Livro4 2022 Fisica

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LIVRO
1
4 FÍSICA
CIÊNCIAS DA
Índice
NATUREZA E SUAS
TECNOLOGIAS
EDUARDO FIGUEIREDO
Coordenador e Professor
Mecânica
do Curso e Colégio Objetivo
1 – Impulso e Quantidade de Movimento . . . . . . . . . 1
RICARDO HELOU DOCA
Professor do Curso e Colégio Objetivo 2 – Centro de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 – Colisão Mecânica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 – Gravitação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 – Origem e Evolução do Universo . . . . . . . . . . . . . . 79
6 – Noções de Física Moderna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7 – A Análise Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8 – Hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9 – Noções de Hidrodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Ondas
1 – Reflexão e Refração de Ondas . . . . . . . . . . 155
2 – Interferência de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . 171
3 – Fenômenos Ondulatórios . . . . . . . . . . . . . 183
4 – Acústica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
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CAPÍTULO
Mecânica
1 IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO
A bola recebe da cabeça do garoto um

impulso que vai variar a sua quantidade de
movimento.
Impulso e quantidade de movimento
são grandezas vetoriais.
1. Preliminares
Quando aplicamos uma força a um corpo, o efeito
Exemplificando
produzido depende de dois fatores:
O impulso da força de gravidade (peso) é sempre
• as características da força;
vertical e dirigido para baixo.
• o tempo de aplicação da força.
Para estudarmos o efeito da força, levando-se em
consideração o tempo de aplicação, foi criada a grandeza
vetorial de nome IMPULSO.
O IMPULSO DEPENDE {
a) da força aplicada;
b) do tempo de aplicação.
2. Definição de impulso
Notas
A definição geral de impulso usa o conceito de “in-
a) Impulso não é uma grandeza instantânea, isto é,
tegral” e, portanto, foge ao nível deste curso.
não é definido para um dado instante e sim para um certo
Vamos definir impulso para o caso particular de uma
intervalo de tempo ⌬t.
força constante (em módulo, direção e sentido). →
Consideremos um ponto material sob a ação de uma b) Quando a força F é variável, definimos força
→ →
força constante F durante um intervalo de tempo ⌬t. média Fm, em relação ao tempo, como sendo uma for-
→ ça constante, capaz de produzir o mesmo impulso da for-
→
Define-se impulso da força F como sendo a grande- ça variável F.
→
za vetorial I dada por: → → →
IF = IF = Fm ⌬t
→ → m
I = F . ⌬t
Sendo o impulso uma grandeza de natureza vetorial, 3. Unidade e

além de ter uma intensidade ou módulo, deverá ter tam- dimensões do impulso
bém uma orientação, isto é, uma direção e um sentido.
Como o intervalo de tempo ⌬t é um escalar positivo, Da definição de impulso, resulta:
então →
a direção e o sentido do impulso são os mesmos da unidade [ I ] = unidade [ F ] . unidade [ ⌬t ]
força F. No Sistema Internacional (SI), temos:
1
→ →
unidade [ F ] = newton (N) Q1 e Q2 são tangentes à trajetória e têm o mesmo sen-
unidade [ ⌬t ] = segundo (s) tido do movimento.
d) Para um corpo extenso, a quantidade de movi-
Portanto: unidade [ I ] = N . s mento é definida como o produto de sua massa pela ve-
locidade vetorial de seu centro de massa (será definido
dim [ I ] = dim [ F ] . dim [ ⌬t ]
oportunamente).
Em relação às grandezas fundamentais: massa (M),
comprimento (L) e tempo (T), temos:
→ →
[ F ] = MLT–2 e [ ⌬t ] = T Qcorpo extenso = m VCM
Portanto:
–1
[ I ] = MLT–2 . T ⇒ [ I ] = MLT e) Para um sistema de n partículas, a quantidade de
movimento é definida como a soma vetorial das quanti-
4. Definição de dades de movimento das n partículas.
“quantidade de movimento”
→ → → →
Consideremos uma →
partícula de massa m animada de Qsistema = m1 V1 + m2 V2 + … + mi Vi
velocidade vetorial V. →
Define-se quantidade de movimento Q da partícula
como sendo o produto
→
da sua massa m pela sua ve-
locidade vetorial V.
→ →
Q = mV
Notas importantes
a) Observe que quantidade de movimento é uma
grandeza instantânea, isto é, definida para um dado ins-
tante, ao passo que o impulso é uma grandeza definida
para um certo intervalo de tempo, isto é, entre dois
instantes.
b) A quantidade de movimento é também chamada
de “momentum” ou, ainda, “momento linear”. →
→ → f) A quantidade de movimento Q, de uma partícula,
c) a partir da definição Q = m . v e lembrando que a
massa m é um escalar positivo, concluímos que a quan- é constante em dois casos:
tidade de movimento terá a mesma orientação da veloci-
dade vetorial, isto é: A partícula está em repouso
A quantidade de movimento é sempre tangente à → →

Q = constante = 0
trajetória e tem sempre o mesmo sentido do mo-
vimento.
A partícula está em movimento retilíneo e uniforme
→ →
Q = constante ≠ 0
→
Note que, como Q é uma grandeza vetorial, para ser
constante deve ser constante em módulo (movimento
uniforme) e em orientação (trajetória retilínea).
g) Em particular, no movimento
→
circular e uniforme,
a quantidade de movimento Q tem módulo constante
(porque o movimento é uniforme), porém varia em dire-
ção (porque a trajetória é curva) e, portanto, é uma gran-
deza física variável.
2
dim [ Q ] = dim [ m ] . dim [ V ]
Em relação às grandezas fundamentais: massa (M),

comprimento (L) e tempo (T), temos:
[ m ] = M e [ V ] = LT–1
Portanto: [ Q ] = MLT–1
Observe que [ I ] = [ Q ] , isto é, impulso e quanti-
dade de movimento têm as mesmas dimensões físicas

→ → → (MLT–1) e, portanto, são medidas nas mesmas unidades,
. QA. = . QB. = . QC. o que equivale a dizer que:
→ → →
QA ≠ QB ≠ QC N . s = kg . m/s
→ 6. Relação entre a energia

h) Sendo F a força resultante que age em uma par- cinética e o módulo da
tícula de massa m, temos:
quantidade de movimento
→ → Considere uma partícula de massa m, energia cinéti-
→ → ⌬V ⌬Q
F = m a = m –––– = –––– ca Ec e quantidade de movimento de módulo Q.
⌬t ⌬t Sendo V o módulo da velocidade da partícula, te-
→ mos:
Portanto: a força resultante F é igual à taxa de va- mV2
riação da quantidade de movimento com o tempo. Q = mV (1) e EC = ––––– (2)
2
Foi com este enunciado que Isaac Newton formulou Q
a sua 2.a Lei de movimento. De (1) : V = –––
m
2 Q2

5. Unidade e dimensões da m Q
Em (2) : EC = ––– ––– ⇒ EC = ––––
quantidade de movimento 2 m 2m
Da definição de quantidade de movimento, resulta:
Em particular, se duas partículas, A e B, tiverem quan-
unidade [ Q ] = unidade [ m ] . unidade [ V ] tidades de movimento com o mesmo módulo (QA = QB),
então suas energias cinéticas serão inversamente propor-
No Sistema Internacional (SI), temos: cionais às respectivas massas.
unidade [ m ] = quilograma (kg)
unidade [ V ] = metro por segundo (m/s) EC mA
B
QA = QB ⇔ ––––– = ––––
EC mB
Portanto: unidade [ Q ] = kg . m/s A
1. (UNISA) – A respeito da quantidade de movimento e da energia Resolução

cinética de um corpo de massa constante, assinale a opção a) Errada: A quantidade de movimento é grandeza vetorial e será
correta: constante (em módulo, direção e sentido) se o movimento for
a) Num movimento circular e uniforme, somente a quantidade retilíneo e uniforme.
de movimento é constante. No movimento circular e uniforme, a quantidade de movimen-
b) Toda vez que a energia cinética de um móvel for constante, to tem módulo constante, porém direção variável.
sua quantidade de movimento também o será. A energia cinética é grandeza escalar e será constante em
c) Dois corpos iguais que se cruzam a 80 km/h, cada um, têm a qualquer movimento uniforme, não importando a trajetória.
mesma quantidade de movimento e energia cinética.
d) No movimento circular e uniforme, a quantidade de movimen- b) Errada: Nos movimentos uniformes não retilíneos, a energia
to e a energia cinética são ambas constantes. cinética é constante e a quantidade de movimento tem
e) A quantidade de movimento de um móvel, de massa cons- direção variável.
tante, será constante (não nula) para movimentos retilíneos e c) Errada: As energias cinéticas serão iguais, porém as quantida-
uniformes. des de movimento serão opostas.
3
d) Errada: A energia cinética é constante e a quantidade de movi-

mento é variável.
e) Correta.
2. Uma partícula se move em um plano de modo que suas coorde-

nadas cartesianas de posição variam com o tempo segundo as
funções horárias:
x = 1,5 t2 e y = 2,0 t2 em unidades do SI.

A variação de quantidade de movimento terá valor algébrico (⌬Q)
Sendo a massa da partícula de 2,0kg, pedem-se: dado por:
a) a trajetória da partícula; ⌬Q = Qf – Qi = mVf – mV0 = m(Vf – V0)
b) a intensidade da quantidade de movimento da partícula em Fazendo-se a substituição numérica, vem:
função do tempo. ⌬Q = 3,0 [1,0 – (–2,0)] kg . m/s
Resolução
a) Para obter a “equação da trajetória” y = f(x), devemos eliminar Logo: ⌬Q = 9,0 kg . m/s
a variável tempo nas relações x = f(t) e y = f(t).
x = 1,5 t2 (1) y = 2,0 t2 (2) Resposta: 9,0 kg . m/s
4. Uma bola de futebol cai verticalmente, é cabeceada por um joga-

(2) y 2,0 dor e, imediatamente após o choque, tem velocidade horizontal.
Fazendo-se ––––, vem: –– = –––– ⇒ y = 1,3x
(1) x 1,5 A bola tem massa m e antes e após o choque a velocidade escalar
Como a função y = f(x) é do 1.o grau, concluímos que a trajetó- é a mesma, V.
ria é retilínea.
→
b) Para obter a velocidade V, em um instante t, devemos calcular
→ →
os componentes Vx e Vy segundo os eixos cartesianos Ox e
Oy.
dx
x = 1,5 t2 ⇒ Vx = –––– = 3,0 t (SI)
dt
dy
y = 2,0 t2 ⇒ Vy = –––– = 4,0 t (SI)
dt
Aplicando-se o Teorema de Pitágo-

ras: Qual o módulo da variação de quantidade de movimento da bola
V2 = Vx2 + Vy2 no choque?
Resolução
V2 = (3,0 t)2 + (4,0 t)2 A quantidade de movimento sofreu variação em sua direção:
V2 = 9,0 t2 + 16 t2 = 25 t2
V = 5,0t (SI) →
A variação ⌬ Q, representada na figu-
ra, tem módulo dado pelo Teorema
A quantidade de movimento, em um instante t, terá módulo Q de Pitágoras.
dado por:
Q=mV
Q = 2,0 . 5,0t ⇒ Q = 10,0t (SI)

→ → →
Respostas: a) retilínea | ⌬ Q |2 = | Qi |2 + | Qf |2 = (mV)2 + (mV)2 = 2(mV)2
b) Q = 10,0t (SI)
→
Logo: | ⌬Q | =
2mV
3. Um móvel choca-se contra uma parede com velocidade em mó-
dulo igual a 2,0 m/s, e retorna com velocidade em módulo igual a Resposta =
2mV
1,0 m/s. Sendo de 3,0 kg a massa do móvel, qual o módulo da
variação do “momentum” (quantidade de movimento linear) do 5. (ESCOLA NAVAL-RJ) – Um carrinho de massa igual a 4,0kg mo-
móvel, como resultado dessa colisão? ve-se em uma trajetória retilínea. O módulo da sua quantidade de
movimento linear, ou momento linear, varia com o tempo de
acordo com o gráfico a seguir:
Resolução Qual o trabalho realizado pela força resultante sobre o carrinho,

Orientando-se a trajetória no sentido de afastamento da parede: entre os instantes t1 = 4,0s e t2 = 8,0s?
4
Resolução → V2 = 0,2 g H = 0,2 . 10 . 72

O trabalho ␶ da força resultante F é calculado pelo teorema da
energia cinética: V2 = 144 ⇒ V = 12m/s
␶F = ⌬Ecin = Ecin – Ecin 2) Q = mV

2 1
Q = 10 . 103 . 12 (SI)
Por outro lado, a energia cinética é dada, em função do módulo Q
da quantidade de movimento, pela relação: Q = 1,2 . 105 kg . m/s
Q2
EC = ––––
2m Resposta: B
Q22 Q21 1 7. (UEPA-MODELO ENEM) – Coletes à prova de bala dissipam parte
Portanto: ␶F = –––– – –––– = –––– [ Q22 – Q12 ]
2m 2m 2m da energia cinética de uma bala e transmitem o restante para o
corpo da pessoa, porém exercendo força em uma área grande de
Do gráfico dado: t1 = 4,0s ⇒ Q1 = 20 kg . m/s seu corpo, ao invés de concentrá-la apenas na área da seção
t2 = 8,0s ⇒ Q2 = 40 kg . m/s transversal da bala. Considere a situação em que uma pessoa,
usando o colete, recebe um tiro e a bala se fixa no colete. Analise
1 as alternativas abaixo:
Logo: ␶F = –––– [ (40)2 – (20)2 ] (SI)
8,0 I. A energia cinética dissipada pelo colete é convertida em
energia potencial, pois ela não pode deixar de ser uma forma
␶F = 1,5 . 102 J de energia mecânica pela lei da conservação de energia.
II. A pessoa, usando o colete, receberá uma quantidade de
Resposta: 1,5 . 102 J movimento igual à que receberia se não estivesse de colete e
a bala se alojasse em seu corpo.
6. (UFF-RJ-MODELO ENEM) – Para construir barracos em uma re- III. A eficiência da arma de fogo se deve ao fato de que a energia
gião onde predominam matacões (pedras gigantes), os invasores adquirida pela bala é bem maior do que aquela gerada pela
do Jardim Paraná, loteamento clandestino na Serra da Cantareira, queima da pólvora.
pagam a pedreiros para explodirem as pedras com dinamite. IV. Se o colete rebatesse a bala de volta na direção em que veio,
Algumas dessas pedras ficam instáveis. Suponha que uma pedra a quantidade de movimento recebida pela pessoa seria maior
de 10 toneladas, inicialmente em repouso, deslize, sem rolar, de do que quando a bala se fixa ao colete.
uma altura de 72 metros e que, nesse processo, aproxima- Estão corretas apenas:
damente 90% da variação de sua energia potencial gravitacional a) I e II b) II e III c) III e IV
seja dissipada por atrito. www.conservation.org d) II e IV e) I, III e IV
Resolução
Considerando-se a aceleração da gravidade com módulo igual a I. FALSA. A energia cinética dissipada pelo colete é transforma-
10m/s2, a quantidade de movimento final da pedra tem módulo, da em energia térmica.
em kg m/s, aproximadamente, igual a II. VERDADEIRA. A quantidade de movimento da bala é inte-
a) 1,4 . 102 b) 1,2 . 105 c) 7,2 . 105 gralmente transferida para a pessoa, pois, com colete ou sem
d) 3,6 . 106 e) 6,5 . 106 colete, a bala para.
Resolução III. FALSA. Energia não pode ser criada, mas apenas transfor-
1) Efinal = 0,1 Einicial mada.
IV. VERDADEIRA. Quando a bala ricocheteia, a variação de sua
m V2
––––– = 0,1 m g H quantidade de movimento é maior do que quando ela para.
2 Resposta: D
8. (UFF-RJ) – Pular corda é uma atividade que complementa o con- 10. (VUNESP) – No laboratório de testes de certa montadora de
dicionamento físico de muitos atletas.Suponha que um boxeador automóveis, há uma pista retilínea e horizontal com um trecho
exerça no chão uma força média de intensidade 1,0 . 104 N, ao se bastante liso. No início dessa pista, uma mola elástica de
erguer pulando corda. Em cada pulo, ele fica em contato com o constante k encontra-se comprimida de uma deformação x por
chão por 2,0 . 10–2 s. um carro de massa m, em repouso. O sistema é liberado e o
Na situação dada, o impulso que o chão exerce sobre o boxeador, carro, após se soltar da mola, adquire uma energia cinética e uma
a cada pulo, tem módulo igual a: quantidade de movimento que podem ser expressas,
a) 4,0 N.s b) 1,0 . 10 N.s c) 2,0 . 102 N.s respectivamente, por
d) 4,0 . 103 N.s e) 5,0 . 105 N.s
9. (UFAM) – Um menino faz girar uma pedra presa a uma haste

rígida e de massa desprezível de maneira que ela descreva um
movimento circular uniforme num plano vertical, num local onde
a aceleração da gravidade é constante. Sobre este movimento,
considere as seguintes grandezas relacionadas com a pedra: a) k x2/2 e k x m b) k x2/2 e x
km
I) Quantidade de movimento.
II) Energia potencial gravitacional. c) k x2/2 e k
xm d) k x2 e x
km
III) Energia cinética. e) k x2 e km x
IV) Peso.
Entre estas grandezas, as que variam, enquanto a pedra realiza 11. (VUNESP) – Em um local em que a aceleração da gravidade é
seu movimento, são: constante e tem módulo g, um carro de massa m parte do
a) Apenas I e IV. b) Apenas I e II c) Apenas II e III repouso do ponto superior de uma rampa retilínea lisa, inclinada
d) Apenas III e IV e) Apenas I e III
5
de um ângulo ␣ com a horizontal. O ponto em questão localiza-se 15. (FUNDAÇÃO CESGRANRIO) – Em uma partida de futebol, a bola
a uma altura h em relação à base da rampa. O carro está com o é lançada na grande área e desviada por um jogador da defesa.
motor desacoplado e despreza-se o efeito do ar. Não considere as Nesse desvio, a bola passa a se mover perpendicularmente à
dimensões do carro. Ao passar pela base da rampa, o carro terá direção da velocidade com que a bola atingiu o jogador. Sabe-se
uma quantidade de movimento, cujo módulo será dado por que as quantidades de movimento imediatamente antes e ime-
diatamente depois do desvio têm o mesmo módulo p.
a) m g h b) m g h sen ␣
a) Qual o módulo do vetor variação da quantidade de movimento
c) m
2gh d) m
2 g h sen ␣ da bola, durante o referido desvio?
b) Sendo E a energia cinética da bola imediatamente antes do
e) m
2 g h tg ␣ desvio, qual a variação da energia cinética da bola, ao ser des-
viada?
16. (UELON-PR) – Um veículo de massa 500kg, percorrendo uma

estrada horizontal, entra numa curva com velocidade escalar de
50,4km/h e sai numa direção que forma ângulo de 60° com a
direção inicial e com a mesma velocidade escalar de 50,4km/h.
Em unidades do Sistema Internacional, a variação da quantidade
de movimento do veículo ao fazer a curva, em módulo, foi de
a) 7,0 . 104 b) 5,0 . 104 c) 3,0 . 104
d) 7,0 . 103 e) 3,0 . 103
17. (UNAMA) – O gráfico a seguir representa a variação do módulo

12. Considere um sistema físico formado por duas partículas, A e B, do momento linear de uma partícula, de 2,0kg de massa, em fun-
que se movem livremente em um plano horizontal sem atrito.→ ção do tempo, em unidades do Sistema Internacional. O trabalho
A partícula A tem massa 2M, quantidade de movimento Q e realizado pela força resultante na partícula, nos 20 segundos de
movimento, é igual a:
energia cinética E. → a) 1,0 . 102J b) 2,0 . 102J c) 3,0 . 102J
A partícula B tem massa M e quantidade de movimento – Q.
d) 4,0 . 102J e) 5,0 . 102J
a) Qual a quantidade de movimento do sistema formado por A e
B?
b) Qual a energia cinética do sistema formado por A e B?
13. (UFRJ) – Uma bola de tênis de massa m colide contra uma

parede fixa, conforme é mostrado na figura abaixo. A velocidade
da bola imediatamente antes do choque é perpendicular à parede
e seu módulo vale V0. Imediatamente após o choque, a veloci-
dade continua perpendicular à parede e seu módulo passa a valer
(2/3)V0.
18. (MODELO ENEM) – As leis de Newton têm validade nos siste-

mas de referência denominados inerciais.
Quando um referencial A é considerado inercial, qualquer outro
referencial B, com velocidade vetorial constante em relação a A,
também é inercial.
Existem grandezas físicas que têm o mesmo valor quando
Calcule em função de m e V0: medidas por quaisquer observadores inerciais. Tais grandezas são
a) o módulo da variação do momento linear da bola; chamadas de invariantes.
b) a variação da energia cinética da bola. Na Mecânica Newtoniana são invariantes, por exemplo, a massa,
a aceleração e o tempo.
14. (UFPE) – Uma partícula, de massa M e velocidade de módulo v, Outras grandezas físicas como, por exemplo, o deslocamento e
colide com a parede de um recipiente (ver figura). Após a reflexão, a velocidade, têm valores diferentes quando medidas por
a partícula mantém o mesmo módulo de sua velocidade e o observadores inerciais distintos e, portanto, não são invariantes.
mesmo ângulo ␪ com a direção normal à parede. Desprezando-se Com base no texto acima, verifique qual das opções a seguir con-
todas as forças, com exceção da força entre a partícula e a tém apenas grandezas invariantes.
parede, pode-se afirmar que, devido à colisão, a variação da a) Força e trabalho.
quantidade de movimento da partícula tem módulo igual a: b) Força e quantidade de movimento.
a) zero b) Mv sen ␪ c) Mv cos ␪ c) Potência e energia cinética.
d) 2Mv sen ␪ e) 2Mv cos ␪ d) Força e impulso.
e) Força e energia cinética.
19. (UFTM-MG-MODELO ENEM) – Professores de Física costumam

“pegar no pé” de seus alunos quanto à necessidade da presença
das unidades físicas em resultados numéricos. De fato, a unidade
pode identificar diretamente a grandeza física à qual determinado
valor está relacionado. Há casos, no entanto, em que a mesma
unidade pode representar grandezas físicas conceitualmente
distintas. Das unidades apresentadas, aquela que sugere dupla
interpretação quanto ao entendimento da grandeza física
associada é
a) m/s, para velocidade angular e velocidade linear.
b) N/m2, para pressão e torque.
6
c) J/K, para capacidade térmica e calor latente específico. Um macaco usa uma pedra de 800g para quebrar um coquinho
d) kg.m/s, para quantidade de movimento e impulso. apoiado numa rocha. Ao se chocar contra o alvo, a velocidade da
e) W, para potência e vetor indução magnética. pedra tem módulo de 4,0m/s. Com unidades do Sistema
Internacional, no instante do choque a energia cinética e a
20. (UEM-PR-MODELO ENEM) – Se uma das rodas de um automó- quantidade de movimento da pedra têm módulos,
vel parado permanecesse apoiada sobre o pé de uma pessoa, respectivamente.
muito provavelmente o pé seria esmagado; entretanto, se o a) 6,4 e 6,4 b) 6,4 e 3,2 c) 3,2 e 3,2
mesmo automóvel passasse em alta velocidade sobre o pé da d) 3,2 e 1,6 e) 1,6 e 1,6
pessoa, provavelmente não causaria dano.
Analisando essa afirmação, assinale a alternativa correta.
a) Em alta velocidade, provavelmente não causaria dano, pois o 22. (UFCG-MODELO ENEM) – A prima Biela experimentava lenta-
carro tornar-se-ia mais leve. mente uma mudança de comportamento e passou a frequentar a
b) Em alta velocidade, provavelmente não causaria dano, pois o cozinha.
impulso exercido sobre o pé com o carro em movimento seria “Se abanque, sá Biela, disse Jovina depois de algum tempo.
muito menor do que com o carro parado. Biela não se abancou, foi para junto do pilão, retirou a tábua que
c) Causaria dano ao pé com o carro parado, pois a variação da cobria a gral. Pegou a mão do pilão, alisou-a carinhosamente com
quantidade de movimento seria muito maior do que com o as pontas dos dedos. Lisinha, de bom peso. No fundo do pilão um
carro em movimento. punhado de milho quebrado. Deixou a mão do pilão cair pela
d) A afirmação está incorreta, pois sempre causaria danos e de primeira vez. Depois outra, mais outra. Devagar ela ganhava um
mesma proporção, pois a intensidade da força exercida pelo movimento seu muito antigo, o galeio: pilava ritmadamente a
carro nas duas situações é a mesma. canjica.”
e) Causaria maior dano com o carro parado devido ao fato de o DOURADO, Autran. Uma vida em segredo. 8.a ed.
atrito estático ser maior que o atrito cinético. São Paulo: DIFEL, 1979, p.115.
21. (PUCC-MODELO ENEM) – O macaco-prego ocorre em ambien- Biela tinha uma predileção por ver gente trabalhar. Agora, ao se
tes tão variados quanto a Amazônia, o Cerrado, a Caatinga e a exercitar essa predileção observando-a trabalhar, pode-se afirmar
Mata Atlântica. Esse animal usa pedras como martelo e troncos que
de árvores como bigornas, numa referência à base sobre a qual se a) a aprovação, por Biela, do peso da mão do pilão (“de bom
malham metais. peso”) é insignificante, pois nem seu peso nem sua massa
têm qualquer relação com as forças impulsivas que deformam
o milho.
b) ignorando-se pequenas perdas, a quantidade de energia trans-
ferida aos grãos de milho é igual ao trabalho realizado por Biela
para erguer a mão do pilão até a altura de sua queda e para
conduzi-la até a gral.
c) a quantidade de energia transferida aos grãos de milho após
uma queda da mão do pilão é muito menor do que sua energia
potencial gravitacional ao ser abandonada por Biela.
d) a velocidade com que a mão do pilão atinge os grãos de milho
não depende da altura com que Biela a eleva.
e) supondo-se que Biela deixe a mão do pilão cair livremente de
uma altura (h), ela atingirá o milho com uma quantidade de
movimento de módulo (2mgh), em que (m) é a sua massa e (g)
é o módulo da aceleração da gravidade local.
(Adaptado de Pesquisas Fapesp. Maio 2007. n. 135, p. 48)
→
7. Teorema do impulso (TI) Sejam: V1 = velocidade da partícula no instante t1
→
“O impulso total sobre uma partícula, corpo exten- V2 = velocidade da partícula no instante t2
so ou sistema de partículas, para um dado inter-
valo de tempo, é igual à variação da quantidade de
→ ⌬t = t2 – t1 = intervalo de tempo em que a
movimento da partícula, corpo extenso ou sistema força F atuou sobre a partícula.
de partículas, naquele intervalo de tempo.”
De acordo com a 2.a Lei de Newton (PFD) aplicada à
→ → partícula, para o intervalo de tempo ⌬t, temos:
Itotal = ⌬ Q
→ →
Demonstremos o teorema do impulso para o caso → → ( V2 – V1)
particular de uma partícula em trajetória retilínea sob a F = m a = m ––––––––
→ ⌬t
ação de uma força resultante F constante.
→ →
Da qual: F ⌬t = m V2 – mV1
→ → → →
Ainda: I = Q2 – Q1 = ⌬ Q
7
Notas → → Usamos o TEC quando pretendemos relacionar força

1) No caso de trajetória curva, Q2 e Q1 podem ter di- com distância.
reções diferentes; nesse caso, para aplicarmos o teorema Usamos o TI quando pretendemos relacionar força
do impulso, e calcularmos o módulo do impulso, deve- com tempo.
mos fazer conforme indicado a seguir.
8. Propriedade gráfica
→
Consideremos uma partícula sob a ação de uma força
F de direção constante. →
O valor algébrico do impulso de F pode ser medido
pela área sob o gráfico
→
que traduz a variação do valor
algébrico da força F com o tempo.
Aplicando-se a lei dos cossenos ao triângulo da figu-

ra, temos:
→ → → → →
. I .2 = . Q1 .2 + . Q 2 .2 – 2 . Q1 . . Q2 . cos ␣
Para o caso particular de ␣ = 90°, recaímos na aplica-

ção do Teorema de Pitágoras:
→ → → t N t N
. I .2 = . Q1 .2 + . Q2 .2 [ I ] 1 = A1 ; [ I ] 2 = – A2
0 t1
→ →
2) No caso de trajetória retilínea, Q2 e Q1 terão a t
[ I ] 2 = A1 – A 2
mesma direção: nesse caso, na aplicação do teorema do 0
impulso, basta fazer a diferença “escalar”:
No diagrama do “valor algébrico da força aplica-
I = Q2 – Q1 = m (V2 – V1) da em função do tempo de aplicação”, a área sob
o diagrama representa o valor algébrico do impul-
→ →
Note, contudo, que como V2 e V1 podem ter sentidos so entre os instantes considerados.
opostos, os valores de V2 e V1 devem ser relativos, isto
é, as velocidades escalares com os respectivos sinais. Observações
3) Considere uma partícula descrevendo uma trajetó- a) Observe que, quando F > 0, resulta I > 0 (área aci-
ria retilínea, com movimento acelerado, entre duas po- ma do eixo dos tempos) e, quando F < 0, resulta I < 0
sições, A e B. (área abaixo do eixo dos tempos).
A distância entre A e B vale d, o tempo gasto é ⌬t e b) O impulso total é dado pela soma algébrica dos
a força resultante é constante e de intensidade F. impulsos parciais.
c) A demonstração da propriedade gráfica é trivial
para o caso de força constante:
Verifique a semelhança entre o teorema da energia

cinética (TEC) e o teorema do impulso (TI) aplicados
para o movimento da partícula entre as posições A e B.
TEC: ␶F = F . d = ⌬Ecin
N
TI: IF = F . ⌬t = ⌬Q A = F1 (t2 – t1) = F1 ⌬t = I1
8
d) A propriedade gráfica citada vale somente quando

→
a força F tiver direção constante (o módulo e o sentido
podem ser variáveis); um caso simples em que a força
tem direção constante é o da força resultante em uma
partícula em trajetória retilínea: a direção da força é a
própria direção da reta trajetória.
e) Conceitua-se força média, em relação ao tempo,

como sendo uma força constante capaz de proporcionar A força média, num dado intervalo de tempo, corresponde a uma força
constante que dá ao corpo o mesmo impulso que a força real. A área
ao corpo o mesmo impulso que a força variável aplicada. retangular Fm ⌬t é igual à área subentendida pela curva F = f (t).
23. (AFA) – Um avião está voando em linha reta com velocidade cons-
tante de módulo 7,2 . 102km/h quando colide com uma ave de
massa 3,0kg que estava parada no ar.
A ave atingiu o vidro dianteiro (inquebrável) da cabina e ficou gru-
dada no vidro.
Se a colisão durou um intervalo de tempo de 1,0 . 10–3s, a força
que o vidro trocou com o pássaro, suposta constante, teve inten-
sidade de:
a) 6,0 . 105N b) 1,2 . 106N c) 2,2 . 106N
d) 4,3 . 106N e) 6,0 . 106N
Resolução
Para relacionar força com tempo, usamos o teorema do impulso
aplicado em relação à ave:
→ →
Iave = ⌬ Qave
→ → →
F . ⌬t = m Vf – m V0
Como a ave estava inicialmente parada, temos V0 = 0 e como o
Despreze o peso da bola durante a interação entre o jogador e a
pássaro ficou pregado no avião, temos:
bola.
Vf = 7,2 . 102km/h = 2,0 . 102m/s A força média que o jogador aplicou sobre a bola tem intensidade
aproximadamente igual a:
Portanto: F . 1,0 . 10–3 = 3,0 . 2,0 . 102 a) 1,0 . 102N b) 2,0 . 102N c) 3,0 . 102N
d) 4,0 . 102N e) 5,0 . 102N
F = 6,0 . 105N
Resolução
Resposta: A Imediatamente antes da cabeçada, a bola tem uma quantidade de
→
movimento Q1 com módulo mV.
24. (ITA) – Uma metralhadora dispara 200 balas por minuto. Cada bala
tem massa de 28g e uma velocidade escalar de 60m/s. Neste Imediatamente após a cabeçada, a bola tem uma quantidade de
→ →
caso a metralhadora ficará sujeita a uma força média, resultante movimento Q2 com o mesmo módulo de Q1 e numa direção
dos tiros, de intensidade perpendicular à de Q1.
a) 0,14N. b) 5,6N. c) 55N. d) 336N.
e) diferente dos valores citados. → → →
| ⌬ Q |2 = | Q1 |2 + | Q2 |2
Resolução
Aplicando-se o teorema do impulso para n balas disparadas em →
um intervalo de tempo ⌬t, temos: | ⌬ Q |2 = (mV)2 + (mV)2 = 2(mV)2
→ → →
Ibalas = ⌬ Qbalas | ⌬Q | =
2mV
→ → →
Fm . ⌬t = n m ( Vf – V0) →
| ⌬Q | =
2 . 0,50 . 10 (SI)
Como as balas partem do repouso (V0 = 0), temos:
Fm ⌬t = n mVf →
| ⌬ Q | = 5,0
2 (SI) 7,0 (SI)
Fm . 60 = 200 . 28 . 10–3 . 60
Aplicando-se o teorema do impulso:
Fm = 5,6N → →
Resposta: B Ibola = ⌬ Qbola
→ →
25. Uma bola de futebol cai verticalmente, é cabeceada por um joga- | Fm | ⌬t = | ⌬ Q |
dor e, imediatamente após o choque, tem velocidade horizontal.
→ →
A bola tem massa m = 0,50kg e antes e após o choque a veloci- | Fm | . 3,5 . 10–2 = 7,0 ⇒ | Fm | = 2,0 . 102N
dade escalar é a mesma, V = 36km/h.
A colisão entre a bola e o jogador tem duração T = 3,5 . 10–2s. Resposta: B
9
26. Um objeto de massa 2,0kg repousa sobre uma superfície horizon- Considere as proposições a seguir:
tal. I. O módulo da variação da quantidade de movimento dos dois
No instante t0 = 0, aplica-se sobre o objeto uma força horizontal bonecos foi o mesmo, durante a freada, e vale 1,6 . 103kg . m/s.
→ II. O módulo do impulso recebido pelos dois bonecos foi o mes-
F, de direção constante, cuja intensidade inicial é de 10,0N e que
decresce linearmente com o tempo até atingir, após 5,0s, a mo, durante a freada, e vale 1,6 . 103N.s.
intensidade de 2,0N, que é justamente o valor necessário para III. FA = FB = 8,0 . 103N
manter, a partir daquele instante, o bloco em movimento retilíneo IV. FA = 100FB = 8,0 . 105N
e uniforme. V. FB = 100FA = 8,0 . 105N
Adote g = 10m/s2 e despreze o efeito do ar. Estão corretas apenas:
→
a) Construa o gráfico da intensidade de F em função do tempo. a) I, II e V b) I, II e IV c) I e III
→ d) II e IV e) I e V
b) Calcule o módulo do impulso de F, no intervalo de 0 a 5,0s. Resolução
c) Calcule o módulo do impulso da força de atrito, no intervalo de 1) Os dois bonecos têm a mesma variação de quantidade de
0 a 5,0s. →
movimento: – m V0, cujo módulo vale
d) Calcule o módulo da velocidade do objeto no instante
Q0 = 80 . 20 (SI) = 1,6 . 103kg . m/s
t1 = 5,0s.
2) Os dois bonecos receberam o mesmo impulso:
e) Calcule o trabalho da força resultante no objeto entre os → → →
instantes 0 e 5,0s. I = ⌬Q = – m V0, cujo módulo vale 1,6 . 103N.s
→ →
Resolução 3) IA = IB
a)
FA⌬tA = FB⌬tB
FA . 2,0 . 10–1 = FB . 2,0 . 10–3
FB
FA = –––– ⇒ FB = 100FA
100
→
IB = FB ⌬tB
1,6 . 103 = FB . 2,0 . 10–3 ⇒ FB = 8,0 . 105N
Resposta: A
28. (PUC-PR-MODELO ENEM) – Alguns automóveis têm o painel

frontal equipado com um dispositivo chamado air-bag, que
consiste, basicamente, num saco de plástico resistente que se
b) IF = área (Fxt) infla de modo automático e muito rapidamente, quando o
automóvel sofre uma desaceleração muito grande, como a que
(10,0 + 2,0) ocorre no caso de uma colisão. Isso evita que o tronco do
IF = –––––––––––– . 5,0(N.s) ⇒ IF = 30,0N.s motorista seja lançado diretamente contra o painel do automóvel.
2
As proposições abaixo se referem ao efeito do air-bag sobre o
→ tronco do motorista, na eventualidade de uma colisão.
c) | Iat | = Fat . ⌬t
Analise as proposições e indique a alternativa que contém todas
→ e apenas as proposições corretas:
| Iat | = 2,0 . 5,0 (N.s) ⇒ | Iat | = 10,0N.s I. O air-bag reduz o impulso do painel sobre o tronco do
motorista, pois reduz a força do painel sobre ele.
d) TI: IR = ⌬Q II. O impulso do painel sobre o tronco do motorista será o
→ mesmo, independentemente da presença ou não do air-bag.
IF – | Iat | = mVf – mV0 III. O air-bag reduz a quantidade de movimento transferida pelo
tronco do motorista ao painel.
30,0 – 10,0 = 2,0Vf ⇒ Vf = 10,0m/s IV. O air-bag reduz a intensidade da força média do painel sobre o
tronco do motorista, pois reduz a desaceleração deste ao
e) TEC: ␶R = ⌬Ecin aumentar o tempo durante o qual o tronco é desacelerado.
V. O air-bag reduz a rapidez com que a quantidade de movimento
do tronco do motorista varia e, consequentemente, reduz a
mV 2 mV02
␶R = ––––f – –––– intensidade da força média do painel sobre ele.
2 2 a) II, IV e V. b) I, III, IV e V. c) I, II e III.
2,0 d) II, III e IV. e) III, IV e V.
␶R = –––– (10,0)2 (J) ⇒ ␶R = 100J Resolução →
2
I) FALSA. O impulso I é dado por:
→ → → → → →
Respostas: a) ver gráfico b) 30,0 N.s TI: I = ⌬Q = m ⌬V = m ( 0 – V0) = – m V0
c) 10,0 N.s d) 10,0m/s O impulso será o mesmo com ou sem cinto de segurança ou
e) 100J air-bag.
II) VERDADEIRA.
27. (MODELO ENEM) – Para realizar testes que mostrem a vanta-
III) FALSA. A função do air-bag é aumentar o tempo em que o
gem do uso do cinto de segurança, dois carros idênticos, A e B,
motorista é levado ao repouso e com isto reduzir a intensidade
vão colidir contra uma parede vertical rígida com velocidades de
da força média de impacto.
módulo V0 = 20m/s,
IV) VERDADEIRA.
No carro A, utiliza-se um boneco com massa de 80kg e usando cinto
de segurança, que o faz parar em 2,0 . 10–1s. V) VERDADEIRA. →
→ → → → ⌬Q
No carro B, utiliza-se um boneco com massa de 80kg que não I = Fm ⌬t = ⌬Q ⇒ Fm = –––––
está usando cinto de segurança e vai parar em um intervalo de ⌬t
tempo de 2,0 . 10–3s ao colidir contra o volante. A rapidez com que a quantidade de movimento varia é a força
Seja FA a intensidade da força média que fez o boneco A parar. média.
Seja FB a intensidade da força média que fez o boneco B parar. Resposta: A
10
29. (UNESP) – Uma garota e um rapaz, de massas 50kg e 75kg, No evento 2 a altura H foi dividida em três trechos: AE, EF e FG,
respectivamente, encontram-se parados em pé sobre patins, um de modo a serem percorridos cada um no mesmo intervalo de
em frente do outro, num assoalho plano e horizontal. Subita- tempo T.
mente, a garota empurra o rapaz, aplicando sobre ele uma força Indiquemos por ⌬E a variação de energia cinética e por ⌬Q o
horizontal média de intensidade 60N durante 0,50s. módulo da variação da quantidade de movimento do corpo em
a) Qual é o módulo do impulso da força aplicada pela garota? questão em cada um dos trechos mencionados.
b) Desprezando-se quaisquer forças externas, quais são os
módulos das velocidades da garota (vg) e do rapaz (vr) depois
da interação?
30. Um automóvel desloca-se em uma estrada reta e horizontal com

velocidade de módulo V0.
O motorista aciona os freios que travam as quatro rodas e o carro
derrapa, em trajetória retilínea, percorrendo uma distância D, em
um intervalo de tempo T, até parar. Despreze o efeito do ar de
modo que a força de atrito seja a força resultante que freou o car-
ro. O coeficiente de atrito dinâmico entre os pneus e o chão vale
␮.
A aceleração da gravidade tem módulo g. Determine
a) o valor de D em função de V0, ␮ e g;
b) o valor de T em função de V0, ␮ e g;
c) o que ocorre com os valores de D e T se V0 duplicar.
31. (UFLA-MG) – Em uma partida de tênis, a bola atinge a raquete

com uma velocidade cuja componente horizontal tem módulo V e
a rebate aplicando-lhe uma força horizontal cuja intensidade média
corresponde a 60 vezes a intensidade do peso da bola e que atua
durante um intervalo de tempo de 0,2s. Imediatamente após a
colisão com a raquete, a bola tem uma velocidade com Assinale a opção que relaciona corretamente os valores de ⌬E e
componente horizontal de módulo 3V e sentido oposto ao de ⌬Q nos diferentes trechos e em cada evento.
antes da colisão. a) Evento 1: (⌬E)AB < (⌬E)BC < (⌬E)CD
Adotando-se g = 10m/s2, o valor de V é
a) 8,0m/s b) 30m/s c) 36m/s Evento 2: (⌬Q)AE < (⌬Q)EF < (⌬Q)FG
d) 60m/s e) 100m/s b) Evento 1: (⌬E)AB = (⌬E)BC = (⌬E)CD
Evento 2: (⌬Q)AE = (⌬Q)EF = (⌬Q)FG
32. (FUVEST-SP) – Postado na barreira, durante uma Copa Mundial,
um jogador alemão é atingido na cabeça pela bola chutada, pelo c) Evento 1: (⌬E)AB > (⌬E)BC > (⌬E)CD
jogador brasileiro, a uma velocidade escalar estimada em Evento 2: (⌬Q)AE > (⌬Q)EF > (⌬Q)FG
108km/h. A massa de uma bola de futebol é de, aproximada-
d) Evento 1: (⌬E)AB = (⌬E)BC = (⌬E)CD
mente, 500 gramas.
a) Qual o valor da energia cinética da bola ao atingir a cabeça do Evento 2: (⌬Q)AE < (⌬Q)EF < (⌬Q)FG
alemão? e) Evento 1: (⌬E)AB > (⌬E)BC > (⌬E)CD
b) Estimado o tempo de contato da bola com a cabeça do alemão
em 1,0 . 10–2s, qual seria a intensidade média da força de Evento 2: (⌬Q)AE = (⌬Q)EF = (⌬Q)FG
impacto, se a bola retornasse na mesma direção, com
35. (UFBA) – A modificação rápida do movimento do corpo é a
velocidade de mesmo módulo?
característica principal da maioria dos esportes e dos brinquedos
nos parques de diversão. Essa modificação do movimento é
33. (UNICAMP) – As histórias de super-heróis estão sempre repletas
responsável pela sensação de prazer causada por esses “jogos do
de feitos incríveis. Um desses feitos é o salvamento, no último
corpo”, a qual os bioquímicos associam à produção de adrenalina.
segundo, da mocinha que cai de uma grande altura. Considere a
Em um parque de diversões, uma jovem de 40kg brinca em uma
situação em que a desafortunada caia, a partir do repouso, de uma
cama elástica, representada na figura. Ela pula, a partir do
altura de 81,0m e que nosso super-herói a intercepte a 1,0m an-
repouso, de uma altura h = 1,8m e, durante 0,5 segundo, a cama
tes de ela chegar ao solo, demorando 0,05s para detê-la, isto é,
freia o movimento da jovem até pará-la, empurrando-a,
para anular sua velocidade vertical. Considere que a massa da mo-
posteriormente, para cima.
cinha é de 50kg, despreze a resistência do ar e adote g = 10m/s2.
a) Calcule a intensidade da força média aplicada pelo super-herói
sobre a mocinha para detê-la.
b) Uma aceleração de módulo 8 vezes maior que o módulo da
aceleração da gravidade (8g) é letal para um ser humano.
Determine quantas vezes o módulo da aceleração à qual a
mocinha foi submetida é maior que o módulo da aceleração
letal.
34. Um corpo parte do repouso, em queda livre, de uma altura H

acima do solo (efeito do ar desprezível e aceleração da gravidade
constante).
No evento 1 a altura H foi dividida em três trechos: AB, BC e CD,
de mesma extensão d.
11
Sabendo-se que, ao atingir a cama, a velocidade da jovem é A velocidade escalar do mó-

vertical, calcule a intensidade da força elástica média que a cama vel, em m/s, no instante
exerce sobre ela até pará-la. Considere o módulo da aceleração da t = 10,0s, é
gravidade como sendo 10m/s2. a) 8,0 b) 10,0
c) 12,0 d) 16,0
36. (UFSC) – O air-bag, equipamento utilizado em veículos para au- e) 22,0
mentar a segurança dos seus ocupantes em uma colisão, é consti-
tuído por um saco de material plástico que se infla rapidamente quan-
do ocorre uma desaceleração violenta do veículo, interpondo-se
entre o motorista, ou o passageiro, e a estrutura do veículo. Consi-
deremos, por exemplo, as colisões frontais de dois veículos iguais,
a uma mesma velocidade, contra um mesmo obstáculo rígido, um
39. (UFSCAR-SP) – O air-bag tem provado salvar vidas. De acessório
com air-bag e outro sem air-bag, e com motoristas de mesma
opcional, é agora um dispositivo de segurança que deverá estar
massa. Os dois motoristas sofrerão, durante a colisão, a mesma
presente em todos os automóveis.
variação de velocidade e a mesma variação da quantidade de mo-
vimento. Entretanto, a colisão do motorista contra o air-bag tem
uma duração maior do que a colisão do motorista diretamente
contra a estrutura do veículo. De forma simples, o air-bag aumen-
ta o tempo de colisão do motorista do veículo, isto é, o intervalo de
tempo transcorrido desde o instante imediatamente antes da
colisão até a sua completa imobilização. Em consequência, a força
média exercida sobre o motorista no veículo com air-bag é muito
menor, durante a colisão.
Considerando-se o texto acima, analise as proposições a seguir,
classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F).
1. A colisão do motorista contra o air-bag tem uma duração maior
do que a colisão do motorista diretamente contra a estrutura do
veículo. Mas essa inovação tecnológica não é privilégio da humanidade.
2. A variação da quantidade de movimento do motorista é igual à Há séculos, a natureza emprega os mesmos princípios mecânicos
variação da quantidade de movimento do veículo. em uma ave, o atobá, mais conhecido como mergulhão.
3. O impulso exercido pela estrutura do veículo sobre o moto-

rista é igual à variação da quantidade de movimento do mo-
torista.
4. A variação da quantidade de movimento do motorista do
veículo é a mesma, em uma colisão, com ou sem a proteção do
air-bag.
5. O impulso exercido sobre o motorista é o mesmo, em uma
colisão, com air-bag ou sem air-bag.
6. A grande vantagem do air-bag é aumentar o tempo de colisão
e, assim, diminuir a intensidade da força média atuante sobre o
motorista.
7. Tanto a variação da quantidade de movimento do motorista (Rodrigo Maia Nogueira, Google imagens.)
como o impulso exercido para pará-lo são iguais, com ou sem Em voo, após ter avistado um cardume, esta ave fecha suas asas
air-bag; portanto, a intensidade da força média exercida sobre e se atira verticalmente em direção às águas, atingindo-as com
ele é a mesma, também. velocidades escalares próximas a 150 km/h. Assim como os
A sequência correta de V e F é: carros modernos, o atobá possui um pequeno air-bag natural.
Trata-se de uma bolsa em seu peito, que é inflada com ar
a) F – F – V – F – V – F – V b) V – V – F – V – F – V – F momentos antes do choque violento com a água.
c) F – V – F – V – F – V – F d) V – F – V – V – V – F – V (Animal Planet/documentários. Adaptado.)
e) V – F – V – V – V – V – F a) O motorista do quadrinho certamente não está protegido pelo
seu travesseiro. Em situações idênticas, considere um choque
37. (UNIFESP) – Uma xícara vazia cai de cima da mesa de uma sem bolsa de ar e outro com bolsa de ar. Como se comportam
cozinha e quebra-se ao chocar-se com o piso rígido. Se essa qualitativamente o impulso e o tempo de interação em cada
mesma xícara caísse, da mesma altura, da mesa da sala e, ao um desses choques?
atingir o piso, se chocasse com um tapete felpudo, ela não se b) Suponha que, durante o choque do atobá contra a água, a força
quebraria. de interação tenha intensidade variando com o tempo confor-
a) Por que no choque com o piso rígido a xícara se quebra e no me o gráfico a seguir:
choque com o piso fofo do tapete, não?
b) Suponha que a xícara caia sobre o tapete e pare, sem que-
brar-se. Admita que a massa da xícara seja 0,10kg, que ela
atinja o solo com velocidade de módulo 2,0m/s e que o tem-
po de interação do choque seja de 0,50s. Qual a intensidade
da força média exercida pelo tapete sobre a xícara? Qual se-
ria a intensidade dessa força, se o tempo de interação fosse
0,010s? Adote g = 10,0m/s2.
38. (VUNESP) – Um móvel de massa 5,0kg, em trajetória retilínea,

desloca-se com velocidade escalar de 2,0m/s
→
quando passa a
sofrer a ação de uma força resultante F, na mesma direção e
sentido
→
de sua velocidade. O gráfico mostra a intensidade da Determine qual seria o módulo do impulso sofrido pela ave e
força F no decorrer do tempo. a intensidade da força média no processo de entrada na água.
12
40. (UFPE-MODELO ENEM) – A aplicação da chamada “lei seca” a) o vento transfere quantidade de movimento linear para a héli-
diminuiu significativamente o percentual de acidentes de trânsito ce e, nesse processo, o momento de inércia do vento é trans-
em todo o País. Tentando chamar a atenção dos seus alunos para formado em energia cinética de rotação da hélice.
as consequências dos acidentes de trânsito, um professor de b) o vento transfere quantidade de movimento linear para a
Física solicitou que considerassem um automóvel de massa hélice e, nesse processo, energia cinética de translação do
1000 kg e velocidade com módulo igual a 54 km/h, colidindo com vento é transformada em energia cinética de rotação da hélice.
uma parede rígida. Supondo-se que ele atinge o repouso em um c) o vento transfere momento de inércia para a hélice e, nesse
intervalo de tempo de 0,50 s, determine a intensidade da força processo, energia cinética de translação do vento é
média que a parede exerce sobre o automóvel durante a colisão. transformada em energia cinética de rotação da hélice.
a) 1,0 . 104 N b) 2,0 . 104 N c) 3,0 . 104 N d) o vento transfere momento de inércia para a hélice e, nesse
d) 4,0 . 104 N e) 5,0 . 104 N processo, o momento de inércia do vento é transformado em
energia cinética de rotação da hélice.
41. (MODELO ENEM) – Policiais do esquadrão antimotim usam balas e) o vento transfere quantidade de movimento para a hélice sem
de borracha ao invés de balas comuns. Admita que as balas de transferir energia cinética.
borracha e as balas comuns tenham mesma massa, mesma
velocidade de impacto e mesmo tempo de interação com a 44. (VUNESP-MODELO ENEM) – Quando uma pessoa dá um salto
pessoa atingida por elas. A diferença é que as balas comuns e cai sobre seus pés, intuitivamente deixa seus joelhos ligeira-
aderem à pessoa e param e as balas de borracha não penetram mente flexionados. Em termos físicos, esta ação se justifica para
na pele, ricocheteando, isto é, após o impacto, a velocidade a) diminuir a energia transferida ao corpo da pessoa durante o
inverte o sentido. Seja F1 a intensidade da força média que a bala choque.
de borracha exerce na pele da pessoa ao ricochetear. Seja F2 a in- b) aumentar o tempo de interação entre a pessoa e o chão.
tensidade da força média que a bala comum exerce ao aderir à c) acrescentar energia potencial elástica ao valor da energia
pele da pessoa. mecânica.
Assinale a opção correta. d) fazer com que a interação ocorra durante um movimento
a) F1 = F2. uniforme.
b) F1 > F2 e por isso o impacto da bala de borracha dói mais que e) diminuir a força peso e consequentemente minimizar a
o da bala comum. interação.
c) F1 < F2 e por isso o impacto da bala de borracha dói menos
que o da bala comum. 45. (VUNESP-MODELO ENEM) – Os estudos sobre as propriedades
d) F1 > F2, porém o impacto da bala de borracha dói menos que dos materiais receberam grande atenção nas últimas décadas,
o da bala comum. especialmente para o desenvolvimento de materiais adequados à
e) F1 < F2 e o impacto da bala de borracha dói mais que o da bala produção industrial, como a de ferramentas e a de veículos. Quan-
comum. do se trata da proteção de passageiros de automóveis, em
colisões, faz-se necessário o uso de materiais
a) mais rígidos, para diminuir a força de impacto.
42. (UFRN-MODELO ENEM) – Visando a preservação do meio am- b) mais rígidos, para diminuir o tempo de interação.
biente de forma sustentável, a sociedade atual vem aumentando c) mais flexíveis, para evitar uma deformação do chassi.
consideravelmente a utilização da energia dos ventos, o que se d) rapidamente deformáveis, para diminuir o tempo de interação.
consegue com as turbinas eólicas. Nessa tecnologia, a primeira e) crescentemente deformáveis, para aumentar o tempo de
transformação de energia acontece na interação das moléculas do interação.
ar com as hélices dos cataventos, transformando a energia
cinética de translação das moléculas do ar em energia cinética de 46. (FGV-SP-MODELO ENEM) – Ao acender um isqueiro, uma pes-
rotação das hélices. soa faz com que seu dedão exerça uma força variável direcionada
Nessa interação, a três ações distintas:
a) a variação da quantidade de movimento das moléculas do ar I. É preciso vencer a força de atrito estático entre o
gera uma força resultante que atua sobre as hélices. rolete e a pedra a ele pressionada.
b) a variação da energia cinética das moléculas do ar gera uma II. Superado o atrito estático, a força aplicada não mais
força resultante que atua sobre as hélices. necessita ser de intensidade tão elevada e,
c) a força resultante exercida pelas moléculas do ar anula a portanto, pode ser reduzida. Ainda em contato com
velocidade das hélices. o rolete, o dedão desce e começa a abaixar a
d) a força resultante exercida pelas moléculas do ar anula a alavanca que libera o gás.
quantidade de movimento das hélices. III. Uma vez livre do rolete e com a alavanca que libera
e) a força resultante aplicada pelas moléculas de ar anula a o gás completamente pressionada, a força é man-
energia cinética das hélices. tida constante durante o tempo que for necessário
se ter a chama acesa.
43. (UFRN-MODELO ENEM) – Na praia de Rio do Fogo, no Rio Gran- O gráfico mostra, hipoteticamente, a intensidade da força exerci-
de do Norte, está sendo implan- da por uma pessoa no ato de acender um isqueiro, para cada ação
tada uma central de energia descrita.
eólica, como mostra a figura ao
lado. Essa central terá 62 ae-
rogeradores de 800 kW cada
um, totalizando uma capacidade
instalada de 49,6 MW.
Eduardo Maia/DN/14.2.06. Acesso
em 11/7/06
http://diariodenatal.dnonline.com.br
Energia eólica é a energia contida nas massas de ar em movi-

mento (vento). Considerada uma fonte renovável e inesgotável de
energia, empregam-se turbinas eólicas ou aerogeradores para que Nessas condições, o impulso da força exercida pelo dedão sobre
energia do vento seja transferida para a hélice, e esta, ao girar o o rolete do isqueiro e sobre a alavanca que libera o gás até seu
eixo de um dínamo, produza energia elétrica. completo abaixamento (fases I e II), tem intensidade, em N.s, de
Nesse caso, é correto afirmar que a) 0,05 b) 0,10 c) 0,15 d) 0,20 e) 0,25
13
9. Sistema isolado
Considere um sistema físico S sob ação das forças
→ → →
externas F1, F2, …, Fn.
O sistema S é dito isolado quando a resultante de

todas as forças externas for nula. →
A quantidade de movimento total do sistema (Qs) é
→ → → → dada pela soma vetorial das quantidades de movimento
→ → →
F1 + F2 + … + Fn = 0 das três partículas (QA, QB e QC):
Os sistemas isolados de maior importância em nos- → → → →
sos estudos estão ligados a fenômenos de colisão e ex- QS = QA + QB + QC
plosão. →
Como a partícula A está sob a ação da força FBA, sua
→
10. Teorema da conservação quantidade de movimento QA varia.
→
da quantidade de movimento Como a partícula B está sob a ação da força FAB, sua
→
Consideremos um sistema isolado de forças exter- quantidade de movimento QB varia.
nas, isto é, o impulso devido às forças externas é nulo. Como a partícula C está livre de forças, sua quanti-
As forças internas ao sistema são trocadas entre as →
partes que compõem o sistema e devem obedecer à lei da dade de movimento QC permanece constante.
→ → → →
ação e reação, isto é, a existência de uma força interna Sendo FBA = – FAB (ação e reação), temos IA = – IB
→ → → →
F1 implica a existência de outra força interna – F1 e a e pelo teorema do impulso, resulta ⌬QA = –⌬QB.
soma dos impulsos devidos a essas duas forças é nula. → → → → →
Isto significa que ⌬QS = ⌬QA + ⌬QB + ⌬QC = 0, ou,
Isto significa que o impulso total devido às forças in- →
ternas também é nulo. ainda: QS permanece constante.
Sendo o impulso total nulo, aplicando-se o teorema
11. Colisões entre duas partículas
do impulso, concluímos que:
Quando duas partículas, A e B, colidem, elas consti-
A quantidade de movimento total de um sistema
tuem um sistema isolado, pois as forças ligadas à colisão
isolado permanece constante.
são forças internas de ação e reação entre A e B.
→ → → → Eventuais forças externas, como, por exemplo, força
Itotal = ⌬Q = Qf – Qi de gravidade, força de atrito, força de resistência do ar
→ → → → têm intensidades desprezíveis em comparação com as
Sendo Itotal = 0 ⇒ ⌬Q = 0
forças internas ligadas à colisão.
→ →
Qf = Qi = constante
A conservação da quantidade de movimento total

nos sistemas isolados é uma das leis mais importantes da
Física.
É importante compreender que, se existirem forças
internas ao sistema, as quantidades de movimento das
partes do sistema variam e apenas a quantidade de movi- → →
mento total (soma vetorial) é que permanece constante. Qapós = Qantes
Exemplificando → → → →
mAVA’ + mBV’B = mAVA + mBVB
Seja um sistema isolado constituído por três partí-
culas, A, B e C. Se a colisão não for elástica, embora haja conserva-
As partículas A e B interagem entre si com forças ção da quantidade de movimento total (sistema isolado),
→ →
FAB e FBA e a partícula C está livre de forças. haverá redução de energia mecânica porque há dissi-
→ → pação de energia mecânica, que é transformada em tér-
As forças FAB e FBA são trocadas entre as partes do mica, sonora e usada como trabalho nas deformações
sistema e, portanto, são forças internas. permanentes.
14
12. Explosão de uma granada No caso de uma explosão, a energia mecânica total
→ do sistema aumenta, porque uma parte da energia poten-
Quando uma granada de massa M e velocidade V0
cial química, armazenada no explosivo, é transformada
explode, as forças internas ligadas à explosão são muito em energia cinética dos fragmentos.
intensas e, no ato da explosão, as forças externas (como,
por exemplo, o peso) são desprezíveis e a granada é um Portanto, colisões inelásticas e explosões são exem-
sistema isolado. plos de sistemas físicos isolados e não conservativos.
Se a granada explode em n fragmentos de massas m1, Um sistema pode ser isolado numa dada direção,
m2, …, mn, cujas velocidades, imediatamente após a bastando que a força resultante externa não tenha
→ → →
explosão, são V1, V2, … Vn, temos: componente nessa direção. Nesse caso, a quantidade de
movimento se conserva somente na direção considerada.
→ →
Qimediatamente após = Qimediatamente antes É o caso de uma partícula lançada no campo de gra-
→
→ → → → vidade da Terra com velocidade inicial V0 não vertical.
m1 V1 + m2 V2 + … + mn Vn = M V0
Desprezando-se o efeito do ar, a única força externa
→
atuante na partícula, após o lançamento, é o seu peso P.
Cumpre ressaltar que a granada só é um sistema iso- A partícula é isolada de forças horizontais e, portan-
lado no ato da explosão enquanto existem as intensas to, haverá conservação da componente horizontal de sua
forças internas. quantidade de movimento.
47. (ITA) – Todo caçador, ao atirar com um rifle, mantém a arma fir- → →
Qf = Qi
memente apertada contra o ombro, evitando assim o “coice”
→ → →
dela. Considere que a massa do atirador é 95,0kg, a massa do rifle (ma + mr) Va + mp Vp = 0
é 5,00kg e a massa do projétil é 15,0g, o qual é disparado a uma
velocidade escalar de 3,00 x 104cm/s. Em módulo: (ma + mr) Va = mpVp
Nestas condições, a velocidade de recuo do rifle (Vr), quando se
segura muito frouxamente a arma, e a velocidade de recuo do 100Va = 15,0 . 10–3 . 3,00 . 102 ⇒ Va = 4,5 . 10–2m/s
atirador (Va), quando ele mantém a arma firmemente apoiada no
ombro, terão módulos respectivamente iguais a Resposta: D
a) 0,90m/s; 4,7 x 10–2m/s b) 90,0m/s; 4,7m/s
c) 90,0m/s; 4,5m/s d) 0,90m/s; 4,5 x 10–2m/s
48. (VEST-RIO) – Um estudante realiza a seguinte experiência:
e) 0,10m/s; 1,5 x 10–2m/s
I) Dois carrinhos de massas M1 = 0,1kg e M2 = 0,2kg são man-
Resolução
tidos inicialmente em repouso sobre o tampo horizontal de
Devido à breve duração da explosão, proveniente do disparo da
uma mesa, tendo entre eles uma mola ideal comprimida de
arma, o impulso externo sobre o sistema é praticamente nulo,
0,1m em relação ao seu tamanho quando relaxada, conforme
permitindo-nos aplicar o princípio da conservação da quantidade
mostra a figura:
de movimento.
I) O atirador segura muito frouxamente a arma.
→ → → → →
Qf = Qi ⇒ mr Vr + mp Vp = 0 II) Em seguida, o sistema é liberado e os carrinhos movem-se so-
bre a mesa praticamente sem nenhum atrito. Nesta situação,
Em módulo: mrVr = mpVp o carrinho de massa M2 atinge uma velocidade escalar
V2 = 2,0m/s.
Determine
5,00 . Vr = 15,0 . 10–3 . 3,00 . 102 ⇒ Vr = 0,90m/s
a) a velocidade escalar do carrinho de massa M1, após ele ter-se
liberado da mola;
II) O atirador mantém a arma firmemente apoiada no ombro. b) a energia potencial elástica armazenada inicialmente na mola;
c) a constante elástica da mola.
Resolução
a) Os dois carrinhos constituem um sistema físico isolado de
forças externas, pois as reações normais da mesa equilibram
os pesos dos blocos.
Portanto, haverá conservação da quantidade de movimento
total do sistema: → →
Qf = Qi
15
→ → →
M1 V1 + M2 V2 = 0 No ponto mais alto de sua trajetória, a granada explode fragmen-
→ → → tando-se em duas partes, A e B, de massas iguais.
M2 →
M1 V1 = – M2 V2 ⇒ V1 = – –––– V Imediatamente após a explosão, o fragmento A inicia uma queda
M1 2 vertical, a partir do repouso.
– 0,2 Sendo sen 37° = 0,60 e cos 37° = 0,80, determine
V1 = –––––– . 2,0m/s ⇒ V1 = – 4,0m/s a) o módulo da velocidade da granada imediatamente antes da
0,1 explosão;
b) As energias cinéticas adquiridas pelos carrinhos são dadas b) o módulo da velocidade do fragmento B imediatamente após
por: a explosão;
2 c) a energia interna da granada transformada em energia
M1V1 0,1 (–4,0)2
Ecin = –––––– = –––––––––– (J) = 0,8J mecânica, com a explosão;
1 2 2 d) o intervalo de tempo desde o lançamento até a explosão da
granada;
M2V22 0,2 (2,0)2
Ecin = –––––– = –––––––––– (J) = 0,4J e) as distâncias entre os pontos de impacto com o solo de A e B
2 2 2 e o ponto de lançamento.
Como não há atrito, o sistema de forças é conservativo e, Resolução
portanto, a energia elástica armazenada na mola foi integral-
mente transformada em energia cinética dos carrinhos:
Ee = Ecin + Ecin = 1,2J

1 2
c) Usando a expressão da energia elástica, obtemos a constante

elástica k:
k x2
Ee = ––––––
2
a) No ponto mais alto da trajetória, a velocidade do projétil é hori-

k zontal:
1,2 = –– (0,1)2 ⇒ k = 2,4 . 102N/m
2 Vx = V0 cos 37° = 20 . 0,80 (m/s)
Respostas: a) – 4,0m/s Vx = 16m/s

b) 1,2J
c) 2,4 . 102N/m b) No ato da explosão, a granada é um sistema isolado e há con-
servação da quantidade de movimento total.
49. (ITA) – Um objeto, inicialmente em repouso, explode em duas Qimediatamente após = Qimediatamente antes
partes, A e B, com massas M e 3M, respectivamente. m
Num determinado instante t, após a explosão, a parte B está a –– VB = m Vx ⇒ VB = 2 Vx
2
6,0m do local da explosão. Designando-se por x a distância entre
A e B, no instante t, e desprezando-se a influência de outros VB = 32m/s
corpos, calcule o valor de x.
c) A energia transformada em mecânica corresponde ao acrés-
cimo de energia cinética no ato da explosão:
mVx2 0,40
Ec = –––––– = –––– . (16)2 (J) ⇒ Ec = 51,2J
i 2 2 i
Resolução m 0,40
Ec = –– VB2 = –––– . (32)2 (J) ⇒ Ec = 102,4J
No ato da explosão, o sistema formado por A e B é isolado e há f 4 4 f
conservação da quantidade de movimento total.
→ → → → → → → ⌬Em = Ec – Ec ⇒
Qf = Qi ⇒ QA + QB = 0 ⇒ QA = – QB f i
⌬Em = 51,2J
→ →
| QA| = | QB| ⇒ MVA = 3MVB ⇒ VA = 3VB d) O tempo de subida é calculado com base no movimento
vertical:
Se o corpo B percorreu 6,0m, o corpo A percorre uma distância Vy = V0y + ␥yt
três vezes maior: 18,0m, e a distância entre eles será de 24,0m,
isto é, x = 24,0m. 0 = 20 . 0,60 – 10ts ⇒ ts = 1,2s
e) Analisando-se o movimento horizontal (MU), vem:

⌬x = Vxt
dA = 16 . 1,2(m) ⇒ dA = 19,2m
dB = dA + VBtQ
dB = 19,2 + 32 . 1,2(m) ⇒ dB = 57,6m

50. Em um local onde o efeito do ar é desprezível e g = 10m/s2,
uma
granada de massa 0,40kg é lançada para cima, a partir do solo ho- Respostas: a) 16m/s b) 32m/s
→
rizontal, com velocidade V0 de módulo 20m/s inclinada de 37° em c) 51,2J d) 1,2s
relação ao plano horizontal. e) 19,2m e 57,6m
16
→ →
51. Uma cápsula espacial tem massa de 4,0kg e se move por inércia Qapós = Qantes
com velocidade de módulo 4,0m/s, numa direção x. → → →
Num certo instante, a cápsula explode em dois fragmentos com M V + m V1 = m V0
massas 3,0kg e 1,0kg. O de massa 3,0kg sai com velocidade de
Como todas as velocidades têm a mesma direção, temos:
módulo 4,0m/s perpendicularmente à direção x.
Qual o módulo da velocidade do segundo fragmento? MV + mV1 = mV0
MV + m 0,8V0 = mV0
MV = 0,2mV0
0,2mV0 mV0
V = –––––––– = ––––––
M 5M
53. Um barco de massa M está em repouso nas águas tranquilas de

um lago. Despreza-se o atrito com as águas, de modo que o sis-
tema possa ser considerado isolado de forças horizontais. No
interior e na extremidade do barco, temos uma pessoa de massa
Resolução m, inicialmente parada. A pessoa começa a se mover e vai até a
No ato da explosão, a cápsula é um sistema isolado e há conser- outra extremidade do barco, que tem comprimento L. Calcule o
vação de quantidade de movimento total. deslocamento do barco, em relação às águas, quando a pessoa
→ → → → → vai de uma extremidade à outra.
Qfinal = Qinicial ⇒ QA + QB = Q0 Resolução
A situação inicial de repouso indica que a quantidade de mo-
vimento inicial é nula.
Se o homem se levanta e anda para a direita no barco, este movi-
Aplicando-se o Teorema de Pitá- mentar-se-á em sentido contrário, de forma que a soma vetorial
goras ao triângulo indicado, vem: das quantidades de movimento continue sendo zero.
→ → →
| QB|2 = | QA|2 + | Q0|2
Porém: → →
| QB| = 1,0 . VB (SI); | QA| = 3,0kg . 4,0m/s;
→
| Q0| = 4,0 kg . 4,0 m/s
VB2 = 144 + 256 = 400 ⇒ VB = 20,0m/s

Resposta: 20,0m/s → → → →
Qtotal = Qbarco + Qhomem = 0
52. (VUNESP) – Um bloco de madeira de massa M pode deslizar li-
→ →
vremente e sem atrito dentro de um tubo cilíndrico. Uma bala de Qbarco = – Qhomem
massa m, movimentando-se com velocidade de módulo v0 ao
longo do eixo horizontal do cilindro, como mostra a figura, perde
36% de sua energia cinética ao atravessar o bloco.
Após ter sido atravessado pela bala, o bloco, que estava inicial-
mente em repouso, passa a se movimentar com velocidade de
módulo V.
mV0
Mostre que V = –––––.
5M
(Despreze efeitos da força da gravidade sobre a trajetória da bala
e admita que, após a colisão, a bala se move ao longo do mesmo
eixo horizontal.)
Resolução
1) De acordo com o texto, a energia cinética final do projétil cor-
responde a 64% de sua energia cinética inicial:
mV12 mV02
––––– = 0,64 ––––– ⇒ V1 = 0,8V0
2 2
2) No ato da colisão, projétil e bloco constituem um sistema físi-
co isolado de forças externas e, portanto, haverá conservação
da quantidade de movimento total do sistema:
17
Considerando-se as quantidades de movimento em módulo: 55. Um canhão está fixo em um carrinho que está em repouso e pode
Qbarco = Qhomem deslizar livremente, sem atrito, em um plano horizontal.
Sendo M a massa do barco, V2 o módulo da velocidade do barco,
m a massa do homem e V1 o módulo da velocidade do homem,
temos:
MV2 = mV1
x d
Porém: V2 = –––– e V1 = ––––
⌬t ⌬t
O cano do canhão forma com o plano horizontal um ângulo ␣
constante.
Da figura, temos: d=L–x Um projétil de massa m é disparado pelo canhão e abandona o ca-
no com uma velocidade, relativa ao canhão, de módulo igual a V.
Mx m(L – x) A massa total do canhão e do carrinho (excluído o projétil) é M.
Da qual: –––– = –––––––– e ainda: Calcule
⌬t ⌬t
a) o módulo da velocidade de recuo do canhão;
b) a tangente do ângulo ␪ que a velocidade de lançamento do
Mx = mL – mx ⇒ x (M + m) = mL projétil, relativa ao solo, forma com o plano horizontal.
Resolução
mL a) 1) A componente horizontal da veloci-
e x = ––––––––
M+m dade do projétil, relativa ao canhão,
é dada por:
mL
Resposta: x = ––––––––
M+m Vx = V cos ␣
54. Um caixote de massa m, aberto em cima, desliza, sem atrito, em

um plano horizontal, com velocidade escalar constante V0. Uma 2) Como o canhão recua com velocidade de módulo VC, a velo-
quantidade de areia, de massa m (igual à do caixote) e animada de cidade horizontal do projétil, em relação ao solo, é dada por:
velocidade vertical, cai dentro do caixote, ficando ali contida.
a) Qual a velocidade escalar final adquirida pelo caixote? Vh = Vx – VC ⇒ Vh = V cos ␣ – VC
b) Em seguida, por um furo no fundo do caixote, a areia começa
a escoar, a partir do repouso, em relação ao caixote. Quando 3) O sistema (projétil + canhão) é isolado de forças horizontais e,
toda a areia tiver escoado, qual a velocidade do caixote? portanto, haverá conservação da quantidade de movimento
Resolução horizontal do sistema.
a) Em virtude da inexistência de forças externas horizontais, → →
haverá conservação da quantidade de movimento horizontal Qh = Qh
f i
do sistema constituído pelo caixote e pela areia. → → →
Qh = Qh Qh + Qh = 0
p c
f i
→ →
V0 Qh = – Qh
2m Vf = m V0 ⇒ Vf = –––– c p
2 → →
| Qh | = | Qh |
c p
Portanto, a velocidade escalar do caixote se reduziu à metade.
Cumpre salientar que areia e caixote trocam forças horizontais MVC = m (V cos ␣ – VC)
internas entre si.
A força horizontal que o caixote aplica na areia vai comuni- MVC = m V cos ␣ – m VC
V0 m V cos ␣
car-lhe a velocidade horizontal de módulo ––– ; a reação a esta VC (M + m) = m V cos ␣ ⇒ VC = ––––––––––
2 M+m
força horizontal que a areia exerce sobre o caixote vai reduzir b) Em relação ao solo, a velocidade do projétil tem uma compo-
V0 nente horizontal Vh = V cos ␣ – VC.
o módulo de sua velocidade de V0 para ––– .
2
mV cos ␣
b) Como a areia escoa, a partir do repouso em relação ao caixote, Vh = V cos ␣ – ––––––––––
M+m
não há troca de forças internas horizontais entre caixote e
areia e, portanto, a velocidade do caixote permanece cons- M V cos ␣ + m V cos ␣ – m V cos ␣
Vh = ––––––––––––––––––––––––––––––––––
V0 M+m
tante e de módulo ––– .
2
Observe que, como não existe atrito com o chão, a areia M V cos ␣
Vh = –––––––––––
escoada continua escorregando pelo chão, acompanhando o M+m
V0
caixote, com velocidade de módulo ––– , de modo que se con-
2
A componente vertical Vy, em relação
serve a quantidade de movimento horizontal do sistema cai- ao solo, tem o mesmo valor que em re-
xote-areia. lação ao canhão, isto é, Vy = V sen ␣.
V0 Portanto:
Respostas: a) ––– Vy
2
tg ␪ = –––
V0 Vh
b) –––
2
18
o foguete para conseguir alcançar a nave a tempo, pois deve partir

M+m
tg ␪ = V sen ␣ . ––––––––– ⇒
M V cos ␣ M+m

tg ␪ = ––––––– tg ␣
M
em 2 minutos. Para que tenha sucesso, a menor velocidade
(relativa à nave) que deveria ser dada ao minifoguete seria de
a) 0,05 m/s b) 1,0 m/s c) 10 m/s
m V cos ␣ d) 20 m/s e) 120 m/s
Respostas: a) ––––––––– Resolução
M+m
1) Velocidade do astronauta:

M+m
b) tg ␪ = ––––––– tg ␣
M
⌬s 120m
VA = ––– = ––––– = 1,0m/s
⌬t 120s
56. No esquema, temos um bloco A com o formato indicado, em 2) Velocidade do foguete:

repouso, em um plano horizontal sem atrito. O trecho curvo cor- O sistema astronauta-foguete é isolado e, portanto, haverá
conservação da quantidade de movimento total do sistema.
1
responde a ––– de uma circunferência de raio R = 1,0m. Uma → →
4 Qfinal = Qinicial
→ → →
partícula B é abandonada a partir do repouso na posição (1) indi- QA + Qf = 0
cada. → → → →
QA = – Qf ⇒ QA = Qf
mAVA = mFVF
60 . 1,0 = 3,0VF
VF = 20m/s
Resposta: D
A partícula B vai desligar-se do bloco A na posição inferior (2).
Sendo g = 10m/s2, m a massa de B e 4m a massa de A e des-
prezando-se os atritos entre A e B, determine os módulos das 58. (UFPR-MODELO ENEM) – Em um cruzamento mal sinalizado,
velocidades de A e B no instante em que a partícula B abandona houve uma colisão de dois automóveis, que vinham inicialmente
o bloco A. de direções perpendiculares, em linha reta. Em módulo, a
Resolução velocidade do primeiro é exatamente o dobro da velocidade do
1) Como não existem atritos, o sistema (A + B) é conservativo e segundo, ou seja, V1 = 2V2. Ao fazer o boletim de ocorrência, o
a energia potencial perdida por (B) ao se deslocar de (1) para policial responsável verificou que após a colisão os automóveis
(2) é igual à energia cinética que todo sistema (A + B) adquire. ficaram presos nas ferragens (colisão perfeitamente inelástica) e
Assim: se deslocaram em uma direção de 45° em relação à direção inicial
m VB2 4m VA2 de ambos. Considere que a massa do segundo automóvel é
mgR = ––––––– + ––––––– exatamente o dobro da massa do primeiro, isto é, m2 = 2m1 e que
2 2
a perícia constatou que o módulo da velocidade dos automóveis
unidos, imediatamente após a colisão, foi de 40 km/h. Assinale a
Da qual: VB2 + 4 VA2 = 2gR (1)
alternativa que apresenta a velocidade correta, em módulo, do
automóvel 2, isto é, V2, imediatamente antes da colisão.
2) Como não existem forças externas horizontais, o momentum a) 15
2 km/h b) 30
2 km/h c) 60
2km/h
horizontal do sistema (A + B) permanecerá constante e igual a
d) 15 km/h e) 30 km/h
zero e, portanto, A e B adquirem quantidades de movimento
Resolução
horizontais de módulos iguais e sentidos opostos.
→ →
m | VB| = 4m | VA|
→ →
Da qual: | VB| = 4 | VA| (2)
Substituindo-se (2) em (1), vem:
16 VA2 + 4 VA2 = 2g R
→
20 VA2 = 2g R ⇒ | VA| =
gR
–––
10
→ →
E, ainda: | VB| = 4 | VA| = 4
gR
–––
10
1) Antes da colisão:
Substituindo-se os valores numéricos de g e R, vem: V1 = m V
Q1 = m1V1 e Q2 = m2V2 = 2m1 . –––– 1 1
2
→ →
| VA| = 1,0m/s e | VB| = 4,0m/s A quantidade de movimento do sistema formado pelos dois
→ →
carros, antes da colisão, é a soma vetorial de Q1 e Q2.
→ →
Respostas: | VA| = 1,0m/s e | VB| = 4,0m/s
Q02 = Q12 + Q22
57. (VUNESP-MODELO ENEM) – Uma astronauta de 60 kg pode mo- Q0 =

2 m1V1 =
2 m2V2
ver-se fora de sua nave, fazendo uso de um minifoguete de 3,0 kg,
preso à sua cintura. Devido a um defeito nesse equipamento, ela
permanece parada a 120 metros da nave. Ocorre-lhe, então, lançar
19
2) No ato da colisão, os carros formam um sistema isolado e Como Vf = 40km/h, vem:

haverá conservação da quantidade de movimento total:
Qf = Q0 3 . 40
V2 = –––––– km/h
(m1 + m2) Vf =
2 m2V2 22
––––
m2
+ m2 Vf =
2 m2V2 60 602
2 V2 = –––––– km/h = –––––– km/h

2 2
m2
3 –––– Vf =
2 m2V2
2
V2 = 30
2 km/h
3 Vf
V2 = ––––––
22 Resposta: B
59. (UERJ) – Um certo núcleo atômico N, inicialmente em repouso, 61. (UFLA-MG) – A figura abaixo mostra um plano inclinado de massa
sofre uma desintegração radioativa, fragmentando-se em três M sobre um plano horizontal sem atrito. Abandona-se nesse plano
→ → →
partículas, cujos momentos lineares são: P1, P2 e P3. inclinado um bloco de massa m, que desliza sem atrito ao longo
desse, colidindo com um anteparo e parando.
A figura abaixo mostra os vetores que representam os momentos
→ →
lineares das partículas 1 e 2, ( P1 e P2), imediatamente após a
desintegração.
Analisando-se o movimento do plano inclinado M, pode-se afirmar

que ele
a) se move, inicialmente, para a esquerda e depois retorna à sua
O vetor que melhor representa o momento linear da partícula 3 posição inicial.
→ b) se move, inicialmente, para a direita e depois retorna à sua
( P3 ) é: posição inicial.
c) se move para a esquerda e para.
d) permanece parado o tempo todo.
a) b) c) d)
62. (UNIFESP) – No quadriculado da figura, estão representados, em
sequência, os vetores quantidade de movimento da partícula A
60. (UNESP) – O decaimento beta ocorre quando um nêutron dá ori- antes e depois de ela colidir elasticamente com a partícula B, que
gem a um próton (carga +e), a um elétron (carga –e) e a uma se encontrava em repouso.
terceira partícula. Na figura, as setas mostram as direções iniciais
e os sentidos das velocidades do próton e do elétron ime-
diatamente depois do decaimento de um nêutron em repouso. A
figura omite a terceira partícula.
Sabe-se que a soma das energias cinéticas das partículas A e B

manteve-se constante, antes e depois do choque, e que nenhuma
interação ocorreu com outros corpos. O vetor quantidade de
movimento da partícula B após o choque está mais bem represen-
tado por
A partir destes dados, pode-se dizer que a orientação da

velocidade e a carga elétrica da terceira partícula são, respectiva-
mente:
63. (VUNESP) – Num parque de diversões original, há um brinquedo
que consta de dois carros, A e B, que podem deslizar livremente,
sem atrito considerável, sobre uma pista retilínea. O carro A pode
atingir uma mola de constante elástica K = 1,0 . 103 N/m e
deformá-la. Uma criança, de 30 kg de massa, sobe no carro A e
outra, de 40kg, no carro B. A partir de um estado de repouso, elas
20
se empurram mutuamente e partem em sentidos opostos. Após

o contato, o carro B percorre, então, 4,0m em 1,0s. Cada carro
tem massa própria de 10kg.
A máxima deformação que a mola sofre quando interage com o A velocidade do projétil, imediatamente após sair do bloco, terá
carro A vale módulo:
a) 10cm b) 71cm c) 1,0m d) 7,1m e) 10m a) 100m/s b) 200m/s c) 300m/s
d) 400m/s e) 500m/s
64. (UNIFESP) – Uma pequena esfera A, com massa de 90 g, en-
contra-se em repouso e em contato com a mola comprimida de 67. (CEFET-CE) – Um projétil de massa m = 10g atinge, sem atraves-
um dispositivo lançador, sobre uma mesa plana e horizontal. sar, um bloco de madeira de massa M = 150g que se encontra em
Quando o gatilho é acionado, a mola se descomprime e a esfera repouso sobre uma superfície horizontal. Após a colisão, o siste-
é atirada horizontalmente, com velocidade de módulo 2,0 m/s, em ma bloco de madeira + projétil percorre uma distância de 200 cm
direção frontal a uma outra esfera, B, com massa de 180 g, em até parar. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a super-
repouso sobre a mesma mesa. No momento da colisão, as esfe- fície vale 0,4. Determine o módulo da velocidade do projétil ao
ras se conectam e passam a se deslocar juntas. O gráfico mostra atingir o bloco de madeira.
a intensidade da força elástica da mola em função de sua defor- Adote g = 10,0m/s2 e despreze o efeito do ar.
mação.
68. (UDESC) – A figura mostra dois corpos, de massas m1 = 5,0kg e
m2 = 10,0kg, em repouso, ligados por um cordão ideal. Entre os
corpos, há uma mola comprimida, mas que não está presa a
nenhum deles.
O cordão é cortado e, em consequência, o corpo 2 adquire velo-

cidade de módulo 5,0m/s. Considerando-se a mola ideal, e des-
prezando-se atritos, calcule
a) o módulo da velocidade adquirida pelo corpo 1;
b) a energia potencial elástica armazenada no sistema, imediata-
mente antes de o cordão ser cortado.
Considerando-se que as esferas não adquirem movimento de
rotação, que houve conservação da quantidade de movimento na 69. (UDESC) – Um veículo tipo X, cuja massa é de 1200kg, colide
colisão e que não há atrito entre as esferas e a mesa, calcule com um veículo tipo Y, cuja massa é de 1300kg. A colisão
a) a energia cinética da composição de esferas A e B após a acontece em um ângulo reto, quando ambos atravessam um
colisão; cruzamento, durante uma tempestade de neve. As velocidades
b) quanto a mola estava comprimida no instante em que o gatilho dos veículos X e Y, ao entrarem nesse cruzamento, têm módulos
do dispositivo lançador foi acionado. de 144km/h e 90km/h, respectivamente. Despreze a força de
atrito e admita que os veículos se mantenham unidos um ao
65. (UFJF-MG) – Duas pessoas encontram-se em repouso sobre outro, logo após a colisão.
uma plataforma flutuante, uma em uma extremidade e a outra na
extremidade oposta. A plataforma está em repouso em águas
tranquilas de um lago. A pessoa que está na extremidade esquer-
da tem massa de 50 kg; a que está na extremidade direita, 80 kg
e a plataforma, 100 kg. As pessoas então se movem, cada uma
com velocidade de módulo 5,0m/s em relação ao lago, a de 50kg
para a direita e a de 80kg para a esquerda. Desconsiderando-se a
força de resistência viscosa entre a plataforma e a água, qual será
o módulo e orientação da velocidade adquirida pela plataforma em
relação ao lago?
Assinale a alternativa que melhor representa a trajetória dos

a) zero b) 1,5 m/s para a direita. veículos, depois da colisão, com base nas informações e na figura
c) 1,5 m/s para a esquerda. d) 5,0 m/s para a direita. acima.
e) 5,0 m/s para a esquerda. a) A b) B c) C d) D e) E
66. (Olimpíada Internacional de Ciências-Taiwan)– Um projétil de 70. (UNICAMP) – Maria está balançando-se em um pneu pendurado
massa mP = 10g com velocidade horizontal de módulo 500m/s em uma corda. Considere g=10 m/s2 e despreze o efeito do ar.
atravessa um bloco de massa mB = 1,0kg que se movia na a) Se ela for empurrada e solta no ponto mais baixo, com uma
mesma direção e sentido oposto com velocidade de módulo velocidade de módulo 6,0m/s, quanto ela irá subir?
1,0m/s, sobre uma superfície horizontal sem atrito. b) Maria retornou ao ponto mais baixo, sem perda de energia me-
Imediatamente após a colisão, o bloco inverte o sentido de seu cânica, e João agarrou-se ao pneu, subindo agora as duas crian-
movimento e passa a ter velocidade com módulo 2,0m/s. ças juntas. Qual a nova altura atingida? Considere que João
tem a massa igual à de Maria e despreze a massa do pneu.
21
71. (UFSC) – Uma tábua homogênea encontra-se em repouso sobre

a) 2,0 e 2,0 b) 2,0 e 4,0 c) 2,0 e
2
um lago de águas calmas. Dois sapos estão parados nas
extremidades desta tábua, como é mostrado na figura. A massa do d) 4,0 e 4,0 e) 4,0 e 0
sapo da esquerda (sapo 1) é maior do que a do sapo da direita (sapo
2). Em determinado momento, os sapos pulam e trocam de 76. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA) – Por um canhão, dispa-
posição. Suponha que o atrito da tábua com a água seja desprezível. ra-se uma granada de 20kg que adquire velocidade de módulo
igual a 500m/s quando passa pelo ponto mais alto de sua
trajetória. Exatamente nesse instante, a granada explode e se
divide em dois fragmentos de massas iguais. Com a explosão,
um dos fragmentos inicia um movimento vertical para baixo com
uma velocidade de módulo igual a 2400m/s. Imediatamente após
a explosão, o módulo da velocidade do outro fragmento, em m/s
vale:
a) 3400 b) 3200 c) 1800
d) 2400 e) 2600
Considerando-se o sistema formado pelos dois sapos e a tábua, e 77. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA) – Um projétil é disparado
as margens do lago como referencial, é correto afirmar: por um canhão e, no ponto mais alto de sua trajetória, a uma
01. a quantidade de movimento horizontal do sistema constituído distância horizontal de 100 m do canhão, explode, dividindo-se em
pelos dois sapos e a tábua se conserva. dois pedaços iguais. Um dos fragmentos é lançado horizontal-
02. a quantidade de movimento horizontal do sapo 1 é igual, em mente para trás com velocidade de mesmo módulo que possuía
módulo, à quantidade de movimento horizontal do sapo 2, o projétil imediatamente antes de explodir. Considerando-se
durante a troca de suas posições. desprezível a resistência do ar, a que distância entre si cairão no
04. a tábua fica em repouso enquanto os sapos estão no ar. solo os dois fragmentos? Admita que o projétil foi lançado a partir
08. a distância horizontal percorrida pelo sapo 1 é igual à per- do solo terrestre.
corrida pelo sapo 2.
16. após os sapos terem trocado de posição, a tábua ficará em re- 78. (ITA) – Numa brincadeira de aventura, um garoto de massa
pouso. M = 20,0kg lança-se por uma corda amarrada num galho de árvore
Dê como resposta a soma dos números associados às propo- num ponto de altura L = 3,6m acima de um cão de massa
sições corretas. m = 5,0kg que se pretende resgatar. A aceleração da gravidade
tem módulo g = 10,0m/s2 e o efeito do ar é desprezível. A massa
72. (UFBA) – Um vagão de massa igual a 90kg, vazio e sem cober- da corda é desprezível. A altura h da plataforma, acima da posição
tura, está deslocando-se sobre trilhos retos e horizontais, sem do cão, vale 1,8m.
→
atrito, com velocidade v. Começa a chover forte, e a água, cuja
densidade vale 1,0 . 103 kg/m3, caindo verticalmente, vai acumu-
lando-se no interior do vagão. Determine, em 10–3 m3, o volume
de água armazenada no vagão, quando a sua velocidade for
reduzida a 2/3 da inicial. Despreze o efeito do ar.
a) 15 b) 30 c) 45 d) 60 e) 75
73. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA) – Na superfície de um

lago de águas paradas, encontra-se em movimento um tronco, de
massa 400kg e comprimento 18,0m, com uma velocidade cons-
tante de módulo igual a 4,0m/s em relação às margens do lago.
Em um determinado instante, um homem de massa 80kg come-
ça a correr sobre ele, saindo de uma extremidade e dirigindo-se à
outra, com uma velocidade de módulo igual a 3,0m/s em relação
ao tronco e no mesmo sentido de seu movimento. Qual a
distância percorrida pelo tronco sobre a água, do instante que o Determine
homem deixa uma de suas extremidades até alcançar a outra a) o módulo da velocidade do garoto imediatamente antes de
extremidade? atingir o cão;
Considere desprezível a resistência produzida pela água ao b) o módulo da velocidade do sistema (garoto + cão) imediata-
movimento do tronco. mente após a colisão entre o garoto e o cão;
c) a intensidade da força que traciona a corda imediatamnte após
74. Um projétil de massa M = 20,0kg é lançado, a partir do solo, com
a colisão entre o garoto e o cão.
velocidade inicial de módulo 100m/s, formando com o plano
horizontal um ângulo ␪ = 60°. No ponto mais alto de sua trajetória, 79. (UFRJ) – Dois pêndulos com fios ideais de mesmo comprimento
o projétil explode em dois fragmentos, A e B, de massas iguais.
b estão suspensos em um mesmo ponto do teto. Nas extremi-
Imediatamente após a explosão, o fragmento A tem velocidade
dades livres dos fios, estão presas duas bolinhas de massas 2m
nula. Despreze o efeito do ar.
e m e dimensões desprezíveis. Os fios estão esticados em um
Determine
mesmo plano vertical, separados e fazendo, ambos, um ângulo de
a) o módulo da velocidade do fragmento B, imediatamente após
60° com a direção vertical, conforme indica a figura.
a explosão;
b) a energia liberada na explosão, que é transformada em energia
cinética dos fragmentos.
75. (FUVEST) – Uma granada de massa M = 8,0kg desloca-se ao

longo de uma linha reta com velocidade de módulo V0 = 2,0m/s,
livre da influência de forças externas. Num certo instante de
tempo, a granada explode, dividindo-se em dois fragmentos de
mesma massa. Devido à explosão, é liberada uma quantidade
E = 16,0J de energia que é transformada em energia cinética dos
fragmentos. Sabe-se que nenhum dos dois fragmentos deixa a
linha do movimento original. As magnitudes das velocidades de
cada um dos fragmentos, medidas em m/s, são
22
Em um dado momento, as bolinhas são soltas, descem a partir do

repouso, e colidem no ponto mais baixo de suas trajetórias, onde
se grudam instantaneamente, formando um corpúsculo de massa
3m .
a) Calcule o módulo da velocidade do corpúsculo imediatamente
após a colisão em função de b e do módulo g da aceleração da
gravidade.
b) Calcule o ângulo ␪ que o fio faz com a vertical no momento em
que o corpúsculo atinge sua altura máxima.

