a massa
foi posta para oscilar dentro da proveta com água. Novamente mediu-se, três vezes, o
tempo de 10 oscilações, com o auxílio do cronômetro e os dados foram registrados.

Conforme mencionado na Seção 3.2.2.1, o amortecimento nesta prática não pode

ser desprezado, e o sistema será tratado como um oscilador harmônico amortecido. Isso
ocorre porque o atrito do meio no qual o sistema está inserido, no caso, a água, atua
como um fator de amortecimento da oscilação, fazendo com que o movimento cesse ao
longo do tempo.

A equação que descreve esse tipo de movimento é:

2
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑚 2 +𝑏 𝑑𝑡
+ 𝑘𝑥 = 0 (5)
𝑑𝑡

com solução

𝑏
−( 2𝑚 )𝑡
𝑥(𝑡) = 𝐴 · 𝑒 · 𝑐𝑜𝑠(ω1𝑡 + δ) (6)

𝑏
−( 2𝑚 )𝑡
em que 𝐴 é a amplitude de oscilação em 𝑡 = 0, o termo A · 𝑒 é a amplitude da
oscilação em função do tempo (decrescente, dado o expoente negativo de e), δ é a fase e
ω é a frequência angular de oscilação, dada por:

𝑘 𝑏 2
ω1 = 𝑚
− ( 2𝑚 ) (7)

em que

𝑏
γ = 2𝑚
(8)

é o fator de amortecimento, dado em rad/s, de forma que a equação (6) se torna:

−γ𝑡
𝑥(𝑡) = 𝐴 · 𝑒 · 𝑐𝑜𝑠(ω1𝑡 + δ) (9)

de forma que a equação (7) também pode ser reescrita como

 2 2
ω1 = ω0 − γ (10)

Analisando a equação (9), percebe-se que a amplitude decai exponencialmente

com o fator de amortecimento γ, permitindo distinguir o movimento em três casos:
subamortecido (γ < ω0​), criticamente amortecido (γ = ω0) e superamortecido (γ​
> ω0 ).

Com isso em mente e utilizando novamente a equação (4) para o cálculo da

frequência ω1, foi possível construir a Tabela 2 com base nos dados obtidos
empiricamente.

Tabela 2: Períodos 𝑇1 de oscilação na água; frequência angular ω1 e módulo da diferença entre a

frequência ω1 e a frequência média ω.

i (𝑇1𝑖 ± 0, 01) s (ω1𝑖 ± 0, 03) rad/s ||ω − ω|| rad/s

| 1 |

1 1,40 4,49 0,02

2 1,41 4,46 0,01

3 1,41 4,46 0,01

Assim, calculamos um valor para a frequência novamente por meio da média dos
valores ilustrados na Tabela 2, resultando em:

ω1 = (4, 47 ± 0, 03) 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Esse valor está de acordo com as expectativas, uma vez que, conforme
demonstrado pela equação (10), era esperado um valor menor em comparação com a
frequência natural ω0​ calculada na seção anterior. Isso ocorre porque, neste
experimento, há um fator de amortecimento, dado por γ, que reduz a frequência angular.

Experimento 2.2 - Análise da amplitude.

 O procedimento descrito na Seção anterior foi repetido, mas desta vez a análise
estava voltada para a amplitude de oscilação do movimento, assim mediu-se a distância
entre os extremos do movimento e se dividiu por dois para encontrar a amplitude.

Conforme mencionado na Seção 3.2.2.1, o amortecimento nesta prática não pode

ser desprezado, e o sistema será tratado como um oscilador harmônico amortecido. Isso
ocorre porque o atrito do meio no qual o sistema está inserido, no caso, a água, atua
como um fator de amortecimento da oscilação, fazendo com que o movimento cesse ao
longo do tempo.

Além disso, esse experimento deve satisfazer todas as equações da Seção

anterior.

Com isso, foi elaborada a Tabela 3, reunindo os dados do tempo de cada meia
oscilação — ou seja, o instante em que o corpo atinge os extremos de seu movimento —,
as amplitudes dessas meias oscilações e a razão entre a amplitude original e as
subsequentes.

A partir das medições realizadas para essa parte e considerando T = 1, 41 s, pôde-se

organizar a Tabela 3.

