Uni-BH

Disciplina: Cálculo Diferencial Turma: Engenharia Civil

Prof.: Tatiana Reis Bastos Braga
Lista de Exercícios: Funções do 1° e 2° graus, exponenciais e logarítmicas.

x
f (x )=− +4
1) Construir o gráfico da função 2 , determinar seu domínio, sua
imagem e o estudo do sinal dessa função.

2) Construir o gráfico das funções abaixo, determinar o domínio, a imagem e estudo

do sinal de cada função.

2 2 2
a) f (x )=−x −9 b) g( x )=x −2 c) h( x )=x −4 x+3

3) Determine o ponto de intersecção entre a reta y=−x+6 e a função

2
f (x )=x + 4 x .

4) Considere o plano cartesiano abaixo, determine as equações das retas

representadas nele e seu ponto de interseção.

5) Determine o domínio das funçõ es abaixo:

 8
f ( x )= 5 + √ x 2−36−x 4
a) √−x +7
3
f (x )= 4
√ x−1 − x
2
√−x + 2 x +3 4 x−7
b)

6) Em uma experiência realizada com camundongos, foi observado que o tempo

requerido para um camundongo percorrer um labirinto, em minutos, na enésima
12
f (n)=3+
tentativa, era dado pela funçã o n .
a) Qual é o tempo necessá rio para o camundongo percorrer o labirinto na
terceira tentativa? E na quinta tentativa?
b) Em qual tentativa o camundongo leva 3 minutos e 30 segundos?
c) Qual é o conjunto domínio dessa funçã o?

7) A assinatura mensal de um telefone celular é de R$ 36,00 e cada unidade de

conversação custa R$ 3,00. Determine quantas unidades de conversação um cliente
pode usar durante um mês para que a conta seja inferior a R$ 72,00.

8) Suponha que o número f(x) de funcionários necessários para distribuir, em um

dia, contas de luz em x por cento de moradores, numa determinada cidade, seja dado
300 x
f (x )=
pela função 150−x . Se o número de funcionários necessários para
distribuir, em um dia, as contas de luz foi 75, determine a porcentagem de moradores
que as receberam.

9) A função f ( x )=ax+ b é tal que f ( 3 )=0 e f ( 4 ) >0. Pode-se afirmar que:

a) a< 0
b) f ( 0 )=3
c) f é constante
d) f é crescente em todo domínio
e) f ( 2 ) >0

10) Um banco paga as contas de um cliente. As contas vencem, no mês de abril,

−2 x
segundo a função y= +18 , em que x ∈ {1,2,3 , … , 30} e y é o saldo do cliente em
3

US$ 1.000,00 no dia x de abril.

a) Em que dia do mês de abril o saldo do cliente chega a US$ 0,00?

b) Em que intervalo de tempo, no mês de abril, o saldo é positivo?
c) Em que intervalo de tempo, no mês de abril, o saldo é negativo?
 k
11) (Unicamp- SP) O preço unitário de um produto é dado por: p= +10, para n ≥ 1
n
em que k é uma constante e n é o número de unidades adquiridas.

a) Encontre o valor da constante k, sabendo que, quando foram adquiridas 10

unidades, o preço unitário foi de R $ 19,00.
b) Com R$590,00, quantas unidades do referido produto podem ser adquiridas.

12) Determine as raízes, os interceptos em relação ao eixo y e o vértice das parábolas:

a ¿ y=x 2−4
b ¿ y=−x2 +3 x
c ¿ y=2 x2 −5 x +2
x 3
d ¿ y=−x 2 + +
2 2
2
e ¿ y =−x 2+ x −
9
2 7
f ¿ y =x − x−2
3

13) (Fuvest-SP) O gráfico de f ( x )=x 2 +bx +c , onde b e c são constantes reais, passa
−2
pelos pontos A(0,0) e B(1,2). Então f ( )
3
vale:
2 2 1 1
a ¿− b ¿ c ¿− d ¿ e ¿ 4
9 9 4 4

14) Determine o valor de m na função real f ( x )=3 x 2−2 x+ m para que o valor mínimo
5
seja .
3

15) Considerando a função f ( x )=3 x 2−4 x+ 7 , podemos afirmar que:

a ¿ f ( 1 ) + f (−1 )=2 f (0)

b ¿ f (−1 ) > f (1)
c ¿ f ( 0 ) + f (2 )=f (2)
d ¿ f (−1 ) + f ( 0 )+ f ( 1 ) <f ( 2)

16) (UFMG) O trinômio y = ax 2 + bx + c está representado na figura. A afirmativa

correta é:

a) a>0 b>0 c<0

b) a<0 b<0 c<0
c) a<0 b>0 c<0
d) a<0 b>0 c> 0
e) a<0 b<0 c>0
17) A base e a altura de um triângulo medem 4x e x+2, respectivamente, e a base e a
altura de um retângulo medem x+3 e x+2, respectivamente, onde x ∈ R+¿ ¿ ¿

a) Para que valores de x área do triângulo é maior que a do retângulo?

b) Qual é o menor valor inteiro x para que a área do triângulo seja maior que a do
retângulo?