3 e 1
a) –––– –––
3 e 1
b) ––– –––
80. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA) – Um projétil de massa 2 2 2 2
m = 0,10kg é lançado a um ângulo de 37° com a horizontal e com
uma velocidade de módulo 500m/s. No ponto mais alto da
3
c) 3 e ––––
3 e 3
d) 3 –––– –––
trajetória, ele explode em dois fragmentos iguais, A e B. Suponha 2
2 2
que o fragmento B, imediatamente após a explosão, cai
verticalmente a partir do repouso.
e) 2
6 e
2
a) A que distância do ponto de lançamento cai o fragmento A,
→
supondo-se o solo horizontal? Nota: i é o versor do eixo x
b) Calcule a diferença entre a energia mecânica do sistema,
imediatamente após e imediatamente antes da explosão.
Despreze o efeito do ar e adote g = 10,0m/s2 83. (SELETIVA NACIONAL DA INTERNATIONAL JUNIOR SCIENCE
Dados: sen 37° = 0,60 e cos 37° = 0,80 OLYMPIAD) – Uma esferinha de massa m desliza livremente em
um plano horizontal com velocidade de módulo V0. Considere
uma rampa de massa 3m, em repouso, apoiada no plano
81. (UFSC) – Um pêndulo balístico é um aparato experimental que horizontal e com o perfil indicado na figura. A rampa não está fixa
permite determinar a velocidade de um projétil. Na figura →
I, estão no plano e pode mover-se livremente.
representados o projétil de massa m e velocidade inicial Vi, bem
como um bloco de massa M, inicialmente em repouso. Após o
impacto, o projétil se aloja no bloco e este se eleva a uma altura
máxima y, conforme representação na figura II.
Despreze o efeito do ar e todos os atritos. A aceleração da

gravidade é constante e tem módulo g. A esferinha vai subir a
rampa atingindo uma altura máxima h sem perder contato com a
rampa.
Quando a esferinha subir a rampa, esta vai mover-se horizontal-
Assinale a(s) proposição(ões) correta(s). mente.
01. O projétil, logo após se alojar no interior do bloco, perde toda
a sua energia cinética e toda a sua quantidade de
movimento.
02. O sistema formado pelo projétil mais o bloco atingirá uma
altura máxima, à direita, a qual dependerá da velocidade inicial
do projétil.
04. Sendo perfeitamente inelástica a colisão característica deste
processo, haverá perda de energia cinética.
08. É impossível aplicar a lei de conservação da quantidade de mo-
vimento no ato da colisão.
16. Utilizando-se o princípio de conservação da energia mecânica,
após a colisão, pode-se calcular a altura máxima atingida pelo Quando a esferinha atinge sua altura máxima h, ela e a rampa têm
bloco de massa M. a mesma velocidade de módulo V.
32. A energia cinética inicial é igual à metade da energia cinética O valor de h é dado por:
final para o processo dado.
64. O sistema formado pelo projétil mais o bloco atingirá uma V02 V02 V02
a) h = –––– b) h = –––– c) h = ––––
altura máxima, à direita, que dependerá das massas M e m. 8g 6g 4g
Dê como resposta a soma dos números associados às pro-
posições corretas.
3V02 3 V02
d) h = –––– e) h = –– –––
82. (FUVEST-TRANSFERÊNCIA) – Um bloco de massa m = 2,0kg, 8g 4 g
que se desloca sobre→
uma mesa horizontal, sem atrito, com
→
velocidade v 1i = 3,0i m/s, colide com outro bloco idêntico, que se
encontra inicialmente em repouso. Depois da colisão, o primeiro 84. Duas plataformas, A e B, cada uma com massa M = 2,0kg estão
bloco desloca-se em uma direção que forma um ângulo de 30° em repouso sobre um plano horizontal. Uma partícula de massa
com a direção inicial e o outro desloca-se em uma direção que m = 1,0kg é abandonada do repouso de uma altura H = 67,5cm e
forma um ângulo de 60° com a direção inicial, como na figura. As desliza ao longo da plataforma A, em seguida percorre o plano
magnitudes v1f e v2f das velocidades finais dos blocos, em m/s, horizontal e sobe na plataforma B até uma altura máxima h.
são, respectivamente: Despreze o efeito do ar e todos os atritos e adote g = 10,0 m/s2.
23
88. (UEPA-MODELO ENEM) – Uma das importantes leis da Física é

a lei de conservação do momento linear (quantidade de movi-
mento). Para ilustrar esta lei, admita que um rapaz de massa igual
a 36kg pula num skate de massa igual a 4kg, que se encontrava
inicialmente parado. A velocidade com que o sistema rapaz-skate
começa a se movimentar é de quantos por cento da componente
horizontal da velocidade inicial do rapaz?
a) 30% b) 60% c) 90% d) 120% e) 150%
Determine
a) os módulos das velocidades da plataforma A e da partícula
depois que a partícula se desliga da plataforma A; 89. (UEGO-MODELO ENEM) – O “Circo do Faustão” é um reality
b) os módulos das velocidades da partícula e da plataforma B show do programa “Domingão do Faustão”, no qual os famosos
quando a partícula atingir a altura máxima h; fazem números e apresentações de circo. A modelo Gianne
c) o valor de h. Albertoni, ao lado do professor Wander Rabello, encarna uma
trapezista mascarada e vence o “Circo do Faustão”. O professor
85. Em um plano horizontal, sem atrito, uma plataforma com o perfil e a modelo saem do ponto A a partir do repouso, suspensos em
indicado na figura está em repouso. um trapézio. Quando chegam ao ponto B, o professor, ao mesmo
Uma pequena esfera de massa m chega à plataforma com velo- tempo em que deixa o trapézio, empurra horizontalmente a
cidade horizontal de módulo V0, percorre uma semicircunferência modelo e atinge o solo no ponto C, a uma distância r do ponto E,
de raio R, em contato com a plataforma, e sai com uma velocidade enquanto Gianne Albertoni permanece no trapézio. A figura
V0 abaixo ilustra a situação descrita.
horizontal de módulo ––– (em relação ao solo).
2
Em virtude da interação com a esfera, a plataforma adquire uma
velocidade horizontal de módulo V.
A plataforma tem massa 2m, a aceleração da gravidade tem
módulo g e os atritos e a resistência do ar são desprezíveis.
Despreze a resistência do ar, as dimensões dos corpos e a massa

Calcule o valor de V. do trapézio. Para se calcular a altura máxima que a modelo Gianne
Albertoni atinge, é correto utilizar a seguinte sequência de conhe-
86. (UNESP-MODELO ENEM) – Um madeireiro tem a infeliz ideia de cimentos de Física:
praticar tiro ao alvo disparando seu revólver contra um tronco de a) Conservação da energia mecânica, conservação da quantidade
árvore caído no solo. Os projéteis alojam-se no tronco, que logo de movimento (momento linear), lei da gravitação universal e,
fica novamente imóvel sobre o solo. Nessa situação, novamente, conservação da quantidade de movimento.
considerando-se um dos disparos, pode-se afirmar que a b) Movimento harmônico simples, conservação da energia
quantidade de movimento do sistema projétil-tronco mecânica, lançamento horizontal e, novamente, conservação
a) não se conserva, porque a energia cinética do projétil se da energia mecânica.
transforma em calor. c) Conservação da energia mecânica, conservação da quantidade
b) se conserva e a velocidade final do tronco é nula, pois a sua de movimento (momento linear), lançamento horizontal e,
massa é muito maior do que a massa do projétil. novamente, conservação da energia mecânica.
c) não se conserva, porque a energia não se conserva, já que o d) Segunda Lei de Kepler, conservação da energia mecânica,
choque é inelástico. lançamento horizontal e, novamente, conservação da energia
d) se conserva, pois a massa total do sistema projétil-tronco não mecânica.
foi alterada.
e) não se conserva, porque o sistema projétil-tronco não é
isolado. 90. (INEP-MODELO ENEM) – O Bungee Jump é um esporte radical
no qual uma pessoa pula de uma altura muito grande, presa a um
87. (UNESP-MODELO ENEM) – Um carrinho de supermercado, com elástico. Para que o praticante não corra risco, um dos fatores
→
massa total igual a 10 kg, está a uma velocidade V, quando colide importantes é que o elástico preso a ele possa ser esticado com
frontalmente com outro carrinho, de massa 50 kg, inicialmente facilidade, adquirindo um comprimento relativamente grande.
em repouso. Suponha que, imediatamente após a colisão, os dois Indique qual alternativa explica este fato do ponto de vista físico:
carrinhos fiquem encaixados um ao outro, deslocando-se com a) O elástico deve ter uma constante elástica nula para conseguir
velocidade de módulo 0,50 m/s. Desprezando-se os atritos, segurar a pessoa.
→
determine o módulo da velocidade V antes da colisão. b) O tipo de elástico a ser utilizado neste esporte deve permitir
a) 1,0 m/s b) 1,5 m/s c) 2,0 m/s que a pessoa caia livremente.
d) 2,5 m/s e) 3,0 m/s c) O elástico faz aumentar o tempo da variação da quantidade de
movimento da pessoa e diminuir a força aplicada na pessoa.
d) Com o elástico, a pessoa não tem variação da quantidade de
movimento, pois sua velocidade é constante durante a queda.
e) Com o elástico, a pessoa sofre um impulso menor para ser
levada ao estado de repouso.
24
→
8) C 9) B 10) B 11) C 12) a) 0 2) Aplicando-se o teorema do impulso:
b) 3E
→ →
14) E I R = ⌬Q
5
13) a) ⌬Q = ––– m V0
3 (Fm – P) ⌬t = m VB
–5 (Fm – 500) 0,05 = 50 . 40,0

b) ⌬Ecin = –––– m V02
18
Fm – 500 = 40,0 . 103
15) a) 2 p 16) D 17) C 18) D Fm = 40,0 . 103 + 0,5 . 103 (N)
b) zero
Fm = 40,5 . 103 N = 40,5kN
19) D 20) B 21) B 22) B
b) Aplicando-se a 2.a Lei de Newton:
29) a) 30N . s
Fm – P = m . a
b) | Vg | = 0,60m/s e | Vr | = 0,40m/s
40,5 . 103 – 0,5 . 103 = 50 . a
40,0 . 103 = 50 . a
V02
30) a) D = ––––––
2␮g a = 8,0 . 102m/s2
V0 a(letal) = 8g = 80m/s2
b) T = ––––
␮g a 8,0 . 102 a
–––––– = –––––––––– ⇒ –––––
aletal = 10
aletal 80
c) Quando V0 duplica, T também duplica e D quadruplica.
Respostas: a) 40,5kN
31) B 32) a) 225J
b) 10 vezes maior.
b) 3,0kN
33) a) 34) B 35) 880N 36) E
37) a) Porque o tempo de interação entre a xícara e o piso é

maior quando o piso é fofo.
b) 1,4N e 21,0N
38) C
39) a) O impulso recebido pela pessoa corresponde à variação

da sua quantidade de movimento até o repouso e é o
mesmo com ou sem bolsa de ar.
→ → →
I = ⌬ Q = – mV0
Com a bolsa de ar, o tempo de interação aumenta e com

isso a força média de impacto recebida pela pessoa di-
minui.
A redução da força com o aumento do tempo de interação
é a função básica da bolsa de ar.
b) 1) I = área (F x t)
0,03 . 4000
I = –––––––––– (N. s)
1) Cálculo do módulo da velocidade da mocinha no ponto 2
B (1,0m do solo):
I = 60N. s
VB2 = VA2 + 2 ␥ ⌬s (MUV)
2) I = Fm . ⌬t
VB2 = 0 + 2 . 10 . 80,0 60 = Fm . 0,03
VB2 = 1600 ⇒ VB = 40,0m/s Fm = 2,0 . 103N = 2,0kN
25
40) C 41) B 42) A 43) B 44) B 2) L = L cos ␪ + h

b
45) E 46) E 59) D 60) D 61) C b = b cos ␪ + –––
18
62) B 63) C 64) a) 6,0 . 10–2J
b) 3,0 . 10–2m ou 3,0cm 1
1 = cos ␪ + –––
18
65) B 66) B 67) 64,0m/s
1 17
cos ␪ = 1 – ––– ⇒ cos ␪ = ––––
68) a) 10,0m/s 69) D 70) a) 1,8m 18 18
b) 375J b) 0,45m

gb 17
71) 17 72) C 73) 21,0m Respostas: a) –––– b) ␪ = arc cos –––
3 18
74) a) 100m/s 75) E 76) E
b) 2,5 . 104J ou 25kJ 80)
77) 400m 78) a) 6,0m/s

b) 4,8m/s
c) 410N
79) a) 1) Cálculo da velocidade de cada bolinha no instante da

colisão:
a) 1) Componentes de V0:
V0y = V0 sen 37° = 500 . 0,60 (m/s) = 300m/s
V0x = V0 cos 37° = 500 . 0,80 (m/s) = 400m/s
2) Cálculo do tempo de subida:

Vy = V0y + ␥y t
0 = 300 – 10,0 t1 ⇒ t1 = 30,0s
EC = EA (ref. em C) 3) Cálculo de d:
⌬sx = V0x t1
mV2 b
–––– = m g ––– ⇒ V =
gb d = 400 . 30,0 (m) ⇒ d = 12,0km
2 2
4) No ato da explosão:
2) Conservação da quantidade de movimento no ato da
colisão: m
Qf = Q0 ⇒ ––– VA = mV0x ⇒ VA = 2 V0x = 800m/s
Qapós = Qantes 2
3mV1 = 2mV + m (–V) Se a granada não explodisse, ela percorreria na sua queda
uma distância d; como o fragmento A tem velocidade
V
3V1 = V ⇒ V1 = ––– ⇒ V =
gb horizontal que é o dobro da velocidade da granada, ele
1 ––––
3 3 percorrerá uma distância 2d e atingirá o solo a uma dis-
b) tância D do ponto de lançamento dada por:
D = 3d ⇒ D = 36,0km
mV02 x 0,10
______
b) Ei = 2 = _____ (400)2 (J) = 8,0 . 103 J
2
––– V
m 2
A
2
_________ 0,10
Ef = = _____ (800)2 (J) = 16,0 . 103 J
2 4
1) ED = EC (ref. em C)
⌬E = 8,0 . 103J = 8,0kJ

3m
3m g h = –––– V12
2 Respostas: a) 36,0km
b) 8,0kJ
2
V1 gb/9 b
h = –––– = ––––– ⇒ h = –––
2g 2g 18 81) 86 82) D
26
83) 1) Conservação da quantidade de movimento do sistema, na Qh = Qh

f i
direção horizontal:
(M + m) VB = m VP
Qh = Qh
f i
3,0VB = 1,0 . 3,0 ⇒ VB = 1,0 m/s
V0
4 mV = m V0 ⇒ V = ––––
4
c) Conservação da energia mecânica:
2) Conservação da energia mecânica: mVP2 (M + m)
______
Ef = Ei = _______ VB2 + mgh
2 2
2
4m V2 m V0
mgh + –––––– = ––––––
2 2 1,0 . 9,0 3,0
_______ = ____ + 1,0 . 10,0h
2 2 2 2
V0
V0
g h + 2 –––– = ––––
16 2 4,5 = 1,5 + 10,0h ⇒ h = 0,30m
2 2
16 gh + 2 V0 = 8 V0 Respostas: a) 1,5m/s e 3,0m/s
b) 1,0m/s
2
16 gh = 6 V0 c) 0,30m
2
6 V0 85) 1) O sistema esfera-plataforma é isolado de forças horizon-
h = –––––
16g tais:
2 Qh = Qh
3V0 f i
h = –––––– mV0
8g 2mV – –––– = mV0
2
Resposta: D 3V0 3V0

2V = –––– ⇒ V = –––––
2 4
84) a) 1) A partícula e a plataforma A estão isoladas de forças 2) O sistema é conservativo e a energia potencial perdida
horizontais e portanto: pela esfera corresponde ao acréscimo de energia cinética:
Qh = Qh
f i
mV02
–––2
→ → → 2 mV2 m V0 2
M VA + m VP = 0 mg 2 R = –––––– + ––– – ––––––
2 2 2
→ →
M VA = – m VP ⇒ MVA = mVP
V02 V02 3V02
2,0VA = 1,0VP ⇒ VP = 2VA 2gR = V2 + ––– – ––– = V2 – ––––
8 2 8
2) Conservação da energia mecânica:

9V02 3V02 3V02 32 g R
mVP2 MVA2 2gR = –––– – –––– = –––– ⇒ V02 = –––––––
mgH = ______ + ______ 16 8 16 3
2 2
1,0 2,0 4 2gR

4
1,0 . 10,0 . 0,675 = ____ (2VA)2 + ____ VA2 V0 = –––––––– = –– V
2 2 3 3
VA = 1,5m/s
6,75 = 3VA2 ⇒
VP = 3,0m/s V =
6gR (Resposta)
b) Conservação da quantidade de movimento horizontal: 86) E 87) E 88) C 89) C 90) C
27
CAPÍTULO
Mecânica
2 CENTRO DE MASSA
A trajetória do centro de massa (CM) só depende da

velocidade inicial e da resultante das forças externas.
1. Conceito e) A determinação do centro de gravidade pode ser

feita experimentalmente, usando-se um fio fino que é
Seja um sistema físico S de massa total M e subme-
→ → → preso a um ponto fixo do corpo. Quando houver equi-
tido a um conjunto de forças externas F1, F2, …, Fn.
líbrio, o centro de gravidade estará na mesma vertical do
Se, num dado problema, o sistema S é tomado como ponto de suspensão.
um ponto material, devemos considerar toda a massa M Repetindo-se a experiência de modo que o corpo fique
e todas as forças externas concentradas num ponto geo- em uma posição diferente, relativa à Terra, obtemos outra
métrico, que é denominado centro de massa do sistema. vertical contendo o centro de gravidade.
A intersecção das retas, que contém o centro de
Observações gravidade, permite a sua localização.
a) Se o sistema apresentar uma distribuição uniforme
de massas, então o centro de massa coincidirá com o
centro geométrico.
Exemplos
1) O centro de massa de uma esfera homogênea
coincide com o seu centro geométrico.
2) O centro de massa de um anel homogêneo é o seu
centro geométrico. Neste caso, não existe massa
na posição do centro de massa.
3) O centro de massa de um corpo homogêneo com O fio contém o centro de gravidade da barra em forma de L.
formato triangular e de espessura desprezível está
no baricentro do triângulo.
b) Se o sistema estiver sob a ação da gravidade e se
→
o vetor aceleração da gravidade g for o mesmo em todos
os pontos do sistema S, então o centro de gravidade
coincidirá com o centro de massa.
c) O centro de gravidade corresponde ao ponto de
aplicação da força de gravidade.
d) Segundo Arquimedes, o centro de gravidade de
um corpo sólido pode ser definido como o ponto pelo
qual ele deve ser suspenso para permanecer em equi- Em outra posição da barra em forma de L, o outro fio também contém o centro
líbrio indiferente. de gravidade.
28
f) Considere uma montanha, suposta homogênea, 3. Cálculo da velocidade

com secção retangular e de grandes dimensões.
do centro de massa de um
sistema de pontos materiais
A velocidade do centro de massa (CM) também pode
ser obtida por meio de uma média ponderada.
→ → →
Sendo V1, V2, …, Vi as velocidades dos pontos ma-
teriais num dado instante, a velocidade do centro de mas-
→
sa VCM, no instante considerado, será dada por:
Neste caso, a aceleração da gravidade na base da → → →

montanha é maior do que no topo da montanha, isto é, a → m1 V1 + m2 V2 + … mi Vi
metade inferior é mais pesada do que a metade superior, VCM = –––––––––––––––––––––––
m1 + m2 + … + mi
e o centro de gravidade CG ficará abaixo do centro de
massa CM (que está localizado no centro geométrico, a →
H Observando-se que o produto mi Vi representa a
uma altura –––
2 ). quantidade de movimento do ponto material, tem-se:
→
→ Qsistema
2. Posição do centro de massa de VCM = –––––––––
Msistema
um sistema de pontos materiais
→ →
Qsistema = Msistema VCM
Em particular, se o sistema for isolado de forças ex-

ternas, teremos:
→
Qsistema = constante
Consideremos um conjunto de n pontos materiais. → →

Representemos por mi a massa do ponto material e a) Qsistema = 0 ⇒ CM em repouso
por xi, yi, zi as coordenadas cartesianas que definem sua → →
posição. b) Qsistema ≠ 0 ⇒ CM em MRU
A posição do centro de massa (CM) do sistema será
definida pelas coordenadas cartesianas xC, yC e zC, obti-
das por meio de uma média ponderada entre as coorde- 4. Cálculo da aceleração
nadas dos pontos materiais, tomando-se como pesos, na
do centro de massa de um
média ponderada, as respectivas massas dos pontos ma-
teriais. sistema de pontos materiais
A aceleração do centro de massa CM também
m1x1 + m2x2 + … + mnxn pode ser obtida por meio de uma média ponderada.
xC = –––––––––––––––––––––––
m1 + m2 + … + mn
→ → →
Sendo a1, a2, …, ai as acelerações dos pontos
m1y1 + m2y2 + … + mnyn materiais num dado instante t, a aceleração do centro de
yC = –––––––––––––––––––––––– →
m1 + m2 + … + mn massa aCM, no instante considerado, será dada por:
m1z1 + m2z2 + … + mnzn → → →

zC = –––––––––––––––––––––––– → m1 a1 + m2 a2 + … + mi ai
m1 + m2 + … + mn aCM = ––––––––––––––––––––––––
m1 + m2 + … + mi
Nota: Insistimos no fato de que o centro de massa é um →

ponto geométrico, e não um ponto material. Observando-se que o produto m i ai representa a força
resultante no ponto material (2.a Lei de Newton), tem-se:
29
→ Exemplos
→ Rexterna 1) Considere um atleta saltando do trampolim de
aCM = –––––––
Msistema uma piscina. Desprezando-se o efeito do ar, após se
desligar do trampolim, o atleta fica sob ação exclusiva da
→ → força de gravidade, que determina para o seu centro de
Rexterna = Msistema aCM massa uma trajetória parabólica. Se o atleta realizar uma
série de piruetas e acrobacias, estas não alteram a trajetória
Esta expressão traduz o chamado teorema do centro do seu centro de massa nem o ponto de encontro do CM
de massa, cujo enunciado apresentamos a seguir. com a água, pois as forças que as produziram são forças
musculares internas ao atleta.
Teorema do Centro de Massa 2) Considere uma granada lançada obliquamente da

Para obtermos a aceleração do centro de massa de Terra. Desprezando-se o efeito do ar, a força resultante
um sistema, devemos imaginar toda a massa do externa na granada é o seu peso, determinando para o seu
sistema concentrada no seu centro de massa e aí centro de massa uma trajetória parabólica. Se a granada
aplicada a resultante das forças externas que explodir em seu trajeto, enquanto nenhum dos fragmen-
atuam no sistema. tos atingir o chão, o centro de massa dos fragmentos con-
tinua descrevendo a mesma trajetória parabólica descrita
pelo centro de massa da granada antes da explosão. Isso
5. Trajetória do centro de massa se justifica, lembrando-se de que as forças ligadas à
A trajetória do centro de massa depende da velocida- explosão são forças internas que não podem modificar a
de inicial e da aceleração do centro de massa. trajetória do centro de massa.
Como a aceleração do centro de massa é imposta Tal trajetória somente se altera quando os fragmentos
pela resultante das forças externas (teorema do centro de começam a chegar ao solo, pois, nessas condições, a
massa), concluímos que as forças internas ao sistema não força resultante externa se altera, passando a ser o peso
podem alterar a trajetória do centro de massa. total dos fragmentos que ainda não atingiram o solo.
1. Considere um conjunto de três pontos materiais definidos por m1y1 + m2y2 + m3y3
m(x;y), em que m representa a massa em kg e x e y as coorde- yCM = —–––––––––––––————
m1 + m2 + m3
nadas cartesianas em metros.
P1 2 (0; –1); P2 1 (1; 0); P3 2 (2; 6) 2(–1) + 1.0 + 2.6
O centro de massa do sistema é dado, no gráfico, pelo ponto: yCM = ––––––––––———— (m)
2+1+2
yCM = 2m
Resposta: A
2. Determine as coordenadas do centro de gravidade da placa homo-

gênea, de espessura uniforme, indicada na figura a seguir.
Resolução
m1x1 + m2x2 + m3x3
xCM = –––––––––––––—————
m1 + m2 + m3
2.0 + 1.1 + 2.2

xCM = —–––––––––——— (m)
2+1+2
xCM = 1m
30
Resolução ponderada, são as respectivas massas.

Imaginemos a chapa subdividida em duas secções retangulares,
A e B. mAxA + mBxB
xCM = –––––––––––––––
mA + mB
Tomando-se o ponto A como origem das coordenadas, tem-se:
xA = 0; xCM = ?; xB = 1,0m
0,20 . 0 + 0,30 . 1,0

xCM = ———–––––––––––—- (m)
0,20 + 0,30
xCM = 0,60m
c) Usando-se a 2.a Lei de Newton:
As áreas dos retângulos A e B serão: 1) F = mAaA ⇒ 6,0 . 10–2 = 0,20aA

AA = 2,0 . 10,0(cm2) = 20,0cm2
AB = 8,0 . 4,0(cm2) = 32,0cm2 aA = 0,30m/s2
Sendo ␮ a densidade e e a espessura da chapa, temos:
m = ␮ vol = ␮ . A . e 2) F = mBaB ⇒ 6,0 . 10-2 = 0,30aB
Sendo ␮ e e constantes, a massa da chapa será proporcional à
respectiva área: aB = 0,20m/s2
m = k . A, em que, k = ␮ . e
Portanto: mA = k . AA = 20,0k 3) Os módulos das velocidades serão dados por:
2
mB = k . AB = 32,0k V2 = V 0 + 2␥⌬s
O centro de massa do retângulo A tem coordenadas xA = 1,0cm

2
e yA = 5,0cm. VA = 2. 0,30 . 0,60 ⇒ | VA | = 0,60m/s
O centro de massa do retângulo B tem coordenadas xB = 6,0cm
e yB = 2,0cm.
VB2 = 2. 0,20 . 0,40 ⇒ | VB | = 0,40m/s
O centro de massa do sistema A + B terá coordenadas xCM e yCM
dadas por:
4) Como A e B se movem em sentidos opostos, a velocidade
mAxA + mBxB k . 20,0 . 1,0 + k . 32,0 . 6,0 relativa tem módulo dado por:
xCM = ——–––––––—- = –––––––––––––——–––––——- (cm)
m A + mB 20,0 k + 32,0 k
Vrel = | VA | + | VB | ⇒ Vrel = 1,00m/s
xCM 4,1cm
Respostas: a) CM em repouso
b) 0,60m
mAyA + mByB k . 20,0 . 5,0 + k . 32,0 . 2,0 c) 1,00m/s
yCM = —––––––––——- = ——––––––––––––––—––––—- (cm)
mA + mB 20,0 k + 32,0 k
4. Uma bola A, movendo-se com velocidade de módulo 10,0m/s,
yCM 3,2cm aproxima-se de uma bola B parada e de massa duas vezes maior
que a de A.
Qual o módulo da velocidade do centro de massa do sistema das
Resposta: CM (4,1; 3,2) cm duas bolas?
Resolução
3. Duas partículas, A e B, estão inicialmente em repouso, separadas A velocidade do CM do sistema das duas bolas, A e B, será dada
por 1,0m de distância. pela expressão:
A massa de A é mA = 0,20kg e a de B é mB = 0,30kg. → →
A e B atraem-se mutuamente com forças constantes de inten- Qsistema = (mA + mB) VCM
sidade F = 6,0 . 10–2N. Nenhuma força externa atua no sistema. Como, inicialmente, a bola B estava parada, a quantidade de mo-
a) Descreva o que ocorre com o centro de massa do sistema. vimento total do sistema será igual à quantidade de movimento
b) A que distância da posição original de A as partículas colidem? inicial da esfera A.
c) Calcule o módulo da velocidade relativa entre as partículas no
→ →
instante da colisão. mA VA = (mA + mB) VCM
Resolução
→
a) Como o sistema é isolado (resultante externa nula) e as par- mA . 10,0m/s = 3mA | VCM|
tículas estão em repouso, o centro de massa do sistema per-
manecerá em repouso. →
b) As partículas colidem na posição do centro de massa. A coor- | VCM | = 3,3m/s
denada do centro de massa é dada pela média ponderada
→
entre as coordenadas das partículas, e os pesos, na média Resposta: | VCM| = 3,3m/s
31
5. Considere duas esferas idênticas, Resolução

unidas por uma mola elástica de massa
desprezível, em equilíbrio em posição
vertical. O sistema está preso por um
fio a um suporte horizontal.
Num dado instante, o fio arrebenta-se e
o sistema entra em queda livre.
Despreza-se o efeito do ar. A aceleração
local da gravidade tem intensidade g.
a) Qual a aceleração do centro de mas-
sa do sistema formado pelas duas
esferas durante a queda? m1 x1 + m2 x2
x = –––––––––––––
b) Em um instante t0, durante a queda, m 1 + m2
→
g P1 x1 + P2 x2
a esfera B tem aceleração ––– .
2 x = –––––––––––––
P1 + P2
Qual a aceleração da esfera A no referido instante t0?
Resolução
a) Como as esferas estão caindo sob ação exclusiva da gravi- 0,45 P . 0 + 0,55 P . 2,5
x = ––––––––––––––––––––––
dade, a resultante externa é o peso total do sistema e a ace- P
leração do centro de massa será igual à aceleração da gra-
vidade.
→ → x 1,4m
aCM = g
Resposta: 1,4m
b) A aceleração do CM é dada pela média ponderada entre as
acelerações de A e B, tomando-se como pesos, na média pon- 7. (UNIFESP-MODELO ENEM) – A massa da Terra é aproxima-
derada, as respectivas massas das esferas: damente oitenta vezes a massa da Lua e a distância entre os
→ → centros de massa desses astros é aproximadamente sessenta
→ mA aA + mB aB vezes o raio da Terra. A respeito do sistema Terra-Lua, pode-se
aCM = —––––––––—–—
mA + mB afirmar que
Sendo mA = mB = m, tem-se: a) a Lua gira em torno da Terra com órbita elíptica e em um dos
focos dessa órbita está o centro de massa da Terra.
→ →
→ aA + aB b) a Lua gira em torno da Terra com órbita circular e o centro de
aCM = —––––— massa da Terra está no centro dessa órbita.
2
c) a Terra e a Lua giram em torno de um ponto comum, o centro
→
→ → → g de massa do sistema Terra-Lua, localizado no interior da Terra.
Sendo aCM = g e aB = ––– , vem: d) a Terra e a Lua giram em torno de um ponto comum, o centro
2
de massa do sistema Terra-Lua, localizado no meio da
→ → distância entre os centros de massa da Terra e da Lua.
→ aA + g/2
g = —–––––— e) a Terra e a Lua giram em torno de um ponto comum, o centro
2
de massa do sistema Terra-Lua, localizado no interior da Lua.
→ → → → → Resolução
2 g = aA + g/2 ⇒ aA = 1,5 g
A posição do centro de massa do sistema Terra-Lua é calculada
→ como se segue:
Respostas: a) g →
b) 1,5 g
6. (UNESP-MODELO ENEM) – A figura mostra, em perfil, um trator

florestal “derrubador-amontoador” de massa 13t; x é a abscissa de
seu centro de gravidade (CG). A distância entre seus eixos,
traseiro e dianteiro, é DE = 2,5 m.
mT xT + mL xL
xCM = ––––––––––––––
mT + mL
Tomando-se como origem de coordenadas o centro da Terra, vem:

80m . 0 + m . 60R
xCM = ––––––––––––––––
(J.S.S. de Lima et al. In www.scielo.br/pdf/rarv/v28n6/23984.pdf) 81m
Admita que 55% do peso total do trator está distribuído sobre os 60 20

pontos de contato dos pneus dianteiros com o solo (2) e o xCM = –––– R = –––– R
81 27
restante sobre os pontos de contato dos pneus traseiros com o
solo (1). Determine a abscissa x do centro de gravidade desse Como xCM < R, o centro de massa do sistema Terra-Lua é um
trator, em relação ao ponto 1.
ponto interno à Terra.
Adote g = 10 m/s2 e dê a resposta com dois algarismos signifi-
cativos. Resposta: C
32
8. Considere uma barra de comprimento L tal que metade da barra

tem densidade linear ␳1 e a outra metade, densidade linear ␳2.
A área da secção da barra é constante.
A distância do ponto A ao centro de massa da barra vale:
␳1 + 3␳2 ␳1 + 3␳2 L
a)
–––––––––
␳ +␳
1 2
L b)
–––––––––
␳ +␳ 2
1 2
–––
␳1 + 3␳2 L ␳1 + ␳2 L
c)
–––––––––
␳ +␳ 4
1 2
––– d)
–––––––––
␳ –␳ 4
2 1
–––
O valor de D é:
a) 1000m b) 1200m c) 1600m
d) 1800m e) 2000m
␳1 + 2␳2 L
e)
–––––––––
␳ +␳ 4
1 2
–––
12. Um disco homogêneo de raio R tem espessura desprezível e seu
centro de massa tem coordenadas xCM = 0 e yCM = R, conforme
mostra a figura 1.
9. (UFPB) – Considere uma barra homogênea com massa igual a
5,0kg e 2,0m de comprimento. Nas extremidades da barra, são
colocados dois pesos de formato circular, de massas 3,0kg e
2,0kg, respectivamente, conforme a figura.
Nessas circunstâncias, qual a distância, em centímetros, entre o

centro de massa do sistema barra + pesos e o centro da barra?
10. (UNIMONTES-MG) – Na figura abaixo, representamos um siste- R

ma formado por dois corpos de massas m1 = 4,0kg e m2 = 6,0kg. Retira-se do disco de raio R um disco menor de raio –––– , cujo
2
3R
centro C tem coordenadas x = 0 e y = –––– (fig. 2).
2
O centro de massa do disco, com a cavidade referente ao disco
menor retirado (figura sombreada no gráfico) terá coordenada y1
dada por:
R 3 4 5 6
a) ––– b) ––– R c) ––– R d) ––– R e) ––– R
2 4 5 6 7
13. (UECE) – O corpo A, de massa 2,0kg, move-se com velocidade

constante de módulo 4,0m/s, com direção ao longo do eixo x, no
sentido positivo desse eixo. O corpo B, de massa 6,0kg, move-se
com velocidade constante de módulo 3,0m/s, com direção ao
As coordenadas do centro de massa do sistema, XCM e YCM, são, longo do eixo y, no sentido negativo desse eixo. O módulo da
respectivamente, velocidade do centro de massa do sistema composto pelos dois
a) 2,0m e 1,5m. b) 2,2m e 1,2m. c) 3,0m e 2,2m. corpos, A e B, em m/s, é aproximadamente
d) 2,5m e 3,0m. e) 2,2m e 1,5m. a) 2,5 b) 5,5 c) 10,5 d) 15,5 e) 16,5
14. (UFPE) – Em um dado instante, duas partículas de massas iguais

11. Uma bomba está a uma altitude H = 125m acima do solo hori- são lançadas a partir da origem do sistema de coordenadas. A
zontal, com velocidade horizontal de módulo V0 = 200m/s, quando partícula 1 é lançada obliquamente, com velocidade de módulo
explode em dois fragmentos, A e B, de mesma massa e que V0 = 20 m/s, segundo um ângulo de 60° com a horizontal (eixo x).
atingem o solo simultaneamente. A partícula 2 é lançada horizontalmente (na direção do eixo x),
Despreze o efeito do ar e considere g = 10m/s2. sobre uma superfície sem atrito, com velocidade de módulo
Os fragmentos A e B atingem o solo nas posições A0 e B0 V2 = 10m/s.
indicadas na figura.
33
Determine o módulo da velocidade do centro de massa do

sistema das duas partículas, no instante em que a partícula 1
atinge o ponto mais alto de sua trajetória. A aceleração do centro de massa do sistema terá módulo igual a:
a) 1,0m/s2 b) 3,0m/s2 c) 5,0m/s2
d) 8,0m/s2 e) 10,0m/s2
15. Dois objetos, A e B, estão em repouso sobre uma superfície plana
e sem atrito. 18. Dois objetos de massas diferentes estão conectados por uma
Os objetos não estão→conectados e nem se tocando. Uma força mola comprimida e travada.
horizontal constante F é aplicada ao objeto A, que adquire uma O novo objeto assim formado é lançado verticalmente para cima
aceleração de módulo a. Verifique qual a proposição correta: e, ao atingir o ponto mais alto de sua trajetória (velocidade nula),
a) O conceito de centro de massa não pode ser aplicado porque a mola se destrava e um dos objetos é lançado verticalmente para
a força atua apenas em um dos objetos. cima, permanecendo a mola conectada ao outro objeto. Des-
b) O centro de massa do sistema formado pelos dois objetos vai- preza-se o efeito do ar.
se mover com uma aceleração de módulo a. Logo após a liberação da mola, o centro de massa do sistema
c) O centro de massa do sistema formado pelos dois objetos vai- estará
se mover com uma aceleração de módulo menor que a. a) movendo-se verticalmente para cima com movimento acele-
d) O centro de massa do sistema formado pelos dois objetos vai- rado.
se mover com uma aceleração de módulo maior que a. b) movendo-se verticalmente para baixo com movimento acele-
e) O centro de massa dos sistema formado pelos dois objetos vai rado.
permanecer em repouso. c) movendo-se verticalmente para cima com movimento retar-
dado.
16. (UFMS) – Um pêndulo rígido, na forma de haltere, com duas es- d) movendo-se verticalmente para baixo com movimento retar-
feras de tamanhos diferentes (veja figura), está oscilando preso a dado.
um eixo horizontal de massa desprezível fixo perpendicularmente e) com aceleração nula.
em uma parede vertical. Em um dado instante, quando o pêndulo
passa pela posição vertical, o eixo solta-se da parede, e o pêndulo 19. (MODELO ENEM) – Sete gansos idênticos
→
estão voando juntos
despenca em queda livre. Considere como sistema físico apenas para o sul com velocidade constante V relativa ao solo terrestre.
o haltere e despreze a resistência do ar. Com relação ao momento Um caçador atira e um deles morre, cai e fica
→
parado no solo. Os
em que o pêndulo despenca, antes de atingir o solo, e com outros mantém sua velocidade constante V.
fundamentos nos conceitos da Mecânica, assinale a(s) propo- O centro de massa dos sete gansos →
sição(ões) correta(s). a) continua movendo-se para o sul com a mesma velocidade V,
porém atrás dos gansos que estão voando.
6 →
b) continua movendo-se para o sul com velocidade ––– V.
7
1 →
c) continua movendo-se para o sul com velocidade ––– V.
7
d) para com a morte do ganso.
e) passa a mover-se numa direção diferente da original.
01) O pêndulo continua oscilando com o mesmo período que ti- 20. (UFJF-MG-MODELO ENEM) – Um casal de patinadores está so-
nha antes. bre uma plataforma horizontal estreita que pode oscilar em torno
02) O centro de massa do haltere cai verticalmente em relação ao do eixo que passa pelo ponto E (veja a figura). A massa dele é de
solo. 70 kg e a dela é de 62kg. A massa da plataforma é desprezível,
04) O centro de massa do haltere cai verticalmente com relação comparada com as massas de cada patinador. Eles estão
ao solo, descrevendo movimento de rotação com velocidade inicialmente parados e de mãos dadas no centro da plataforma e
angular constante em relação ao centro de massa da esfera o conjunto casal-plataforma está em equilíbrio sobre o eixo E da
maior. plataforma.
08) O centro de massa do haltere cai verticalmente com relação
ao solo, enquanto o haltere descreve movimento de rotação
em torno do centro de massa do sistema.
16) O centro de massa do haltere cai oscilando com relação ao
solo.
Dê como resposta a soma dos números associados às proposi-
ções corretas.
17. Considere três esferas, A, B e C, de massas respectivamente

iguais a M, 2M e 7M. As esferas A e B estão em queda livre
vertical com aceleração de módulo 10,0m/s2, e a esfera C está em
Eles se empurram mutuamente e se afastam um do outro,
repouso no solo.
deslizando com atrito desprezível sobre a plataforma. Então se
observa que
34
a) a plataforma se inclina para baixo, para o lado em que o homem Suponha que um desses mísseis seja lançado do porta-aviões
se desloca. USS Carl Vinson, situado no Golfo Pérsico, em direção a uma base
b) a plataforma se inclina para baixo, para o lado em que a mulher Talibã situada em Shidand, e descreva uma trajetória parabólica.
se desloca. Suponha também que esse míssil possua um sensor com o qual
c) a plataforma se inclina para baixo, para o lado daquele que tiver se pode explodi-lo no ar, de modo que ele se fragmente em
maior velocidade. pedacinhos pequenos, para evitar, por exemplo, que atinja
d) a plataforma se inclina para baixo, para o lado daquele que tiver
indevidamente a população civil. No caso de haver uma explosão
menor velocidade.
como essa, no ar, e com respeito ao movimento do centro de
e) a plataforma continua em equilíbrio durante o movimento dos
patinadores. massa dos fragmentos após a explosão, considere as seguintes
afirmativas, desprezando-se o efeito do ar:
21. (UFOP-MG-MODELO ENEM) – Um soldado lança uma granada I. O centro de massa dos fragmentos continua descrevendo
que explode ainda no ar. Desprezando-se os efeitos de resistência uma trajetória parabólica, porque a explosão representa
do ar, podemos dizer que a trajetória da granada antes de explodir somente o efeito das forças internas.
e a trajetória do centro de massa do sistema formado pelos II. A energia mecânica não é conservada, pois ela sofre um
estilhaços da granada após a explosão e antes de chegarem ao aumento, devido à conversão da energia química armazenada
solo são, respectivamente: em energia mecânica; mas a resultante das forças externas e
a) uma parábola e uma reta vertical. o movimento do centro de massa não se alteram.
b) um arco de circunferência e uma reta vertical. III. O centro de massa dos fragmentos não continua mais
c) uma mesma parábola em ambos os casos. descrevendo uma trajetória parabólica, pois a explosão fará
d) uma parábola e uma hipérbole. com que os fragmentos sigam trajetórias próprias.
e) duas parábolas distintas. Aponte a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa I é verdadeira.
22. (UEL-PR-MODELO ENEM) – Uma das armas utilizadas pelas for-
b) Somente a afirmativa II é verdadeira.
ças especiais dos Estados Unidos da América e da Inglaterra con-
c) Somente a afirmativa III é verdadeira.
tra as bases do Talibã são os mísseis Tomahawk. Esses mísseis
d) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
podem ser lançados de navios ou aviões. Dirigidos por satélite,
e) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
viajam a 880km/h, podendo alcançar alvos situados a 1600km.
8) C 3/4M . y1 + M/4 . 3R/2

R = –––––––––––––––––––––––
M
9) O centro de gravidade está localizado a 10cm do centro da
barra e mais perto do peso maior. 3 3
R = –––– y1 + –––– R
4 8
10) B 11) C
3 3
12) Para o disco completo, temos yCM = R –––– y1 = R – –––– R
4 8
3R
Para o disco retirado, temos y2 = ––––
2 3 5
–––– y1 = –––– R
4 8
A massa do disco completo vale M
A massa vai ser proporcional à área: 5
πR2 y1 = –––– R
R 2
m2 = k π ––– = k . –––– 6
2 4
Resposta: D
M 3
M = k π R2 ⇒ m2 = –––– e m1 = –––– M 13) A 14) 10m/s 15) C 16) 10 17) B
4 4
m1y1 + m2y2 18) B 19) B 20) E 21) C 22) D

yCM = ––––––––––––––
m 1 + m2
35
CAPÍTULO
Mecânica
3 COLISÃO
MECÂNICA
E m uma colisão unidimensional e elástica

entre esferas de massas iguais, haverá troca de
velocidades entre as esferas.
No caso do dispositivo, com as hipóteses descritas,
apenas a última bolinha vai movimentar-se,
permanecendo as demais em repouso.
1. Preliminares
Abordaremos, em nosso estudo, as colisões unidi- Na fase de restituição, desaparecem as deformações
mensionais, isto é, colisões em que as velocidades dos elásticas e a energia potencial elástica armazenada é re-
corpos que colidem são dirigidas segundo uma única di- transformada em energia cinética, podendo haver mais
reção, antes e após a colisão. produção de energia térmica e acústica. A fase de resti-
tuição somente termina quando os corpos se separam.
2. Fases da colisão A fase de deformação sempre existe, porém a fase de
restituição pode não existir.
A fase de deformação começa quando os corpos en- 3. Coeficiente de restituição

tram em contato e passam a se deformar mutuamente. Consideremos dois corpos, A e B, que vão realizar
Nesta fase, a velocidade relativa entre os corpos vai uma colisão unidimensional.
gradativamente diminuindo e a energia cinética do siste- Sejam:
ma pode transformar-se em várias modalidades de ener- Vap – módulo da velocidade relativa de aproximação
gia: entre A e B antes da colisão.
• Energia potencial elástica, que fica armazenada Vaf – módulo da velocidade relativa de afastamento
no sistema e ainda pode ser retransformada em cinética. entre A e B depois da colisão.
Esta energia corresponde ao trabalho desenvolvido nas Define-se coeficiente de restituição como um nú-
deformações elásticas. mero e dado por:
• Trabalho nas deformações plásticas ou permanen-
Vaf
tes. e = ––––
Vap
• Energia térmica, ligada ao aquecimento dos corpos.
• Energia sonora ou acústica, ligada ao “barulho” Observações
produzido por ocasião do impacto. 1) e é um adimensional que pode variar entre 0 e 1 e
A fase de deformação termina quando os corpos que pode ser expresso em porcentagem.
estão colidindo tiverem a mesma velocidade, isto é, 0⭐e⭐1
quando a velocidade relativa se anular. Em tais condi-
ções, a energia cinética do sistema terá o seu mínimo va- 2) Quando os corpos caminham no mesmo sentido, o
lor (podendo ser zero ou não) durante todo o transcorrer módulo da velocidade relativa é a diferença dos módulos
do choque e a energia potencial elástica será máxima. de suas velocidades.
36
3) Quando os corpos caminham em sentidos contrá-

rios, o módulo da velocidade relativa é a soma dos
módulos de suas velocidades.
4) Exemplos
→ → →
Qapós = Qdurante = Qantes
→ → → →
mA VA’ + mB VB’ = mA VA + mB VB
5. Colisão elástica (ou

perfeitamente elástica)
O coeficiente de restituição vale 1 (e = 1). Isto sig-
nifica que Vaf = Vap e, portanto, a energia cinética final
do sistema será igual à energia cinética inicial, isto é, te-
mos um sistema de forças conservativo.
Na fase de deformação, a energia cinética do sistema
transforma-se apenas em energia potencial elástica (só há
deformações elásticas), não havendo produção de ener-
gia térmica nem sonora nem deformações permanentes.
Na fase de restituição, toda a energia potencial elás-
4. Quantidade de movimento tica armazenada é retransformada em energia cinética.
Durante o breve intervalo de tempo em que se dá a Cumpre ressaltar que, durante a colisão, a energia
colisão mecânica, as forças internas, de ação e reação, cinética do sistema varia e o que permanece constante é
entre os corpos que colidem são muito intensas, de modo a energia mecânica total, que é a soma da energia ciné-
que eventuais forças externas ao sistema constituído tica com a energia potencial elástica.
pelos corpos em colisão se tornam desprezíveis. Não ha- A colisão perfeitamente elástica é uma colisão ideal
vendo, pois, interferência relevante de forças externas, que só é citada em modelos teóricos como o de um gás
consideramos o sistema dos dois corpos como isolado e, perfeito.
portanto, enunciamos: Quando a colisão não é elástica (0 ⭐ e < 1), ela é
chamada de inelástica ou anelástica.
Em qualquer tipo de colisão mecânica (sistema
isolado), há conservação da quantidade de mo-
vimento total do sistema constituído pelos dois
6. Colisão parcialmente elástica
corpos que colidem. (ou parcialmente inelástica)
O coeficiente de restituição está compreendido no
Cumpre salientar que, no ato da colisão, em virtude intervalo aberto entre 0 e 1:
da presença de forças internas de ação e reação, as quan-
tidades de movimento de cada um dos corpos variam e 0<e<1
apenas a quantidade de movimento total (soma vetorial
das duas) permanece constante: Durante a deformação mútua entre os corpos que co-
→ → → lidem, a energia cinética inicial é transformada parcial-
Qtotal = QA + QB mente em energia potencial elástica por meio de defor-
↓ ↓ ↓ mações elásticas; outra parte da energia cinética inicial é
constante varia varia transformada em energia térmica, provocando aque-
37
cimento dos corpos em colisão; outra parte é utilizada Se a quantidade de movimento total do sistema for-
como trabalho em deformações permanentes, e ainda mado pelos corpos que colidem não for nula, após a co-
outra parcela em energia sonora, correspondente ao lisão perfeitamente inelástica os corpos estarão gru-
barulho por ocasião do impacto. dados e em movimento.
A perda de energia mecânica nos revela que o sis-
tema de forças ligado a uma colisão parcialmente elástica
é dissipativo. → → colisão perfeitamente No final, corpos
Na fase de restituição, desaparecem as deformações Qtotal = 0 ←⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ em repouso
inelástica
elásticas e a energia potencial elástica armazenada é res-
tituída para a forma de energia cinética, podendo haver
mais produção de energia térmica e energia sonora. → → colisão perfeitamente No final, corpos
Qtotal ≠ 0 ←⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ grudados em
Do exposto, podemos concluir que: inelástica
movimento
Na colisão mecânica parcialmente elástica, a ener-
gia cinética final do sistema é menor do que a ener- O fato de não haver armazenamento de energia po-
gia cinética inicial. tencial elástica significa que:
Na colisão perfeitamente inelástica não existe a fase
Observemos que, nesta colisão parcialmente elástica,
de restituição.
existem as duas fases da colisão: deformação e restitui-
ção, porém com dissipação de energia mecânica e com
separação dos corpos após a colisão.
A quantidade de energia mecânica dissipada depende
do valor do coeficiente de restituição e:
e próximo de 1 ⇔ pouca dissipação
e próximo de 0 ⇔ muita dissipação
7. Colisão
perfeitamente inelástica Na colisão perfeitamente inelástica, há transformação de energia mecânica
(ou perfeitamente anelástica) em outras modalidades de energia.
O coeficiente de restituição é nulo (e = 0).

Isto significa que a velocidade de afastamento é nula,
8. Esquematização
isto é, os corpos não se separam, permanecendo juntos dos tipos de colisão
após a colisão.
Na fase de deformação, a energia cinética transfor-
ma-se, total ou parcialmente, exclusivamente em energia
térmica, energia acústica e trabalho de deformação
permanente.
Isto significa que não há armazenamento de energia
potencial elástica, advindo daí o nome de perfeitamente
inelástico (ou anelástico).
Notas
Se a quantidade de movimento total do sistema for-
mado pelos corpos que colidem for nula, após a colisão
perfeitamente inelástica os corpos ficam em repouso, o
que significa que toda a energia cinética do sistema foi
dissipada.
38
1. Duas partículas, A e B, realizam uma colisão unidimensional em m1 m1

um plano horizontal sem atrito, constituindo um sistema isolado. a) V2’ = 6,0m/s e —— =3 b) V2’ = 6,0m/s e —— =1
m2 m2
Representamos as velocidades escalares das partículas, em fun-
ção do tempo, a partir do instante t0 em que começa a colisão. m1 m1
c) V2’ = 4,0m/s e —— =1 d) V2’ = 4,0m/s e —— =3
m2 m2
m1
e) V2’ = 5,0m/s e —— =2
m2
Resolução
Pergunta-se:
a) Qual o valor do coeficiente de restituição e qual o tipo de coli-
são?
b) Qual a relação entre as massas de A e B?
Resolução 1) Sendo a colisão elástica, tem-se:
a) O coeficiente de restituição e é dado por:
e = 1 ⇔ Vaf = Vap
Vaf V’B – V’A
e = –––– = –––––––– V’2 – V’1 = V1 – V2
Vap VA – VB
Do gráfico dado, obtém-se: V’2 – 2,0 = 4,0 ⇒ V’2 = 6,0m/s

V’B = 5,0m/s: V’A = – 5,0m/s
2) Usando-se a conservação da quantidade de movimento total,
VA = 10,0m/s e VB = –10,0m/s do sistema isolado formado por A e B, obtém-se:
→ →
Portanto: Qapós = Qantes
→ → → →
5,0 – (–5,0) 10,0 m1 V’1 + m2 V’2 = m1 V1 + m2 V2
e = ———–——— = –—— ⇒ e = 0,50
10,0 – (–10,0) 20,0
Sendo a colisão unidimensional, tem-se:
Como 0 < e < 1, a colisão é parcialmente elástica.
m1V’1 + m2V’2 = m1V1 + m2V2
b) Usando-se a conservação da quantidade de movimento total
do sistema formado por A e B, tem-se: m1 . 2,0 + m2 . 6,0 = m1 . 4,0
→ →
Qapós = Qantes m1
→ → → → 6,0m2 = 2,0m1 ⇒ –––– =3
m2
mA V’A + mB V’B = mA VA + mB VB
Como a colisão é unidimensional, tem-se: Resposta: A
mAV’A + mBV’B = mAVA + mBVB 3. (FUVEST-MODELO ENEM) – Um vagão A, de massa 10t, move-
se com velocidade escalar igual a 0,40m/s sobre trilhos
mA(–5,0) + mB5,0 = mA10,0 + mB(–10,0) horizontais sem atrito até colidir com um outro vagão, B, de
massa 20t, inicialmente em repouso. Após a colisão, o vagão A
fica parado. A energia cinética final do vagão B vale:
15,0mB = 15,0mA ⇒ mB = m A
a) 100J b) 200J c) 400J d) 800J e) 1600J
Resolução
Respostas: a) e = 0,50: colisão parcialmente elástica
mB
b) –––– =1
mA
2. Uma partícula A de massa m1, movendo-se num plano horizontal

sem atrito, colide unidimensionalmente com outra partícula, B, de
massa m2, inicialmente em repouso nesse plano. A colisão é
elástica e as velocidades da partícula A, antes e depois do choque,
valem, respectivamente, 4,0m/s e 2,0m/s, sempre no mesmo
sentido.
O módulo V’2, da velocidade da partícula de massa m2, após a
colisão, e a razão m1/m2 entre as massas das duas partículas são
dados por:
39
No ato da colisão, o sistema é isolado e, portanto, haverá conser-

V0
vação da quantidade de movimento total do sistema: 2mVf = mV0 ⇒ Vf = ––––
2
Qfinal = Qinicial
Comparando-se as energias cinéticas:
mBV’B = mAVA
mV02
Antes da colisão: E0 = ——— (1)
2
20 . V’B = 10 . 0,40 ⇒ V’B = 0,20m/s
2m V0 2
A energia cinética final do vagão B é dada por:

Após a colisão: Ef = —— V2f = m
2 ( )
——
2
mV02
mB(V’B)2
20 . 103 Ef = ——— (2)
E’cin = ——––— = —–—–— (0,20)2(J) 4
B 2 2
E0
De (1) e (2), obtemos: Ef = ––––
E’cin = 4,0 .102J 2
B
Resposta: C
5. (FUVEST-MODELO ENEM) – Um caminhão, parado em um
4. (UNESP) – Um corpo em movimento colide com outro de igual semáforo, teve sua traseira atingida por um carro. Logo após o
massa, inicialmente em repouso. choque, ambos foram lançados juntos para frente (colisão
Mostre que, se a colisão for completamente inelástica, a energia perfeitamente inelástica), com uma velocidade de módulo
cinética do sistema (constituído pelos dois corpos) após a colisão estimado em 5 m/s (18 km/h), na mesma direção em que o carro
é a metade da energia cinética antes da colisão. vinha. Sabendo-se que a massa do caminhão era cerca de três
Resolução vezes a massa do carro, foi possível concluir que o carro, no mo-
mento da colisão, trafegava a uma velocidade escalar aproximada
de
a) 72 km/h b) 60 km/h c) 54 km/h
d) 36 km/h e) 18 km/h
Resolução
No ato da colisão, o carro e o caminhão formam um sistema
isolado e haverá conservação da quantidade de movimento total.
Qapós = Qantes
(M + m) Vf = mV0
(3m + m) 18 = m . V0
V0 = 4,0 . 18 (km/h)
Usando-se a conservação da quantidade de movimento total, V0 = 72km/h

tem-se:
Qfinal = Qinicial Resposta: A
6. (VUNESP) – Em experimentos com colisões entre feixes de Como as posições foram registradas iluminando-se a bola em
prótons, verifica-se que muitas dessas colisões são elásticas. intervalos de tempo iguais, pode-se concluir que
Nesses casos, após a colisão, a) o movimento é uniformemente variado.
a) os prótons passam a andar juntos, com velocidades iguais. b) a bola se move da direita para a esquerda.
b) o momento linear de cada próton não varia, só o total varia. c) houve conservação da energia mecânica.
c) conserva-se o momento linear, e há perda de energia cinética. d) o choque da bola com a parede foi elástico.
d) não há variação nas velocidades, como se não houvesse e) o atrito com o chão é menor do lado direito.
interação.
e) a energia cinética total final permanece a mesma de antes.
8. Um elétron colide com um átomo e após a colisão o átomo fica
7. (VUNESP) – A figura representa a fotografia estroboscópica de excitado, atingindo um estado de energia potencial interna maior.
uma bola rolando no chão plano, vista por cima. Esta colisão deve ser considerada como
a) perfeitamente elástica.
b) perfeitamente inelástica.
c) inelástica, porém não perfeitamente inelástica.
d) uma colisão em que não há conservação da quantidade de
movimento total do sistema átomo-elétron.
e) uma colisão em que não há conservação da energia total do
sistema átomo-elétron.
9. (UFPR) – A figura a seguir representa, esquematicamente, os

gráficos da velocidade escalar versus tempo em uma colisão
unidimensional de dois carrinhos, A e B.
40
12. (VUNESP) – Considere uma colisão frontal unidimensional entre

um átomo de hidrogênio (H) que se move com velocidade de mó-
dulo V e uma molécula de hidrogênio (H2), em repouso. Sabe-se
que após a colisão a molécula adquire velocidade de módulo V/3.
Sendo E1 e E2 as energias cinéticas do sistema antes e depois da
colisão, respectivamente, a relação E2/E1 vale
a) 1/4 b) 1/3 c) 1/2 d) 2/3 e) 3/4
13. (UFRN) – Para demonstrar a aplicação das leis de conservação de

energia e da quantidade de movimento, um professor realizou o
experimento ilustrado nas figuras 1 e 2, abaixo.
Supondo-se que não existam forças externas e que a massa do

carrinho A seja 0,20kg, pedem-se:
a) o coeficiente de restituição nesta colisão;
b) a massa do carrinho B.
Inicialmente, ele fez colidir um carrinho de massa igual a 1,0kg,
10. Dois carrinhos, A e B, realizam uma colisão unidimensional. O com velocidade de módulo 2,0m/s, com um outro de igual massa,
gráfico a seguir representa as velocidades escalares de A e B porém em repouso, conforme ilustrado na figura 1. No segundo
antes, durante e após a colisão. carrinho, existia uma cera adesiva de massa desprezível. Após a
colisão, os dois carrinhos se mantiveram unidos, deslocando-se
com velocidade de módulo igual a 1,0m/s, conforme ilustrado na
figura 2.
Considerando-se que o módulo da quantidade de movimento e a
energia cinética iniciais do sistema eram, respectivamente,
2,0 kg.m/s e 2,0J, pode-se afirmar que, após a colisão,
a) nem a quantidade de movimento do sistema nem sua energia
cinética foram conservadas.
b) tanto a quantidade de movimento do sistema quanto sua
energia cinética foram conservadas.
c) a quantidade de movimento do sistema foi conservada, porém
a sua energia cinética não foi conservada.
d) a quantidade de movimento do sistema não foi conservada,
porém a sua energia cinética foi conservada.
14. Uma flecha de massa 0,20 kg e com velocidade de módulo

Analise as proposições que se seguem: 10,0m/s atinge uma maçã de massa 0,30 kg que estava em cima
1) A colisão é elástica. da cabeça de uma garota.
2) A razão entre as massas de A e B (mA/mB) vale 0,6. A flecha fica incrustada na maçã e, imediatamente após a colisão,
3) No instante t = 2,0 . 10–2s, as velocidades de A e B são iguais o sistema flecha-maçã adquire uma velocidade com módulo V.
e valem 0,5m/s. Seja E a energia mecânica dissipada na colisão entre a flecha e a
4) No instante t = 2,0 . 10–2s, a energia cinética do sistema maçã. Despreze forças externas no ato da colisão.
formado pelos dois carrinhos é mínima.
Estão corretas:
a) apenas (1) e (2) b) apenas (3) e (4)
c) apenas (2), (3) e (4) d) apenas (1) e (3)
e) (1), (2), (3) e (4)
11. (UFPB-PB) – O gráfico mostra a variação das velocidades esca-

lares com o tempo de dois blocos que colidem unidimensional-
mente, em unidades arbitrárias.
Os valores de V e E são dados por:
a) V = 10,0m/s E = 6,0J b) V = 4,0m/s E = 4,0J
c) V = 6,0m/s E = 4,0J d) V = 4,0m/s E = 6,0J
e) V = 4,0m/s E = 10,0J
15. (UFRJ) – Em um parque de diversões, dois carrinhos elétricos

idênticos, de massas iguais a 150kg, colidem frontalmente. As
velocidades dos carrinhos imediatamente antes do choque têm
módulos 5,0m/s e 3,0m/s e sentidos opostos.
Calcule a máxima perda de energia cinética possível do sistema,
Nesse contexto, é correto afirmar: durante a colisão.
a) A colisão é perfeitamente elástica.
b) A colisão é perfeitamente inelástica.
c) Os blocos movimentam-se sempre no mesmo sentido.
d) A relação entre as massas é mB = 3mA.
e) A relação entre as massas é mB = mA.
41
16. (UFF-RJ) – Dois carrinhos podem deslizar sem atrito sobre um c) a variação da energia mecânica do sistema durante a colisão;
trilho de ar horizontal. A colisão entre eles foi registrada, utilizan- d) a altura do ponto A (h1) para que os blocos cheguem ao ponto
do sensores de movimento, e as respectivas velocidades, durante C.
o processo, estão ilustradas no gráfico. O carrinho de massa m2
estava inicialmente em repouso. 19. (UECE-MODELO ENEM) – Um grupo de alunos, no laboratório de
Física, afirma que observaram uma colisão perfeitamente elástica
entre duas esferas metálicas bem polidas, em uma superfície
horizontal, que resultou nas duas esferas terminarem em repou-
so. Nenhuma força externa horizontal estava agindo nas esferas
no instante da colisão. Sobre o fato, assinale o correto.
a) As velocidades escalares iniciais das duas esferas eram iguais
e suas massas eram idênticas.
b) As velocidades escalares iniciais das duas esferas eram
diferentes e suas massas eram, também, diferentes.
c) As velocidades escalares iniciais das duas esferas eram iguais,
mas suas massas não necessariamente eram idênticas.
d) A colisão não pode ter ocorrido como afirmado pelo grupo.
e) As esferas têm massas diferentes.
20. (UEPA-MODELO ENEM) – A experiência pioneira de Rutherford,

que observou colisões de partículas alfa com núcleos de ouro,
serviu de base para a elaboração de seu modelo do átomo.
Considere que nesta colisão, a qual é elástica, a partícula alfa tinha
uma velocidade alta, e o núcleo de ouro, que tem uma massa
muito maior, estava inicialmente em repouso. Analise as
seguintes afirmativas sobre esta colisão:
I. Se a partícula foi rebatida pelo núcleo com velocidade de mó-
dulo igual ao inicial, ela perde sua energia cinética, ficando
apenas com energia potencial.
Assinale a opção que identifica corretamente as relações entre as II. A energia mecânica total é constante durante as colisões
massas m1 e m2 dos dois carrinhos e entre as energias cinéticas descritas.
totais do sistema antes (Eca) e depois (Ecd) da colisão. III. A energia cinética adquirida pelo núcleo de ouro é igual à que
foi perdida pela partícula durante a colisão.
a) m2 = 2m1/3; Ecd = Eac / 2 b) m2 = m1/2; Ecd = 2Eac / 3
De acordo com as afirmativas acima, a alternativa correta é:
c) m2 = m1; Ecd = Eca d) m2 = m1/3; Ecd = Eac / 3 a) I, apenas b) III, apenas c) I e II, apenas
e) m2 = 2m1; Ecd = Eac / 3 d) II e III, apenas e) I, II e III
17. (UFMG) – Em julho de 1994, um grande cometa denominado 21. (UNESP-MODELO ENEM) – Suponha que, em uma partida de
Shoemaker-Levi 9 atingiu Júpiter, em uma colisão frontal e perfei- futebol americano os dois jogadores que aparecem em primeiro
tamente inelástica. plano na figura sofram uma colisão perfeitamente inelástica
De uma nave no espaço, em repouso em relação ao planeta, frontal, com velocidades de mesmo módulo e direção em relação
observou-se que a velocidade do cometa tinha módulo de ao solo.
6,0 . 104m/s antes da colisão.
Considere que a massa do cometa é 3,0 . 1014kg e que a massa
de Júpiter é 1,8 . 1027kg.
Com base nessas informações, calcule
a) o módulo da velocidade, em relação à nave, com que Júpiter
se deslocou no espaço, após a colisão;
b) a energia mecânica total dissipada na colisão do cometa com
Júpiter.
18. (UFU-MG) – Um bloco de massa m1 = 2,0 kg é solto do alto de

um trilho no ponto A a partir do repouso. Desliza ao longo do
trilho, suposto sem atrito, e se choca com outro bloco de massa
m2 = 1,0 kg que inicialmente está em repouso no ponto B, a
uma altura do solo h2 = 5,0 m, na extremidade horizontal direita
do trilho.
Ocorre uma colisão perfeitamente inelástica; os blocos se grudam
e se deslocam juntos até o ponto C, distante 4,0 m (na horizontal)
de B.
Nesse caso, desprezando-se o efeito do atrito de seus pés com o

solo, pode-se concluir que,
a) em caso de massas iguais, os jogadores ficarão parados no
ponto da colisão.
b) independentemente do valor de suas massas, os dois
jogadores ficarão parados no ponto de colisão.
Considerando-se a aceleração gravitacional com módulo c) como o jogador da direita tem maior massa, eles irão deslocar-
g = 10,0 m/s2 e desprezando-se o efeito do ar, determine se para a direita.
a) o módulo da velocidade dos blocos imediatamente após a d) não importa quais as massas dos jogadores, ambos irão recuar
colisão; após a colisão.
b) o módulo da velocidade com a qual o bloco de massa m1 e) em função de suas massas, o jogador que tiver a maior massa
chega para colidir com o bloco de massa m2; recuará.
42
22. (MODELO ENEM) – Considere um planeta com velocidade orbital de módulo

10,0 km/s. Uma nave espacial vai usar a atração gravitacional do planeta como
um estilingue gravitacional para aumentar sua velocidade. A nave se aproxima
do planeta com velocidade de módulo V0 = 12,0 km/s e, após a interação
gravitacional retorna com velocidade de módulo V.
Considerando-se a interação como uma colisão elástica, o valor de V é:
a) 12,0 km/s b) 22,0 km/s
c) 30,0 km/s d) 32,0 km/s
e) 40,0 km/s
9. Colisão elástica unidimensional t1 = início da colisão

entre corpos de massas iguais t2 = fim da deformação
Demonstremos que os corpos trocam de velocidades t3 = fim da colisão
com a colisão, isto é, V’ = VA e V’ = VB.
B A
(1) Usando-se a conservação da quantidade de mo-

vimento total:
Qfinal = Qinicial
mV’A + mV’B = mVA + mVB

Na colisão elástica e frontal entre esferas de massas iguais, há troca de velo-
V’A + V’B = VA + VB (1) cidades.
(2) Usando-se a condição de colisão elástica:

Vafastamento = Vaproximação
V’B – V’A = VA – VB (2)
Fazendo-se (1) + (2):
2V’B = 2VA ⇒ V’B = VA
Em (1) ⇒ V’A = VB
Em uma colisão unidimensional, elástica, entre Nos esquemas, a colisão é suposta elástica e todas as esferas têm massas iguais.
corpos de massas iguais, há troca de velocidades Com a chegada de uma esfera na esquerda, apenas uma esfera se move para
a direita, permanecendo as demais em repouso.
entre os corpos. Com a chegada de duas esferas na esquerda, apenas duas esferas se movem
para a direita, permanecendo as demais em repouso.
43
10. Colisão de uma partícula a) Se a colisão for parcialmente elástica, temos:

contra um anteparo rígido 0<h<H
em posição horizontal b) Se a colisão for perfeitamente elástica, temos:
Uma partícula de massa m, abandonada do repouso, h=H
de uma altura H, acima do anteparo horizontal, cai livre- c) Se a colisão for perfeitamente inelástica, temos:
mente (não se considera o efeito do ar) e, após a colisão, h=0
atinge uma altura máxima h. A altura máxima atingida após n colisões sucessivas
Calculemos o coeficiente de restituição nesta coli- é dada por:
são, em função de h e H.
1.a colisão: h1 = e2H
2.a colisão: h2 = e2h1 = e4H
3.a colisão: h3 = e2h2 = e6H
.
.
.
enésima colisão: hn = e2nH
11. Pêndulo balístico

O pêndulo balístico é constituído por um bloco de
massa M, suspenso por uma haste de peso desprezível e
podendo girar livremente, sem atrito, em torno de um
Usando-se a conservação da energia mecânica ponto fixo O.
durante a queda livre e antes da colisão, temos, assumin-
do o anteparo como referência (Epot = 0):
mV 2
B
EB = EA ⇒ –––––– = m g H
2
VB =
2gH
O pêndulo balístico é usado para medir o módulo V1
da velocidade de impacto de um projétil, de massa m e
Usando-se a conservação da energia mecânica que vai encravar-se no bloco.
→
durante a subida, após a colisão, temos: Chamemos de V2 a velocidade do bloco, contendo
em seu interior o projétil, imediatamente após o impacto.
m(V’B )2
E’B = EC ⇒ –––––––– = m g h Usando-se a conservação da quantidade de movimento
2 total do sistema, imediatamente antes e imediatamente
após a colisão, podemos relacionar V1 e V2:
V’B =
2gh → →
Qdepois = Qantes
→ →
Usando-se a definição de coeficiente de restitui- (M + m) V2 = m V1
ção na colisão entre a partícula e o anteparo, temos: mV1
Da qual: V2 = –––––––– (1)
Vaf V’B
2 gh M+m
e = ––––– = ––––– = ––––––––
Vap VB
2 g
H Desprezando-se a resistência do ar, após a colisão, a
energia mecânica do sistema bloco + projétil permanece
constante e, durante a subida do bloco, a energia cinética
h vai-se transformar integralmente em energia potencial de

e= –––
H gravidade.
44
Chamando de h a elevação máxima do centro de Demonstremos que, após a colisão, as partículas se

massa do sistema, temos: movem em direções perpendiculares (␪ = 90°).
(M + m)
–––––––– V2 = (M + m) g h
2 2
A igualdade anterior traduz a transformação integral

da energia cinética, imediatamente após a colisão, em
energia potencial de gravidade.
Segue-se que: V2 =