Tabela 3: Períodos harmônicos em função de T; amplitude do movimento 𝑥𝑖 e a razão entre a

amplitude 𝑥𝑖 e o deslocamento inicial 𝑥0.

i (𝑇𝑖 ± 0, 01) s (𝑥𝑖 ± 0, 1) cm |𝑥𝑖/𝑥0| ± 0,009

0 0 15 1,000

1 0,5 𝑇 9,5 0,630

2 𝑇 7,5 0,500

3 1,5 𝑇 5,7 0,380

4 2𝑇 4,6 0,307

5 2,5 𝑇 3,8 0,253

6 3𝑇 3,4 0,227

7 3,5 𝑇 2,8 0,187

8 4𝑇 2,3 0,153
 9 4,5 𝑇 1,9 0,127

10 5𝑇 1,8 0,120

Anotação: A incerteza associada à razão entre a amplitude 𝑥𝑖 e a amplitude inicial foi calculada
𝑥𝑖
com base na média dos erros encontrados para cada valor de 𝑥0
. Esses erros foram
𝑥𝑖 · 0,1 + 𝑥0 · 0,1
determinados a partir da seguinte relação: 2 , em que 0,1 corresponde ao erro
𝑥0

intrínseco ao instrumento utilizado na medição (trena).

| |
Em seguida, foi elaborado um gráfico de 𝑥𝑖/𝑥0 versus 𝑇𝑖 em escala logarítmica
com papel monolog, sendo essa escala escolhida, bem como o uso da fração 𝑥𝑖/𝑥0 , para | |
linearizar os dados no gráfico, visto que estes variam de forma exponencial, como
𝑏
−( 2𝑚 )𝑡
informado pelo fator 𝑒 na equação (6).

Gráfico 1: |𝑥𝑖/𝑥0| versus 𝑇𝑖 em escala logarítmica, em papel monolog.

 Nesse gráfico, foi traçada a melhor reta a partir dos pontos obtidos, o que
possibilitou o cálculo do coeficiente angular da reta, que corresponde ao coeficiente de
amortecimento do meio γ.

𝑙𝑛(𝑦1) − 𝑙𝑛(𝑦0)
γ= 𝑥1 − 𝑥0
(11)

Assim, substituindo as incógnitas da equação (11) com pontos do Gráfico 1,

pertencentes a linha traçada, foi possível concluir um valor para o amortecimento γ

𝑙𝑛(0,6) − 𝑙𝑛(0,51)
γ = 3 − 1,9
⇒γ = − 0, 147 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Esse resultado não é consistente com a equação (10), pois, ao realizar os cálculos
utilizando ω1 e ω0 como os valores obtidos nas Seções 4.2.2 e 4.1, respectivamente, o
resultado esperado era 1,27. A variação nos resultados pode ser explicada pelo fato de
que a reta ajustada foi traçada manualmente, o que a torna suscetível a erros. Além
disso, todos os valores de tempo 𝑇 foram obtidos manualmente, o que também pode ter
contribuído para a variação observada.

Experimento 3 - Oscilações forçadas.

Experimento 3.1 - Análise do período e frequência no ar.

No experimento de oscilação forçada com um sistema massa-mola no ar, a fase

entre o estímulo externo e a oscilação do sistema é um aspecto crucial. Em frequências
mais baixas, o sistema segue de forma estável a frequência imposta pelo motor,
apresentando oscilações controladas e sem grandes desvios, mantendo-se em sincronia
com o estímulo até que a frequência comece a aumentar.

Quando a frequência do motor se aproxima da frequência natural do sistema,

ocorre a ressonância. Nesse ponto, a transferência de energia é máxima devido à
coincidência das fases, o que resulta em amplitudes de oscilação significativamente
maiores, limitadas pelas condições físicas do ambiente.

O experimento foi realizado medindo as distâncias dos extremos do movimento

harmônico para determinar a amplitude. Além disso, o tempo foi cronometrado para,
por meio da equação (4), calcular as frequências de oscilações impostas pelo motor. Os
dados foram organizados de acordo com a Tabela 4.
 Tabela 4: frequência de oscilação Ω1forçado no ar; amplitude 𝑥1 do movimento harmônico
forçado.

i (Ω1 ± 0, 06) rad/s (𝑥1 ± 0, 1) cm

1 1,97 3,8

2 2,63 4,8

3 3,43 6,6

4 3,76 12,9

5 4,83 -

6 5,37 8,9

7 6,64 6,7

8 8.38 8,4

9 11,64 11,6

Com os dados da tabela, criou-se um gráfico milimetrado de amplitude versus

frequência de oscilação.
Gráfico 2: Amplitude 𝑥1 versus frequência de oscilação Ω1 em papel milimetrado.
 A partir da análise do gráfico e da Tabela 4, observa-se que a frequência de
ressonância está próxima de 4,83 rad/s. Isso ocorre porque, quando o sistema atinge
uma frequência próxima a esse valor, a amplitude torna-se máxima. No experimento,
essa amplitude foi tão elevada que se tornou impossível medi-la.

