UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

LUIS HENRIQUE CARVALHO ARAUJO

RELATÓRIO DE CONTROLE:
FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA

SÃO CRISTÓVÃO - SE
MAIO DE 2021
 LUIS HENRIQUE CARVALHO ARAUJO

RELATÓRIO DE CONTROLE:
FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA

Relatório apresentado à disciplina de Controle,

do curso de Engenharia Elétrica da Universidade
Federal de Sergipe, sob orientação do Professor
Dr. Oscar Alberto Z. Sotomayor.

São Cristóvão/SE
2021

1
Sumário

1 Introdução 3

2 Função de Transferência 4
2.1 Obtenção da Função de Transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Linearização de Sistemas 10
3.1 Sistemas L.I.T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Sistemas Não Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Observações Importantes Sobre Funções de Transferência 15

5 Sistemas MISO 17
5.1 Desenvolvimento de um sistema MISO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6 Sistemas MIMO 22
6.1 Desenvolvimento de um sistema MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7 Redução de Funções de Transferência 29

8 Análise qualitativa da resposta de um sistema 31

8.1 Análise Qualitativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8.2 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

9 Conclusão 36

Referências 37

2
Capítulo 1

Introdução

Na teoria de controle, uma função de transferência é utilizada para caracterizar as

relações de entrada e saída de sistemas/processos.

Tais sistemas podem ser descritos por uma Equação Diferencial Ordinária (ODE)
Linear e Invariante no Tempo (LIT). Quando aplicada a Transformada de Laplace nessa
equação, é então obtida a função de transferência, que nada mais é do que uma função
matemática simples que relaciona algebricamente a saída de um sistema a sua entrada,
separando-as em três partes distintas, como pode ser observado na figura 1. Ela também
permite combinar representações matemáticas de subsistemas para a obtenção de uma
representação total do sistema como um todo.

Figura 1.1: Representação da entrada e saída de um sistema

3
Capítulo 2

Função de Transferência

2.1 Obtenção da Função de Transferência

Inicialmente deve-se considerar um sistema LIT, de ordem n, definido pela seguinte
equação diferencial:

dn y(t) dn−1 y(t) dm u(t) dm−1 u(t)

an + a n−1 + ... + a 0 y(t) = b m + b m−1 + ... + b0 u(t) (2.1)
dtn dtn−1 dtm dtm−1
sendo u(t) a entrada e y(t) a saída com n ≥ m.

Aplicando a Transformada de Laplace ao sistema e considerando condições iniciais

nulas, tem-se:

an sn y(s) + an−1 sn−1 y(s) + ... + a0 y(s) = bm sn u(s) + bm−1 sm−1 u(s) + ... + b0 u(s)

Colocando os termos que acompanham y(s) e u(s) em evidência:

(an sn + an−1 sn−1 + ... + a0 )y(s) = (bm sn + bm−1 sm−1 + ... + b0 )u(s) (2.2)

Reescrevendo a equação como somatórios de termos de y(s) e u(s):

" n # " m #
X X
ai si y(s) = bi si u(s)
i=0 i=0

Isolando o termo de y(s), obtemos o seguinte resultado:

 m 
X
i
 bi s 
 i=0
(2.3)

y(s) = 
X n
 u(s)

i
ai s

i=0

cuja fração entre os somatórios é definida como Função de Transferência do sistema e

também pode ser representada por G(s). Com isso:

y(s) = G(s)u(s)

4
onde G(s) pode ser escrito da seguinte forma:

y(s)
G(s) = (2.4)
u(s)

Esta função de transferência também pode ser representada por um diagrama de

blocos, onde é possível combinar diferentes subsistemas (blocos) para gerar um sistema
total, conveniência que não pode ser obtida com a equação diferencial.

Figura 2.1: Diagrama de blocos com entrada u(s), saída y(s) e função de transferência G(s)

5
2.2 Exemplos
2.2.1 Circuitos Elétricos
1. Considere o circuito RLC abaixo, com entrada V (t) e saída VC (t), e encontre sua
função de transferência.