2 g
h (2)
Comparando-se (1) e (2), obtém-se:
mV1
––––––– =
2 g
h
M+m
Usando-se a conservação da quantidade de mo-
vimento, no ato da colisão, tem-se:
M+m
Portanto: V1 = –––––––
2 g
h
m
Se quisermos obter uma relação entre a energia ciné-

tica imediatamente após a colisão e a energia cinética ime-
diatamente antes da colisão, procedemos como se segue:
(M + m) M+m
Ecin = ––––––––– V 2 = ––––––– . 2 g h
2 2 2 2
(I)

. Q
→ 2 → 2 → →
’ . + . Q’ . + 2. Q ’ . . Q’ . cos ␪ = . Q .
A B A B
→
i
(mVA’ )2 + (mVB’ )2 + 2mVA’ mVB’ cos ␪ = (mVA)2

2
–––––––
m m M+m
Ecin = ––– V 2 = ––– . 2gh (II) VA’2 + VB’2 + 2 VA’ VB’ cos ␪ = VA2 (1)
1 2 1 2 m
Usando-se a conservação da energia mecânica,

(I) Ecin M+m m 2
Fazendo-se –––– : –––––
(II) Ecin
2
= ––––––– –––––––
m M+m
no ato da colisão, obtém-se:
1
Ecin = Ecin
f i
Ecin m
2
–––––– = –––––––– mVA’2 mVB’2 mVA2
Ecin M+m –––––– + –––––– = ––––––
1 2 2 2
VA’2 + VB’2 = VA2 (2)

12. Colisão oblíqua
No caso de colisão oblíqua, isto é, colisão em duas Comparando-se (1) e (2), resulta:
dimensões, a conservação da quantidade de movimento
2VA’ VB’ cos ␪ = 0
deve ser feita por meio de composição vetorial.
A título de exemplo, consideremos o estudo de uma
Como VA’ e VB’ são diferentes de zero, temos:
colisão oblíqua, perfeitamente elástica, entre duas partí-
culas de massas iguais, estando uma delas inicialmente cos ␪ = 0 e ␪ = 90°
parada.
45
23. (FEI) – Uma esfera A, percorrendo um plano horizontal liso com 24. Duas partículas, A e B, realizam uma colisão unidimensional e per-
velocidade escalar V, choca-se com outra esfera idêntica, B, que feitamente elástica.
se encontra inicialmente em repouso sobre esse plano. O choque Antes da colisão, a partícula A tem velocidade de módulo V0 e B
é unidimensional, e, após a ocorrência dele, as esferas têm velo- está em repouso.
cidades escalares VA e VB, respectivamente. Sendo M e m as massas de A e B, respectivamente, responda
Obter os valores de VA e VB em função do valor do coeficiente de aos quesitos que se seguem.
restituição e e de V. a) Calcule as velocidades escalares de A e B após a colisão.
Resolução b) Discuta o sentido do movimento de A após a colisão.
c) Discuta a limitação da velocidade adquirida por B após a
colisão.
Resolução
(1) Usando-se a conservação da quantidade de movimento total:

mVA + mVB = mV
VA + V B = V (1) a) Para obter as incógnitas VA’ e VB’ , precisamos construir duas

equações:
(2) Usando-se a definição de coeficiente de restituição: (1) Pela conservação da quantidade de movimento do siste-
Vaf = e Vap ma, temos:
Qf = Qi
VB – VA = e V (2)
MVA’ + mVB’ = MV0 + m . 0

Fazendo-se (1) + (2):
V (1 + e) MVA’ + mVB’ = MV0 (1)
2VB = V (1 + e) ⇒ VB = –––––––––
2
(2) Sendo a colisão perfeitamente elástica, o coeficiente de
Substituindo-se em (1): restituição vale 1 e as velocidades de aproximação e de
afastamento serão iguais:
V (1 + e)
VA + ———— = V
2 Vaf = Vap
V(1 + e)
VA = V – ———— = V 1 – ————
2 2[
(1 + e)
] VB’ – VA’ = V0 (2)
V (1 – e)
VA = ––––––––– Resolvamos o sistema de equações (1) e (2):
2
De (2): VB’ = VA’ + V0
Para e = 1 (colisão elástica), a velocidade escalar de B é máxima
e a de A é mínima: Em (1): MVA’ + m(VA’ + V0) = MV0
V (1 + e ) V(1+1)
VB = ————— = ————— = V Portanto: MVA’ + mVA’ + mV0 = MV0
máx 2 2
V (1 – e) VA’ (M + m) = V0(M – m)
VA = ————— = 0
mín 2
Para e = 0 (colisão perfeitamente inelástica), a velocidade escalar

de B é mínima e a de A é máxima.
(
M–m
VA’ = ––––––––– V0
M+m )
V
VA = VB =—
máx mín 2 Substituindo-se o valor de VA’ em (2), obteremos VB’ :
Portanto, para qualquer valor de e, temos:
V
0 ⭐ VA ⭐ —
M+m(
M–m
VB’ – —––—— ) V0 = V0
2
V
— ⭐ VB ⭐ V
2
VB’ = V0 ( M–m
1 + ————
M+m )
V(1 – e) V(1 + e)
Respostas: VA = ––––––––– e VB = ––––––––
2 2
VB’ = V0 ( M+m+M–m
————————
M+m )
46
2M (2) Vafastamento = Vaproximação

VB’ = –––––––– V0
M+m
VB’ – VA’ = VA – VB
b) Retomemos o valor de VA’ :
VB’ – VA’ = 5,0 (2)
(
M–m
VA’ = —––——
M+m ) V0 Fazendo-se (1) + (2), obtém-se:
(1) Se M > m, resulta VA’ > 0, o que significa que, após a co- 4,0VB’ = 30,0 ⇒ VB’ = 7,5m/s
lisão, A continua caminhando para frente, isto é, no mes-
mo sentido de movimento de antes da colisão. Em (2), tem-se:
(2) Se M < m, resulta VA’ < 0, o que significa que, após a co- 7,5 – VA’ = 5,0 ⇒ VA’ = 2,5m/s
lisão, A caminha para trás, isto é, inverte o sentido de mo-
vimento de antes da colisão.
Respostas: VA’ = 2,5m/s e VB’ = 7,5m/s
(3) Se M = m, resulta VA’ = 0, o que significa que, após a co-
lisão, A permanece em repouso.
26. Considere um pêndulo constituído por um fio ideal de comprimen-
c) Retomemos VB’ : to L, fixo em O, e tendo em sua outra extremidade uma esferinha
2M de massa m.
VB’ = ———— . V0
M+m Inicialmente o pêndulo está em repouso, na posição vertical.
Um segundo pêndulo, idêntico ao primeiro, é fixo em um ponto
Podemos escrever: O’, vizinho de O, e abandonado da posição horizontal.
VB’ M
——— = ————
2V0 M+m
Como M < M + m, resulta VB’ < 2V0
Portanto, a velocidade de B, após a colisão, terá módulo neces-

sariamente menor do que o dobro do módulo da velocidade inicial
V0 de A.
25. Duas partículas, A e B, realizam uma colisão unidimensional e

perfeitamente elástica.
As partículas têm massas respectivamente iguais a mA = 1,0kg e
mB = 3,0kg e suas velocidades têm módulos e sentidos indicados
na figura.
Desprezando-se o efeito do ar e sendo a colisão perfeitamente
inelástica, a altura máxima atingida pelas bolinhas, após a colisão,
medida a partir da posição mais baixa, é igual a:
L L L L
a) L b) — c) — d) — e) —
2 3 4 8
A colisão se processa num plano horizontal e inexistem atritos.
Obter as velocidades escalares após a colisão. Resolução
Resolução
Sejam VA’ e VB’ as velocidades escalares após a colisão.
Admitamos, para montagem de equações, que os movimentos
de A e B, após a colisão, tenham o mesmo sentido da orientação
da trajetória, isto é, ambos os movimentos supostos progressi-
vos.
Como existem no problema duas incógnitas, VA’ e VB’ , é necessá-

rio estabelecermos duas equações.
A equação (1) resultará da conservação da quantidade de movi-
mento do sistema, propriedade que vale para qualquer tipo de co- 1) Usando-se a conservação da energia mecânica para a esfera
lisão. do 2.o pêndulo, durante a descida de A para B, tem-se:
A equação (2) resultará do fato de a colisão ser perfeitamente
elástica, o que significa que o coeficiente de restituição vale 1.
EB = EA
(1) Qfinal = Qinicial
mAVA’ + mBVB’ = mAVA + mBVB mVB2

———
2
= mgL ⇒ VB =
2
gL
1,0VA’ + 3,0VB’ = 1,0 . 10,0 + 3,0 . 5,0
2) Na colisão perfeitamente inelástica entre as esferas pendu-
1,0VA’ + 3,0VB’ = 25,0 (1) lares, haverá conservação da quantidade de movimento total:
47
Qapós = Qantes D1 = 25 . 0,8 . 1,5 (m) ⇒ D1 = 30m
2mVB’ = mVB 3) No ato da colisão, há conservação da quantidade de movi-

mento do sistema:
VB
2gL Qapós = Qantes
V ’ = –––– = ––––––––
B 2 2 (M + m) V1 = M V0x
(60 + 40) V1 = 60 . 20
3) Após a colisão, durante a subida das bolinhas grudadas, a
energia mecânica se conserva:
V1 = 12m/s
4) Distância horizontal percorrida na queda:

⌬sx = V1 t (MU)
D2 = 12 . 1,5 (m)
D2 = 18m
5) Cálculo do alcance:
A = D1 + D2 = 30m + 18m
A = 48m
EC = EB
Resposta: C
2m
2mgh = —— (VB’ )2 28. (UNESP-MODELO ENEM) – Em um jogo de bilhar, o jogador deseja
2
colocar a bola preta numa caçapa de canto da mesa. Conforme
( )
1 2gL 2 indica a figura, o jogador joga a bola branca em direção à preta, de
gh = — —––—— modo que a bola preta sofra uma deflexão de 30° em relação a essa
2 2
direção, para atingir a caçapa.
1 2gL L
gh = — ——— ⇒ h = –––
2 4 4
Resposta: D
27. (AFA-MODELO ENEM) – Num circo, um homem-bala, de massa

60kg, é disparado por um canhão com velocidade de módulo
25m/s, sob um ângulo de 37° com a horizontal. Sua parceira, cuja
massa é 40kg, está numa plataforma localizada no topo da
trajetória. Ao passar pela plataforma, o homem-bala e a parceira
se reúnem e vão cair numa rede de segurança, na mesma altura
que o canhão. Veja a figura abaixo. Considerando-se que as duas bolas possuem tamanhos e massas
iguais, que o atrito é desprezível e que a colisão entre as bolas é
elástica, o ângulo de deflexão, ␪, sofrido pela bola branca é
a) 30° b) 45° c) 55° d) 60° e) 75°
Resolução
Desprezando-se a resistência do ar e considerando-se sen 37° = 0,6,

1) Sendo a colisão elástica, temos:
cos 37° = 0,8 e g = 10m/s2, pode-se afirmar que o alcance A atingido
pelo homem é
a) 60m b) 36m c) 48m d) 24m e) 12m mV12 mV22 mV02
–––––– + –––––– = ––––––
Resolução 2 2 2
1) Cálculo do tempo de subida:
Vy = V0y + ␥y t (MUV)
0 = 25 . 0,6 – 10 ts V12 + V22 = V02 (1)
ts = 1,5s
2) No ato da colisão, o sistema é isolado e haverá conservação da

2) Distância horizontal percorrida durante a subida:
quantidade de movimento total.
D1 = V0x . ts
48
Substituindo-se (1) em (2), vem:
V02 + 2V1 V2 cos ␣ = V02
2V1 V2 cos ␣ = 0
Como V1V2 ≠ 0, vem cos ␣ = 0 e ␣ = 90°
Sendo ␣ = ␪ + 30°, vem:

2 2 2 2
Qfinal = Q1 + Q2 + 2Q1 Q2 cos ␣ = Q0 90° = ␪ + 30°
2 2 2
m2V1 + m 2V 2 + 2mV1 m V2 cos ␣ = m2V0
␪ = 60°
V12 + V22 + 2V1 V2 cos ␣ = V02 (2)
Resposta: D
29. (UFF-RJ) – Considere duas esferas idênticas, E1 e E2. A esfera E1 Sabendo-se que até o instante t = 3,0s houve apenas uma colisão
desliza sobre uma calha horizontal, praticamente sem atrito, com entre A e B, desprezando-se o intervalo de tempo de contato
velocidade V. Em dado instante, choca-se elasticamente com a entre as esferas durante o choque e adotando-se π = 3, determine
esfera E2, que se encontra em repouso no ponto X, conforme a) a velocidade angular ␻A, em rad/s, com que se movia a esfera
ilustra a figura. A colisão é unidimensional. A antes de colidir com B;
b) a velocidade escalar VB, em m/s, da esfera B, na situação da
figura II.
31. (UNICAMP-SP) – Uma esferazinha A de massa m está presa a

um pino 0 por um fio leve e inextensível e tangencia um plano
horizontal liso. Uma segunda esferazinha, B, de mesma massa
m e deslocando-se com velocidade escalar V0 = 1,0 m/s, vai cho-
Com respeito ao movimento das esferas, imediatamente após o car-se unidimensionalmente com a primeira em repouso. Admita
choque, pode-se afirmar: que todas as possíveis colisões neste evento são perfeitamente
a) As duas esferas se movimentarão para a direita, ambas com elásticas e unidimensionais.
velocidade V/2.
b) A esfera E1 ficará em repouso e a esfera E2 se moverá com
velocidade V para a direita.
c) As duas esferas se movimentarão em sentidos contrários,
ambas com velocidades de módulo V/2.
d) As duas esferas se movimentarão para a direita, ambas com
velocidade V.
e) A esfera E1 se movimentará para a esquerda com velocidade
de módulo V e a esfera E2 permanecerá em repouso.
30. (VUNESP-FMJ) – A figura representa a vista de cima, em dois a) Quantas colisões haverá entre as duas esferazinhas?
instantes diferentes, de duas esferas, A e B, de massas iguais, b) Quais serão as velocidades escalares das esferazinhas ao final
presas a duas hastes rígidas de massas desprezíveis, apoiadas deste evento?
numa superfície plana, horizontal e perfeitamente lisa. As hastes
têm comprimentos 0,6m e são presas num pino fixo no ponto O, 32. (FUVEST) – Em uma canaleta circular, plana e horizontal, podem
podendo girar livres de qualquer resistência. A partir do instante deslizar duas pequenas bolas, A e B, com massas MA = 3 MB, que
t = 0, A é colocada para girar no sentido anti-horário com →
são lançadas uma contra a outra, com igual velocidade V0, a partir
velocidade angular constante ␻A, e colide de forma perfeitamente das posições indicadas. Após o primeiro choque entre elas (em 1),
elástica com B, que estava parada na posição indicada na figura I. que não é elástico, as duas passam a movimentar-se no sentido
Devido à colisão, B sai do repouso e três segundos depois da →
horário, sendo que a bola B mantém o módulo de sua velocidade V0.
partida de A, a situação é a representada na figura II, com B se
movendo com velocidade de módulo constante VB.
Pode-se concluir que o próximo choque entre elas ocorrerá nas

vizinhanças da posição
a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
49
33. Num trilho reto, horizontal e fixo no laboratório, um carrinho de conservação da energia cinética, a velocidade de afastamento das
massa m1, movendo-se com uma velocidade de módulo igual a partículas é igual à velocidade de aproximação. Qual é a massa m,
4,0m/s, colide frontal e elasticamente com outro carrinho, de em unidades de massa atômica, encontrada para o nêutron no
massa m2, que se movia com uma velocidade de módulo igual a experimento?
2,0m/s na mesma direção, mas em sentido contrário ao do
primeiro.
38. (UNESP) – Em recente investigação, verificou-se que uma peque-
na gota de água possui propriedades elásticas, como se fosse
uma partícula sólida. Em uma experiência, abandona-se uma gota
de uma altura h0, com uma pequena velocidade horizontal. Sua
trajetória é apresentada na figura.
Após o choque, o carrinho de massa m1 fica parado no trilho.

Sendo desprezíveis os atritos e a resistência do ar, a relação
m1/m2 entre as massas dos dois carrinhos é a seguinte:
a) m1/m2 = 0,25 b) m1/m2 = 0,50
c) m1/m2 = 1,0 d) m1/m2 = 2,0
e) m1/m2 = 4,0
34. Considere duas partículas, A e B, que realizam uma colisão unidi-

mensional e perfeitamente elástica. A massa de B é o dobro da
massa de A e antes da colisão as partículas se movem em
sentidos opostos e com os módulos de velocidade indicados na
figura.
Na interação com o solo, a gota não se desmancha e o coeficiente
de restituição, definido como f, é dado pela razão entre as
componentes verticais das velocidades de saída e de chegada da
gota em uma colisão com o solo. Calcule a altura h atingida pela
gota após a sua terceira colisão com o solo, em termos de h0 e do
As velocidades escalares de A e B, após a colisão, são respec- coeficiente f. Considere que a componente horizontal da
tivamente iguais a: velocidade permaneça constante e não interfira no resultado.
a) – 2,0m/s e 1,0m/s; b) – 1,0m/s e 2,0m/s;
c) – 2,0m/s e 2,0m/s; d) – 1,0m/s e 1,0m/s; 39. O dispositivo a seguir é chamado de pêndulo balístico. O fio é ideal
e) 1,0m/s e 1,0m/s. e a esfera pendular tem massa de 2,0kg. Um projétil de massa
2,0 .10–2kg, animado de velocidade de módulo V0, realiza uma
colisão perfeitamente inelástica com a esfera pendular que estava
35. (PUCCAMP-SP) – Sobre o eixo x, ocorre uma colisão unidimen- inicialmente em repouso. Após a colisão, o sistema esfera-projétil
sional e elástica entre os corpos A e B, de massas mA = 4,0kg e se eleva de 20cm. Não se considera o efeito do ar e adota-se
mB = 2,0kg. O corpo A movia-se para a direita a 2,0m/s, enquanto g = 10m/s2.
B movia-se para a esquerda a 10,0m/s. Imediatamente após a coli- Calcule
são, a) o módulo da velocidade do sistema esfera-projétil, imedia-
a) B se moverá para a direita, a 12,0m/s. tamente após a colisão;
b) B se moverá para a esquerda, a 8,0m/s. b) o valor de V0.
c) A e B se moverão juntos, a 2,0m/s.
NOTA: Dar as respostas com dois algarismos significativos.
d) A se moverá para a esquerda, a 6,0m/s.
e) A se moverá para a esquerda, a 12,0m/s.
36. (ESCOLA NAVAL) – Uma partícula A, de massa mA, colide com

uma partícula B, de massa mB, inicialmente em repouso. Sabe-se
que
1) a colisão é unidimensional;
2) o coeficiente de restituição, na colisão, vale 0,80;
3) mB = 2mA;
4) a velocidade escalar da partícula A, imediatamente antes da
colisão, é 10,0m/s.
Calcule as velocidades escalares de A e B imediatamente após a 40. (VUNESP) – Durante uma experiência de Física, um grupo de
colisão. alunos dispunha de um conjunto de 4 esferas idênticas,
penduradas por fios muito leves, idênticos, pendentes de um teto
comum. No relatório, foram apresentados desenhos que
37. (UNICAMP-SP) – A Física de Partículas nasceu com a descoberta reproduziam as condições inicial e final observadas. A condição
do elétron, em 1897. Em seguida, foram descobertos o próton, o inicial é representada pela seguinte figura:
nêutron e várias outras partículas, entre elas o píon, em 1947,
com a participação do brasileiro César Lattes.
Num experimento similar ao que levou à descoberta do nêutron,
em 1932, um nêutron de massa m desconhecida e velocidade
de módulo V0 = 4,0 . 107m/s colide frontalmente com um átomo
de nitrogênio de massa M = 14 u (unidade de massa atômica) que
se encontra em repouso. Após a colisão, o nêutron retorna com
velocidade de módulo V’ e o átomo de nitrogênio adquire uma Desconhecendo-se o material do qual as esferas são constituídas,
velocidade de módulo V = 5,0 . 106m/s. Em consequência da a condição final poderia ser representada por
50
43. (FUVEST-SP) – Considere uma bolinha, de pequeno raio,

abandonada de uma certa altura, no instante t = 0, a partir do
repouso, acima de uma pesada placa metálica horizontal. A
bolinha atinge a placa, pela primeira vez, com velocidade de
módulo V = 10 m/s, perde parte de sua energia cinética, volta a
subir verticalmente e sofre sucessivos choques com a placa. O
módulo da velocidade logo após cada choque vale 80% do
módulo da velocidade imediatamente antes do choque
(coeficiente de restituição = 0,80). A aceleração da gravidade no
local tem módulo g = 10m/s2. Suponha que o movimento ocorra
no vácuo.
a) Determine o módulo V3 da velocidade da bolinha logo após o
terceiro choque.
Está correto o contido em b) Construa, na figura da folha de respostas, o gráfico da
a) I e IV, apenas. b) II e III, apenas. c) III, apenas. velocidade escalar da bolinha em função do tempo, desde o
d) III e IV, apenas. e) I, II, III e IV. instante t = 0, em que ela é abandonada, até o terceiro choque
com a placa.
Considere positivas as velocidades com sentido para cima e
41. Duas esferas idênticas, A e B, realizam uma colisão oblíqua em negativas, as para baixo.
um plano horizontal sem atrito. c) Analisando atentamente o gráfico construído, estime o
Antes da colisão, a esfera A tinha velocidade com módulo V0 e a instante T, a partir do qual a bolinha pode ser considerada em
esfera B estava
→
em→
repouso. Após a colisão, as esferas A e B têm repouso sobre a placa.
velocidades VAe VB perpendiculares entre si.
Não considere rotação das esferas.
44. (FUVEST-SP) – Duas pequenas esferas iguais, A e B, de mesma

massa, estão em repouso em uma superfície horizontal, como
a) Demonstre que a colisão é elástica. representado no esquema abaixo. Num instante t = 0, a esfera A
→ →
b) Obtenha os módulos de VA e VB em função de V0. é lançada, com velocidade de módulo V0 = 2,0m/s, contra a
esfera B, fazendo com que B suba a rampa à frente, atingindo sua
altura máxima, H, em t = 2,0s. Ao descer, a esfera B volta a colidir
42. Na figura, representamos uma esferinha de massa m = 1,0kg, com A, que bate na parede e, em seguida, colide novamente com
assimilável a um ponto material, que se move livremente em um B. Assim, as duas esferas passam a fazer um movimento de vai
plano horizontal com velocidade constante de módulo V0 = 4,0m/s. e vem, que se repete.
Sobre o plano horizontal, temos um bloco com forma de uma
plataforma, com o perfil indicado na figura, de massa M = 4,0kg,
que está inicialmente em repouso e pode-se mover livremente ao
longo do plano.
a) Determine o instante tA, em s, no qual ocorre a primeira colisão

A esferinha sobe ao longo da plataforma (que entra em movi- entre A e B.
mento), onde atinge uma altura máxima h (menor que H) e, em b) Represente, no gráfico da página de respostas, a velocidade
seguida, desce a plataforma e dela se desliga. escalar da esfera B em função do tempo, de forma a incluir na
Determine representação um período completo de seu movimento.
a) o módulo V da velocidade da plataforma, no instante em que
a esferinha atinge sua altura máxima; c) Determine o período T, em s, de um ciclo do movimento das
b) o valor de h; esferas.
c) os módulos da velocidade da esferinha e da plataforma após
o desligamento entre elas. NOTE E ADOTE:
Os choques são elásticos. Tanto o atrito entre as esferas e o
NOTE E ANOTE chão quanto os efeitos de rotação devem ser desconsi-
1) O módulo da aceleração da gravidade vale g = 10m/s2. derados.
2) O efeito do ar e todos os atritos são desprezíveis.
3) A interação entre a esfera e a plataforma comporta-se
Considere positivas as velocidades para a direita e negativas
como uma colisão perfeitamente elástica.
as velocidades para a esquerda.
51
c) Estime o coeficiente de restituição CR dessa bola, utilizando a

definição apresentada abaixo.
45. (FUVEST) – Para testar a elasticidade de uma O coeficiente de restituição, CR = VR/VI, é a razão entre o
bola de basquete, ela é solta, a partir de uma módulo da velocidade com que a bola é rebatida pelo chão
altura H0, em um equipamento no qual seu (VR) e o módulo da velocidade com que atinge o chão (VI),
movimento é monitorado por um sensor. Esse em cada choque. Esse coeficiente é aproximadamente
equipamento registra a altura do centro de constante nas várias colisões.
massa da bola, a cada instante, acompa-
nhando seus sucessivos choques com o chão. NOTE E ADOTE:
A partir da análise dos registros, é possível, Desconsidere a deformação da bola e a resistência do ar.
então, estimar a elasticidade da bola,
caracterizada pelo coeficiente de restituição
CR. O gráfico apresenta os registros de 46. (UNESP-MODELO ENEM) – Em um dia muito chuvoso, em que
alturas, em função do tempo, para uma bola o atrito entre os pneus de dois carros de massas iguais e a
de massa M = 0,60 kg, quando ela é solta e inicia o movimento estrada é muito baixo, ocorre uma colisão traseira. Sabendo-se
com seu centro de massa a uma altura H0 = 1,6 m, chocando-se que um dos carros (carro 2) estava parado no momento da
sucessivas vezes com o chão. colisão, a qual, nas condições do problema, pode ser tomada
como perfeitamente elástica, qual das descrições corresponderia
à melhor representação do que ocorre após o choque entre os
dois carros?
a) O carro 1 fica parado, e o carro 2 segue com a velocidade
original do carro 1.
b) O carro 1 volta com a mesma velocidade em módulo e o carro
2 continua parado.
c) O carro 2 segue com o dobro da velocidade original do carro 1,
mas a soma das duas velocidades continua sendo igual à
original do carro 1.
d) Os dois carros seguem em sentidos opostos com metade da
velocidade original em módulo do carro 1.
e) Os dois carros seguem juntos no mesmo sentido com metade
da velocidade original do carro 1.
47. (FUVEST-MODELO ENEM) – Uma caminhonete A, parada em uma

rua plana, foi atingida por um carro B, com massa mB = mA/2, que
→
vinha com velocidade vB. Como os veículos ficaram amassados,
A partir dessas informações: pode-se concluir que o choque não foi totalmente elástico. Consta
no boletim de ocorrência que, no momento da batida, o carro B pa-
→ →
a) Represente, no Gráfico I da folha de respostas, a energia rou, enquanto a caminhonete A adquiriu uma velocidade vA = vB/2,
→
potencial da bola, EP, em joules, em função do tempo, na mesma direção de vB.
indicando os valores na escala.
Considere estas afirmações de algumas pessoas que comenta-

ram a situação:
I. A descrição do choque não está correta, pois é incompatível
com a lei da conservação da quantidade de movimento.
II. A energia mecânica dissipada na deformação dos veículos foi
mAVA2
igual a –––––– .
2
III. A quantidade de movimento dissipada no choque foi igual a

mBVB
–––––– .
2
b) Represente, no Gráfico II da folha de respostas, a energia
mecânica total da bola, ET, em joules, em função do tempo, Está correto apenas o que se afirma em
indicando os valores na escala. a) I b) II c) III d) I e III e) II e III
52
48. (UEPB-MODELO ENEM) – Em um cruzamento da cidade de

Campina Grande, durante uma manhã de muita chuva, um
automóvel compacto com massa de 1600kg se desloca de oeste
para o leste, com uma velocidade de módulo 30 m/s, e colide com
uma “pickup” (camionete) com massa de 2400kg que se
deslocava do sul para o norte, avançando o sinal vermelho, com
uma velocidade de módulo 15m/s, conforme a figura abaixo.
Com base nessas informações, pode-se afirmar que o setor ao

longo do qual os veículos vão deslizar juntos é o:
a) Setor I b) Setor II
c) Setor III d) Setor IV
50. (UNESP-MODELO ENEM) – Em países com poucos recursos

hídricos ou combustíveis fósseis, a construção de usinas
nucleares pode ser uma alternativa para produção de energia. A
Felizmente, todas as pessoas, nesses veículos, usavam cintos de energia nuclear é obtida pela fissão de núcleos como o de urânio
segurança e ninguém se feriu. Porém, os dois veículos se e, dessa fissão, além de calor, são produzidos nêutrons, que por
engavetaram e passaram a se deslocar, após a colisão, como um sua vez serão responsáveis pela fissão de outros núcleos de
único corpo, na direção nordeste. Desprezando-se o atrito entre urânio. Dessa reação em cadeia é extraída a energia nuclear. No
os veículos e a estrada, o módulo da velocidade dos carros unidos entanto, para uma fissão controlada, é necessário diminuir a
após a colisão, em m/s, vale: energia dos nêutrons que tiverem energias cinéticas altas. Para
a) 18 b) 16 c) 22 d) 20 e) 15 isso, elementos moderadores são introduzidos para que os
nêutrons, em interações com esses núcleos, tenham sua energia
49. (UFRN-MODELO ENEM) – A figura a seguir mostra dois pe- diminuída. A escolha do material moderador depende de quanta
quenos veículos, 1 e 2, de mesma massa, que estão prestes a energia os nêutrons devem perder. Considere uma colisão elás-
colidir no ponto P, que é o ponto central do cruzamento de duas tica frontal entre um nêutron e um átomo moderador, que possua
ruas perpendiculares entre si. Toda região em torno do massa quatro vezes maior que a do nêutron e esteja inicialmente
cruzamento é plana e horizontal. Imediatamente antes da colisão, em repouso. Calcule a razão entre as energias cinéticas final e
as velocidades dos veículos têm as direções representadas na inicial do nêutron.
figura, tendo o veículo 2 uma velocidade que é 1,5 vez maior que 3 6 9 12 18
a do veículo 1. Após a colisão, os veículos vão deslizar juntos pela a) –––– b) –––– c) –––– d) –––– e) ––––
25 25 25 25 25
pista molhada, praticamente sem atrito.
6) E 7) B 8) C 9) a) 0,60 Mc V02 3,0 . 1014

b) 0,20kg b) Ei = –––––– = ––––––––– . 36,0 . 108 (J) = 54 . 1022J
2 2
10) E 11) E 12) B 13) C
Ei = 5,4 . 1023J
14) D 15) 2,4kJ 16) E
17) a) No ato da colisão, o sistema cometa-Júpiter é isolado e

(MJ + Mc) 1,8 . 1027
haverá conservação da quantidade de movimento total do Ef = ––––––––– Vf2 = ––––––––– . 1,0 . 10–16 (J)
sistema: 2 2
Qapós = Qantes
Ef = 0,9 . 1011J = 9,0 . 1010J
(MJ + Mc) Vf = McV0
Mc << MJ ⇒ 1,8 . 1027 Vf = 3,0 . 1014 . 6,0 . 104 Em = Ei – Ef ⇒ Em 5,4 . 1023J
Vf = 1,0 . 10–8m/s
Respostas: a) 1,0 . 10–8m/s b) 5,4 . 1023J
53
18) a) 1) Cálculo do tempo entre B e C: 37) 0,93u 38) h = f 6 h0 39) a) 2,0m/s

␥y b) 2,0 . 102m/s
⌬Sy = V0y t + ––– t2 (MUV)
2
40) D
10,0
5,0 = 0 + –––– T2
2 41) a) O sistema é isolado e, portanto, haverá conservação da
quantidade de movimento total.
T2 = 1,0 ⇒ T = 1,0s
Q2f = QA2 + QB2 = Qi2
2) Cálculo da velocidade dos blocos:
m2 VA2 + m2 VB2 = m2 V02
⌬x 4,0m
VB = –––– = ––––– ⇒ VB = 4,0m/s m
⌬t 1,0s Dividindo-se por ––– :
2
b) Na colisão entre os blocos, o sistema é isolado e há mVA2 mVB2 mV02

–––––– + –––––– = ––––––
conservação da quantidade de movimento total: 2 2 2
Qapós = Qantes
(m1 + m2) VB = m1V1 Esta expressão revela que a energia cinética final é igual à
3,0 . 4,0 = 2,0 V1 inicial, o que demonstra ser a colisão elástica.
V1 = 6,0m/s b) 1) Conservação da quantidade de movimento na direção

x:
(m1 + m2) VB2 m VA cos 37° + m VB cos 53° = m V0
3,0
c) Ecin = ––––––––––––– = –––– . 16,0 (J) = 24,0J
após 2 2 4 3
VA . ––– + VB . ––– = V0
5 5
m1 V12 2,0
Ecin = ––––––– = –––– . 36,0 (J) = 36,0J 4 VA + 3 VB = 5 V0 (1)
antes 2 2
2) Conservação da quantidade de movimento na direção

⌬Emec = Ecin – Ecin = –12,0J y:
após antes
m VA cos 53° = m VB cos 37°
d) Conservação da energia mecânica entre A e B: 3 4

VA . ––– = VB . –––
5 5
EB = EA
3 VA = 4 VB
(ref. em B)
4
m1 V12 VA = ––– VB (2)
––––––– = m1 g (h1 – h2) 3
2
V12 4
h1 – h2 = –––– (2) em (1): 4 . ––– VB + 3 VB = 5 V0
2g 3
V12 16 VB + 9 VB = 15 V0
h1 = h2 + ––––
2g
3
25 VB = 15 V0 ⇒ VB = ––– V0
36,0 5
h1 = 5,0 + ––––– (m)
20,0
4 3 4
VA = ––– . ––– V0 ⇒ VA = ––– V0
h1 = 6,8m 3 5 5
Respostas: a) Demonstração
Respostas: a) 4,0m/s b) 6,0m/s
c) –12,0J d) 6,8m 4 3
b) VA = ––– V0 ; VB = ––– V0
5 5
19) D 20) D 21) A 22) D 29) B
rad 42) a) No instante em que a esferinha atinge a altura máxima,
30) a) 1,5 –––– 31) a) duas colisões
s ela para em relação à plataforma, isto é, esferinha e pla-
b) 0,90m/s b) V f’(B) = –V0 taforma têm velocidades iguais.
Vf(A) = 0 Como não há atrito nem resistência do ar, o sistema
esferinha-plataforma é isolado de forças horizontais e
32) B 33) D 34) A 35) D haverá conservação da quantidade de movimento na
direção horizontal:
36) V’A = –2,0m/s e V’B = 6,0m/s Qfinal = Qinicial
54
(M + m) V = mV0 2) Na elaboração do gráfico, observemos que os seg-

mentos de reta que representam V = f(t) são todos
5,0V = 1,0 . 4,0 ⇒ V = 0,80m/s paralelos porque entre as colisões a aceleração é
sempre igual à da gravidade (a declividade da reta
b) O sistema é conservativo e, portanto: mede a aceleração).
2
mV0 (M + m)
–––––– = m g h + ––––––– V2
2 2
1,0 5,0
–––– (4,0)2 = 1,0 . 10 . h + –––– (0,80)2
2 2
8,0 = 10h + 1,6 ⇒ h = 0,64m
c) Indiquemos por V1 e V2 as velocidades escalares da

esferinha e da plataforma após o desligamento.
c) Os pontos que correspondem à velocidade imediata-

mente antes de cada colisão estão alinhados e, portanto,
a partir do gráfico, unindo esses pontos, obtemos o
instante T em que a velocidade se anula.
T = 9,0s
Como a interação é equivalente a uma colisão elástica,
vem: 44) a) Como não há atrito, o movimento até a 1.a colisão é unifor-
1) Qapós = Qantes me:
mV1 + MV2 = mV0 ⌬s 1,6

V0 = ––– ⇒ 2,0 = ––– ⇒ tA = 0,8s
⌬t tA
1,0V1 + 4,0V2 = 1,0 . 4,0
V1 + 4,0V2 = 4,0 (1)

b) Como a colisão entre A e B é elástica e unidimensional e
as esferas têm massas iguais, haverá troca de velocidades
2) Vaf = Vap (e = 1)
na colisão.
V2 – V1 = V0 A esfera B também gastará ⌬t2 = 0,8s para chegar ao início
da rampa.
V2 – V1 = 4,0 (2)
A subida da rampa levará um tempo ⌬t3 dado por:
⌬t = ⌬t1 + ⌬t2 + ⌬t3
Fazendo-se (1) + (2), vem:
2,0 = 0,8 + 0,8 + ⌬t3 ⇒ ⌬t3 = 0,4s
5,0V2 = 8,0 ⇒ V2 = 1,6m/s Sendo o movimento na rampa uniformemente variado, o
tempo de subida na rampa será igual ao tempo de descida
Em (2): 1,6 – V1 = 4,0 (0,4s) e, pela conservação da energia mecânica, a
velocidade escalar da esfera B, ao voltar ao plano
V1 = – 2,4m/s ⇒ |V1| = 2,4m/s horizontal, será negativa (inversão no sentido do
movimento), porém com o mesmo módulo, 2,0m/s.
O tempo gasto para percorrer 1,6m volta a ser de 0,8s; na
O sinal (–) significa que, após a interação, a esferinha 2.a colisão, haverá nova troca de velocidades entre B e A e,
desloca-se para a esquerda. novamente, mais 0,8s para percorrer 1,6m até atingir o
Respostas: a) 0,80m/s ou 8,0 . 10–1m/s anteparo. Na colisão elástica com o anteparo, a bola
b) 0,64m ou 6,4 . 10–1m inverte o sentido de sua velocidade e o ciclo se reinicia.
c) 1,6m/s e 2,4 m/s
43) a) 1.a colisão: |V1| = 0,8 |V| = 0,8 . 10m/s = 8,0m/s

2.a colisão: |V2| = 0,8 |V1 | = 0,8 . 8,0m/s = 6,4m/s
3.a colisão: |V3| = 0,8 |V2 | = 0,8 . 6,4m/s
|V3| = 5,12m/s
b) 1) Para construirmos o gráfico V = f(t), calculemos, inicial-

mente, o tempo t1 em que ocorre a 1.a colisão:
V = V0 + ␥ t ⇒ –10 = 0 – 10 t1 ⇒ t1 = 1,0s
55
c) O período T do ciclo corresponde ao tempo desde a

partida de A no instante t = 0 até o retorno de A ao
anteparo no instante t = 4,0s, portanto:
T = 4,0s
45) a) A energia potencial gravitacional Ep é dada por:

Ep = m g h
Ep = 0,60 . 10 . h
Ep = 6,0h (SI)
O gráfico da Ep em função de h terá o mesmo formato do c) A velocidade de chegada ao chão na 1.a colisão é dada por:
gráfico da altura em função do tempo, com os valores
numéricos multiplicados por 6,0. V2 = V02 + 2 ␥ ⌬s
V2I = 2 g H0 ⇒ V1 =
2 g H0
A velocidade após a colisão tem módulo VR dado por:
V2 = V02 + 2 ␥ ⌬s
0 = VR2 + 2 (– g) H1
VR =
2 g H1
O coeficiente de restituição é dado por:
VR
2 g H1
CR = –––– = –––––––––
VI
b) 1) Antes da 1.a colisão, a energia mecânica total é cons-
2 g H0
tante e é dada por:
E0 = mg H0
H1 0,4
CR = –––– = –––– =
0,25
E0 = 9,6J H0 1,6
2) Entre a 1.a e a 2.a colisão, a energia mecânica é cons- CR = 0,50

tante e é dada por:
E1 = mg H1 Respostas: a) ver gráfico
b) ver gráfico
E1 = 2,4J
c) 0,50
Analogamente: E2 = 0,6J 46) A 47) B 48) E 49) B 50) C
56
CAPÍTULO
Mecânica
4 GRAVITAÇÃO
O módulo g da aceleração da gravidade

varia com a altitude h. À medida que h aumenta, g
diminui. Para um satélite artificial em órbita
circular a uma altitude h, o valor de g corresponde
ao módulo da aceleração centrípeta do satélite.
1. Noções históricas O sistema de Copérnico incluía também uma

grande esfera imóvel na qual estavam localizadas as
estrelas fixas.
Cláudio Ptolomeu, que viveu no século II d.C., foi o
criador de um sistema planetário geocêntrico, isto é,
considerando a Terra como o centro do Universo.
Tycho Brahe, astrônomo dos mais conceituados, foi
O sistema proposto por Ptolomeu era relativamente
autor de um sistema geocêntrico, em que o Sol girava
confuso, pois cada planeta desenvolvia uma órbita cir-
em torno da Terra e os planetas em torno do Sol.
cular em torno de um centro C e esse centro C descrevia
uma órbita circular em torno da Terra.
2. As Leis de Kepler (1571-1630)

Johannes Kepler foi aluno e assistente de Tycho Brahe
e, combatendo a ideia de Copérnico de que as órbitas
planetárias eram circulares, conseguiu determinar não
somente a forma exata das órbitas planetárias, mas também
Em 1543, aproveitando a invenção da imprensa, Co- as outras leis que governam os movimentos dos planetas.
pérnico publicou uma obra chamada De Revolutionibus
Orbitum Coelestium, que criava uma nova concepção do
Universo com o Sol como seu centro, isto é, um sistema
heliocêntrico.
Basicamente, o sistema proposto por Copérnico ad- a) O que é uma elipse?
mitia o Sol como o centro do Universo e os planetas, A elipse é uma curva que corresponde ao lugar
inclusive a Terra, girariam em órbitas simples em torno geométrico dos pontos de um plano cujas distâncias a
do Sol. dois pontos fixos do plano têm soma constante.
57
Os pontos fixos são chamados de focos da elipse.
a) Raio vetor de um planeta
Para qualquer ponto P da elipse, temos:

Para estudar o movimento de um planeta em torno do
d1 + d2 = K (constante) Sol, tomamos um vetor com origem no centro de massa
do Sol e extremidade no centro de massa do planeta. Tal
A distância entre os pontos A e A’ (ver figura) é a vetor é chamado de raio vetor ou vetor posição do
medida do eixo maior da elipse. planeta.
Sendo a a medida do semieixo maior e f a medida da A 2.a Lei de Kepler vai-se referir à área “varrida” pelo
semidistância focal, define-se excentricidade da elipse raio vetor de um planeta durante um certo intervalo de
como o número e dado por: tempo.
f Admitamos que, quando o planeta se deslocou de A
e = –––– 0<e<1
a para B (ver figura), em um intervalo de tempo ⌬t1, o seu
Quando e = 0, a elipse “degenera” em uma circun- raio vetor varreu uma área A1 e, quando o planeta se
ferência (os pontos F1 e F2 coincidem com 0). deslocou de C para D, em um intervalo de tempo ⌬t2, o
Quanto maior o valor de e, mais alongada é a elipse. seu raio vetor varreu uma área A2.
Quando e = 1, a elipse “degenera” em um segmento b) Enunciados da 2.a Lei de Kepler
de reta. 1.o Enunciado:
O raio vetor que liga o centro de um planeta ao
b) Enunciado da 1.a Lei de Kepler centro do Sol varre áreas iguais em intervalos de
As órbitas descritas pelos planetas em torno do tempo iguais.
Sol são elipses com o Sol localizado em um dos focos. Isto significa que:
A tabela a seguir mostra que apenas Mercúrio e Plu-
tão (atualmente classificado como planeta-anão) descre- ⌬t1 = ⌬t2 ↔ A1 = A2
vem elipses alongadas (maior excentricidade); os demais
planetas descrevem elipses muito próximas de circun- 2.o Enunciado:
ferências (excentricidade muito pequena). A área varrida pelo raio vetor de um planeta é
proporcional ao intervalo de tempo gasto.
Planeta Excentricidade
Isto significa que:
Mercúrio 0,206 A=k⌬t
Vênus 0,007 k = constante de proporcionalidade que é denomi-
nada velocidade areolar do planeta.
Terra 0,017
3.o Enunciado:
Marte 0,093 A velocidade areolar (razão entre a área varrida
Júpiter 0,048 pelo raio vetor e o intervalo de tempo gasto) de cada
planeta é constante.
Saturno 0,056 Nota: a velocidade areolar varia de um planeta para o
outro, aumentando com a distância média do planeta ao
Urano 0,047
Sol, isto é, mínima para Mercúrio e máxima para Netuno
Netuno 0,009 (seria máxima para Plutão, que perdeu o satus de planeta).
c) Consequência da 2.a Lei de Kepler
Plutão (planeta-anão) 0,250
Do fato de a velocidade areolar de um planeta ser
Cumpre ressaltar que teoricamente a órbita de um constante resulta ser variável a velocidade de translação
planeta em torno de uma estrela pode ser circular, apenas (razão entre distância percorrida e intervalo de tempo
a órbita elíptica é muito mais provável. gasto).
58
De fato, a igualdade das áreas A1 e A2 (ver figura vM

anterior) faz que a medida do arco AB seja maior que a Rp = 100RM ↔ vp = ––––
do arco CD e, como o intervalo de tempo é o mesmo, 10
concluímos que a velocidade de translação em AB é
maior do que em CD.
A1 = A2 → med(AB) > med(CD) → vAB > vCD

a) Raio médio de uma órbita elíptica
Isto significa que, à medida que o planeta vai apro- Seja dmáx a distância máxima do planeta ao Sol e
ximando-se do Sol, em sua órbita elíptica, a sua velo- dmín a distância mínima do planeta ao Sol.
cidade de translação vai aumentando. Isto se torna evi- Define-se raio médio da órbita elíptica como a média
dente se observarmos que, com a aproximação do Sol, o aritmética entre as distâncias do periélio e do afélio até o
raio vetor vai diminuindo e, para varrer a mesma área, o Sol:
planeta deve-se mover mais rapidamente.
A velocidade de translação será máxima no ponto dmín + dmáx
R = ––––––––––––
mais próximo do Sol, chamado periélio, e será mínima 2
no ponto mais afastado do Sol, chamado afélio.
Observe que, como dmín + dmáx é a medida do eixo
maior da elipse (AA’), o raio médio coincide com o
semieixo maior da elipse.
Raio médio (R) = semieixo maior (a)

dmín + dmáx
R = a = ––––––––––––
2
b) Período de translação ou ano de um planeta

Verifica-se, portanto, que o movimento de translação
Define-se período de translação (ou período de
do planeta não é uniforme, sendo sucessivamente
revolução ou ano) de um planeta como o intervalo de
acelerado (do afélio para o periélio) e retardado (do
tempo (T) para o planeta dar uma volta completa em
periélio para o afélio).
torno do Sol.
O movimento de translação somente seria uni-
forme se a órbita do planeta fosse circular. c) Enunciado da 3.a Lei de Kepler
Para todos os planetas do sistema solar, é
d) Velocidade escalar média de translação constante a razão entre o cubo do raio médio da
A velocidade média de translação de um planeta é órbita e o quadrado do período de translação.
função decrescente da distância média do planeta ao Sol.
O planeta mais veloz é Mercúrio (para os gregos, era R3
––– = constante
o deus mensageiro: o carteiro do Olimpo), com veloci- T2
dade escalar média de 50km/s, e o mais lento é o plane-
ta-anão Plutão, com velocidade escalar média de
Para dois planetas, A e B, temos:
5,0km/s. A velocidade escalar média da Terra tem valor
aproximado de 30km/s. RA3 RB3 3 2
= ––––
RA TA
Assumindo as órbitas como circulares, a velocidade –––– = –––– ou ––––
escalar média tem valor inversamente proporcional à raiz TA2 TB2 RB T B
quadrada do raio de órbita:
Demonstra-se que a constante de proporcionalidade
K da 3.a Lei de Kepler é dada por:
vm = ––––
R R3 GM
––– = –––– , em que
Por exemplo, o raio de órbita de Plutão é aproxi- T2 4π2
madamente 100 vezes maior que o de Mercúrio e, por-
tanto, a velocidade escalar média de Plutão tem valor um G = constante de gravitação universal
décimo da de Mercúrio. M = massa do Sol
59
Notas ou artificiais em torno de um planeta, corpos celestes em

Nota 1: a rigor, a expressão da 3.a Lei de Kepler é: torno da Lua etc.
Nota 5: em se tratando de satélites da Terra, é im-
R3 G(M + m) portante salientar que
–––– = ––––––––– ,
T2 4π2 a) a órbita pode ser circular ou elíptica;
b) o ponto mais próximo da Terra é chamado de
em que m é a massa do planeta. Porém, como perigeu e o mais afastado é chamado de apogeu;
M >> m, desprezamos m em comparação com M e che- c) a velocidade areolar, a velocidade escalar média
gamos à equação apresentada. de translação e o período de translação só dependem da
massa da Terra e do raio médio da órbita; não dependem
Nota 2: a 3.a Lei de Kepler mostra que, quanto mais da massa ou de outras características do satélite;
próximo do Sol (menor R), menor é o período de trans- d) a velocidade escalar média de translação da Lua é da
lação do planeta. À medida que nos afastamos do Sol, a ordem de 1,0km/s, de um satélite estacionário é da ordem de
velocidade escalar média do planeta vai diminuindo e a 3,0km/s e de um satélite rasante, 8,0km/s (sem efeito do ar).
extensão de sua órbita vai aumentando, o que implica um
período de translação crescente. Nota 6: em 24/08/2006 na reunião da IAU (União
Define-se unidade astronômica (ua) como a distân- Astronômica Internacional), os 2500 cientistas e
cia média da Terra ao Sol (1ua = 1,5 . 1011m). astrônomos presentes decidiram que Plutão não é mais
A tabela a seguir representa a variação do período um “planeta do sistema solar”, sendo rebaixado para uma
com a distância média ao Sol medida em ua. nova categoria de corpos celestes: os denominados
“planetas-anões”.
Raio médio Período em Outros corpos celestes que farão companhia a Plu-
Planeta
da órbita (ua) anos terrestres tão:
Mercúrio 0,39 0,24 1) CERES, que era considerado um asteroide, com
órbita elíptica entre Marte e Júpiter, com raio médio de
Vênus 0,72 0,61
4,14 . 108 km (2,8 unidades astronômicas), período de
Terra 1,0 1,0 translação de 1680 dias (4,6 anos) e diâmetro de 930 km.
Marte 1,5 1,9 2) Corpo celeste 2003 UB 313 (nome atual, ÉRIS),
Júpiter 5,2 12 descoberto em julho de 2005 por uma equipe de pesqui-
sadores norte-americanos, com órbita elíptica, muito além
Saturno 9,5 29
de Plutão, com raio médio da ordem de 1,02 . 1010km (68
Urano 19 84 unidades astronômicas), período de translação de 561
Netuno 30 165 anos e diâmetro de 3000 km.
Os astrônomos postularam que, para ser classificado
Nota 3: a velocidade areolar, a velocidade escalar como um planeta do sistema solar, um corpo celeste deve
média de translação e o período de translação são respeitar três condições:
funções de órbita, isto é, só dependem da massa do Sol e 1) gravitar em torno do Sol;
do raio médio da órbita, porém não dependem das carac-
2) ter massa suﬁciente para assumir a forma geomé-
terísticas do planeta ou corpo celeste que está gravitando.
trica de uma esfera;
Isto significa que, se um cometa gravitar em torno do
Sol, na mesma órbita da Terra, ele vai ter a mesma veloci- 3) ser o corpo celeste dominante, como fonte de cam-
dade areolar da Terra, a mesma velocidade escalar média po gravitacional, em suas vizinhanças, traduzido como
de translação (30km/s) e o mesmo período de translação “limpar gravitacionalmente a vizinhança de sua órbita.”
(1 ano). Plutão satisfaz as duas primeiras condições, porém
foi rebaixado a planeta-anão porque não respeitou a
Nota 4: as três Leis de Kepler não valem apenas para terceira condição. De fato: sua órbita se aproxima da de
planetas do nosso sistema solar; elas valem para corpos Netuno, que é o dominante em suas vizinhanças, pois a
que gravitam em torno de uma grande massa central: massa de Netuno é cerca de 8600 vezes maior que a de
planetas em torno de qualquer estrela, satélites naturais Plutão.
60
SISTEMA SOLAR: O SOBE-E-DESCE NO COSMO
PLUTÃO NÃO É MAIS PLANETA

O sistema solar tem agora 8 e não mais 9 planetas. Plutão, que nos últimos 76 anos foi considerado um
astro da mesma categoria de Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno, foi rebaixado.
Por decisão da União Astronômica Internacional, ele passa a ser um planeta-anão, como Ceres e Éris.
(O Estado de S. Paulo, 25/08/2006)
1. Considerando a órbita da Terra em torno do Sol como circular 3. (MODELO ENEM) – O cometa de Halley atingiu, em 1986, sua
e de raio R = 1,5 . 1011m e o ano terrestre igual a 3,1. 107s, posição mais próxima do Sol (periélio) e, em 2023, atingirá sua
calcule posição mais afastada do Sol (afélio).
a) a intensidade da velocidade de translação da Terra em seu
movimento orbital;
b) a velocidade areolar da Terra (adote π = 3,1).
Resolução
a) Sendo a órbita circular, o movimento de translação é uniforme
e a velocidade orbital é dada por:
⌬s 2πR 2 . 3,1 . (1,5) . 1011
v = ––– = –––– ⇒ v = ––––––––––––––––– (m/s)
⌬t T 3,1 . 107
v = 3,0 . 104m/s = 30km/s Assinale a opção correta:

a) Entre 1986 e 2023, o cometa terá movimento uniforme.
b) Entre 1986 e 2023, a força gravitacional que o Sol aplica no
b) A velocidade areolar é constante e é dada por: cometa será centrípeta.
3,1 . (1,5)2 . 1022 c) Ao atingir o afélio, em 2023, a energia potencial gravitacional
A πR2
vA = –– = –––– ⇒ v = –––––––––––––––– (m2/s) do sistema Sol–cometa será máxima.
⌬t T 3,1 . 107 d) A energia potencial gravitacional do sistema Sol–cometa foi
máxima em 1986.
vA= 2,25 . 1015m2/s e) Em 2041, a energia potencial do sistema Sol–cometa será
máxima.
Resolução
Respostas: a) 30km/s b) 2,25 . 1015m2/s A velocidade orbital do cometa é função decrescente de sua
distância ao Sol.
2. Nicolau Copérnico afirmou que os planetas descreviam, em torno Assim, no afélio, a velocidade orbital é mínima e, portanto, a ener-
do Sol, órbitas circulares com movimentos uniformes. gia cinética do cometa também será mínima. Como a força gravi-
Galileu afirmou que o movimento orbital de um planeta, em torno tacional que mantém o cometa em órbita é conservativa, a ener-
do Sol, era mantido por inércia. gia mecânica do sistema Sol–cometa é a mesma em todos os
Quais os erros nas duas afirmativas dessas eminentes persona- pontos da órbita.
gens e quais os cientistas que as corrigiram? Como no afélio a energia cinética é mínima, a energia potencial do
Resolução sistema Sol–cometa será máxima.
1) As órbitas dos planetas, de acordo com a 1.a Lei de Kepler, são Resposta: C
elípticas (não circulares) e o movimento orbital é variado (não
uniforme). A velocidade orbital é uma função decrescente da 4. (FUND. CARLOS CHAGAS) – Um satélite da Terra move-se
distância do planeta ao Sol, isto é, quando a distância aumen- numa órbita circular, cujo raio é 4 vezes maior que o raio da órbita
ta, a velocidade diminui. circular de outro satélite terrestre. Qual a relação T1/T2, entre os
2) De acordo com Newton, o movimento orbital do planeta é man- períodos do primeiro e do segundo satélite?
tido pela força gravitacional aplicada pelo Sol (não por inércia). a) 1/4 b) 4 c) 8 d) 64
61
e) não podemos calcular a razão T1/T2 , por insuficiência de da- desde a descoberta de Netuno em 1840. Veja o quadro que
dos. apresenta algumas características das órbitas para três dos
Resolução exoplanetas do sistema, incluindo o HD74156d:
Aplicando-se a 3.a Lei de Kepler, para o movimento de satélites Semieixo maior
em torno da Terra, temos: Período de
da Órbita (a) Excentri-
Revolução T2/a3
Planeta (em Unidades cidade da
R31 R32 (T) (em dias [dia2/(ua)3]
–––– = –––– Astronômicas, órbita
terrestres)
T12 T22 ua)
Sendo R1 = 4R2, vem: HD74156b 52 0,29 0,64 1,1 x 105
64R23 R23
–––––– = –––– HD74156c 2476 X 0,43 1,1 x 105
T12 T22
HD74156d 337 1,0 0,25 W
2 2 T1
T1 = 64T2 ⇒ T1 = 8T2 ⇒ ––– =8
T2 Com base nas informações, pode-se afirmar que
a) dos três planetas, o c é o que tem uma órbita cuja forma mais
Resposta: C
se aproxima de uma circunferência.
b) o valor de X, no quadro, é, certamente, menor que 0,29 ua.
5. Considere a órbita da Lua, em torno da Terra, como circular, de
c) como o semieixo maior da órbita do planeta d é 3,4 vezes o
raio igual a 60R (R é o raio terrestre) e de período igual a 27 dias.
semieixo maior da órbita do planeta b, o valor de W, no quadro,
Identifique para um satélite estacionário da Terra:
é 3,4 vezes 1,1 x 105 dia2/(ua)3.
a) o plano de órbita.
d) o valor 1,1 x 105 dia2/(ua)3 é próximo do valor para o sistema
b) a forma da órbita.
solar.
c) o período de translação.
e) o valor de X, no quadro, é comparável com o semieixo maior
d) o raio de órbita em função de R.
da órbita da Terra em torno do Sol.
Resolução
Resolução
a) A órbita está contida no plano equatorial da Terra.
a) FALSA. Quanto menor for a excentricidade, mais a órbita se
b) A órbita é circular para que o movimento de translação em
aproxima de uma circunferência (planeta d).
torno do centro de massa da Terra seja uniforme.
c) O período de translação do satélite estacionário é igual ao b) FALSA. Como o período é maior, o semieixo maior também
período de rotação da Terra: 24h. será maior, isto é, X > 1,0.
d) Aplicando-se a 3.a Lei de Kepler: c) FALSA. O valor de W é constante, isto é, 1,1 . 105
d) VERDADEIRA. Para o sistema solar, temos:
RL3 RS3
–––––– = ––––
TL2 TS2 T2 (365 d)2
––– = –––––––
a3 (ua)3
Como TS = 1d, TL = 33d, RL = 60R, vem:
T2
––– = 133 225 d2/(ua)3
(60R)3 RS3 60R 20R a3
––––––
6 = –––– ⇒ RS = –––– = –––– ⇒ RS 6,7R
3 1 9 3
T2 (dia)2
––– = 1,3.105 –––––
a3 (ua)3
6. (UFCG-PB-MODELO ENEM) – Recentemente, confirmou-se a
existência do exoplaneta HD74156d pertencente ao Sistema
HD74156 na constelação de Hydra. Exoplanetas são corpos em b) FALSA. Porque o ano do planeta é quase 7 vezes o ano terres-
órbita de estrelas fora do sistema solar e com órbitas tre.
permanentes. Trata-se do primeiro planeta teoricamente previsto Resposta: D
7. (UNESP) – Analise o movimento de um planeta em diversos e) caso as áreas sombreadas sejam iguais, o tempo levado para
pontos de sua trajetória em torno do Sol, conforme aparece na o planeta ir de A até B é maior que entre C e D.
figura.
Considerando-se os trechos entre os 8. Considere um cometa em órbita elíptica em torno do Sol.
pontos A e B e entre os pontos C e D,
pode-se afirmar que,
a) entre A e B, a área varrida pela linha
que liga o planeta ao Sol é maior do
que aquela entre C e D.
b) caso as áreas sombreadas sejam
iguais, o planeta move-se com maior
velocidade escalar no trecho entre A
e B.
c) caso as áreas sombreadas sejam iguais,
o planeta move-se com maior velo-
cidade escalar no trecho entre C e D. S1 = área varrida pelo raio vetor do cometa entre as posições A e
d) caso as áreas sombreadas sejam iguais, B.
o planeta move-se com a mesma S2 = área varrida pelo raio vetor do cometa entre as posições C e
velocidade escalar nos dois trechos. D.
62
Sabe-se que a medida do arco AB é a metade da medida do arco A partir da 3.a Lei de Kepler, podemos avaliar o período de trans-
CD e que a área S2 é quatro vezes maior que a área S1 (ver figura). lação de Ceres em torno do Sol como sendo um valor mais pró-
ximo de:
A velocidade escalar média do planeta vale V1 entre A e B e vale
a) 365 dias b) 730 dias c) 1460 dias
V2 entre C e D.
d) 1680 dias e) 2920 dias
A relação entre V1 e V2 é:
a) V1 = 4V2 b) V1 = 2V2 c) V1 = V2 Dado:
21 4,6
V2 V2
d) V1 = –––– e) V1 = ––––
2 4 13. (UNESP) – O período de revolução T e o raio médio r da órbita de
um planeta que gira ao redor de uma estrela de massa m
9. (UNIP-SP) – O cometa de Halley descreve, em torno do Sol, a satisfazem a relação (m T2)/r3 = 4π2/G, em que G é a constante de
órbita elíptica representada na figura. gravitação universal. Considere dois planetas e suas respectivas
estrelas. O primeiro, o planeta G581c, recentemente descoberto,
que gira em torno da estrela Gliese581 e o nosso, a Terra, girando
ao redor do Sol. Considere o período de revolução da Terra 27
vezes o de G581c e o raio da órbita da Terra 18 vezes o raio da ór-
bita daquele planeta. Determine qual seria a massa da estrela
Gliese581 em unidades da massa M do Sol.
14. Considere as órbitas de Plutão e Mercúrio circulares e admita que

o raio de órbita de Plutão é 100 vezes maior que o de Mercúrio.
Determine
a) a razão entre os períodos de translação de Plutão e de
Assinale a opção correta. Mercúrio: TP / TM;
a) A velocidade areolar do cometa é máxima no ponto A. b) a razão entre os módulos das velocidades de translação de
b) O movimento do cometa é uniforme. Plutão e de Mercúrio: VP / VM;
c) A velocidade de translação do cometa é constante. c) a razão entre as velocidades areolares de Plutão e de
d) A velocidade areolar do cometa é constante e a velocidade de Mercúrio: VAP / VAM.
translação é variável.
e) O movimento do cometa é mantido por inércia. 15. (UNICAMP-SP) – Em agosto de 2006, Plutão foi reclassificado
pela União Astronômica Internacional, passando a ser conside-
10. (UNICAMP-SP) – A figura abaixo representa exageradamente a rado um planeta-anão. A terceira Lei de Kepler diz que T 2 = K a3,
trajetória de um planeta em torno do Sol. O sentido do percurso é em que T é o tempo para um planeta completar uma volta em
indicado pela seta. O ponto P indica a maior aproximação do torno do Sol, e a é a média entre a maior e a menor distância do
planeta ao Sol, o ponto A marca o maior afastamento. Os pontos planeta ao Sol. No caso da Terra, essa média é aT = 1,5 x 1011 m,
V, I e o Sol são colineares, bem como os pontos P, A e o Sol. enquanto para Plutão ap = 60 x 1011 m. A constante K é a mesma
para todos os objetos em órbita em torno do Sol. A velocidade da
luz no vácuo tem módulo igual a 3,0 . 108 m/s. Dado: 10 3,1.
a) Considerando-se as distâncias médias, quanto tempo leva a
luz do Sol para atingir a Terra? E para atingir Plutão?
b) Quantos anos terrestres Plutão leva para dar uma volta em
torno do Sol?
16. (UNICAMP-SP) – A terceira Lei de Kepler diz que “o quadrado do

período de revolução de um planeta (tempo para dar uma volta em
torno do Sol) dividido pelo cubo da distância média do planeta ao
Sol é uma constante”. A distância média da Terra ao Sol é
equivalente a 1 ua (unidade astronômica).
a) Entre Marte e Júpiter existe um cinturão de asteroides (vide
a) Em que ponto da trajetória a velocidade do planeta é máxima? figura). Os asteroides são corpos sólidos que teriam sido origi-
Em que ponto essa velocidade é mínima? Justifique sua nados do resíduo de matéria existente por ocasião da formação
resposta. do sistema solar. Se no lugar do cinturão de asteroides essa
b) Segundo Kepler, a linha que liga o planeta ao Sol percorre matéria se tivesse aglutinado formando um planeta, quanto
áreas iguais em tempos iguais. Coloque em ordem crescente duraria o ano deste planeta (tempo para dar uma volta em torno
os tempos necessários para realizar os seguintes percursos: do Sol)?
VPI, PIA, IAV, AVP. b) De acordo com a terceira Lei de Kepler, o ano de Mercúrio é
mais longo ou mais curto que o ano terrestre?
11. (UNESP) – Grande parte dos satélites de comunicação estão
localizados em órbitas circulares que estão no mesmo plano do
Equador terrestre. Geralmente esses satélites são geoestacio-
nários, isto é, possuem período orbital igual ao período de rotação
da Terra, 24 horas. Considerando-se que a órbita de um satélite
geoestacionário possui raio de 42 000 km, um satélite em órbita
circular no plano do equador terrestre, com raio de 10 500 km,
tem período orbital de
a) 3 horas. b) 4 horas. c) 5 horas.
d) 6 horas. e) 8 horas.
12. O asteroide Ceres, que em 24/08/2006 foi elevado à categoria de

planeta-anão, tem órbita elíptica em torno do Sol com raio médio
da ordem de 2,76 ua, em que ua é a unidade astronômica que cor-
responde à distância média da Terra ao Sol (1,5 . 1011m). Dado:
5 2,2
63
17. (UFRJ) – A tabela a seguir ilustra uma das leis do movimento dos
planetas: a razão entre o cubo da distância média D de um planeta
ao Sol e o quadrado do seu período de revolução T em torno do
Sol é constante. O período é medido em anos e a distância em
unidades astronômicas (ua). A unidade astronômica é igual à
distância média entre o Sol e a Terra. Suponha que o Sol esteja no
centro comum das órbitas circulares dos planetas.
PLANETA MERCÚRIO VÊNUS TERRA MARTE JÚPITER SATURNO
T2 0,058 0,378 1,00 3,5 141 868
D3 0,058 0,378 1,00 3,5 141 868
Um astrônomo amador supõe ter descoberto um novo planeta no www.th.physik.uni-frankfurt.de

sistema solar e o batiza como planeta X. O período estimado do A partir da figura que mostra o planeta em várias posições ao
planeta X é de 125 anos. Calcule longo de sua órbita em torno do Sol, pode-se afirmar, segundo
a) a distância do planeta X ao Sol, em ua; Kepler, que
b) a razão entre o módulo da velocidade orbital do planeta X e o a) as áreas sombreadas são tais que uma é o dobro da outra.
módulo da velocidade orbital da Terra. b) ao percorrer a área sombreada mais próxima do afélio, a velo-
cidade da Terra passa pelos maiores valores durante o ano.
18. (UFJF-MG) – O ano de 2009 foi o Ano Internacional da Astrono- c) a área sombreada próxima ao periélio é a região em que a Ter-
mia, em homenagem aos 400 anos da primeira utilização de um ra desenvolve os menores valores de sua velocidade durante
telescópio para observações astronômicas, feitas por Galileu Ga- o ano.
lilei. Entre suas principais descobertas, estão o relevo na Lua e a d) a razão entre as áreas sombreadas é igual a 1.
existência de satélites no planeta Júpiter. Galileu observou Júpiter e) a órbita mostrada é uma elipse com o Sol ocupando o seu
durante vários dias em janeiro de 1610, e notou que quatro centro.
objetos celestes acompanhavam o planeta orbitando em torno
dele. Sabe-se, hoje, que esses objetos são satélites do planeta. A 20. (MEC-MODELO ENEM) – A figura mostra as órbitas de quatro
tabela abaixo indica o raio da órbita dos satélites e o tempo que satélites artificiais da Terra, três elipses, descritas pelos satélites
eles demoram para dar uma volta completa em torno de Júpiter. S1, S2 e S3, nas quais a Terra ocupa um dos focos e uma
Para resolver esse problema, você precisará da terceira Lei de circunferência, descrita por S4, em que a Terra está no centro.
Kepler, que afirma que o quadrado do período de revolução é
proporcional ao cubo do raio médio da órbita. A constante de
8 . 1010 kg . dias2
proporcionalidade pode ser escrita como ––––––– –––––––– , em
M km3
que M é a massa de Júpiter em quilogramas. A relação linear
entre o quadrado do período dos satélites e o cubo de suas dis-
tâncias médias a Júpiter é representada no gráfico a seguir.
A superposição dessas órbitas resulta na figura abaixo.
Note que os números da abscissa do gráfico encontram-se

multiplicados pelo fator 1018. Sabendo-se que o satélite S4 tem um período de 4,0 horas, pode-se
afirmar que o período, em horas, de
Satélite Raio da órbita (km) Período (dias) a) S1 é 1,0 b) S2 é 1,0 c) S3 é 1,5
d) S3 é 2,0 e) S1 é 4,0
Io 421,6 . 103 1,77
Europa 670 . 103 3,55 21. (FUVEST-MODELO ENEM) – Satélites utilizados para teleco-
municações são colocados em órbitas geoestacionárias ao redor
Ganimedes 1000 . 103 ?
da Terra, ou seja, de tal forma que permaneçam sempre acima de
Calisto 1883 . 103 16,69 um mesmo ponto da superfície da Terra. Considere algumas
condições que poderiam corresponder a esses satélites:
a) A partir das informações do texto e do gráfico, calcule o valor I. ter o mesmo período, de cerca de 24 horas.
aproximado da massa de Júpiter. II. ter aproximadamente a mesma massa.
b) A partir das informações do gráfico e da tabela, calcule o valor III. estar aproximadamente à mesma altitude.
aproximado do período de revolução de Ganimedes. IV. manter-se num plano que contenha o círculo do Equador
terrestre.
19. (UFCG-PB-MODELO ENEM) – A figura mostra um selo que ho- O conjunto de todas as condições a que satélites em órbita
menageia Johannes Kepler. Observe-a com atenção, sabendo-se geoestacionária devem necessariamente obedecer corresponde a
que as áreas sombreadas foram percorridas no mesmo intervalo a) I e III b) I, II e III c) I, III e IV
de tempo. d) II e III e) II e IV
64
3. Lei da Gravitação
Universal de Newton (1642-1727)
Apoiado nos estudos de Copérnico (1473-1543), Ga-
lileu (1564-1642) e Kepler (1571-1630), Isaac Newton
apresentou a lei da gravitação universal.
Entre dois corpos quaisquer, pelo simples fato de
terem massa, existe uma força de atração denominada
força gravitacional.
A medida da força gravitacional é traduzida na
apresentação da lei:
“A força gravitacional entre dois pontos materiais
tem intensidade diretamente proporcional ao
produto de suas massas e inversamente propor- Para um ponto material de massa m colocado em um
cional ao quadrado da distância que os separa.” ponto A, a uma altitude h, temos:
PA = FG
GMm GM
mgA = ––––––– ⇒ gA = –––––––2
(R + h)2 (R + h)
GM
Para h = 0, temos: g0 = –––––
R2
GMm
F = –––––––
d2 Portanto, a gravidade na superfície de um planeta só
depende da massa do planeta (diretamente proporcional
A constante de proporcionalidade G é denominada à massa) e do raio do planeta (inversamente proporcional
constante de gravitação universal ou Constante de Gauss ao quadrado do raio).
e seu valor, obtido por Cavendish, é:
G = 6,7 . 10–11 unidades do S.I.