Com isso, compara-se a frequência encontrada com o valor do experimento do

sistema harmônico do oscilador livre, onde o valor da frequência de ressonância foi de
(4, 65 ± 0, 03) 𝑟𝑎𝑑/𝑠, próximo ao 4, 83 𝑟𝑎𝑑/𝑠 encontrado, detendo essa diferença
causada pela impossibilidade de distinguir a amplitude máxima do movimento quando
os valores das frequências se aproximam ao valor de ressonância por causa das
limitações do espaço em que o experimento foi realizado.

Experimento 3.2 - Análise do período e frequência na água.

Neste experimento, repetem-se os procedimentos realizados no experimento

anterior, mas desta vez utilizando água, que atua como um amortecedor para o
movimento harmônico. A prática consistiu na medição das distâncias dos extremos do
movimento harmônico, permitindo determinar a amplitude. Além disso, foi
cronometrado o tempo para, por meio da equação (4), calcular as frequências das
oscilações geradas pelo motor. Com os dados obtidos, foi elaborada a Tabela 5.

Tabela 5: Frequência Ω e amplitude 𝑥0.

i (Ω0 ± 0, 06) rad/s (𝑥0 ± 0, 1) cm

1 0,95 3,1

2 2,46 4,0

3 3,24 4,3

4 4,16 7,1

5 4,72 10,3

6 5,51 4,3

7 6,22 2,8

8 7,76 1,3

9 12,08 0,9

Com os dados da tabela, criou-se um gráfico milimetrado de amplitude versus

frequência de oscilação.
Gráfico 3: Amplitude 𝑥0 versus frequência de oscilação Ω0.
 Por meio da análise do gráfico e da tabela 4, percebe-se que a frequência de
ressonância está próxima de 4,72 rad/s, visto que quando o sistema fica com uma
frequência próxima a essa o valor da amplitude se torna máximo. Ademais, diferente do
experimento acima, por conta do amortecimento que reduz as amplitudes, é possível
medir.

Com isso, compara-se a frequência encontrada com o valor do experimento do

sistema harmônico forçado no ar, onde o valor da frequência de ressonância foi de
(4, 83 ± 0, 03) 𝑟𝑎𝑑/𝑠, maior que o 4, 72 𝑟𝑎𝑑/𝑠 encontrado, sendo essa coerente com a
equação a seguir:

2 2
Ω𝑟 = ω − 2γ (12)

Assim, a frequência de ressonância com amortecimento será sempre menor que

a frequência de ressonância livre, sempre que o meio apresentar um valor γ,
correspondente ao coeficiente de amortecimento.

5. CONCLUSÃO
A partir dos experimentos realizados, ficou evidente que o comportamento de
um oscilador harmônico é influenciado por diversos fatores. Em cada procedimento, o
período e a amplitude apresentaram comportamentos distintos, pois novos elementos
foram introduzidos, como o amortecimento ou o motor de rotação. Esses sistemas,
embora pareçam simples à primeira vista, são muito mais complexos, e a descrição
precisa de seu movimento requer atenção aos detalhes, para que todas as forças
externas sejam devidamente consideradas.

Além disso, os conceitos teóricos discutidos em sala de aula foram bem

confirmados pelos resultados experimentais. O comportamento trigonométrico das
funções de movimento tornou-se mais claro ao plotar os gráficos do movimento em
função do tempo. A ideia da constante de fase, presente nas equações, também foi
compreendida com maior facilidade nas partes forçadas da prática, o que demonstrou a
importância de visualizar o fenômeno na prática para uma melhor compreensão.

6. BIBLIOGRAFIA
- TIPLER, Paul Allen, MOSCA, Gene. Física para cientistas e engenheiros, volume 1:
mecânica, oscilações e ondas, termodinâmica. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e
Científicos Editora Ltda, 2009.

- SCHNEIDER, Jose F. Laboratório de Física I: Livro de práticas. São Carlos: Instituto de

Física de São Carlos, 2017