Figura 2.2: Circuito RLC

SOLUÇÃO:

Analisando a malha do circuito, temos:

VL (t) + VR (t) + VC (t) = V (t)

Utilizando as relações básicas de tensão e corrente dos componentes, chegamos ao
seguinte modelo em ODE:

d2 VC (t) dVC (t)

LC 2
+ RC + VC (t) = V (t)
dt dt
Aplicando a Transformada de Laplace e assumindo condições iniciais nulas:

LCs2 VC (s) + RCsVC (s) + VC (s) = V (s)

(LCs2 + RCs + 1)VC (s) = V (s)

Com isso, chegamos a função de transferência:

VC (s) 1
G(s) = = 2
V (s) LCs + RCs + 1

6
 2. Considere o circuito RLC abaixo e encontre sua função de transferência. Sua
entrada é V (t) e saída i2 (t).

Figura 2.3: Circuito RLC com duas malhas

SOLUÇÃO:

Seu modelo em ODE é dado por:

d2 i2 (t) di2 (t) d2 V (t)

(R1 + R2 )LC + (R R
1 2 C + L) + R i
1 2 (t) = LC
dt2 dt dt2
Aplicando a Transformada de Laplace e assumindo condições iniciais nulas:

(R1 + R2 )LCs2 i2 (s) + (R1 R2 C + L)si2 (s) + R1 i2 (s) = LCs2 V (s)

[(R1 + R2 )LCs2 + (R1 R2 C + L)s + R1 ]i2 (s) = LCs2 V (s)

Com isso, chegamos a seguinte função de transferência:

i2 (s) LCs2
G(s) = =
V (s) (R1 + R2 )LCs2 + (R1 R2 C + L)s + R1

7
2.2.2 Sistemas mecânicos translacionais
1. Encontrar a função de transferência do seguinte sistema, com entrada f (t) e saída
y(t).

Figura 2.4: Sistema massa-mola

SOLUÇÃO:

A ODE que descreve o sistema é:

d2 y(t) dy(t)
M 2
+β + Ky(t) = f (t)
dt dt
Aplicando a Transformada de Laplace e assumindo condições iniciais nulas:

M s2 y(s) + βsy(s) + Ky(s) = f (s)

(M s2 + βs + K)y(s) = f (s)
Sua função de transferência é:

y(s) 1
G(s) = = 2
f (s) M s + βs + K

8
 2. Encontrar a função de transferência do seguinte sistema, cuja entrada e saída são,
respectivamente, x1 (t) e x2 (t).

Figura 2.5: Sistema massa-mola com duas molas

SOLUÇÃO:

A ODE que descreve o sistema é:

d2 x2 (t) dx2 (t) dx1 (t)

M + β + (K 1 + K 2 )x 2 (t) = β + K1 x1 (t)
dt2 dt dt
Aplicando a Transformada de Laplace e assumindo condições iniciais nulas:

M s2 x2 (s) + βsx2 (s) + (K1 + K2 )x2 (s) = βsx1 (s) + K1 x1 (s)

[M s2 + βs + (K1 + K2 )]x2 (s) = (βs + K1 )x1 (s)

Sua função de transferência é:

x2 (s) βs + K1
G(s) = = 2
x1 (s) M s + βs + (K1 + K2 )

9
Capítulo 3

Linearização de Sistemas

3.1 Sistemas L.I.T.

Os modelos apresentados até o momento foram descritos por equações diferenciais li-
neares e invariantes no tempo. Porém, isso não ocorre em todos os casos. Inicialmente
é importante entender melhor o conceito de linearidade e invariância no tempo, que será
explicado a seguir, para que seja possível partir para sistemas não lineares.

3.1.1 Sistemas lineares

Um sistema definido como linear possui as seguintes propriedades:

• Superposição
Se a entrada so sistema é uma soma de sinais, a saída será a soma das respostas do
sistema a cada um dos sinais de entrada, como pode ser observado na figura abaixo.

Figura 3.1: Representação da propriedade de superposição

10
 • Homogeneidade
Se a entrada de um sistema for multiplicada por um escalar, a resposta produzida
também deverá ser multiplicada por esse mesmo escalar.

Figura 3.2: Representação da propriedade de homogeneidade

3.1.2 Sistemas Invariantes no Tempo

Um sistema é invariante no tempo se um deslocamento no tempo do sinal de entrada
resulta em um deslocamento no tempo idêntico na saída do sistema.

Figura 3.3: Sistema invariante no tempo

11
3.2 Sistemas Não Lineares
Uma vez que a Transformada de Laplace só pode ser aplicada a sistemas lineares e
invariantes no tempo, a função de transferência também é definida apenas para sistemas
LIT. Caso contrário, o sistema deve passar por um processo chamado linearização.
Abaixo são mostradas algumas curvas de sistemas não lineares.