Supondo ser a Terra esférica e homogênea, devido a
G é uma constante universal que não depende dos razões de simetria, o campo de gravidade em um ponto
corpos que se atraem, da distância ou do meio interposto interno a uma distância r do centro (C) da Terra é devido
entre os corpos. apenas à massa contida na esfera de centro C e raio r.
Observe que a força gravitacional varia com a dis- Assim, em um ponto Pi interno à Terra e a uma dis-
tância da mesma forma que a força eletrostática, porém tância r de seu centro, temos:
existem diferenças marcantes: G Mi
(1) a força eletrostática pode ser de atração ou de regi = –––––– (1)
r2
pulsão, porém a força gravitacional é sempre de atração;
(2) a força eletrostática depende do meio interposto
entre os corpos; a força gravitacional não depende do Sendo ␮ a densidade da Terra, vem:
meio. Mi 4
␮ = ––––––– ⇒ Mi = –– π ␮r3 (2)
4 3
4. Campo de gravidade da Terra –– π r 3
3
A Terra cria em torno de si um campo de forças gra-
vitacionais. Substituindo 2 em 1, resulta:
A intensidade desse campo é medida pela aceleração G 4
da gravidade cujo valor depende da massa da Terra e da gi = –––
2
. –– π␮r 3
r 3
posição do ponto considerado.
Nas proximidades da Terra, o campo de forças é 4
razoavelmente uniforme e sua intensidade vale 9,8m/s2. gi = –– πGμ r ⇒ gi = Kr
3
À medida que nos afastamos muito da Terra, o cam-
K
po de gravidade vai enfraquecendo.
65
A gravidade nos pontos internos à Terra é pro-

porcional à distância ao centro da Terra. Fcp = m ␻2r , em que:
Para o centro da Terra, temos r = 0 e gi = 0; para o pon-
4 ␻ = velocidade angular de rotação da Terra.
to da superfície, temos r = R e g0 = –– πG␮R 9,8m/s2.
3
A força gravitacional que a Terra aplica no ponto
Assim, do centro para a superfície, o campo gra- material tem intensidade constante FG dada por:
vitacional aumenta de intensidade, variando propor-
cionalmente com a distância ao centro da Terra; é nulo no Mm
FG = G ––––
centro e máximo na superfície (9,8m/s2). R2
Esta força gravitacional pode ser imaginada com

duas componentes:
Construindo um gráfico cartesiano representativo da (1) Força centrípeta associada ao movimento circular
intensidade do campo gravitacional (g) com a distância uniforme do ponto material.
ao centro da Terra (r), temos: (2) Peso do ponto material no ponto A.
→ → →
FG = Fcp + PA
Como r varia com a latitude, concluímos que Fcp e

PA variam com a latitude, pois FG tem intensidade cons-
tante (supondo a Terra esférica).
Nos polos (␸ = 90°), temos:

r = 0 ⇒ Fcp = m␻ 2r = 0
mín
GMm
Ppolos = Pmáx = –––––
R2
No Equador (␸ = 0°), temos:

r = R ⇒ Fcp = m␻ 2R
máx
GMm
PEq = Pmín = –––––
2
– m␻2R
R
Consideremos um ponto material de massa m locali-
zado em um ponto A de latitude ␸ (ângulo entre o vetor A variação do peso com a latitude significa variação
→ → da aceleração da gravidade com a latitude.
posição CA e o vetor fixo CO na linha do Equador).
Acompanhando a rotação da Terra, o ponto material
vai descrever movimento circular e uniforme em torno 5. Energia no campo gravitacional
do ponto C’ com raio C’A = r.
Consideremos um campo de forças atrativas, tal que
a intensidade (F) da força de campo é inversamente pro-
porcional ao quadrado da distância (r) entre os corpos
K
que se atraem, isto é: F = –– , em que K é uma constan-
r2
te característica dos corpos em questão.
Considerando-se nula a energia potencial do campo
quando a distância d entre os corpos tende para infinito
(Epot∞ = 0), pode-se demonstrar, com auxílio de cálculo
A força centrípeta Fcp necessária para manter este integral, que a energia potencial, associada ao campo de
movimento tem intensidade dada por: forças, será dada por:
66
K
Epot = – –––
r
Seja M a massa do planeta, r o raio da órbita e G a
O fato de a energia potencial ser negativa quer dizer constante de gravitação universal.
apenas que:
Em todos os pontos do campo, a energia potencial
é menor do que no infinito.
Em outras palavras, poderíamos dizer que, para

transportar os corpos que se atraem para o infinito, onde
a energia de campo é zero, é preciso que um agente
externo ao campo forneça energia aos corpos.
Assim, se a energia potencial de campo for de – 50J,
um agente externo ao campo deve fornecer aos corpos
50J de energia para transportá-los ao infinito. A força gravitacional que o planeta aplica sobre o
É simples compreender que esta energia vai ser usada satélite fará o papel de resultante centrípeta:
para vencer a força de atração que existe entre os corpos. m v2
GMm
De acordo com a Lei da Gravitação Universal de New- Fgrav = Fcp ⇒ ––––––– = –––––––
r
ton, o campo gravitacional entre dois corpos quaisquer de r2

GMm
massas M e m é do tipo mencionado, pois F = –––––– GM
r2 Assim: v= ––––
r
(força atrativa) e, portanto, a energia potencial gravitacio-
nal será dada por: Observemos que, sendo G uma constante universal,
a velocidade de translação tem módulo dependente
GMm apenas da massa do planeta e do raio de sua órbita.
Epot = – ––––––– Para o mesmo planeta, quanto mais próximo for o
r
satélite, maior sua velocidade de translação.
Em relação ao sistema solar, Mercúrio é o planeta
que apresenta maior velocidade escalar média de
translação (mais veloz dos planetas) e Plutão é o que
apresenta menor velocidade escalar média de translação
(mais lento dos planetas).
Considere um corpo de massa m, animado de veloci-
dade escalar v, a uma distância r do centro de massa da
Terra.
Seja M a massa da Terra e G a constante de gravita- ⌬s 2 π r
Sendo v = –– = –––– , vem:
ção universal. ⌬t T
A energia mecânica do corpo (Em) será dada por:

2πr r
–GMm m v2 T = –––– = 2 π r . ––––
v GM
Em = ––––––––– + –––––
r 2

r3
ou ainda: T = 2π ––––
GM
6. Estudo de um
satélite em órbita Portanto, observemos que também o período de um
Um satélite de um planeta, de acordo com as Leis de satélite só depende da massa do planeta e do raio de sua
Kepler, pode estar em órbita elíptica ou circular e o seu órbita.
movimento é mantido pela força de atração gravitacional
aplicada pela Terra.
Na órbita elíptica, a velocidade linear de translação é a) Energia cinética
variável e o movimento não é uniforme.
Estudemos, apenas, um satélite em órbita circular e,
portanto, com movimento uniforme.
Sendo v =
GM
––––
r
e m a massa do satélite, temos:
67
m v2 m GM GMm Para que um satélite seja estacionário, ele deve

Ecin = –––– = –– . –––– ⇒ Ecin = ––––––– satisfazer as condições seguintes:
2 2 r 2r
a) Plano de órbita: a órbita deve estar contida no
b) Energia potencial plano equatorial do planeta.
A energia potencial gravitacional será dada por: b) Trajetória: a órbita deve ser circular.
GMm c) Período de translação: igual ao período de rota-
Epot = – ––––––– ção do planeta.
r
Em se tratando de um satélite estacionário da Terra,
Comparando as expressões das energias cinética e o período de translação deverá ser de 24h e o raio de sua
potencial, notamos que: órbita, calculado por meio da 3ª Lei de Kepler, corres-
ponde a, aproximadamente, 6,7 raios terrestres.
Epot = – 2 Ecin O satélite estacionário tem aplicação em telecomuni-
cações.
c) Energia mecânica
A energia mecânica (Em) é a soma das energias
cinética e potencial:
Em = Ecin + Epot = Ecin + (– 2 Ecin) Para um satélite rasante (junto à superfície terrestre),
desprezando o efeito do ar, temos:
GMm FG = Fcp
Em = – Ecin = – –––––––
2r 2
m v0
mg0 = ––––– ⇒ v0 =
g0 . R
R
Sendo:
g0 = aceleração da gravidade nas proximidades da
A imponderabilidade, isto é, a sensação de ausência
Terra = 10m/s2
de peso (os corpos flutuam dentro da nave em órbita),
não significa que inexista força gravitacional, mas R = raio da Terra = 6,4 . 106m
apenas que esta está sendo utilizada como resultante v0 =

10 . 6,4 . 106 m/s
centrípeta capaz de manter o corpo em órbita. Não há
troca de forças de compressão entre um astronauta e o m km
v0 = 8,0 . 103 –– = 8,0 –––
chão da sua nave, de modo semelhante ao que ocorre s s
quando, na Terra, um elevador está em queda livre e o
passageiro não comprime o piso do elevador. A velocidade do satélite rasante corresponde à velo-
É usual dizer-se que um corpo em órbita não tem peso, cidade de lançamento horizontal de um corpo para trans-
o que significa afirmar que um objeto no interior do satélite formá-lo em um satélite da Terra e é chamada de velo-
e o próprio satélite “caem”, em relação ao planeta, com a cidade cósmica primeira.
mesma aceleração ao longo de suas órbitas, aceleração esta
imposta pela atração gravitacional do planeta. 7. Fuga do campo
gravitacional da Terra
Não se considerando perdas de energia por atrito

com o ar e desprezando a influência de outros corpos ce-
lestes que não o planeta em questão, o satélite é mantido A energia mecânica de um corpo, no campo gravi-
em órbita exclusivamente pela força gravitacional apli- tacional da Terra, é a soma de duas parcelas:
cada pelo planeta, não havendo, pois, necessidade de mv2
nenhum tipo de combustível. a energia cinética –––––
2 , que é sempre não negativa, e
O combustível é usado apenas para colocá-lo na GMm
órbita desejada ou para alterar sua órbita. a energia potencial – ––––– , que é sempre não positiva.
r
A respeito do valor da energia mecânica do corpo, te-
mos três possibilidades:
Um satélite é dito “estacionário” quando ocupa sem- a) Em > 0: isto significa que o corpo tem energia me-
pre a mesma posição em relação a um referencial ligado cânica suficiente para se libertar do campo gravitacional
à superfície do planeta. da Terra e ainda lhe sobra energia para prosseguir viagem.
68
mv2
A energia cinética do corpo, fora do campo ––––– ⭓ mg0R ⇒ v ⭓
2g0R
gravitacional da Terra (Epot = 0), será igual à sua energia 2
mecânica.
b) Em = 0: isto significa que a energia do corpo é ape- A velocidade escalar mínima de lançamento, para
nas suficiente para escapar do campo gravitacional da escapar ao campo gravitacional da Terra, será a veloci-
Terra. dade de escape (ve) dada por:
c) Em < 0: isto significa que o corpo não tem energia
suficiente para se libertar do campo gravitacional da ve =
2g0R
Terra; nesse caso, ou retorna à superfície terrestre ou
entra em órbita em torno da Terra. Adotando g0 = 10m/s2 e R = 6400km = 6,4 . 106m,
Dizemos, então, que existe uma energia que mantém temos:
o corpo preso, ligado à Terra, impedindo-o de escapar ao
ve =
2 . 10 . 6,4 . 106 m/s = 8,0
2 . 103m/s
seu campo gravitacional.
Tal energia é chamada “energia de ligação” entre o ve = 8,0
2 km/s 8,0 . 1,4km/s = 11,2km/s
corpo e a Terra e constitui uma espécie de barreira gra-
vitacional criada pela Terra. Portanto, a velocidade de escape do planeta Terra,
A energia de ligação é numericamente igual à energia isto é, a mínima velocidade com que devemos lançar um
mecânica do corpo com o sinal trocado, isto é: corpo para que não mais retorne à Terra, a partir de sua
superfície, é de, aproximadamente, 11,2km/s.
G M m m v2 Em nosso cálculo, não levamos em consideração a ro-
Elig = – Em = –––––– – –––– tação da Terra, nem a considerável influência do ar, tratan-
r 2
do-se, pois, de um cálculo apenas teórico. Na prática, um
corpo lançado com tal velocidade entraria em incandescên-
cia, em virtude do trabalho da força de resistência do ar.
A velocidade de escape é característica de cada pla-
neta, dependendo apenas de sua massa e raio, na suposição
de não se considerar os efeitos de rotação do planeta.
Para um corpo parado, na superfície da Terra, te-
A velocidade de escape é denominada velocidade cós-
mos: r=Rev=0 mica segunda.
Assim, se lançarmos um corpo horizontalmente, de um
Portanto: ponto bem próximo à superfície terrestre, não levando em
GMm
Elig = –––––– (1) conta a rotação da Terra nem a resistência do ar, teremos:
R
1.a) Para velocidades de lançamento inferiores a
8,0km/s, o projétil terá trajetória parabólica, retornando à
GM
Sendo g0 = ––––– , vem: GM = g0R2 (2) superfície terrestre.
R2
2.a) Para velocidade de lançamento de módulo apro-
Substituindo (2) em (1), resulta: ximadamente igual a 8,0km/s, o projétil assume uma
órbita circular com período aproximado de 84 minutos.
g0 R2 . m
Elig = –––––––– ⇒ Elig = mg0R 3.a) Para velocidades superiores a 8,0km/s e infe-
R
riores a 11,2km/s (velocidade de escape), o projétil assu-
me uma órbita elíptica.
4.a) Para velocidade de módulo aproximadamente
igual a 11,2km/s, o projétil assume trajetória parabólica,
Denomina-se energia de escape a quantidade de
não mais retornando à Terra.
energia mecânica mínima a ser fornecida a um corpo para
que consiga “escapar” do campo gravitacional da Terra. 5.a) Para velocidades superiores a 11,2km/s, o projétil
Em particular, para que um corpo parado na super- assume trajetória hiperbólica, não mais retornando à Terra.
fície da Terra consiga escapar de seu campo gravita- Nas três primeiras hipóteses, o projétil tem energia
cional, ele deve receber uma energia cinética maior ou mecânica negativa e se mantém ligado à Terra; na 4.a hi-
igual à sua energia de ligação com a Terra. pótese, a energia mecânica é nula e na 5.a hipótese, a
energia mecânica é positiva e o projétil não mais retorna
Assim: Ecin ⭓ Eligação ou Eescape = Eligação à Terra.
69
22. (UFLA-MG-MODELO ENEM) – Foram observados no sistema

␣-Centauro dois planetas: um com massa M e outro com massa GM
g = ––––
4 M. Na linha que une os dois planetas, há um ponto P onde os R2
campos gravitacionais gerados por M e 4 M se anulam.
Considerando-se d1 a distância do centro do planeta M ao ponto P
e d2 a distância do centro do planeta 4 M ao ponto P, pode-se G = constante de gravitação universal
afirmar que a razão d1/d2 vale M
a) 1/4 b) 1/2 c) 2 d) 4 e) 8 Portanto, a gravidade é proporcional à razão –––– .
Resolução R2
0,055 MT MT
Mercúrio: ––––––––– 0,38 –––– ⇒ gM < gT
(0,38RT)2 R2T
0,81 MT MT
Vênus: ––––––––– 0,90 –––– ⇒ gV < gT
(0,95RT)2 R2T
0,11 MT MT
Uma partícula de massa m colocada em P ficará em equilíbrio e, Marte: ––––––––– 0,39 –––– ⇒ gM < gT
portanto: (0,53RT)2 R2T
F1 = F2
316,5 MT MT
Júpiter: ––––––––– 2,5 –––– ⇒ gJ > gT
GMm G4Mm (11,2RT)2 R2T
–––––– = ––––––––––
d12 d22 94,8 MT MT
Saturno: ––––––––– 1,1 –––– ⇒ gS > gT
d12 1 (9,4RT)2 R2T
––– = –––
d22 4 14,4 MT MT
Urano: ––––––––– = 0,90 –––– ⇒ gU < gT
(4,0RT)2 R2T
d1 1
–––– = ––– 17,1 MT MT
d2 2 Netuno: ––––––––– 1,1 –––– ⇒ gN > gT
(3,9RT)2 R2T
Resposta: B
Resposta: D
23. (PUC-SP-MODELO ENEM) – Garfield, com a finalidade de dimi-
nuir seu peso, poderia ir para quais planetas? 24. (FCMPA-RS) – A densidade média do planeta Terra é de
5,0 . 103 kg/m3. Qual é a densidade de um planeta que tenha o
mesmo diâmetro da Terra, com aceleração da gravidade
superficial com módulo igual a um quinto (1/5) do módulo da
aceleração da gravidade de nosso planeta?
a) 0,25 g/cm3 b) 0,50 g/cm3 c) 0,75 g/cm3
d) 1,0 g/cm3 e) 5,0 g/cm3
Resolução
1) P = FG
GMm
Considere a tabela a seguir e gTerra = 9,8m/s2, MT = Massa da mg = –––––
R2
Terra e RT = Raio da Terra:
Planetas Massa Raio GM
g = ––––– (1)
R2
Mercúrio 0,055MT 0,38RT
Vênus 0,81MT 0,95RT M M

2) ␮ = ––––– = –––––––––
Vol 4
Marte 0,11MT 0,53RT –– π R3
3
Júpiter 316,5MT 11,2RT
4
Saturno 94,8MT 9,4RT M = ––– π R3 . ␮ (2)
3
Urano 14,4MT 4,0RT
G 4
Netuno 17,1MT 3,9RT (2) em (1): g = ––– . ––– πR3 . ␮
R2 3
a) Marte, Urano e Saturno b) Vênus, Urano e Netuno
c) Marte, Vênus e Saturno d) Mercúrio, Vênus e Marte 4
e) Mercúrio, Vênus e Júpiter g = ––– π G␮R
3
Resolução
A gravidade na superfície de um planeta esférico de massa M e
raio R tem módulo g dado por:
70
1 ␮T
RX = RT e gX = ––– gT ⇒ ␮X = –––
5 5
␮X = 1,0 . 103 kg/m3 = 1,0 g/cm3
Resposta: D
25. (UEL-PR) – Um corpo de massa m, com uma energia cinética

desprezível em relação à sua energia potencial, está situado a uma
distância r do centro da Terra, que possui raio R, massa M e
g = GM/R2.
Suponha que esse corpo caia em direção à Terra.
Desprezando-se os efeitos de rotação da Terra e o atrito da Considere as proposições que se seguem:
atmosfera, assinale a alternativa que contém a relação que I. Os astronautas flutuam porque a nave e todo o seu conteúdo
permite calcular o módulo da velocidade v do corpo no instante estão em queda livre.
em que ele colide com a Terra. II. A “gravidade zero” no interior da nave é explicada por estar a
nave fora do campo gravitacional criado pela Terra.
––r ––R
1 1 1 1 III. A força gravitacional que a Terra aplica no sistema formado
a) V2 = 2gR2 – –– b) V2 = 2gR2 + ––
R r pela nave e pelo seu conteúdo faz o papel de resultante
centrípeta.
––R ––R
1 1 1 1 Responda mediante o código:
c) V2 = 2gR2 . –– d) V2 = 2g2R – –– a) Apenas I está correta. b) Apenas II está correta.
r r
c) Apenas III está correta. d) Apenas I e II estão corretas.
––R
1 1 e) Apenas I e III estão corretas.
e) V2 = 2gR2 – –– Resolução
r
I. Correta. Um corpo está em queda livre quando está sob ação
Resolução exclusiva da força gravitacional. Todo corpo em órbita (circular
ou elíptica) está em uma eterna queda livre.
II. Falsa.
III. Correta. O movimento da nave é circular uniforme e a força
resultante é centrípeta.
Resposta: E
27. (UNESP) – Um satélite com massa m gira em torno da Terra com

velocidade escalar constante, em uma órbita circular de raio R, em
relação ao centro da Terra. Represente a massa da Terra por M e
a constante gravitacional por G. Utilizando-se dos conceitos de
forças centrípeta e gravitacional, calcule, em função de m, M, R e
G,
a) a velocidade escalar do satélite;
GMm
Ponto A: Epot = – –––––– b) a constante K que aparece na terceira Lei de Kepler, T2 = KR3,
A r em que T é o período do movimento.
Resolução
GMm m V2 a) Sendo a órbita circular, o movimento orbital é uniforme e a
Ponto B: Epot = – –––––– ; Ecin = –––––– força gravitacional que a Terra aplica no satélite faz o papel de
B R B 2 resultante centrípeta:
FG = Fcp
EB = EA (sistema conservativo)
G M m mV2
m V2 GMm GMm –––––––– = ––––––
–––––– – ––––––– = – –––––– R2 R
2 R r

G M
V2 1 1 1 1 V= ––––––
––– = GM
2 ––– – –––
R r
⇒ V2 = 2GM
––– – –––
R r
R
b) A velocidade escalar V também é dada por:
GM = gR2 ⇒ V2 = 2 g R2 1 1
––– – –––
R r
⌬s 2πR
V = –––– = –––––
⌬t T
Resposta: E

2πR GM
Portanto: –––– = ––––
T R
26. (UNIP-SP-MODELO ENEM) – A ilustração a seguir representa
astronautas flutuando no interior de uma nave que está em órbita
circular em torno do centro da Terra, sob ação exclusiva da força 4 π 2R 2 GM
gravitacional aplicada pela Terra. ––––––– = ––––
T 2
R
71
Resolução
4π2
T2 = –––– . R3 A balança indicará zero quando a aceleração da gravidade (de mó-
GM dulo g = 10m/s2) for igual à aceleração centrípeta da pessoa para
acompanhar o movimento de rotação da Terra.
g = acp = ␻2 R
Sendo T2 = K R3, vem:
g g 2π
␻2 = –––– ⇒ ␻ = –––– = ––––
4π2 R R T
K = ––––––
GM
R
T = 2π ––––

G M g
Respostas: a) V = ––––––
R
6,4 . 106
T=6 –––––––– (s)
4π2 10
b) K = ––––
GM
T=6
64 . 104 (s)
28 (UFT) – Quantas horas deveria ter, aproximadamente, o período T = 6 . 8 . 102s = 4800s

de rotação da Terra em torno de seu eixo para que uma balança
localizada sobre a linha do equador indicasse zero para o peso de
uma pessoa de 70 kg? T = 1h + 1200s
Dados: Raio da Terra = 6,4 . 106m
g = 10m/s2 T = 1h + 20min
π=3
a) 1h e 20 min b) 37h e 12 min c) 48 h
d) 24 h e) 6 h e 37 min Resposta: A
29. (UNESP) – A força gravitacional entre um satélite e a Terra tem 33. (VUNESP-FMJ-SP) – O planeta Urano, descoberto em 1781,
intensidade igual a F. Se a massa desse satélite fosse quadrupli- apresenta como peculiaridade o fato de seu eixo de rotação ser
cada e a distância entre o satélite e o centro da Terra duplicasse, praticamente paralelo ao plano de sua órbita, ou seja, é um
a intensidade da força gravitacional seria planeta “deitado”. O raio de Urano é 4 vezes maior do que o raio
a) F/4 b) F/2 c) 3F/4 d) F e) 2F da Terra, e sua massa é aproximadamente 16 vezes maior que a
da Terra. Sendo gU e gT as intensidades dos campos
30. (FUVEST) – No sistema solar, o planeta Saturno tem massa cerca gravitacionais criados por Urano e pela Terra em suas respectivas
de 100 vezes maior do que a da Terra e descreve uma órbita, em superfícies, pode-se afirmar que:
torno do Sol, a uma distância média 10 vezes maior do que a dis- a) gU = (1/4) gT b) gU = (1/2) gT c) gU = gT
tância média da Terra ao Sol (valores aproximados). A razão FSat/FT d) gU = 2 gT e) gU = 4 gT
entre a intensidade da força gravitacional com que o Sol atrai
Saturno e a intensidade da força gravitacional com que o Sol atrai a 34. (UNIFESP) – Estima-se que o planeta Urano possua massa 14,4
Terra é de aproximadamente: vezes maior que a da Terra e que o módulo da sua aceleração
a) 1000 b) 10 c) 1 d) 0,1 e) 0,001 gravitacional na linha do equador seja 0,9g, em que g é o módulo
da aceleração gravitacional na linha do Equador da Terra. Sendo
31. (FUVEST) – A razão entre as massas de um planeta e de seu RU e RT os raios nas linhas do equador de Urano e da Terra,
satélite é 81. Um foguete está a uma distância R do centro do respectivamente, e desprezando-se os efeitos da rotação dos
planeta e a uma distância r do centro do satélite. Qual deve ser planetas, RU/RT vale
R a) 1,25 b) 2,5 c) 4 d) 9 e) 16
o valor da razão ––– para que as duas forças de atração sobre o
r
35. (FUVEST-SP) – Recentemente, Plutão foi “rebaixado”, perdendo
foguete se equilibrem? sua classificação como planeta. Para avaliar os efeitos da gravidade
em Plutão, considere suas características físicas, comparadas com
32. (UEPB) – Duas partículas de massas iguais a m estão localizadas as da Terra, que estão apresentadas, com valores aproximados, no
em vértices opostos de um quadrado de lado d. Duas outras quadro a seguir.
partículas, com massas iguais a m 2, estão localizadas nos ou-
tros dois vértices desse quadrado. Nessa situação, o módulo da Massa da Terra (MT) = 500 x Massa de Plutão (MP)
força gravitacional resultante que age sobre uma das partículas de Raio da Terra (RT) = 5 x Raio de Plutão (RP)
maior massa é dado por:
Gm2 Gm2 Gm2 a) Determine o peso, na superfície de Plutão (PP), de um corpo que
a) ––––– (1 + 2
2) b) 3 ––––– c) ––––– na superfície da Terra pesa 40 N (PT = 40 N).
d2 d2 d2
b) Estime a altura máxima H, em metros, que uma bola, lançada
verticalmente com velocidade de módulo V0, atingiria em
Gm2 3 Gm2 Plutão. Na Terra, essa mesma bola, lançada com a mesma
d) 2
2 ––––– e) –– –––––
d2 2 d2 velocidade, atinge uma altura hT = 1,5 m.
72
NOTE E ADOTE:
GMm
F = ––––––– ; Peso = mg; gT = 10m/s2
R2
Despreze o efeito da amotsfera e não considere os efeitos de
rotação da Terra e de Plutão.
36. (UNESP) – Desde maio de 2008, o IBAMA recebe imagens do

ALOS (satélite de observação avançada da Terra) para monitorar o
desmatamento na Floresta Amazônica. O ALOS é um satélite
japonês que descreve uma órbita circular a aproximadamente
700 km de altitude. São dados o raio e a massa da Terra,
rT = 6 400 km e M = 6,0 . 1024 kg, respectivamente, e a constante
gravitacional, G = 6,7 . 10−11 N . m2/kg2.
Determine o módulo da aceleração da gravidade terrestre, em
m/s2, na altitude em que esse satélite se encontra.
37. (PUCC-SP) – O módulo da aceleração da gravidade varia em

função da altitude. Para que o módulo da aceleração da gravidade
reduza-se à quarta parte de seu valor na superfície da Terra, é 42. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA) – Dois satélites artificiais
preciso elevar-se a uma altura da superfície, medida em função do orbitam em torno dos centros da Terra e da Lua, em trajetórias
raio terrestre, igual a: circulares de mesmo raio R. Considere a massa da Terra 81 vezes
a da Lua.
1 1 3 a) Qual a razão entre os módulos das velocidades orbitais dos
a) –– b) –– c) 1 d) –– e) 2 dois satélites?
4 2 2
b) Qual a razão entre seus períodos de translação?
38. (ITA) – Numa dada balança, a leitura é baseada na deformação de 43. (UFBA) – Um planeta X, que tem, em relação à Terra, massa oito
uma mola quando um objeto é colocado sobre sua plataforma. vezes maior e raio duas vezes maior, gira em torno do seu próprio
Considerando-se a Terra como uma esfera homogênea, assinale a eixo, com velocidade angular tal, que todo corpo localizado sobre
opção que indica uma posição da balança sobre a superfície seu equador tem peso aparente nulo. Se esse fato ocorresse na
terrestre onde o objeto terá a maior leitura. Terra, o dia terrestre duraria apenas T0 = 1h e 24 min. Nessas
a) Latitude de 45°. condições, determine o período de rotação do planeta X, em múl-
b) Latitude de 60°. tiplos de T0.
c) Latitude de 90°.
d) Em qualquer ponto do Equador. 44. (UECE) – A Lua descreve um círculo de raio r em torno da Terra
e) A leitura independe da localização da balança já que a massa em 28 dias terrestres. Sendo G a constante da gravitação
do objeto é invariável. universal e m e M as massas da Lua e da Terra, respectivamen-
te, a intensidade da variação da quantidade de movimento linear
39. (UNESP) – Em abril de 2007, foi anunciada a descoberta de da Lua em 14 dias é:
G581c, um novo planeta fora de nosso sistema solar e que tem
algumas semelhanças com a Terra. Entre as várias características GMm 2GMm2
a) –––––– b) –––––––
anunciadas, está o seu raio, 1,5 vez maior que o da Terra. Consi- r2 r
derando-se que a massa específica desse planeta seja uniforme e
igual à da Terra, utilize a lei da gravitação universal de Newton para 4GMm 4GMm2
calcular o módulo da aceleração da gravidade na superfície de c) –––––– d) –––––––
G581c, em termos do módulo da aceleração da gravidade g, na r r
superfície da Terra.
40. (UFPE) – À medida que se aproxima da superfície de um planeta, 45. (VUNESP) – Um satélite, de massa m, circula em órbita estável a
uma sonda espacial envia dados para a Terra. A tabela abaixo uma distância d do centro de um planeta de massa M.
indica os valores medidos para o módulo da aceleração da
gravidade desse planeta como função da distância h da sonda à
sua superfície.
g(m/s2) h(km)
0,6 4,8 . 103
2,4 0,7 . 103
O raio do planeta vale:

a) 0,7 . 106m b) 1,4 . 106m c) 3,4 . 106m
d) 4,8 . 106m e) 6,4 . 106m
41. A força gravitacional da Lua sobre a Terra causa o efeito das ma-
rés. A figura (fora de escala) que melhor representa esse efeito
está no item: Considerando-se a constante de gravitação universal G, a energia
cinética desse satélite pode ser dada por
73
a) GMm/2d2 b) GMm/d2 c) GMm/4d

NOTE E ADOTE:
d) GMm/2d e) GMm/d
A intensidade da força de atração gravitacional sobre um corpo
46. Considere um planeta esférico de densidade constante ␮ isento de massa m é F= GmMT/r2, em que r é a distância entre o corpo
de atmosfera. e o centro da Terra, G é a constante gravitacional e MT é a
Seja G a constante de gravitação universal e T o período de massa da Terra.
2
translação de um satélite rasante ao planeta. Na superfície da Terra, F = mg, em que g = GMT / RT ;
2 6
g = 10m/s e RT = 6,4 x 10 m.
O valor de T é dado por:
(Para resolver esta questão, não é necessário conhecer nem G
1
___ 3π 2π
___ nem MT).
a) T = 2π b) T = –––––– c) T =
G␮
G␮ G␮ Considere π ≈ 3 e despreze o efeito do ar.
3π
___ π
___
d) T = e) T = 50. Seja M a massa da Terra, m a massa de um satélite que está em
G␮ G␮
órbita circular de raio r e G a constante de gravitação universal.
47. Uma estrela dupla é constituída por duas estrelas, de mesma Sabe-se que a energia potencial gravitacional Ep entre a Terra e o
massa M e cujos centros de massa estão a uma distância R, satélite é dada por:
gravitando em torno do centro de massa do conjunto, em órbitas
circulares. GMm
Ep = – ––––––––
Sendo G a constante de gravitação universal, determine o período r
T de translação das estrelas.
48. Um sistema de três estrelas é constituído por duas estrelas de A razão entre Ep e a energia cinética do satélite Ec é dada por:
mesma massa m que giram em torno de uma estrela central de Ep Ep
massa M, na mesma órbita circular de raio r. a) ––––– = – 2 b) –––– = – 1
EC EC
Ep m Ep M
c) ––––– = –––– d) –––– = –––
EC M EC m
Ep
e) ––––– = 1
EC
51. Considere um satélite da Terra em órbita circular de raio r. A Terra

tem massa M, o satélite tem massa m e a constante de
gravitação universal vale G.
O raio da Terra vale R e os efeitos de sua rotação e da presença
da atmosfera devem ser desprezados.
As duas estrelas de mesma massa estão sempre alinhadas com
Determine
o centro da órbita.
a) o módulo da velocidade orbital do satélite em função de G, M
Sendo G a constante de gravitação universal, o módulo da
e r;
velocidade de translação das estrelas de massa m, em função de
b) o módulo g0 da aceleração da gravidade na superfície terrestre
G, M, m e r, é dado por:
em função de G, M e R;

G m G c) a energia mecânica total do satélite em função de G, M, m e
a) V = –– M + ––– b) V = –– (M + m) r;
r 4 r
Considere nula a energia potencial gravitacional no infinito.
d) a velocidade de escape de um corpo, a partir da superfície

G m

G M
c) V = –– M + ––– d) V = –– ––– + m terrestre, em função de R e do módulo da aceleração da
r 2 r 4 gravidade na superfície terrestre indicado por g0.

G M+m NOTE E ANOTE
e) V = –– –––––––
r 4
1) A força gravitacional entre dois corpos de massas M
49. (FUVEST) – Um satélite artificial, em órbita circular em torno da e m, com centros de massa se parados por uma
Terra, mantém um período que depende de sua altura em relação distância d, tem intensidade F dada por:
à superfície da Terra. Determine
a) o período T0 do satélite, em minutos, quando sua órbita está Mm
muito próxima da superfície (Ou seja, está a uma distância do F = G ––––
centro da Terra praticamente igual ao raio da Terra.); d2
b) o período T4 do satélite, em minutos, quando sua órbita está a
uma distância do centro da Terra aproximadamente igual a 2) Para um referencial no infinito, a energia potencial
quatro vezes o raio da Terra. gravitacional E p entre dois cor pos de massas M e m,
com cen tros de mas sa separados por uma distân cia
d, vale:
–GMm
Ep = –––––––––
d
3) Velocidade de escape é a menor velo ci dade de lança -

mento de um corpo, a par tir da su perfície terrestre,
para que o corpo escape do campo gra vitacional da
Terra.
Nesse cálculo, não se considera a pre sen ça da
atmosfera terrestre.
74
52. (FUVEST-SP) – Alienígenas desejam observar o nosso planeta. O astrônomo inglês Edmund Halley, em 1758, aplicou a física
Para tanto, enviam à Terra uma nave N, inicialmente ligada a uma newtoniana para prever a aparição de um cometa, cometa de
nave auxiliar A, ambas de mesma massa. Quando o conjunto de Halley, que já havia sido observado em 1607 e 1682. Infelizmente,
naves se encontra muito distante da Terra, sua energia cinética e não foi possível para Halley confirmar seus estudos.
sua energia potencial gravitacional são muito pequenas, de forma A Lei de Newton utilizada por Halley está descrita na alternativa:
que a energia mecânica total do conjunto pode ser considerada a) Todo corpo que atua sobre outro corpo, por meio de uma
nula. Enquanto o conjunto é acelerado pelo campo gravitacional da força, recebe deste último uma força de reação de mesma
Terra, sua energia cinética aumenta e sua energia potencial fica direção, intensidade e de mesmo sentido.
cada vez mais negativa, conservando a energia total nula. Quando b) Dois corpos de massas iguais ou distintas, separados por uma
o conjunto N-A atinge, com velocidade V0 (a ser determinada), o distância, atraem-se devido a uma força de natureza
ponto P de máxima aproximação da Terra, a uma distância R0 de gravitacional, na direção que os une.
seu centro, um explosivo é acionado, separando N de A. A nave N c) Todo corpo mantém seu estado de repouso ou em movimento
passa a percorrer, em torno da Terra, uma órbita circular de raio R0, retilíneo uniforme, quando o somatório das forças sobre ele
com velocidade VN (a ser determinada). A nave auxiliar A adquire for igual a zero.
uma velocidade VA (a ser determinada). Suponha que a Terra d) Quando o somatório das forças em um corpo for igual a zero,
esteja isolada no espaço e em repouso. a velocidade do corpo é constante e ele descreve uma
trajetória circular.
e) A ação de uma força constante em um corpo é proporcional à
sua aceleração, tendo esta mesma direção e intensidade da
força.
54. (UFSCar-SP-MODELO ENEM) – Leia a tirinha.
Não é difícil imaginar que Manolito desconheça a relação entre a

força da gravidade e a forma de nosso planeta. Brilhantemente
traduzida pela expressão criada por Newton, conhecida como a lei
de gravitação universal, esta lei é por alguns aclamada como a
quarta Lei de Newton. De sua apreciação, é correto entender que
a) em problemas que envolvem a atração gravitacional de corpos
sobre o planeta Terra, a constante de gravitação universal,
inserta na expressão newtoniana da lei de gravitação, é
chamada de aceleração da gravidade.
b) é o planeta que atrai os objetos sobre sua superfície e não o
contrário, uma vez que a massa da Terra supera muitas vezes a
massa de qualquer corpo que se encontre sobre sua superfície.
NOTE E ADOTE c) o que caracteriza o movimento orbital de um satélite terrestre
é seu distanciamento do planeta Terra, longe o suficiente para
1) A força de atração gravitacional F, entre um corpo de massa que o satélite esteja fora do alcance da força gravitacional do
m e o planeta Terra, de massa M, tem planeta.
d) a força gravitacional entre dois corpos diminui linearmente
GMm conforme é aumentada a distância que separa esses dois
intensidade dada por F = –––––––– = mgR. corpos.
R2 e) aqui na Terra, o peso de um corpo é o resultado da interação
2) A energia potencial gravitacional EP do sistema formado pelo atrativa entre o corpo e o planeta e depende diretamente das
corpo e pelo planeta Terra, com referencial de potencial zero massas do corpo e da Terra.
no infinito, é dada por:
– GMm 55. (FUVEST-MODELO ENEM) – A Estação Espacial Internacional,
EP = ––––––––.
R que está sendo construída num esforço conjunto de diversos
países, deverá orbitar a uma distância do centro da Terra igual a
G: constante universal da gravitação. 1,05 do raio médio da Terra. A razão R = Fe/F, entre a intensidade
R: distância do corpo ao centro da Terra. da força Fe com que a Terra atrai um corpo nessa Estação e a
gR: módulo da aceleração da gravidade à distância R do centro intensidade da força F com que a Terra atrai o mesmo corpo na
da Terra. superfície da Terra, é aproximadamente de
a) 0,02 b) 0,05 c) 0,10
Determine, em função de M, G e R0, d) 0,50 e) 0,91
a) o módulo da velocidade V0 com que o conjunto atinge o ponto
P; 56. (UNESP-MODELO ENEM) – A Lei da Gravitação Universal foi pu-
b) o módulo da velocidade VN, de N, em sua órbita circular; blicada em 1687 pelo físico e matemático inglês Isaac Newton.
c) o módulo da velocidade VA, de A, logo após se separar de N. Por meio dessa lei, podem-se determinar as intensidades das for-
ças de interação gravitacional entre a Terra e a Lua, FTL, e entre o
53. (UNESP-MODELO ENEM) – Isaac Newton procurou unificar a Sol e a Lua, FSL. Considerando-se que a massa do Sol é 3,2 . 105
física celeste com a física terrestre, ou seja, leis que regem vezes a massa da Terra e que a distância média do Sol à Lua é 400
movimentos observados no céu podem explicar os movimentos vezes a distância média da Terra à Lua, a relação aproximada entre
observados na Terra. estas duas intensidades de força é
75
a) FTL = 0,5 FSL b) FTL = FSL 58. (VUNESP-MODELO ENEM)

c) FTL = 1,5 FSL d) FTL = 2 FSL MARÉS TERRESTRES
e) FTL = 2,5 FSL Maré é o fenômeno da subida e da descida do nível das águas e
também do solo de uma região por causa dos efeitos gravitacio-
nais criados pela Lua e pelo Sol. A região da Terra que estiver
voltada para um desses astros sofre uma atração gravitacional
57. (FAAP-SP-MODELO ENEM) maior do que aquela sofrida pela região mais distante. Essas
forças desiguais causam acelerações também desiguais que
acabam deformando, temporariamente, a distribuição de massas
na Terra. Apesar do nome parecer paradoxal, ocorrem, de fato,
marés terrestres, ou seja, o solo da Terra ‘sobe’ e ‘desce’
dependendo das posições do Sol e da Lua. Mas, sobe e desce em
relação a quê? Não podemos esquecer que boa parte do interior
da Terra está na forma pastosa, e que os continentes ‘boiam’
sobre essa pasta como se cada continente fosse um pequeno
barco. Da mesma forma que as marés ‘marítimas’ deformam a
distribuição das águas, elas redistribuem também a parte pastosa
da Terra. Com isso, os continentes parecem subir e descer com
relação ao centro da Terra. É a esse movimento que chamamos
de marés terrestres. (www.iag.usp.br)
Sobre o texto apresentado, são feitas as afirmações seguintes.
I. O fenômeno das marés pode ser explicado pela Lei da
Gravitação Universal, proposta por Newton.
II. Forças resultantes desiguais causam acelerações desiguais,
Nasa quer construir base espacial próxima à Lua somente quando agem em corpos de mesma massa.
III. Os continentes boiam sobre o centro pastoso da Terra porque
Embora a construção da ISS (Estação Espacial Internacional) ainda a força de atração gravitacional, exercida pelo Sol e pela Lua
esteja longe de acabar, a Nasa está fazendo de tudo para deixar sobre eles, e a força peso desses continentes formam um par
claro que seu programa tripulado não para por aí. Durante o de forças tipo ação-reação, anulando-se.
Congresso Espacial Mundial, que começou na última quinta-feira e É correto o contido em
vai até sábado, em Houston, EUA, a agência espacial norte-ame- a) I, apenas. b) II, apenas. c) I e II, apenas.
ricana apresentou o próximo item em sua lista de prioridades d) II e III, apenas. e) I, II e III.
astronáuticas – uma nova base no espaço. (…)
A base, apelidada de L1 Gateway, ficaria mais de 800 vezes mais 59. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE ASTRONOMIA-MODELO ENEM) –
distante da Terra que a ISS. Sua localização seria no primeiro dos As Viagens Espaciais. Durante as viagens dos ônibus espaciais,
cinco pontos de Lagrange do sistema Terra-Lua (daí o “L1” do no- têm sido comum atividades de videoconferência, nas quais
me). O ponto de Lagrange (ou de libração), nesse caso, é um local estudantes aqui da superfície conversam com os astronautas,
do espaço em que a gravidade da Terra e da Lua se compensam, que estão em órbita, em geral a uma altura da ordem de 300
fazendo com que um objeto ali localizado fique mais ou menos no quilômetros da superfície terrestre. Um estudante secundarista,
mesmo lugar (com relação à Terra e à Lua) o tempo todo. (…) que assistiu a uma dessas transmissões, numa sala de aula aqui
(Folha de S.Paulo, 15/10/02) no Brasil, ficou curioso em saber o motivo pelo qual o fio do
microfone usado pelos astronautas parecia flutuar o tempo todo
Considere que a massa da Terra (M) seja cerca de 81 vezes maior dentro da nave. Conversando com colegas logo após terem visto
que a massa da Lua (m). Seja D a distância entre os centros de a referida situação, o estudante e seus colegas elaboraram as
massa da Terra e da Lua. seguintes explicações sobre o fato de verem o fio flutuando no
interior da nave. Indique, entre as explicações apresentadas pelo
estudante e seus colegas, qual é fisicamente correta. O fio flutua
porque
a) a força centrípeta sobre a nave e tudo em seu interior anula a
força de atração gravitacional.
b) as naves espaciais estão em órbita em uma região onde a
gravidade é nula.
c) o ônibus espacial em órbita se comporta como um corpo em
queda livre.
d) em órbita, a contribuição da atração gravitacional da Lua sobre
os corpos se torna importante e é isso que faz com que os
A distância d entre a base L1 Gateway e o centro da Terra vale: corpos flutuem.
a) 90%D b) 81%D c) 80%D e) a força gravitacional que a Lua aplica sobre a nave equilibra a
d) 79%D e) 75%D força gravitacional que a Terra aplica sobre a nave.
7) B 8) B 9) D 14) a) 103 15) a) 5,0 . 10 2s e 2,0 . 10 4s

1 b) 248 anos
10) a) máxima em P e mínima em A b) –––
10
b) TVPI < TPIA = TAVP < TIAV
1 c) 10
11) A 12) D 13) mG = ––– M
8 16) a) Aproximadamente 4,4 anos terrestres.
b) O ano de Mercúrio é mais curto que o terrestre.
76
17) a) 25 ua 18) a) 1,9 . 1027 kg 41)

1 b) 6,5d
b) –––
5
19) D 20) E 21) C 22) B 23) D
24) D 25) E 26) E

G M
27) a) V = –––––– A Terra e a Lua gravitam em MCU em torno do centro de
R massa do sistema Terra–Lua.
4π2 Para o centro C da Terra, a força gravitacional aplicada pela
b) K = ––––– Lua tem a mesma intensidade da resultante centrípeta.
GM Para o ponto A, a força gravitacional é mais intensa que a
centrípeta necessária, provocando a protuberância de água
R na face voltada para a Lua.
29) D 30) C 31) ––– = 9 Para o ponto B, a força gravitacional é menor que a centrípeta
r
necessária, provocando a protuberância na face oposta à Lua.
32) B 33) C 34) C Resposta: D
35) a) Desprezando-se os efeitos de rotação, temos: VT

P = FG 42) a) ––– = 9
VL
GMm GM
mg = ––––––– g = ––––––
R2 R2 TT VL 1
b) –––– = –––– = –––
TL VT 9
g = módulo da aceleração da gravidade na superfície do
planeta 43) 1 44) D 45) D 46) D
M = massa do planeta
R = raio do planeta
R3

gP MP RT 2 47) T = 2π –––––– 48) A
Portanto: ––––– = ––––– ––––– 2GM
gT MT RP
49) a) Para um satélite em órbita circular, a aceleração da gra-
MP 1 RT vidade nos pontos da órbita é igual à aceleração centrí-
Sendo ––––– = ––––– e ––––– = 5, vem: peta associada ao seu movimento:
MT 500 RP g = acp = ␻2 r
g g 2π g
gP 1 1 ␻2 = –– ⇒ ␻ = –– ⇒ ––– = ––
––––– = ––––– . 25 = –––– ⇒ gP = 0,5 m/s2 r r T r
10 500 20
Na Terra: PT = m gT r 6,4 . 106

T=2π –– ⇒ T0 = 6 ––––––– (s) = 4800 s
g 10
Em Plutão: PP = m gP
PP 0,5 4800
––––– = –––– ⇒ PP = 2,0 N T0 = ––––– (min) ⇒ T = 80 min
40 10 60 0
b) No lançamento vertical, temos: b) Para r = 4 RT , temos:

GM GM g0 10
V 2 = V02 + 2␥ ⌬s (MUV) g = –––– = –––––– = ––– = ––– (m/s2)
d2 2
0 = V02 + 2(– g)H 16 RT 16 16
V02 Portanto:
H = –––––
2g 4 . 6,4 . 106
T4 = 2 π –––––––––– (s)
10/16
Para o mesmo valor de V0 , temos:
HP gT T4 = 6 . 8 . 800 (s) = 38400 s
––––– = ––––
HT gP 38400
T4 = ––––– (min) ⇒ T4 = 640 min
60
H 10
––––– = –––– ⇒ H = 30m Respostas: a) 80 min
1,5 0,5 b) 640min
Respostas: a) 2,0N 50) A

b) 30m
51) a) A força gravitacional que a Terra aplica no satélite faz o
36) 8,0m/s2 37) C 38) C 39) gG = 1,5g papel de resultante centrípeta:
40) C FG = Fcp
77
52) a) Usando-se a conservação da energia mecânica do sistema

GMm mV2 GM formado pelas duas naves, antes da explosão, entre o
––––––– = ––––––– ⇒ V = ––––
r2 r r ponto muito afastado (infinito) e o ponto P, vem:
E⬁ = EP
b) A força gravitacional que a Terra aplica em um corpo, na
superfície dela, corresponde ao peso do corpo.
– GM2m 2m 2
FG = P 0 = –––––––––– + ––––– V0
R0 2
GMm GM
––––––– = m g0 ⇒ g0 = –––––
em que m é a massa de cada nave.
R2 R2

c) 1) A energia cinética do satélite é dada por: 2
GM
V0 2GM
––– = ––––– ⇒ V0 = –––––

m V2m GM 2 2 R0 R0
EC = ––––––– = –––– ––––
2 2 r
GMm b) Para a nave em órbita circular e movimento uniforme em

EC = –––––– torno do centro da Terra, teremos:
2r
2) A energia mecânica total Em é dada por: FG = Fcp

Em = Ep + EC

GMm GMm GMm mVN2
Em = – ––––––– + ––––––– GM
r 2r ––––– = –––––– ⇒ VN = –––––
R02 R0 R0
GM m
Em = – ––––––– = – EC
2r c) No ato da explosão, o sistema é isolado e haverá conser-
vação da quantidade de movimento total do sistema:
d) Se o corpo escapar do campo gravitacional da Terra, sua
energia potencial gravitacional vai-se anular. → →
Qapós = Qantes
Usando-se a conservação da energia mecânica entre a
posição de lançamento e a posição fora do campo gravi-
m VN + m VA = 2m V0
tacional, vem:
Einicial = Efinal VN + VA = 2V0
mV02 GMm
––––
––– – ––––
––– = Ecin VA = 2V0 – VN
2 R f
2GM GM
Como Ecin ⭓ 0, vem: VA = 2 ––––– – –––––
f R0 R0
mV02 GMm
––– ⭓ 0
––– – ––––
––––
2 R
8GM GM
VA = ––––– – –––––
V02 GM 2GM R0 R0
– ⭓ –––– ⇒ V0 ⭓
–––– ––––––
2 R R
2GM GM
Ve = V0 (mín) = ––––– VA = (
8 – 1) –––––
R R0
GM
Sendo g0 = –––– , vem GM = g0 R2 2GM GM
R2 Respostas: a) V0 = ––––– b) VN = –––––
R0 R0
g0R2 GM
Ve = 2 ––––– ⇒ Ve =
2g0R c) VA = (
8 – 1) –––––
R R0

GM GM
Respostas: a) V= –––– b) g0 = ––––– 53) B 54) E 55) E 56) A 57) A
r R2
58) A 59) C
c)
GMm
Em = – –––––– d) Ve =
2g0R
2r
78
CAPÍTULO
Mecânica
5 ORIGEM E EVOLUÇÃO DO UNIVERSO
E instein foi um dos maiores físicos de todos os tempos.

Sua obra mais importante foi a teoria da relatividade,
porém recebeu o prêmio Nobel de Física por seus estudos
sobre o efeito fotoelétrico.
1. Matéria e antimatéria minada velocidade de escape ou velocidade cósmica

segunda, e seu módulo é dado pela seguinte expressão:
As partículas de matéria e de antimatéria têm massas
iguais e cargas com sinais opostos.
Se a partícula não tiver carga, ela difere da antipar-
tícula por alguma outra propriedade, porém as massas se-
VE =
2GM
––––––
R
rão sempre iguais. G = constante de gravitação universal.

As principais partículas de antimatéria são: M = massa do planeta ou corpo celeste.
(1) Antielétron, também chamado de pósitron, tem R = raio do planeta ou corpo celeste, suposto esférico.
mesma massa do elétron e carga positiva. Para a Terra, o módulo da velocidade de escape é de
(2) Antipróton, partícula que tem a mesma massa 11,2km/s.
do próton e carga negativa. Uma região do espaço é chamada de buraco negro
O antiátomo é formado com as antipartículas e a quando a concentração de massa é tão grande, a força
antimolécula é formada com os antiátomos. Quando uma gravitacional é tão intensa, que a velocidade de escape é
partícula encontra sua antipartícula, ocorre um processo maior que a velocidade da luz no vácuo (3,0 . 108m/s).
denominado aniquilação e a matéria total de ambas é Isto significa que nada, nem mesmo a luz, conseguirá
integralmente transformada em energia, na forma de escapar da influência gravitacional do buraco negro.
radiações, de acordo com a Equação de Einstein: Obviamente, por não deixar a luz escapar, o buraco negro
não pode ser “visto”, mas a sua presença é percebida
E = mc2
pelos efeitos gravitacionais produzidos em suas vizinhan-
c: módulo da velocidade da luz no vácuo = 3,0 . 108m/s ças como, por exemplo, desviando a luz que passa em suas
m: massa aniquilada proximidades e tornando curva a trajetória dela.
E: energia radiante produzida
3. O surgimento do
2. Buraco negro Universo e sua evolução
Considere um corpo celeste como, por exemplo, um
planeta. Despreze o efeito da atmosfera e da rotação do Em Astronomia, chamamos de Universo o espaço
planeta. Se lançarmos uma partícula, a partir da superfície com a matéria e a energia que o formam.
do planeta, com uma velocidade suficientemente grande, a A Cosmologia estuda a origem, a estrutura e a evo-
partícula pode escapar da influência gravitacional do lução do Universo ou de partes componentes deste, tal
planeta. A velocidade mínima para que isto ocorra é deno- como um sistema planetário.
79
Muitos foram
os seres humanos – 1965 – Os físicos
que dedicaram as norte-americanos Arno
suas vidas ao es- Penzias e Robert Wil-
tudo das ciências e son detectam a radiação
da descoberta da cósmica de fundo, equi-
origem do Uni- valente à radiação emi-
verso. tida por um corpo ne-
gro a uma temperatura
de 2,7K.
Entre as principais descobertas e teorias desen-
volvidas para elucidar a origem do Universo, podemos
citar:
Para a análise do Universo como um todo, temos de
– 1905 – Albert Einstein enuncia a nos basear no estudo da força gravitacional, que é a
Teoria da Relatividade e, em 1907, única das quatro interações fundamentais que apresenta
mostra a equivalência entre matéria e uma atuação em distâncias muito grandes. De fato, as
energia por meio da equação: forças nucleares forte e fraca estão restritas a distâncias
E = m . c2 da ordem do diâmetro do núcleo do átomo e, como os
corpos macroscópicos são eletricamente neutros, tam-
bém eliminamos a atuação das forças eletromagnéticas.
Uma primeira análise do Universo, estudado como
– 1917 – O astrônomo holandês Willen de Sitter um todo, foi feita por Isaac Newton (1642-1727). O Uni-
demonstra de forma teórica que o Universo está em ex- verso era tratado como infinito e homogêneo, com os
pansão. corpos celestes ordenadamente distribuídos. A interação
gravitacional era suposta com propagação instantânea.
– 1927 – O astrônomo belga Geor- A análise do Universo como um todo foi refeita por
ges Lemaître sugere que, inicialmen- Einstein (1879-1955), que utiliza como ferramenta a
te, toda a energia do Universo estava Teoria da Relatividade Geral, publicada em 1916. A
concentrada em um único lugar: o gravitação deixa de ser tratada como uma força e passa a
ovo cósmico ou átomo primordial. significar uma distorção na estrutura do espaço-tempo,
considerados de forma conjunta. Exemplificando: na
– 1929 – Edwin Teoria de Newton, a Terra move-se em uma órbita elíp-
Hubble, baseado em suas tica em torno do Sol, em virtude da ação de uma força
observações, enuncia sua gravitacional aplicada pelo Sol sobre a Terra; na Teoria
famosa lei segundo a qual de Einstein, a presença do Sol provoca uma distorção do
o módulo da velocidade espaço-tempo em suas redondezas e a trajetória elíptica
com que uma galáxia se passa a ser o caminho natural a ser seguido pela Terra.
afasta de nós é propor- Outra diferença fundamental entre a Teoria de Newton e
cional à sua distância até a de Einstein, é que, segundo Newton, a atração gravita-
nós. Esta foi a primeira cional é um processo instantâneo e segundo Einstein a
evidência da expansão do distorção gravitacional propaga-se com a limitação da
Universo. velocidade das ondas eletromagnéticas.
Einstein acreditava que o Universo fosse estático, o
que significaria que a estrutura espaço-tempo não varia-
– 1950 – Herman, ria com o tempo.
Gamov e Alpher pro- A Teoria do Universo estático ou estacionário
põem a Teoria do Big admitia que o Universo era similar em todas as direções
Bang (nome sugerido (isotrópico) e imutável com o tempo, com produção
por Fred Hoyle, em tom contínua de matéria para contrabalançar a sua expansão,
pejorativo, para o evento mantendo constante a sua densidade média. Os principais
que dá início ao Uni- defensores deste Universo estático foram Thomas Gold,
verso). Herman Bondi e Fred Hoyle.
80
das as partes do céu, fosse perfeitamente uniforme (o que

era evidenciado pelo fato de apresentar uma temperatura
O astrônomo Edwin Powell Hubble (1889-1953), em
constante), o Universo deveria ser extremamente homogê-
1929, reuniu elementos suficientes para concluir que “o
neo e uniforme, o que inviabilizaria a existência de galá-
módulo da velocidade com que uma galáxia se afasta
xias com suas estrelas e demais corpos celestes.
de nossa galáxia é diretamente proporcional à sua dis-
Em abril de 1992, um satélite denominado COBE
tância à nossa galáxia”.
(Cosmic Background Explorer) detectou flutuações da ra-
Matematicamente: V = H d
diação cósmica de fundo com variações de temperatura da
V: módulo da velocidade de afastamento da galáxia
ordem de 30 milésimos de kelvin: T = (2,735 ± 0,030)K,
considerada.
que eram previstas pela presença das galáxias.
d: distância entre a galáxia considerada e a nossa ga-
No dia 11/02/2003, a Nasa anunciou os resultados de
láxia.
outra sonda espacial, conhecida como WMAP (Sonda
H:constante de Hubble 艑 2,3 . 10–18Hz. Wilkinson de Medida da Anisotropia em Micro-ondas),
que mediu as variações de temperatura da radiação de
fundo com precisão ainda maior, da ordem de milionésimo
de kelvin, o que permitiu estabelecer a idade do Universo
em 13,8 bilhões de anos desde o Big Bang, com um desvio
máximo da ordem de 200 milhões de anos, isto é:
idade do Universo = (13,8 ± 0,2) . 109 anos
A Lei de Hubble sugere que toda essa matéria que es-

tá em expansão, num dado instante, pode ter estado jun- A teoria do Big Bang admite que o Universo tem uma
ta em um só local: o ovo cósmico. idade limite, da ordem de 13,8 bilhões de anos com margem
A medida da velocidade de afastamento das estrelas de erro de 200 milhões de anos (menos de 2%), e, portanto,
foi feita por meio do Efeito Doppler: quando uma estrela existe um instante inicial em que o Universo foi criado.
se afasta da Terra, o espectro de suas radiações se desloca Segundo essa teoria, há 13,8 bilhões de anos uma fabu-
para o lado da cor vermelha, que corresponde à menor losa quantidade de energia estava localizada em uma esfera
frequência do espectro visível de diâmetro inferior a 1cm, denominada ovo cósmico.
A medida do deslocamento para o vermelho (red Num dado instante (t = 0), toda essa energia, em rá-
shift) permite obter o módulo da velocidade com que a pida expansão, criou o Universo, que se dilatou e se res-
estrela se afasta de nós. friou uniformemente.
A redução rápida de temperatura determinou as suces-
sivas transformações da energia liberada, que se materia-
lizou na forma de partículas (quarks) e antipartículas
Os físicos norte-americanos Arno Penzias e Robert (antiquarks). A matéria e a antimatéria aniquilaram-se,
Wilson, ao estudarem ondas de rádio, detectaram a gerando uma quantidade enorme de energia na forma de
presença de “ruídos” estranhos que iriam constituir a ra- fótons e obedecendo à Equação de Einstein: E = mc2. O
diação cósmica de fundo. A descoberta foi feita em 1964, excesso de matéria em relação à antimatéria deu origem à
mas anunciada somente em 1965. Os estudos posteriores matéria existente no Universo em que hoje vivemos.
mostraram que esta radiação é equivalente à emitida por um
corpo negro a uma temperatura de 2,7K.
Essa descoberta da radiação cósmica de fundo parece
evidenciar duas coisas: a existência do Big Bang, sendo
esta radiação de fundo proveniente da transformação de
a) Instante t = 0: instante inicial em que ocorreu o
massa em energia radiante, um resíduo do Big Bang,
Big Bang; a escala de distâncias vale zero, a densidade
tendo sido emitida quando o Universo tinha 380 mil anos
do Universo é infinitamente elevada e não há ferramentas
de idade, e ainda, que 2,7K seria a temperatura atual do
na Matemática ou na Física, que hoje conhecemos, para
Universo considerado como um todo (uma espécie de
estudar este momento.
temperatura média do Universo).
O evento instante zero é tratado como uma singu-
Contudo, existia ainda um problema a ser solucio-
laridade no estudo da evolução do Universo.
nado: se a radiação cósmica de fundo, proveniente de to-
81
b) Intervalo de tempo entre t = 0 e t = 10–43s: o que • três prótons unem-se a três nêutrons e formam o
ocorreu neste intervalo é pura especulação teórica sem núcleo do lítio.
nenhuma possibilidade de comprovação por observações Ao final de três minutos, as fusões terminam e o Uni-
físicas. verso contém 75% de núcleos de hidrogênio (prótons) e
c) Intervalo de tempo entre t = 10–43s e t = 10–35s: quase 25% de núcleos de hélio e quantidades ínfimas de
neste curto intervalo de tempo, os quarks e os antiquarks deutério, trítio e lítio.
aniquilaram-se, dando origem à radiação, na forma de fó- h) Quando o Universo possui uma idade da ordem de
tons. A quantidade de quarks é maior que a de antiquarks, 380 mil anos, a temperatura já é suficientemente baixa
de modo a restar matéria na forma de quarks. para que os elétrons comecem a se associar aos prótons
O Universo está-se resfriando, passando de uma tem- para formar os átomos de hidrogênio. Com a formação dos
peratura de 1032K em t = 10–43s para a temperatura de átomos, é costume dizer que o Universo se tornou trans-
1027K em t = 10–35s. parente, permitindo a expansão da radiação cósmica de
d) No instante t = 10–30s, os quarks remanescentes do fundo que estava confinada por uma espécie de malha for-
processo de aniquilamento começam a se fundir, dando mada pelas partículas e núcleos atômicos (que faziam com
origem aos prótons e nêutrons. Os prótons são formados que o Universo fosse opaco).
por três quarks: up, up e down. Cada quark up tem carga Quando a radiação cósmica de fundo começou a sua
2e expansão, sua temperatura era da ordem de 3000K e a
elétrica + ––– –19
3 (e = carga elementar = 1,6 . 10 C) e temperatura atual é da ordem de 2,7K, o que permitiu a
–e avaliação da idade atual do Universo.
cada quark down tem carga ––– ; por isso, a carga total i) Com idade de 200 milhões de anos, pela ação da
3 força gravitacional, as primeiras estrelas apareceram.
2 2 1
do próton vale: ––– e + ––– e – ––– e = e.
3 3 3
Os nêutrons são formados também por três quarks:
down, down e up e sua carga total é nula, pois
–e –e 2e
( ) ( ) ( )
–––– + –––– + –––– = 0
3 3 3 a) Organização cósmica da matéria: o Universo
não é homogêneo sob um aspecto local, mas é homo-
A força que mantém os quarks unidos na formação gêneo quando considerado como um todo.
de prótons e nêutrons é a nuclear forte. b) Afastamento relativo das galáxias: as galáxias
e) No instante t = 10–6s, a fusão dos quarks origi- afastam-se uma das outras, com grandes velocidades,
nando prótons e nêutrons é concluída e os quarks desapa- evidenciando que o Universo deve estar em contínua ex-
recem. pansão desde sua criação.
Os prótons e nêutrons podem-se transmutar entre si e c) Quantidade relativa dos elementos no Univer-
vão coexistir com elétrons e fótons. O nêutron emite um so: a abundância dos elementos no Universo permanece
elétron e um neutrino (ou antineutrino) e se transforma em constante no tempo e no espaço, com 75% de hidrogênio,
um próton. A força envolvida neste processo é a nuclear 23% de hélio e 2% dos demais elementos, portanto com
fraca. Um próton captura um elétron e um neutrino (ou uma proporção aproximada de um átomo de hélio para
antineutrino) e se transforma em um nêutron. três átomos de hidrogênio.
f) Após o instante t = 1s, com a queda da tempera- d) Inexistência de antimatéria no Universo: fato
tura, os prótons não podem mais transmutar-se, pois não que contraria o princípio, segundo o qual para cada
são mais capazes de capturar o elétron e o neutrino (ou partícula existe a correspondente antipartícula.
antineutrino), porém o nêutron ainda continua transfor- A explicação dada pelo Big Bang refere-se ao exces-
mando-se em próton. É por isso que existem, até hoje, so de matéria, antes do processo de aniquilamento, em
quatro vezes mais prótons do que nêutrons. relação à quantidade de antimatéria. E justamente essa
g) No intervalo de t = 10s a t = 500s, ocorrem as matéria residual corresponde à matéria que existe atual-
reações de fusão dos núcleos: mente no Universo.
• um próton une-se a um nêutron e formam o núcleo e) Existência da radiação cósmica de fundo: a nu-
do deutério (isótopo de hidrogênio). vem residual de radiação indica para o Universo, como um
• um próton une-se a dois nêutrons e formam o todo, uma temperatura média aproximada de 2,7K.
núcleo do trítio (isótopo de hidrogênio). f) A pequena densidade do Universo: a densidade
• dois prótons unem-se a dois nêutrons e formam o média é de 1 próton, 1 nêutron e 1 elétron por m3 e de
núcleo do hélio (partícula ␣). 300 fótons e 100 neutrinos por cm3.
82
T 艑 14 bilhões de anos
Para H = 2,4 . 10–18 Hz, teremos:

a) A teoria do Big Bang prevê uma expansão unifor- 1 1
me das partículas no espaço, porém não consegue explicar T 艑 ––– 艑 ––– . 1018 s 艑 4,2 . 1017s
como planetas, estrelas, galáxias e aglomerados de H 2,4
galáxias se associaram durante essa expansão.
b) As previsões teóricas, feitas pelo Big Bang, para a 4,2 . 1017
T 艑 ––––––––– anos 艑 13 . 109 anos
abundância dos elementos no Universo são pouco preci- 3,2 . 107
sas e com verificação experimental não convincente, a
não ser a relação entre as quantidades de hélio e hidrogê- T 艑 13 bilhões de anos
nio, que foi prevista corretamente.
c) Como não há meios de detectar a presença de
antigaláxias, não é justo afirmar que elas não existem. Portanto, a estimativa da idade do Universo, usando-se
d) A existência de galáxias que não obedecem à Lei a Lei de Hubble, fica entre 13 e 14 bilhões de anos. O valor
de Hubble (por exemplo, a galáxia de Andrômeda). mais aceito atualmente é de 13,8 bilhões de anos.
e) O Big Bang não consegue explicar a origem da
energia do Universo.
1ª hipótese: Big Crunch (grande esmagamento)
A força gravitacional vai conseguir frear a expansão
Usando-se a Lei de Hubble, podemos estimar a idade do Universo e reverter o processo, provocando uma fase de
do Universo, admitindo-se que as galáxias mais distantes contração que terminará com o colapso final do Universo.
se moveram com velocidades constantes para chegar aos Para que isto ocorra, a densidade do Universo não po-
locais em que atualmente se encontram. de ficar menor que uma densidade crítica da ordem de
Sendo d a distância percorrida pela galáxia desde sua 10–26 kg/m3, que corresponde a 5 átomos de hidrogênio por
criação até a posição atual e T a sua idade (idade m3.
aproximada do Universo), temos:
2ª hipótese: o Universo vai expandir-se para
d sempre
V = ––– = H . d
T Até o ano de 1998, para saber o destino do Universo,
bastaria medir a densidade do Universo e compará-la
1 com a densidade crítica.
Portanto –– = H ⇒ T = H–1
T Se a densidade fosse maior que a crítica, haveria o
colapso previsto pelo big crunch; caso contrário, a ex-
Assim, uma estimativa grosseira da idade do Uni- pansão continuaria eternamente.
verso corresponde ao inverso da constante de Hubble. Porém, em 1998, astrônomos constataram que o Uni-
Atualmente, o valor aceito para a constante de verso está em uma fase em que a expansão está sendo
Hubble é estimado entre 2,2 . 10–18 Hz e 2,4 . 10–18Hz. acelerada. Para que isto ocorra, é necessária a existência
Para H = 2,2 . 10–18 Hz, teremos de uma espécie de antigravidade, que ficou conhecida
como constante cosmológica.
1 1 A existência dessa misteriosa constante cosmológica
T 艑 ––– 艑 ––– . 1018 s 艑 4,5 . 1017s é um complicador nas previsões do destino do Universo
H 2,2
baseadas em sua densidade. É possível que o Universo
tenha densidade acima da crítica e, assim mesmo, nunca
Sendo 1 ano 艑 3,2 . 107s, vem entrar em colapso.
4,5 1017 Portanto, a conclusão é a de que o destino do Univer-
T 艑 –––– . –––– anos 艑 14 . 109 anos so é incerto, sendo mais provável que continue a se ex-
3,2 107
pandir eternamente.
83
1. A teoria do Big Bang, que tenta explicar a origem do Universo, é b) O Big Bang deu origem ao Universo, cuja temperatura, cem
a) ficção científica. mil anos depois, era de cem mil kelvins. O Universo foi esfrian-
b) uma teoria aceita, sem contestação, por toda a comunidade do e hoje sua temperatura é de 2634,5K.
científica. c) O Universo principiou-se pelo Big Bang, quando altíssimas
c) uma teoria de caráter religioso. temperaturas e radiações eletromagnéticas foram geradas, e
d) uma teoria que admite que o Universo sempre existiu. foi-se esfriando ao longo do tempo. Atualmente, a radiação de
e) uma teoria aceita por boa parte da comunidade científica, que fundo mais intensa corresponde a uma temperatura de 2,6K.
afirma que o Universo tem uma idade da ordem de 13,8 d) O Universo principiou-se pelo Big Bang, quando altíssimas
bilhões de anos. temperaturas e radiações eletromagnéticas foram geradas, e
Resposta: E foi-se esfriando ao longo do tempo. Atualmente a temperatura
Ainda existem cientistas que acreditam que o Universo sem- correspondente à radiação de fundo é de 2,6␮K.
pre existiu. e) O Big Bang deu origem ao Universo há cerca de cem mil anos,
gerando uma temperatura de cem mil kelvin e uma radiação
de fundo de 1,1mm.
2. Entre os fatos citados a seguir, assinale aquele que não é
Resolução
explicado pela teoria do Big Bang:
O valor atual de ␭ é 1,1mm = 1,1 . 10–3m
a) As galáxias afastam-se uma das outras, com grandes veloci-
Calculemos a temperatura da radiação cósmica de fundo (tempe-
dades, evidenciando um Universo em expansão.
ratura média do Universo) atual:
b) O hidrogênio e o hélio são os elementos mais abundantes no
Universo e existem numa proporção quase constante de três ␭ . T = 2,898 . 10–3 (m . K)
átomos de hidrogênio para um átomo de hélio.
c) A existência da radiação cósmica de fundo. 1,1 . 10–3 . T = 2,898 . 10–3
d) A pequena densidade do Universo. 2,898
e) A existência de galáxias que não obedecem à Lei de Hubble. T = –––––– K 艑 2,6K
1,1
Resposta: E
A galáxia de Andrômeda parece estar aproximando-se de nós. Resposta: C
Nota: Em realidade, o valor mais aceito para a temperatura atual

3. Qual o fenômeno que explica o paradoxo de Olbers (o enigma da
da radiação cósmica de fundo é 2,7K.
escuridão da noite)?
a) A poeira interestelar absorve a luz das estrelas.
b) A expansão do Universo degrada a energia, de forma que a luz
5. (UNIRIO-MODELO ENEM) – Em 1929, o astrônomo Edwin
de objetos muito distantes chegaria desviada para o vermelho
Hubble descobriu a expansão do Universo, quando observou que
e portanto, muito fraca.
as galáxias se afastam de nós em grandes velocidades. Os
c) O Universo tem uma idade finita.
cientistas puderam chegar a essa conclusão analisando o
d) O Universo está em contração acelerada.
espectro da luz emitida pelas galáxias, uma vez que ele apresenta
e) O Universo está em expansão uniforme.
desvios em relação às frequências que as luzes das galáxias te-
Resolução
riam, caso estivessem paradas em relação a nós. Portanto, a con-
Como o Universo tem uma idade finita, e a luz tem uma veloci-
firmação de que o Universo se expande está associada à (ao)
dade também finita, a luz das estrelas mais distantes ainda não te-
a) Lei de Ohm. b) efeito estufa. c) Efeito Joule.
ve tempo de chegar até nós. Portanto, o Universo que enxer-
d) Efeito Doppler. e) Lei de Coulomb.
gamos é limitado no espaço, por ser finito no tempo. A escuridão
Resolução
da noite é uma prova de que o Universo teve um início.
De acordo com o Efeito Doppler-Fizeau, quando uma estrela se
Se o Universo sempre existiu, a luz de todas as estrelas do Uni-
afasta da Terra, o espectro de sua luz se desloca para o lado do
verso já teria tempo suficiente para chegar até nós e a noite seria
vermelho (cor de menor frequência): “red-shift”, que evidencia a
clara.
expansão do Universo e serve como argumento para a validade da
Resposta: C
teoria do Big Bang.
Resposta: D
4. (UEL-PR-MODELO ENEM) – O Universo está imerso em radia-
ções eletromagnéticas, chamadas de radiação de fundo que,
supõe-se, tenham sido geradas no Big Bang, nome dado ao 6. (UFC-CE-MODELO ENEM) – No modelo do Universo em ex-
evento que resultou na formação do Universo, há cerca de 13,8 pansão, há um instante de tempo no passado em que toda a
bilhões de anos. Por volta de cem mil anos depois do Big Bang, a matéria e toda a radiação, que hoje constituem o Universo,
temperatura do Universo era de, aproximadamente, 105K, com a estiveram espetacularmente concentradas, formando um estado
radiação de fundo mais intensa tendo comprimento de onda igual termodinâmico de altíssima temperatura (T → ⬁), conhecido
a 29 nm. Medidas atuais mostram que o comprimento de onda da como Big Bang. De acordo com o físico russo G. Gamov, nesse
radiação de fundo mais intensa tem o valor de 1,1 mm. Por outro estado inicial, a densidade de energia eletromagnética (radiação)
lado, é sabido que, devido à sua temperatura, todo corpo emite teria sido muito superior à densidade de matéria. Em
radiações eletromagnéticas numa faixa contínua de comprimen- consequência disso, a temperatura média do Universo, T, em um
tos de onda. Em 1893, Wilhelm Jan Wien mostrou que o compri- instante de tempo t após o Big Bang satisfaria a relação
mento de onda ␭, da radiação mais intensa entre as emitidas por
um corpo à temperatura T, em kelvin (K), pode ser expresso 2,1 . 109
como: T = ––––––––
兹苶 t
␭ . T = 2,898 . 10–3 (m.K)
Com base no texto, é correto afirmar: sendo o tempo t medido em segundos (s) e a temperatura T, em
a) O Universo principiou-se pelo Big Bang na temperatura de cem kelvins (K). Um ano equivale a 3,2 x 107 segundos e atualmente a
mil kelvin, tendo sua radiação de fundo mais intensa um com- temperatura média do Universo é T = 3,0 K. Assim, de acordo
primento de onda igual a 29 nm. Atualmente, a radiação de com Gamov, podemos afirmar que a idade aproximada do Univer-
fundo fornece uma temperatura para o Universo de 2898K. so é:
84
9 2
––––––––
3,0
a) 700 bilhões de anos. b) 16 bilhões de anos. 2,1 . 109 2,1 . 10

t = –––––––– ⇒ t = , ou t = 49 . 1016 segundos
c) 15 bilhões de anos. d) 12 bilhões de anos. T
e) 350 milhões de anos. Dividindo-se por 3,2 · 107 o valor de t, acima encontrado, obtemos
Resolução a idade do Universo, em anos.
Para resolver a presente questão, basta reescrever a relação Essa idade é 15 . 109 anos ou 15 bilhões de anos.
fornecida no enunciado. Resposta: C
7. Em que consiste o Big Crunch? em que H é definida como a Constante de Hubble e vale,
aproximadamente, 2,3 . 10–18Hz, V é o módulo da velocidade com
8. Levando-se em conta que a idade média do Universo está em tor- a qual uma galáxia ou quasar está-se afastando de nós (também
no de 14 bilhões de anos e a luz se desloca a 300 000km/s, es- chamada de velocidade de recessão) e d é a distância da galáxia
time a ordem de grandeza da medida do raio médio do Universo. ou quasar até nós.
Considere 1 ano = 3 . 107s. Assim, a Lei de Hubble, ao mostrar que o Universo está em ex-
pansão, concorda com a hipótese do Big Bang e aquilo que nós
9. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE ASTRONOMIA) observamos hoje no cosmo representa os “fragmentos” que
A Radiação Cósmica de Fundo foram expelidos no Big Bang ou na explosão primordial.
Chama-se de corpo negro a um corpo ao mesmo tempo emissor Considere, então, um quasar (que é um corpo extremamente
ideal e absorvedor ideal de radiação. Isto porque, segundo sua luminoso com massa tão grande quanto a massa das galáxias)
definição, um corpo negro absorve toda a radiação que cai em sua que está afastando-se de nós com uma velocidade de módulo
superfície e emite num espectro contínuo, cuja intensidade de- 2,04 . 108m/s. (Observe que tal velocidade equivale a cerca de
pende exclusivamente de sua temperatura. A temperatura de corpo 66% da velocidade da luz no vácuo!)
negro de um corpo é, assim, a temperatura na qual a emissão a) Determine, em anos-luz, a distância aproximada deste quasar
energética atinge seu valor máximo. Estrelas podem ser, ironi- até a Terra.
camente, estudadas como corpos negros. A radiação cósmica de b) Suponha que a velocidade do quasar foi constante no tempo
fundo é uma emissão observada em qualquer lugar do céu que se desde o Big Bang. Com base nesta hipótese, calcule, usando
olhe, e é bem representada pela radiação de um corpo negro à a Lei de Hubble, o tempo gasto pelo quasar para chegar a esta
temperatura de 2,735 K. Esta radiação é remanescente do estado distância. Este tempo é chamado de tempo de Hubble e re-
quente do Universo, quando sua temperatura, diminuindo à medida presenta a idade do Universo.
que o Universo se expandia (e ainda se expande, e sua temperatura
continua a cair cada vez mais lentamente), tornou-se, embora ainda 11. O Sol emite energia à razão de 1,0 . 1026J/s. A energia irradiada
bastante elevada, pequena o suficiente para que a matéria deixasse pelo Sol provém da conversão de massa em energia, de acordo
de ser afetada pela radiação. Assim, os núcleos atômicos pri- com a Equação de Einstein.
mordiais puderam capturar elétrons e a matéria eletricamente Em cada segundo, a massa transformada em energia, no Sol, é
neutra foi formada. O Universo passou de opaco para transparente, um valor mais próximo de
na chamada época de recombinação, aproximadamente uns 380 mil a) zero b) 1,1 . 109kg c) 1,1 . 1010kg
anos após o Big Bang. A identificação da existência da radiação de d) 4,0 . 1026kg e) 3,5 . 1043kg
fundo representa uma das provas mais convincentes que temos de
que a teoria do Big Bang está correta. Sabemos que o espectro de 12. (MODELO ENEM) – Um astrônomo, chamado Edwin Hubble, me-
corpo negro obedece à chamada Lei de Wien: dindo a distância e a velocidade de diversas estrelas que se afas-
␭máx T = constante, tavam da Terra, construiu o gráfico apresentado abaixo.
em que ␭máx é o comprimento de onda do máximo do espectro e
T é a temperatura absoluta do corpo negro. No caso do Sol, que
também emite radiação eletromagnética como um corpo negro,
temos ␭máx = 5000 Å (1 Å = 10–10m) e T = 6000 K.
Calcule ␭máx do espectro da radiação de fundo.
10. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE ASTRONOMIA)

Em 1958, George Gamov fez a seguinte afirmação durante uma
reunião científica:
É tão certo que o Universo começou com um Big Bang
quanto é certo que a Terra gira em torno do Sol.
Tal afirmação, tão categórica, mostra a confiança dos cientistas
sobre a teoria do Big Bang. Entretanto, você não deve imaginar
Sabendo-se que o módulo da velocidade da estrela não pode atin-
que o Big Bang foi uma explosão gigantesca, como uma bomba
gir o módulo da velocidade da luz no vácuo (3,0 . 108 m/s), pode-
gigante que explode, e que alguém (talvez você mesmo!) poderia
mos estimar o raio-limite do Universo (região onde existe maté-
ficar do lado de fora da bomba e observar o fenômeno do Big
ria), medido a partir da Terra, como tendo ordem de grandeza de:
Bang. Isto porque no Big Bang não existe ‘lado de fora’ nem ‘lado
a) 1026m b) 1028m c) 1030m d) 1036m e) 1040m
de dentro’. O Big Bang representa a geração do próprio espaço e
do próprio tempo. É como se o espaço e o tempo tivessem
13. (MODELO ENEM) – Um corpo celeste esférico tem raio R e a
começado ali, no momento do Big Bang. Uma das evidências
aceleração da gravidade em sua superfície tem intensidade igual
mais fortes a favor do Big Bang foi observada por Edwin P. Hubble
a g. Não considerando a presença de atmosfera, a mínima
(1889-1953), que em 1929 desenvolveu a famosa Lei de Hubble
velocidade de lançamento de uma partícula, a partir da superfície
com base num fato observacional aparentemente descon-
deste corpo celeste, para escapar de seu campo gravitacional, é
certante: todas as galáxias, estejam elas próximas ou distantes,
denominada velocidade de escape Ve e seu módulo é dado por:
estão-se afastando da Terra. Ou seja, o Universo está em
expansão. A Lei de Hubble é dada pela equação:
Ve =
2
gR
V = Hd,
85
Para que este corpo celeste seja um buraco negro, é preciso que 14. (SEPEB-Concurso para professor da rede estadual-SP-MODELO
nem mesmo a luz consiga escapar de seu campo gravitacional. ENEM) – No modelo atômico atual, os prótons e nêutrons não são
Considere o raio da Terra igual a 6,0 . 106m e o módulo da velocidade mais considerados partículas elementares; eles são constituídos de
da luz no vácuo igual a 3,0 . 108 m/s. partículas chamadas quarks: do tipo u, que tem carga elétrica posi-
Para que um corpo celeste esférico, com raio igual ao da Terra, se- tiva e d, que tem carga elétrica negativa. O próton é formado por
ja um buraco negro, a condição necessária e suficiente é que a in- dois quarks do tipo u e um quark do tipo d, enquanto o nêutron é
tensidade da aceleração da gravidade, em sua superfície, seja formado por dois quarks d e um quark u. Atribuindo ao próton carga
maior que: elétrica igual a 1 unidade de carga e, ao nêutron, zero, as cargas de
a) 3,0 . 108 m/s2 b) 3,0 . 109 m/s2 c) 7,5 . 109 m/s2 u e d valem, respectivamente:
10 2 11 2 a) 2/3 e 1/3 b) –2/3 e –1/3 c) –2/3 e 1/3
d) 7,5 . 10 m/s e) 7,5 . 10 m/s
d) 2/3 e –1/3 e) –1/3 e –1/3
7) É uma das teorias que tentam explicar o futuro do Universo. 12) De acordo com o gráfico, temos:
Segundo essa teoria, o Universo voltará a colapsar nova- V = kd
mente se a atração gravitacional da matéria contida nele for Para d = 1,0 . 1025m
grande o suficiente para parar a expansão. V = 0,23 . 108m/s
0,23 . 108
8) R = V . t = 3 . 108 . 14 . 109 . 3 . 107m Portanto: k = ––––––––– (SI)
logo: R = 1,26 . 1026m 1,0 . 1025
1,26 . 1026m tem como ordem de grandeza 1026m.
k = 2,3 . 10–18 Hz
9) Usando-se a Lei de Wien para a radiação emitida pelo Sol e Como V < c, resulta:
para a radiação cósmica de fundo, vem: kd < c
(␭máx T)Sol = (␭máx T)RCF
c 3,0 . 108
5000 . 6000 = ␭máx . 3 d < ––– ⇒ d < ––––––––––– (m)
k 2,3 . 10–18
␭máx = 1,0 . 107Å = 1,0 . 107 . 10–10m
d < 1,3 . 1026m
␭máx = 1,0 . 10–3m = 1,0mm
Resposta: A
10) a) V = H . d 13) Para ser um buraco negro:

2,04 . 108 = 2,3 . 10–18 d ve > vluz no vácuo
d = 0,89 . 1026m
> c
2gR
1 ano-luz = 3 . 108 . 3 . 107 (m) 2gR > c2
1 ano-luz = 9 . 1015m
c2
0,89 . 1026 g > –––
d = ––––––––– anos-luz 2R
9 . 1015 (3,0 . 108)2
g > ––––––––––– (m/s2)
d 9,9 . 109 anos-luz 2 . 6,0 . 106
d 9,0 . 1016
b) V = Hd = ––– g > –––––––––– (m/s2)
⌬t 12,0 . 106
1 1
⌬t = –– = –––––––––– s g > 0,75 . 1010 m/s2
H 2,3 . 10–18
g > 7,5 . 109 m/s2
⌬t 4,35 . 1017s 1,38 . 1010 anos
Resposta: C
Respostas: a) 9,9 . 109 anos-luz
b) 1,38 . 1010 anos = 13,8 bilhões de anos 14) 1 próton = 2u + d
e = 2qu + qd (1)
11) Equação de Einstein: E = mc2 1 nêutron = 2d + 1u
Em 1s, temos E = 1,0 . 1026J 0 = 2qd + qu (2)
Sendo c = 3,0 . 108m/s, resulta: Em (2): qu = –2qd
1,0 . 1026 = m . 9,0 . 1016 Em (1): e = 2 (–2qd) + qd
1 10 e
m = ––– . 1010kg = ––– . 109kg e = –3qd ⇒ qd = – ––
3
9 9
––– ⇒
–e 2
m 1,1 . 109kg qu = –2 qu = –– e
3 3
Resposta: B Resposta: D
86
CAPÍTULO
Mecânica
6 NOÇÕES DE FÍSICA MODERNA
O desenho faz referência ao princípio

da complementaridade: a luz pode
comportar-se como onda ou como partícula,
porém nunca as duas coisas ao mesmo
tempo. Conforme a maneira de olhar o
desenho, vemos uma paisagem ou seis
rostos, não as duas coisas simultaneamente.
1. Fótons de luz 2. Efeito fotoelétrico

Max Planck concluiu que a energia luminosa é emi- Quando determinado tipo de luz atinge a superfície
tida de modo descontínuo, isto é, agrupada em quanti- de um metal, observa-se que o metal passa a emitir elé-
dades bem definidas (pacotes de energia) que foram trons. Esse fenômeno é chamado de efeito fotoelétrico.
chamadas de fótons de energia.
Cada radiação eletromagnética é definida por sua O efeito fotoelétrico foi explicado em 1905 por
frequência f que, para a luz visível, cresce do vermelho Einstein e lhe valeu o Prêmio Nobel de Física.
para o violeta na sequência em que as cores aparecem no Einstein propôs que, no efeito fotoelétrico, um fóton é
arco-íris: vermelho – alaranjado – amarelo – verde – azul inteiramente absorvido por um único elétron em um tipo
– anil – violeta. de interação semelhante à colisão entre duas partículas.
O “quantum” de energia, isto é, a quantidade de Para que o elétron seja emitido, é necessário que a
energia E, associada a cada fóton de luz, é proporcional energia transportada pelo fóton de luz (E = h f) seja su-
à frequência f da radiação: perior à energia de ligação (␶) entre o elétron e o núcleo
do átomo. A energia de ligação ␶ é também chamada
E=hf função trabalho.
A energia cinética com que o elétron abandona o
átomo é a diferença entre a energia do fóton e a energia
h = Constante de Planck = 6,62.10–34J.s de ligação a ser vencida.
Einstein comprovou que a energia luminosa também Ecin = h f – ␶
se propaga e é absorvida de modo descontínuo, isto é,
por meio dos fótons de luz.
Assim, quando a luz se propaga no espaço, a energia Portanto, para que uma luz consiga arrancar elétrons
luminosa não está presente em toda a região varrida pela de um metal, ela deve ter uma frequência adequada dada
luz, mas sim concentrada em “pacotes” de energia, ver- por:
dadeiros grãos de energia que são os fótons de luz e cor-
␶
respondem aos “quanta” de energia apresentados por hf>␶ ⇒ f > –––
Planck. h
87
Se fizermos um gráfico da energia cinética do elétron Observe que, se a partícula se move com velocidade
emitido em função da frequência da luz incidente, tere- cujo módulo é muito pequeno em comparação com c
mos: (3,0 . 108m/s), então sua massa é igual à de repouso e
Q = m0 V.
Porém, se o valor de V é próximo de c, então

m0
Q = ––––––––––––––––– .V

2
( ) V
1 – ––
c
Observe que, como cada elétron só pode absorver m0

em que ––––––––––––––––– representa a massa da par-
um único fóton, é irrelevante para o valor da energia

2
cinética a intensidade da luz incidente, importando
apenas a frequência (cor) dessa luz.
( ) V
1 – ––
c
O aumento da intensidade da luz incidente faz com
que aumente a quantidade de elétrons emitidos, mas não tícula quando está com velocidade de módulo V.
a energia cinética de cada um.
4. Princípio da
3. Dualidade complementaridade de Bohr
onda-partícula: Louis de Broglie De acordo com o princípio da dualidade onda-
O efeito fotoelétrico mostrou que a luz, embora tenha partícula, a luz ora se comporta como onda ora como par-
natureza ondulatória, pode ter comportamento análogo tícula, dependendo do fenômeno estudado, porém nunca
ao de uma partícula (partícula de energia, que é o fóton). a luz tem simultaneamente os dois comportamentos.
Este comportamento dual onda-partícula aplica-se Esse fato é chamado Princípio da complementaridade
não apenas para a luz, mas para todas as partículas. de Bohr.
Assim, para uma partícula em movimento, a
intensidade da onda associada, num dado ponto, é 5. Princípio da
proporcional à probabilidade de se encontrar a partí- incerteza de Heisenberg
cula naquele ponto.
Um fóton de luz monocromática de frequência f e Consideremos uma partícula elementar com veloci-
c dade V e cuja posição é definida por uma coordenada x.
comprimento de onda ␭ = ––– transporta energia E e A Física Moderna ensina que não podemos especifi-
f
car simultaneamente a posição e a velocidade (ou a
quantidade de movimento Q dados por: quantidade de movimento) da partícula elementar de um
modo exato. Esta impossibilidade é denominada “Prin-
E=hf cípio da Incerteza”.
h Seja ⌬x a incerteza na medida da posição x da
Q = ––– partícula elementar e ⌬Q a incerteza na medida da
␭
quantidade de movimento Q da partícula elementar.
Heisenberg mostrou que:
Analogamente, a uma partícula em movimento, com
quantidade de movimento Q e energia cinética E, asso- h
(⌬x) . (⌬Q) ⭓ –––
ciamos uma onda de frequência f e comprimento de onda 4π
␭ dados por:
em que h é a Constante de Planck, cujo valor numérico é
E muito pequeno (6,6 . 10–34J . s).
f = –––
h O princípio da incerteza nada tem que ver com falhas
h de nossos instrumentos de medição ou com limitações de
␭ = ––– nossos modelos. A incerteza prevista é irredutível mesmo
Q usando-se perfeitos instrumentos de medição.
88
A restrição dada pelo princípio da incerteza não se h

refere à precisão com que x ou Q podem ser medidos, (⌬t) . (⌬E) ⭓ –––
4π
mas sim ao produto das incertezas ⌬Q . ⌬x numa medida
simultânea de ambos. Quanto mais modificamos uma ex- As incertezas nas medidas estão ligadas às perturba-
periência de modo a melhorarmos a precisão na medida ções introduzidas pelos processos de observação e
de uma das duas grandezas (x ou Q), mais estaremos medida como, por exemplo, a interação entre o fóton de
aumentando a incerteza com que medimos a outra. luz usado na observação e a partícula elementar em
estudo. A interação entre o fóton de luz e a partícula
O princípio da incerteza também pode ser formulado elementar pode modificar a sua posição, a sua quantidade
em relação às incertezas na medida do instante (⌬t) e da de movimento e a sua energia.
energia (⌬E) associados ao movimento de uma partícula
O ato de medir afeta a grandeza da medida.
elementar
1. (UFC-MODELO ENEM) – Quanto ao número de fótons existentes (02) VERDADEIRA.

