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Semana 09ex
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Semana 09ex
Departamento de Matemática
Cálculo 1
Lista de Exercı́cios – Semana 09
1) O Teorema do Valor Médio afirma que, se uma função f é contı́nua em [a, b] e derivável
em (a, b), então existe x0 ∈ (a, b) tal que
f (b) − f (a)
f ′ (x0 ) = . (1)
b−a
Os passos seguintes fornecem a prova deste importante teorema. (veja Teorema 1 do Texto 2)
(a) Verifique que, se r(x) é a reta que passa por (a, f (a)) e (b, f (b)), então
f (b) − f (a)
r(x) = f (a) + (x − a).
b−a
3) Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que, se f ′ > 0 em um intervalo aberto
I ⊂ R, então a função f é crescente em I. O que podemos afirmar se f ′ < 0 em I ?
(veja Corolário 1 do Texto 2)
4) Usando o item acima, descreva um método que nos permita classificar um ponto crı́tico
como máximo local, mı́nimo local ou nenhum dos dois, a partir do sinal da derivada antes
e depois deste ponto crı́tico. (veja Corolário 2 do Texto 2)
5) Para as funções f abaixo determine: pontos crı́ticos, máximos e mı́nimos locais, intervalos
de crescimento e decrescimento e assı́ntotas. Note que as derivadas já estão dadas.
16 − x2 x−8
(a) f (x) = , f ′ (x) = ;
4(x − 2)2 (x − 2)3
x2 − x + 1 x(x − 2)
(b) f (x) = , f ′ (x) = ;
x−1 (x − 1)2
3√ x−1
(c) f (x) = 3
x(x − 4), f ′ (x) = √ .
4 3
x2
6) Para cada uma das funções abaixo, determine os pontos crı́ticos, classifique-os como
máximos ou mı́nimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde f é cres-
cente e decrescente. (veja Exemplo 1 do Texto 1)
7) Mostre que a função f (x) = (ln x)/x tem um máximo absoluto em x = e. Usando agora
o fato de que f (e) > f (π) e que a função x 7→ ex é crescente, conclua que π e < eπ .
(veja Vı́deo 2)
8) Mostre que p(x) = x3 − 3x2 + 6 tem exatamente uma raiz real. (veja Exemplo 2 do Texto 3)
1
9) Analise os intervalos de crescimento e decrescimento de f (x) = x + , definida em
x
(0, +∞), para concluir que
1
x+ ≥ 2, ∀ x > 0.
x
10) Supondo que o lucro, em milhões de reais, obtido na venda de x mil unidades de um
produto é dado por
3x
L(x) = , x ≥ 0,
54 + x3
determine a quantidade de itens que devem ser vendidos de modo a maximizar o lucro.
(veja Exemplo 2 do Texto 1)
11) Entre todas as latas cilı́ndricas de volume 1 litro, raio da base r e altura h, qual a que
tem menor área superficial. (veja Vı́deo 3)
Sabendo que pretende-se sacrificar o animal no momento em que este possuir a maior
massa, determine com qual idade o animal deve ser abatido.
13) Um retângulo deve ser inscrito em uma semicircunferência de raio 5 metros. Qual é a
maior área que o retângulo pode ter e quais as suas dimensões?
14) Supondo que I ⊂ R é um intervalo aberto, use o Teorema do Valor Médio para provar
as afirmações seguintes (veja os Corolário 3 e 4 do Texto 2)
(a) se f ′ (x) = 0 para todo x ∈ I, então existe C ∈ R tal que f (x) = C para todo x ∈ I.
(b) se f ′ (x) = g ′(x) para todo x ∈ I, então existe C ∈ R tal que g(x) = f (x) + C para
todo x ∈ I.
(a) Verifique que a derivada de f coincide com a derivada de g(x) = ln(x), no intervalo
I = (0, +∞).
(b) Usando o item acima e o exercı́cio anterior, conclua que f (x) = g(x) + C, para
algum C ∈ R. Em seguida, faça x = b nesta igualdade para calcular o valor da
constante C.
(c) Conclua que a
ln = ln(a) − ln(b), ∀ a, b > 0.
b
16) Argumentado como no exercı́cio anterior, mostre que (veja o Vı́deo 1)
1)
4)
√
6) (a) pontos crı́ticos: x = 3 6√(mı́nimo local)
crescente em (−∞,√ 0); ( 3 6, +∞)
3
decrescente em (0, 6)
(b) pontos crı́ticos: x = −1/2 (mı́nimo local); x = 2 (máximo local)
crescente em (−1/2, 2)
decrescente em (−∞, −1/2); (2, +∞)
(c) pontos crı́ticos: x = 0 (máximo local); x = 2 (mı́nimo local)
crescente em (−∞, 0); (2, +∞)
decrescente em (0, 1); (1, 2)
(d) pontos crı́ticos: x = ln 2 (máximo local)
crescente em (−∞, ln 2)
decrescente em (ln 2, +∞)
(e) pontos crı́ticos: x = −2 (máximo local); x = 2 (mı́nimo local)
crescente em (−∞, −2); (2, +∞)
decrescente em (−2, 2)
(f) pontos crı́ticos: x = −3 (máximo local); x = 1 (mı́nimo local)
crescente em (−∞, −3); (1, +∞)
decrescente em (−3, 1)
(g) pontos crı́ticos: x = −2 (mı́nimo local); x = 2 (máximo local)
crescente em (−2, 2)√ √
decrescente em (− 8, −2); (2, 8)
7)
14) Para o item (b), considere a função g(x) − f (x), definida no intervalo I
16) Para a primeira igualdade compare a derivada de g(x) = ln(bx) com a de ln(x). Para a
segunda, use g(x) = ln(xr )