Figura 3.4: Exemplos de sistemas não lineares

A linearização pode ser feita a partir de uma aproximação por Séries de Taylor em
torno um ponto de operação definido. A série deve ser truncada em sua primeira derivada
e os termos de ordem superior podem ser descartados.

Considere um sistema não linear com entrada u e saída y. A derivada de y pode ser
escrita da seguinte forma:

ẏ = f (y, u) (3.1)
Seja P = (ys , us ) o ponto de operação definido para a linearização. Considerando
apenas os termos de primeira ordem, a Série de Taylor que representa a equação (3.1), é:
 
∂f  ∂f 
ẏ ≈ f (ys , us ) + (y − ys ) + (u − us )
∂y P ∂u P
 
∂f  ∂f 
(ẏ − y˙s ) ≈ (y − ys ) + (u − us ) (3.2)
∂y P ∂u P
Fazendo y = y − ys e u = u − us , temos:
 
∂f  ∂f 
ẏ = y+ u
∂y P ∂u P
Ainda é possível fazer uma substituição de variáveis, dessa vez das derivadas em relação
a y e a u por A e B, respectivamente, chegando a seguinte equação:

ẏ = Ay + Bu (3.3)
Assim, é obtida a equação (3.3), linearizada em torno do ponto P = (ys , us ). Com
isso, é possível obter a função de transferência do sistema, agora com entrada u(t) e saída
y(t).

12
3.3 Exemplo
Encontrar a função de transferência do seguinte sistema, cuja entrada é o fluxo F1 (t)
e saída é o nível de água h(t)

Figura 3.5: Controle de fluxo em um tanque

SOLUÇÃO:

A ODE que descreve o sistema apresentado é dada por

dh(t)
A = F1 − F2
dt
√
dh(t) F1 β h
= −
dt A A
√
Da forma como está escrito, o sistema é não linear devido ao termo β h. Logo, ele deve
ser linearizado utilizando a Série de Taylor, em torno do ponto de operação P (hs , F1s ),
da seguinte forma:

ḣ = f (h, F1 )
 
∂f  ∂f 
ḣ = (h − hs ) + (F1 − F1s )
∂h P ∂F1 P
 
∂f  ∂f 
ḣ = h+ F1 (3.4)
∂h P ∂F1 P
Calculando a derivada da função f em relação a h:
β
−√
2A h
Calculando a derivada da função f em relação a F1 :
1
A

13
 Substituindo as derivadas de f na equação (3.4) e linearizando no ponto P (hs , F1s ),
obtemos o seguinte modelo, agora linearizado:
β 1
h˙ = − √ h + F1
2A hs A

h˙ = −Ah + BF1 (3.5)

Aplicando a Transformada de Laplace e assumindo condições iniciais nulas na equação
(3.5), temos:

sh(s) = −Ah(s) + BF1 (s)

sh(s) + Ah(s) = BF1 (s)

(s + A)h(s) = BF1 (s)

h(s) B
=
F1 (s) s+A
Assim, chegamos finalmente a função de transferência do sistema linearizado:
1
h(s) A
G(s) = =
F1 (s) β
s+ √
2A hs

14
Capítulo 4

Observações Importantes Sobre

Funções de Transferência

• Uma propriedade importante da função de transferência é que a variação da saída no

estado estacionário pode ser calculada diretamente para uma variação sustentada na
entrada. Basta fazer s = 0 em G(s) e será obtido o ganho estacionário do processo,
como pode ser observado a seguir.
Seja,  m
X

i
 bi s 
y(s)  i=0

G(s) = = n

u(s)  X i 

ai s

i=0

Fazendo s = 0, temos:

b0
G(s) = =K
a0

∆y
K=
∆u
onde K é o ganho estacionário ou estático do sistema e não depende das condições
operacionais.