em 1 joule de luz verde, 1 joule de luz vermelha e 1 joule de luz
azul, podemos afirmar, corretamente, que (04) VERDADEIRA. Explicação dada por Einstein e que lhe va-
a) existem mais fótons em 1 joule de luz verde que em 1 joule leu o prêmio Nobel de Física.
de luz vermelha e existem mais fótons em 1 joule de luz verde
(08) FALSA.
que em 1 joule de luz azul.
b) existem mais fótons em 1 joule de luz vermelha que em 1 (16) VERDADEIRA. E = h f; quanto maior a frequência da luz,
joule de luz verde e existem mais fótons em 1 joule de luz maior é a energia associada a seu fóton.
verde que em 1 joule de luz azul.
c) existem mais fótons em 1 joule de luz azul que em 1 joule de Resposta: 23
luz verde e existem mais fótons em 1 joule de luz vermelha
que em 1 joule de luz azul. 3. (UFSC) – Dispõe-se de uma placa metálica M, e de uma esferinha
d) existem mais fótons em 1 joule de luz verde que em 1 joule metálica P, muito leve, suspensa por um fio isolante, ambas,
de luz azul e existem mais fótons em 1 joule de luz verde que inicialmente, neutras e isoladas. Um feixe de luz violeta incide so-
em 1 joule de luz vermelha. bre a placa, e, logo em seguida, a bolinha é atraída. Repetindo-se
e) existem mais fótons em 1 joule de luz vermelha que em 1 a operação com luz vermelha, isso não ocorre.
joule de luz azul e existem mais fótons em 1 joule de luz azul As figuras a seguir ilustram o desenrolar dos fenômenos.
que em 1 joule de luz verde.
Resolução
A energia total associada a n fótons de frequência f é dada por:
E=nhf
Para a mesma energia E, o número de fótons é inversamente
proporcional à sua frequência f
E
n = –––
hf
Sendo: fazul > fverde > fvermelha

Resulta: nazul < nverde < nvermelha
Resposta: B
2. (UFSC) – Assinale a(s) proposição(ões) correta(s):

01. A luz, em certas interações com a matéria, comporta-se como
uma onda eletromagnética; em outras interações, ela se com- Sobre esses fenômenos, é correto afirmar:
porta como partícula, como os fótons no efeito fotoelétrico. 01. a intensidade da luz vermelha foi menor que aquela da luz
02. A difração e a interferência são fenômenos que somente po- violeta.
dem ser explicados satisfatoriamente por meio do compor- 02. a placa M, ao ser iluminada pelo feixe violeta, ficou eletrizada.
tamento ondulatório da luz. 04. a placa M estava pintada com tinta violeta.
04. O efeito fotoelétrico somente pode ser explicado satisfatoria- 08. o fóton de luz violeta tem mais energia que o fóton de luz
mente quando consideramos a luz formada por partículas, os vermelha.
fótons. 16. aumentando-se o tempo de iluminação da placa M com luz
08. O efeito fotoelétrico é consequência do comportamento vermelha, ela passaria a atrair a esferinha P.
ondulatório da luz. Dê como resposta a soma dos números associados às
16. Devido à alta frequência da luz violeta, o “fóton violeta” é mais proposições corretas.
energético do que o “fóton vermelho”. Resolução
Dê como resposta a soma dos números associados às propo- Podemos concluir que a luz violeta, de maior frequência, provocou
sições corretas. efeito fotoelétrico e a luz vermelha, de frequência mais baixa, não
Resolução arrancou elétrons do metal.
(01) VERDADEIRA. O efeito fotoelétrico é uma das principais 01) F 02) V 04) F 08) V 16) F
evidências do comportamento corpuscular da luz. Resposta: 10
89
4. (UFRN-MODELO ENEM) – Bárbara ficou encantada com a ma- perfis, não sendo possível a visão simultânea das duas coisas.
neira de Natasha explicar a dualidade onda-partícula, apresentada Isto também ocorre ao estudarmos o comportamento dual da luz:
nos textos de Física Moderna. Natasha fez uma analogia com o ora se comporta como onda, ora se comporta como corpúsculo,
processo de percepção de imagens, apresentando uma dependendo do fenômeno estudado, mas não as duas coisas
explicação baseada numa figura muito utilizada pelos psicólogos simultaneamente. Isto é chamado de princípio da complementari-
da Gestalt. Seus esclarecimentos e a figura ilustrativa são repro- dade de Bohr.
duzidos abaixo. Resposta: B
A minha imagem preferida so-
bre o comportamento dual da
luz é o desenho de um cálice 5. Em relação ao Princípio da Incerteza de Heisenberg, considere as
feito por dois perfis. Qual a proposições que se seguem e verifique quais estão corretas.
realidade que percebemos na (1) Para medidas simultâneas da posição e da quantidade de
figura ao lado? Podemos ver movimento de uma partícula elementar, se aumentarmos a
um cálice ou dois perfis, precisão com que medimos a posição, estaremos aumen-
dependendo de qual con- tando a incerteza na medida da quantidade de movimento.
sideramos como figura e qual (2) É impossível medirmos com precisão, simultaneamente, a
consideraremos como fundo, posição e a velocidade de uma partícula elementar.
mas não podemos ver ambos (3) O princípio da incerteza será eliminado quando melhorarmos a
simultaneamente. É um exem- qualidade de nossos instrumentos de medição.
plo perfeito de realidade criada (4) O princípio da incerteza, para objetos grandes como uma bola
pelo observador, em que nós de futebol ou um automóvel, não é relevante porque as
decidimos o que vamos obser- perturbações introduzidas pelos processos de observação e
var. A luz comporta-se de for- medida são muito pequenas.
ma análoga, pois, dependendo do tipo de experiência (“fundo”), (5) Se uma partícula elementar estiver em repouso de modo que
revela sua natureza de onda ou sua natureza de partícula, sempre sua quantidade de movimento Q e respectiva incerteza ⌬Q
escondendo uma quando a outra é mostrada. sejam nulas, então nada poderemos saber a respeito de sua
posição, pois se ⌬Q → 0 (tende a zero), então ⌬x → ⬁ (tende
Diante das explicações acima, é correto afirmar que Natasha para infinito).
estava ilustrando, com o comportamento da luz, o que os físicos Resolução
chamam de princípio da Corretas: 1 – 2 – 4 – 5
a) incerteza de Heisenberg. b) complementaridade de Bohr. O princípio da incerteza está ligado ao fato de que o ato de medir
c) superposição. d) relatividade. afeta a grandeza medida. Por exemplo: o fóton de luz usado para
Resolução se medir a posição de uma partícula elementar interfere com a
A analogia apresentada sugere que ou vemos o cálice ou os dois partícula alterando sua posição e quantidade de movimento.
6. (UFPI) – O momentum do fóton é inversamente proporcional à (ao) c) o comprimento de onda da luz.

a) sua frequência. d) a intensidade e a frequência da luz.
b) sua massa. e) a intensidade e o comprimento de onda da luz.
c) seu peso.
d) seu comprimento de onda.
e) Constante de Planck. 10. (MEC) – O efeito fotoelétrico contrariou as previsões teóricas da
Física clássica porque mostrou que a energia cinética máxima dos
7. (UFMG) – Dois feixes de raios X, I e II, incidem sobre uma placa elétrons, emitidos por uma placa metálica iluminada, depende
de chumbo e são totalmente absorvidos por ela. O comprimento a) exclusivamente da intensidade da radiação incidente.
de onda do feixe II é três vezes maior que o comprimento de onda b) da frequência e não do comprimento de onda da radiação
do feixe I. incidente.
Ao serem absorvidos, um fóton do feixe I transfere à placa de c) da intensidade e não do comprimento de onda da radiação
chumbo uma energia E1 e um fóton do feixe II, uma energia E2. incidente.
Considerando-se essas informações, é correto afirmar que d) do comprimento de onda e não da frequência da radiação
incidente.
a) E2 = 9 E1 b) E2 = 3 E1 e) da frequência e não da intensidade da radiação incidente.
1
c) E2 = E1 d) E2 = ––– E1
3 11. (UFPI) – A frequência mínima de uma radiação, necessária para
8. Assinale a opção correta: arrancar elétrons do potássio, é igual a 5,37 . 1014 Hz. Sendo
h = 6,63 . 10–34 Js a Constante de Planck e c = 3,0 . 108m/s o
a) O fóton é um corpúsculo de matéria.
módulo da velocidade das ondas eletromagnéticas no vácuo, a
b) Todos os fótons de luz têm a mesma energia.
função trabalho para o potássio é igual a:
c) Todos os fótons de luz têm a mesma frequência.
(Dado: 1eV = 1,6 . 10–19J)
d) Para a luz visível, o fóton de luz violeta é o que tem maior
a) 2,2 eV b) 3,56eV c) 4,6eV
energia.
d) 5,4eV e) 6,63eV
e) Quando a luz varre uma certa região, todos os pontos da
região são atingidos pela energia luminosa.
12. (UFPE) – O efeito fotoelétrico é a emissão de elétrons pela super-
fície de certos metais, quando submetidos a ondas eletromag-
9. (ITA) – Incide-se luz num material fotoelétrico e não se observa a néticas de determinadas frequências. Qual dos gráficos a seguir
emissão de elétrons. Para que ocorra a emissão de elétrons do representa o potencial de corte Vcorte dos elétrons emitidos, em
mesmo material, basta que se aumente(m) função da frequência f da luz que incide sobre uma superfície
a) a intensidade da luz. metálica?
b) a frequência da luz.
90
15. (UFRN) – Uma das aplicações do efeito fotoelétrico é o visor

noturno, aparelho de visão sensível à radiação infravermelha, ilus-
trado na figura a seguir. Um aparelho desse tipo foi utilizado por
membros das forças especiais norte-americanas para observar
supostos integrantes da rede al-Qaeda. Nesse tipo de equipa-
mento, a radiação infravermelha atinge suas lentes e é dire-
cionada para uma placa de vidro revestida de material de baixa
função trabalho (W). Os elétrons arrancados desse material são
“transformados”, eletronicamente, em imagens. A teoria de
Einstein para o efeito fotoelétrico estabelece que:
EC = hf – W
sendo:
• EC a energia cinética máxima de um fotoelétron;
• h = 6,6 . 10–34 J.s a Constante de Planck;
• f a frequência da radiação incidente.
Foto ilustrativa de um visor noturno.
Considere que um visor noturno recebe radiação de frequência

f = 2,4 . 1014 Hz e que os elétrons mais rápidos ejetados do
material têm energia cinética EC = 0,90eV. Sabe-se que a carga
do elétron é q = 1,6 . 10–19 C e 1 eV = 1,6 . 10–19 J.
Baseando-se nessas informações, calcule
a) a função trabalho (W) do material utilizado para revestir a placa
de vidro desse visor noturno, em eV;
b) o potencial de corte (V0) desse material para a frequência (f) da
radiação incidente.
16. (UFCE) – A função trabalho (energia de ligação entre um elétron

periférico e o núcleo do átomo) de um dado metal é 2,5 eV.
13. (ITA) – Num experimento que usa o efeito fotoelétrico, ilumina-se
a) Verifique se ocorre emissão fotoelétrica quando sobre esse
sucessivamente a superfície de um metal com luz de dois
metal incide luz de comprimento de . 10–7m. A
comprimentos de onda diferentes, ␭1 e ␭2, respectivamente.
Sabe-se que as velocidades máximas dos fotoelétrons emitidos Constante de Planck é h = 4,2 . 10–15 eV.s e o módulo da
são, respectivamente, V1 e V2 , em que V1 = 2V2 . Designando por velocidade da luz no vácuo é c = 3,0 . 108m/s.
c o módulo da velocidade da luz no vácuo, e por h a Constante de b) O que deve ocorrer com a frequência da luz incidente para
arrancar elétrons do metal?
Planck, pode-se, então, afirmar que a função trabalho ⌽ do metal
é dada por
17. (PUC-RS) – O dualismo onda-partícula refere-se a características
a) (2 ␭1 – ␭2) h c /(␭1 ␭2) b) (␭2 – 2 ␭1) h c /(␭1 ␭2) corpusculares presentes nas ondas luminosas e a características
c) (␭2 – 4 ␭1) h c/(3␭1 ␭2) d) (4 ␭1 – ␭2) h c /(3␭1 ␭2) ondulatórias presentes no comportamento de partículas, tais como
elétrons. A natureza nos mostra que características corpusculares
e) (2 ␭1 – ␭2) h c/(3␭1 ␭2)
e ondulatórias não são antagônicas, mas sim complementares.
Entre os fenômenos listados, o único que não está relacionado
14. (UFMG) – Uma lâmpada – L1 – emite luz monocromática de com- com o dualismo onda-partícula é
primento de onda igual a 3,3 . 10–7m, com potência de 2,0 . 102W. a) o efeito fotoelétrico.
A Constante de Planck vale 6,6 . 10–34J.s. b) a ionização de átomos pela incidência de luz.
a) Com base nessas informações, calcule o número de fótons c) a difração de elétrons.
emitidos a cada segundo pela lâmpada L1. d) o rompimento de ligações entre átomos pela incidência de luz.
b) Quando a lâmpada L1 é usada para iluminar uma placa metá- e) a propagação, no vácuo, de ondas de rádio de frequência
lica, constata-se, experimentalmente, que elétrons são média.
ejetados dessa placa. No entanto, se essa mesma placa for
iluminada por uma outra lâmpada – L2 –, que emite luz mono- 18. (MEC) – A dualidade onda-partícula para a luz permite afirmar que
cromática com a mesma potência, 2,0 . 102 W, mas de com- a
primento de onda igual a 6,6 . 10–7m, nenhum elétron é a) luz é a soma de uma partícula e uma onda.
arrancado da placa. b) interpretação ondulatória se aplica a alguns fenômenos,
Explique por que somente a lâmpada L1 é capaz de arrancar enquanto a interpretação corpuscular a outros.
elétrons da placa metálica. c) interpretação ondulatória é incompatível com a interpretação
c) É possível arrancar elétrons da placa iluminando-a com uma corpuscular.
lâmpada que emite luz com o mesmo comprimento de onda d) luz é composta de partículas superpostas em ondas.
de L2, porém com maior potência? Justifique sua resposta. e) luz é uma partícula que se propaga ao longo de uma onda.
91
19. (UFJF-MG) – O modelo atômico de Bohr, aperfeiçoado por eletromagnetismo. Estas órbitas especiais atenderiam à condição
Sommerfeld, prevê órbitas elípticas para os elétrons em torno do de quantização da quantidade de movimento angular ou,
núcleo, como num sistema planetário. A afirmação “um elétron equivalentemente, do perímetro de cada órbita eletrônica.
encontra-se exatamente na posição de menor distância ao nú-
cleo (periélio) com velocidade de módulo exatamente igual a
107m/s” é correta do ponto de vista do modelo de Bohr, mas
viola o princípio
a) da relatividade restrita de Einstein.
b) da conservação da energia.
c) de Pascal.
d) da incerteza de Heisenberg.
e) da conservação do momento linear.
20. (UFC) – O diagrama a seguir mostra os estados de energia que

podem ser ocupados por um determinado elétron. A diferença de
energia entre os estados 1 e 2, E2 – E1, é o dobro da diferença de
energia E3 – E2, entre os estados 2 e 3. Numa transição do estado
3 para o estado 2, o elétron emite um fóton de comprimento de
onda ␭ = 600 nm.
Determine os comprimentos de onda das outras transições pos-
síveis.
E3 –––––––––––––––––––––––––––––
E2 –––––––––––––––––––––––––––––
E1 –––––––––––––––––––––––––––––
Sejam:
Z = número atômico;
21. (ITA) – Um átomo de hidrogênio tem níveis de energia discretos m = massa do elétron;
–13,6 e = carga do elétron;
dados pela equação En = ––––– eV, em que {n 僆⺪ / n ⭓ 1}.
n2 K = constante elétrica;
Sabendo-se que um fóton de energia 10,19 eV excitou o átomo do r = raio da órbita;
estado fundamental (n = 1) até o estado p, qual deve ser o valor h = Constante de Planck;
de p? Justifique. v = módulo da velocidade do elétron na órbita; n = 0, 1, 2, 3, ...
22. (UFPI) – Sobre o modelo atômico de Bohr, indique com (V) a(s)
Analise as proposições que se seguem e classifique-as como
verdadeira(s) e com (F) a(s) falsa(s).
(1) Uma vez que um elétron em um átomo descreve, por verdadeiras ou falsas.
exemplo, uma circunferência em torno do núcleo, ele possui (1) A condição clássica para estabilidade da órbita é m v2 r = K Z e2.
aceleração e portanto emite radiação continuamente. (2) A condição quântica para estabilidade da órbita é 2 π r m v = n h.
(2) Ao passar de um estado estacionário para outro, o átomo
(3) A condição quântica para estabilidade da órbita é 2 π n r = m v h.
emite ou absorve um quantum de energia igual à diferença
entre as energias correspondentes aos dois estados. (4) A condição clássica para estabilidade da órbita é m ␻2 r3 = K Z e 2.
(3) No átomo de hidrogênio, para passar do nível de energia (5) A condição quântica para estabilidade da órbita é m v r = K Z e 2.
n = 2 para n = 3, o elétron deve absorver um fóton com
energia aproximadamente igual a 1,89 eV. 24. (ITA) – Experimentos de absorção de radiação mostram que a
(4) O chamado estado fundamental do átomo de hidrogênio é relação entre a energia E e a quantidade de movimento p de um
aquele no qual o elétron está no mais baixo nível de energia. fóton é E = p c. Considere um sistema isolado formado por dois
blocos de massas m1 e m2, respectivamente, colocados no
Dado: Os níveis de energia permitidos no átomo de Bohr são vácuo, e separados entre si de uma distância L. No instante t = 0,
dados pela expressão: o bloco de massa m1 emite um fóton que é posteriormente
absorvido inteiramente por m2, não havendo nenhum outro tipo
En = –13,6 (eV) de interação entre os blocos (ver figura). Suponha que m1 se
–––––
n2 torne m1’ em razão da emissão do fóton e, analogamente, m2 se
torne m2’ devido à absorção desse fóton. Lembrando que esta
em que n é um inteiro positivo e En a energia associada ao questão também pode ser resolvida com recursos da Mecânica
nível de ordem n. Clássica, assinale a opção que apresenta a relação correta entre a
energia do fóton e as massas dos blocos.
23. (UPE) – No modelo planetário do átomo, o núcleo tem carga
positiva e pequena dimensão e os elétrons circulam em volta
dele. De acordo com a Mecânica Clássica de Newton, o equilíbrio
da órbita depende de que a força de atração entre núcleo e elétron
faça o papel de força centrípeta. Desse modo, os raios das órbitas
atômicas poderiam ter qualquer valor. Na prática, observa-se que
só algumas órbitas são permitidas. Conforme a teoria
eletromagnética de Maxwell, cargas elétricas aceleradas irradiam.
O elétron, girando, tem aceleracão centrípeta e, como carga
acelerada, perde energia. Assim, o modelo atômico de Bohr seria
inviável. Entretanto, várias evidências apoiam esse modelo. Para a) E = (m2 – m1)c2 b) E = (m1’ – m2’)c2
preservar a concepção do átomo, propôs-se que, em deter- c) E = (m2’ – m2)c2/2 d) E = (m2’ – m2 )c2
minadas órbitas, o elétron não irradiaria energia, contrariando o e) E = (m1 + m1’)c2
92
25. (UFRN) – Em alguns programas de televisão, apresentam-se pes- em que m0 é a chamada massa de repouso e V é o módulo da
soas que dizem alimentar-se apenas de luz. Para muitos, a palavra velocidade da partícula.
alimento está associada a uma boa porção de massa e a palavra Por outro lado, a energia relativística de uma partícula (ER) é a so-
luz ao conceito de energia. Os conceitos de massa e energia ma de sua energia cinética (Ec) com sua energia de repouso (E0).
dentro da Física Moderna estão relacionados a duas constantes
fundamentais: h, constante introduzida por Planck (em seu
trabalho sobre radiação de corpo negro), e c, que é o módulo da ER = Ec + E0
velocidade da luz no vácuo.
O quadro abaixo exemplifica, com duas equações, a presença Um elétron é acelerado a partir do repouso até atingir uma energia
dessas constantes, tanto na Teoria Quântica como na Teoria da relativística final igual a 2,5 MeV. A energia de repouso do elétron
Relatividade de Einstein. é E0 = 0,5 MeV. Determine
Teoria Quântica Teoria da Relatividade a) a energia cinética do elétron quando ele atinge a velocidade
(modelo corpuscular da luz) final;
b) o módulo da velocidade atingida pelo elétron como uma fração
E = hf E = mc2
do módulo da velocidade da luz no vácuo, c.
E: energia de um fóton asso-
ciado a uma radiação de fre- E: é o equivalente em energia
29. (UEL-PR) – Até o início do século XX, matéria e energia eram
quência f; da massa m de um objeto; consideradas entidades distintas. A primeira caracterizaria uma das
h 6 x 10–34 unidades do Sis- c = 3 x 108m/s (módulo da ve- propriedades intrínsecas dos corpos e a segunda o estado
tema Internacional (SI). locidade da luz no vácuo). dinâmico dos corpos em relação a um determinado meio. A partir
Tendo como referência as informações dadas e considerando-se dos trabalhos de A. Einstein, ficou claro que tal separação não
uma radiação de frequência 6 . 1014 hertz, obtenha deveria existir; matéria e energia poderiam transformar-se uma na
a) a quantidade de fótons, N, que produziria um equivalente outra. Essa nova visão dos conceitos de massa e energia cele-
energético de uma massa igual a 0,4kg; brizou-se pela relação E = mc2, em que E é a energia, m é a massa
b) a unidade para a Constante de Planck, h, a partir de uma e c é o módulo da velocidade da luz no vácuo (300 000 km/s).
análise dimensional, representada em função das grandezas: Assim, ao gerar energia, observa-se um equivalente desa-
massa (kg), comprimento (m) e tempo (s). parecimento de massa. Considere a queima de 1 litro de gasolina
que libera 5 .107 joules de energia e indique a massa desaparecida
26. (UFMG) – Paulo Sérgio, viajando em sua nave, aproxima-se de (transformada em energia) nesse processo.
uma plataforma espacial, com velocidade de módulo 0,7 c , em 5
5
que c é o módulo da velocidade da luz no vácuo. a) –– . 10–9kg b) –– . 10–9kg
Para se comunicar com Paulo Sérgio, Priscila, que está na 9 3
plataforma, envia um pulso luminoso em direção à nave.
5 5
c) –– . 109kg d) –– . 10–1kg
9 3
5
e) –– . 10–3kg
9
30. (SEPEB-Concurso para professor da rede estadual-SP-MODELO

ENEM) – A tabela a seguir relaciona regiões do espectro
eletromagnético com seus respectivos comprimentos de onda,
aproximados. A região que possui fótons de maior energia é
Com base nessas informações, é correto afirmar que o módulo da Região do Espectro Comprimento
velocidade do pulso medida por Paulo Sérgio vale Eletromagnético de onda (m)
a) 0,7 c b) 1,0 c c) 0,3 c d) 1,7 c
Raios Gama 5,0 . 10–14
27. (UFPE) – Um astronauta é colocado a bordo de uma espaçonave
e enviado para uma estação espacial a uma velocidade constante Raios X 5,0 . 10–11
de módulo v = 0,8 c, em que c é o módulo da velocidade da luz Ultravioleta 1,0 . 10–7
no vácuo. No referencial da espaçonave, o tempo transcorrido en-
tre o lançamento e a chegada à estação espacial foi de 12 meses. Visível 5,5 . 10–7
Qual o tempo transcorrido no referencial da Terra, em meses?
Infravermelho 1,0 . 10–5
28. (UFCE-Modificado) – Texto:
A energia relativística de uma partícula (ER) é dada por: Micro-onda 1,0 . 10–2
ER = mc2 Ondas de Rádio 1,0 . 103
em que m é a massa relativística e c o módulo da velocidade com a) Raios Gama. b) Raios X. c) Ultravioleta.
que a luz se propaga no vácuo. d) Infravermelho. e) Ondas de rádio.
A massa relativística m de uma partícula é dada pela expressão:
m0 31. (UFCE-MODELO ENEM) – O gráfico mostrado a seguir resultou
m = ––––––––––––––––– de uma experiência na qual a superfície metálica de uma célula

2 fotoelétrica foi iluminada, separadamente, por duas fontes de luz
() V
1 – ––
c
monocromática distintas, de frequências f1 = 6,0 x 1014Hz e
f2 = 7,5 x 1014Hz, respectivamente.
93
II. O átomo pode existir, sem emitir radiação, em estados esta-

cionários cujas energias só podem assumir um conjunto
discreto de valores.
III. O átomo absorve ou emite radiação somente ao passar de um
estado estacionário para outro.
Quais dessas afirmações foram adotadas por Bohr como
postulados para o seu modelo atômico?
a) Apenas I. b) Apenas II. c) Apenas III.
d) Apenas II e III. e) I, II e III.
34. (ITA-MODELO ENEM) – A tabela abaixo mostra os níveis de

energia de um átomo do elemento X que se encontra no estado
As energias cinéticas máximas, Ec = 2,0eV e Ec = 2,6eV, dos
1 2 gasoso.
elétrons arrancados do metal, pelos dois tipos de luz, estão indica-
das no gráfico. A reta que passa pelos dois pontos experimentais E0 0
do gráfico obedece à relação estabelecida por Einstein para o
efeito fotoelétrico, ou seja, Ec = hf – ␶, em que h é a Constante E1 7,0 eV
de Planck e ␶ é a chamada função trabalho, característica de cada
material. Baseando-se na relação de Einstein, o valor calculado de E2 13,0 eV
␶, em eV, é E3 17,4 eV
a) 0,4 b) 1,6 c) 1,8 d) 2,0 e) 2,3
Ionização 21,4 eV
32. (ITA-MODELO ENEM)
Um trecho da música Quanta, de Dentro das possibilidades abaixo, a energia que poderia restar a
Fragmento infinitésimo, um elétron com energia de 15 ,0 eV, após colidir com um átomo
Gilberto Gil, é reproduzido no des-
Quase que apenas mental, de X, seria de:
taque ao lado.
Quantum granulado no mel, a) 0 eV c) 4,4 eV e) 16,0 eV
As frases “Quantum granulado no b) 2,0 eV d) 14,0 eV
Quantum ondulado do sal,
mel” e “Quantum ondulado do
Mel de urânio, sal de rádio
sal” relacionam-se, na Física, com 35. (UFCE-MODELO ENEM) – Uma fábrica de produtos metalúrgicos
Qualquer coisa quase ideal.
do Distrito Industrial de Fortaleza consome, por mês, cerca de
a) conservação de energia. 2,0 x 106 kWh de energia elétrica (1 kWh = 3,6 x 106 J). Suponha
b) conservação da quantidade de movimento. que essa fábrica possui uma usina capaz de converter
c) dualidade partícula-onda. diretamente massa em energia elétrica, de acordo com a Equação
d) princípio da causalidade. de Einstein, E = mc2. Nesse caso, a massa necessária para suprir
e) conservação do momento angular. a energia requerida pela fábrica, durante um mês, é, em gramas:
a) 0,08 b) 0,8 c) 8 d) 80 e) 800
33. (UFRGS-MODELO ENEM) – No início do século XX, as teorias clás-
sicas da Física – como o eletromagnetismo de Maxwell e a
36. (UFCE-MODELO ENEM) – De acordo com a Teoria da Relativi-
mecânica de Newton – não conduziam a uma explicação satisfatória
dade, de Einstein, a energia total de uma partícula satisfaz a
para a dinâmica do átomo. Nessa época, duas descobertas
equação E2 = p2c2 + m 2c4, em que p é o módulo da quantidade
históricas tiveram lugar: o experimento de Rutherford demonstrou a 0
de movimento linear da partícula, m0 é sua massa de repouso e c
existência do núcleo atômico, e a interpretação de Einstein para o
é o módulo da velocidade da luz no vácuo. Ainda de acordo com
efeito fotoelétrico revelou a natureza corpuscular da interação da luz
Einstein, uma luz de frequência f pode ser tratada como sendo
com a matéria. Em 1913, incorporando o resultado dessas
constituída de fótons, partículas com massa de repouso nula e
descobertas, Bohr propôs um modelo atômico que obteve grande
com energia E = hf, em que h é a Constante de Planck. Com base
sucesso, embora não respeitasse as leis da física clássica.
nessas informações, você pode concluir que o módulo da
Considere as seguintes afirmações sobre a dinâmica do átomo.
quantidade de movimento linear p de um fóton é dado por:
I. No átomo, os raios das órbitas dos elétrons podem assumir
a) p = hfc b) p = hc/f c) p = 1/hc
um conjunto contínuo de valores, tal como os raios das órbitas
dos planetas em torno do Sol. d) p = hf/c e) p = cf/h
6) A energia associada ao fóton é dada por: 7) A energia do fóton é dada por:

E = hf = mc2
c
E = h f = h ––
hf = mc . c
␭
f hc é uma constante universal
h –– = Q
c
E1
Sendo ␭II = 3␭I, resulta E2 = –––
f 1 3
Como c = ␭f, vem –– = ––
c ␭ Resposta: D
h 8) a) O fóton é um corpúsculo de energia.

Portanto: Q = –––– b) A energia do fóton é proporcional à sua frequência
␭
(E = hf).
c) Cada luz monocromática tem a sua frequência.
Resposta: D d) A luz violeta é a de maior frequência na região do visível.
94
e) A luz concentra-se em pacotes de energia que são os

4␭1 – ␭2
fótons e, portanto, propaga-se de maneira descontínua.
Resposta: D
hc
(
⌽ = –––– ––––––––
3 ␭1␭2 )
9) Resposta: B Resposta: D
10) EC = h f – ␶ E nhf
h = Constante de Planck 14) a) Pot = ––– = –––––
⌬t ⌬t
f = frequência da radiação incidente
␶ = energia necessária para arrancar o elétron do átomo. h = 6,6 . 10–34J.s
Resposta: E
c 3,0 . 108 3,0
f = ––– = ––––––––– (Hz) = ––– . 1015 Hz
11) Da teoria do efeito fotoelétrico, temos: ␭ 3,3 . 10–7 3,3
Ec = hf – ␶ ⌬t = 1,0s
em que ␶ é a função trabalho (energia de ligação entre o
elétron e o núcleo) Pot = 2,0 . 102W
A frequência mínima ocorre quando Ec = 0 3,0
2,0 . 102 = n . 6,6 . 10–34 . ––– . 1015
3,3
h fmín = ␶
10
␶ = 6,63 . 10–34 . 5,37 . 1014 (J) n = ––– . 1020
3
␶ = 35,6 . 10–20 J
b) Porque o fóton da luz de L2 não tem energia suficiente
1 eV para vencer a energia de ligação entre os elétrons e o
1J = ––––––––––
1,6 . 10–19 núcleo nos átomos do metal.
35,6 10–20
␶ = ––––– . ––––– (eV) ␶ 2,2 eV c) Não, porque cada átomo só pode capturar um único fóton
1,6 10–19 e, portanto, não interessa a quantidade de fótons que
estão chegando ao metal.
Resposta: A
15) a) 1) hf = 6,6 . 10–34 . 2,4 . 1014 (J)
12) Define-se o potencial de corte como sendo a ddp que cria um
15,84 . 10–20
campo elétrico capaz de interromper a corrente elétrica hf = 15,84 . 10–20 J = –––––––––––– eV
formada pelos elétrons emitidos por um metal por ocasião 1,6 . 10–19
do efeito fotoelétrico. hf = 0,99 eV
Sendo VC o potencial de corte, temos:
2) EC = h f – ␶
e . VC = Ecin = hf – ␶ 0,90 = 0,99 – ␶
h ␶ ␶ = 0,09 eV
VC = ––– f – –––
e e b) O potencial de corte corresponde à ddp U aplicada contra
os fotoelétrons para interromper a corrente elétrica e é
Resposta: A dado por:
e U = Ec
13) A energia cinética Ec do elétron emitido é dada por: 1,6 . 10–19 . U = 0,90 . 1,6 . 10–19
c
E = hf – ⌽ = h ––– – ⌽ U = 0,90V
␭
Respostas: a) 0,09eV
Sendo V1 = 2V2, resulta E1 = 4E2, pois a energia cinética é b) 0,90V
proporcional ao quadrado da velocidade.
16) Para haver efeito fotoelétrico, a energia do fóton (E = hf) deve
hc hc
––– – ⌽ = 4
␭1
––– – ⌽
␭2

superar a energia de ligação entre o elétron que vai ser
arrancado e o núcleo do átomo (função trabalho ). ␶
c 3,0 . 108
hc 4hc E = hf = h . ––– = 4,2 . 10–15 . –––––––––– (eV)
––– – ⌽ = ––––– – 4 ⌽ ␭ 6,0 . 10–7
␭1 ␭2
E = 2,1 eV
4hc hc
4⌽ – ⌽ = ––––– – –––
␭2 ␭1
␶
Como E (2,1eV) é menor que (2,5 eV), não ocorrerá emissão
fotoelétrica.
b) Para que haja efeito fotoelétrico:
(4 ␭1 – ␭2)

4 1 E > ␶ ⇒ hf > ␶
3⌽ = h c ––– – ––– = h c ––––––––––
␭2 ␭1 ␭2 ␭1 ␶ 2,5
f > –– ⇒ f > ––––––––– Hz ⇒ f > 6,0 . 1014Hz
h 4,2 . 10–15
95
17) Resposta: E (2) VERDADEIRA.

P = Perímetro da órbita = n ␭
18) De acordo com a teoria de Louis de Broglie, a luz tem com-
h
portamento dual: onda ou partícula, conforme o fenômeno P = 2πr e mV = ––
observado. ␭
Resposta: B
h
2πr = n . –––– ⇒ 2 π r mV = nh
19) Resposta: D mV
(3) FALSA.
20) Seja E3 – E2 = E, então E2 – E1 = 2E e E3 – E1 = 3E (4) VERDADEIRA.
c hc m(␻r)2 r = K Z e2 ⇒ m ␻2 r3 = K Z e2
⌬E = hf = h ––– ⇒ ␭1 = –––– = 600nm (5) FALSA.
␭ E
hc 24) A diferença entre m2’ e m2 é provocada pelo acréscimo da
De E2 para E1 ⇒ ␭2 = –––– = 300nm energia trazida pelo fóton.
2E
Da equivalência entre massa e energia, traduzida pela
hc Equação de Einstein, temos:
De E3 para E1 ⇒ ␭3 = –––– = 200nm
3E E
m2’ – m2 = –––
Respostas: ␭2 = 300nm c2
␭3 = 200nm
Portanto: E = (m2’ – m2 ) c 2
21) Calculemos o acréscimo de energia requerido pelo átomo pa-
ra passar do estado fundamental, em que ni = 1, até o estado Analogamente, a perda de massa m1 – m’1 é provocada pela
subsequente, em que nf = 2. redução da energia correspondente ao fóton emitido:
–13,6 (–13,6) E
⌬E = En – En ⇒ ⌬E = –––––– – ––––––– (eV) m1 – m’1 = –––
f i 2 12
2
c2
⌬E = 10,20 eV
E = (m1 – m’1 ) c 2
Como o fóton que incide sobre o átomo tem uma energia de
Resposta: D
apenas 10,19 eV (menor que ⌬E), ele não consegue produzir
o caso em que nf = 2.
25) a) E = mc2 = N h f
Esse fóton é então reemitido com sua energia de 10,19 eV,
0,4 . 9 . 1016 = N . 6 . 10–34 . 6 . 1014
sem conseguir alterar o valor de ni = 1.
N = 1035
Logo: p = ni = 1
b) E = h f
Observação: se operarmos com três algarismos significativos
e aproximarmos a energia do fóton para 10,2 eV, então será ML2T–2 = [h] T–1
atingido o estado p = 2. [h] = ML2T–1
22) (1) FALSA. Só há emissão quando o elétron “pula” de um nível u(h) = kg . m2 . s–1
de energia para outro menor.
(2) VERDADEIRA. Respostas: a) N = 1035
b) kg . m2 . s–1
(3) VERDADEIRA.
–13,6 26) De acordo com um dos postulados da teoria da relatividade,
Para n = 2 ⇒ E2 = –––––– (eV)
4 a velocidade da luz no vácuo, medida por qualquer sistema
de referência inercial, tem o mesmo módulo c = 3,0 . 108m/s.
–13,6 Resposta: B
Para n = 3 ⇒ E3 = –––––– (eV)
9
5 27) ⌬t
––– – –––
1 1 ⌬t = –––0
E2 – E3 = –13,6 eV = –13,6 ––– (eV) ␣
4 9 36
E3 – E2 1,89 eV = energia do fóton

V2
(4) VERDADEIRA. ␣= 1 – –––
c2
23) (1) VERDADEIRA.
Fcp = Feletrostática 2
m V2 Ze . e
––––– = K . ––––– ⇒ m V2 r = K Z e2
r
␣= 1– ( ) 0,8c
–––––
c
= 1 – 0,64 = 0,36 = 0,6
r2
96
2,0 + ␶ 2,6 + ␶
12
⌬t = ––– (meses) = 20 meses De (1): h = ––––––––– De (2): h = –––––––––
0,6 6,0 . 1014 7,5 . 1014
Resposta: 20
2,0 + ␶ 2,6 + ␶
28) a) ER = Ec + E0 Portanto: ––––––––– = –––––––––
6,0 . 1014 7,5 . 1014
2,5 = Ec + 0,5 ⇒ Ec = 2,0 MeV
15,0 + 7,5␶ = 15,6 + 6,0 ␶
m0
b) ER = mc2 = ––––––––––––––––– . c2 0,6
1,5␶ = 0,6 ⇒ ␶ = ––– eV ⇒ ␶ = 0,4eV
2 1,5

V
1 – ––
c Resposta: A
E0 = m0c2 é a energia de repouso

32) A expressão “Quantum granulado no mel” sugere energia
E0 associada a partículas, enquanto a expressão “Quantum
Portanto: ER = ––––––––––––––––– ondulado do sal” sugere energia associada a ondas.
2
Isso nos remete à opção C, que menciona o conceito de dua-

V
1 – –– lidade partícula-onda.
c
Resposta: C
2 2

2

E0

V V E0 33) Resposta: D
1 – –– = ––– ⇒ 1 – –– = ––––
c ER c ER
34) Os estados de energização possíveis para o átomo do
elemento X são:

V2 E0 2
1) E0 → E1 recebendo 7,0 eV
––– = 1 – ––––
c2 ER 2) E0 → E2 recebendo 13,0 eV

2 2
E0 0,5 5) E1 → E3 recebendo 10,4 eV
V= c2 1 – –––– =c 1 – ––––
ER 2,5 6) E2 → E3 recebendo 4,4 eV
Quando um elétron com energia de 15,0 eV colide com um
átomo de X, ele pode provocar as energizações (1), (2), (4), (5)
1 24 e (6) e a energia restante do elétron em cada caso seria:
V=c 1 – ––– = c ––– = 0,98c (1): 8,0 eV (2): 2,0 eV (4): 9,0 eV
25 25
(5): 4,6 eV (6): 10,6 eV
Respostas: a) 2,0 MeV Resposta: B
b) 0,98c
29) E = m c2 35) 1) E = 2,0 . 106kWh = 2,0 . 106 . 3,6 . 106J
5 . 107 = m (3 . 108)2 E = 7,2 . 1012J

5 . 107 = m . 9 . 1016
2) E = mc2
5
m = ––– . 10–9 kg 7,2 . 1012 = m . (3,0 . 108)2
9
7,2 . 1012
Resposta: A m= –––––––––
16
kg = 0,8 . 10–4kg
9,0 . 10
30) E = hf m = 0,8 . 10–4 . 103g

como c = ␭f, vem
m = 0,08g
h.c
E = ––––
␭
Resposta: A
Quanto menor ␭, maior será E.

36) E2 = p2c2 + m20 c4
Portanto, a região que possui fótons mais energéticos é a
Para o fóton, temos m0 = 0 (massa de repouso nula) e, por-
faixa de menor comprimento de onda.
tanto:
Resposta: A
E2 = p2c2 ⇒ E = p . c
Como E = hf, vem: hf
31) Ec = hf – ␶
hf = pc ⇒ p = –––––
2,0 = h 6,0 . 1014 – ␶ (1) c
2,6 = h 7,5 . 1014 – ␶ (2) Resposta: D
97
CAPÍTULO
Mecânica
7 A ANÁLISE DIMENSIONAL
1. Fórmulas dimensionais [⌬s]

[v] = ––––
Uma grandeza física qualquer pode ser expressa, a [⌬t]
menos de um fator puramente numérico, sob a forma de
um produto de potências das grandezas das quais ela Mas: [⌬s] = L e [⌬t] = T
depende. Por exemplo, se uma grandeza G depende das L
grandezas X, Y e Z, pode-se escrever que: Logo: [v] = ––– = LT –1
T
G = K Xa Yb Zc Em função de M, L e T, temos:
em que K, a, b e c são números reais. [v] = M0LT –1

Entretanto, usualmente, costuma-se expressar as
grandezas físicas em função de grandezas específicas,
denominadas fundamentais ou primitivas.
2. Principais fórmulas
Na Mecânica, adotamos como fundamentais as gran-
dimensionais da Mecânica
dezas: comprimento (L), massa (M) e tempo (T).
[comprimento] = L; [massa] = M; [tempo] = T
[v] = M0LT –1
A expressão de uma grandeza física G em função das
grandezas fundamentais ou primitivas denomina-se
fórmula ou equação dimensional. Neste caso, a grande-
za considerada G é dada sob a forma de um produto de ⌬v [⌬v] M0LT –1
potências das grandezas fundamentais. a = ––– ⇒ [a] = –––– = –––––––
⌬t [⌬t] T
Para indicar que se trata de uma equação dimensional,
costumamos escrever a grandeza G entre colchetes:
[a] = M0LT –2
[G] = Ma Lb Tc
Os números a, b e c são chamados de dimensões de F = m. a ⇒ [F] = [m][a]

G.
Assim, a grandeza G tem dimensão a em relação à [F] = MM0LT –2 ⇒ [F] = MLT –2
massa, b em relação ao comprimento e c em relação ao
tempo.
A título de exemplo, determinemos a fórmula dimen-
sional da velocidade. Q = mv ⇒ [Q] = [m] [v]
Basicamente, esta grandeza é definida como o quo-
[Q] = MM0LT –1 ⇒ [Q] = MLT –1
ciente da variação de espaço (⌬s) pelo intervalo de tem-
po (⌬t).
⌬s
v = ––––
⌬t E = mgh ⇒ [E] = [m] [g] [h]
A fórmula dimensional de v é, então, obtida fazen- [E] = MM0LT –2 L ⇒ [E] = ML2T –2

do-se:
98
Um cientista, fazendo experiências num laboratório,

E [E] verifica que o período (T) de oscilação de um pêndulo
Pot = ––– ⇒ [Pot] = –––– simples depende do comprimento do fio (ᐉ) e do módulo
⌬t [⌬t]
da aceleração de gravidade (g).
ML2 T –2 Como pode ele, usando a análise dimensional, obter
[Pot] = –––––––– ⇒ [Pot] = ML2 T –3 uma fórmula para o cálculo de t, isto é, uma função do
T
tipo T = f (ᐉ, g)?
Dos experimentos realizados, o cientista pode
escrever que:
I = F . ⌬t ⇒ [I] = [F] [⌬t] T=Kᐉ x gy
–1 em que K é uma constante adimensional e x e y são

[I] = MLT –2 . T ⇒ [I] = MLT
números reais.
Tendo em conta o princípio de homogeneidade di-
Observe que [I] = [Q]
mensional, segue-se que:
3. Homogeneidade dimensional [T] = [ᐉxgy] = [ᐉ]x [g]y

Uma equação física não pode ser verdadeira se não
for dimensionalmente homogênea. Mas: [T] = M0L0T; [ᐉ] = M0LT0 e
[g] = M0LT– 2
Deve-se entender pelo exposto que as dimensões de
um membro da equação devem ser iguais às dimensões do
Assim: M0L0T = (M0LT0)x (M0LT –2 )y
outro membro. Seria, por exemplo, absurdo constatar-se
que 50 quilogramas = 20 metros + X metros. M0L0T = M0Lx + y T – 2 y
O que deve ocorrer é a igualdade:
Identificando-se os expoentes:
50 metros = 20 metros + X metros.
Note-se que o princípio da homogeneidade dimen- x+y=0 x = 1/2
sional fornece-nos apenas uma condição necessária, mas { – 2y = 1
⇒ { y = –1/2
não suficiente, para a legitimidade de uma equação
física. Uma equação física não pode ser verdadeira se Retornando à expressão inicial, vem:
não for dimensionalmente homogênea, mas nem toda T = K ᐉ1/2 g–1/2
equação física dimensionalmente homogênea é obrigato-

riamente verdadeira. ᐉ
ou T=K –––
g
4. Previsão de fórmulas
A análise dimensional é um poderoso instrumento Nota
auxiliar na previsão de fórmulas físicas. Seja o exemplo Apenas a constante K não pode ser obtida por meio
seguinte no qual tal fato fica claro. da análise dimensional.
1. Em relação às grandezas fundamentais comprimento (L), massa

(M) e tempo (T), determine as fórmulas dimensionais [A] = M0 L2 T0
a) de área de uma superfície;
b) do volume de um corpo. b) Um volume qualquer é obtido pelo produto de três compri-
Resolução mentos: a, b e c.
a) Uma área qualquer é obtida pelo produto de dois compri- V=abc
mentos: a e b.
[V] = [a] [b] [c] ⇒ [V] = L . L . L = L3
A = ab
Em função de M, L e T, temos:
[A] = [a] [b] ⇒ [A] = L . L = L2
[V] = M0 L3 T0
Em função de M, L e T, temos:
99
2. Adote como fundamentais as grandezas mecânicas: comprimen- 5. (MACKENZIE-MODELO ENEM) – Se, num determinado sistema
to (L), massa (M) e tempo (T). de unidades, forem multiplicadas por K as unidades de compri-
Determine as fórmulas dimensionais mento, massa e tempo, então a unidade de força desse sistema
a) da massa específica de um corpo; será multiplicada por:
b) da pressão exercida por uma força sobre uma superfície. a) K–2 b) K–1 c) K0 d) K1 e) K2
Resolução Resolução
m
a) A massa específica de um corpo é dada por: ␮ = –– Como [F] = MLT–2, associando as unidades, temos:
V
1
u(F) = u(M) u(L) ––––––
[m] M L– 3 T0 [u(T)]2
Assim: [␮] = ––– = –––––––– ⇒ [␮] = M
[V] M L3 T0
0
1
u’(F) = k u(M) . k u(L) . –––––––
b) A pressão exercida por uma força sobre uma superfície é dada [k u(T)]2
por:
Fn k2 1
p = –––– u’(F) = ––– u(M) u(L) –––––– ⇒ u’(F) = u(F)
A k2 [u(T)]2
em que Fn é a intensidade da componente normal da força em Resposta: C
relação à superfície e A é a área.
[Fn] M L T–2 6. (EEMAUÁ) – Considere como grandezas fundamentais o volume

[p] = –––– = ––––––––– ⇒ [p] = ML– 1 T– 2 (V), a pressão (p) e a aceleração (a).
[A] M0 L2 T0 Determinar nesse sistema a equação dimensional da potência.
Resolução
3. Adotando-se como dimensões mecânicas primitivas F (força), L Em relação ao sistema MLT, temos:
(comprimento) e T (tempo), obtenha as fórmulas dimensionais
a) da massa; b) da energia. [V] = L3; [p] = ML–1T–2; [a] = LT–2
Resolução [Pot] = ML2T–3
F
a) F = ma ⇒ m = ––
a Para o sistema V, p, a, temos:
[F] F [Pot] = Vxpyaz

[m] = ––– ⇒ [m] = ––––– ⇒ [m] = FL–1 T2
[a] LT – 2 ML2T–3 = (L3)x (ML–1T–2)y (LT–2)z
ML2T–3 = MyL3x – y + z T– 2 y – 2 z
b) E = ␶ = Fd ⇒ [E] = [F] [d] = F L [E] = F L T0
Portanto: y=1 a
4. (VUNESP) – O Sistema Internacional de Unidades, SI, compreende
sete unidades de base: o metro, o quilograma, o segundo, o 3x – y + z = 2 b
ampère, o kelvin, o mol e a candela, representativos das grandezas: –2y –2z = –3 c
comprimento, massa, tempo, corrente elétrica, temperatura
termodinâmica, quantidade de matéria e intensidade luminosa, Substituindo a em c:
respectivamente. Para efeito de análise dimensional, usamos os
seguintes símbolos associados às grandezas: L = comprimento, 1
M = massa, T = tempo e I = corrente elétrica. 2 + 2z = 3 ⇒ z = –––
2
Determine a equação dimensional da carga elétrica, da tensão
elétrica e da resistência elétrica.
1 5
Resolução Em b: 3x – 1 + ––– = 2 ⇒ x = ––– [Pot] = p a1/2 V5/6
1) Da definição de intensidade de corrente elétrica: 2 6
Q [Q]
i = ––– ⇒ [i] = –––– 7. A intensidade (F) da força que age em uma partícula é dada em
⌬t [⌬t]
função do tempo (t), conforme a expressão:
[Q] F = A + Bt
I = ––– ⇒ [Q] = I T
T em que A e B são parâmetros constantes não nulos.
Adotando como fundamentais as grandezas massa (M), compri-
2) Da equação do trabalho no campo elétrico: mento (L) e tempo (T), obtenha as equações dimensionais dos
parâmetros A e B.
␶ = qU ⇒ [ ␶ ] = [q] [U] Resolução
Levando-se em conta o princípio da homogeneidade dimensional,
deve-se ter:
ML2T–2 = IT [U] ⇒ [U] = M L 2 T – 3 I – 1
[A] = [F] ⇒ [A] = MLT–2
3) Da 1.a Lei de Ohm: [Bt] = [F] ⇒ [B] [t] = [F]
U [U] [B] T = MLT–2 ⇒ [B] = MLT–3
R = ––– ⇒ [R] = –––
i [i]
8. Num movimento oscilatório, a abscissa (x) da partícula é dada em
M L 2T –3I – 1
[R] = ––––––––––– ⇒ [R] = M L 2 T – 3 I – 2 função do tempo (t) por: x = A + B cos (Ct), em que A, B e C são
I parâmetros constantes não nulos.
100
Adotando como fundamentais as dimensões M (massa), L (compri- “Há na Física uma coisa muito misteriosa que é o chamado
mento) e T (tempo), obtenha as fórmulas dimensionais de A, B e C. comprimento de Planck. É muito curioso saber que quando Planck
Resolução descobriu a constante h percebeu que com a constante h, com a
Levando-se em conta o princípio da homogeneidade dimensional, constante gravitacional (G) e com a velocidade da luz (c) podia-se
deve-se ter: formar um comprimento. Esse comprimento é extremamente
pequeno, da ordem de 10–33cm. Hoje se compreende que esse
[A] = [x] = L ⇒ [A] = M0LT0 comprimento deve ser importante para a compreensão da origem
do Universo. Esse número deve estar ligado ao que há de mais
[Ct] = M0L0T0, pois a função cosseno é aplicada a números puros.
fundamental na Física.”
Logo: [C] [t] = M0L0T0 ⇒ [C] T = M0L0T0 Responder agora à seguinte questão:
Qual é a possível combinação das constantes h, G e c que forma
[C] = M0L0T–1 o comprimento de Planck de acordo com o texto acima?
Resolução
Como cos (Ct) deve ser adimensional, segue-se que: 1) A energia E associada a um fóton de luz de frequência f é dada
por:
[B] = [x] = L ⇒ [B] = M0LT0 E = hf
[E] = [h] [f]

9. (PUCC-MODELO ENEM) – Na expressão F = Ax2, F representa
força e x um comprimento. Se MLT–2 é a fórmula dimensional da ML2T–2 = [h] . T–1 ⇒ [h] = ML2T–1
força, em que M é o símbolo da dimensão massa, L da dimensão
comprimento e T da dimensão tempo, a fórmula dimensional de
A é: 2) A força gravitacional é dada por:
a) ML–1T–2 b) ML3T–2 c) L2 d) MT–2 e) M Mm
Resolução F = G –––––
d2
Sendo F = Ax2, vem: 2
M
[F] = [A] [x]2 MLT–2 = [G] ––––– ⇒ [G] = M–1L3T–2
L2
MLT–2 = [A] L2 ⇒ [A] = ML–1T–2
Resposta: A 3) Do exposto no texto, temos:
10. A intensidade da resultante centrípeta é função apenas da massa, L = K hxGycz

da velocidade escalar e do raio da trajetória. Por análise dimen- K = adimensional
sional, obter, a menos de uma constante adimensional (K), a
expressão da intensidade da resultante centrípeta.
Resolução Portanto: M0LT0 = (ML2T–1)x (M–1L3T–2)y (LT–1)z
Do enunciado: Fcp = K m x v y R z
M0LT0 = Mx–y L2x+3y+z T–x–2y–z
Os dois membros devem ter a mesma equação dimensional.
Logo: MLT–2 = M x ( LT – 1 ) y L z Identificando os expoentes: x–y=0 a
MLT–2 = M x L y + z T – y
2x + 3y + z = 1 b
Identificando os expoentes: –x –2y –z = 0 c
De a: x = y
{
x=1 x=1
y+z=1 ⇒ y=2 De c: z = –x –2y = –3x
–y = –2 z = –1 1
Em b : 2x + 3x –3x = 1 ⇒ x = –––
2
Assim: Fcp = Kmv 2R–1
1 1 3
K m v2 Portanto: x = ––– ; y = ––– e z = – –––
ou: Fcp = –––––––– 2 2 2
R
A equação proposta será: L = K h1/2 G1/2 c–3/2
11. (INATEL) – Ler com atenção o seguinte trecho extraído do livro

Pensando a Física, do Prof. Mário Schenberg:
L=K
Gh
––––
c3
12. (PUC-PR) – Representando o comprimento por L, a massa por M c) a força, a potência e a pressão.
e o tempo por T, as dimensionais d) o peso específico, a aceleração e a potência.
e) a tensão, a potência e a energia.
L M T–2, L2 MT–3 e L–1 MT–2
13. (FEEPA) – A equação dimensional da constante de gravitação
representam, respectivamente: universal no Sistema LMT é:
a) o trabalho, a força e a massa específica. a) L3M–1T–2 b) L–1M–2T3 c) L–2M3T
b) a potência, a aceleração e a pressão. –1
d) L M T3 –2 –2
e) L M T–1 3
101
14. (UESPI-MODELO ENEM) – Se p é pressão, m é massa e d é b) A expressão é dimensionalmente correta.

m.p c) A expressão é dimensionalmente absurda, pois só podemos
densidade absoluta (ou massa específica), entã o termo –––––
d somar parcelas que tenham a mesma equação dimensional.
tem as dimensões da grandeza
Além disso, mesmo no caso em que v = 0 e a = 0, o segundo
a) força. b) potência. c) velocidade.
membro não tem equação dimensional de força.
d) aceleração. e) trabalho.
d) A expressão estaria dimensionalmente correta se o conteúdo
15. (FUND. CARLOS CHAGAS) – O quociente da unidade de força v2
dos parênteses fosse: 1 + –––– .
dividida pela unidade de velocidade pode ser utilizado para medir ra
a) potência. b) trabalho.
e) A expressão está correta.
c) vazão volumétrica de gás. d) vazão volumétrica de líquidos.
e) vazão de massas.
23. (UnB) – Um estudante resolveu um problema de Mecânica e
encontrou, para a força que atua num corpo, a expressão:
16. (AMAN) – Uma certa grandeza “P” tem por expressão
P =
2mE + (E/c)2, em que
F =
m2gv2/r ,
m = massa; E = energia cinética; c = velocidade da luz.
Em unidades do Sistema Internacional, a grandeza “P” é expressa
em: na qual m é a sua massa, v é a velocidade, r é a sua distância a
a) m . kg . s–1 b) m . kg . s c) m2 . kg . s2 um determinado referencial, e g é a aceleração da gravidade. Em
d) m . kg2 . s e) m . kg–1 . s–2 princípio, do ponto de vista dimensional a equação proposta é
possível? Justifique.
17. (MACKENZIE) – Considerando as grandezas físicas, comprimen-
to, massa, tempo e carga elétrica e suas respectivas unidades de 24. (VUNESP) – Um estudante de física resolvendo certo problema
medida no sistema internacional, podemos dizer que a unidade chegou à expressão final: F = 2 (m1 + m2) vt2, na qual:
ohm (⍀) é igual a: F representa uma força,
1kg2 . m 1kg . m2 1kg . m m1 e m2 representam massas,
a) ––––––––– b) ––––––––– c) ––––––––– v é uma velocidade linear,
C.s C2 . s C.s
t é tempo.
1kg2 . m2 Outro estudante resolvendo o mesmo problema, chegou à ex-
d) ––––––––– e) 1 C/s pressão: F = 2 (m1 + m2) vt –1 .
C2 . s2
Mesmo sem conhecer os detalhes do problema, você deve ser
18. (EFEI) – Determinar a equação dimensional da permeabilidade capaz de verificar qual das respostas acima obviamente deve
estar errada. Explique qual delas é certamente errada.
magnética ␮0 num sistema cujas grandezas fundamentais são
comprimento (L), massa (M), tempo (T) e corrente elétrica (I).
25. (FEI) – A variação da massa M com o tempo t, de uma esfera de
naftalina que sublima, é dada por M = M0e– K t , válida no Sistema
19. (EEMAUÁ) – Um sistema de unidades é de base LMT. Se forem
Internacional de Unidades.
a Quais as unidades de M0 e K?
multiplicadas por ––– , com a e b números positivos, as unidades
b Sabe-se que e é a base dos logaritmos neperianos.
fundamentais de comprimento, massa e tempo, como se alte-
rarão as unidades de velocidade, aceleração, força e quantidade 26. (UFJF-MODELO ENEM) – De acordo com a teoria das forças
de calor? nucleares, a força entre um nêutron e um próton tem a seguinte
energia potencial:
20. (UNICAMP) – Num dado sistema de unidades, multiplicam-se por K e –Lx
u(x) = –––––––
um mesmo fator ␣ as unidades de comprimento, velocidade e x
força. Por que fatores serão multiplicadas as unidades de tempo,
massa e energia? em que K e L são constantes, x é a distância entre nêutron e pró-
ton e “e” é a base dos logaritmos neperianos. Então, as unidades
21. (ITA) – Para efeito de análise dimensional, considere as associa- de K e L são, respectivamente:
ções de grandezas apresentadas nas alternativas e indique qual a) inverso de comprimento e comprimento.
delas não tem dimensão de tempo. Sejam: R = resistência elé- b) comprimento e inverso de comprimento.
trica; C = capacitância; M = momento angular; E = energia; c) inverso de energia e energia.
B = indução magnética; S = área e I = corrente elétrica. d) energia vezes o comprimento e inverso de comprimento.
e) energia vezes o inverso de comprimento e comprimento.
a) R . C b)
(B . S)
––––––
(I . R)
c)
M
–––
E
d)

(B . S . C)
––––––––
I 27. (FEEPA) – Se na equação p = v 2 K, v é velocidade, então para que
p seja pressão é necessário que K seja
e) todas as alternativas têm dimensão de tempo.
a) massa. b) massa específica. c) vazão mássica.
Nota: momento angular é dado pelo produto da quantidade de d) peso. e) peso específico.
movimento por uma distância.
28. (CESGRANRIO) – Na expressão seguinte, x representa uma
22. (MODELO ENEM) – Um físico apresentou uma teoria reformulan- distância, v uma velocidade, a uma aceleração, e K representa
do alguns conceitos nas leis da Mecânica Newtoniana. Um jornal, uma constante adimensional.
pretendendo reproduzir essa teoria, apresentou como expressão da
vn
intensidade da força gravitacional (F) entre duas partículas de x = K –––
massas m1 e m2, separadas por uma distância r, a relação: a
m1 m2 Qual deve ser o valor do expoente n para que a expressão seja
F = ––––––– (1 + v2 + r . a), em que v é a intensidade da velocidade
r2 fisicamente correta?
relativa e a é a intensidade da aceleração relativa entre os corpos.
29. Em certas condições, para um líquido escoando, vale a Equação
A respeito desta expressão, assinale a opção correta:
de Bernoulli:
a) A expressão pode estar correta apenas quando v = 0 e a = 0.
102
␮a Vb N.E N.V V.E N

p + –––––– + ␮cgdhe = constante a) –––– b) –––– c) –––– d) –––– e) V .N .E
2 V E N V.E
Nesta equação:
p representa pressão; 37. Quando o sangue escoa em nossas veias, em regime perma-
␮ é a densidade do líquido; nente, a vazão ␾ (volume/tempo) só depende da área da secção
v representa o módulo de uma velocidade; transversal da veia A e do módulo da velocidade do sangue v.
g é o módulo da aceleração da gravidade; Sabendo que o fator adimensional vale 1, responda os quesitos
h representa uma altura. que se seguem:
Determine os valores dos expoentes a, b, c, d e e para que a a) Obtenha ␾ = f (A, v).
equação seja dimensionalmente correta. b) Responda, justificando, o que ocorre com a velocidade do san-
gue se houver um estrangulamento da veia e seu diâmetro se
30. (AMAN) – A frequência do som emitido por uma corda vibrante reduzir à metade.
de comprimento “L” e sujeita a uma tração “T” é dada pela ex-

␴ 38. (MACKENZIE) – Sabe-se que a velocidade de propagação de uma
N
pressão: f = ––– ––– , na qual N = 1, 2, 3, 4 . . . e “␳” é a onda deve ser função da densidade (␮) do meio, do módulo de
2L ␳
Young (E = Força/área) e da frequência f do movimento ondulatório.
massa específica da corda. Em um sistema em que as grandezas Deduzir por meio de análise dimensional a função v = f (␮, E, f), re-
fundamentais são comprimento, massa e tempo, a equação presentando por K a constante de proporcionalidade adimensional.
dimensional de “␴” é:
a) LMT–1 b) L–1MT–1 c) L–1MT–2 39. (MODELO ENEM) – A potência (Pot) de um moinho a vento
depende de seu diâmetro (d), do valor da velocidade do vento (v)
d) LMT0 e) L–1MT0 e da densidade do ar (␮).
Sendo K um fator adimensional, podemos deduzir, por análise di-
31. (CESGRANRIO-MODELO ENEM) – Na análise de determinados mensional, que:
movimentos, é bastante razoável supor que a força de atrito seja a) Pot = K ␮ d2 v3 b) Pot = K ␮ d v2
proporcional ao quadrado da velocidade da partícula que se move. c) Pot = K ␮ d v
2 2 d) Pot = K ␮2 d2 v2
Analiticamente:
f = Kv2 e) Pot = K ␮ d v 3
A unidade da constante de proporcionalidade K no S.I. é: 40. A diferença entre a pressão interna e a pressão externa (⌬p), em
uma bolha de sabão, depende apenas da tensão superficial do
kg . m2 kg . s2 kg . m
a) ––––––– b) ––––––– c) –––––– líquido ␶ (força/comprimento) e do raio da bolha R. Sabe-se que o
s2 m2 s fator adimensional na relação de dependência entre ⌬p, ␶ e R vale
4. Assinale a opção que traduz a relação correta entre ⌬p, ␶ e R e
kg kg
d) ––– e) ––– explica o que ocorre quando duas bolhas de raios diferentes estão
m s ligadas por um canudinho.
R
32. (ITA) – A velocidade de propagação v de um certo fenômeno on- a) ⌬p = 4 ––– ; as bolhas ficam do mesmo tamanho.
dulatório é dada pela fórmula v = Ka xb, na qual as unidades das ␶
grandezas K e x são, respectivamente, newton/(metro)2 e qui-
lograma/(metro)3. Determinar os expoentes a e b. 4␶
b) ⌬p = ––– ; as bolhas ficam do mesmo tamanho.
R
33. (UNICAMP) – A velocidade das ondas numa praia pode depender
de alguns dos seguintes parâmetros: a aceleração da gravidade g, 4␶
a altura da água h, e a densidade da água d. c) ⌬p = ––– ; a bolha menor diminui e a maior aumenta.
R
a) Na crista da onda, a velocidade é maior ou menor do que na
base? Por quê?
4R
b) Fazendo análise dimensional, observa-se que a velocidade da d) ⌬p = ––– ; a bolha maior diminui e a menor aumenta.
onda não depende de um dos 3 parâmetros citados. Que parâ- ␶
metro é esse? Qual a expressão da velocidade em termos dos
2 parâmetros restantes? e) ⌬p = 4 ␶ R; não passa ar de uma bolha para outra.
34. (FEI) – Estudando um determinado fenômeno físico, um pesqui- 41. (ITA-MODELO ENEM) – Em determinadas circunstâncias verifi-
sador concluiu que a velocidade do objeto em estudo dependia de ca-se que o módulo da velocidade v das ondas na superfície de
certa força (F), de certa massa (m) e de certo comprimento ( ᐉ ), um líquido depende da massa específica ␳ e da tensão superficial
␶ do líquido bem como do comprimento de onda ␭, das ondas.
ou seja, concluiu que v = f (F, m, ᐉ ).
Neste caso, admitindo-se que C é uma constante adimensional,
Pela análise dimensional das grandezas citadas, determinar uma
pode-se afirmar que:
possível expressão monômia para v = f (F, m, ᐉ).
35. (FUVEST) – Um objeto esférico de raio R move-se, com veloci-

dade v, através de um fluido de viscosidade h. Sabe-se que a for-
ça de atrito viscoso Fv depende de v, h e R. O coeficiente de vis-
a) v = C
␶
––––
␳␭
b) v = C ␶ ␳ ␭
cosidade h tem dimensão [h] = ML–1T–1, em que M é massa, L é ␳ ␭2

comprimento e T é tempo. c) v = C
␶␳␭ d) v = C ––––
␶
a) Qual é a dimensão [F] da grandeza força?
b) Utilize análise dimensional para determinar a relação entre a e) A velocidade é dada por uma expressão diferente das mencio-
força viscosa Fv e as variáveis R, h e v. nadas.
36. (CESGRANRIO) – A pressão de um gás rarefeito depende do força

volume (V) que ele ocupa, do número de moléculas (N) que o Dado: ␶ = –––––––––––––
constitui e da energia cinética média por molécula (E). A expres- comprimento
são dimensionalmente correta para a pressão é proporcional a:
103
12) C 13) A 14) E 15) E 16) A 17) B 1 1

31) D 32) a = ––– ; b = – –––
2 2
18) MLT–2I–2
33) a) Maior porque a resistência ao movimento é menor.
19) u(V’) = u(V); u(F’) = u(F)
b) v = K
g h; não depende de d
b a
u(A’) = ––– u(A); u(Q’) = ––– u(Q)

a b
Fᐉ
34) v = K –––
m
20) 1; 1; ␣2 21) E 22) C
35) a) MLT–2 b) F = K v h R
23) Dimensionalmente sim.
[F] = M LT –2 36) A
[m2gV2/L]1/2 = M(LT–2)1/2 V L–1/2 = ML1/2T–1LT–1L–1/2 = MLT–2
37) a) ␾ = Av
24) 1.a, pois é dimensionalmente incorreta. b) Quadruplica, pois, quando o diâmetro se reduz à metade, a
área fica dividida por 4.
25) kg e Hz 26) D 27) B 28) n = 2
29) a = 1; b = 2; c = 1; d = 1; e = 1
38) v = K
E
–––
␮
39) A 40) C 41) A
30) C
104
CAPÍTULO
Mecânica
8 HIDROSTÁTICA
A prensa hidráulica (macaco hidráulico) é uma máquina

simples que multiplica forças.
A vantagem mecânica da prensa hidráulica é a razão entre a área
do êmbolo maior e a área do êmbolo menor.
1. Objeto de estudo
Hidrostática é a parte da Física que estuda as
propriedades associadas aos líquidos em equilíbrio.
A Hidrostática fundamenta-se em três leis básicas:
a) Lei de Stevin
b) Lei de Pascal
c) Lei de Arquimedes
2. Densidade absoluta Sendo m a massa da parte maciça e desprezando a mas-

sa de ar contida na parte oca, temos:
m m
Considere um corpo de massa m que ocupa um ␮esfera = ––– = –––––––– (I)
volume V. Ve 4 3
–– ␲ Re
Define-se densidade absoluta do corpo ␮ como a 3
razão entre sua massa (m) e o volume ocupado (V):
m
m ␮material = ––––––––
␮ = ––– Ve – Voco
V
m
␮material = –––––––––––––– (II)
4 3 3
–– ␲ (Re – Ri )
3
Não se deve confundir a densidade de um corpo com
a densidade do material (substância) que o constitui. Verifica-se pelas expressões (I) e (II) apresentadas
Se o corpo for maciço e homogêneo, a densidade do que:
␮esfera < ␮material
corpo coincidirá com a densidade do material, porém
quando o corpo apresentar partes ocas, a densidade do Assim, uma esfera oca de alumínio flutua em água
corpo será menor do que a densidade do material. por ter densidade menor que a da água, ao passo que uma
A título de exemplo, consideremos uma esfera de raio esfera maciça de alumínio afunda por ser mais densa do
externo Re com uma parte oca de raio Ri. que a água.
105
a) No Sistema Internacional, temos: A densidade da água é dada por:

uni(m) kg
uni(␮) = –––––– = ––– = kg . m–3 g kg
uni(V) m3 ␮água = 1,0 –––– = 1,0 . 10 3 –––– =
cm3 m3
t kg
b) No sistema CGS, temos: = 1,0 ––– = 1,0 –––
m3 ᐉ
uni(m) g
uni(␮) = –––––– = –––– = g . cm–3
uni(V) cm3 Se a densidade relativa de um corpo for igual a n (sem
especificar em relação a que), devemos entender que:
c) Relação entre as unidades
Sendo 1kg = 103g e 1m3 = 106cm3, vem: g
␮corpo = n . ␮água = n ––––
kg 103g g cm3
1 ––– = –––––– = 10–3 ––––
6 3
m3 10 cm cm3
g kg
3. Peso específico
1 –––– = 103 ––––
cm3 m3 →
Considere um corpo de peso P que ocupa um volu-
Sendo 103kg = 1t (tonelada), temos ainda: me V.
Define-se peso específico (␥) do corpo como a razão
g t entre a intensidade de seu peso (P) e o volume ocupado
1 ––––
3
= 1 –––
cm m3 (V):
P
␥ = –––
V
Tomando como grandezas fundamentais a massa
(M), o comprimento (L) e o tempo (T), temos:
[m] M P m
[␮] = ––– = ––– ␥ = –– = –– g ⇒ ␥=␮g
[V] L3 V V
[␮] = ML–3 = ML–3 T0 g = intensidade da aceleração da gravidade.
uni(P) N
Consideremos dois corpos, A e B, de densidades ab- uni(␥) = –––––– = ––– = N . m–3
uni(V) m3
solutas ␮A e ␮B.
Define-se densidade relativa do corpo A em relação
ao corpo B como o número ␮AB dado por:
␮A
␮AB = ––– Tomando como grandezas fundamentais a massa
␮B (M), o comprimento (L) e o tempo (T), temos:
A densidade relativa é uma grandeza adimensional
(número “puro”). [P] MLT–2
[␥] = ––– = –––––––
3
= ML–2T–2
[V] L
[ ␮rel] = M0 L0 T0
Se falarmos em densidade relativa de um dado cor- 4. Pressão

po, sem especificarmos em relação a que outro corpo,
fica convencionado que este outro corpo é a água.
Neste caso, a densidade relativa mede quantas Considere
→
uma superfície plana de área A submetida
vezes o corpo é mais denso que a água. a uma força F.
106
A unidade de pressão do SI recebe o nome de pascal

(Pa):
N
Pa = ––––
m2
b) Unidade prática: atm

A pressão exercida pela atmosfera no nível do mar é
→ tomada como unidade de pressão e indicada por atm:
A força F pode ser decomposta em uma componente
→ →
tangencial Ft e uma componente normal FN. Dessas com- 1 atm = 1,01 . 105Pa
→
ponentes, apenas FN está ligada ao efeito de pressão.
Define-se pressão média sobre a superfície como a
grandeza escalar dada pela razão entre a intensidade
da componente normal da força atuante e a área da a) Tomando-se como grandezas fundamentais a mas-
superfície. sa (M), o comprimento (L) e o tempo (T), temos:
→
| FN| [F] MLT–2
p = ––––– [p] = ––– = ––––––– = ML–1T–2
A [A] L2
b) Tomando-se como grandezas fundamentais a for-

a) Sistema Internacional ça (F), o comprimento (L) e o tempo (T), temos:
uni(F) N [F] F
uni(p) = –––––– = ––– = N . m–2 [p] = ––– = ––– = FL–2 = FL–2T0
uni(A) m2 [A] L2
1. Um bloco cúbico tem 2,0cm de aresta e massa igual a 56 gramas. 56g

mC
O cubo é oco e a parte oca também tem for- Assim: ␮C = ––– 3 ⇒
= ––––––– ␮C = 7,0g/cm3
VC 8,0cm
ma cúbica, com aresta igual a 1,0cm. O cubo
é constituído de material homogêneo, na Note que a densidade do cubo é menor que a do material que o
parte não oca. Considere vácuo na parte oca. constitui. Observe também que a densidade do cubo somente
Determinar seria igual à do material se o cubo fosse maciço, caso em que o
a) o volume do cubo Vc (volume delimitado volume do cubo seria igual ao volume do material.
por sua superfície externa);
b) o volume da parte oca (VO); 2. Pelas normas vigentes, o litro do álcool hidratado que
c) a densidade absoluta do material que abastece os veículos deve ser constituído de uma
constitui o cubo (␮mat); mistura de álcool e água, sendo a quantidade de água
d) a densidade do cubo (␮c). no máximo de 4%, em volume. As densidades desses compo-
nentes são dadas na tabela.
Resolução Substância Densidade (g/ᐉ)
a) Vc = (2,0)3 cm3 ⇒ Vc = 8,0cm3 Água 1000
Álcool 800
b) VO = (1,0)3 cm3 ⇒ V0 = 1,0cm3
Um técnico de um órgão de defesa do consumidor inspecionou
c) A densidade absoluta do material (␮mat) calcula-se dividindo a cinco postos suspeitos de venderem álcool hidratado fora das
massa do material (mmat) pelo volume realmente ocupado por normas. Colheu uma amostra do produto em cada posto e mediu
ele (Vmat). a densidade de cada uma, obtendo:
Assim: Posto Densidade (g/ᐉ)

mmat 56g
␮mat = ––––– = ––––––––
3
⇒ ␮mat = 8,0g/cm3 I 822
Vmat 7,0cm
II 820
Note que o volume realmente ocupado pelo material é a
diferença entre o volume do cubo e o volume da parte oca. III 815
(Vmat = 8,0cm3 – 1,0cm3 = 7,0cm3)
IV 808
d) A densidade do cubo (␮c) calcula-se dividindo a massa do cubo
(que também é igual a 56 gramas) pelo seu volume (volume V 805
delimitado por sua superfície externa).
107
A partir desses dados, o técnico pôde concluir que estavam com 4. Verifica-se que, quando uma pessoa está deitada sobre a areia
o combustível adequado somente os postos movediça, a superfície em que ela se apoia cede menos facil-
a) I e II. b) I e III. c) II e IV. mente que se a mesma pessoa estiver em pé. Suponha o chão
d) III e V. e) IV e V. plano e horizontal.
Resolução a) Compare as forças que a pessoa exerce na superfície de
apoio, em cada caso. Suponha a pessoa em equilíbrio mecâni-
Maᐉ + Ma ␮aᐉ Vaᐉ + ␮aVa co.
dmistura = –––––––––– = ––––––––––––––
Vaᐉ + Va Vaᐉ + Va b) Explique o fato observado.
Resolução
sendo: Va = 0,04 V a) As forças são iguais nos dois casos e têm a mesma inten-
sidade do peso da pessoa. Isto decorre do equilíbrio mecânico
Vaᐉ = 0,96 V
da pessoa.
vem: Conclui-se, então, que o fato de a superfície ceder mais facil-
mente ou menos facilmente não depende apenas da força
800 . 0,96V + 1000 . 0,04V
dmistura = –––––––––––––––––––––––– (g/ᐉ) aplicada.
V b) Quando deitada, a superfície de contato é maior que quando
em pé. Como nos dois casos as forças normais são iguais,
dmistura = 768 + 40(g/ᐉ) = 808 g/ᐉ concluímos que, no primeiro caso (pessoa deitada), a pressão
exercida na superfície é menor que no segundo, ou seja, no
A densidade do álcool hidratado deve ser no máximo igual a primeiro caso o chão suporta menos força por unidade de
808 g/ᐉ, isto é, são adequadas as amostras IV e V. área, em média.
Observe-se, então, que o que interessa na análise feita não é
Resposta: E simplesmente a força normal atuante na superfície, mas sim a
intensidade dessa força por unidade de área, isto é, a pressão.
3. Considere dois líquidos homogêneos, A e B, que são miscíveis
entre si. 5. (FUVEST-MODELO ENEM) – Um avião que voa a grande altura é
É feita uma mistura de uma massa mA de A com uma massa mB pressurizado para conforto dos passageiros. Para evitar sua explo-
de B. são, é estabelecido o limite máximo de 0,5 atmosfera para a
As densidades de A e B são, respectivamente, dA e dB. diferença entre a pressão interna no avião e a externa.
a) Supondo que não haja contração de volume, calcule a densida-
de da mistura.
b) Estude o caso em que mA = mB.
Resolução
a) A densidade d da mistura é dada por:
mA + mB
d = –––––––––
VA + VB
mA mB
Porém : VA = –––– e VB = ––––
dA dB
mA + mB
Portanto: d = ––––––––––––––– O gráfico representa a pressão atmosférica p em função da altura
mA mB
–––– + –––– H acima do nível do mar. Se o avião voa a uma altura de 7000
dA dB metros e é pressurizado até o limite,os passageiros ficam sujeitos
a uma pressão igual à que reina na atmosfera a uma altura de
aproximadamente
b) Se mA = mB = m, então: a) 0 m b) 1000 m c) 2000 m
d) 5500 m e) 7000 m
2m 2
d = ––––––––––– = –––––––––––– Resolução
m m 1 1 Do gráfico dado, obtemos para a altura H = 7000m uma pressão
––– + ––– ––– + –––
dA dB dA dB atmosférica p = 0,40atm.
Considerando-se que pavião – p = 0,50atm e fazendo-se p = 0,40atm,
vem:
2 dAdB pavião – 0,40 atm = 0,50 atm ⇒ pavião = 0,90 atm
d = –––––––––
dB + dA
Consultando novamente o gráfico, obtemos, para p = 0,90 atm,
uma altura H = 1000m.
A densidade da mistura, com mA = mB, é a média har-
mônica entre as densidades de A e B. Resposta: B
6. (UNIFOR-CE) – Dois líquidos, A e B, quimicamente inertes e imis- 7. (UNIFOR-CE) – Misturam-se 120g de um líquido A de densidade
cíveis entre si, de densidades dA = 2,80 g/cm3 e dB = 1,60 g/cm3, dA = 0,75g/cm3 com 240cm3 de um líquido B de densidade
respectivamente, são colocados em um mesmo recipiente. dB = 1,25g/cm3. Admitindo-se que os líquidos não reagem entre
Sabendo-se que o volume do líquido A é o dobro do de B, a si e que o volume total se conserva, a densidade da mistura, em
densidade da mistura, em g/cm3, vale g/cm3, vale:
a) 2,40 b) 2,30 c) 2,20 d) 2,10 e) 2,00 a) 0,85 b) 0,90 c) 1,00 d) 1,05 e) 1,10
108
8. (UFC) – Um recipiente de vidro, quando vazio, pesa 1,2 . 10–1 N; As massas específicas de quatro substâncias, três das quais
quando cheio de gasolina, pesa 3,2 . 10–1 N; e cheio de água, pesa foram empregadas na construção desses sólidos, estão indicadas
4,2 . 10–1 N. Calcule a massa específica da gasolina, em kg/m3, e na tabela:
assinale a alternativa correta.
substâncias massa específica (g.cm–3)
a) 0,67 . 103 b) 0,69 . 103 c) 0,75 . 103
d) 0,76 . 103 e) 0,81 . 103 w 2,0
Dado: densidade da água = 1,0 . 103kg/m3
x 3,0
9. (OLIMPÍADA COLOMBIANA DE FÍSICA-MODELO ENEM) – A
tabela a seguir indica a massa e o respectivo volume de três y 4,0
líquidos homogêneos e imiscíveis.
z 6,0
Líquido Massa Volume
Admita que os sólidos tenham a mesma massa e que cada um
1 5,0kg 0,005m3 tenha sido construído com apenas uma dessas substâncias.
De acordo com esses dados, o cone circular reto foi construído
2 0,30kg 0,60ᐉ com a seguinte substância:
a) w b) x c) y d) z
3 6,0kg 4,0 . 103cm3
Quando volumes iguais desses líquidos são vertidos em um 12. (UFMG) – As figuras mostram um mesmo tijolo, de dimensões
recipiente cilíndrico, a situação de equilíbrio estável é a mostrada 5cm x 10cm x 20cm, apoiado sobre uma mesa de três maneiras
na figura: diferentes. Em cada situação, a face do tijolo em contato com a
mesa é diferente.
As pressões exercidas pelo tijolo sobre a mesa nas situaçoes I, II

e III são, respectivamente, p1, p2 e p3.
10. (UERJ) – A razão entre a massa e o volume de uma substância, Com base nessas informações, é correto afirmar que
ou seja, a sua massa específica, depende da temperatura. A a) p1 > p2 > p3 b) p1 = p2 = p3
seguir, são apresentados os gráficos da massa em função do c) p1 < p2 < p3 d) p1 < p2 > p3
volume para o álcool e para o ferro, ambos à temperatura de 0°C.
13. (OLIMPÍADA PAULISTA DE FÍSICA) – Uma cadeira de quatro pés
tem massa de 4,0kg e a área de contato de cada pé com o chão é
de 5,0 . 10–4m2. Considere g = 10m/s2 e 1atm = 1,0 . 105Pa. Uma
pessoa de massa 60,0kg está sentada na cadeira.
A pressão que cada pé exerce sobre o piso horizontal vale
a) 3,0 . 103Pa b) 3,5 . 104Pa c) 3,0atm
d) 3,2atm e) 4,0atm
14. (UNESP) – Em uma competição esportiva, um halterofilista de

80kg, levantando uma barra metálica de 120kg, apoia-se sobre os
seus pés, cuja área de contato com o piso é de 25cm2. Consi-
derando-se g = 10 m/s2 e lembrando-se de que a pressão é o efei-
to produzido por uma força sobre uma área e considerando-se que
essa força atua uniformemente sobre toda a extensão da área de
contato, a pressão exercida pelo halterofilista sobre o piso, em
N
Considere ␳F a massa específica do ferro e ␳A a massa específica ––– , é de
do álcool. m2
␳ a) 2,0 . 105 b) 8,0 . 105 c) 1,2 . 106
F
De acordo com o gráfico, a razão ––– é igual a: d) 2,0 . 106 e) 2,5 . 106
␳ A
15. (FUVEST) – A janela retangular de um avião, cuja cabina é pres-
a) 4 b) 8 c) 10 d) 20 surizada, mede 0,50m por 0,25m. Quando o avião está voando a
uma certa altitude, a pressão em seu interior é de, aproxi-
11. (UERJ) – Nas ilustrações abaixo, estão representados três sólidos madamente, 1,0atm, enquanto a pressão ambiente fora do avião
de bases circulares, todos com raios iguais e mesma altura. é de 0,6atm. Nessas condições, a janela está sujeita a uma força,
Considere as medidas dos raios iguais às medidas das alturas, em dirigida de dentro para fora de intensidade igual à intensidade do
centímetros. peso, na superfície da Terra, de um corpo de massa
a) 50kg b) 320kg c) 480kg d) 500kg e) 750kg
1 atm = 1,0 . 105 Pa = 1,0 . 105 N/m2
16. (UFSC) – Uma pessoa comprime um lápis entre os seus dedos,

da maneira indicada na figura adiante. Adotando-se como A a área
da superfície de contato entre a ponta do lápis e o dedo polegar e
como B a área de contato entre o lápis e o dedo indicador, e
admitindo-se que A seja menor que B, assinale a(s) propo-
sição(ões) correta(s). Não considere o peso do lápis.
109
a) Em que instante a aeronave decola, ou seja, perde contato

com o chão? Adote g = 10m/s2.
b) Qual é a diferença de pressão entre a parte inferior e a parte
superior das asas, ⌬p = pinf – psup, no instante t = 20s?
19. (UFMG) – A figura I mostra uma caixa de aço, cúbica e oca, formada
por duas metades. A aresta do cubo mede 0,30m. Essas duas me-
tades são unidas e o ar do interior da caixa é retirado até que a pres-
são interna seja de 0,10atm. Isso feito, duas pessoas puxam cada
uma das metades da caixa, tentando separá-las, como mostra a fi-
gura II. A pressão atmosférica é de 1,0atm (1 atm = 1,0 x 105 N/m2).
MÁXIMO, Antonio; ALVARENGA, Beatriz.

