Lista 3 - Funes Modulares Exponenciais e Logartmicas

Matemática Básica
Funções modulares, exponenciais e logarı́tmicas

DMAT - 2023.2
Prof.: Antônio Djackson A. da Silva
1. Sabendo que x é real e menor do que 1, simplifique a expressão
|1 − |x − 2||
Q= .
1 − x2
2. (UC-GO) Dadas as funções f (x) = x2 − 5x + 6 e g(x) = 2x + 1, qual é a solução
f (1) − g(x) f (2)
da equação = ?
f (g(2)) f (0)
3. Construa o gráfico da função definida por f (x) = |x2 − 1| − 2.
|x|
4. Construa o gráfico da função definida por f (x) = .
x
5. Resolva as (in)equações modulares a seguir:
(a) |x2 + 3| = |4x − 1|
(b) |3x + 2| = x2 − x − 3
3
(c) 2 − x ≤2
(d) 1 < |x − 1| ≤ 3
6. Mostre que a função exponencial é injetiva. Ou seja, sendo f (x) = ax a lei de
formação da função, com 0 < a ̸= 1 real, e x1 , x2 ∈ R, com x1 ̸= x2 , então
deve-se ter f (x1 ) ̸= f (x2 ).
7. Sendo f a função exponencial, i.e., f (x) = ax (0 < a ̸= 1 real), prove que
f (x + y) = f (x) · f (y), ∀ x, y ∈ R.
√
x
8. Determine os valores reais de x que satisfazem a condição 100 · 10x = 10005 .
9. Obtenha o conjunto solução das seguintes (in)equações:
√
(a) ( 2)x = 4
2
(b) 24x−x = 8
(c) 3 · 5x−1 = 75
(d) 3x−2 + 3x+1 = 84
1 x 1
(e) >
3 81
1
1
(f) (3x )2x−7 >
27
3
(g) 2x − 2x+1 − 2x+2 − 2x+3 + 2x+4 <
4
10. Sabendo que 
5x−y = 1
125 .
3x+y = 243
Calcule (x · y)3
11. Considere a função logarı́tmica g definida por g(x) = loga x, com 0 < a ̸= 1
real, para todo x ∈ R∗+ . Mostre que:
(a) loga (x · y) = loga x + loga y, para todos x e y reais positivos.
(b) loga xk = k · loga x, para todos x e k reais e x > 0.
12. Construa o gráfico de g(x) = loga x, com 0 < a ̸= 1 real, para todo x ∈ R∗+ , a
partir do gráfico da função inversa, g −1 , usando a função identidade Id (x) = x
como eixo de simetria.
13. Encontre o maior domı́nio possı́vel, em R, da função dada por
x + 1
f (x) = logk ,
1−x
com 0 < k ̸= 1.
14. (UFSC) Se os números reais positivos a e b são tais que
(
a − b = 48
.
log2 a − log2 b = 2
Calcule o valor de a+b.
15. (FMJ-SP) O número de bactérias de uma cultura, t horas após o inı́cio de certo
experimento, é dado pela expressão
N (t) = 1.200 · 20,4t .
Nessas condições, quanto tempo após o inı́cio do experimento a cultura terá
38.400 bactérias?
2
16. (Vunesp) Uma substância se decompõe aproximadamente segundo a lei
Q(t) = K · 2−0,5t ,
em que K é uma constante, t indica o tempo (em minutos) e Q(t) indica a
quantidade de substância (em gramas) por instante t. Considerando os dados
desse processo de decomposição mostrados no gráfico, determine os valores de
K e de a.
17. Chama-se montante (M) a quantia que uma pessoa deve receber após aplicar
um capital C, a juros compostos, a uma taxa i durante um tempo t. O mon-
tante pode ser calculado através da fórmula M = C · (1 + i)t . A quantia de
20.000, 00 foi aplicada a uma taxa de 1% ao mês.
(a) Qual será o saldo no final de 3 meses?
(b) Por quantos meses deve ser feita a aplicação para que o saldo seja de R$
32.210,20?
18. (Fatec-SP) Suponhamos que a população de uma certa cidade seja estimada,
para daqui a x anos, por:
1
f (x) = 20 − x · 1000
2
habitantes. Estima-se que, durante o terceiro ano, essa população irá . . .
19. Em quantos anos 500g de uma substância radioativa, que se desintegra a uma
taxa de 3% ao ano, se reduzirão a 100g? Use a fórmula Q = Q0 · e−rt , em que
Q é a massa da substância, r é a taxa de desintegração e t é o tempo em anos.
20. (Vunesp) Numa fábrica, o lucro originado pela produção de x peças é dada em
milhares de reais pela função
L(x) = log10 (100 + x) − k,
com k constante real.
(a) Sabendo que não havendo produção não há lucro, determine k.
(b) Determine o número de peças que é necessário produzir para que o lucro
seja igual a 1.000 reais.

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