• Se a função de transferência de um sistema não for conhecida, ela pode ser estimada
experimentalmente com entradas conhecidas (degrau, rampa, impulso, etc) e com
o estudo das respectivas respostas do sistema. Uma vez determinada, a função de
transferência fornece uma descrição completa da dinâmica do sistema independente
da sua descrição física. As funções de transferência de diversos sistemas fisicamente
diferentes podem ser idênticas.
Sejam u(t) a entrada de um sistema e y(t) sua resposta. Ao aplicar a Transformada
de Laplace em ambos os termos e sem a necessidade de conhecer suas características
físicas, é possível obter sua função de transferência, que será:

y(s)
G(s) =
u(s)

15
• A transformada de Laplace da resposta impulsiva de um sistema é a própria função
de transferência do sistema, y(s) = G(s). Desta forma, é possível obter informações
sobre as características dinâmicas de um sistema por meio da excitação por um
impulso na entrada e medindo a resposta.
Seja u(t) um impulso unitário, então u(s) = 1. Dessa forma:

y(s) = G(s)u(s)
y(s) = G(s)

16
Capítulo 5

Sistemas MISO

5.1 Desenvolvimento de um sistema MISO

Sistemas MISO (Multiple Input Single Output) trabalham com várias entradas e uma
única saída. Aqui, utilizaremos apenas duas entradas, mas a mesma ideia pode ser seguida
para três ou mais.

Considere um sistema com entradas u1 (t) e u2 (t) e saída y(t). Seu modelo dinâmico é
descrito pela seguinte ODE:

dn y(t) dm u1 (t) dl u2 (t)

an + ... + a0 y(t) = b1,m + ... + b1,0 u1 (t) + b2,l + ... + b2,0 u2 (t) (5.1)
dtn dtm dtl
com n ≥ m, l.

Aplicando a Transformada de Laplace na equação (5.1) e considerando condições ini-

ciais nulas, temos:

an sn y(s) + ... + a0 y(s) = b1,m sm u1 (s) + ... + b1,0 u1 (s) + b2,l sl u2 (s) + ... + b2,0 u2 (s)

(an sn + ... + a0 )y(s) = (b1,m sm + ... + b1,0 )u1 (s) + (b2,l sl + ... + b2,0 )u2 (s)
" n
# " m
# " l
#
X X X
ai si y(s) = b1,i si u1 (s) + b2,i si u2 (s)
i=0 i=0 i=0

Isolando o termo de y(s), temos:

 
 m
X
 l
X
 b1,i si  
 b2,i si 

 i=0  i=0
y(s) =   u1 (s) +   u2 (s)

X n   n
X
 
ai si ai s i 
  
i=0 i=0

17
ou, equivalentemente:

y(s) = G1 (s)u1 (s) + G2 (s)u2 (s) (5.2)

 
  u1 (s)
y(s) = G1 (s) G2 (s)
u2 (s)

y(s) = G(s)u(s)
em que G1 (s) e G2 (s) são duas funções de transferência que relacionam a saída do processo
com cada uma das duas entradas. Seu diagrama de blocos mostra-se a seguir.

Figura 5.1: Diagrama de blocos de um sistema MISO com duas entradas

Como dito no início deste capítulo, o desenvolvimento apresentado anteriormente pode

ser aplicado para três ou mais entradas. Assim, para n entradas:
 
u1 (s)
  u2 (s) 
 

y(s) = G1 (s) G2 (s) G3 (s) ... Gn (s)   u3 (s) 

 ... 
un (s)

y(s) = G(s)u(s)
cujo diagrama de blocos é da forma:

18
 Figura 5.2: Diagrama de blocos de um sistema MISO com n entradas

5.2 Exemplo
Dado o seguinte sistema, encontrar sua função de transferência. As entradas do pro-
cesso são F1 (t) e α(t) e a saída é h(t).

Figura 5.3: Controle de fluxo em um tanque

Obs.: a válvula α(t) funciona da seguinte forma:


1 : totalmente aberta
α(t) =
0 : totalmente f echada
SOLUÇÃO:

O modelo matemático que descreve o sistema apresentado é:

√
dh(t) F1 β h
= − α(t)
dt A A
19
 Uma vez que há uma não linearidade no sistema, ele deve ser linearizado por Série de
Taylor. O ponto de operação utilizado será P = (hs , F1,s , αs ).

ḣ = f (h, F1 , α)
  
∂f  ∂f  ∂f 
ḣ = (h − hs ) + (F1 − F1s ) + (α − αs )
∂h P ∂F1 P ∂α P
  
∂f  ∂f  ∂f 
ḣ = h+ F1 + α (5.3)
∂h P ∂F1 P ∂α P

Calculando a derivada da função f em relação a h:

βα
√
−
2A h
Calculando a derivada da função f em relação a F1 :
1
A
Calculando a derivada da função f em relação a α:
√
β h
−
A
Substituindo as derivadas de f na equação (5.3) e linearizando no ponto P (hs , F1s , αs ),
obtemos o seguinte modelo, agora linearizado:
√
˙h = − βα s
√ h + F1 −
1 β hs
α
2A hs A A
Fazendo:
βαs
A= √
2A hs
1
B1 = F1
A
√
β hs
B2 =
A
Chegamos a:

h˙ = −Ah + B1 F1 − B2 α (5.4)
Aplicando a Transformada de Laplace e assumindo condições iniciais nulas na equação
(5.4), temos:

sh(s) + Ah(s) = B1 F1 (s) − B2 α(s)

(s + A)h(s) = B1 F1 (s) + B2 α(s)

20
 B1 B2
h(s) = F1 (s) + α(s)
s+A s+A
Fazendo uma comparação com a equação (5.2)
B1 B2
h(s) = F1 (s) + α(s)
s+A s+A

y(s) = G1 (s)u1 (s) + G2 (s)u2 (s)

Com isso, chegamos as seguintes relações:
B1
G1 (s) =
s+A
B2
G2 (s) =
s+A
onde G1(s) e G2(s) são as funções de transferência que relacionam a saída h com cada
uma das entradas, F1 e α.

21
Capítulo 6

Sistemas MIMO

6.1 Desenvolvimento de um sistema MIMO

Sistemas MIMO (Multiple Input Multiple Output) trabalham com várias entradas e
várias saídas. Aqui, utilizaremos apenas duas entradas e duas saídas, mas a mesma ideia
pode ser seguida para três ou mais.

Considere um sistema com entradas u1 (t) e u2 (t) e saídas y1 (t) e y2 (t). Seu modelo
matemático é descrito por:

d
 dt y1 (t) = a11 y(t) + a12 y(t) + b11 u(t) + b12 u(t)



(6.1)

 d
 y2 (t) = a21 y(t) + a22 y(t) + b21 u(t) + b22 u(t)

dt
Aplicando a Transformada de Laplace na equação (6.1) e assumindo condições iniciais
nulas, temos:

sy1 (s) = a11 y(s) + a12 y(s) + b11 u(s) + b12 u(s)
(6.2)
sy2 (s) = a21 y(s) + a22 y(s) + b21 u(s) + b22 u(s)


(s − a11 )y1 (s) + a12 y(s) = b11 u(s) + b12 u(s)

a21 y(s) + (s − a22 )y2 (s) = b21 u(s) + b22 u(s)



Na forma matricial:
   −1  
y1 (s) s − a11 −a12 b11 u1 (s) + b12 u2 (s)
=
y2 (s) −a21 s − a22 b21 u1 (s) + b22 us (s)
Obs.: seja,

adj(A)
A−1 =
|A|
se  
a b
A=
c d

22
então  
d −b
adj(A) =
−c a
|A| = ad − bc
Dessa forma, temos:
    
y1 (s) 1 s − a22 a12 b11 u1 (s) + b12 u2 (s)
= (6.3)
y2 (s) P (s) a21 s − a11 b21 u1 (s) + b22 us (2)
onde P (s) é chamado de polinômio característico e define as características dos polos do
sistema.
P (s) = (s − a11 )(s − a22 ) − a12 a21
P (s) = s2 − (a11 + a22 )s − (a12 a21 − a11 a22 )
Expandindo as matrizes da equação (6.3), temos:

(s − a22 )[b11 u1 (s) + b12 u2 (s)] + a12 [b21 u1 (s) + b22 u2 (s)]
y1 (s) =


P (s)




 (s − a11 )[b21 u1 (s) + b22 u2 (s)] + a21 [b11 u1 (s) + b12 u2 (s)]
y2 (s) =


P (s)

[(s − a22 )b11 + a12 b21 ]u1 (s) [(s − a22 )b12 + a12 b22 ]u2 (s)
y1 (s) = +


P (s) P (s)



(6.4)

 [(s − a11 )b21 + a21 b11 ]u1 (s) [(s − a11 )b22 + a21 b12 ]u2 (s)
y2 (s) = +


P (s) P (s)
A equação (6.4) pode ser reescrita da seguinte forma:

y1 (s) = G11 (s)u1 (s) + G12 (s)u2 (s)
(6.5)
y2 (s) = G21 (s)u1 (s) + G22 (s)u2 (s)


onde:

[(s − a22 )b11 + a12 b21 ]