Curso de Física, vol. 1, São Paulo: Scipione, 2002. p. 226.
01. A intensidade da força do polegar sobre A é maior que a do

indicador sobre B.
02. A pressão exercida pela força do polegar sobre A é maior que
a do indicador sobre B.
04. A pressão exercida pela força do polegar sobre A é igual à do
indicador sobre B. Considerando-se as informações dadas, responda:
08. Pressão é sinônimo de força. Nessa situação, as pessoas conseguirão separar as duas metades
16. A pressão exercida por uma força sobre uma superfície só dessa caixa?
depende da intensidade da força. Justifique sua resposta, apresentando os cálculos necessários.
32. A intensidade da força do polegar sobre A é igual à do
indicador sobre B.
20. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA) – Qual das seguintes
17. (UFPB) – Deseja-se utilizar uma ventosa, objeto similar a um alternativas melhor representa a ordem de grandeza da massa
desentupidor de uso doméstico, para pendurar um jarro com total da atmosfera terrestre?
plantas ornamentais em uma sala, situada em uma casa no nível a) 1016 kg b) 1019 kg c) 1020 kg
do mar, cujo teto é bastante liso e resistente. Para realizar essa d) 1022 kg e) 1024 kg
tarefa, considere as seguintes informações: Dados: 1) raio médio da Terra = 6,5 . 106m
• patm = 1,0 . 105 Pa e g = 10 m/s2
2) π3
• a massa do jarro com a planta é de, aproximadamente, 10kg;
3) 1 atm = 1,0 . 105 Pa
• a ventosa tem massa desprezível e é esvaziada
4) módulo da aceleração da gravidade = g = 10m/s2
completamente (caso ideal)
Nesse contexto, para que a ventosa possa segurar esse jarro, a
área mínima necessária dessa ventosa é de
21. (UFCG-PB-MODELO ENEM) – Um vendedor de leite in natura, na
a) 1,0 cm2 b) 5,0 cm2 c) 10,0 cm2
2 2 época do verão (estiagem), com dificuldade para alimentar os
d) 15,0 cm e) 20,0 cm
animais, planejou acrescentar água ao leite, de tal forma que a
18. (UNICAMP-SP) – O avião estabeleceu um novo paradigma nos cada litro de leite fossem acrescentados 300 mᐉ de água. Para
meios de transporte. Em 1906, Alberto Santos-Dumont realizou atender às exigências da cooperativa dos produtores, o vendedor
em Paris um voo histórico com o 14 Bis. A massa desse avião, precisou calcular a densidade da mistura. Nesse caso, se a densi-
incluindo o piloto, era de 300kg, e a área total das duas asas era dade do leite puro for 1,10 g/mᐉ e a densidade da água 1,00 g/mᐉ,
de aproximadamente 50m2. o valor calculado é mais próximo de:
a) 1,01 g/mᐉ b) 1,03 g/mᐉ c) 1,05 g/mᐉ
A força de sustentação de um avião, dirigida verticalmente de
d) 1,08 g/mᐉ e) 1,09 g/mᐉ
baixo para cima, resulta da diferença de pressão entre a parte
inferior e a parte superior das asas. O gráfico representa, de forma
simplificada, o módulo da força de sustentação aplicada ao 14 Bis
22. (UEPB-MODELO ENEM) – O Princípio de Arquimedes tem mani-
em função do tempo, durante a parte inicial do voo.
festações e aplicações extremamente importantes: é este princí-
pio que explica porque animais e pessoas nadam, enquanto
objetos tal como navios navegam através de oceanos etc. O com-
portamento dos sólidos na água é um dos conhecimentos mais
antigos do homem. Historicamente, Arquimedes (287-212 a.C.)
formulou o princípio que levou seu nome, ou lei do empuxo, que
permite entender-se como os corpos podem ou não flutuar,
quando recebeu a tarefa de determinar se uma coroa feita para o
rei Hierão II, de Siracusa, era de ouro puro ou se continha um
metal menos nobre. Arquimedes chegou à solução do problema
durante um banho e após esse, saiu nu pelas ruas de Siracusa
gritando “Eureka! Eureka!” (palavra grega que significa “achei”).
Ele havia descoberto um meio de verificar se o rei fora ou não
enganado.
(Adaptado de Máximo, Antonio & Alvarenga, Beatriz. Física. São Paulo:
Scipione, 1997).
110
Como base nas informações do texto, observe, na figura, uma

representação do raciocínio de Arquimedes para resolver o
problema da coroa do rei de Siracusa. Na figura A, ele colocou na
água uma massa de ouro igual à da coroa. Suponha que tenham
sido recolhidos 40 cm3 de água. Na figura B, retomando o
recipiente cheio de água, mergulhou nele uma massa de prata
pura, também igual à massa da coroa, recolhendo a água que
transbordou. Como a densidade da prata é menor que a do ouro,
o volume de água recolhido nesta segunda operação era maior
que na primeira. Podemos afirmar que a massa da coroa em Se a tensão necessária para a ignição é de 2,0 . 104V e a ponta atua
gramas e o volume da água recolhido na figura B, em cm3, são, numa área de 2,5 . 10–7m2, qual a intensidade da força exercida pela
respectivamente, iguais a ponta sobre o cristal?
a) 600g e 40 cm3 b) 700g e 60 cm3 c) 600g e 50 cm3 a) 10N b) 20N c) 30N d) 40N e) 50N
d) 800g e 50 cm3 e) 800g e 80 cm3
Dados: densidade do ouro = 20g/cm3 e
densidade da prata = 10g/cm3 26. (UEM-PR-MODELO ENEM) – Para se perfurar uma certa pilha de
papéis, pode-se utilizar a prensa A ou a prensa B, com as
seguintes especificações:
23. (UFCG-MODELO ENEM) – No ouvido médio existem três ossícu-
los (martelo, bigorna e estribo). Eles transmitem a energia sonora
• a prensa A pesa 100 kgf e apresenta 50 agulhas perfuradoras;
da membrana timpânica ao fluido do ouvido interno através da
janela oval. As ondas sonoras não são transmitidas facilmente do • a prensa B pesa 50 kgf e apresenta 25 agulhas perfuradoras.
ar para o fluido, sendo a maior parte da energia sonora refletida
nas interfaces entre as várias partes do ouvido. Há, portanto, Sabendo-se que o peso de cada prensa está distribuído unifor-
necessidade de ampliação da pressão na denominada janela oval, memente sobre as agulhas e que todas elas são idênticas, é
a fim de se produzir audição adequada. A força aplicada sobre a correto afirmar que
janela oval é a força sobre o tímpano ampliada por um fator 1,3 a) a prensa A produzirá sulcos mais profundos na pilha de papéis.
pelos ossículos, sendo a área do tímpano 17 vezes maior que a b) a prensa B produzirá sulcos mais profundos na pilha de papéis.
área da janela oval. Pode-se afirmar que, aproximadamente, a c) a profundidade da perfuração das prensas depende apenas do
pressão na janela oval é maior que a pressão no tímpano número de agulhas.
a) 22 vezes. b) 18,3 vezes. c) 17 vezes. d) as duas prensas produzirão sulcos com a mesma profundida-
d) 13 vezes. e) 1,3 vez. de na pilha de papéis.
e) a profundidade da perfuração das prensas depende apenas
das suas massas.
24. (UFES-MODELO ENEM) – A velocidade do ar acima das asas de
um avião é maior do que a velocidade do ar abaixo delas. Por isso,
a pressão sobre a superfície inferior das asas é maior do que a 27. (UFPR-MODELO ENEM) – Num certo ano, um furacão passou
pressão sobre a superfície superior. pela Região Sul do Brasil, atingindo principalmente as cidades do
litoral de Santa Catarina. Na madrugada de 27 de março desse
ano, ventos de 150 km/h destelharam mais de 40 mil casas e
outras 3 mil ficaram destruídas. Devido a esses fortes ventos, em
um ginásio de esportes, uma telha metálica medindo 0,50m por
2,40m ficou sujeita a uma diferença de pressão de aproxi-
madamente 1000 Pa. De acordo com esses dados, a intensidade
da força que atuou sobre a telha, devida a essa diferença de
pressão, foi de:
a) 500 N b) 1000 N c) 1200 N
d) 1900 N e) 2400 N
28. (FUVEST-MODELO ENEM) – Um motorista para em um posto e

Considerando-se que a diferença de pressão seja ⌬P e que a área pede ao frentista para regular a pressão dos pneus de seu carro
efetiva das asas seja A, calcule o módulo do empuxo dinâmico em 25 “libras” (abreviação da unidade “libra-força por polegada
(força ascensional). A resposta correta é quadrada” ou “psi”). Essa unidade corresponde à pressão exerci-
a) A⌬P b) ⌬P/A c) A/⌬P d) A/(⌬P)2 e) ⌬P(A2) da por uma força igual ao peso da massa de 1 libra, distribuída so-
bre uma área de 1 polegada quadrada. Uma libra corresponde a
0,5kg e 1 polegada a 25 . 10–3m, aproximadamente. Como 1 atm
25. (UNICAMP-SP-MODELO ENEM) – Num acendedor moderno, um corresponde a cerca de 1 . 105 Pa no SI (e 1 Pa = 1 N/m2), aquelas
cristal de quartzo é pressionado por uma ponta acionada por molas. 25 “libras” pedidas pelo motorista equivalem aproximadamente a:
Entre as duas faces do cristal, surge então uma tensão elétrica, cuja a) 2 atm b) 1 atm c) 0,5 atm
dependência em função da pressão é dada pelo gráfico a seguir. d) 0,2 atm e) 0,01 atm
111
5. Pressão exercida por uma hM 0,76m

coluna líquida em equilíbrio
Uma coluna de mercúrio de altura 76cm exerce
Considere um recipiente cilíndrico de área de base A, uma pressão de 1,0 atm.
contendo um líquido homogêneo, de densidade (␮) e em
equilíbrio.
Calculemos a pressão exercida por esta coluna líqui-
da, de altura h, na base do recipiente. Calculemos que altura de água exerce pressão de
uma atmosfera:
pH = ␮a g ha
pH = 1,0 . 105 Pa; g = 10m/s2
␮a = 1,0 . 103kg/m3
1,0 . 105 = 1,0 . 103 . 10. ha
ha = 10m
Uma coluna de água de altura 10m exerce uma

pressão de 1,0 atm.
A força exercida pelo líquido sobre a base do reci-
piente tem intensidade igual ao peso do líquido:
→ 6. Lei de Stevin
|P| mg
pH = ––– = ––– (1) A Lei de Stevin permite calcular a diferença de pres-
A A são entre dois pontos de um fluido homogêneo, em
m equilíbrio e sob a ação da gravidade.
Sendo ␮ = –– e V = A . h, vem:
V
m = ␮V = ␮Ah (2)
Substituindo (2) em (1), vem:

␮Ahg
pH = –––––––
A
pH = ␮gh Considere um fluido homogêneo contido em um

recipiente qualquer e em equilíbrio.
A pressão exercida por uma coluna líquida é chama- Desejamos obter a diferença de pressão entre dois
da pressão hidrostática ou pressão efetiva e não depen- pontos quaisquer, A e B, com desnível h.
de da espessura da coluna líquida e sim de sua altura. Consideremos um ponto C na mesma horizontal de A
Surge então a ideia de se medir a pressão por meio de e na mesma vertical de B.
altura de coluna líquida. A diferença de pressão entre os pontos B e C é dada
pela pressão da coluna fluida de altura h:
pB – pC = ␮gh (1)
Calculemos que altura de coluna de mercúrio exerce Por outro lado, como os pontos A e C estão na mes-
pressão de uma atmosfera: ma profundidade (mesma altura h’ de coluna fluida aci-
pH = ␮M g hM ma dos pontos), eles suportam a mesma pressão:
pH = 1,0 . 105 Pa; g = 9,8m/s2 pA = pC (2)

kg Substituindo (2) em (1), vem:
␮M = 13,5 . 103 –––
m3 pB – pA = ␮gh
1,0 . 105 = 13,5 . 103 . 9,8 . hM
A relação obtida traduz a Lei de Stevin:
112
A diferença de pressão entre dois pontos quaisquer

de um fluido homogêneo, em equilíbrio e sob a
ação da gravidade, é dada pelo produto do peso
específico do fluido (␮g) pelo desnível (diferença de
profundidade) entre os pontos considerados.
Nota
A Lei de Stevin é válida para líquidos e gases, po-
rém, como a densidade de um gás é relativamente peque-
na, a diferença de pressão só se torna relevante para
alturas muito grandes. As retas representativas são paralelas e o ângulo ␸ é
Assim, para um gás contido em um recipiente, de tal que:
dimensões normais, consideramos a pressão como a mes-
N
ma em todos os pontos da massa gasosa. tg ␸ = (␮g)
Quanto mais denso for o líquido (maior ␮), maior se-
7. Aplicações da Lei de Stevin rá o ângulo ␸.
Consideremos um líquido homogêneo, em equilíbrio Para um líquido homogêneo, em equilíbrio e sob

e sob ação da gravidade, contido em um recipiente ex- ação da gravidade, de acordo com a Lei de Stevin, temos:
posto à atmosfera.
pB – pA = ␮g h
Se impusermos a igualdade de pressões entre os pon-

tos genéricos B e A, teremos:
pB = pA ⇒ pB – pA = 0 ⇒ h = 0
Isto significa que todos os pontos que suportam a

mesma pressão estão no mesmo nível, isto é, pertencem
Para obtermos a pressão total em um ponto A do
ao mesmo plano horizontal.
líquido, basta aplicar a Lei de Stevin entre o ponto A e
um ponto O da superfície do líquido. Em um líquido homogêneo, em equilíbrio e sob a
ação da gravidade, as regiões isobáricas (pontos de
pA – pO = ␮gh
mesma pressão) são planos horizontais.
Como o ponto O está em contato com a atmosfera, a
pressão pO é igual à pressão atmosférica. Em particular, como a superfície livre do líquido é
Assim: isobárica (pressão igual à pressão atmosférica), concluí-
mos que:
pA – patm = ␮gh
A superfície livre de um líquido em equilíbrio e sob
pA = patm + ␮gh a ação da gravidade é horizontal.
pA = pressão total ou absoluta no ponto A.

patm = pressão atmosférica local. Nota
␮gh = pressão hidrostática ou efetiva.
A pressão, no interior de um líquido, aumenta
linearmente com a profundidade.
Mostremos os gráficos das pressões hidrostática e

total em função da profundidade h.
113
Se o recipiente que contém o líquido tiver aceleração e será a mesma em todos os casos esquematizados (mes-
constante (não nula) em relação à superfície terrestre, a mo líquido e mesma altura), não importando a forma do
superfície livre ficará inclinada de um ângulo ␸ que de- recipiente nem a quantidade de líquido.
penderá da aceleração e as regiões isobáricas serão
planos paralelos à superfície livre.
A força que o líquido exerce no fundo do recipiente

Consideremos recipientes com formatos diferentes
tem intensidade dada pelo produto da pressão pela área
contendo o mesmo líquido homogêneo e em equilíbrio,
(A) da base do recipiente: F = pA; se todos os recipientes
sob a ação da gravidade.
tiverem a mesma área de base, as forças também terão a
Admitamos que a altura líquida h seja a mesma em
mesma intensidade.
todos os recipientes.
A pressão que o líquido exerce no fundo do recipien- O fato de a pressão e a força não dependerem da
te é dada por: forma do recipiente nem da quantidade de líquido é
p = pO + ␮gh chamado de paradoxo hidrostático.
29. Dois pontos, A e B, situados no interior de um líquido homogêneo

e incompressível, de densidade absoluta igual a 1,0 . 103kg/m3, pH = ␮gh
apresentam uma diferença de nível de 10m.
pH = 1,00 . 103 . 10,0 . 0,500 (Pa)
pH = 5,00 . 103Pa
b) A pressão total ou absoluta é dada por:
p = patm + pH = patm + ␮gh
p = 1,00 . 105 + 0,05 . 105 (Pa)
a) Qual a diferença de pressão entre esses pontos, adotando-se p = 1,05 . 105 Pa

a aceleração da gravidade igual a 10m/s2?
b) Qual a relação entre as pressões nos pontos B e C? Note que, nos três líquidos, os valores de pH e p são os mes-
Resolução mos.
a) Pelo Teorema de Stevin, temos: c) A força que o líquido exerce no fundo tem intensidade F dada
por:
pB – pA = ␮gh = (1,0.103) (10) (10) (N/m2)
F = pA
pB – pA = 1,0 . 105N/m2
em que A = 0,100m2 é a área da base dos recipientes.
b) Entre os pontos B e C, o desnível h é nulo e, portanto: F = 1,05 . 105 . 0,100 (N)
pB = pC F = 1,05 . 104 N
30. Sejam os vasos da figura, contendo, respectivamente, 55kg, 50kg 31. O vaso da figura contém dois líquidos imiscíveis, (1) e (2), de den-
e 45kg de água. As bases dos vasos são planas e têm áreas sidades absolutas ␮1 e ␮2, respectivamente iguais a 0,80g/cm3 e
iguais a 0,100m2. Sendo g = 10,0m/s2 e a massa específica da 1,0g/cm3 (dado g = 10m/s2).
água (␮) igual a 1,00 . 103kg/m3, pedem-se:
a) as pressões hidrostáticas nos fundos dos vasos;
b) as pressões absolutas nos fundos, sabendo-se que a pressão
atmosférica é igual a 1,00 . 105 N/m2;
c) os módulos das forças exercidas nos fundos pelos líquidos.
Resolução a) Determinar as pressões hidrostáticas do líquido nos pontos A,

a) A pressão hidrostática é dada por: B e C.
114
→
b) Traçar o gráfico da pressão hidrostática do líquido em função A força resultante FR tem intensidade dada por:
da profundidade h.
Resolução FR = F1 – F2 ⇒ FR = 3,0 . 105N
a) 1) Para o ponto A: pA = 0 (não há líquido acima de A)
Resposta: A
2) Para o ponto B:
pH = ␮1gh1
B
pH = 0,80 . 103 . 10 . 0,50 (Pa) 33. (UNIP-MODELO ENEM) – Os pulmões humanos podem funcio-
B
nar normalmente suportando uma diferença de pressão máxima
pH = 4,0 . 103 Pa 1
B
de ––– atmosfera.
20
3) Para o ponto C:
pH = ␮1gh1 + ␮2gh2 Um mergulhador usa um tubo longo para respirar abaixo do nível
C
de água, nadando horizontalmente.
pH = 0,80.103.10.0,50 + 1,0.103.10.0,50 (Pa)
C
pH = 9,0. 103 Pa
C
b)
32. (MODELO ENEM) – Uma represa com água, cuja largura é de Considere os seguintes dados:
5,0m, está dividida por uma barreira. 1) 1 atm = 1,0 . 105 Pa
De um dos lados, o nível da água em relação ao fundo é de 4,0m,
kg
e do outro lado, 2,0m. 2) densidade da água: 1,0 . 103 –––
A densidade da água vale 1,0 . 103kg/m3 e a aceleração da m3
gravidade tem intensidade 10m/s2.
3) módulo da aceleração da gravidade: 10m/s2.
A profundidade máxima h, recomendável ao mergulhador, é de:

a) 1,0m b) 50cm c) 40cm
d) 30cm e) 20cm
Resolução
A pressão hidrostática exercida pela coluna de água de altura h
1
deve corresponder a ––– atmosfera. Como a pressão de 1,0 atm
20
equivale à pressão hidrostática de uma coluna de 10m de água,
vem:
1
h = ––– (10m) ⇒ h = 0,50m = 50cm
20
A força resultante que a água exerce sobre a barreira tem
intensidade igual a
Resposta: B
a) 3,0 . 105N b) 1,5 . 105N c) 6,0 . 104N
d) 3,0 . 104N e) 1,5 . 104N
34. (UNESP-MODELO ENEM) – Para que se administre medicamen-
Resolução
to via endovenosa, o frasco deve ser colocado a uma certa altura
A intensidade da força que o líquido exerce sobre cada lado da
acima do ponto de aplicação no paciente. O frasco fica suspenso
barreira é dada por:
em um suporte vertical com pontos de fixação de altura variável e
F = pc.A se conecta ao paciente por um cateter, por onde desce o
medicamento. A pressão na superfície livre é a pressão atmos-
pc é a pressão no centro da área banhada pelo líquido. férica; no ponto de aplicação no paciente, a pressão deve ter um
A é a área banhada pelo líquido. valor maior do que a atmosférica. Considere que dois medica-
Assim: mentos diferentes precisam ser administrados. O frasco do
h1 primeiro foi colocado em uma posição tal que a superfície livre do
F1 = ␮ g ––– . A1 líquido se encontra a uma altura h do ponto de aplicação. Para
2
aplicação do segundo medicamento, de massa específica 1,2 vez
F1 = 1,0 . 103 . 10 . 2,0 . 20(N) ⇒ F1 = 4,0 . 105N maior que a do anterior, a altura de fixação do frasco deve ser
outra. Tomando-se h como referência, para a aplicação do
h2 segundo medicamento, deve-se
F2 = ␮ g ––– . A2 a) diminuir a altura de h/5. b) diminuir a altura de h/6.
2
c) aumentar a altura de h/5. d) aumentar a altura de 2h/5.
F2 = 1,0 . 103 . 10 . 1,0 . 10(N) ⇒ F2 = 1,0 . 105N e) aumentar a altura de h/6.
115
Resolução
p2 = 1,2 ␮1 g h2 + patm
Na extremidade inferior dos tubos (nos cateteres), as pressões

são iguais. Logo:
p2 = p1 ⇒ 1,2 ␮1 gh2 + patm = ␮1 gh + patm
6
Da qual: 1,2 h2 = h ⇒ ––– h2 = h
5
5
h2 = ––– h
6
Assim, para a aplicação do segundo medicamento, deve-se

reduzir a altura em ⌬h, tal que:
5
⌬h = h – ––– h
6
Para o medicamento (1): p1 = ␮1 gh1 + patm h

Da qual: ⌬h = –––
p1 = ␮1 gh + patm 6
Para o medicamento (2): p2 = ␮2 gh2 + patm Resposta: B
35. (UFBA-ADAPTADO) – Uma bomba de sucção usada para fazer a

água de um lago chegar a uma usina de tratamento de água con-
segue elevar água até uma altura máxima H em relação ao nível do
lago, que está submetido a uma pressão de 1,0 atm = 1,0 . 105Pa.
A pressão do vapor-d’água existente na tubulação é de 0,3m H2O
e a densidade da água vale 1,0g/cm3. O valor de H é:
a) 10,0m b) 9,8m c) 9,7m d) 8,7m e) 7,7m
Adote: g = 10,0m/s2
36. (UFPE) – O casco de um submarino suporta uma pressão externa

de até 12,0 atm sem se romper. Se, por acidente, o submarino
afundar no mar, abaixo de qual profundidade, em metros, o casco
romper-se-á?
a) 100 b) 110 c) 120 d) 130 e) 140 Líquido I Líquido II
Dados: (1) 1 atm = 1,0 . 105 Pa a) 2,00 . 105 kg/m3 e 5,00 . 105 kg/m3.
(2) densidade da água: 1,0 . 103kg/m3 b) 1,50 . 102 kg/m3 e 1,00 . 102 kg/m3.
(3) g = 10m/s2 c) 0,50 . 103 kg/m3 e 1,50 . 103 kg/m3.
d) 1,20 . 104 kg/m3 e 0,80 . 104 kg/m3.
37. (UPE) – Os membros da tripulação de um submarino tentam e) 0,70 . 103 kg/m3 e 1,10 . 103 kg/m3.
escapar de um acidente ocorrido a uma profundidade de 100m
abaixo da superfície da água. Considere que a densidade da água 40. (VUNESP-FMTM-MG) – O recipiente
do mar é de 1020kg/m3 e a pressão atmosférica tem valor igual a representado na figura contém dois líquidos
1,0 . 105 Pa. Sabendo-se que, no submarino, existe uma porta de imiscíveis, X e Y. Dos gráficos representa-
saída de emergência com área de 0,5m2, a intensidade da força dos, indique aquele que traduz a variação da
que deve ser aplicada a essa porta para abri-la nessa profundidade pressão hidrostática p, num ponto do
vale, em newtons, interior dos líquidos, em função da distância, h, ao fundo do vaso.
a) 4,5 . 102 b) 6,8 . 103 c) 7.4 . 104
d) 3.8 . 105 e) 5,1 . 105
38. A pressão atmosférica em Santos vale 1,0 . 105Pa e, em São

Paulo, vale 9,2 . 104Pa. Considere a densidade média do ar igual
a 1,0kg/m3 e considere a aceleração da gravidade constante e
com módulo g = 10m/s2.
Com os dados apresentados, a altitude da cidade de São Paulo é
um valor mais próximo de
a) 4,0 . 102m b) 6,0 . 102m c) 8,0 . 102m
d) 9,0 . 102m e) 1,0 . 103m
39. (UNIOESTE) – Em um reservatório fechado se encontram dois

líquidos imiscíveis de densidades constantes. O gráfico da pres-
são hidrostática P em função da profundidade h é representado
na figura a seguir. Assinale a alternativa que fornece a densidade
correta de cada líquido. Adote g = 10,0m/s2.
116
41. (UFMG) – A figura mostra três vasos, V1, V2 e V3, cujas bases têm
a mesma área A.
Os vasos estão cheios de líquidos homogêneos L1, L2 e L3, cujas
densidades são, respectivamente, d1, d2 e d3, até uma mesma
altura H.
Valores medidos
V0 500mᐉ
Sejam F1, F2 e F3 as intensidades das forças que os líquidos
exercem no fundo dos respectivos vasos (região de área A). ⌬V 25mᐉ
Podemos afirmar que
a) F1 = F2 = F3, somente se d1 = d2 = d3. h 50cm
b) F1 = F2 = F3, quaisquer que sejam os líquidos L1, L2 e L3.
c) F1 > F2 > F3, somente se d1 = d2 = d3. Em relação a essa experiência, e considerando-se a Situação III,
d) F1 > F2 > F3, quaisquer que sejam os líquidos L1, L2 e L3. a) determine a razão R = p/patm, entre a pressão final p do ar no
tubo e a pressão atmosférica;
b) escreva a expressão matemática que relaciona, no ponto A, a
42. (VUNESP) – Ao subir do fundo de um lago para a superfície, o patm com a pressão p do ar e a altura h da água dentro do tubo;
volume de uma bolha de gás triplica. Sabe-se, ainda, que a c) estime, utilizando as expressões obtidas nos itens anteriores,
pressão exercida pelo peso de uma coluna de água de 10,0 o valor numérico da pressão atmosférica patm, em N/m2.
metros é igual à pressão atmosférica na região em que o lago se
localiza. NOTE E ADOTE:
a) Qual seria a profundidade desse lago, supondo-se que a Considere a temperatura constante e desconsidere os efeitos
temperatura no fundo fosse igual à temperatura na superfície? da tensão superficial.
b) Qual seria a profundidade desse lago, supondo-se que a Considere g = 10m/s2
temperatura absoluta no fundo fosse 4% menor que a Densidade da água = 1,0 . 103kg/m3
temperatura na superfície?
45. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA-MODELO ENEM) – Um

43. Uma represa retangular com largura L = 30m suporta uma massa desafio prático e muito comum nas residências é a obtenção de
de água com altura H = 20m. uma pressão maior da água nos pontos onde serão instaladas as
torneiras, chuveiros etc. Para aumentar a pressão hidrostática
(quando a água ainda não está saindo da torneira), muitas suges-
tões são dadas. Algumas delas estão listadas a seguir. Examine-as:
I) Substitua a caixa-d’água por uma maior, não importando a
forma ou as dimensões da caixa, desde que possa conter um
volume maior de água que antes. O peso adicional da água
dará uma pressão maior em toda a tubulação hidráulica.
II) Aumente o comprimento da tubulação colocando a caixa-d’á-
gua o mais longe possível da saída de água em que se deseja
aumentar a pressão. Desta maneira os canos reterão uma
maior massa de água e então, ao abrir uma torneira, a sua
energia de movimento fará a pressão aumentar.
III) Pode-se usar até uma caixa-d’água menor, mas erga-a colo-
cando-a o mais alto possível em relação ao ponto em que se
Sendo ␳ = 1,0 . 103kg/m3 a densidade da água e g = 10m/s2 o deseja aumentar a pressão. Desta forma, a pressão hidros-
módulo da aceleração da gravidade, determine tática aumentará.
a) a pressão hidrostática em um ponto da água em função da sua Das sugestões fornecidas, é(são) correta(s):
profundidade h; a) todas elas. b) apenas I, e II c) apenas a III.
b) a pressão hidrostática média que a água exerce na represa; d) apenas II e III. e) apenas a II.
c) a intensidade da força que a água exerce na represa.
46. (UFPA-MODELO ENEM) – No mês de agosto de 2005, a Agência
Estado divulgou, e os jornais reproduziram, as notícias abaixo.
44. (FUVEST) – Para se estimar o valor da pressão atmosférica, patm,
pode ser utilizado um tubo comprido, transparente, fechado em Sexta-feira, 5 de agosto de 2005 – 9h36min
uma extremidade e com um pequeno gargalo na outra. O tubo,
aberto e parcialmente cheio de água, deve ser invertido, segu- Submarino russo fica preso no fundo do mar com 7 tripulantes
rando-se um cartão que feche a abertura do gargalo (Situação I).
Em seguida, deve-se mover lentamente o cartão de forma que a A Rússia pediu ajuda interna-
água possa escoar, sem que entre ar, coletando-se em um cional para tentar resgatar
recipiente a água que sai (Situação II). A água para de escoar um minissubmarino que
quando a pressão no ponto A, na abertura, for igual à pressão ficou preso em redes de pes-
atmosférica externa, devendo-se, então, medir a altura h da água ca no fundo do mar com sete
no tubo (Situação III). Em uma experiência desse tipo, foram tripulantes. O oxigênio deve
obtidos os valores, indicados na tabela, para V0, volume inicial do durar no máximo 48 ho-
ar no tubo, ⌬V, volume da água coletada no recipiente e h, altura ras.Três barcos de guerra do
final da água no tubo. Japão já estão a caminho da
117
Península de Kamchatcka, no extremo leste do país, onde a c) suporta, no instante t = 25min, uma pressão hidrostática de
embarcação está encalhada a 190 metros de profundidade. Dez 1,0atm.
navios russos foram enviados ao local. Os EUA também devem d) atinge a profundidade máxima de 60m.
participar da operação de ajuda. e) não navega na superfície do mar.
O minissubmarino da classe Priz , normalmente usado para
realizar resgates em grandes profundidades, não possui meios de 48. (UEPB-MODELO ENEM) – É do conhecimento dos técnicos de
propulsão próprios e ficou preso no fundo do mar depois de se ter enfermagem que, para o soro penetrar na veia de um paciente, o
enroscado em redes de pesca. nível do soro deve ficar acima do nível da veia (conforme a figura
abaixo), devido à pressão sanguínea sempre superar a pressão
Sexta-feira, 5 de agosto de 2005 –19h27min atmosférica.
Nove navios russos tentam libertar submarino
Moscou – Nove unidades da Frota do Pacífico russo trabalham

contra o tempo para salvar os sete marinheiros que estão dentro
de um minissubmarino militar, imobilizado desde quinta-feira a
190 metros de profundidade em uma baía de Kamchatka. De
acordo com anúncio do comandante-em-chefe da Frota, almirante
Viktor Fyodorov, já se conseguiu prender o submarino com um
cabo, o que ajudará no resgate da tripulação. “A essa hora, os
cabos de reboque estão presos e nossos navios cumprem ao
mesmo tempo a ação de suspender e rebocar o submarino do Considerando-se a aceleração da gravidade com módulo g = 10m/s2, a
fundo do mar”, relatou, em entrevista à TV. densidade do soro igual a 1,0g/cm3, a pressão exercida, exclusiva-
mente, pela coluna do soro na veia do paciente igual a 9,0 . 103 Pa,
Sábado, 6 de agosto de 2005 –21h46min a altura em que se encontra o nível do soro do braço do paciente,
para que o sangue não saia em vez de o soro entrar é de:
Libertado submarino russo preso no fundo do mar a) 0,5m b) 0,6m c) 0,7m d) 0,8m e) 0,9m
Moscou – Um robô britânico teleguiado mergulhou no mar e 49. (UFRN-MODELO ENEM) – No diagnóstico da hipertensão arte-
cortou os cabos que prendiam o minissubmarino russo AS-28 rial, são comumente utilizados esfigmomanômetros aneroides
“Priz” ao fundo do Oceano Pacífico. Pouco depois, os tripulantes para medir a pressão sanguínea. Nas medidas de pressão
do submarino receberam ordem de se preparar para abandonar a realizadas por esses aparelhos, determina-se apenas a pressão
embarcação. manométrica, isto é, apenas o valor que está acima da pressão
O robô Scorpio-45 havia submergido neste domingo de manhã atmosférica (pA). Essas medidas de pressão são efetuadas pela
(hora local) para tentar soltar o minissubmarino, preso no fundo do comparação da pressão do ar contido numa bolsa inflável com as
mar em uma baía de Kamchatka. pressões sanguíneas nos momentos da sístole (contração do
coração) e da diástole (relaxamento do coração). Para assegurar
Com as informações do noticiário, é correto interpretar: uma medida correta da pressão, esses aparelhos devem ser
a) O AS-28 estava enroscado nas redes de pesca, sob pressão regularmente calibrados. Para isso, usa-se um manômetro de
aproximada de 20 atm, antes de ser resgatado. coluna de mercúrio, ligado por uma tubulação flexível ao
b) Os tripulantes quase morreram pelo fato de o oxigênio, dentro esfigmomanômetro, conforme mostrado na figura abaixo.
do AS-28, estar a uma pressão de 19 atm.
c) Enquanto o robô Scorpio-45 submergia sob as águas da baía
de Kamchatka, a pressão sobre ele permanecia constante.
d) A sorte dos tripulantes foi que, durante a submersão do AS-28
em sua missão, antes de este ficar preso nas redes, o aumen-
to da pressão externa sobre a sua estrutura foi compensado
com a diminuição da pressão interna do ar nele contido.
e) Independentemente do tempo de duração do oxigênio, o gran-
de risco de morte dos tripulantes do AS-28 decorria do fato de,
àquela profundidade, sua pressão arterial manter-se em 19atm
durante um tempo muito longo, o que poderia levá-los a um der-
rame cerebral.
47. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA-MODELO ENEM) – Um

submarino navega no mar. O gráfico representa a pressão total que
o submarino suporta, em função do tempo, durante 30 minutos de
navegação. Considera-se a densidade da água salgada pratica- Nessa figura, a diferença entre os níveis de mercúrio (h), nos dois
ramos do manômetro, é 14 cm e os pontos P1 e P2 estão num
mente igual à da água doce (1,0g/cm3).
mesmo nível. Com base nessas informações, é correto afirmar
que, se o esfigmomanômetro estiver calibrado, seu mostrador
indicará uma pressão manométrica de
a) 14 cmHg e a pressão nos pontos P1 e P2 são diferentes.
b) 14 cmHg e a pressão nos pontos P1 e P2 são iguais.
c) 14 cmHg + pA e a pressão nos pontos P1 e P2 são iguais.
d) 14 cmHg + pA e a pressão nos pontos P1 e P2 são diferentes.
e) 28 cmHg e a pressão nos pontos P1 e P2 são iguais.
50. (PUC-SP-MODELO ENEM) – A figura representa um bule trans-

parente de café ao ser tombado para que a bebida seja servida. O
Pode-se afirmar que o submarino bule pode ser considerado como um sistema de vasos
a) atinge a profundidade máxima de 50m. comunicantes em que o bico do recipiente se comunica com o
b) mergulhou no instante t = 10min. corpo principal.
118
A intensidade da força vertical para cima a ser aplicada sobre a

tampa, a partir da qual é possível retirá-la do ralo que ela veda,
quando o tanque está completamente cheio com apenas água, é,
em N,
a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 e) 40
Considere: • módulo da aceleração da gravidade, g = 10 m/s2

• densidade da água = 1,0 . 103 kg/m3
• pressão dentro da tubulação do esgoto igual à
pressão atmosférica local
• área do disco que compõe a tampa = 20 cm2
53. (FGV-SP-MODELO ENEM) – Na Coreia do Sul, a caça submarina

é uma profissão feminina por tradição. As Haenyeos são
A respeito da situação, são feitas as afirmativas: “mulheres-peixe” que ganham dinheiro mergulhando atrás de
I. Ao tombarmos o bule para servir o café, a superfície livre da frutos do mar e crustáceos. O trabalho é realizado com
bebida fica à mesma altura h em relação à linha de referência equipamentos precários, o que não impede a enorme resistência
do sistema, tanto no bico como no corpo principal do bule, dessas senhoras que conseguem submergir por dois minutos e
pois a pressão sobre a superfície livre do café é a mesma em descer até 20 metros abaixo da superfície.
ambos os ramos deste sistema de vasos comunicantes.
(Revista dos Curiosos, 2003)
II. Se o café fosse substituído por óleo, a superfície livre do
líquido não ficaria a uma mesma altura h em relação à linha de Supondo-se que o ar contido nos pulmões de uma dessas mergu-
referência do sistema nos dois ramos do bule (bico e corpo lhadoras não sofresse variação significativa de temperatura e se
principal), pois o óleo é mais denso do que o café. comportasse como um gás ideal, a relação entre o volume do ar
III. Embora a superfície livre do café fique a uma mesma altura h contido nos pulmões, durante um desses mergulhos de 20 m de
nos dois ramos do bule, a pressão é maior na superfície do profundidade, e o volume que esse ar ocuparia no nível do mar, se
líquido contido no bico, pois este é mais estreito que o corpo a estrutura óssea e muscular do tórax não oferecesse resistência,
principal do bule. corresponderia, aproximadamente, a
Dessas afirmativas, está correto apenas o que se lê em
1 1 3 3
a) I e II b) I e III c) I d) II e) III a) –– b) –– c) –– d) 1 e) ––
3 2 5 2
51. (UEPI) – O organismo humano pode ser submetido sem consequên-
cias danosas a uma pressão de no máximo 4,0 . 105 N/m2 e uma Dado: 1) pressão atmosférica na superfície da água: 1,0 . 105 Pa
taxa de variação de pressão de no máximo 1,0 . 104 N/m2 por 2) densidade da água: 1,0 . 103kg/m3
segundo.
3) g = 10m/s2
Nestas condições, qual a máxima velocidade escalar de movi-
mentação na vertical recomendada para um mergulhador?
Dados: pressão atmosférica = 1,0 . 105 N/m2 54. (FUVEST-SP-MODELO ENEM) – Uma equipe tenta resgatar um
densidade da água = 1,0 . 103 kg/m3 barco naufragado que está a 90m de profundidade. O porão do
g = 10 m/s2 barco tem tamanho suficiente para que um balão seja inflado
a) 0,5 m/s b) 1,0 m/s c) 1,5 m/s dentro dele, expulse parte da água e permita que o barco seja
d) 2,0 m/s e) 2,5 m/s içado até uma profundidade de 10m. O balão dispõe de uma
válvula que libera o ar, à medida que o barco sobe, para manter
52. (UFTM-MG-MODELO ENEM) – Todo tanque de lavar roupas seu volume inalterado. No início da operação, a 90m de profun-
possui uma tampa que permite a drenagem da água no momento didade, são injetados 20.000 mols de ar no balão. Ao alcançar a
desejado. Quando o tanque está vazio, a tampa, de peso despre- profundidade de 10m, a porcentagem do ar injetado que ainda
zível, apenas se apoia nas paredes do ralo, sem exercer com- permanece no balão é:
pressões laterais. a) 20% b) 30% c) 50% d) 80% e) 90%
NOTE E ADOTE
Pressão na superfície do mar = 1atm = 1,0 . 105 Pa

Densidade da água do mar = 1,0 . 103kg/m3
g = 10m/s2
A pressão do ar no balão é sempre igual à pressão externa da
água.
Admita que seja constante a temperatura do ar dentro do balão
e que ele se comporte como um gás ideal.
8. Barômetro de Torricelli
Denomina-se barômetro todo aparelho ou dispositivo que se destina a medir a pressão atmosférica.
O barômetro mais simples que existe é o barômetro de cuba ou de Torricelli.
Um tubo de vidro de comprimento da ordem de 1m é totalmente cheio com mercúrio e sua extremidade livre é
tampada com o dedo. Em seguida, o tubo é emborcado em uma cuba contendo mercúrio com a extremidade livre para
baixo e o dedo é retirado.
119
A coluna de mercúrio desce até estabilizar-se em

uma altura H acima da superfície do mercúrio na cuba,
como mostra a figura.
Na região do tubo acima da coluna de mercúrio, exis-
te apenas uma pequena quantidade de vapor de mercúrio
que exerce uma pressão considerada desprezível em
comparação com a pressão da coluna líquida de altura H.
É usual dizer que acima da coluna de mercúrio temos o O manômetro mais simples é o de tubo aberto à
“vácuo torriceliano”. atmosfera, representado na figura. Trata-se de um tubo
Como os pontos A e B pertencem ao mesmo plano recurvado em U contendo um líquido em equi-
horizontal no interior de um líquido homogêneo, em líbrio (em geral, mercúrio), com uma das extremidades
equilíbrio e sob a ação da gravidade, eles suportam a em contato com o local onde se deseja medir a pressão p
mesma pressão e, portanto, a pressão atmosférica (pres- e a outra extremidade aberta e exposta à atmosfera.
são no ponto A) é igual à pressão de uma coluna de mer- Sendo ␮ a densidade do líquido e igualando as
cúrio de altura H (pressão no ponto B). pressões em A e B, vem:
Assim, em Santos (no nível do mar), temos
H = 76cm, o que significa que a pressão atmosférica é de p = patm + ␮gh
76cm de Hg.
Em São Paulo, temos H = 70cm, o que significa que
Se a pressão for medida em "coluna líquida", escre-
a pressão atmosférica é de 70cm de Hg.
vemos apenas:
Se quisermos obter esta pressão em Pascal, fazemos:
patm = ␮M g H H = Hatm + h
patm = 13,6 . 103. 9,8 . 0,70 (Pa)
10. Sistema de
patm = 0,93 . 105 Pa vasos comunicantes
Consideremos um recipiente formado por diversos
ramos que se comunicam entre si. Esse recipiente cons-
titui um sistema de vasos comunicantes.
Se um único líquido, em equilíbrio, estiver contido

no recipiente, então:
a) a superfície livre do líquido, em todos os ramos,

é horizontal e atinge a mesma altura h. Esse fato é
conhecido como “princípio dos vasos comunicantes”;
b) em todos os pontos do líquido que estão à
mesma altura (z), a pressão é a mesma:
p1 = p2 = p3
As propriedades (a) e (b) decorrem imediatamente da

9. Manômetro de tubo aberto Lei de Stevin.
Denomina-se manômetro todo aparelho ou disposi- Considere um sistema de vasos comunicantes con-
tivo para se medir a pressão de um fluido (em geral, um tendo dois líquidos homogêneos, A e B, imiscíveis entre
gás). si.
120
p1 = p2
pO + ␮AghA = pO + ␮BghB
␮AhA = ␮BhB
hA ␮B
–––– = ––––
hB ␮A
Estando o sistema em equilíbrio e sob ação da gravi- As alturas líquidas, medidas a partir da superfície
dade, podemos igualar as pressões nos pontos (1) e (2) que de separação dos líquidos, são inversamente pro-
pertencem ao mesmo líquido A e ao mesmo plano hori- porcionais às respectivas densidades.
zontal.
55. Se, para a determinação da pressão atmosférica normal, se usas- ␮óleo.hóleo = ␮Hg.hHg
se água de densidade absoluta igual a 1,00g/cm3, qual seria a
altura da coluna de água, sabendo-se que, usando mercúrio 0,680.hóleo = 13,6.76,0
(densidade absoluta 13,6g/cm3), a altura é de 76,0cm? hóleo = 1520cm
Admita que a água não produza vapor e que o barômetro de
Torricelli tivesse dimensões que permitissem a realização da Resposta: 15,2m
experiência.
Resolução 57. Repetiu-se a experiência de Torricelli, conforme mostra a figura.
Consideremos o barômetro de Torricelli, representado na figura. As O tubo, antes de ser emborcado na cuba, não estava comple-
pressões nos pontos (1) e (2) são iguais, pois esses pontos estão ao tamente cheio de mercúrio. Considere o tubo cilíndrico e suponha
mesmo nível horizontal e na mesma massa fluida. a não variação de temperatura. Determinar a pressão atmosférica
local, em centímetros de mercúrio.
Então: p1 = p2
Mas p1 é a pressão atmosférica (pO), e p2 é a pressão da coluna Resolução
líquida de altura h (␮gh). Antes de se emborcar o tubo na cuba, o ar em seu interior está à
pressão p1 e ocupa o volume V1, sendo:
Assim: pO = ␮gh
p1 = pat (pressão atmosférica);
Se o líquido for mercúrio: pO = ␮Hg.g.hHg V1 = S. 3,0, em que S é a área da seção transversal do tubo.
Após se emborcar o tubo, o ar vai para a região superior deste.
Se o líquido for água: pO = ␮H O.g.hH
2 2O Nesta situação, chamemos a pressão do ar de p2 e o volume que
Então: ␮H O.g.hH = ␮Hg.g.hHg ele ocupa, de V2.
2 2O
Considerando-se um ponto na superfície livre do mercúrio da cuba
␮H O.hH = ␮Hg.hHg e outro no mesmo nível horizontal, mas no interior do tubo, temos
2 2O
1,00.hH = 13,6.76,0 que as pressões nesses pontos são iguais.
2O
hH 1034cm Então:
2O
Resposta: aproximadamente 10,3 metros. p2 + 70 = pat (em cm Hg) ⇒ p2 = pat – 70
V2 = S. 38
56. Se, na questão anterior, fosse usado um óleo não volátil de den-
sidade absoluta igual a 0,680g/cm3, qual seria a altura da coluna Aplicando a Lei de Boyle-Mariotte à porção de ar, temos:
de óleo?
p1.V1 = p2.V2 ⇒ pat.S.3,0 = (pat – 70).S.38
Resolução
Quando o líquido é o mercúrio: pO = ␮Hg.g.hHg
pat = 76cm Hg
Quando o líquido é o óleo: pO = ␮óleo.g.hóleo
Então: ␮óleo.g.hóleo = ␮Hg.g.hHg Resposta: 76cm Hg
121
58. Sabendo-se que a pressão atmosférica vale 70,0 centímetros de

mercúrio, determinar a pressão do gás contido no reservatório R
da figura abaixo.
Resolução
Resolução Consideremos dois pontos (1) e (2) no nível da superfície de
Consideremos um ponto A na superfície livre do mercúrio em separação dos líquidos, como feito na figura. As pressões nesses
contato com o gás do reservatório R e um ponto B no mesmo pontos são iguais, pois estão no mesmo plano horizontal e ainda
nível do primeiro, mas no mercúrio interno ao tubo vertical. Como podem ser considerados do mesmo líquido (B).
esses dois pontos estão no mesmo nível e na mesma massa
p1 = p2
fluida em equilíbrio, suas pressões são iguais: pA = pB.
pO + ␮AghA = pO + ␮BghB
Mas: pA = pgás e pB = pat + pcoluna h de mercúrio
␮AhA = ␮BhB
Então: pgás = 70,0cm Hg + 40,0cm Hg
2,5.20 = 10hB
pgás = 110cm Hg
hB = 5,0cm
Resposta: 110cm Hg Como h = hA – hB, vem:
59. A figura abaixo representa o tubo de Hare, cuja finalidade é com- h = 20 – 5,0 (cm) ⇒ h = 15cm
parar densidades de líquidos miscíveis. Os líquidos são aspirados
pelo tubo T, que é fechado em seguida. Resposta: 15cm
61. O tubo em U da figura contém dois líquidos homogêneos e

imiscíveis, A e B, de densidades dA e dB, respectivamente. Sen-
do dA > dB, calcule ⌬h em função de hB, na situação de equilíbrio
hidrostático.
Sendo a densidade da água ␮ág igual a 1,0 . 103kg/m3, determinar

a densidade do álcool, ␮ál.
Resolução
Resolução
A pressão do ar e dos vapores que permanece na parte superior
Para o equilíbrio hidrostático:
do aparelho é a mesma sobre as duas colunas líquidas.
dAghA = dBghB
Chamemos essa pressão de p.
Na parte esquerda do sistema, temos: dB
pat = p + ␮ág . g . hág hA = ––– h (1)
dA B
Na parte direita do sistema, temos: Da figura, obtemos:
pat = p + ␮ál . g . hál ⌬h = hB – hA (2)
Então: p + ␮ág . g . hág = p + ␮ál . g . hál Substituindo (1) em (2), vem:
␮ág . hág = ␮ál. hál

dB
⌬h = hB – –––
dA

dB
. hB ⇒ ⌬h = hB 1 – –––
dA

␮ág.hág 1,0 . 103kg/m3 . 27cm
␮ál = –––––––– = –––––––––––––––––––––– = 9,0. 102kg/m3
hál 30cm
dA – dB
Resposta: 9,0 . 102 kg/m3
⌬h = hB ––––––––
dA
Se aumentarmos a quantidade de líquido B (menos denso), au-
60. Determine a diferença de nível h dos líquidos A e B do tubo em
mentarão hB e ⌬h.
U da figura, sendo hA = 20cm. As densidades absolutas de A e B
Se aumentarmos apenas a quantidade de líquido A (mais denso),
valem, respectivamente, 2,5g/cm3 e 10g/cm3.
hB e ⌬h não sofrerão alteração.
122
62. (UNIP-MODELO ENEM) – A experiência com o barômetro de ambiente. Sabe-se que a pressão atmosférica no local da
Torricelli é feita em um local situado a 15km acima da superfície experiência é de 74 cmHg. Os níveis de Hg no tubo em U, em
terrestre e o resultado é apresentado a seguir. equilíbrio, estão assinalados na figura. A pressão do gás é, então,
em cmHg, de
a) 71 b) 151 c) 219 d) 299 e) 329
Pressão atmosférica em diferentes altitudes

h(km) p(mmHg) h (km) p(mmHg)
0 760 5,0 417
0,1 750 6,0 370
0,2 742 7,0 328
0,3 733 8,0 291
0,4 724 9,0 258
Resolução
0,5 716 10 229
1,0 674 15 124
1,5 635 20 68
2,0 598 30 20
3,0 530 40 6
4,0 470 50 1
Qual a pressão do vapor de mercúrio (medida em mmHg), contido
no interior do tubo e acima do líquido?
a) zero b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
Resolução
Para a altitude de 15km, a tabela nos dá uma pressão atmosférica
de 124mmHg.
Esta pressão atmosférica é a soma da pressão hidrostática da co-
luna de mercúrio com a pressão do gás acima do mercúrio:
patm = pH + pV
124mmHg = 120mmHg + pV
De acordo com a Lei de Stevin, a pressão é a mesma em pontos
pV = 4mmHg pertencentes ao mesmo líquido e ao mesmo plano horizontal.
pA = pB
Resposta: C
pgás = patm + pH
63. (VUNESP-FAMECA-MODELO ENEM) – O esquema ilustra um pgás = 74 + 145 (cm Hg)
botijão de gás doméstico, cuja pressão se deseja medir com um
manômetro rudimentar. Tal manômetro consta de um tubo capilar pgás = 219 cm Hg
em forma de U, preenchido com mercúrio. Ambas as
extremidades do tubo são abertas. Uma delas é conectada dire-
Resposta: C
tamente à válvula de saída do gás e a outra fica exposta ao meio
64. No alto de uma montanha, foi feita a experiência de Torricelli e a altura da coluna de mercúrio foi de
36cm.
Assumindo-se para o valor do módulo da aceleração da gravidade local g = 10m/s2 e para a densidade
do mercúrio o valor 14g/cm3:
a) calcule a pressão atmosférica local em unidades do SI;

b) compare a pressão atmosférica local com a pressão atmosférica no nível do mar, considerada
como valendo p0 = 1,0 . 105 Pa.
123
65. (FUND. CARLOS CHAGAS) – A montagem representada na a) Com a experiência sendo realizada no nível do mar (pressão de
figura abaixo pode ser utilizada como um barômetro. 1 atm), qual será a pressão (medida em atm) do gás contido no
recipiente, se a coluna do líquido da direita apresentar um
desnível igual a 380 mm em relação ao nível do líquido contido
no tubo da esquerda?
b) Se o gás está na mesma pressão do item anterior, o que
acontecerá com a coluna de líquido, contido no tubo da direita,
se a experiência for realizada em Quito, capital do Equador,
nos Andes, que fica a 2850 m acima do nível do mar?
O que ocorre com o nível do mercúrio no tubo e com a pressão

atmosférica, quando o barômetro é levado a altitudes cada vez
maiores? Não considere a variação da aceleração da gravidade,
nem da densidade do mercúrio.
Nível de Mercúrio Pressão Atmosférica
a) sobe aumenta
b) abaixa aumenta
c) abaixa diminui 68. (FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS-SP) – Liga-se a um botijão de

gás um manômetro de mercúrio, conforme indica a figura abaixo.
d) permanece constante permanece constante
Devido à pressão do gás, observa-se um desnível de 10cm na
e) sobe diminui coluna de mercúrio. Se a pressão atmosférica do ambiente é de
70cm Hg, qual a pressão do gás no interior do botijão?
66. (UFRJ) – Em 1648, para alegria dos habitantes de Ruão, na Fran-

ça, Pascal realizou em público várias experiências espetaculares,
com o intuito de investigar a pressão atmosférica. No decorrer
das experiências, verificou-se que a mesma pressão atmosférica
que equilibra uma coluna de água de 10m de altura é capaz de
equilibrar uma coluna de vinho de 15m de altura.
69. (CESGRANRIO-SP) – Um recipiente contém um gás ideal na

temperatura de 27°C e sob pressão de 1,0atm. A pressão desse
gás é transmitida a um tubo em U, contendo mercúrio, conforme
indica a figura abaixo. Inicialmente, os níveis A e A’ do mercúrio
são iguais nos dois ramos do tubo.
a) Calcule a razão ␮A/␮V entre as densidades da água (␮A) e do

vinho (␮V) usados nas experiências.
b) Se o vinho tivesse sido fornecido por um comerciante deso-
nesto, que lhe acrescentara água, o resultado seria uma colu-
na de vinho misturado maior, igual ou menor do que 15m?
Justifique a resposta.
67. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA) – O manômetro é um

equipamento que nos auxilia a medir a pressão de um gás. A
seguir, temos o desenho de um manômetro de tubo aberto, que
utiliza o princípio dos vasos comunicantes para realizar esta me-
dição.
Quando a pressão do gás contido no recipiente é igual à pressão
externa, as superfícies líquidas se acham em um mesmo nível Aquecendo-se o gás no recipiente, observa-se que os níveis do
horizontal. Aumentando-se a pressão em um dos tubos, a coluna mercúrio passam para B e B’. Considere que o volume de gás que
de líquido contido no outro tubo tem a sua altura elevada. Con- entra no tubo é insignificante diante do volume do recipiente, e
siderando-se que, no nível do mar, o manômetro está calibrado de que 1atm corresponde a 76cm de mercúrio. Então, a temperatura,
forma que para uma variação de 1 atm na pressão do gás o em °C, à qual o gás foi aquecido, é de:
desnível entre as colunas de líquido varia de 760 mm, responda: a) 77 b) 120 c) 147 d) 227 e) 420
124
70. (UNESP) – Uma pessoa, com o objetivo de medir a pressão inter- 73. (AFA) – A figura mostra como três líquidos imiscíveis, de densi-
na de um botijão de gás contendo butano, conecta à válvula do dades diferentes, se dispõem em um tubo em U, em equilíbrio
botijão um manômetro em forma de U, contendo mercúrio. Ao hidrostático.
abrir o registro R, a pressão do gás provoca um desnível de
mercúrio no tubo, como ilustrado na figura.
Sendo dadas as densidades do líquido 1 igual a 0,5g/cm3 e a do

líquido 3 igual a 2,5g/cm3, a densidade do líquido 2, em g/cm3,
será igual a:
Considere a pressão atmosférica dada por 1,0 . 105 Pa, o desnível a) 5,0 b) 6,5 c) 7,0 d) 8,0
h = 104cm e a secção do tubo 2,0cm2. Adotando-se a massa
específica do mercúrio igual a 13,6 g/cm3 e g = 10 m/s2, calcule 74. (UNIFESP) – A figura representa um tubo em U contendo um
a) a pressão do gás, em pascal. líquido L e fechado em uma das extremidades, onde está
b) a intensidade da força que o gás aplica na superfície do confinado um gás G; A e B são dois pontos no mesmo nível.
mercúrio em A.
(Advertência: este experimento é perigoso. Não tente realizá-lo.)
71. (UNESP) – O tubo aberto em forma de U da figura contém dois

líquidos imiscíveis, A e B, em equilíbrio. As alturas das colunas de
A e B, medidas em relação à linha de separação dos dois líquidos,
valem 50 cm e 80 cm, respectivamente.
Sendo p0 a pressão atmosférica local, pG a pressão do gás

confinado, pA e pB as pressões totais nos pontos A e B (pressão
devida à coluna líquida somada à pressão que atua na sua
superfície), pode-se afirmar que:
a) p0 = pG = pA = pB b) p0 > pG e pA = pB
c) p0 < pG e pA = pB d) p0 > pG > pA > pB
e) p0 < pG < pA < pB
75. Considere um tubo em U, fixo no solo terrestre, com os dois

a) Sabendo-se que a massa específica de A é 2,0 . 103 kg/m3, ramos verticais contendo três líquidos homogêneos, imiscíveis,
determine a massa específica do líquido B. em equilíbrio hidrostático na situação esquematizada na figura.
b) Considerando-se g = 10 m/s2 e a pressão atmosférica igual a
1,0 . 105 N/m2, determine a pressão no interior do tubo na
altura da linha de separação dos dois líquidos.
72. (UNIFESP) – Um líquido A, de massa específica ␳A, é colocado

em um tubo curvo aberto, no qual já existe um líquido B, de
massa específica ␳B. Os líquidos não se misturam e, quando em
equilíbrio, B preenche uma parte de altura h do tubo. Neste caso,
o desnível entre as superfícies dos líquidos, que se encontram à
pressão atmosférica, é de 0,25 h. A figura ilustra a situação
descrita.
Os líquidos têm densidades dA, dB e dC, tais que:

dB + dC
a) dA = dB + dC b) dA = –––––––
2
dB + 2dC 2dB + dC
c) dA = –––––––– d) dA = –––––––
3 3
Considerando-se que as interações entre os líquidos e o tubo dB + 2dC

sejam desprezíveis, pode-se afirmar que a razão ␳B /␳A é e) dA = ––––––––
a) 0,75 b) 0,80 c) 1,0 d) 1,3 e) 1,5 4
125
76. Considere os seguintes dados: a) Determine o valor da densidade ␳II do líquido II.
(1) pressão atmosférica local: p0 = 1,0.105N/m2 b) Faça um gráfico quantitativo da pressão p nos líquidos, em
função da posição ao longo do tubo, utilizando os eixos
(2) densidade do óleo: 8,0 .102kg/m3
desenhados. Considere zero (0) o ponto médio da base do
(3) densidade da água: 1,0 .103kg/m3 tubo, positivos os números à direita do zero e negativos, à
(4) g = 10m/s2 esquerda.
78. (UEPB-MODELO ENEM) – A atmosfera terrestre é composta por

vários gases, formando uma imensa camada de ar que é atraída
pela força de gravidade da Terra e, portanto, têm peso. Se não o
tivesse, ela escaparia da Terra, dispersando-se pelo espaço.
Devido ao seu peso, a atmosfera exerce uma pressão, chamada
pressão atmosférica, sobre todos os objetos nela imersos. Foi o
físico italiano Evangelista Torricelli (1608-1647) quem realizou uma
experiência para determinar a pressão atmosférica no nível do
mar. Ele usou um tubo, de aproximadamente 1,0 m de
comprimento, cheio de mercúrio (Hg) e com a extremidade
tampada. Depois, colocou o tubo, em pé e com a boca tampada
para baixo, dentro de um recipiente que também continha
No esquema da figura, a pressão do gás no interior do balão, em mercúrio. Torricelli observou que, após destampar o tubo, o nível
N/m2, vale: do mercúrio desceu e estabilizou-se na posição correspondente a
a) 1,0 . 105 b) 1,3 . 105 c) 1,4 . 105 76 cm, restando o vácuo na parte vazia do tubo.
d) 1,7 . 105 e) 7,0 . 105
77. (FUVEST) – Um tubo em forma de U, graduado em centímetros, de

pequeno diâmetro, secção constante, aberto nas extremidades,
contém dois líquidos I e II, incompressíveis, em equilíbrio, e que não
se misturam. A densidade do líquido I é ␳I = 1,8 . 103kg/m3 e as
alturas hI = 20cm e hII = 60cm, dos respectivos líquidos, estão
representadas na figura. A pressão atmosférica local vale
p0 = 1,0 . 105 Pa. Os líquidos estão separados por um pequeno êm-
bolo que pode deslizar livremente sem atrito.
Com base nessas informações, é correto afirmar que, se a

experiência de Torricelli for realizada
a) no Monte Everest, a altura da coluna de mercúrio será maior
que no nível do mar.
b) no nível do mar, porém com água, cuja densidade é cerca de
1
–––– da densidade do mercúrio, a altura da coluna de água
13,6
será aproximadamente igual a 10,3 m.
c) no nível do mar, porém com água, que apresenta densidade
muito inferior à do mercúrio, a altura da coluna de água seria
imperceptível.
d) no nível do mar, com um líquido mais denso que o mercúrio, o
tubo de vidro deveria ter maior comprimento.
e) com Barômetros de Torricelli, estes permitem determinar, pela
medida da altitude de um lugar, a pressão atmosférica.
79. (FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS-MODELO ENEM) – Para medir

pequenos valores de altitudes, pode-se utilizar um barômetro
fazendo a seguinte correspondência: para cada 100m de altitude
acima do nível do mar, 1,0 cm de mercúrio a menos na leitura do
barômetro. Suponha um barômetro no qual se substitua o
1
mercúrio por outro líquido com ––– da densidade do mercúrio,
4
e que se leve esse barômetro a uma cidade a 900m acima do
nível do mar. Nessas condições, a leitura desse barômetro seria,
em metros desse outro líquido, igual a
a) 3,04 b) 2,94 c) 2,68 d) 2,28 e) 2,04
Dado: pressão atmosférica no nível do mar = 76,0cm Hg
126
80. (CEFET-MODELO ENEM) – No século XVII, os físicos Torricelli e

Pascal fizeram importantes descobertas usando tubos contendo
mercúrio líquido. Nessas experiências, enchia-se de mercúrio um
longo tubo de vidro (digamos que com um metro de comprimen-
to) hermeticamente fechado em uma extremidade e invertia-se
esse tubo em uma bacia também cheia de mercúrio. O mercúrio
do tubo esvaziava-se parcialmente na bacia, deixando, entretanto,
subsistir no tubo uma coluna de mercúrio com uma certa altura H.
Suponha que esta experiência seja realizada nas cidades de São
Paulo (SP), Santos (ST), Campos do Jordão (CJ) e La Paz (LP), esta
última localizada na Bolívia. O que se pode dizer das alturas HSP,
HST, HCJ e HLP de mercúrio que restarão nos tubos em cada caso,
respectivamente?
a) HSP < HST < HCJ < HLP b) HSP > HST > HCJ > HLP
c) HST < HSP < HCJ < HLP d) HST > HSP > HCJ > HLP
e) HLP < HST < HSP < HCJ Considere que o fole está pressionado em uma posição fixa e o
líquido está estacionado no interior do tubo vertical próximo à
saída. Pode-se dizer que, nessas condições, as pressões nos
81. (UFSCAR-SP-MODELO ENEM) – Na garrafa térmica represen-
pontos 1, 2, 3 e 4 relacionam-se por
tada pela figura, uma pequena sanfona de borracha (fole), ao ser
pressionada suavemente, empurra o ar contido em seu interior, a) p1 = p2 > p3 > p4 b) p1 = p4 > p2 = p3
sem impedimentos, para dentro do bulbo de vidro, onde um tubo c) p1 = p2 = p3 > p4 d) p1 > p2 > p3 > p4
vertical ligando o fundo do recipiente à base da tampa permite a e) p1 > p4 > p3 > p2
retirada do líquido contido na garrafa.
11. Lei de Pascal (1663) 12. Prensa hidráulica

Considere um líquido homogêneo, em equilíbrio e
sob a ação da gravidade.
A prensa hidráulica é uma máquina simples, fun-
damentada na Lei de Pascal e capaz de multiplicar forças.
De acordo com a Lei de Stevin, temos:

p B – pA = ␮ g h
Os vasos comunicantes da figura contêm um líquido
pB = pA + ␮ g h homogêneo e estão vedados por dois êmbolos móveis
sem atrito e com áreas SA (êmbolo menor) e SB (êmbolo
Sendo o líquido incompressível (volume constante), maior).
sua densidade ␮ permanece constante e, portanto, a Uma força de intensidade FA é aplicada no êmbolo
parcela ␮ g h também. A, o que permite transmitir ao êmbolo B uma força de
Isto significa que, se acontecer uma variação de intensidade FB.
pressão no ponto A, a mesma variação de pressão
ocorrerá em B: De acordo com a Lei de Pascal:
⌬pB = ⌬pA, pois ␮ g h é constante ⌬pB = ⌬pA
Este fato traduz a Lei de Pascal: FB FA FB SB

–––– = –––– ⇒ –––– = –––– (I)
Os líquidos transmitem integralmente as varia- SB SA FA SA
ções de pressão que recebem.
Isto significa que qualquer variação de pressão,
provocada em qualquer ponto de um líquido em equi- Em uma prensa hidráulica, as forças têm intensida-
líbrio, é transmitida integralmente para todos os demais des diretamente proporcionais às áreas dos respectivos
pontos da massa líquida. êmbolos.
127
compressível (volume constante), o volume líquido que

desce em A é igual ao volume líquido que sobe em B:
O número pelo qual a força é multiplicada é chama-
do de vantagem mecânica (Vm). ⌬VA = ⌬VB
S A . d A = S B . dB
FB SB
Vm = –––– = ––––
FA SA SB dA
–––– = –––– (II)
SA dB
Se os êmbolos têm forma cilíndrica, suas áreas são
dadas por: Comparando (I) e (II), vem:
SA = πRA2 e SB = πRB2 , em que RA e RB são os raios
dos êmbolos: FB dA
–––– = ––––
FA dB

SB RB 2
Vm = –––– = –––– Assim: FBdB = FAdA
SA RA
A relação anterior traduz a conservação de trabalho
nas máquinas simples:
Em uma prensa hidráulica, o trabalho da força
Sendo dA o deslocamento do êmbolo A e dB o deslo- aplicada ao êmbolo menor é igual ao trabalho da
camento do êmbolo B e lembrando que o líquido é in- força transmitida ao êmbolo maior.
82. No esquema, os pesos dos êmbolos, os atritos, a compressibili- F1

F1 F2 2,0 . 104N
dade do líquido são desprezados. Então: –––– = –––– ⇒ –––––––––2
= –––––––––––
S1 S2 1,0 . 10 2,0 . 104
As áreas dos êmbolos, S1 e S2, valem, respectivamente, 1,0.102cm2
e 2,0 .104cm2. A massa mF do furgão a ser elevado vale 2,0t e a
aceleração da gravidade g = 10m/s2. F1 = 1,0 . 102N
b) Chamando de d1 e d2 os módulos dos deslocamentos dos

êmbolos de áreas S1 e S2, respectivamente, temos:
→
trabalho realizado pela força F1: F1 . d1
→
trabalho realizado pela força F2: F2 . d2
Logo:
F1 . d1 = F2 . d2 ⇒ 1,0 . 102 . d1 = 2,0 . 104 . 1,0
d1 = 2,0 . 102m
a) Determinar o módulo da força F1, sabendo-se que o furgão
sobe em movimento retilíneo e uniforme de velocidade muito
baixa . É evidente que não se consegue esse deslocamento de uma
b) Determinar o deslocamento do êmbolo de área S1, para que o só vez, mas sim em vários golpes sucessivos.
furgão suba 1,0 metro.
Resolução Respostas: a) F1 = 1,0 . 102N
→ b) d1 = 2,0 . 102m
a) Precisamos obter sob o êmbolo de área S2 uma força F2
vertical de baixo para cima, de módulo igual ao do peso do
83. Uma seringa de diâmetro interno D igual a 1,0cm é usada com
furgão.
uma agulha de diâmetro interno d igual a 1,0mm. Aplicando-se
Então: PF = mF . g ⇒ PF = 2,0 . 103kg . 10m/s2 → →
uma força F, de 0,50N, qual a intensidade da força F’ que o líqui-
→
PF = 2,0 . 104N do aplicará no braço do paciente como consequência de F ?
Como se trata de uma situação de equilíbrio:
F2 = PF = 2,0 . 104N
→
A força F1 provoca, no ramo esquerdo do sistema, um acrés- Resolução
cimo de pressão igual a F1/S1, que, pelo Princípio de Pascal, Chamemos de S a área da secção transversal da seringa, e de s
se transmite para os pontos que estão sob o êmbolo de área a da agulha. A força F distribui-se na superfície de área S, pro-
→
S2, fazendo surgir aí a força F2. vocando um acréscimo de pressão ⌬p = F/S, que, pelo Princípio
128
de Pascal, será transmitido ao braço do paciente, fazendo surgir Resolução

uma força F’, distribuída em s, de tal maneira que ⌬p = F’/s. 1) O elevador hidráulico (prensa hidráulica) é uma máquina
simples que multiplica forças. A vantagem mecânica é dada
F F’ s πd2/4 por:
Então: ––– = ––– ⇒ F’ = F . ––– = F . –––––––
S s S πD2/4 F A
Vm = ––– = ––– = 100
2
f a
d
F’ = F . –––
D F
Portanto: f = –––
2
100
–––––––––––
–3
1,0. 10 m
F’ = 0,50N . ⇒ F’ = 5,0 . 10–3 N
–2
1,0. 10 m 2) Considerando-se que o carro é levantado com velocidade
constante, temos:
Resposta: F’ = 5,0 . 10–3N F = Mg = 800 . 10 (N) = 8,0 . 103N
F 8,0 . 103 N
84. (UNIUBE-MG-MODELO ENEM) – Um elevador de automóveis f = ––– = –––––––––– ⇒ F = 80N
será instalado em um posto de gasolina para atender carros com, 100 100
no máximo, duas toneladas de massa. O sistema é composto por
dois pistões, um de maior diâmetro que o outro, e cheios de óleo. 3) Na prensa hidráulica, há conservação de trabalho:
São conhecidos: o diâmetro do pistão menor (0,10m) e a intensi-
dade máxima da força que pode ser exercida nesse pistão, que é ␶f = ␶F = F . d
de 200N. Desprezando-se os pesos dos pistões e adotando-se
g = 10m/s2, o diâmetro do pistão maior deve ser de: ␶f = 8,0 . 103 . 0,50 (J)
a) 0,25m b) 0,50m c) 1,0m
d) 1,2m e) 1,5m ␶f = 4,0 . 103 J
Resolução
De acordo com a Lei de Pascal, vem: Resposta: C
⌬pA = ⌬pB
86. (MODELO ENEM) – Um esquema simplificado de uma prensa
hidráulica está mostrado na figura abaixo. Pode-se fazer uso de
FA FB uma alavanca para transmitir uma força aplicada à sua
––––– = –––––
SA SB extremidade, amplificando seu efeito várias vezes.
2 2
π RB2
FB SB
––––– = ––––– = –––––
FA SA π RA2
RB
= –––––
RA
= –––––
D
D
B
2,0 . 103 . 10 2
––––––––––––– =
200
–––––
DB
0,10

DB
––––– = 10 ⇒ DB = 1,0m
0,10
Resposta: C
85. (MODELO ENEM) – A figura abaixo mostra um elevador hidráu-

lico erguendo, por 0,50m, um carro de 800kg de massa. A área do Supondo-se que se aplique uma força de intensidade igual a 10N
tubo de óleo que sustenta o carro é 100 vezes maior do que a área à extremidade A da alavanca e sabendo-se que a razão entre a
do tubo ligado ao compressor. Considere a aceleração local da área do êmbolo
→
maior e a área do êmbolo menor é 5, o módulo
gravidade com módulo g = 10m/s2. A intensidade da força da força F transmitida ao êmbolo maior será de:
exercida pelo compressor sobre o óleo e o trabalho realizado por a) 4N b) 20N c) 50N d) 100N e) 200N
essa força, desprezando-se as perdas, valem, respectivamente Resolução
(1) A força transmitida ao êmbolo menor da prensa hidráulica tem
intensidade f1 calculada pela condição de equilíbrio da ala-
vanca:
⌺ momentos em relação ao ponto fixo = 0
10 . 20 = f1 . 10 ⇒ f1 = 20N
(2) A vantagem mecânica da prensa hidráulica é dada pela razão

entre as áreas dos êmbolos:
F a2 F
a) 8,0 . 103N e 4,0 . 103J b) 80N e 40J ––– = –––– ⇒ ––– = 5 ⇒ F = 100N
f1 a1 20
c) 80N e 4,0 . 103J d) 4,0 . 103N e 8,0 . 103J
Resposta: D
e) 4,0 . 102N e 8,0 . 103J
129
87. Uma prensa hidráulica ideal tem vantagem mecânica igual a 16. O
êmbolo menor é cilíndrico, tem diâmetro d e recebe uma força
normal de intensidade f, que provoca uma variação de pressão p
e realiza um trabalho ␶.
(1) ,
O êmbolo maior, que também é cilíndrico, tem diâmetro ...........
(2)
recebe do líquido uma força de intensidade ..........., que ocasiona
(3) , e realiza um trabalho ...........
uma variação de pressão ........... (4) .
Responda como deve ser preenchida cada lacuna.
lacuna 1 lacuna 2 lacuna 3 lacuna 4
a 4d 16f 4p ␶
b 2d 4f p ␶
c 2d 8f 4p 4␶ A razão entre o raio do cilindro A e o raio do cilindro B é dada por

a)
2 b) 2 c) 2 d) 4 e) 8
d 4d 16f p ␶
e 8d 8f 6p 2␶ 91. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA) – Sabe-se que a intensi-

dade da força vertical máxima que uma pessoa pode aplicar à
88. (UFPE) – Uma estudante de massa de 50kg elevou, com seu extremidade do cabo do macaco hidráulico, ilustrado na figura
peso, um caminhão de 3500kg usando um elevador hidráulico. A abaixo, é de 300N.
figura mostra o elevador, que é constituído de dois cilindros Adote g = 10m/s2.
verticais conectados pela base. O cilindro A tem um pistão de
área SA e o cilindro B, um pistão de área SB. O espaço entre os
pistões foi preenchido com óleo mineral. Calcule a razão SA/SB
para que a estudante tenha obtido sucesso. Despreze os pesos
dos pistões.
L1 A1
Sabendo-se que –––– = 8 e que –––– = 3, a maior massa M
L0 A0
89. (UNESP) – Utilizando-se a balança hidráulica da figura, composta que essa pessoa consegue equilibrar com este macaco hidráulico
por um tubo preenchido por um fluido e lacrado por dois êmbolos é de
de áreas diferentes, pode-se determinar a massa de um homem a) 90 kg b) 240 kg c) 720 kg
de 70 kg, ao colocá-lo sobre a plataforma S2 de 1,0m2 e d) 810 kg e) 240 kg
colocando-se um pequeno objeto sobre a plataforma S1 de
10cm2. 92. (UFRRJ-MODELO ENEM) – Observe a figura abaixo, que mostra
um sistema hidráulico de freio de alguns carros.
Determine o valor da massa do objeto colocado em S1, a fim de

manter o sistema em equilíbrio estático.
90. (VUNESP) – Para uma feira de ciências, um estudante montou

um sistema em que os três corpos, de mesma massa, permane- Em condições adequadas, quando um motorista pisa no freio, o
cem em equilíbrio. Dois sobre os pistões cilíndricos A e B, com o carro para após alguns segundos. A justificativa para o carro ter
tubo de comunicação preenchido com um líquido incompressível, parado deve-se
e um terceiro está suspenso por um sistema de roldanas, de a) ao Princípio de Arquimedes. b) à força de empuxo.
massas desprezíveis e com cordas inextensíveis e de massas c) à Lei de Stokes. d) ao Princípio de Pascal.
desprezíveis, conforme mostra a figura. e) à 3.a Lei de Newton.
130
93. (UFCG-PB-MODELO ENEM) – As figuras a seguir mostram duas 95. (USJ-MG-MODELO ENEM) – Na figura abaixo, está represen-
partes de um sistema de freio hidráulico. tado um corte esquemático de um elevador hidráulico, muito
usado em postos de gasolina e oficinas mecânicas para lavagem
e manutenção de veículos. Basicamente, constitui-se de dois
cilindros, com áreas transversais de valores diferentes, vedados
por pistões móveis, cujos cilindros são conectados por uma
tubulação e todo o sistema é preenchido por um fluido. O pistão
da direita sustenta uma plataforma de suspensão dos veículos,
cuja massa, juntamente com a do veículo, é M. Sabe-se ainda que
o pistão da esquerda tem área a, o da direita tem área A e o
módulo da aceleração local da gravidade é g.
Adaptado de www.oficinaecia.com.br
Ao pisar no pedal, o motorista ou a motorista exerce uma força

sobre o fluido no cilindro a ele ligado, pondo o sistema em
funcionamento. Sobre o funcionamento do sistema, é correto afir-
mar que
a) o módulo da força exercida sobre o pistão ligado ao pedal é
igual ao módulo da força exercida por qualquer um dos pistões
à direita.
b) para uma força exercida sobre o pistão ligado ao pedal, entre
as forças exercidas pelos pistões da direita, a de maior módulo
será exercida pelo de menor área.
c) para uma força exercida sobre o pistão ligado ao pedal, entre
as forças exercidas pelos pistões da direita, a de maior módulo Despreze os pesos dos pistões.
será exercida pelo de maior área. Com base nas informações acima, é correto afirmar que o módulo
→
d) a pressão exercida sobre o pistão pelo pedal é menor do que da força f que deve ser aplicada no pistão da esquerda para man-
a pressão exercida sobre qualquer um dos pistões da direita. ter a plataforma na posição indicada é igual a
e) o trabalho realizado sobre o pistão ligado ao pedal é muito a) Mg/aA b) MgA/a c) Mga/A d) Ma/Ag e) Mg
maior que a soma dos trabalhos realizados sobre os pistões da
direita.
96. (UDESC-MODELO ENEM) – A pressão é uma grandeza física que
pode ser utilizada para movimentar líquidos, ou seja, para trans-
94. (FGV-SP-MODELO ENEM) – O macaco hidráulico consta de dois portar alimentos de um lugar para outro por meio de tubulações.
êmbolos: um estreito, que comprime o óleo, e outro largo, que Um exemplo é a pasteurização, na qual o líquido (leite, suco de
suspende a carga. Um sistema de válvulas permite que uma nova laranja, e/ou outros) passa por tubos que se encontram na
quantidade de óleo entre no mecanismo sem que haja retorno do temperatura de pasteurização. Para percorrer o caminho dentro
óleo já comprimido. Para multiplicar a força empregada, uma do tubo, é preciso uma diferença de pressão no interior da
alavanca é conectada ao corpo do macaco. tubulação e, com isso, o líquido pode escoar livremente dentro do
tubo. Em uma aproximação, pode-se comparar esse tipo de
movimento com aquele gerado por um pistão de uma área maior
e uma área menor.
Tendo perdido a alavanca do macaco, um caminhoneiro de massa