18) Dentre todos os números reais x e z tais que 2 x+ z=8, determine aqueles cujo o
produto é máximo.

19) Dentre todos os retângulos de perímetro 20 cm, determine o de área máxima.

20) VUNESP-SP) Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no
espaço descrita em função o tempo (em segundos) pela expressão h(t) = 3t - 3t², onde
h é a altura atingida em metros.
a) Em que instante t o grilo retorna ao solo?
b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo?

21) Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fó rmula L = R – C, em L
é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produçã o. Numa empresa
que produziu x unidades, verificou-se que R(x) = 6 000x – x 2 e C(x) = x2 – 2 000x.
Nessas condiçõ es, qual deve ser a produçã o x para que o lucro da empresa seja
má ximo?

22) Uma bola e lançada ao ar. Suponha que sua altura h, em metros, t segundos após
o lançamento, seja h = - t2 + 4t. Determine:

a) o tempo gasto para a bola atingir uma altura de 1 m.

b) quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo.
c) a altura máxima atingida pela bola.
d) o instante em que a bola atinge a altura máxima.

Propriedades dos expoentes

Sejam a e b nú meros positivos e x e y, nú meros reais quaisquer.
ax
1) a
x+ y
=a a
x y
a x− y=
2) ay
a x ax
3) (ab ) =a b
x x x

4)
()
b
= x
b
x y xy 1
a−x =
5) (a ) =a ax
6)
8) Sejam m e n inteiros positivos:
0
7) a =1
 m
n n m n
x =√ x m=( √ x )
n
, se existe √x .

23) (Cesgranrio-RJ) Certo tratamento médico consiste na aplicação de uma

determinada substância a um paciente. Admita que a quantidade Q de substância que
permanece no paciente, t horas após sua aplicação, é dada, em miligramas, por
Q ( t ) =2501−0,1 t , 10 horas após sua aplicação da substância, a quantidade que
permanece no paciente é:

(A) 2 50 mg (B) 10 mg (C) 5 mg (D) 1 mg

24) O número B de bactérias num dado local após t horas é dado por

B=100 ∙ e 0,693t
a) Qual foi o número inicial de bactérias presentes?
b) Quantos bactérias estão presentes após 6 horas?

25) Uma substância se decompõe aproximadamente segundo a lei

Q ( t ) =k ∙2−0 ,5 t , em que K é uma constante, t indica o tempo (em minutos) e Q(t) indica
a quantidade de substância (em gramas) no instante t.

Considerando os dados de decomposição deste

processo mostrado no gráfico. Determine os
valores de k e a.

26) O gráfico ao lado representa a

função f cuja lei é
x
f ( x )=a+b⋅2 , sendo a e b
constantes positivas.

a) Determine a e b
 b) Qual é o conjunto imagem de
f?
c) Calcule f(-2)

27) Uma única célula de ameba duplica a cada 4 horas. Quanto tempo uma célula de
ameba levará para produzir uma população de 1024?

( A ) 10 horas
( B ) 20 horas
( C ) 30 horas
( D) 40 horas

28) (UFPE-PE) Se a população do planeta era de 5,94 bilhões de habitantes em 2000

e, a cada ano, a população cresceu 1% em relação ao ano anterior, qual era a
população do planeta em 1900? (Dado: Use a aproximação 1,01100 =2,70)
(A) 1,9 bilhões
(B) 2 bilhões
(C) 2,1 bilhões
(D) 2,2 bilhões

Logaritmos
Seja a um nú mero real positivo, diferente de 1 ( a ∈ R , a>0 e a≠1 ) e x

um nú mero real positivo ( x ∈ R e x> 0 ). O nú mero real y tal que a y=x é

denominado logaritmo de x na base a e é denotado por y=log a ( x ) .

y=log a ( x ) se e somente se a y=x

log a 1=0 loga a=1
log a a x=x
log a x
Consequências da definiçã o: a =x
Propriedades: Sejam x e y, reais positivos.

1) log a ( xy )=log a x +log a y

2)
log a ( xy )=log x−log y
a a

r
log b x
3) log a ( x )=r log a x log a x =
4) log b a , mudança de base.