G11 (s) =
P (s)
[(s − a22 )b12 + a12 b22 ]
G12 (s) =
P (s)
[(s − a11 )b21 + a21 b11 ]
G21 (s) =
P (s)
[(s − a11 )b22 + a21 b12 ]
G22 (s) =
P (s)
Com isso, finalmente chegamos a forma matricial:
    
y1 (s) G11 (s) G12 (s) u1 (s)
=
y2 (s) G21 (s) G22 (s) us (2)

23
  
G11 (s) G12 (s)
onde é chamada de matriz de transferência.
G21 (s) G22 (s)
O diagrama de blocos desse sistema é da seguinte forma:

Figura 6.1: Diagrama de blocos de um sistema MIMO com duas entradas e duas saídas

24
6.2 Exemplo
Encontrar a matriz de transferência do sistema abaixo, com entradas F1 (t) e α(t) e
saídas h1 (t) e h2 (t).

Figura 6.2: Sistema hidráulico com dois tanques

SOLUÇÃO:

A dinâmica do sistema é definida pelas seguintes equações:

 √
dh1 (t) F1 β1 h1
−


 =

 dt A1 A1
√ √
dh2 (t) β1 h1 β2 h2


= − α(t)



dt A2 A2
Como o sistema é não linear, devemos fazer uma linearização por Série de Taylor, em
torno do ponto P (h1s , h2s , F1s , αs ).

h˙1 = f1 (h2 , h2 , F1 , α)


h˙2 = f2 (h1 , h2 , F1 , α)

    
˙ ∂f 1  ∂f 1  ∂f 1  ∂f 1 
h1 = (h1 − h1s ) + (h2 − h2s ) + (F1 − F1s ) +  (α − αs )

   

 ∂h1 P ∂h2 P ∂F1 P ∂α P
   


˙ ∂f2  ∂f2  ∂f2  ∂f2 
h2 = (h1 − h1s ) + (h2 − h2s ) + (F1 − F1s ) + (α − αs )


∂h1 P ∂h2 P ∂F1 P ∂α P
    
˙ ∂f1  ∂f1  ∂f1  ∂f1 
h1 = h1 + h2 + F1 + α


∂h1 P ∂h2 P ∂F1 P ∂α P



    (6.6)


˙ ∂f2  ∂f2  ∂f2  ∂f2 
h2 = h1 + h2 + F1 + α


∂h1 P ∂h2 P ∂F1 P ∂α P
√
F1 β1 h1
Calculando as derivadas referentes a f1 = − :
A1 A1

25
 ∂f1 β1
=− √
∂h1 2A1 h1
∂f1
=0
∂h2
∂f1 1
=
∂F1 A1
∂f1
=0
∂α
√ √
β1 h1 β2 h2
Calculando as derivadas referentes a f2 = − α(t):
A2 A2
∂f2 β1
= √
∂h1 2A2 h1
∂f2 β2 α
=− √
∂h2 2A2 h2
∂f2
=0
∂F1
√
∂f2 β2 h2
=−
∂α A2
Substituindo as derivadas nas equações (6.6) e fazendo a linearização no ponto P
definido no início da solução:

β1 1

 h˙1 = − √ h1 + F1
2A1 h1s A1



√ (6.7)

˙ β1 β2 α s β h
√ h2 − 2 2s α

h2 = √ h1 −


2A2 h1s 2A2 h2s A2
Antes de prosseguir, podemos fazer algumas substituições de variáveis para que o
modelo fique mais próximo do apresentado no início do capítulo, nas equações (6.2).
β1
a11 = √
2A1 h1s

a12 = 0

1
b11 =
A1

b12 = 0

β1
a21 = √
2A2 h1s
β2 αs
a22 = √
2A2 h2s

26
 b21 = 0
√
β2 h2s
b22 =−
A2
Aplicando a Transformada de Laplace nas equações (6.7) e fazendo a substituição das
variáveis:


 sh˙1 (s) = −a11 h1 (s) + b11 F1 (s)

 ˙

sh2 (s) = a21 h1 (s) − a22 h2 (s) + b22 α(s)


 sh˙1 (s) + a11 h1 (s) = b11 F1 (s)

−a21 h1 (s) + sh˙2 (s) + a22 h2 (s) = b22 α(s)




 (s + a11 )h1 (s) = b11 F1 (s)
(6.8)
−a21 h1 (s) + (s + a22 )h2 (s) = b22 α(s)


Colocando na forma matricial:

   −1  
h1 (s) s + a11 0 b11 F1 (s)
=
h2 (s) −a21 s + a22 b22 α(s)
    
h1 (s) 1 s + a22 0 b11 F1 (s)
=
h2 (s) P (s) a21 s + a11 b22 α(s)

P (s) = (s + a11 )(s + a22 )

Expandindo as matrizes da equação (6.8) e substituindo o valor encontrado para P(s),
temos:

(s + a22 )b11
h (s) = F1 (s) + 0α(s)

1

(s + a11 )(s + a22 )




 a21 b11 (s + a11 )b22
h2 (s) = F1 (s) + α(s)


(s + a11 )(s + a22 ) (s + a11 )(s + a22 )

b11
h1 (s) = F1 (s)


(s + a11 )




 a21 b11 b22
h2 (s) = F1 (s) + α(s)


(s + a11 )(s + a22 ) (s + a22 )
Com isso, chegamos a:

 h1 (s) = G11 (s)F1 (s)

h2 (s) = G21 (s)F1 (s) + G22 (s)α(s)



27
em sua forma matricial:
    
h1 (s) G11 (s) 0 F1 (s)
=
h2 (s) G21 (s) G22 (s) α(2)
Portanto, a matriz de transferência do sistema é:
 
G11 (s) 0
G21 (s) G22 (s)

28
Capítulo 7

Redução de Funções de Transferência

Um sistema pode ser formado por diversos subsistemas, os quais possuem sua própria
função de transferência. Nesses casos, para encontrar a função de transferência do sistema
total basta fazer um processo de redução. As principais formas de realizar esse processo
serão apresentadas a seguir.

a) Sistema em série ou cascata

Figura 7.1: Diagrama de blocos em série

29
b) Sistema em paralelo

Figura 7.2: Diagrama de blocos em paralelo

c) Sistema com realimentação

Figura 7.3: Diagrama de blocos com realimentação

30
Capítulo 8

Análise qualitativa da resposta de um

sistema

8.1 Análise Qualitativa

Como observado ao longo deste trabalho, a função de transferência descreve as carac-
terísticas dinâmicas de um sistema. Para uma variação numa entrada u(t), a resposta
dinâmica da saída, após a aplicação da transformada de Laplace , é:

y(s) = G(s)u(s)
Uma vez que G(s) e u(s) podem ser expressas pela razão entre dois polinômios, temos:

B(s) f (s)
y(s) = (8.1)
A(s) g(s)
Para inverter pelo método das frações parciais, precisamos conhecer as raízes dos polos
dos sistema, A(s) e as raízes de g(s), onde ambas serão responsáveis por caracterizar os
termos resultantes.

Uma vez que sabemos onde os pólos do sistema estão localizados, é possível determinar
a característica da resposta qualitativa do sistema para uma determinada entrada.

Seja uma função de transferência dada por:

B(s) B(s)
G(s) = =
A(s) (s − p1 )(s − p2 )(s − p3 )m (s − p4 )(s − p4 ∗ (s − p5 )
sendo,
- p1 e p2 pólos reais e distintos;
- p3 pólos reais múltiplos;
- p4 e p4 ∗ pólos complexos conjugados;
- p5 pólo na origem.

31
 Figura 8.1: Localização dos pólos

A expansão em frações parciais de y(s) da equação (8.1) é:

 
C1 C2 C31 C32 C3m C4 C4 ∗ C5 C(s)
y(s) = + + + 2
+ ... + m
+ + + +
s − p1 s − p2 (s − p3 ) (s − p3 ) (s − p3 ) s − p4 s − p4 ∗ s − p5 g(s)

C(s)
onde está relacionada a entrada do sistema e é sua resposta forçada.
g(s)
Com isso, obtemos as seguintes respostas qualitativas:

1. p1 e p2 resultam nos termos C1 ep1 t e C2 ep2 t . Se p1 < 0 ⇒ C1 ep1 t cai exponencial-

mente a zero quando t → ∞

Figura 8.2: Decrescimento do termo C1 ep1 t

32
 Se p2 > 0 ⇒ C2 ep2 t cresce exponencialmente a ∞ com t.

Figura 8.3: Crescimento do termo C2 ep2 t

2. p3 dá origem a termos como:

 
C32 C33 2 C3m m−1 p3 t
C31 + t+ t + ... + t e
1! 2! (m − 1)!
 