80 kg, usando seu peso para pressionar o êmbolo pequeno com
o pé, considerando-se que o sistema de válvulas não interfira
significativamente sobre a pressurização do óleo, poderá suspen-
der uma carga máxima, em kg, de
a) 2 880 b) 2 960 c) 2 990 Se o pistão maior de uma prensa hidráulica tem raio de 20,0cm,
d) 3 320 e) 3 510 qual deve ser a intensidade da força aplicada ao pistão menor de
2,0cm de raio, para que o maior possa sustentar um corpo de
Dados: diâmetro do êmbolo menor = 1,0cm massa 1,5 . 103kg? Adote g = 10m/s2.
diâmetro do êmbolo maior = 6,0cm a) 1,5 . 104N b) 1,5 . 103N c) 1,5 . 102N
módulo da aceleração da gravidade = 10m/s2 d) 15N e) 1,5N
131
13. Lei de Arquimedes (séc. III a.C.) Lei de Arquimedes:

Quando um sólido é mergulhado total ou parcial-
Para demonstrar a Lei de Arquimedes, consideremos
mente em um fluido homogêneo, em equilíbrio e sob
um corpo sólido, com formato cilíndrico, imerso em um
ação da gravidade, ele fica sujeito a uma força,
líquido homogêneo, em equilíbrio, sob a ação da gra-
aplicada pelo fluido, denominada empuxo e com as
vidade e com densidade ␮L. seguintes características:
I) Intensidade: igual ao peso do ﬂuido deslocado
pela presença do sólido.
II) Direção: vertical.
III) Sentido: de baixo para cima.
E = Pfluido = ␮fluidoVimerso g
deslocado
Notas
Nota 1: o ponto de aplicação do empuxo é o centro
da gravidade da porção de fluido que foi deslocada pela
O líquido atua sobre todas as faces do cilindro com presença do sólido.
forças de compressão e normais às regiões de contato Nota 2: a Lei de Arquimedes pode ser aplicada mes-
entre o líquido e o cilindro. mo no caso em que o sólido esteja mergulhado simulta-
As forças horizontais F3 e F4, nas faces laterais, têm neamente em dois fluidos, como na figura:
a mesma intensidade, pois estão aplicadas em pontos de E = EA + EB = ␮AVAg + ␮BVBg
mesma profundidade, ou seja, de mesma pressão. Por-
tanto, as forças horizontais se equilibram e a resultante
das forças horizontais é nula.
Na direção vertical, não há equilíbrio entre as forças
F1 e F2, pois a força F2, na face inferior, é mais intensa
que a força F1, na face superior, já que a pressão é maior
nos pontos de maior profundidade.
Chamando de A a área da secção transversal do cilin-
dro, temos:
F2 – F1 = (p2 – p1) A
Usando a Lei de Stevin:

␮A = densidade do fluido A
p2 – p1 = ␮L g h
␮B = densidade do fluido B
F2 – F1 = ␮L g h A VA = volume do sólido imerso em A
VB = volume do sólido imerso em B
O produto A.h representa o volume do corpo que es-
tá imerso (no caso, é o volume total). Nota 3: a Lei de Arquimedes não pode ser aplicada
F2 – F1 = ␮L g Vi quando o fluido não banhar a face inferior do sólido,
como na figura:
O produto ␮LVi representa a massa de líquido que
ocuparia o volume Vi.
F2 – F1 = mLg
O produto mLg representa o peso do líquido que

ocuparia o volume Vi.
F2 – F1 representa a intensidade da força resultante
que o líquido exerce sobre o corpo e que é denominada
empuxo (E).
132
Neste caso, a força resultante aplicada pelo fluido é

a força F indicada, calculada como se segue: Para o equilíbrio do
F = p . A = (pO + ␮gh)A sólido, temos:
A = área da face superior do sólido E=P
Nota 4: a Lei de Arquimedes é válida quer o sólido ␮LVig = ␮SVg
esteja totalmente imerso quer esteja flutuando na super-
fície do líquido. ␮S Vi
–––– = ––––
␮L V
14. Densidade de um sólido
em relação a um líquido
Considere um sólido (S) flutuando na superfície de
um líquido (L) homogêneo, em equilíbrio e sob ação da A densidade do sólido em relação ao líquido é
gravidade. igual à fração do sólido que fica imersa no líquido.
97. (UNIP) – Um recipiente dotado de um “ladrão” (saída lateral) Resolução

contém água até o nível do ladrão. Em ambos os casos, a condição de equilíbrio impõe que o em-
Uma esfera é colocada dentro do recipiente e vai para o fundo puxo total que o líquido exerce na esfera ou em suas partes tenha
provocando a saída, pelo ladrão, de uma massa de 1,0kg de água. a mesma intensidade do peso total da esfera. Como o peso da
esfera é igual ao peso total de suas duas partes, o empuxo total
será o mesmo:
E = Ptotal = ␮L Vi g
Isto significa que, em ambos os casos, o volume imerso é o
mesmo.
Por outro lado, sendo A a área da base do recipiente, vem:
A . h = Vlíquido + Vimerso
Como o volume líquido e o volume imerso não se alteraram,
resulta
h’ = h
Sabe-se que a esfera tem peso de 12,0N e que, no local, a acele-
ração da gravidade tem módulo igual a 10,0m/s2.
Estando a esfera em repouso, em contato com o fundo do 99. (FGV-SP-MODELO ENEM) – A fim de se manter o reservatório das
recipiente, a força que o recipiente aplica sobre a esfera tem caixas-d’água sempre com volume máximo, um mecanismo
intensidade igual a: hidráulico conhecido como boia emprega o Princípio de Arqui-
a) 14,0N b) 12,0N c) 10,0N d) 2,0N e) zero medes. Uma boia pode ser resumida nas seguintes partes:
Resolução flutuador (A), alavanca em “L” (barra torcida no formato da letra L e
1) De acordo com a Lei de Arquimedes, vem: que liga os pontos A, B e C), articulação (B) e válvula (C). Seu
E = Págua deslocada = m g = 10,0N funcionamento conta com o empuxo a que o flutuador fica sub-
metido conforme o nível de água sobe. Se o volume de água está
2) Para o equilíbrio da esfera, vem: baixo, o braço BC da alavanca deixa de ficar vertical, não exercendo
E+F=P força sobre a válvula C, permitindo que a água jorre do cano (D). A
10,0 + F = 12,0 válvula C somente permanecerá fechada se, devido à força de
empuxo sobre o flutuador, o braço BC assumir a posição vertical.
F = 2,0N
Resposta: D
98. (UFRJ) – Uma esfera maciça flutua na água contida em um

recipiente. Nesse caso, a superfície livre da água encontra-se a
Considere que, em condições normais de funcionamento, uma
uma altura h do fundo do recipiente, como mostra a figura 1.
boia mantenha a entrada de água fechada ao ter metade de seu
volume submerso na água do reservatório. Uma vez que os
braços AB e BC da alavanca em “L” guardam entre si a proporção
de 5:1, a intensidade da força com que a alavanca empurra a
válvula contra o cano, em N, é
a) 50 b) 100 c) 150 d) 200 e) 250
Dados: Volume submerso da boia = 1,0 .10–3 m3;
Corta-se a esfera em dois pedaços que, quando postos de volta Densidade da água = 1,0 . 103 kg/m3;
na água, também flutuam, como mostra a figura 2. Nesse caso, a Módulo da aceleração da gravidade = 10 m/s2;
superfície livre da água encontra-se a uma altura h’ do fundo do Massa do conjunto boia e flutuador desprezível.
recipiente. Desconsiderar a influência da pressão atmosférica sobre a
Verifique se h’ > h, h’ = h ou h’ < h. Justifique. válvula.
133
Resolução 1
→
A igualdade dos módulos dos momentos da força de empuxo (E ) e da O volume emerso é ––– do volume da baleia e, portanto, o volu-
→ 5
força de reação da válvula sobre a alavanca ( F ), em relação ao polo B,
pode ser expressa por: 4
me imerso é ––– do volume da baleia.
MF = ME 5
␮B 4
F . dBC = E . dAB ––––– = –––
1,00 5
dAB
F . –––– = ␮água . Vi . g . dAB ␮B = 0,80g/cm3
5
Resposta: D
F
––– = 1,0 . 103 . 1,0 . 10–3 . 10 (N) ⇒ F = 50N
5
101. (UFMG) – Uma caixa cúbica de isopor, cuja massa é de 10 g,
Resposta: A flutua dentro de um reservatório de óleo. Essa caixa está presa ao
fundo do reservatório por um fio, como mostrado na figura I.
Considere que a massa do fio é desprezível e que, inicialmente, a
100. (UFABC-MODELO ENEM)
altura da parte submersa da caixa é muito pequena. Adote
g = 10m/s2.
Aberta a temporada para avistar
Em um certo instante, uma torneira que abastece o reservatório é
baleias na Praia do Forte, no litoral da Bahia
aberta.
Na figura II, está representado o gráfico do módulo da força de
Balança horrores. Há momentos em que a gente pensa ter sido
tração T no fio em função da altura h do nível de óleo.
enganado: ‘Será que o antienjoo era placebo?’ Olha-se para lá,
olha-se para cá. De repente, uma fumacinha de água no meio da
imensidão é a salvação da lavoura. Todos correm para aquela
direção. Dá uma sensação de que o barco vai virar. Que nada.
Quando menos se espera, elas aparecem. Enormes, geralmente
em dupla ou acompanhadas de um filhote. Sair para um ‘whale-
watching’ – em bom “baianês”, baleiada – é uma baita aventura.
Não pense que a massa – elas chegam a atingir 40 toneladas,
distribuídas em até 16 metros – seja um empecilho para essas
danadas se exibirem.
(Revista da Folha, Ed. n.o 828, de 03.08.2008. Adaptado)
Considere que uma baleia, durante sua “exibição”, permaneça
em repouso por alguns segundos, com 1/5 do volume de seu
corpo fora da água.
1) Com base nessas informações, explique por que a intensida-

de da força de tração no fio
a) é nula para o nível de óleo abaixo de 20cm.
b) aumenta linearmente para o nível de óleo entre 20cm e
40cm.
c) é constante para o nível de óleo acima de 40cm.
Admitindo-se que a densidade da água do mar seja 1,00g/cm3, a
2) Determine o comprimento aproximado da aresta do cubo.
densidade da baleia, nessa situação, vale, em g/cm3,
Justifique sua resposta.
a) 0,10 b) 0,20 c) 0,50 d) 0,80 e) 1,20
3) Determine a densidade do óleo utilizado.
Resolução
Resolução
Na situação de repouso, a força resultante na baleia é nula e o
1) a) O comprimento 20cm é o comprimento natural do fio e
empuxo aplicado pela água vai equilibrar o seu peso.
para h ⭐ 20cm o fio está frouxo (não esticado) e por isso a
força de tração é nula.
E=P
b) Para o equilíbrio do cubo, temos:
␮a Vi g = ␮B VB g E=P+T
␮o Vi g = P + T
␮B Vi ␮o a2 (h – L) g = P + T
––– = ––– T = ␮o a2 h g – ␮o a2 L g – P
␮a VB
T = (␮o a2 g) h – (␮o a2 L g + P)
T = K1 h – K2
T aumenta com h segundo uma função do 1.o grau.
134
c) Para h > 40cm, o empuxo passa a ser constante, pois o 3) Com o cubo totalmente imerso, temos:
cubo fica totalmente imerso e, portanto, a força que
E=T+P
traciona o fio também fica constante:
T = E – P = ␮o a3 g – P ␮o a3 g = Tf + mg
2) A aresta do cubo é dada pela diferença entre a altura h quando ␮o (2,0 . 10–1)3 . 10 = 64 + 1,0 . 10–2 . 10
o cubo fica totalmente imerso e o comprimento do fio: ␮o . 8,0 . 10–3 . 10 = 64,1
a = h – L = 40cm – 20cm ⇒ a = 20cm ␮o 8,0 . 102 kg/m3 = 0,80g/cm3
102. (UFMG) – A figura I mostra uma vasilha, cheia de água até a 104. (OLIMPÍADA BRASILEIRA DE FÍSICA) – Um estudante realizou a
borda, sobre uma balança. seguinte experiência: colocou no prato de uma balança de ponteiro
Nessa situação, a balança registra um peso P1. uma vasilha contendo água e verificou que a balança marcou 1,5kg;
Um objeto de peso P2 é colocado nessa vasilha e flutua, ficando em seguida, mergulhou sua mão, de volume igual a 500cm3, na
parcialmente submerso, como mostra a figura II. Um volume de água contida na vasilha (figura a seguir).
água igual ao volume da parte submersa do objeto cai para fora da
vasilha.
Desta experiência, o estudante verificou que

a) a balança continuou marcando 1,5kg, pois ele não toca com a
mão o fundo da vasilha.
b) a balança passou a marcar 1,0kg por causa do empuxo
provocado pelo deslocamento de água produzido pela mão.
c) a balança passou a marcar 2,0kg por causa do empuxo
Com base nessas informações, é correto afirmar que, na figura II, provocado pelo deslocamento de água produzido pela mão.
a leitura da balança é d) a balança continuou marcando 1,5kg, pois o deslocamento da
a) menor que P1. b) igual a P1. água é compensado pela mão que passa a ocupar seu lugar.
c) igual a P1 + P2. d) maior que P1 e menor que P1 + P2. e) a balança passou a marcar 2,0kg porque, sendo a massa igual
ao produto densidade x volume, a água aumentou sua massa
103. (UFRJ) – A figura 1 mostra uma alavanca interfixa em equilíbrio ao ter seu volume aumentado.
na horizontal. À esquerda do ponto de apoio, há um recipiente
contendo água. Observe que o recipiente possui uma canaleta, o 105. (FUVEST-SP) – Um recipiente, contendo determinado volume de
que faz a superfície livre da água ficar, no máximo, a uma altura h um líquido, é pesado em uma balança (situação 1). Para testes de
do fundo. À direita, há um bloco de massa M, suspenso a uma qualidade, duas esferas de mesmo diâmetro e densidades
distância d do ponto de apoio. diferentes, sustentadas por fios, são sucessivamente colocadas
no líquido da situação 1. Uma delas é mais densa que o líquido
(situação 2) e a outra, menos densa que o líquido (situação 3).
Introduz-se muito lentamente na água uma esfera de cortiça que,

finalmente, flutua. Para que a alavanca permaneça em equilíbrio Os valores indicados pela balança, nessas três pesagens, são tais
na horizontal, o bloco de massa M deve ser suspenso a uma que
distância d’ do ponto de apoio, como ilustra a fig. 2. a) P1 = P2 = P3 b) P2 > P3 > P1 c) P2 = P3 > P1
d) P3 > P2 > P1 e) P3 > P2 = P1
106. O barquinho representado está em uma comporta que indica o

nível-d’água. Se a esfera maciça que está no interior do barquinho
for lançada na água, o nível passará a ser H’.
Verifique se d’ > d, d’ = d ou d’ < d. Justifique sua resposta.
135
Considere as afirmativas: Quando o recipiente começa a ser preenchido, lentamente, com

I. H’ > H se a esfera for de aço; água, a altura máxima que a água pode atingir em seu interior,
II. H’ > H se a esfera for de isopor; sem que ele afunde totalmente, é mais bem representada por
III. H’ = H se a esfera for de isopor;
IV. H’ < H se a esfera for de isopor;
V. H’ < H se a esfera for de aço.
Responda mediante o código.
a) Apenas I e II estão corretas.
b) Apenas I e IV estão corretas.
c) Apenas III e V estão corretas.
d) Apenas I e III estão corretas. O recipiente possui marcas graduadas igualmente espaçadas,
e) Apenas III está correta. paredes laterais de volume desprezível e um fundo grosso e
pesado com volume correspondendo a uma graduação da
escala.
107. (VUNESP) – Um bloco de madeira, de massa 0,63kg, é abandonado
cuidadosamente sobre um líquido desconhecido, que se encontra
em repouso, dentro de um recipiente. Verifica-se que o bloco 111. (FUVEST-SP) – Considere dois ob-
desloca 500cm3 do líquido, até que passa a flutuar em repouso. jetos cilíndricos maciços, A e B, de
a) Considerando-se g = 10,0m/s2, determine a intensidade (mó- mesma altura e mesma massa e com
dulo) do empuxo exercido pelo líquido no bloco. seções transversais de áreas, respec-
b) Qual é o líquido que se encontra no recipiente? Para res- tivamente, SA e SB = 2 SA. Os blocos,
ponder, consulte a tabela seguinte, após efetuar seus cálculos. suspensos verticalmente por fios que
passam por uma polia sem atrito,
massa específica (g/cm3) à
líquido estão em equilíbrio acima do nível da
temperatura ambiente
água de uma piscina, conforme mos-
tra a figura ao lado. A seguir, o nível
álcool etílico 0,79
da água da piscina sobe até que os
benzeno 0,88 cilindros, cujas densidades têm valor
superior à da água, fiquem em nova
óleo mineral 0,92 posição de equilíbrio, parcialmente
imersos.
água 1,00
leite 1,03 A figura que melhor representa esta

nova posição de equilíbrio é
glicerina 1,26
108. (PUCC-SP) – Um pote de plástico fechado, cujo volume é

1,0 . 103 cm3, flutua na água com 60% do seu volume imerso.
Adotando-se a densidade da água igual a 1,0g/cm3 e a aceleração
da gravidade com módulo igual a 10,0m/s2, pode-se determinar o
peso e a densidade desse pote. O peso do pote, em newtons, e
a sua densidade, em g/cm3, são, respectivamente,
a) 4,0 e 0,40 b) 4,0 e 0,60 c) 5,0 e 0,50
d) 6,0 e 1,0 e) 6,0 e 0,60
109. (ITA) – Um pedaço de gelo flutua em equilíbrio térmico com uma

certa quantidade de água depositada em um balde. À medida que
o gelo derrete, podemos afirmar que
a) o nível da água no balde aumenta, pois haverá uma queda de
temperatura da água.
b) o nível da água no balde diminui, pois haverá uma queda de
temperatura da água.
c) o nível da água no balde aumenta, pois a densidade da água é
maior que a densidade do gelo.
d) o nível da água no balde diminui, pois a densidade da água é
maior que a densidade do gelo.
e) o nível da água no balde não se altera.
110. (FUVEST) – Um recipiente cilíndrico vazio flutua em um tanque

de água com parte de seu volume submerso, como na figura.
112. (UFTM) – Abandonado à deriva nas águas tranquilas de um lago,

um tonel de 50 litros flutua em posição vertical, mantendo 3/5 de
seu volume fora da água, como mostra o desenho.
136
a Nova Iorque, transportando, aproximadamente, 2.223 pessoas a

bordo, entre passageiros e tripulação. Às 23h40 do dia 14, colidiu
com um iceberg e afundou-se duas horas e meia depois. Foi e ainda
é o acidente marítimo mais famoso do século XX. Somente no final
da década de 1970 e início de 1980, um empresário norte-ame-
ricano patrocinou diversas expedições para tentar localizar o navio.
Nenhuma delas teve êxito. Em 1985, numa expedição oceano-
gráfica franco-americana, o Dr. Robert Ballard descobriu os destro-
ços do Titanic, submersos a 3800 metros de profundidade, a 153km
ao sul dos Grandes Bancos de Newfoundland. A notícia correu o
mundo. Ele passou a ser conhecido como “O Descobridor do
Titanic”. Retornou ao local em 1986, com uma equipe de filmagem
da "National Geographic Society", para fazer as primeiras filmagens
Para esse tonel, admitindo-se que a densidade da água do lago do transatlântico, após 73 anos. Nas figuras a seguir, temos uma
tem valor 1,0 . 103kg/m3 e que a aceleração da gravidade tem ilustração comparativa do tamanho do iceberg e do navio e uma
módulo g = 10 m/s2, determine foto da proa do navio naufragado.
a) sua massa, em kg;
b) a intensidade da menor força que se deve aplicar verticalmen-
te e para baixo, sobre o centro do tonel, de modo a torná-lo
completamente submerso.
113. (UNESP) – Um bloco de madeira de volume V = 60 cm3, total-

mente submerso, está atado ao fundo de um recipiente cheio de
água por meio de um fio de massa desprezível. O fio é cortado e
o bloco emerge na superfície com 1/4 de seu volume fora da
água. Sendo g = 10m/s2 o módulo da aceleração da gravidade e
␮L = 1,0g/cm3 a massa específica da água, calcule
a) a massa específica do bloco;
b) a intensidade da tração no fio, antes de ser cortado.
114. (UERJ) – Uma balsa, cuja forma é um paralelepípedo retângulo,

flutua em um lago de água doce. A base de seu casco, cujas
dimensões são iguais a 20,0 m de comprimento e 5,0 m de Segundo especialistas, se o iceberg tivesse sido avistado 30 se-
largura, está paralela à superfície livre da água e submersa a uma gundos antes, o naufrágio do Titanic teria sido evitado. Apesar de
distância d0 dessa superfície. muito grandes, os icebergs deixam apenas uma porção de seu
Admita que a balsa é carregada com 10 automóveis, cada um com volume fora da água. Sabendo-se que a densidade do gelo é
massa de 1,2 , 103 kg, de modo que a base do casco permaneça 0,9 g/cm3 e a da água é 1,0 g/cm3, a fração do volume do iceberg
paralela à superfície livre da água, mas submersa a uma distância que fica exposta (acima do nível da água) é
d dessa superfície. a) 1/10 b) 2/10 c) 3/10 d) 4/10 e) 5/10
Se a densidade da água é 1,0 . 103 kg/m3, a variação (d – d0), em
centímetros, é de: 118. (UFPA-MODELO ENEM) – Nos últimos anos, com o desmata-
a) 2,0 b) 6,0 c) 12,0 d) 24,0 mento exagerado no estado do Pará, algumas madeireiras,
usando balsas, optam por buscar madeira no Amapá. Ao realizar
115. (UEPA) – Um ribeirinho pretende atravessar o rio e, para isso, esse trajeto, uma balsa, em forma de prisma retangular, navega
constrói uma jangada com toras de madeira. Cada tora tem em dois tipos de água: água doce, nos rios da região, e, ultrapas-
volume igual a 0,08m3 e massa de 40kg. Se o ribeirinho tem sando a foz do Rio Amazonas, água salgada, na travessia de uma
massa de 70kg, qual a quantidade mínima de toras que ele deve pequena parte do Oceano Atlântico.
usar para que a jangada não afunde? Considere a densidade da
água igual a 1,0 . 103kg/m3.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
116. (UFABC-MODELO ENEM)
Prefeituras permitem fácil acesso a piscinas públicas Considerando-se que as densidades das águas doce e salgada se-
jam, respectivamente, 1000 kg/m3 e 1025 kg/m3 e admitindo-se
Num belo dia de sol, três irmãos, André, Bernardo e Caetano, que a altura da linha da água (H), distância entre o fundo da balsa
estão brincando na piscina de um clube. Cada um tem uma bola: e o nível da água (figura acima), seja, respectivamente, HD para a
André tem uma de plástico oca, Bernardo, uma de borracha água doce e HS para a água salgada, podemos afirmar que a
maciça e Caetano tem uma de isopor maciça. relação HD /HS , na viagem de volta da balsa, será
Num dado momento, os três afundam completamente suas bolas a) 0,975 b) 1,000 c) 1,025 d) 9,75 e) 10,00
na água. A bola de André recebe, então, um empuxo de intensi-
dade EA, a de Bernardo, um empuxo de intensidade EB e a de 119. (UFCG-MODELO ENEM) – Em A origem das Espécies, Charles
Caetano, um empuxo de intensidade EC. Considerando-se que Darwin discutiu o que ele denominou de meios acidentais de
todas as bolas têm exatamente o mesmo diâmetro, é correto dispersão de sementes. No texto a seguir, Darwin relata alguns
afirmar que de seus resultados:
a) EA < EB < EC b) EC < EA < EB c) EA = EB = EC “A diferença entre a flutuação da madeira verde e da madeira se-
d) EA < EC < EB e) EB < EC < EA ca é muito conhecida, sendo assim, ocorreu-me que as enchen-
tes poderiam arrastar plantas inteiras ou ramos vegetais, e que
117. (UNIMONTES-MG-MODELO ENEM) – O RMS Titanic, da British esses poderiam secar nos bancos litorâneos onde ficassem enca-
White Star Line, foi um dos maiores navios transatlânticos já cons- lhados. Por ocasião de uma nova subida das águas, poderiam ser
truídos pelo homem até então. Tinha um comprimento de cerca de lançadas no mar. Isso me fez secar as hastes e ramos de 94
269 metros por 28 metros de largura e uma altura de 54 metros, plantas com frutos maduros, atirando-os depois no mar. A maioria
aproximada a um prédio de 18 andares. Saiu do Porto de afundou de maneira rápida, mas alguns flutuaram. Alguns, quando
Southampton, na Inglaterra, no dia 10 de abril de 1912, com destino verdes, flutuavam pouco tempo, e quando secos, flutuavam
137
muito mais. As avelãs maduras, por exemplo, afundavam muito a) a densidade média do barco diminuiu, tornando inevitável seu
rapidamente; quando secas, no entanto, flutuavam por cerca de naufrágio.
90 dias, após os quais germinavam, caso fossem plantadas. “[...] b) a força de empuxo sobre o barco não variou com a entrada de
DARWIN, Charles. A origem das espécies.
água.
São Paulo: Martin Claret, 2004, p. 455.
c) o navio afundaria em qualquer situação de navegação, visto ser
As alternativas seguintes referem-se aos resultados apresentados feito de ferro, que é mais denso do que a água.
por Darwin. Ignorando-se os fenômenos de superfície, assinale a d) antes da entrada de água pelo casco, o barco flutuava porque
alternativa correta. seu peso era menor do que a força de empuxo exercido sobre
a) A diferença na flutuação da madeira verde e da madeira seca ele pela água do rio.
é bastante conhecida na vida cotidiana e deve-se à diferença e) o navio, antes do naufrágio, tinha sua densidade média menor
de peso entre elas. do que a da água do rio.
b) As avelãs secas flutuaram porque sua densidade média é
maior que a densidade da água onde foram lançadas.
c) As hastes e galhos de plantas com frutos maduros que 121. (UFF-RJ-MODELO ENEM) – Em janeiro de 2000, cerca de
afundaram deslocaram uma quantidade de água cujo peso era 1,2 . 106 litros de óleo foram derramados, acidentalmente, na Baía
inferior ao deles. de Guanabara, formando imensas manchas flutuantes na super-
d) As avelãs maduras afundaram porque sua densidade média é fície da água.
menor que a densidade da água onde foram lançadas.
e) A diferença entre as quantidades de água contidas nas avelãs,
maduras e secas, não tem nenhuma importância no fenômeno
de flutuação que Darwin observou.
120. (PUC-SP-MODELO ENEM) – Em 1883, um vapor inglês de nome

Tramandataí naufragou no Rio Tietê encontrando-se, hoje, a 22
metros de profundidade em relação à superfície. O vapor gerado
pela queima de lenha na caldeira fazia girar pesadas rodas laterais,
feitas de ferro, que, ao empurrarem a água do rio, movimentavam
o barco.
Um mergulhão coberto de óleo agoniza após o vazamento na Baía

de Guanabara.
O Globo, 03/10/03 (adaptado).
A densidade do óleo que foi derramado e da água do mar são,

respectivamente, ␮o = 0,85 . 103 kg/m3 e ␮a = 1,0 . 103 kg/m3.
Ao chocar-se com uma pedra, uma grande quantidade de água
O volume que ficou submerso, em litros, dessas manchas de óleo
entrou no barco pelo buraco feito no casco, tornando o seu peso
é, aproximadamente, igual a:
muito grande.
a) 0 b) 6,0 . 105 c) 8,0 . 105
A partir do descrito, podemos afirmar que d) 1,0 . 106 e) 1,2 . 106
15. Peso aparente de um ␮L

sólido imerso em um líquido E = ––––
␮S
.P
Considere um sólido S totalmente imerso em um lí- Substituindo na expressão do peso aparente, vem:
quido homogêneo e em equilíbrio.
Seja P o peso do sólido e E a intensidade do empuxo
1 – –––
␮
␮L ␮L
que o líquido exerce sobre o sólido. Pap = P – ––– P ⇒ Pap = P
Define-se peso aparente (Pap) do sólido S, imerso no ␮S S
líquido, pela relação:
––––––––
Pap = P – E ␮S – ␮L
Pap = P
␮ S
Analisando a expressão anterior, concluímos:

Sendo ␮S a densidade do sólido e ␮L a densidade do
líquido, temos: (I) Quando ␮S > ␮L ⇔ Pap > 0 e o sólido afunda.
P = ␮SVg ␮L (II) Quando ␮S < ␮L ⇔ Pap < 0 e o sólido aflora.
{ E = ␮LVg } E
⇒ ––
P
= ––––
␮S (III) Quando ␮S = ␮L ⇔ Pap = 0.
138
Neste último caso, o sólido fica em equilíbrio total- P–E=ma

mente imerso, em qualquer posição no interior do líqui- ␮SVg – ␮LVg = ␮SV a
do.
g (␮S – ␮L) = ␮Sa
16. Aceleração no ␮S – ␮L
interior de um líquido
a = ––––––––
␮S
g
Considere um sólido S movendo-se no interior de um
líquido de modo a não perturbar muito a condição de (I) Quando ␮S = ␮L ⇔ a = 0 (MRU)
equilíbrio do líquido (para continuar valendo a Lei de →
Arquimedes). (II) Quando ␮S > ␮L ⇔ ↓ a
→
Aplicando-se a 2.a Lei de Newton: (III) Quando ␮S < ␮L ⇔ ↑ a
122. (UFLA-MG-MODELO ENEM) – Para identificar combustíveis Nessas condições, pode-se afirmar que a densidade do corpo vale
adulterados de uma forma simples e eficiente, os postos de a) 1,0 kg/m3 b) 2,5 . 103 kg/m3 c) 5,0 . 103 kg/m3
gasolina costumam usar uns tipos de densímetros que são d) 7,5 . 103 kg/m3 e) 1,0 . 104 kg/m3
constituídos, por exemplo, por duas esferas: uma vermelha, de Resolução
densidade ␳V, e outra azul, de densidade ␳A. Quando a esfera azul 1) Pap = P – E ⇒ 2,6 . 10–1 = 3,0 . 10–1 – E
está na parte superior do densímetro e a esfera vermelha na parte
inferior, pode-se assegurar que o combustível possui densidade E = 0,4 . 10–1N
␳C aceitável. Caso as esferas se localizem na parte superior, o
combustível apresenta-se adulterado. Com base nessa expli-
cação, pode-se afirmar que, no caso do combustível aceitável, 2) P = ␮C V g
a) ␳A > ␳C > ␳V b) ␳A = ␳C = ␳V c) ␳A < ␳C < ␳V
E = ␮L V g
1
d) ␳A = –– (␳C + ␳V) e) ␳C = 2(␳A + ␳V)
2 3,0 . 10–1 ␮C
P ␮C
Resolução –– = ––– ⇒ ––––––––– = ––––––––
E ␮L 0,4 . 10–1 1,0 . 103
Se uma esfera afunda em um líquido, é porque sua densidade é
maior que a do líquido. Se a esfera aflorar à superfície, é porque
sua densidade é menor que a do líquido. kg
Se a esfera ficar em equilíbrio e totalmente imersa, é porque sua ␮C = 7,5 . 103 ––––
densidade é igual à do líquido. m3
Esfera azul aflorou: ␳A < ␳C
Esfera vermelha afundou: ␳V > ␳C Resposta: D
␳V > ␳C > ␳A ␳A < ␳C < ␳V

124. (EXAME NACIONAL DE PORTUGAL) – Um cubo maciço de
Resposta: C aresta 4,0cm é feito de um material de densidade 8,5g/cm3 e está
suspenso de um dinamômetro, tendo metade de seu volume
123. (UFCG-PB) – Um procedimento para se determinar a densidade de imerso em um líquido A e outra metade em um líquido B.
um corpo consiste na medição do seu peso real e do seu peso Os líquidos A e B são imiscíveis e têm densidades respectiva-
aparente, obtido ao mergulhá-lo completamente em água. Feito o mente iguais a ␮A = 1,2g . cm–3 e ␮B = 0,8g . cm–3.
experimento para um corpo de material desconhecido, obtiveram-se Adote g = 10m/s2
os dados mostrados a seguir:
Peso real do corpo 3,0 . 10–1N
Peso aparente do corpo 2,6 . 10–1N
Densidade da água 1,0 . 103 kg/m3
a) Represente todas as forças que atuam no cubo e calcule suas

intensidades.
b) Determine a indicação do dinamômetro.
139
Resolução 2. Pap = P – E
→
a) P: peso do cubo aplicado pela Terra. 22,5 = 24,0 – E ⇒ E = 1,5N
→ 3. E = ␮a (Vo + Vp)g
T: força aplicada pelo fio
1,5 = 1,0 . 103 (Vo + Vp) . 10
→
EA: empuxo exercido pelo líquido A. Vo + Vp = 1,5 . 10–4 = 15 . 10–5 (II)
I – II: Vo = 9,0 . 10–5m3
→
EB: empuxo exercido pelo líquido B. Vp = 6,0 . 10–5m3
P = ␮C V g Vo 9,0 . 10–5
4. x = ––––––––– = –––––––––––––
P = 8,5 . 103 . (4,0)3 . 10–6 . 10(N) ⇒ P = 5,44N Vo + Vp 15 . 10–5
EA = ␮A V g
x = 0,60 (60%)
EA = 1,2 . 103 . 32,0 . 10–6 . 10 (N) ⇒ EA = 0,384N
EB = ␮B V g Resposta: C
EB = 0,8 . 103 . 32,0 . 10–6 . 10 (N) ⇒ EB = 0,256N 127. (FUVEST-SP) – Uma bolinha de isopor é mantida submersa, em
um tanque, por um fio preso ao fundo. O tanque contém um
EA + EB + T = P líquido de densidade ␳ igual à da água. A bolinha, de volume
V = 200cm3 e massa m = 40g, tem seu centro mantido a uma
0,384 + 0,256 + T = 5,44
distância H0 = 50cm da superfície (figura 1). Cortando-se o fio,
0,64 + T = 5,44 ⇒ T = 4,8N observa-se que a bolinha sobe, salta fora do líquido, e que seu
centro atinge uma altura h = 30cm acima da superfície (figura 2).
b) O dinamômetro indica a força que traciona o fio: 4,8N Desprezando-se os efeitos do ar e adotando-se g = 10m/s2,
determine
125. (UNESP) – Uma partícula, de volume V e de massa m, está em a) a altura h’, acima da superfície, que o centro da bolinha atin-
queda em um meio líquido. Considerando-se desprezíveis os giria, se não houvesse perda de energia mecânica (devida, por
efeitos de viscosidade do líquido no movimento da partícula, exemplo, à produção de calor, ao movimento da água etc.);
a) represente o diagrama de forças que atuam sobre a partícula b) a energia mecânica E (em joules) dissipada entre a situação
nessa situação; inicial e a final.
b) determine o módulo da aceleração da partícula em função da
densidade da partícula, ␳P, da densidade do líquido, ␳L, e do
módulo da aceleração gravitacional, g.
Resolução
a)
→
P = peso da partícula
→
E: empuxo que o líquido exerce na partícula
Resolução
a) Aplicando-se o teorema da energia cinética entre as posições
b) 2.a Lei de Newton: inicial (V0 = 0) e final (Vf = 0), temos:
␶E + ␶P = ⌬Ecin
P – E = ma
E H0 – P (H0 + h’) = 0
␳ V g – ␳ Vg = ␳ V a
P L P E H0 – P H0 – P h’ = 0
g (␳P – ␳L) H0 (E – P) = P h’
a = –––––––––– H0 (E – P)
␳P h’ = ––––––––––
P
Respostas: a) ver esquema
E = ␳V g = 1,0 . 103 . 200 . 10– 6 . 10(N) = 2,0N
g (␳P – ␳L)
b) a = –––––––––– P = mg = 40 . 10 – 3 . 10(N) = 0,4N
␳P
H0 = 0,50m
1,6
126. (MODELO ENEM) – Arquimedes recebeu a seguinte incumbên- h’ = 0,50 . ––––– (m) ⇒ h’ = 2,0m
0,4
cia do rei de Siracusa: descobrir os teores percentuais de ouro e
de prata existentes em uma coroa, sem contudo danificá-la. b) Tomando-se a superfície livre do líquido como plano de
Arquimedes verificou que a coroa pesava 24,0N no ar e 22,5N referência, temos:
quando totalmente imersa em água. Dados:
– Densidade da água = 1,0 . 103kg/m3. E0 = (E – P) H0
– Densidade do ouro = 2,0 . 104kg/m3. Ef = P h
– Densidade da prata = 1,0 . 104kg/m3. Ed = E0 – Ef
– Módulo da aceleração da gravidade = 10m/s2
O teor volumétrico percentual de ouro existente na coroa é: Ed = (E – P) H0 – Ph
a) 10% b) 20% c) 60% d) 80% e) 100% Ed = 1,6 . 0,50 – 0,4 . 0,30(J) ⇒ Ed = 0,80 – 0,12 (J)
Resolução
1. P = mg = (␮oVo + ␮pVp)g Ed = 0,68J
24,0 = (2,0 . 104Vo + 1,0 . 104Vp) . 10 Respostas:a) 2,0m
2,0Vo + Vp = 24,0 . 10–5 (I) b) 0,68J
140
128. (VUNESP-MODELO ENEM) – Torben Grael, velejador brasileiro a) m (g + a) (1 – ␳ /d ) b) m (g – a) (1 – ␳ /d )

de renome internacional, campeão olímpico, entre várias conquis- c) m (g + a) (1 + ␳ /d ) d) m (g – a) (1 + d /␳ )
tas, foi o capitão do barco Brasil 1, na regata “Volta ao mundo”.
e) m (g + a) (1 – d / ␳ )
Sua tripulação era composta de 16 pessoas. Observou-se que ao
embarcar, esta tripulação provocava um deslocamento para baixo,
na linha-d’água, da embarcação. Esse deslocamento
a) não altera o empuxo sobre ela, havendo apenas um aumento
no volume de água deslocada, diretamente proporcional ao
aumento do peso.
b) não altera o empuxo sobre ela, havendo apenas um aumento
no volume de água deslocada, proporcional ao quadrado do
aumento do peso.
c) altera o empuxo sobre ela, diminuindo seu valor, já que esse é
inversamente proporcional ao volume de água deslocada.
d) altera o empuxo sobre ela, aumentando seu valor na mesma
medida do aumento de peso, uma vez que o empuxo é
diretamente proporcional ao volume de água deslocada.
e) altera o empuxo sobre ela, aumentando seu valor na mesma
medida do aumento de peso, uma vez que o empuxo é
132. (UNIFESP) – Uma pessoa com massa de 80 kg, suspensa por um
proporcional ao quadrado do volume de água deslocada.
cabo de massa e volume desprezíveis, atado a um dinamômetro, é
colocada em um tanque com água de tal forma que fique ereta, na
129. (UEL-MODELO ENEM) – Uma pequena esfera, a exemplo das
posição vertical e completamente imersa. Considerando-se que a
utilizadas em postos de gasolina para monitoramento da
massa específica da água é de 1,0 . 103 kg/m3, que a pressão
densidade dos combustíveis, afunda quando colocada na gasolina
atmosférica local é de 1,0 . 105 N/m2 e a aceleração da gravidade
e flutua, parcialmente submersa, quando colocada em uma
tem módulo g = 10 m/s2 e que a água e a pessoa estão em repouso
mistura álcool + água + NaCl. Quando colocada em uma proveta
em relação ao tanque, calcule
contendo gasolina + álcool + água + NaCl, em que apenas a
a) a pressão externa nos pés dessa pessoa, que se encontram
gasolina fique separada da mistura, é correto afirmar que a esfera
2,0 m abaixo do nível da água;
se posicionará
b) o volume da pessoa, se o peso aparente registrado pelo dina-
a) na interface gasolina/ álcool + água + NaCl, em equilíbrio ins-
mômetro é de 40 N.
tável.
b) na interface gasolina/ álcool + água + NaCl, em equilíbrio es-
133. (MEC) – Uma esfera de alumínio de 100cm3 e densidade 2,7g/cm3
tável.
está pendurada num dinamômetro calibrado em newtons. Logo
c) com a superfície superior imediatamente abaixo da interface
abaixo, um recipiente contendo água está equilibrado numa
de separação.
balança por uma certa quantidade de massas-padrão. Baixa-se o
d) com a superfície inferior imediatamente acima da interface de
dinamômetro até que a esfera fique totalmente imersa na água.
separação.
Dados: g = 10m/s2; ␳água = 1,0g/cm3
e) no fundo da proveta.
130. (UEM-PR-MODELO ENEM) – Uma cooperativa de reciclagem de

lixo separou um grande lote de garrafas plásticas que foram
lavadas e moídas. Após essa operação ter sido efetuada,
chegaram informações do técnico responsável dizendo que o
corpo das embalagens era de polietileno (PE), as tampas de
poliestireno (PS) e os rótulos de policloreto de vinila (PVC). Na
tentativa de separação dos três componentes, a mistura moída foi
adicionada a um tanque de água (densidade = 1,00 g.cm−3) e
observou-se que uma parte do material flutuava e outra parte
ficava submersa. Sabendo-se que o PE tem densidade entre 0,91
e 0,98 g.cm−3, o PS tem densidade entre 1,04 e 1,06 g.cm−3 e o
PVC entre 1,35 e 1,42 g.cm−3, assinale a alternativa correta.
a) Um dos polímeros flutua, o outro vai ao fundo, enquanto o
terceiro, o PVC, dissolve-se na água.
b) Uma mistura de dois polímeros mais densos flutua ao passo
que o outro precipita.
c) A precipitação ou a flutuação depende do tamanho das
O valor marcado no dinamômetro, em newtons, e a massa, em
partículas esféricas que saem do moinho.
gramas, colocada no prato à direita para que a balança continue
d) Se o líquido do tanque tivesse densidade igual a 1,2 g.cm−3,
em equilíbrio são, respectivamente,
apenas o PVC flutuaria.
a) 1,0 e 170 b) 1,7 e zero c) 1,7 e 100
e) O PE flutua, enquanto uma mistura de PS e de PVC afunda.
d) 2,7 e zero e) 2,7 e 100
131. (ITA) – Um bloco homogêneo de massa m e densidade d é
134. (EXAME NACIONAL DE PORTUGAL) – As esferas A e B, de
suspenso por meio de um fio leve e inextensível preso ao teto de
mesmo volume, são maciças e feitas de materiais de densidades
um elevador. O bloco encontra-se totalmente imerso em água, de
iguais a 5,4g/cm3 e 2,4g/cm3 e encontram-se em equilíbrio
densidade ␳, contida em um balde, conforme mostra a figura.
→ imersas em um líquido de densidade ␮L.
Durante a subida do elevador, com uma aceleração constante a,
As forças que tracionam os fios ligados às esferas A e B têm
dirigida para cima, o fio sofrerá uma força de tração de intensidade
intensidades respectivamente iguais a TA e TB, tais que TB = 2TA.
igual a
141
Despreze a viscosidade dos líquidos e considere g = 10m/s2. 137. (UFC) – Um cilindro de altura H é feito de um material cuja den-
sidade é igual a 5,0g/cm3. Coloca-se esse cilindro no interior de
um recipiente contendo dois líquidos imiscíveis, com densidades
iguais a 6,0g/cm3 e 2,0g/cm3. Ficando o cilindro completamente
submerso, sem tocar o fundo do recipiente e mantendo-se na
vertical, a altura do cilindro que estará submersa no líquido de
maior densidade será:
a) H/3 b) 3H/5 c) 3H/4 d) 2H/3 e) 4H/5
138. (FUVEST-SP) – Um objeto de massa 8,0kg e volume 1,0 litro

está imerso em um líquido, de densidade igual à da água, contido
num grande recipiente, como mostra a figura. O objeto move-se
para baixo com velocidade constante de módulo v = 0,20m/s,
devido à ação conjunta da gravidade, do empuxo e da resistência
viscosa do líquido ao movimento.
Determine
a) o valor de ␮L;
b) a razão entre os módulos das acelerações adquiridas por B e
A quando os fios são cortados;
c) a fração do volume de B que fica imersa quando ela flutua no
líquido.
135. Para medir a densidade do álcool, usamos duas esferas, A e B, de

mesmo volume, com densidades respectivamente iguais a Podemos afirmar que a quantidade de energia mecânica trans-
formada em calor, a cada segundo, no sistema “objeto – líquido”,
␮A = 0,50g/cm3 e ␮B = 1,0g/cm3. As esferas estão ligadas por um
fio ideal e o sistema fica em equilíbrio, no interior do álcool, é de:
conforme mostra a figura. a) 0,10J b) 0,14J c) 0,16J
d) 14J e) 16J
Adote g = 10m/s2 e a densidade da água igual a 1,0kg/ᐉ.
139. (FUVEST) – Um cilindro maciço, de massa m = 45kg, altura

H = 0,30m e base de área S = 0,050m2, está imerso em água, co-
mo mostra a figura, sendo mantido em equilíbrio estático por um
fio fino ao qual se aplica uma força tensora de intensidade T0. Use
g = 10m/s2 e considere a massa específica da água
␳m = 1,0 . 103kg/m3. Começa-se então a puxar o cilindro na dire-
ção y, para cima, com velocidade constante e de intensidade mui-
to pequena.
a) Trace no papel de gráfico a seguir o valor, em newtons, da in-
tensidade da força tensora T no fio em função da posição y da
a) Calcule a densidade do álcool. base inferior do cilindro, desde y = –0,70m até
b) Sabendo-se que o volume de cada esfera vale 2,0 . 10–4 m3 y = +0,50m. Marque os valores da escala utilizada no eixo da
e adotando-se g = 10m . s–2, calcule a intensidade da força intensidade da força tensora T.
tensora no fio. b) Determine o trabalho total W, em joules, realizado pela força
aplicada pelo fio, para o deslocamento descrito no item a.
136. (UFPB) – Dois corpos maciços e homogêneos, ligados por um fio Dar a resposta com dois algarismos significativos.
de massa e volume desprezíveis, estão em equilíbrio e totalmente
imersos em água, conforme a figura abaixo.
Sabendo-se que o volume do corpo A é 3,0 . 10–3 m3, que sua den-
sidade é 6,0 . 102kg/m3 e que a intensidade do empuxo sobre o
corpo B vale 8,0N, determine
a) a intensidade do empuxo sobre o corpo A;
b) a intensidade da força que traciona o fio;
c) a massa do corpo B.
Dados:
módulo da aceleração da gravidade: g = 10 m/s2;
densidade da água = 1,0 . 103 kg/m3.
142
140. (FUVEST-SP) – Um sistema industrial é constituído por um tanque

cilíndrico, com 600 litros de água e área do fundo S1 = 0,6 m2, e por
um balde, com área do fundo S2 = 0,2 m2. O balde está vazio e é
mantido suspenso, logo acima do nível da água do tanque, com
auxílio de um fino fio de aço e de um contrapeso C, como indicado
na figura. Então, em t = 0, o balde passa a receber água de uma
torneira, à razão de 20 litros por minuto, e vai descendo, com
velocidade constante, até que encoste no fundo do tanque e a
torneira seja fechada.
Para o instante t = 6 minutos, com a torneira aberta, na situação
em que o balde ainda não atingiu o fundo, determine
a) a intensidade da força de tração adicional ⌬F, em N, que passa
a agir no fio que sustenta o balde, em relação à situação inicial,
indicada na figura;
b) a altura da água H6, em m, dentro do tanque; NOTE E ADOTE
c) considerando-se todo o tempo em que a torneira fica aberta, O contrapeso equilibra o peso do balde, quando vazio.
determine o intervalo de tempo T, em minutos, que o balde O volume das paredes do balde é desprezível.
leva para encostar no fundo do tanque.
6) A 7) D 8) A 9) D 10) C Assim:
11) D 12) C 13) D 14) B 15) D p2 = patm + plíq
3 patm = patm + plíq

16) 34 17) C 18) a) A partir do instante t = 10s.
b) 60N/m2 plíq = 2 patm
19) Não, pois cada pessoa teria de fazer uma força além da Como a pressão atmosférica (patm) equivale a 10,0 metros
capacidade humana, conforme calculado abaixo. de coluna de água, a pressão que o líquido provoca no
Para separar as caixas, cada pessoa teria de fazer uma força fundo do lago (2patm) equivalerá a uma profundidade de
(⌬F) que superasse a força feita pela diferença de pressão 20,0m .
externa (patm) e interna da caixa (pc), sendo:
b) Aplicando, novamente, a lei geral dos gases perfeitos,
⌬p = patm – pc = 1,0 – 0,1 (atm) = 0,9 atm
vem:
A = área de cada face = (0,30m)2 = 0,090m2
p1V1 p2V2
⌬F > ⌬p . A = 0,9 . 1,0 . 105 . 0,090 (N) ⇒ ⌬F > 8,1 . 103 N ––––– = –––––
T1 T2
OBS: Cada pessoa deveria ser capaz de levantar um objeto de
810kg de massa. patm . 3V p2 V
––––––––– = ––––––
T 0,96T
20) B 21) D 22) E 23) A 24) A
p2 = 2,88patm
25) E 26) D 27) C 28) A 35) C
Mas p2 = patm + plíq
36) B 37) E 38) C 39) C 40) B 2,88 patm = patm + pLíq
41) A pLíq = 1,88patm
42) a) Supondo-se que o gás no interior da bolha se comporte De uma regra de três simples e direta, vem:
como gás ideal, da lei geral dos gases perfeitos, vem:
10 metros –––––––– patm
p1V1 p2V2
––––– = ––––– x –––––––– 1,88 patm
T1 T2
x = 18,8 metros
patm . 3V p2V
–––––––––– = –––––
T T
Respostas: a) 20,0m b) 18,8m
⬖ p2 = 3patm
43) a) p = ␳ g h
A pressão no fundo do lago é a soma da pressão atmos-
férica (patm) com a pressão da coluna líquida (plíq). p = 1,0 . 103 . 10 . h ⇒ p = 1,0 . 104 h (SI)
143
H 71) a) 1,25 . 103 kg/m3 72) A 73) A

b) pm = ␳ g ⇒ pm = 1,0 . 104 . 10 (Pa)
–– b) 1,1 . 105 N/m2
2
74) C 75) C 76) D
pm = 1,0 . 105 Pa
77) a)
H
c) F = pm A = ␳ g .LH
––
2
␳ g L H2
F = ––––––––––
2
1,0 . 103 . 10 . 30 . 400

F = –––––––––––––––––––– (N)
2
F = 6,0 . 107 N
44) a) Para a temperatura constante, temos:

p0V0 = p1V1 (Lei de Boyle e Mariotte)
patm V0 = p (V0 + ⌬V)

Na situação de equilíbrio hidrostático citada, a pressão no
p V0 500 20 ponto (I) deve ser igual à pressão no ponto (II).
R = ––––– = –––––––––– = ––––– ⇒ R = –––– pI = pII
patm V0 + ⌬V 525 21
p0 + ␳I g hI = p0 + ␳II g hII
b) pA = patm = p + ␮a g h
1,8 . 103 . 20 = ␳II 60 ⇒ ␳II = 6,0 . 102kg/m3
patm = p + 1,0 . 103 . 10h
patm = p + 1,0 . 104 h

b) Calculemos, inicialmente, a pressão total na base do tubo
em U.
h em metros
patm e p em Pa (N/m2) p = p0 + ␳I g hI ⇒ p = 1,0 . 105 + 1,8 . 103 . 10 . 0,20 (Pa)
p = 1,036 . 105 Pa
20
c) Para p = ––– patm, temos: Observando-se que a pressão em todos os pontos da base do
21
tubo em U é constante e que, subindo-se através de qualquer
20
patm = ––– patm + 1,0 . 104 . 0,50 um dos líquidos, a pressão decresce uniformemente até
21 atingir o valor p0 = 1,00 . 105 Pa, traçamos o gráfico a seguir.
21 patm = 20 patm + 10,5 . 104
patm = 1,05 . 105 N/m2
p 20
Respostas: a) R = ––––– = –––
patm 21
b) patm = p + 1,0 . 104 h (SI)

c) patm = 1,05 . 105 N/m2
45) C 46) A 47) A 48) E 49) B
50) C 51) B 52) A 53) A 54) A
64) a) 5,0 . 104 Pa 65) C 66) a) 1,5

p0 b) menor que 15m
b) patm = ––– 78) B 79) C 80) D 81) C 87) D
2
88) 70 89) 70g 90) A 91) D 92) D
67) a) pgás = 1,5 atm
b) Se patm diminuir, então a pressão hidrostática deve au- 93) C 94) A 95) C 96) C 102) B
mentar e a coluna de mercúrio vai aumentar de altura.
103) d’ = d 104) C 105) B 106) C
68) 80cm de Hg 69) C 70) a) 2,4 . 105 Pa 107) a) 6,3N 108) E 109) E 110) C
b) 48N b) glicerina
144
111) B 112) a) 20kg ␮L – ␮B = 2␮A – 2␮L

b) 300N
3␮L = 2␮A + ␮B
113) a) 0,75g/cm3 ou 7,5 . 10 2kg/m3 114) C 115) B 2␮A + ␮B 2 . 5,4 + 2,4

␮L = ––––––––– ⇒ ␮L = ––––––––––– (g/cm3)
b) 0,15N ou 1,5 . 10 –1N 3
3
116) C 117) A 118) C 119) C 120) E
␮L = 4,4g/cm3
121) D 128) D 129) B 130) E
131) A gravidade aparente dentro do elevador é dada por: b) A: PA – EA = mA aA

gap = g + a ␮A V g – ␮L V g = ␮A V aA
O peso P’ é dado por:
g(␮A – ␮L)
P’ = m gap = m (g + a) aA = ––––––––––
␮A
O empuxo E é dado por:
E = ␳ V gap
B: EB – PB = mB aB
m m ␮L V g – ␮B V g = ␮B V aB
Sendo d = ––– , vem V = –––
V d
g(␮L – ␮B)
aB = ––––––––––
m ␮B
Portanto: E = ␳ ––– (g + a)
d
␮A ␮L – ␮B

aB 5,4 2,0
Para o equilíbrio do bloco em relação a um referencial fixo no ––– = ––– . –––––––– = ––– . –––
aA ␮B ␮A – ␮L 2,4 1,0
elevador, vem:
T + E = P’
m aB
T + ␳ ––– (g + a) = m (g + a) –––– = 4,5
d aA
c) E = PB
m Vi ␮B 2,4
T = m (g + a) – ␳ ––– (g + a)
d ␮L Vi g = ␮B V g ⇒ ––– = –––
␮L
= –––
4,4
V
␳

T = m (g + a) 1 – ––
d Vi 6
–––– = –––
V 11
Resposta: A
132) a) 1,2 . 105 Pa ou 1,2 atm

135) a) 0,75g/cm3 136) a) 30,0N 137) C
b) 7,6 . 10–2m3 ou 76 litros b) 0,50N b) 12,0N
c) 2,0kg
133) 1) O valor indicado no dinamômetro é o peso aparente da
esfera ao ser mergulhada no líquido:
138) 1) Cálculo da intensidade da força viscosa:
P= ␮E Vg = 2,7 . 103 . 100 . (10– 2)3 . 10 (N) = 2,7N
E = ␮a Vg = 1,0 . 103 . 100 . 10– 6 . 10 (N) = 1,0N
Pap = P – E = 1,7N
F+E=P
2) A força que a esfera aplica no líquido e que é transmitida F=P–E
à balança tem a mesma intensidade do empuxo (ação e
reação): E = 1,0N
A força de intensidade 1,0N corresponde ao peso de um
1,0 Sendo: P = mg = 8,0 . 10(N) = 80N
corpo de massa m = ––– kg = 100g.
10 E = ␮a V g = 1,0 . 1,0 . 10(N) = 10N
Resposta: C
vem: F = 80 – 10 (N) ⇒ F = 70N
134) Para o equilíbrio das esferas A e B: →
a) 2) A potência da força F é dada por:
EA + TA = PA → TA = PA – EA → →
PotF = | F | | V | cos 180°
EB = TB + PB → TB = EB – PB PotF = 70 . 0,20 (–1) (W) ⇒ PotF = –14J/s
Resposta: D
Sendo TB = 2TA, vem: 139) a) I) Enquanto o bloco estiver totalmente imerso, isto é,
EB – PB = 2 (PA – EA) y ⭐ 0,30m, a força tensora terá intensidade constante
dada por:
␮L V g – ␮B V g = 2 (␮A V g – ␮L V g)
145
b) 1) Para manter o equilíbrio do balde, o peso da água co-

T + E = P (resultante nula) letada deve ser equilibrado pelo empuxo recebido da
água do tanque:
T + ␮LVg = mg E = Págua coletada
De acordo com o Princípio de Arquimedes, o empuxo
T + 1,0 . 103 . 0,050 . 0,30 . 10 = 4,5 . 102 tem intensidade igual ao peso da água deslocada.
Págua deslocada = Págua coletada
Isto significa que o nível da água dentro do balde é
T = 3,0 . 102N
igual ao nível da água externa, como sugere a figura a
seguir.
2) Quando o bloco estiver saindo do líquido a intensidade

do empuxo varia e a intensidade da força de tração
também varia:
T+E=P
T + ␮L . A . |y| g = mg
T + 1,0 . 103 . 0,050 . |y| . 10 = 4,5 . 102
T = 450 - 500 |y| ⇒ T = 450 + 500y (SI)
3) Para y = 0, o cilindro termina de sair do líquido e então: 2) Em 6 minutos, a água coletada no balde tem volume
dado por:
T = 4,5 . 102N
Vol 20ᐉ
Z = ––– ⇒ Vol = Z . ⌬t = –––– . 6 min = 120ᐉ
⌬t min
Portanto, o volume total de água será de 720ᐉ.
3) O volume total de água é dado por:

V = S1 . H6
720 . 10–3 = 0,6 . H6 ⇒ H6 = 1,2m
c) 1) Quando o balde encostar no fundo do tanque, teremos:
O volume de água no balde (V1)

b) O trabalho realizado é medido pela área sob o gráfico (for- é dado por:
ça x distância). V1 = S1 H
O volume externo de água (V2) é
0,30
W = 300. (0,40) + (450 + 300) –––– + 0,50 . 450 (J) dado por:
2
V2 = (S2 – S1) H = 2 S1 H = 600ᐉ
W = 120 + 112,5 + 225 (J)
Portanto: 2V1 = 600ᐉ
W = 457,5J
V1 = 300ᐉ
Com dois algarismos significativos, a resposta do item (b)
é 4,6. 102J
2) O tempo gasto para armazenar 300ᐉ de água no inte-
Respostas: a) ver gráfico
rior do balde é dado por:
b) 4,6 . 102 J
140) a) Como o contrapeso tem velocidade cons- Vol Vol 300

Z = ––– ⇒ ⌬t = ––– = ––– (min) ⇒ ⌬t = 15min
tante, a força resultante sobre ele é sempre ⌬t Z 20
nula e, portanto:
F = Pc = constante Respostas: a) ⌬F = 0
b) H6 = 1,2m
⌬F = 0 c) ⌬t = 15 min
146
CAPÍTULO
Mecânica
8 NOÇÕES DE HIDRODINÂMICA
1. Objeto de estudo em que ⌬x1 é a distância percorrida pelo fluido no

intervalo de tempo considerado.
A Hidrodinâmica estuda os fluidos (líquidos e ga-
ses) em movimento.
2. Fluxo laminar
Consideremos um fluido movendo-se ao longo de
um tubo.
O fluxo do fluido, ao longo do tubo, é chamado la-
minar quando as partículas do fluido descrevem traje-
tórias paralelas às paredes do tubo. Sendo V1 o módulo da velocidade do fluido, na
região de área de secção transversal A1, temos:
3. Fluxo estacionário ⌬x1 = V1 ⌬t (movimento uniforme)
O fluxo de um fluido, ao longo de um tubo, é cha- Portanto: Vol1 = A1 V1 ⌬t
mado estacionário ou em regime permanente quando, Sendo ␮1 a densidade do fluido nesta região de área
em qualquer posição, a velocidade da partícula do fluido A1, vem:
não varia com o tempo. ⌬m1 = ␮1 Vol1 = ␮1 A1 V1 ⌬t
Isto significa que as diferentes partículas do fluido Analogamente, a massa de fluido que sai por A2 é
sempre passam pelo mesmo ponto com a mesma ve- dada por:
locidade, embora a velocidade possa variar de uma posição ⌬m2 = ␮2 A2 V2 ⌬t
para outra. Dada a conservação da massa, resulta:
⌬m1 = ⌬m2
4. Equação da continuidade
(conservação da massa) ␮1 A1 V1 ⌬t = ␮2 A2 V2 ⌬t
Consideremos um fluido com um fluxo laminar e ␮1 A 1 V 1 = ␮ 2 A 2 V 2 , isto é,

estacionário no interior de um tubo que apresenta duas
secções transversais de áreas A1 e A2 diferentes, o produto ␮AV permanece constante, ao longo do tubo,
conforme mostra a figura. e representa o fluxo de massa por unidade de tempo,
através da secção transversal do tubo.
m
Q = –––– = ␮ A V = constante
⌬t
Em particular, se o fluido for incompressível, que é o ca-

Sendo o fluxo estacionário, a massa de fluido contida
so dos líquidos, a densidade ␮ é constante (isto é, ␮1 = ␮2)
entre A1 e A2 não pode variar com o tempo e, portanto, a
e, portanto:
massa ⌬m1 que entra por A1, num intervalo de tempo ⌬t,
A 1 V 1 = A2 V 2
tem de ser igual à massa ⌬m2 que sai por A2, no mesmo
intervalo de tempo. O produto AV permanece constante, ao longo do
A massa ⌬m1 que entrou por A1, num intervalo de tubo, e representa o fluxo de volume por unidade de tem-
tempo ⌬t, vai ocupar um volume dado por Vol1 = A1 . ⌬x1, po, através da secção transversal do tubo.
147
Vol m
Z = –––– = A V = constante
⌬t Portanto: ␶F = p1 –––
1 ␮
Esta relação mostra que, para um líquido, a velo- Analogamente:

cidade de escoamento é inversamente proporcional à m
área da secção transversal do tubo e, portanto, quando ␶F = –F2 d2 = –p2 A2 d2= –p2 –––
␮
2
o tubo sofre um estrangulamento, a velocidade do líquido
aumenta para que a vazão permaneça constante. Aplicando-se o teorema da energia cinética para a
massa m de líquido transportada da altura H1 para a
5. Equação de Bernoulli altura H2, temos:
(conservação da energia) ␶total = ⌬Ecin
m
Um fluido é chamado perfeito ou ideal quando sua ␶P + ␶F + ␶F = ––– (V22 – V12)
1 2 2
viscosidade é desprezível.
m m m
–mg (H2 – H1) + p1 ––– – p2 ––– = ––– (V22 – V12)
␮ ␮ 2
Vamos aplicar a um fluido perfeito a lei da conserva- Dividindo-se por m e multiplicando-se por ␮, vem:
ção da energia e vamos obter a chamada Equação de
Bernoulli.
␮
Consideremos um fluido incompressível com escoa- –␮g (H2 – H1) + p1 – p2 = ––– (V22 – V12)
2
mento estacionário ao longo de uma tubulação que se
eleva de uma altura inicial H1 para uma altura final H2.
␮ V22 ␮ V12
–␮gH2 + ␮g H1 + p1 – p2 = –––––– – ––––––
2 2
Finalmente:
␮ V12 ␮ V22
p1 + ␮g H1 + –––––– = p2 + ␮g H2 + ––––––
2 2
Na altura H1, a pressão do fluido é P1 e na altura H2,
é P2. Generalizando, podemos escrever que, para qualquer
No deslocamento de uma massa m de líquido, da ponto do fluido perfeito incompressível, temos:
altura H1 para a altura H2, teremos os seguintes trabalhos
envolvidos: ␮V2
p + ␮gH + –––––– = constante
2
1) trabalho do peso:
␶P = –mg (H2 – H1)
Esta expressão, que nada mais traduz do que a con-
2) trabalho das forças de pressão: servação da energia, é chamada de Equação de Ber-
␶F = F1 . d1 = p1 A1 d1 noulli.
1
em que d1 é um deslocamento na altura H1 e
A soma p + ␮gH é denominada pressão estática, e o
m ␮ V2
A1 d1 = Vol1 = –– termo ––––– é chamado pressão dinâmica.
␮ 2
148
1. (UEL-PR-MODELO ENEM) – Na figura, observa-se que o rio se ␮ = densidade do ar

bifurca nos rios 1 e 2. No rio 1, de largura L, há uma rocha, cuja V1 = módulo da velocidade do ar abaixo da asa
distância da margem direita é L1 e da esquerda, L2, tal que
V2 = módulo da velocidade do ar acima da asa
L1 < L2 < L. A vazão da água ao longo do rio 1 mantém-se
constante devido à conservação da massa de água que escoa. a) Determine a intensidade da força de sustentação em uma asa
de área A em função de A, ␮, V1 e V2.
b) Justifique o fato de as aterrizagens e decolagens, na medida
do possível, serem feitas “contra o vento”.
c) Justifique o uso, nas aterrizagens e decolagens, de peças cha-
madas “flaps” que aumentam a área das asas.
Resolução
␮
a) Da Equação de Bernoulli: p1 – p2 = ––– (V22 – V21 )
2
␮A
F = (⌬p) A ⇒ F = –––––– . (V22 – V21 )
2
Considerando-se Va o módulo da velocidade da água do rio 1, b) Se a decolagem ou aterrizagem for feita contra o vento, conse-
antes e depois da rocha; V1 o módulo da velocidade da água à guimos aumentar a diferença entre V2 e V1 e, com isto, obter
direita da rocha; e V2 o módulo da velocidade da água à esquerda a força de sustentação necessária com velocidades menores
da rocha, é correto afirmar: do avião.
a) Va é maior que V2. b) V2 é maior que V1. c) O uso dos flaps é para aumentar a área das asas e conseguir
c) Va é igual a V1. d) V1 é maior que V2. a força de sustentação necessária com velocidades menores
do avião.
e) Va é igual a V2.
Resolução 3. (UNIMONTES-MG-MODELO ENEM) – O futebol é, sem dúvida,
Pela equação da continuidade: um esporte global. Ele produz tamanho encanto e comoção nas
Z = A . V = constante pessoas que afeta significativamente o andamento de suas vidas.
O trecho abaixo traduz bem o que estamos afirmando:
Sendo L1 < L2 < L, resulta
“Neste mês em que se disputa a Copa do Mundo, os problemas
A1 < A2 < A e do planeta acabam reduzidos. Em todo o mundo, as pessoas
V1 > V2 > Va interrompem suas atividades para assistir aos jogos e aos
Resposta: D momentos de glória e frustração das seleções. Enquanto isso, a
história e a política esperam no banco de reservas.” (Retirado de
National Geographic, junho de 2006.)
2. (MODELO ENEM)
FORÇA DE SUSTENTAÇÃO DE UM AVIÃO
Se um avião estiver parado no solo, a pressão do ar acima e

abaixo das asas é a mesma.
Quando o avião começa a se mover, o ar passa a fluir acima e
abaixo das asas e, pelo formato da asa, no mesmo intervalo de
tempo percorre uma distância maior na parte superior da asa.
Isto significa que o ar acima da asa tem velocidade maior que o ar Além da habilidade dos jogadores, parte do espetáculo proporcio-
abaixo da asa, o que implica que a pressão do ar é maior abaixo
nado por esse esporte deve-se às incríveis trajetórias não planas
da asa do que acima (ar mais lento exerce pressão maior que o ar
descritas pela bola em movimento, executando curvas sinuosas
mais rápido, de acordo com o Princípio de Bernoulli).
A diferença de pressão provoca o aparecimento de uma força que, muitas vezes, enganam até mesmo os mais experientes
vertical, dirigida para cima, chamada força de sustentação que goleiros.
deve equilibrar o peso do avião. Marque a alternativa que relaciona corretamente o movimento
2 2 não plano descrito pela bola de futebol a fatores que são res-
␮V1 ␮V2
Princípio de Bernoulli: p1 + –––– = p2 + –––– ponsáveis pela sua existência.
2 2 a) Apenas a força do jogador na hora do chute e a atuação da
p1 = pressão abaixo da asa força gravitacional sobre a bola são suficientes para que
p2 = pressão acima da asa ocorram essas trajetórias não planas.
149
b) As trajetórias não planas existem porque as bolas oficiais de As figuras em acordo com a realidade física são
futebol possuem, em seu interior, um dispositivo que afeta a) II e III. b) I e IV. c) II e IV.
seu movimento. Sem esse dispositivo, elas descreveriam d) III e IV. e) I e III.
trajetórias planas. Resolução
c) A rotação da bola e a força aplicada pelo ar são fundamentais De acordo com o Princípio de Bernoulli, para escoamentos ho-
para que a bola descreva trajetórias não planas. rizontais, temos
d) As trajetórias não planas acontecem quando a bola gira
␮ V2
enquanto se desloca, e aconteceriam mesmo se não houves- p + ––––– = constante
se a força de resistência do ar, força de arrasto, que não afeta 2
a direção do movimento da bola.
Quando a secção diminui, a velocidade do fluido aumenta (equa-
Resolução
ção da continuidade) e, portanto, a pressão diminui e a altura no
medidor de pressão é menor (II correto).
Quando a secção aumenta, a velocidade diminui, a pressão au-
menta e a altura no medidor é maior (III correto).
Resposta: A
5. (ITA) – Considere uma tubulação de água que consiste de um tubo

de 2,0cm de diâmetro por onde a água entra com velocidade de
módulo 2,0m/s sob uma pressão de 5,0 x 105 Pa. Outro tubo de
1,0 cm de diâmetro encontra-se a 5,0 m de altura, conectado ao
Para um referencial no centro da bola, o ar de desloca em sentido tubo de entrada. Considerando-se a densidade da água igual
→ 1,0 . 103kg/m3 e desprezando-se as perdas, calcule a pressão da
oposto, –V.
água no tubo de saída. Adote g = 10,0m/s2
Resolução
A velocidade no ponto A tem módulo menor que no ponto B e,

pelo Princípio de Bernoulli, a pressão em A fica maior que em B e
esta diferença de pressão provoca uma força dirigida para a 1) Pela equação da continuidade, temos
esquerda que vai desviar a bola fazendo com que sua trajetória A1V1 = A2V2
não seja plana.
Resposta: C πd12 πd22
–––– V1 = –––– V2
4. (UFSM-RS) – As figuras representam seções de canalizações por 4 4
onde flui, da esquerda para a direita, sem atrito e em regime
estacionário, um líquido incompressível. Além disso, cada seção

apresenta duas saídas verticais para a atmosfera, ocupadas pelo d1 2
V2 = ––– . V1
líquido até as alturas indicadas. d2
V2 = 4 . 2,0 (m/s) ⇒ V2 = 8,0m/s
2) Aplicando-se a Equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (2),

vem
V12 V22
p1 + ␮ ––– = p2 + ␮ ––– + ␮g H
2 2
1,0 . 10 3 1,0 . 10 3
5,0 . 10 5 + ––––––– . 4,0 = p2 + ––––––– . 64,0 + 1,0 . 10 3 . 10,0 . 5,0
2 2
5,02 . 105 = p2 + 0,82 . 105 ⇒ p2 = 4,2 . 10 5 Pa
Resposta: 4,2 . 10 5 Pa
6. Um tanque contém água até uma altura H. Na parede lateral do

tanque, é feito um pequeno orifício a uma profundidade h abaixo
do nível da água.
150
v=
2gh
2) O tempo de queda da água até o solo é dado por:
␥y
⌬sy = v0y t + ––– t2 (MUV)
2
g 2
H – h = 0 + –– tQ ⇒ 2(H – h)
tQ = –––––––––
2 g
A água sai do orifício com uma velocidade horizontal de módulo v. 3) O alcance horizontal d é dado por:
A aceleração da gravidade tem módulo g.
a) Determine, em função de g, H e h, o valor de v e do alcance d = v tQ
horizontal d.
2(H – h)
b) Fixando-se o valor de H, qual deverá ser o valor de h para que d =
2gh ––––––––– ⇒ d = 2
h(H – h)
g
d seja máximo?
Resolução b) O valor de d será máximo quando o produto h(H – h) for
a) 1) Considere um ponto A na superfície do líquido e um ponto máximo.
B no interior do líquido e junto ao orifício.
Aplicando-se o Teorema de Bernoulli entre os pontos A e Façamos: h = x e h(H – h) = y
B, teremos: Assim, teremos: y = x (H – x)
2 2 O gráfico dessa função será:

␮ vA ␮ vB
pA + ––––– + ␮ g hA = pB + ––––– + ␮ g hB
2 2
Tomando-se o ponto B como referência para a medida das

alturas, temos: hB = 0 e hA = h.
Como a superfície livre do líquido desce muito lentamente,
temos:
vA = 0 e vB = v
Por outro lado, os pontos A e B estão em contato com a

atmosfera e, portanto:
pA = pB = patm
Então, temos: H
y será máximo para x = ––– , isto é, o alcance d será
2
2
␮v
patm + ␮ g h = patm + –––– H
máximo quando h = ––– .
2 2
7. (UFOP-MG) – Quando se abre uma torneira de forma que saia c) a velocidade da água caindo não depende da força gravitacional
apenas um “filete” de água, a área da seção reta do filete de água e, portanto, para que haja conservação da massa, a área da
abaixo da boca da torneira é tanto menor quanto mais distante seção reta do filete tem de ser menor.
dela, porque d) as interações entre as moléculas da água tornam-se mais
a) como a velocidade da água distante da boca da torneira é maior intensas devido à ação da força gravitacional e, assim, a área da
devido à ação da força gravitacional, para que haja conservação seção reta do filete distante da boca da torneira fica menor.
da massa, a área da seção reta do filete tem de ser menor. e) devido à velocidade com que a água sai, a boca da torneira é
b) uma vez que a velocidade da água distante da boca da torneira projetada para que a água seja concentrada mais distante da
é menor devido à ação da força gravitacional, para que haja boca.
conservação da massa, a área da seção reta do filete tem de
ser menor.
151
8. (UFPE) – A velocidade do sangue na artéria aorta de um adulto, 11. (ITA-MODELO ENEM) – Durante uma tempestade, Maria fecha
que possui em média 5,4 litros de sangue, tem módulo igual a as janelas do seu apartamento e ouve o zumbido do vento lá fora.
aproximadamente 30cm/s. A área transversal da artéria é de Subitamente, o vidro de uma janela se quebra. Considerando-se
aproximadamente 2,5 cm2. Qual o intervalo de tempo, em que o vento tenha soprado tangencialmente à janela, o acidente
segundos, necessário para a aorta transportar o volume de pode ser mais bem explicado pelo(a)
sangue de um adulto? a) princípio de conservação da massa. b) Princípio de Bernoulli.
c) Princípio de Arquimedes. d) Princípio de Pascal.
9. (UNIRIO-MODELO ENEM) – Um menino deve regar o jardim de e) Princípio de Stevin.
sua mãe e pretende fazer isso da varanda de sua residência, segu-
rando uma mangueira na posição horizontal, conforme a figura. 12. (UFBA) – Um fenômeno bastante curioso, associado ao voo dos
Durante toda a tarefa, a altura da mangueira, em relação ao jardim, pássaros e do avião, pode ser visualizado por um experimento
permanecerá constante. Inicialmente, a vazão de água, que pode simples, no qual se utiliza um carretel de linha para empinar pipa,
ser definida como o volume de água que atravessa a área trans- um prego e um pedaço circular de cartolina.
versal da mangueira na unidade de tempo, é ␸0. Para que a água
da mangueira atinja a planta mais distante no jardim, ele percebe
que o alcance inicial deve ser quadruplicado. A mangueira tem em
sua extremidade um dispositivo com orifício circular de raio
variável.
O prego é colocado no centro da cartolina e inserto no buraco do

carretel, conforme a figura. Soprando pelo buraco superior do
carretel, verifica-se que o conjunto cartolina-prego não cai.
Considere a massa do conjunto cartolina-prego igual a 10g, o raio
do disco igual a 2,0cm e a aceleração da gravidade local com
módulo igual a 10m/s2.
A partir dessas informações, apresente a lei física associada a
esse fenômeno e calcule a diferença de pressão média mínima,
entre as faces da cartolina, necessária para impedir que o
conjunto caia.
Para que consiga molhar todas as plantas do jardim sem molhar o 13. (UEL-PR-MODELO ENEM) – Um professor deseja demonstrar o
resto do terreno, ele deve: “Princípio de Bernoulli” para o movimento de fluidos. Para isto,
a) reduzir o raio do orifício em 50% e quadruplicar a vazão de ele pendura duas bolas de pingue-pongue iguais à mesma altura,
água. em dois fios idênticos, inextensíveis e independentes. As bolas,
b) manter a vazão constante e diminuir a área do orifício em 50%. inicialmente, estão ligeiramente afastadas entre si com uma
c) manter a vazão constante e diminuir o raio do orifício em 50%. distância da ordem do diâmetro das bolas em questão. Uma vez
d) manter constante a área do orifício e dobrar a vazão de água. montado o arranjo experimental, o professor chama um aluno e
e) reduzir o raio do orifício em 50% e dobrar a vazão de água. pede que ele assopre, com força, na região entre as bolas.
Assinale a alternativa que indica o que irá acontecer:
10. (UFCG-PB-MODELO ENEM) – O sistema cardiovascular é cons- a) As bolas vão-se aproximar, pois, com o sopro, criou-se uma
tituído pelo coração, que é o órgão propulsor do sangue, e uma região de baixa pressão entre elas.
rede vascular de distribuição. Excitados periodicamente, os mús- b) As bolas vão-se afastar, pois, com o sopro, criou-se uma região
culos do coração se contraem impulsionando o sangue através de alta pressão entre elas.
dos vasos, a todas as partes do corpo. Esses vasos são as arté- c) As bolas vão-se afastar, pois, com o sopro, aumentou-se a
rias. Elas se ramificam tornando-se progressivamente de menor quantidade de ar entre elas e, por isso, o excesso de ar vai
calibre terminando em diminutos vasos denominados arteríolas. A afastá-las.
partir destes vasos, o sangue é capaz de realizar suas funções de d) As bolas vão balançar aleatoriamente, pois, com o sopro,
nutrição e absorção atravessando uma rede de vasos denomi- aumentou-se a agitação das moléculas de ar próximas delas.
nados capilares, de paredes muito finas e permeáveis à troca de e) O “Princípio de Bernoulli” não se aplica a este experimento.
substâncias entre ele e os tecidos. O fluxo de sangue bombeado
pelo coração para a artéria aorta, de seção transversal média, para 14. (UEL-PR-MODELO ENEM) – O voo de um avião depende do
uma pessoa normal em repouso, de 3cm2 (3 . 10–4m2), é da acoplamento de vários fatores, entre os quais se destaca o
ordem de 5 litros por minuto e ao chegar aos capilares, de formato de suas asas, responsáveis por sua sustentação no ar. O
diâmetro médio igual a 6␮m (área ≈ 3 . 10–11m2), o fluxo sanguí- projeto das asas é concebido de tal maneira que, em um mesmo
neo continua aproximadamente o mesmo e a velocidade escalar intervalo de tempo, uma corrente de ar passando acima da asa
média do sangue nesses vasos é da ordem de 5 . 10–4m/s. tem de percorrer um caminho maior que uma corrente de ar que
Baseado no texto, pode-se afirmar que a velocidade escalar média passa abaixo dela. Desde que a velocidade do avião seja
do sangue na aorta e o número estimado de vasos capilares de adequada, isso permite que ele se mantenha no ar. Assinale a
uma pessoa normal valem, respectivamente e aproximadamente: alternativa que identifica corretamente a razão para que isso
aconteça.
a) 3m/s; 6 . 109 b) 30m/s; 6 . 106 c) 0,3m/s; 6 . 109
a) A velocidade do ar acima da asa é maior do que abaixo da asa,
d) 1,6m/s; 6 . 106 e) 16m/s; 3 . 1010 ocasionando uma pressão maior acima da asa.
152
b) A velocidade do ar acima da asa é menor do que abaixo da asa, a) com o aumento do segmento da artéria, a velocidade do san-
ocasionando uma pressão menor acima da asa. gue, neste ponto, aumenta e consequentemente a pressão
c) A velocidade do ar acima da asa é maior do que abaixo da asa, também aumenta, podendo ocorrer a ruptura da artéria.
ocasionando uma pressão maior abaixo da asa. b) com o aumento do segmento da artéria, a velocidade do
d) A densidade do ar acima da asa é menor do que abaixo da asa, sangue, neste ponto, diminui e consequentemente a pressão
ocasionando uma pressão menor abaixo da asa. aumenta, podendo ocorrer a ruptura da artéria.
e) A densidade do ar acima da asa é maior do que abaixo da asa, c) mesmo com o aumento do segmento da artéria, a velocidade
ocasionando uma pressão maior abaixo da asa. do sangue não se altera, entretanto, há um aumento da
pressão, podendo ocorrer a ruptura da artéria.
15. (UFPA-MODELO ENEM) – A figura abaixo representa o corte d) com o aumento do segmento da artéria, a vazão do sangue
longitudinal de um pequeno trecho de uma artéria ao longo da neste ponto aumenta e consequentemente a pressão
qual escoa sangue em regime laminar. As velocidades das células aumenta, podendo ocorrer a ruptura da artéria.
sanguíneas são representadas pelas setas à esquerda, o que e) com o aumento do segmento da artéria, a vazão do sangue
mostra que o módulo da velocidade aumenta radialmente em neste ponto diminui e consequentemente a pressão aumenta,
direção ao centro e se anula nas paredes da artéria. podendo ocorrer a ruptura da artéria.
18. (UFMS) – Água escoa em uma tubulação, na qual a região 2 se

situa a uma altura h acima da região 1, conforme figura a seguir.
Analisando-se a figura, pode-se afirmar que a

a) diferença de pressão experimentada pelas células sanguíneas
produz uma força que as empurra para as paredes da artéria.
b) pressão sanguínea nas paredes da artéria é mínima.
c) pressão sanguínea em todos os pontos da artéria é a mesma.
d) pressão sanguínea aumenta, a partir das paredes da artéria,
em direção ao centro.
e) pressão sanguínea diminui, a partir das paredes da artéria, em É correto afirmar que
direção ao centro. a) a pressão cinética é maior na região 1.
b) a vazão é a mesma nas duas regiões.
16. (UEGO-MODELO ENEM) – Ao ser chutada com o lado de fora do c) a pressão estática é maior na região 2.
pé esquerdo (o chamado “chute de trivela”), a bola faz uma d) a velocidade de escoamento é maior na região 1.
rotação no sentido indicado na figura 1. Isso faz com que sua e) a pressão em 1 é menor do que a pressão em 2.
trajetória seja curva, como indicado na figura 2.
19. (UnB-MODELO ENEM) – Considere as seguintes afirmações.
• Animais como coelhos e toupeiras constroem suas tocas com
mais de uma abertura, cada abertura localizada a uma altura
diferente, conforme ilustrado na figura I adiante.
• Nas proximidades do solo, o módulo da velocidade do vento
aumenta com a altitude, conforme ilustra a figura II a seguir.
• O Princípio de Bernoulli estabelece que a pressão que o ar em
movimento exerce sobre superfícies ao longo das quais ele
escoa varia com a velocidade de escoamento. Assim, na
situação ilustrada na figura I, devido à velocidade do ar, as
pressões p1 e p2 e as velocidades V1 e V2 nas aberturas 1 e 2,
(GUIMARÃES, Luiz Alberto; BOA, Marcelo Fonte.
respectivamente, são relacionadas de forma aproximada pela
Física para o segundo grau: Mecânica. São Paulo: Habra, 1997. p.
398) 1 1
equação p1 + –– ␳V12 = p2 + –– ␳V22, em que ␳ é a densi-
O fenômeno pode ser explicado da seguinte forma: 2 2
a) A força de arrasto é muito grande e gera deformações na
dade do ar, supostamente constante. A análise dessa equação
região frontal da bola.
permite afirmar que, em regiões onde a velocidade do ar é
b) A velocidade resultante do ar, em relação à bola, é maior do
alta, a pressão é baixa, e, onde a velocidade é baixa, a pressão
lado esquerdo que do lado direito, o que gera uma força que
é alta.
desvia a bola para a esquerda.
c) A aceleração da gravidade sofre pequenas variações com a
altura.
d) A aceleração imprimida no chute gera em frações de segundo
uma velocidade superior a 120km/h.
e) a variação da pressão atmosférica, em virtude da altitude, gera
uma força que desvia a bola.
17. (UFCG-PB-MODELO ENEM) – O termo aneurisma é utilizado

para designar a dilatação permanente de um segmento de uma
artéria, fazendo com que ela fique com um diâmetro muito maior
do que o normal. Utilizando conceitos de Hidrodinâmica, pode-se
afirmar que o aneurisma é uma condição de grande risco, pois Figura I.
153
2) Se um arbusto crescer nas proximidades da abertura 1, de

forma a dificultar a passagem do vento, sem bloquear a
abertura, então a ventilação na toca será melhorada.
3) ⌬p = p1 – p2 é diretamente proporcional à diferença dos módu-
los das velocidades V2 e V1.
4) A circulação de ar no interior da toca mostrada na figura I
ocorre da abertura 1 para a abertura 2.
Estão corretos apenas os itens:
a) 1 e 2 b) 1 e 3 c) 2 e 3
d) 2 e 4 e) 1 e 4
20. (UEPA-MODELO ENEM) – Durante uma forte ventania, casas

podem ser destelhadas devido à diferença de pressão entre o
Figura II. interior e o exterior. Considere que a densidade do ar seja de
1,2kg/m3, que a velocidade do vento tenha módulo 72km/h e que
a aceleração da gravidade tenha módulo 10m/s2. Nessas
Com base nas afirmações anteriores, julgue os itens a seguir.
condições, a força exercida em um telhado de 10m2 de área, do
1) Uma toca com duas aberturas no mesmo nível terá melhor interior para o exterior da casa, é igual ao peso de quantas
ventilação que a apresentada na figura I, sob as mesmas pessoas de massa igual a 60kg?
condições de vento. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
7) A 8) ⌬t = 72s 11) B 12) Princípio de Bernoulli; ⌬p 77Pa
9) 1) Z = vol
—– = A . V = constante (equação da continuidade) 13) A 14) C
⌬t
2) O alcance da água será dado por: 15) E 16) B
D = V tQ
17) B 18) B
em que o tempo de queda tQ será constante, pois H é man-

tido constante demonstre que tQ =
2H
—– .
g 19) (01) FALSO.
Se as aberturas tiverem o mesmo nível, as velocidades
Z Z
Portanto: D = —– . tQ = —––– . tQ V1 e V2 serão iguais e, portanto, teremos p1 = p2 e não
A π R2 haverá ventilação.
A R
Para que D’ = 4D, devemos ter A’ = —– e R’ = —– , isto é, a
4 2 (02) VERDADEIRO.
área deve ser dividida por 4 (reduzir-se em 75%) e o raio A presença do arbusto reduz a velocidade V1, elevando
o valor de p1 e, portanto, aumentando p1 – p2 , o que
deve-se reduzir à metade (50%).
favorece a ventilação.
Resposta: C
(03) FALSO.
Vol ␳ V12 ␳ V22
10) 1) Z = –––– = A . V p1 + ––––– = p2 + –––––
⌬t 2 2
5ᐉ 5 . 10–3m3 5 m3
Z = –––– = –––––––––– = ––– . 10–4 –––– ␳ ␳
s p1 – p2 = –– (V22 – V12) = –– (V2 – V1) (V2 + V1)
min 60s 6 2 2
Z = AV
Para que p1 – p2 fosse proporcional a V2 – V1, de-
5 5 veríamos ter V2 + V1 constante, o que não é verdade,
––– . 10–4 = 3 . 10–4V ⇒ V = ––– m/s 0,3m/s
6 18 pois V2 e V1 são as variáveis da função estudada.
2) Z = n AcVc (04) VERDADEIRO.