29) Determine o valor da expressão: log 1 32+ log 0,001−log 1 10 √ 10

2 10

30) O PIB de um país cresce a uma taxa de 5% ao ano. Daqui a quantos anos,
aproximadamente, o PIB triplicará ?

31) (IBMEC-01) Próxima da superfície terrestre, a pressão atmosférica (P), dada em

h
atm, varia aproximadamente conforme o modelo matemático:
P=P0 ( 0,9 ) , onde

P0 = 1 (atm) e h é altura dada em quilômetros. Então, a altura de uma montanha

onde a pressão atmosférica no seu topo é de 0,3 (atm) tem valor igual a: Dado: log3 =
0,48.

(A) 11 (km) (B) 14 (km) (C) 12 (km) (D) 15 (km) (E) 13 (km)

32) (PUC-02) Um laboratório iniciou a produção de certo tipo de vacina com um lote
de x doses. Se o planejado é que o número de doses produzidas dobre a cada ano,
após quanto tempo esse número passará a ser igual a 10 vezes o inicial? (Use: log 2 =
0,30)
(A) 1 ano e 8 meses (B)2anos e 3 meses (C) 2 anos e 6 meses
(D) 3 anos e 2 meses (E) 3 anos e 4 meses

33) VUNESP-03) Um determinado lago foi tomado por uma vegetação. Em 1990, a
área coberta pela planta era de 160 m2, e a partir de então o aumento anual da área
coberta pela vegetação foi de 60%. Determine:
a) a área, em m², coberta pela vegetação n anos mais tarde;
b) usando log16 = 1,2, quantos anos se passaram até que uma área de 2560 m² fosse
coberta.

34) (UFSCAR-01) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina
à produção de madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o seguinte modelo

matemático: h(t) = 1,5 + log 3 (t+1 ) com h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas
árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, o tempo (em anos)
transcorrido do momento da plantação até o do corte foi de:
(A) 9. (B) 8 (C) 5 (D) 4
GABARITO:

1) D= ℜ , Im= ℜ , f (x )=0 ⇒ x=8; f ( x )⟨0 ⇒ x⟩ 8 ; f ( x )¿ 0 ⇒ x ¿ .

2) a) D= ℜ , Im= { y∈ ℜ/ y≤−9 }
f (x )=0 ⇒ x ∉ ℜ; f ( x )⟨0 ⇒ ∀ x ∈ ℜ; f ( x )⟩0 ⇒ x ∉ ℜ
b) D= ℜ , Im= { y∈ ℜ/ y≥−2¿
g ( x )= 0 ⇒ x=± √ 2 ; g ( x ) ¿ ¿
c) D= ℜ , Im= { y ∈ ℜ/ y ≥−1 }
h ( x )=0 ⇒ x=1 ou x =3 ; h ( x ) ¿ ¿

3) (-6,12) e (1,5).

4) equaçõ es:
4
y=− x +4
3 ,
5
y= x +5
2 - ponto:
(−276 ,120
27 )

5) a) D= { x ∈ ℜ/x≤−6 ou x≥6 ex≠7 }

b)
D=¿ ¿
6) a) 7 min. 5,4 min. b) 24 voltas. c) { n ∈ N /n¿ 0 }

7) menos de 12 unidades de conversaçã o.

8) 30%.

9) Letra D

10 ¿ a ¿ 27 de abril ; b ¿ de 1 a 26 de abril ; c ¿ de 28 a30 de abril .

11) a ¿ 90 b ¿ 50 unidades

( 32 , 94 )
12) ¿ ra í zes: 2e−2 ; ( 0 ,−4 ) ; V ( 0 ,−4 ) b ¿ ra í zes :0 e 3 ; ( 0,0 ) ; V
1 5 9 3 3 1 25
c ¿ ra í zes:2 e ; ( 0,2 ) ; V ( ,− ) d ¿ ra í zes: e−1; ( 0 , ) ; V ( , )
2 4 8 2 2 4 16
2 1 2 1 1 2 7 121
e ¿ ra í zes: e ; ( 0 ,− ) ;V ( , ) f ¿ra í zes :3 e− ; ( 0 ,−2 ) ; V ( ,−
3 3 9 2 36 3 6 36 )

13) A

14) ¿ m=2 ;

15) B

16) B

17) a ¿ x >3 ; b ¿ x=4

18) x=2 e z=4

19) quadrado de lado 5

20) a) 1 b)0.75 metros.

21) 2 000 unidades.

22) a) 0,25 segundos. b) 4 segundos c) 4 metros. d) 2 segundos.

23) D

24) B=100

25) B ≅ 6394
26) k =512 a=6

27) D
28) D
−13
29)
2

30) aproximadamente 22,52 anos

31) E
32) E
33) a) A ( n ) =160. 1,6n b) 6
34) B