C32 C33 2 C3m m−1
Analisando a contribuição de cada termo, temos que C31 + t+ t + ... + t
1! 2! (m − 1)!
cresce infinitamente com t e, para ep3 t com t → ∞, temos:

p3 > 0 ⇒ ep3 t → ∞
p3 < 0 ⇒ ep3 t → 0
p3 = 1 ⇒ ep3 t = 1


Para p3 < 0, o produto decai a zero quando t → ∞, pois:

C3m
(m − 1)!tm−1
(m − 1)! ∞
−p t
=
e 3 (−p3 ) ∞
e ao aplicar a regra de L’Hospital sucessivamente m vezes, o numerador será zero enquanto
o denominador continuará infinito, significando que ep3 t decairá mais rapidamente a zero
C3m m−1
do que o crescimento de t com o tempo.
(m − 1)!

33
 3. p4 = α + jβ e p4 ∗ = α − jβ dão origem a termos como eαt sen(βt + φ).

Analisando a contribuição de cada um dos termos, temos que sen(βt + φ) é periódico

e, para eαt com t → ∞, temos:

 α > 0 ⇒ eαt → ∞
α < 0 ⇒ eαt → 0
α = 0 ⇒ eαt = 1∀t


Figura 8.4: Respostas associadas aos termos complexos conjugados para cada valor de α

C5 C5
4. Para p5 = 0 + j0, temos = e, após aplicar a Transformada de Laplace,
s − p5 s
chegamos a C5 .

Por fim, a Transformada inversa de Laplace de y(s) será:

 
C32 C33 2 C3m m−1 p3 t αt C(s)
y(t) = C1 e p1 t p2 t
+C2 e + C31 + t+ t + ... + t e +e sen(βt+φ)+C5 +L−1
1! 2! (m − 1)! g(s)

y(t) = yn (t) + yf (t) (8.2)

onde yn (t) é a resposta natural do sistema e está relacionada a seus pólos, e yf (t) é a
resposta forçada do sistema e está relacionada as raízes de g(s).

34
8.2 Observações
• Para uma entrada específica u(t), devemos considerar as raízes adicionais introdu-
zidas pelo denomidador de u(s), para que seja possível obter um quadro completo
da resposta qualitativa do sistema.

• Se a entrada u(t) é limitada, todos os termos em yf (t) permanecerão limitados,

desde que yf (t) seja da forma funcional u(t).

• A presença ou ausência de zeros num sistema não tem efeito sobre o número e a
localização dos pólos e, portanto, não tem efeito sobre a estabilidade do sistema.
Entretanto, os zeros exercem um efeito profundo nos coeficientes dos modos de
respostas, o que acaba influenciando a resposta do sistema. Tais coeficientes são
encontrados por expansão em frações parciais.

• Polos situados à direita do eixo imaginário dão origem a termos que crescem ao
infinito com o tempo, o que torna o sistema instável. Portanto, um sistema é estável
se todos os pólos da função de transferência estiverem localizados no semi-plano da
esquerda.

Figura 8.5: Regiões estável e instável de um plano complexo

• A resposta instantânea ao degrau só é possível quanmdo os polinômios do numerador

e do denominador G(s) tem a mesma ordem. Se a ordem do numerador for maior
que a do denominador, o sistema é não realizável.

35
Capítulo 9

Conclusão

No presente relatório foi possível entender as relações de entrada e saída de um sistema,

independente de sua característica física. Seja um sistema elétrico, mecânico, hidráulico
ou de algum outro tipo, conhecendo seu modelo e aplicando a Transformada de Laplace
assumindo condições iniciais nulas, é possível obter sua função de transferência. Ainda
que o sistema não seja linear, sua função de transferência também pode ser obtida, uma
vez que seja feito o processo de linearização.

Em sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas também é possível a obtenção

da função de transferência, seguindo os passos que foram apresentados.

Com o fim deste trabalho, é possível observar a importância da função de transferência

no entendimento do comportamento dinâmico dos mais variados processos.

36
Referências

1. Ogata, Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno. 5. ed. Pearson Education,

2011.

2. Nise, Norman S. Engenharia de Sistemas de Controle. 6. ed. LTC Editora, 2013.

3. Oppenheim, Alan V. e Willsky, Alan S. Sinais e Sistemas. 2. ed. Pearson Educa-

tion, 2010.

4. Sotomayor, Oscar A. Z. Notas de aula. 2021.

5. Análise do comportamento dos sistemas dinâmicos. Disponível em:

https://materialpublic.imd.ufrn.br/curso/disciplina/1/63/2/6. Acesso em 11/05/2021.

37