5 V1 < V2 ⇒ p1 > p2 e a ventilação ocorre no sentido da
––– . 10–4 = n . 3 . 10–11 . 5 . 10–4 pressão maior para a menor.
6
Resposta: D
1011 100
n = –––– = –––– . 109 ⇒ n 6 . 109
18 18 20) B
Resposta: C
154
P2_Livro4_Ondas_Alelex_155a218 08/08/12 11:59 Página 155
CAPÍTULO
Ondas
1 REFLEXÃO E REFRAÇÃO
DE ONDAS
D ispositivos como o sonar e o radar

baseiam-se no fenômeno da reflexão de ondas. O
primeiro opera com ondas mecânicas – ultrassons
– e o segundo, com ondas eletromagnéticas –
radiofrequências.
Ambos os equipamentos emitem sinais que, depois
de refletidos em “alvos” específicos, retornam,
trazendo as informações desejadas. Já na refração, ondas de qualquer natureza, ao passarem de um meio
para outro, conservam sua frequência.
1. Reflexão
É o fenômeno pelo qual uma onda retorna ao meio
de origem, após incidência em superfície refletora.
Imagens produzidas pela reflexão de
Na figura abaixo, está ilustrada a reflexão de um trem ondas luminosas na superfície polida de
uma mesa.
de ondas retas que incidem sobre uma superfície plana.
Nas fotos acima, podemos observar a reflexão de pulsos retos que se propagam
na superfície da água de uma cuba de ondas e incidem numa barreira reta.
Deve-se observar que a frente de onda dos pulsos refletidos também é reta.
Além das frentes de onda incidente e refletida, desta- 2. Leis da reflexão

cam-se: 1.a lei: O raio incidente, a reta normal no ponto de in-
AI = raio incidente cidência e o raio refletido são coplanares (pertencentes
IB = raio refletido ao mesmo plano).
N = reta normal 2.a lei: O ângulo de reflexão é sempre igual ao ângu-
lo de incidência.
i = ângulo de incidência
r = ângulo de reflexão r=i
155
3. Propriedades da reflexão P.2.

A fase da onda pode variar ou não.
P.1. Na reflexão, a frequência, a velocidade de propa- 1.o Caso: Reflexão com inversão de fase.
gação e o comprimento de onda não se alteram. Um pulso que se propaga ao longo de um corda elás-
tica reflete-se com inversão de fase depois de incidir so-
bre uma parede de concreto.
Ocorre nas seguintes condições:

Ondas mecânicas – A rigidez e a inércia do meio de
destino são maiores que as do meio de origem.
Ondas eletromagnéticas – O meio de destino é
mais refringente que o meio de origem.
Obs.: Entenda-se por “meio de destino” como
aquele para onde a onda iria se não houvesse reflexão.
Nas figuras (a), (b) e (c) acima, está representada a reflexão de um trem de
pulsos retos que incidem sobre uma barreira também reta. Podemos verificar
a 2.a lei da reflexão utilizando a figura (b), na qual C2D2 = C1D1, já que o
comprimento de onda dos pulsos refletidos deve ser igual ao comprimento de
onda dos pulsos incidentes. Isso significa que, sendo o lado C2D1 comum, os
Na figura acima, estão representadas as etapas da reflexão com inversão
triângulos C2D1D2 e C1C2D1 são congruentes; logo, os ângulos ␪2 (ângulo de
de fase sofrida por um pulso que se propaga ao longo de uma corda elástica.
incidência) e ␪1 (ângulo de reflexão) são iguais.
156
Na figura acima, o pulso sofreu reflexão com inversão de fase.
A parede é mais rígida e inerte do que a mola, fazendo com que o pulso seja
refletido com inversão de fase.
2.o Caso: Reflexão sem inversão de fase.

Na figura acima, estão representadas as etapas da reflexão sem inversão
Um pulso que se propaga ao longo de uma corda de fase sofrida por um pulso que se propaga ao longo de uma corda elástica.
elástica reflete-se sem inversão de fase depois de incidir
sobre uma argola de peso desprezível que corre sem
atrito por uma haste vertical.
A mola da direita é menos inerte (tem menor massa) que a mola da esquerda.
Por isso, um pulso que se propaga ao longo da mola da esquerda sofre
Ocorre nas seguintes condições: reflexão sem inversão de fase depois de incidir na junção das duas molas.
Ondas mecânicas – A rigidez e a inércia do meio de
destino são menores que as do meio de origem. 4. Reflexão de um pulso circular
Ondas eletromagnéticas – O meio de destino é me- Consideremos um pulso circular propagando-se na
nos refringente que o meio de origem. superfície da água de uma cuba de ondas.
Ao incidir sobre uma das bordas planas da cuba, o
pulso sofrerá reflexão, conforme ilustra a figura abaixo.
Na figura acima, o pulso sofreu reflexão sem inversão de fase.
157
Devemos observar que os pontos O e O’ — que cor-

respondem, respectivamente, aos centros das frentes de
onda incidente e refletida — são simétricos em relação à
superfície refletora (borda da cuba).
O elemento receptor de um radiotelescópio é uma superfície

parabólica, sobre a qual incidem ondas de rádio provenientes
do espaço. Essas ondas são praticamente planas e, depois de serem
refletidas pela superfície parabólica, originam ondas esféricas que convergem
para o foco do sistema, onde está localizado o dispositivo detector dos sinais.
5. Reflexão do som –
reverberação e eco
O som no ar é constituído de ondas mecânicas longi-
tudinais que podem sofrer reflexão de acordo com as leis
e propriedades apresentadas no itens 2 e 3.
Admitamos que um homem esteja emitindo sons
diante de anteparos capazes de refletir as ondas sonoras.
Se um som refletido atingir o ouvido desse homem
depois de finda a percepção do som principal, ele ouvirá
dois sons separadamente, o direto e o refletido, o que ca-
racteriza o fenômeno do eco.
Nas figuras acima, podemos observar as etapas da reflexão de um trem de on-

das circulares que se propagam na superfície da água e incidem numa bar-
ECO: o som refletido é percebido depois que o som
reira reta. O ponto O’, simétrico do ponto O em relação à barreira, compor- direto já se extinguiu.
ta-se como “fonte” das ondas refletidas. Recordemos, ainda, que as ondas
refletidas têm comprimento de onda e velocidade de propagação iguais aos
das ondas incidentes.
É comum a percepção de ecos quando se grita em um
lugar rodeado por montanhas ou grandes edificações dis-
tantes.
Se, entretanto, um som refletido atingir o ouvido des-
se mesmo homem ainda durante a percepção do som
principal, ele terá a sensação de um “prolongamento” do
som, isto é, o som refletido dará continuidade ao som di-
reto, o que caracteriza o fenômeno da reverberação.
REVERBERAÇÃO: o som refletido é detectado

Nas fotos (A) e (B) acima, pulsos circulares produzidos no foco de uma ainda durante a percepção do som direto, pro-
barreira parabólica parcialmente imersa na água de uma cuba de ondas
transformam-se em pulsos retos depois de sofrerem reflexão. Destaquemos vocando uma sensação de prolongamento do som.
que, na foto (B), a propagação de todos os pulsos ocorre no sentido de se afas-
tarem da superfície parabólica, e que os pulsos circulares observados não
sofreram reflexão. Em ambientes amplos e vazios, como em grandes
igrejas, é comum a percepção da reverberação.
158
Eco ⇒ ⌬t ⭓ 0,10s
Considerando que o módulo da velocidade do som
Verifica-se que o ouvido humano normal percebe
no ar é igual a 340m/s (valor aproximado) e que as ondas
distintamente dois sons se o intervalo de tempo entre eles
sonoras que sofrem reflexão no anteparo percorrem uma
for de, no mínimo, um décimo de segundo.
distância 2d, calculemos d.
Admitamos que um homem, situado a uma distância
d de um anteparo refletor de ondas sonoras, emita um 2d
⌬t ⭓ 0,10 ⇒ –––––– ⭓ 0,10
forte som monossilábico. Vsom
O som reflete-se no anteparo e retorna ao homem, e,
2d
para que ele detecte um eco, o intervalo de tempo entre o ––––– ⭓ 0,10 ⇒ d ⭓ 17m
fim da percepção do som direto e a captação do som re- 340
fletido deve ser igual ou superior a 0,10s.
Para a percepção de um eco, a distância entre o ob-
servador que emite o som e o anteparo refletor das
ondas sonoras deve ser de 17m, no mínimo.
Os ultrassons são utilizados amplamente na medicina, como no caso do

acompanhamento pré-natal, permitindo ver imagens do feto num monitor ele-
trônico. Um emissor-receptor emite ultrassons que, refletidos pelos ossos e
músculos do feto, são captados de volta pelo aparelho, reproduzindo na tela
do monitor figuras ricas em detalhes e que permitem descobrir, inclusive, o
sexo do bebê.
1. No centro da superfície da água (ponto C) contida no recipiente Tendo-se obtido este dado, podemos construir a figura abaixo, na
indicado na figura, deixa-se cair uma pedrinha e, por isso, forma-se qual se mostra o aspecto da superfície da água 1,2s após o im-
uma onda que se propaga com velocidade de módulo 1,0m/s. pacto da pedrinha.
Pede-se esboçar o aspecto da superfície da água 1,2s após o im-

pacto da pedrinha. Admitir que a única perturbação que a água so-
fre é aquela proveniente da queda da pedrinha.
Resolução
Devido ao impacto da pedrinha na superfície da água, forma-se 2. (UNICAMP) – O menor intervalo de tempo entre dois sons per-
uma onda circular que, propagando-se, incide nas bordas do tan- cebidos pelo ouvido humano é de 0,10s. Considere uma pessoa
que, sofrendo reflexão. defronte a uma parede em um local onde a velocidade do som é
A frente das ondas refletidas também é circular. Em cada borda de 340m/s.
do tanque, forma-se uma onda circular, cujo centro é simétrico ao
centro da onda incidente (ponto C), tomando-se por referência a
borda considerada.
Calculemos a distância percorrida pela perturbação durante
⌬t = 1,2s.
d
V = ––– ⇒ d = V ⌬t = 1,0 . 1,2 ⇒ d = 1,2m
⌬t
159
a) Determine a distância x a que o eco é ouvido 3,0s após a emis- Resolução

são da voz. A distância percorrida por um ponto da frente de onda durante o
b) Determine a menor distância para que a pessoa possa distin- intervalo de tempo de 0,50s é D, calculada por:
guir a sua voz e o eco. D = V⌬t ⇒ D = 2,0 . 0,50 (m)
Resolução
a) O som propaga-se em movimento uniforme, e a distância x D = 1,0m
pode ser calculada por:
Esse comprimento corresponde à metade do comprimento da
diagonal da cuba.
x = Vsomt
De fato, por Pitágoras:
Sendo Vsom = 340m/s e t = 1,5s (observemos que o intervalo

de tempo gasto pelo som, para percorrer a distância x, é a
metade de 3,0s), vem:
x = 340 . 1,5 (m)
x = 510m
b) Neste caso, o intervalo de tempo de ida e volta do som à pa-

(2 )2 = x 2 + x 2 ⇒ x = 1,0m
rede deve ser de 0,10s.

⬖ x=D
2x’ = Vsom t’
No instante t1 = 0,50s, a metade esquerda do pulso, já refletida
2x’ = 340 . 0,10
na borda (I), está superposta à metade direita, já refletida na borda
(II). O pulso resultante é “vertical” e apresenta metade do
x’ = 17m
comprimento do pulso inicial.
Resposta: B
3. (MODELO ENEM) – Considere um pulso reto produzido no ins-
tante t0 = 0 na superfície da água contida numa cuba de ondas 4. (UFPE-MODELO ENEM) – O menor intervalo de tempo para que
quadrada, de bordas (I), (II), (III) e (IV), de comprimento
2 m cada o cérebro humano consiga distinguir dois sons que chegam ao
uma. ouvido é, em média, 100ms. Este fenômeno é chamado
O pulso tem extensão igual à diagonal da persistência auditiva. Qual a menor distância a que podemos ficar
cuba, conforme ilustra a figura. de um obstáculo para ouvir o eco de nossa voz? (Dado: velocidade
Se a velocidade de propagação do pulso do som no ar = 330m/s)
vale 2,0m/s, qual das opções melhor a) 16,5m b) 17,5m c) 18,5m d) 19,5m e) 20,5m
representa a superfície da água no ins- Resolução
tante t1 = 0,50s?
Condição para a ocorrência de eco: ⌬t ⭓ 100ms
2d 2d
––––– ⭓ 100(ms) ⇒ ––––– ⭓ 0,10
Vsom 330
d ⭓ 16,5m
Da qual: dmín = 16,5m
Resposta: A
160
5. A figura esquematiza um pulso propagando-se numa mola que

tem seus extremos fixos.
No instante t0 = 0, o pulso está na posição indicada.

Sabendo-se que no instante t1 = 10s o pulso está novamente na
posição inicial, tendo sofrido no intervalo de t0 a t1 três reflexões,
pede-se: 9. (FUVEST) – Ondas retas propagam-se na superfície da água com
a) fazer uma figura esquematizando o perfil da mola no instante velocidade de módulo igual a 1,4m/s e são refletidas por uma
t1 = 10s. parede plana vertical, na qual incidem sob o ângulo de 45°. No ins-
b) calcular o módulo da velocidade de propagação do pulso. tante t0 = 0, uma crista AB ocupa a posição indicada na figura.
6. Dois pulsos iguais propagam-se numa corda, com velocidades de

intensidade V, no mesmo sentido, conforme a figura, que retrata
o instante t0 = 0.
A distância do ponto em que se dá a primeira superposição à ex-

tremidade fixa é: a) Depois de quanto tempo essa crista atingirá o ponto P, após
a b a+b ser refletida na parede?
a) –– b) –– c) –––––– b) Esboce a configuração dessa crista quando passa por P.
2 2 2
b–a 10. (FUVEST-SP) – Em um grande tanque, uma haste vertical sobe e

d) –––––– e) b – a desce continuamente sobre a superfície da água, em um ponto P,
2
com frequência constante, gerando ondas, que são fotografadas
em diferentes instantes. A partir dessas fotos, podem ser cons-
7. No esquema, representa-se no instante t0 = 0 um pulso reto AB, de truídos esquemas, nos quais se representam as cristas (regiões
largura de 2,0m, que se propaga na superfície da água de um tanque de máxima amplitude) das ondas, que correspondem a círculos
com velocidade de módulo 50cm/s rumo a uma borda reta S. concêntricos com centro em P. Dois desses esquemas estão
apresentados a seguir, para um determinado instante t0 = 0s e
para outro instante posterior, t = 2s. Ao incidirem na borda do tan-
que, essas ondas são refletidas, voltando a se propagar pelo tan-
que, podendo ser vistas por causa de suas cristas. Considerando
tais esquemas:
Sabendo-se que M é o ponto médio de AB, represente o pulso

nos instantes:
a) t1 = 3,0s;
b) t2 = 5,0s.
8. (FUVEST) – Um canal de navegação de 4,0m de largura tem suas

comportas semiabertas, como está indicado na figura. Ondas retas
propagam-se na superfície da água do canal, com velocidade de
módulo igual a 2,0m/s. Considere uma crista AB, na posição
indicada na figura, no instante t = 0.
Esboce a configuração dessa crista depois de decorrido 1,5s,
indicando a distância, em metros, entre seus extremos A’ e B’,
nesta configuração (despreze efeitos de difração).
161
a) Estime a velocidade de propagação V, em m/s, das ondas

produzidas na superfície da água do tanque.
b) Estime a frequência f, em Hz, das ondas produzidas na
superfície da água do tanque.
c) Represente, na folha de respostas, as cristas das ondas que se-
riam vistas em uma foto obtida no instante t = 6,0s, incluindo
as ondas refletidas pela borda do tanque.
Represente no instante t1 = 0,50s o tanque e a frente de onda.

Indique no desenho as distâncias relevantes, de modo que a fren-
te de onda fique perfeitamente posicionada em relação às bordas
do tanque.
13. A figura representa, vista de cima, uma barreira parabólica de foco

F e vértice V inserta na água de uma cuba de ondas.
Nessa figura, já estão representadas as cristas das ondas visíveis

no instante t = 2,0s
NOTE E ADOTE:
Ondas, na superfície da água, refletidas por uma borda vertical No instante t0 = 0, uma pedrinha atinge a superfície da água em
e plana, propagam-se como se tivessem sua origem em uma F, gerando um pulso circular que se propaga com velocidade de
imagem da fonte, de forma semelhante à luz refletida por um módulo igual a 10cm/s.
espelho. Supondo que o segmento FV tenha comprimento 20cm, faça um
esquema mostrando a forma e a posição do pulso no instante
t1 = 4,0s.
11. A figura representa, vista de cima, uma piscina quadrada ABCD 14. (UFC-MODELO ENEM) – O ouvido humano percebe distintamen-
cujas bordas medem 6,0m de comprimento. te dois sons quando estes estão separados por um intervalo de
tempo mínimo de 0,10s. Uma pessoa emite um som breve e forte
que se reflete num anteparo situado a uma distância d. O mínimo
valor de d para que a pessoa perceba com distinção o eco é
Dado: módulo da velocidade do som no ar igual a 340m/s.
a) 85m b) 68m c) 51m d) 34m e) 17m
15. (POUSO ALEGRE-MODELO ENEM) – Um estudante bate em um

tambor a fim de ouvir o eco produzido nas paredes de um edifício
situado à distância d. Ele procura bater sucessivamente no
instrumento de modo que as batidas coincidam com o eco,
mantendo, então, o ritmo de batidas.
No instante t0 = 0, uma pedrinha atinge o ponto O da superfície

da água, o que provoca uma onda circular que se propaga com
velocidade de módulo 1,5m/s. Pede-se representar a onda no
instante t1 = 2,0s.
12. Considere um tanque em forma de triângulo equilátero de lado

6,0m e contendo água, conforme ilustra a figura.
Uma pedrinha atinge o ponto O, baricentro do triângulo, no instan-
te t0 = 0, provocando uma onda que se propaga com velocidade
de módulo igual a 4,0m/s.
162
Se ele conhecer os valores da distância d e do módulo da velocidade de propagação do som no ar, V, poderá deduzir que o valor da frequência
f das batidas do tambor é igual a:
a) V/d b) 2d/V c) 2V/d d) V/2d e) d/2V
16.
Um caminhão afasta-se de um emissor-receptor de pulsos sonoros. Em dado
instante, emite-se um pulso que se reflete no parachoque e na cabina do
caminhão, retornando, respectivamente, após 2,00s e 2,08s. Sendo de 13m
a distância entre o parachoque e a cabina, determine a velocidade do cami-
nhão.
Dado: módulo da velocidade do som no ar = 340m/s.
6. Refração Além das frentes de onda incidente e refratada, des-

tacam-se:
AI = raio incidente
IB = raio refratado
N = reta normal
i = ângulo de incidência
r = ângulo de refração
␭1 = comprimento de onda no meio (1)
V1 = velocidade de propagação no meio (1)
␭2 = comprimento de onda no meio (2)
V2 = velocidade de propagação no meio (2)
7. Índice absoluto de
refração de um meio
para uma onda eletromagnética
Imagens produzidas pela refração da luz através de um copo de
vidro preenchido com água.
É a grandeza adimensional n dada pela relação entre
o módulo da velocidade das ondas eletromagnéticas no
vácuo (c = 3,0 . 108m/s) e módulo da velocidade da onda
É o fenômeno pelo qual uma onda passa de um
no meio considerado (V).
meio para outro diferente.
c
n = –––
Na figura seguinte, está ilustrada a refração de um V
trem de ondas retas que passam de um meio (1) para ou-
tro (2). Observemos que, sendo V ⭐ c, temos n ⭓ 1. No
vácuo, n0 = 1.
8. Índice relativo
de refração entre dois
meios (1) e (2) transparentes
a uma onda eletromagnética
É a grandeza adimensional n2,1, dada pela relação
entre os índices absolutos de refração dos meios (1) e (2),
isto é:
n2
n2,1 = –––
n1
c c
Mas n2 = ––– e n1 = ––– . Logo:
V2 V1
163
c Ondas retas geradas na superfície da água da cuba

––– refratam-se da região 1 para a região 2.
n2 V2 n2 V1
n2,1 = ––– = ––––– ⇒ n2,1 = ––– = ––– Ao passarem de (1) para (2), as ondas têm a velo-
n1 c n1 V2 cidade de propagação e o comprimento de onda reduzi-
–––
V1 dos na mesma proporção, porém a frequência nas duas
regiões é a mesma.
Os módulos das velocidades de propagação da
onda nos meios (1) e (2) são inversamente propor-
cionais aos respectivos índices absolutos de refra-
ção desses meios.
9. Propriedades da refração
P.1. Na refração, a velocidade de propagação da
onda sempre se altera.
Nas duas figuras acima, representamos, vista de per-
n2 V1 fil (A) e vista de cima (B), a refração descrita, para a
Para ondas eletromagnéticas, como ––– = ––– ,
n1 V2 V1 ␭1
qual vale a relação: ––– = ––– .
quanto mais refringente for o meio (maior índice absolu- V2 ␭2
to de refração), menor será o módulo da velocidade de
propagação da onda nesse meio.
P.2. Na refração, a frequência da onda e a fase não

se alteram.
Meio (1): V1 = ␭1f V ␭1

⬖ –––1 = –––
Meio (2): V2 = ␭2f V2 ␭2
Os módulos das velocidades de propagação da onda

nos meios (1) e (2) são diretamente proporcionais aos Na figura acima, um garoto (A) conversa com seu amigo (B)
mergulhado numa piscina. As ondas sonoras refratam-se do ar
respectivos comprimentos de onda nesses meios. para a água e a voz de (A) será reconhecida por (B), o que demonstra que
a frequência da onda não se altera na passagem de um meio para o outro.
Na figura abaixo, está representado o corte de uma P.3. A onda refratada está sempre em concordân-
cuba de ondas, dotada de duas regiões: região 1 – pro-
funda, e região 2 – rasa. cia de fase com a onda incidente.
Na figura a seguir, esquematizamos a refração de um
pulso que passa de uma corda fina (1) para uma corda
grossa (2), ambas de mesmo material.
Para maior clareza, ignoramos, nesta ilustração, o
pulso refletido que certamente surge quando o pulso
incidente, que se propaga ao longo da corda (1), atinge a
junção das duas cordas.
164
Observemos que o pulso refratado, que se propaga 11. Dispersão da luz

ao longo da corda (2), está em concordância de fase
com o pulso incidente, já que ele está voltado para cima, É o fenômeno pelo qual a luz branca é decomposta
da mesma maneira que o pulso incidente. nas sete cores (frequências) fundamentais que a
O mesmo ocorre com as ondas eletromagnéticas. Na constituem: vermelho, alaranjado, amarelo, ver-
refração da luz, por exemplo, ao mudar de meio de pro- de, azul, anil e violeta.
pagação, ela conserva a fase.
A luz branca pode sofrer dispersão num prisma de vidro
10. Leis da refração imerso no ar, como está esquematizado na figura abaixo.
1.a lei:
O raio incidente, a reta normal no ponto de
incidência e o raio refratado são coplanares.
2.a lei: Lei de Snell-Descartes

Para uma mesma onda que se refrata de um meio (1)
para outro (2), é constante o quociente do seno do Os índices absolutos de refração do vidro crescem do vermelho para
ângulo de incidência pelo seno do ângulo de refração. o violeta, logo o violeta é a cor que sofre a maior variação de velocidade
na refração ar-vidro, apresentando, portanto, o maior desvio angular.
sen i n2 V1 ␭1 O vidro apresenta índices absolutos de refração dife-

––––– = n2,1 = ––– = ––– = –––
sen r n1 V2 ␭2 rentes para cada cor (frequência) componente da luz
branca. Esses índices de refração crescem com a frequên-
cia da cor e, por isso, o desvio angular na travessia do
prisma aumenta do vermelho para o violeta.
Nas figuras acima, representamos a refração da luz (fig. A) e do som (fig. B) do

ar (meio 1) para a água (meio 2). A luz diminui o módulo de sua velocidade,
aproximando-se da normal (se V2 < V1 ⇒ r < i). O som, entretanto, aumenta
o módulo de sua velocidade, afastando-se da normal (se V2 > V1 ⇒ r > i).
Dispersão da luz branca
em dois prismas de vidro.
12. Velocidade de
um pulso transversal
numa corda (ou mola) tensa
Consideremos uma corda (ou mola) de densidade li-
near ␳ submetida a uma força tensora de intensidade F.
Um pulso gerado na corda (ou mola) propaga-se com
A foto acima mostra ondas retas que se propagam na superfície da água de
velocidade V, conforme ilustra o esquema.
uma cuba de ondas, refratando-se de uma região profunda para uma região
rasa. No esquema ao lado da foto, podemos observar que, como o módulo de
sua velocidade de propagação diminui (V2 < V1), o mesmo ocorre com o com-
primento de onda (␭2 < ␭1). Podemos notar também que, na passagem da re-
gião profunda para a região rasa, o raio de onda (perpendicular às frentes de
onda) aproxima-se da normal à linha de separação das duas regiões (r < i).
165
Podemos relacionar V com F e ␳, conforme a equa-

ção abaixo, conhecida por Fórmula de Taylor.
V= –␳F–
Convém observar que a densidade linear ␳ traduz a
massa por unidade de comprimento. Na figura acima, um pulso, propagando-se ao longo de uma corda 1, incide
na junção desta corda com uma outra corda, 2, de densidade linear quatro
vezes maior, igualmente tensa. Parte da energia incidente é transmitida
m para a corda 2, sofrendo refração, e outra parte dessa mesma energia
␳ = ––– retorna à corda 1, sofrendo reflexão. Com base na Fórmula de Taylor,
L podemos afirmar que a velocidade do pulso transmitido é a metade da do

V1
pulso incidente V2 = ––– . Observemos, ainda, que a reflexão ocorre com
2
No SI, ␳ é medida em kg/m. inversão de fase e que a velocidade do pulso refletido tem intensidade igual
à do pulso incidente (V’
1
= V1).
17. Na figura, temos ondas propagando-se do meio (1) para o meio RI: raio incidente;
(2), representadas pelas frentes de onda. RR: raio refratado;
N: normal à superfície S, no ponto de incidência.
b) Da geometria da figura desenhada no item a, temos:

i = 30° (ângulo de incidência)
r = 45° (ângulo de refração)
c) Na refração, a frequência mantém-se ⇒ f2 = f1 = 200Hz
d) Pela Lei de Snell:
sen i V1 sen 30° 200 2 m/s

––––– = –––– ⇒ –––––––– = ––––––––––––
sen r V2 sen 45° V2
V2 = 400m/s
e) Como V1 = ␭1 f1:
Sabendo-se que a frequência e o módulo da velocidade de propa-
V1 200 2 m/s
gação das ondas no meio (1) são, respectivamente, iguais a 200Hz ␭1 = –––– ⇒ ␭1 = ––––––––––– ␭1 =
2 m
f1 200Hz
e 200
2 m/s, determinar
a) um raio de onda incidente e o correspondente raio refratado;
f) Como V2 = ␭2 f2 :
b) o ângulo de incidência e o ângulo de refração;
c) a frequência das ondas no meio (2); V2 400m/s
d) o módulo da velocidade de propagação das ondas no meio (2); ␭2 = –––– ⇒ ␭2 = ––––––––
f2 200Hz
e) o comprimento de onda das ondas no meio (1);
f) o comprimento de onda das ondas no meio (2).
Resolução ␭2 = 2m
a) O raio de onda é sempre perpendicular às frentes de onda em
cada meio. Respostas: a) ver figura b) i = 30° e r = 45°
c) f2 = 200 Hz d) V2 = 400m/s
e) ␭1 =
2m f) ␭2 = 2m
18. Considere duas cordas elásticas, A e B, de densidades lineares ␳A

e ␳B, tal que ␳A = 4␳B, emendadas e tracionadas com intensidade
constante. Um pulso triangular, propagando-se ao longo da corda A
com velocidade de intensidade 0,50m/s, incide na junção das duas
cordas, originando dois novos pulsos: um transmitido, que passa a
se propagar na corda B, e outro refletido, que volta a se propagar
na corda A. Supondo que a figura a seguir retrate o sistema no
instante t0 = 0, represente o perfil das cordas no instante t1 = 8,0s.
166
Resolução
(I) ERRADA.
(II) ERRADA. O período e a frequência da onda não se alteram na
refração.
(III) CORRETA. Equação fundamental da ondulatória:
Resolução V=␭f
D 1,0
(I) Pulso incidente: VA = –––1– ⇒ 0,50 = –––– ⇒ ⌬t1 = 2,0s Sendo f constante, V e ␭ são diretamente proporcionais.
⌬t1 ⌬t1
Como no ar a velocidade de propagação do som é a menor
(até a junção) entre as mencionadas, o mesmo ocorre com o respectivo
(II) Pulso refletido: mesma fase, mesma velocidade e mesma comprimento de onda.
largura. Var < Vágua < VAᐉ
D D Logo: ␭ar < ␭água < ␭Aᐉ
VA = –––2– ⇒ 0,50 = –––2– ⇒ D2 = 3,0m
⌬t2 6,0
Resposta: C
20. (UNIFESP-MODELO ENEM) – O gráfico da figura mostra uma

1 onda luminosa em dois meios com índices de refração diferentes.
F 4F
(III) Se ␳B = ––– ␳A ⇒ VB = ––– = –––– ⇒ VB = 2VA A interface que separa os meios encontra-se na coordenada
4 ␳B ␳A x = 0. O meio com índice de refração n1 = 1,0 ocupa a região
x < 0 e o meio com índice de refração n2 ocupa a região x > 0.
⬖ VB = 1,0m/s
(IV)Pulso transmitido: mesma fase, VB =1,0m/s e largura dife-

rente.
D D
VB = –––3– ⇒ 1,0 = –––3– ⇒ D3 = 6,0m
⌬t2 6,0
(V) Cálculo da largura do pulso transmitido:

L L L 2,0
TB = TA ⇒ –––B– = –––A– ⇒ –––B– = –––– Analisando o gráfico, é possível afirmar que o índice de refração
VB VA 1,0 0,50 n2 é
a) 2,0 b) 1,8 c) 1,5 d) 1,3 e) 1,2
LB = 4,0m Resolução
c c
I) Sabemos que n = –– ⇒ V = –– (1)
(VI) Perfil das cordas no instante t1 = 8,0s: V n
e que V = ␭ f (2)
c c
De (1) e (2): ␭f = –– ⇒ f = ––––
n n␭
II)
19. (PUC-SP-MODELO ENEM) – Observe na tabela a velocidade do

som ao se propagar por diferentes meios.
Meio Velocidade (m/s)
Ar (0°C, 1 atm) 331
Água (20°C) 1482
Alumínio 6420
Suponha uma onda sonora propagando-se no ar com frequência

de 300 Hz que, na sequência, penetre em um desses meios. Com Da figura ␭1 = 3 unid. e ␭2 = 2 unid.
base nisso, analise as seguintes afirmações:
I. Ao passar do ar para a água, o período da onda sonora dimi- III) Na refração do meio (1) para o meio (2), a frequência da onda
nuirá. não se altera, logo:
II. Ao passar do ar para a água, a frequência da onda aumentará c c
na mesma proporção do aumento de sua velocidade. f2 = f1 ⇒ –––––– = –––––– ⇒ n2 ␭2 = n1 ␭1
III. O comprimento da onda sonora propagando-se no ar será n1 ␭1 n2 ␭2
menor do que quando ela se propagar por qualquer um dos
outros meios apresentados na tabela. n2 2 = 1,0 . 3 ⇒ n2 = 1,5
Somente está correto o que se lê em
a) I b) II c) III d) I e II e) II e III Resposta: C
167
21. (PUC) – Uma explosão solar é observada na Terra 500s depois de 26. Na figura a seguir, estão representadas as frentes de uma onda pe-
produzida. Se o espaço entre a Terra e o Sol fosse constituído de riódica que se propaga na superfície da água contida em uma cuba
um meio de índice de refração igual a 2, o tempo decorrido entre de ondas, utilizada em laboratório. Entre as regiões (1) e (2), há
o instante da explosão e o de sua observação na Terra seria: diferença de profundidade da cuba, o que implica o fenômeno da re-
a) nulo; b) 1000s; c) 250s; d) 750s; fração. O módulo da velocidade da onda na região (1) é de 2,0m/s.
e) o mesmo, pois o que se observa na Terra é o barulho produ-
zido pela explosão, cuja velocidade de propagação não tem
nenhuma relação com o índice de refração do meio.
22. (IME) – A diferença entre os comprimentos de onda de um raio

luminoso no ar e em um meio de índice de refração 1,6 é de
3000Å. Qual o comprimento de onda no ar?
23. Um sonar, instalado na proa de um navio, está a uma altura h aci-

ma da superfície da água. Com o fim de detectar a profundidade
p do oceano num local específico, o aparelho emite um sinal num
determinado instante que a ele retorna t segundos após a emis-
são. V é o módulo da velocidade das ondas do sonar no ar,
v’ = bV é o módulo da velocidade das mesmas ondas na água e ␭
é o comprimento das ondas do sonar no ar. Supondo conhecidos
h, t, V, b (constante positiva) e ␭, calcule
a) a frequência das ondas do sonar na água;
b) a profundidade p do oceano. a) Qual a frequência da onda nas regiões (1) e (2)?
b) Qual o módulo da velocidade da onda na região (2)?
24. Uma luz monocromática propagando-se no vácuo, com um com-
primento de onda ␭ = 6 000Å (1Å = 10–10m), incide sobre um vidro
de índice de refração absoluto n = 1,5 para este comprimento de 27. (UNESP) – Uma onda plana de frequência f = 20Hz, propagando-se
onda. (Considere o módulo da velocidade da luz no vácuo como com velocidade v1 = 340m/s no meio 1, refrata-se ao incidir na
sendo de 300 000km/s.) superfície de separação entre o meio 1 e o meio 2, como indicado
Determine na figura.
a) a frequência da luz no interior do vidro;
b) o módulo da velocidade de propagação e o comprimento de
onda da luz no interior do vidro.
25. (MODELO ENEM) – Considere um feixe de luz monocromática

proveniente do vácuo incidindo normalmente sobre a superfície
plana de um bloco de vidro de índice de refração absoluto 1,5.
Uma parcela da luz incidente é refletida, retornando para o vácuo,
enquanto outra parcela é refratada, passando a propagar-se no
vidro.
No diagrama abaixo, o ponto P caracteriza a luz incidente, cujo
sentido de propagação foi adotado como positivo.
Sabendo-se que as frentes de onda plana incidente e refratada

formam, com a superfície de separação, ângulos de 30° e 45°,
respectivamente, determine, utilizando a tabela seguinte,
␪ sen ␪ cos ␪
30° 1/2
3/2
45°
2/2
2/2
60°
3/2 1/2
Dos pontos numerados de I a IV, os que caracterizam, respectiva- a) a velocidade v2 da onda refratada no meio 2;
mente, a luz refletida e a luz refratada são: b) o comprimento de onda ␭2 da onda refratada no meio 2.
a) I e III b) II e III c) I e IV d) II e IV e) III e IV
168
28. O esquema abaixo representa, visto de cima, a superfície da água Cada frequência do espectro da luz branca sofre um desvio dife-
de uma cuba de ondas. Na região 1 (maior profundidade), são rente na travessia do prisma, permitindo a obtenção de um feixe
geradas ondas retas, que passam para a região 2 (menor profun- policromático no qual se distinguem as cores fundamentais pre-
didade). sentes, também, num arco-íris. A respeito do fenômeno da
dispersão da luz no prisma, analise as alternativas abaixo e aponte
a correta:
a) A cor que mais se desvia é a violeta, pois ao refratar-se do ar
para o vidro, sofre menor variação de velocidade de propaga-
ção que as demais cores.
b) A cor que menos se desvia é a violeta, pois ao refratar-se do
ar para o vidro e do vidro para o ar, sofre maior variação no
comprimento de onda que as demais cores.
c) O diferente desvio sofrido por cada uma das cores componen-
tes do espectro da luz branca é determinado pelo índice de
refração que o vidro apresenta para cada frequência, isto é,
para a luz violeta ele apresenta maior índice de refração que
Sabendo-se que na região 1 o comprimento de onda e o módulo da para a luz vermelha.
velocidade das ondas valem, respectivamente, 10cm e 20cm/s, de- d) Na travessia do prisma, a cor de maior frequência sofre o me-
terminar nor desvio, enquanto a cor de menor frequência sofre o maior
a) a frequência das ondas nas regiões 1 e 2; desvio.
b) o comprimento de onda e o módulo da velocidade das ondas e) O desvio sofrido por cada uma das cores componentes do es-
na região 2. pectro da luz branca é determinado pela variação de
(Considerar, se necessário, sen 53° = 0,80 e sen 37° = 0,60.) frequência que cada uma delas sofre na refração do ar para o
vidro e do vidro para o ar.
29. (PUC)
31. (UFC) – A figura abaixo representa a evolução temporal de um
pulso em uma corda composta de duas partes, uma de densida-
de linear d1 e outra de densidade linear d2, sujeitas a uma mesma
tensão T. L1 e L2 são as distâncias percorridas pelos pulsos refle-
tido e transmitido, respectivamente, a partir da junção entre as
partes da corda. Podemos, então, afirmar que a razão d1/d2 em
termos de L1 e L2 é igual a:
a) Uma onda sonora e uma onda luminosa monocromática, após

se propagarem no ar, sofrem refração ao passarem do ar para
o vidro. Esquematize as trajetórias no vidro, justificando.
b) Se a onda sonora tiver frequência de 1,0kHz, qual será seu
comprimento de onda no vidro? Ela continuará, nesse meio, a
ser uma onda sonora? Justifique.
Dados: Vsom = 5000m/s Vsom = 340m/s

vidro ar(15°C)
a)
L2/L1 b) L2/L1 c) (L2/L1)2
30. (MODELO ENEM) – Um dos discos clássicos do rock, o álbum
The Dark Side of the Moon, do grupo inglês Pink Floyd, lançado d) L2/ (L1 + L2) e) [L2/ (L1 + L2)]2
em 1973, traz em sua capa uma bonita figura da luz branca sendo
decomposta em um prisma óptico, o que caracteriza o fenômeno 32. Considere duas cordas elásticas, A e B, de densidades lineares
da dispersão. Pelo que se conclui da ilustração, o prisma é de respectivamente iguais a ␳A e ␳B, com ␳B = 4␳A, emendadas
vidro (ou de material semelhante) e está imerso no ar. sequencialmente, conforme ilustra o esquema, e tracionadas por
uma força de intensidade constante. Um pulso triangular,
propagando-se ao longo da corda A com velocidade de módulo
igual a 2,0m/s, incide na emenda com a corda B, originando dois
novos pulsos: um transmitido e outro refletido. Supondo que o
esquema retrate o instante t0 = 0, pede-se representar o perfil das
cordas no instante t1 = 3,0s.
169
5) a) c) 14) E 15) D 16) 54km/h
21) B 22) 8 000Å

V
23) a) –––
␭
b (Vt – 2h)
b) p = ––––––––––
b) 4,0m/s 2
6) B 24) a) 5,0 . 1014Hz

b) 2,0 . 108m/s e 4 000Å
7) a)
25) C
26) a) 20 Hz
b) 1,0m/s
27) a) 340
2 m/s
11) b) 17
2m
28) a) 2,0 Hz
b) 7,5cm e 15cm/s
b) 29) a)
A luz aproxima-se
12)
da normal, porque
diminui de velocidade.
8)
O som afasta-se
13)
9) a) Aproximadamente 2,0s. da normal, porque
b) aumenta de velocidade.
b) 5,0m. Sim, pois, na refração do ar
para o vidro, a frequência da onda
não se altera.
30) C 31) C
32)
10) a)V = 0,30m/s

b) f = 0,50Hz
170
CAPÍTULO
Ondas
2 INTERFERÊNCIA
DE ONDAS
R uído mais ruído pode ser igual a silêncio. Tal

fenômeno baseia-se na interferência de ondas. Neste caso,
ondas iguais em oposição de fase anulam-se ao serem
superpostas. Sinais ondulatórios também podem ser
significativamente amplificados, como ocorre com o
laser. Aí, ondas luminosas de mesma frequência se
superpõem em concordância de fase, produzindo feixes de
grande energia, com aplicação na indústria e na
medicina.
1. O fenômeno recepção radiofônica ou mesmo se consegue completar

uma ligação pelo telefone celular. As ondas que por lá se
Ocorre interferência quando há superposição de propagam interferem umas nas outras, dificultando as
ondas de mesma natureza se propagando num comunicações.
mesmo meio.
2. Independência da
Na foto a seguir, ondas circulares que se propagam propagação ondulatória
na superfície da água de uma cuba de ondas se super- Pode ser verificado experimentalmente que, após a
põem, determinando o fenômeno da interferência. interferência (superposição), cada onda segue sua propa-
gação como se nada tivesse ocorrido; as ondas pro-
pagam-se independentemente, apresentando as mesmas
características depois de eventuais superposições.
Interferência de ondas na superfície da água.

Na ilustração acima, os feixes luminosos monocromáticos provenientes dos
Em locais em que há grande saturação de ondas holofotes A e B se cruzam e, na região do cruzamento, ocorre o fenômeno da
interferência. Verifica-se que, depois dessa região, os feixes prosseguem com
eletromagnéticas, como na Av. Paulista, em São Paulo, suas cores (frequências) originais, o que confirma a independência da
por exemplo, são raros os locais onde se obtém uma boa propagação ondulatória.
171
Observemos que, no instante da superposição (interfe-

rência), os pulsos se reforçam, gerando um pulso resultante
de amplitude A = A1 + A2.
Depois da superposição, entretanto, cada pulso segue
sua propagação, mantendo suas características iniciais.
A luz branca, como a emitida por uma lanterna comum, por exemplo, consiste
de uma mistura de ondas de diferentes frequências (cores), defasadas alea-
Na ilustração acima, dois pulsos de mesma largura, em oposição de fase,
toriamente, como ilustra a figura acima. A luz emitida por uma fonte laser,
percorrem uma corda em sentidos opostos, sem dissipação da energia das
entretanto, é coerente, isto é, todas as ondas “andam juntas”, em concor-
ondas. No instante t = 0s, os pulsos se superpõem (interferência), fazendo com
dância de fase, e isso provoca interferência construtiva entre elas. Desta ma-
que a corda se apresente retilínea nesse instante. Logo após a superposição,
neira, produzem-se feixes luminosos resultantes de altíssimas intensidades,
entretanto, os pulsos “renascem”, continuando sua propagação, preservando
que têm direção de propagação perfeitamente definida e que, por isso, se pres-
suas características originais, como se nada tivesse ocorrido.
tam a tarefas que envolvem precisão. Modernamente, a luz laser tem vasta
utilização prática, como na medicina e na indústria.
Retomemos a corda e os pulsos referidos anteriormente.

Supondo, agora, que os pulsos estejam em oposição de
Na figura acima, as setas verticais caracterizam a intensidade (aproxi- fase, poderemos observar as três situações ilustradas a
madamente) e o sentido das velocidades dos pontos da corda no instante da seguir.
superposição (interferência) dos pulsos (t = 0s). Devemos observar que, em-
bora a corda esteja retilínea nesse instante, seus pontos estão em movimento,
manifestando exclusivamente energia cinética, já que a energia potencial
elástica é nula, uma vez que não há deformação.
3. Tipos
particulares de interferência
Consideremos uma corda elástica e não dispersiva,

na qual se propagam dois pulsos de mesma largura L,
porém de amplitudes A1 e A2, respectivamente.
Supondo que os pulsos estejam em concordância de
fase, poderemos observar as três situações ilustradas a
seguir:
172
Observemos que, no instante da superposição (inter- Isso provocará a formação de ondas circulares, de
ferência), os pulsos se subtraem ("anulamento"), gerando mesma frequência e amplitude, que, durante a sua propa-
um pulso resultante de amplitude A = A2 – A1 (A2 > A1). gação, se superporão, determinando o fenômeno da
interferência.
Como no caso anterior, depois da superposição, cada
pulso segue sua propagação, mantendo suas caracterís- Em alguns locais, haverá superposição de duas cris-
ticas iniciais. tas e a interferência será construtiva, com a crista resul-
tante apresentando amplitude duas vezes maior do que a
4. Interferência de ondas circulares das cristas parciais.
na superfície da água
Um pequeno objeto, batendo periodicamente num
mesmo ponto da superfície tranquila da água de uma
cuba de ondas, provoca um trem de ondas circulares,
concêntricas com o local dos impactos, como ilustra a
perspectiva a seguir, em que evidenciamos um corte no
qual podem ser observados cristas e vales.
Superposição de cristas: interferência construtiva.
Em outros locais, entretanto, haverá superposição de

dois vales e a interferência também será construtiva,
com o vale resultante apresentando amplitude duas vezes
maior do que a dos vales parciais.
Superposição de vales: interferência construtiva.
Admitamos, agora, que dois estiletes, A e B, batam

em concordância de fase (quando A bate, B também Haverá locais, porém, em que se superporão uma
bate), com a mesma frequência e com a mesma intensi- crista e um vale. Nesses pontos, a interferência será des-
dade em dois pontos próximos da superfície tranquila da trutiva e os pontos da superfície da água se apresentarão
água de um tanque, como sugere a ilustração a seguir. no nível de equilíbrio.
Superposição de uma crista com um vale: interferência destrutiva.
173
No esquema acima, temos uma vista de cima da superfície da água do tanque num
determinado instante. As bolinhas cheias ( ) caracterizam locais em que há superposição
de duas cristas (interferência construtiva), as bolinhas vazias ( ) caracterizam locais
em que há superposição de dois vales (interferência construtiva) e as bolinhas se-
micheias ( ) caracterizam locais em que há superposição de uma crista com um vale
(interferência destrutiva).
Convém observar que, ao longo das linhas designadas com a letra A, a interferência
A foto acima ilustra a situação
é sempre construtiva (bolinhas cheias e bolinhas vazias) – são as linhas antinodais –, descrita. Nela, podemos observar
enquanto, ao longo das linhas designadas com a letra N, a interferência é sempre algumas linhas antinodais e nodais.
É interessante notar a figura
destrutiva (bolinhas semicheias) – são as linhas nodais. simétrica que essa situação provoca.
1. Na figura, temos dois pulsos que se propagam nas direções e Resolução

sentidos indicados, num meio conservativo. a) Do instante t0 = 0 até o instante t = 4s, os pulsos deslocam-
se de quatro divisões do eixo 0x, ficando os dois compreen-
didos entre: x = 6cm e x = 10cm.
Os pulsos estarão em concordância de fase, o que provocará
a ocorrência de interferência construtiva.
b)
Os pulsos ocupam as posições observadas na figura, no instante

t0 = 0.
Os dois pulsos propagam-se com velocidades de módulos iguais
a 1cm/s.
a) Que tipo de interferência ocorrerá no instante t = 4s?
c) Do instante t = 4s até o instante t = 5s, cada pulso se deslo-
b) Fazer uma figura mostrando os dois pulsos e o pulso resultan-
cará de uma divisão do eixo 0x.
te no instante t = 4s. Assim, em t = 5s, o pulso A estará compreendido entre
c) Fazer uma figura mostrando os dois pulsos e o pulso resultan- x = 7cm e x = 11cm e o pulso B, entre x = 5cm e x = 9cm.
te em t = 5s.
174
Resolução
No local onde flutua a boia, ocorre o fenômeno de interferência
entre as ondas provenientes das hastes A e B. Durante um perío-
do (T) dessas ondas, acontecem duas interferências construtivas
(reforços) em P: uma em que a boia apresenta máxima elongação
positiva (superposição de duas cristas das ondas de A e B) e outra
em que a boia apresenta máxima elongação negativa
(superposição de dois vales das ondas de A e B). O gráfico do
deslocamento vertical y da boia, em relação ao nível médio da
água, em função do tempo t, está mais bem caracterizado na
alternativa e.
2. Duas ondas periódicas senoidais, A e B, superpõem-se, conforme

representa o esquema.
Resposta: E
4. (UNESP-MODELO ENEM) – A figura mostra um fenômeno

Esboce a onda resultante da superposição. ondulatório produzido em um dispositivo de demonstração
Resolução chamado tanque de ondas, que neste caso são geradas por dois
A perturbação total provocada num determinado ponto é dada pe- martelinhos que batem simultaneamente na superfície da água
la soma algébrica das perturbações parcias provocadas pelas 360 vezes por minuto. Sabe-se que a distância entre dois círculos
ondas A e B. consecutivos das ondas geradas é 3,0 cm.
Na figura abaixo, está esboçada a onda resultante da superpo-
sição de A e B.
Pode-se afirmar que o fenômeno produzido é a

a) interferência entre duas ondas circulares que se propagam
com velocidade de 18 cm/s.
b) interferência entre duas ondas circulares que se propagam
3. (FUVEST-MODELO ENEM) – Duas hastes, com velocidade de 9,0 cm/s.
A e B, movendo-se verticalmente, produ- c) interferência entre duas ondas circulares que se propagam
zem ondas em fase, que se propagam na com velocidade de 2,0 cm/s.
superfície da água, com mesma frequência f d) difração de ondas circulares que se propagam com velocidade
e período T, conforme a figura. de 18cm/s.
No ponto P, ponto médio do segmento AB, e) difração de ondas circulares que se propagam com velocidade
uma boia sente o efeito das duas ondas e se de 2,0 cm/s.
movimenta para cima e para baixo. O gráfico Resolução
que poderia representar o deslocamento Os martelinhos ao colidirem com a superfície da água produzem
vertical y da boia, em relação ao nível médio da água, em função ondas circulares que, ao se superporem, determinam o fenômeno
do tempo t, é denominado interferência.
(I) A frequência das ondas é:
360
f = –––– Hz ⇒ f = 6,0 Hz
60
(II) O comprimento de onda é a distância entre duas cristas

consecutivas. No caso:
␭ = 3,0 cm
(III) Equação fundamental da ondulatória:
V=␭f
V = 3,0 . 6,0 (cm/s) ⇒ V = 18 cm/s

Resposta: A
175
5. Numa mesma corda homo- Esboçar a forma da corda:

gênea, flexível e não absor- a) no instante t = 1s;
vedora de energia, são ge- b) no instante t = 2s.
rados os pulsos (1) e (2) que
se propagam conforme re- 9. Em duas cordas idênticas, propagam-se duas ondas senoidais de
presenta o esquema. igual período T e comprimento de onda ␭. Diante de uma mesma
Analise as proposições a seguir: câmara fotográfica, fotografam-se simultaneamente trechos das
(01) Quando os pulsos se superpõem, ocorre interferência destru- cordas, de comprimentos iguais ao comprimento de onda ␭. Os
tiva. esquemas abaixo representam as fotografias obtidas nos instan-
(02) Quando os pulsos se superpõem, forma-se um pulso único tes t1 = 0 e t2 = T/4.
de amplitude 2a e largura b.
(04) Logo após a superposição dos pulsos, a corda apresenta-se
retilínea.
(08) Logo após a superposição dos pulsos, há retorno destes, isto
é, cada qual inverte o sentido do seu movimento.
(16) Logo após a superposição dos pulsos, estes continuam sua
propagação, mantendo o sentido, a largura e a amplitude ori-
ginais.
Dê como resposta a soma dos números associados às proposi-
ções corretas.
6. Por uma corda elástica e não absorvedora de energia, propagam-se
dois pulsos triangulares (1) e (2) em oposição de fase, conforme
indica a figura.
a) Em que sentido se propagam as ondas em cada corda?

b) Representar as ondas nos instantes t3 = 2T/4 e t4 = 3T/4.
c) Se ocorresse a superposição das duas ondas na mesma cor-
Analise as proposições a seguir: da, como seria representada a onda resultante nos instantes
(01) Ao se propagarem, os pulsos interferem construtivamente. t1, t2, t3 e t4? Faça as representações no local destinado a elas
(02) No instante em que os pulsos se superpõem perfeitamente, na figura anterior.
a corda apresenta-se retilínea.
(04) No instante em que os pulsos se superpõem perfeitamente, 10. (FUVEST) – A figura representa, no instante t0 = 0s, a forma de
a velocidade dos pontos da corda na região da superposição uma corda esticada e presa entre duas paredes fixas, na qual dois
é nula. pulsos (I e II) se propagam, sem mudar de forma, com veloci-
(08) Logo após a superposição, notam-se os pulsos (1) e (2) com dades de módulo V = 4m/s nos sentidos indicados. Não há dissi-
suas características originais, movendo-se para a direita e pa- pação de energia na corda. Considere quatro pontos da corda, de-
ra a esquerda, respectivamente. finidos por suas coordenadas x:
(16) Logo após a superposição, a corda apresenta-se retilínea. A (xA = 7m), B (xB = 9m), C (xC = 11m) e D (xD = 13m)
Dê como resposta a soma dos números associados às propo-
sições corretas.
7. Dois pulsos iguais propagam-se ao longo de uma corda ideal com

velocidade de módulo V. A figura mostra a situação inicial dos
pulsos no instante t0 = 0.
a) Indique por meio de setas (↑ ou ↓) os sentidos das velocida-

des na direção do eixo y, dos pontos A e B, no instante
t0 = 0s. Se alguma dessas velocidades for nula, escreva
“nula”, identificando-a.
Determine
b) Determine o valor do módulo da velocidade na direção do eixo
a) o tipo de interferência (construtiva ou destrutiva) que resul-
y, do ponto A, no instante t0 = 0s.
tará da superposição dos dois pulsos;
c) Desenhe a forma da corda no instante t = 1s. Indique por meio
b) a que distância x da extremidade fixa ocorrerá a superposição
de setas os sentidos das velocidades na direção do eixo y, dos
dos pulsos;
pontos C e D. Se alguma dessas velocidades for nula, escreva
c) em que instante t ocorrerá a superposição dos pulsos.
“nula”, identificando-a.
8. (UNICAMP) – A figura representa dois pulsos transversais de
mesma forma, que se propagam em sentidos opostos, ao longo 11. (UFF-MODELO ENEM) – Considere dois pulsos triangulares que
de uma corda ideal, longa e esticada. No instante t = 0, os pulsos se movem em um meio material, com certa velocidade, um em
encontram-se nas posições indicadas. direção ao outro. Os deslocamentos dos pontos do meio, em três
instantes distintos, estão representados na sequência de gráficos:
176
Pode-se afirmar que a sequência de gráficos das velocidades dos

pontos em função da posição x que melhor corresponde à se-
quência anterior de gráficos é:
14. (MODELO ENEM) – A figura abaixo representa as ondas produ-

zidas por duas fontes F e G,
que vibram na superfície de
um líquido. X, Y e Z são
pontos da superfície do líqui-
do. As circunferências indi-
cam cristas. Considere que na
região indicada não há amor-
tecimento das ondas.
Se x, y e z são as amplitudes
de vibração da água nos pontos X, Y e Z, qual das seguintes
relações está correta?
a) x = y = z b) x > y > z c) x = y > z
d) x < z e x < y e) x < y < z
15. (MODELO ENEM) – Um pulso triangular propaga-se ao longo de

uma corda elástica e não absorvedora com velocidade de
intensidade 2,0m/s, conforme indica a figura que retrata o
instante t0 = 0.
12. (MODELO ENEM) – Dois pulsos triangulares, P1 e P2, propagam-se

ao longo de uma corda horizontal, elástica e não absorvedora da
energia dos pulsos, conforme ilustra o esquema. Qual das configurações abaixo melhor representa o perfil da corda
no instante t1 = 3,0s?
No instante em que os picos de P1 e de P2 estiverem alinhados

segundo a mesma vertical, o perfil da corda fica representado por:
13. (FATES) – As ondas I e II, representadas a seguir, têm frequên-

cias diferentes.
Fazendo a superposição da onda I com a onda II, teremos uma

onda resultante com a forma aproximada daquela mostrada em:
177
5. Cálculo da defasagem total

⌬␸2 = n␲
de duas ondas num ponto P
Na situação esquematizada, F1 e F2 representam n = número de reflexões com inversão de fase.
duas fontes que emitem ondas de frequências iguais a f
1 A defasagem total das ondas no ponto P (⌬␸P) ficará,

período T = –– e comprimento de onda ␭, que, depois
f
então, dada por:
de percorrerem respectivamente as distâncias x1 e x2, ⌬␸P = ⌬␸0 + ⌬␸1 + ⌬␸2 ou

atingem o ponto P, onde sofrem interferência.
⌬t ⌬x
⌬␸P = ––– 2 ␲ + ––– 2␲ + n ␲
T ␭
Para que no ponto P ocorra interferência construtiva

(IC), a defasagem das ondas que lá chegam deve ser múl-
tipla par de ␲ rad.
(IC) ⇒ ⌬␸P = 2k␲

Ao atingirem o ponto P, as ondas podem estar defa-
sadas, sendo três os principais motivos de defasagem:
(k = 0, 1, 2, 3...)
(I) Defasagem inicial (⌬␸0): uma fonte entra em
operação primeiro que a outra. Para que no ponto P ocorra interferência destrutiva
Observemos que, se o intervalo de tempo entre as (ID), a defasagem das ondas que lá chegam deve ser múl-
partidas das ondas for igual a um período (T), a defasa- tipla ímpar de ␲ rad.
gem angular entre elas será de 2␲rad. Assim, temos a re-
(ID) ⇒ ⌬␸P = (2k + 1) ␲
gra de três:
T ––––––– 2␲ rad
(k = 0, 1, 2, 3...)
⌬t ––––––– ⌬␸0
Sendo ⌬x a diferença de percursos entre duas
⌬t ondas de mesma frequência que atingem um ponto
Da qual: ⌬␸0 = –––– 2␲ P do meio de propagação e ␭ o comprimento de on-
T
da, supondo que não ocorram reflexões com inversão
de fase, podemos trabalhar também com as
(II) Defasagem por diferença de percursos (⌬␸1):
seguintes condições particulares:
as ondas de uma fonte percorrem até o ponto P
uma distância maior que a percorrida pelas
(I) Fontes em Concordância de Fase (defasagem
ondas da outra fonte.
inicial nula)
Observemos que, se no trajeto das fontes até o ponto
Interferência Construtiva em P:
P, uma das ondas percorrer um comprimento de onda (␭)
a mais do que a outra, a defasagem angular entre as duas ␭
será de 2␲ rad. Assim, temos a regra de três: ⌬x = p –––
2
␭ ––––––– 2␲ rad
⌬x ––––––– ⌬␸1 (p = 0, 2, 4, 6...)
Interferência Destrutiva em P:
⌬x
Da qual: ⌬␸1 = –––– 2␲ ␭
␭ ⌬x = i –––
2
(III) Defasagem por reflexões com inversão de
(i = 1, 3, 5...)
fase (⌬␸2): cada reflexão com inversão de fa-
(II) Fontes em Oposição de Fase (defesagem ini-
se que uma das ondas sofrer, no seu trajeto até
cial igual a ␲ rad):
o ponto P, acrescentará uma defasagem de
␲ rad. Logo: As condições anteriores se invertem.
178
16. Dois estiletes, E1 e E2, vibram verticalmente, executando mo- 17. (FUVEST) – Duas fontes sonoras, F1 e F2, estão inicialmente se-
vimentos harmônicos simples, de frequências iguais. Suas extre- paradas de 2,5m. Dois observadores, A e B, estão distantes 10m da
midades colidem com a superfície da água de um lago, provo- fonte F1, sendo que o observador A está no eixo x e o observador B
cando ondas de amplitudes iguais que se propagam sem amor- no eixo y, conforme indica a figura. As duas fontes estão em fase e
tecimento, com velocidade de módulo igual a 10m/s. emitem som numa frequência fixa f = 170Hz. Num dado instante, a
fonte F2 começa a se deslocar lentamente ao longo do eixo x,
afastando-se da fonte F1. Com este deslocamento, os dois obser-
vadores detectam uma variação periódica na intensidade do som
resultante das duas fontes, passando por máximos e mínimos con-
secutivos de intensidade. Sabe-se que o módulo da velocidade do
som é 340m/s nas condições do experimento.
Sabendo-se que os estiletes vibram em oposição de fase, calcule

a menor frequência de suas oscilações para que no ponto P indi-
cado se observe
a) reforço das ondas que se superpõem;
b) anulamento das ondas que se superpõem.
Resolução
A defasagem total das ondas que atingem o ponto P é composta
de duas parcelas: a primeira (⌬␸1) é a defasagem devida à dife-
rença de percursos e a segunda (⌬␸2) é a defasagem motivada
pelo fato de E1 e E2 vibrarem em oposição de fase. Levando em conta a posição inicial das fontes, determine
a) a separação La entre as fontes para a qual o observador A de-
tecta o primeiro mínimo de intensidade;
⌬␸P = ⌬␸1 + ⌬␸2
b) a separação Lb entre as fontes para a qual o observador B de-
tecta o primeiro máximo de intensidade.
Tem-se que: Resolução
Calculemos, inicialmente, o comprimento de onda ␭ emitido por
2␲ 2␲ ␲
⌬␸1 = ––– ⌬x = ––––– (3,0 – 2,0) = ––– f F1 e F2.
␭ 10/f 5
Assim: V = ␭ f ⇒ 340 = ␭ 170 ⇒ ␭ = 2,0m
␲
⌬␸1 = ––– f e ⌬␸2 = ␲ rad
5 a) Para que o observador A detecte mínimos de intensidade, as
Logo: ondas provenientes de F1 e F2 que atingem A devem sofrer
INTERFERÊNCIA DESTRUTIVA e, para que isso ocorra, a di-
␲ ferença de percursos entre elas (⌬xa) deve ser múltipla ímpar
⌬␸P = ––– f + ␲ (I)
5 de meio comprimento de onda.
␭
⌬xa = i ––– (i = 1, 3, 5...)
a) Para a ocorrência de reforço (IC) em P: 2
⌬␸P = 2 k ␲ (II) (k = 0, 1, 2, ...) A solução para i = 1 não convém, pois, neste caso,
⌬xa = 1,0m. Observemos que ⌬xa > 2,5m.
De (I) e (II):
␲ Para i = 3, temos:
––– f + ␲ = 2k ␲
5
2,0
f = (2k – 1) 5 ⇒ fmín = 5,0Hz ⌬xa = 3 –––– (m) ⇒ ⌬xa = 3,0m
2
(k = 1)
b) Para a ocorrência de anulamento (ID) em P: O comprimento ⌬xa é a separação entre as fontes (La).
⌬␸P = (2k + 1) ␲ (III) (k = 0, 1, 2 ...) La = ⌬xa ⇒ La = 3,0m
De (I) e (III): b) Para que o observador B detecte máximos de intensidade, as

␲ ondas provenientes de F1 e F2 que atingem B devem sofrer
––– f + ␲ = (2k + 1) ␲ INTERFERÊNCIA CONSTRUTIVA e, para que isso ocorra, a
5
diferença de percursos entre elas (⌬xb) deve ser múltipla par
f = 10k ⇒ fmín = 10Hz (k = 1) de meio comprimento de onda.
␭
Respostas: a) 5,0Hz ⌬xb = p ––– (p = 0, 2, 4...)
b) 10Hz 2
179
A solução para p = 0 não convém, pois, neste caso, F1 estaria

superposta a F2.
2,0
Para p = 2, vem: ⌬xb = 2 –––– (m) ⇒ ⌬xb = 2,0m
2
O esquema a seguir ilustra a situação para p = 2.
Pode-se então afirmar que a menor distância não nula, tomada a

partir de F2, ao longo do eixo x, para a qual ocorre interferência
construtiva, é igual a
a) 4␭ / 5 b) 5␭ / 4 c) 3␭ / 2 d) 2␭ e) 4␭
Resolução
Aplicando o Teorema de Pitágoras, calculamos a separação en-

tre as fontes, Lb.
(12)2 = (10)2 + L2
b
Lb 6,6m
Respostas: a) 3,0m
b) 6,6m
18. (UFMG-MODELO ENEM) – Em uma loja de instrumentos musi-

cais, dois alto-falantes estão ligados a um mesmo amplificador e Para que no ponto O ocorra interferência construtiva (reforço)
este, a um microfone. Inicialmente, esses alto-falantes estão um entre os sons provenientes de F1 e F2 , a diferença de percursos
ao lado do outro, como representado, esquematicamente, nesta ⌬x = F1O – F2O deve ser um múltiplo par de meio comprimento
figura, vistos de cima: de onda.
␭
⌬x = p –– , com p = 2; 4; 6...
2
␭ ␭
Logo: F1O – F2O = p –– ⇒ (3␭) 2 + x 2 – x = p ––
2 2
Ana produz, ao microfone, um som com frequência de 680 Hz e
José Guilherme escuta o som produzido pelos alto-falantes. ␭
9 ␭2 + x 2 = p –– + x
Em seguida, um dos alto-falantes é deslocado, lentamente, de 2
uma distância d, em direção a José Guilherme. Este percebe, en-
tão, que a intensidade do som diminui à medida que esse alto-fa-
= p ––␭2 + x
lante é deslocado. 2 2
9 ␭2 + x 2
Determine o menor deslocamento d necessário para que José
Guilherme ouça o som produzido pelos alto-falantes com
intensidade mínima. Adote para a velocidade do som no ar o valor
340m/s. ␭2
9 ␭2 + x2 = p2 ––– + p␭x + x2
a) 0,15m b) 0,25m c) 0,50m 4
d) 0,75m e) 0,90m
9␭ – ––––
4
p ␭
Resolução 2
1
␭ Da qual: x = ––
Interferência destrutiva: d = ⌬x = i –– p
2
(i = 1; 3; 5…) Para p = 2: x = 4␭
␭ V
dmín = 1 –– = 1 ––– 5
2 2f Para p = 4: x = –– ␭
4
340 Para p = 6: x = 0
dmín = 1 . ––––––– (m) ⇒ dmín = 0,25 m
2 . 680
Como a questão se refere ao menor valor de x, diferente de zero,
optamos por:
Resposta: B
5
x = ––– ␭
19. (ITA-MODELO ENEM) – Na figura, F1 e F2 são fontes sonoras 4
idênticas que emitem, em fase, ondas de frequência f e compri-
mento de onda ␭. A distância d entre as fontes é igual a 3 ␭. Resposta: B
180
20. (MED. TAUBATÉ-MODELO ENEM) – Nos pontos A e B da figura

abaixo, estão dois alto-falantes que emitem sons de mesma fre-
quência e em fase.
Se a frequência for crescendo desde cerca de 30Hz, atingirá um

Qual deve ser a distância mínima percorrida por F1 na direção do
valor em que o observador deixará de ouvir o som. Qual é essa
observador para que este ouça a máxima intensidade?
frequência?
a) 1m b) 2m c) 3m d) 4m e) zero
(Módulo da velocidade do som no ar = 340m/s.)
a) 70Hz b) 85Hz c) 170Hz d) 340Hz e) 510Hz
25. Na figura, F1 e F2 são dois pinos que batem cadenciadamente na
superfície da água de um tanque, produzindo ondas que se propa-
gam com velocidade de módulo 2,0m/s. Os pinos operam com a
21. (UFMG) – Duas fontes, F1 e F2, emitem ondas sonoras de mes-
mesma frequência e em concordância de fase.
ma frequência f = 170 hertz, que se propagam no ar com uma ve-
locidade de módulo V = 340m/s. As fontes estão permanente-
mente defasadas de 180° (isto é, quando uma delas emite uma
crista, a outra emite um vale) e a distância entre elas é d = 10m.
a) Determine o comprimento de onda, ␭, do som emitido pelas
fontes.
b) Considere um ponto P situado entre as fontes (sobre a linha F1
F2) e a uma distância L = 8,0m de F1. Nesse ponto, tem-se
uma interferência construtiva ou destrutiva das duas ondas
sonoras? Justifique sua resposta.
Se no ponto P as ondas provenientes de F1 e F2 se reforçam (in-
terferência construtiva), uma possível frequência de operação dos
22. (MODELO ENEM) – Uma estação de rádio usa duas antenas pinos é:
transmissoras emitindo, em fase, alinhadas na direção norte-sul e a) 25Hz b) 30Hz c) 35Hz d) 40Hz e) 45Hz
separadas por uma distância igual à metade do comprimento de
onda emitido, conforme indica a figura. 26. Na figura, F1 e F2 são dois pinos que batem cadenciadamente na
superfície da água de um grande tanque, produzindo ondas que
se propagam com velocidade igual a 2,0m/s. Os pinos operam
com a mesma frequência e em concordância de fase.
Esta estação emite com máxima intensidade:

a) na direção norte-sul e não emite na direção leste-oeste.
b) na direção leste-oeste e não emite na direção norte-sul.
c) para o norte e não emite para o sul.
d) para o sul e não emite para o norte.
e) para o leste e não emite para o oeste.
23. (VUNESP) – Duas fontes, F1 e F2, separadas de certa distância e Dados: F1F2 = 12m
operando em fase, produzem ondas na superfície da água com sen 53° = 0,80
comprimento de onda constante de 2,0cm. Um ponto P, na super- cos 53° = 0,60
fície da água, dista 9,0cm de F1 e 12 cm de F2. Se no ponto P as ondas provenientes de F1 e F2 se reforçam
a) Quantos comprimentos de onda existem entre P e F1 e entre (interferência construtiva), o único valor impossível para a fre-
P e F2? quência de operação dos pinos é:
b) No ponto P, a superposição das ondas produzidas por F1 e F2 a) 0,75Hz b) 1,0Hz c) 1,5Hz d) 2,5Hz e) 3,0Hz
resulta numa interferência construtiva ou destrutiva? Justifi-
que sua resposta. 27. No esquema a seguir, um carro está trafegando numa rodovia com
o rádio ligado, sintonizado numa emissora que transmite com
comprimento de onda ␭, a partir da antena A. Suponha que, num
24. (UFU) – Um observador situado no ponto O da figura recebe on- determinado instante, a antena receptora do veículo seja atingida
das sonoras provenientes de duas fontes idênticas, F1 e F2, que exclusivamente pelas ondas de A. Essas ondas chegam ao carro
emitem, em oposição de fase, ondas de 2 metros de comprimen- por dois caminhos diferentes: o direto, AC, e o indireto, ABC,
to. depois de o sinal ser refletido no penhasco ao lado da estrada.
181
Pergunta-se:
a) Qual é o comprimento de onda do som emitido pelos alto-fa-
lantes?
b) Em que pontos do eixo, entre os dois alto-falantes, o som tem
Sabendo-se que BC é perpendicular a AB, determine intensidade máxima?
a) os valores de x para que no instante considerado o rádio do
veículo receba um sinal reforçado;
b) os valores de x para que no instante considerado o rádio do 29. (UNICAMP) – Uma piscina tem fundo plano horizontal. Um onda
veículo receba um sinal debilitado. eletromagnética de frequência 100MHz, vinda de um satélite, in-
cide perpendicularmente sobre a piscina e é parcialmente refleti-
da pela superfície da água e pelo fundo da piscina. Suponha que,
28. (UNICAMP) – O módulo da velocidade do som no ar é de aproxi- para esta frequência, o módulo da velocidade da luz na água é
madamente 330m/s. Colocam-se dois alto-falantes iguais, um de- 4,0 . 107m/s.
fronte ao outro, distanciados 6,0m, conforme a figura a seguir. Os a) Qual é o comprimento de onda na água?
alto-falantes são excitados simultaneamente por um mesmo b) Quais são as três menores alturas de água na piscina para as
amplificador com um sinal de frequência de 220Hz. quais as ondas refletidas tendem a se cancelar mutuamente?
5) Corretas: (02) e (16). Soma = 18 10)

6) Corretas: (02) e (08). Soma = 10
7) a) Interferência destrutiva
p 2q + p
b) x = –– c) t = –––––––
2 2V
8)
11) C 12) D 13) B 14) C 15) C
20) C
21) a) 2,0m
b) Interferência destrutiva
22) B
9) a) Onda A: da esquerda para a direita
Onda B: da direita para a esquerda 23) a) F1P → 4,5 comprimentos de onda
b) F2P → 6,0 comprimentos de onda
b) Interferência destrutiva
24) A 25) D 26) A
␭
27) a) x = i ––– , com i = 1, 3, 5…
4
␭
b) x = p ––– , com p = 2, 4, 6…
4
28) a) 1,5m
c) b) 0,75m; 1,5m; 2,25m; 3,0m; 3,75m; 4,5m e 5,25m do alto-
falante da esquerda, além das posições onde se en-
contram os alto-falantes.
29) a) 40cm
b) 10cm; 30cm e 50cm
182
CAPÍTULO
Ondas
3 FENÔMENOS
ONDULATÓRIOS
M esmo no bolso ou na mochila, seu telefone celular pode

tocar, sinalizando a recepção de uma chamada. Como as
ondas eletromagnéticas atravessam a trama do tecido de sua
roupa ou do material de sua mochila ativando o aparelho?
Um dos principais fenômenos relacionados a este fato
denomina-se difração. Como é possível quebrar-se uma taça
de cristal com emissão de sons, como as notas musicais
provenientes do canto de uma pessoa? Neste caso, ocorre
ressonância, fenômeno similar ao que produz o aquecimento de alimentos em um forno de micro-ondas.
1. Ondas estacionárias Ventres (ou antinodos): são pontos em que ocorre

sempre interferência construtiva. Esses pontos vibram
Admitamos que um homem provoque numa das ex-
com amplitude máxima Av, dada por:
tremidades de uma corda tensa uma sucessão de ondas
harmônicas de amplitude a. Av = a + a ⇒ Av = 2a
Essas ondas sofrerão reflexão na extremidade fixa
da corda e, ao retornarem, irão superpor-se às ondas inci- Nós (ou nodos): são pontos em que ocorre sempre
dentes, que continuam sendo produzidas pelo homem. interferência destrutiva. Esses pontos vibram com am-
Isso determinará interferência entre as ondas inci- plitude An nula.
dentes e as ondas refletidas, dando como produto final An = a – a ⇒ An = 0
ondas estacionárias.
É importante frisar que tanto os ventres como os nós
Ondas estacionárias são resultantes da superposi- não se propagam, apresentando-se durante todo o tempo
ção de ondas iguais que se propagam em sentidos nas mesmas posições.
opostos em um mesmo meio.
As ondas estacionárias, embora sejam portadoras de

energia, não transmitem essa energia, pois têm velocida-
de de propagação nula, daí o seu nome. P.1. Ventres vibram com amplitude 2a.
Ao longo da corda, poderão ser observados ventres (ou P.2. Nós não vibram (amplitude de vibração nula).
antinodos) e nós (ou nodos), conforme ilustra a figura. P.3. Pontos intermediários entre nós e ventres
vibram com amplitude entre 0 e 2a.
P.4. Todos os pontos de um mesmo “gomo” ou
lóbulo vibram em concordância de fase.
P.5. A velocidade de propagação de uma onda
estacionária é nula. Por isso, embora tenham
energia, as ondas estacionárias não propagam
essa energia.
183
P.6. Distância entre:

• nós consecutivos: ␭/2.
Colocando-se uma fonte sonora, como um alto-fa-
• ventres consecutivos: ␭/2.
lante, por exemplo, diante da embocadura de um tubo fe-
• ventres e nós consecutivos: ␭/4.
chado, pode-se observar também a formação de ondas
estacionárias.
O som incidente interfere com o som refletido pela

extremidade fechada do tubo, determinando ventres e
nós, conforme ilustra o esquema abaixo
V: ventres ou antinodos (interferência construtiva).

N: nós ou nodos (interferência destrutiva).
Verifica-se que, na embocadura do tubo, forma-se

sempre um ventre (ou antinodo), enquanto na extremi-
dade fechada forma-se sempre um nó (ou nodo).
Na foto (A), tem-se um tubo metálico de diâmetro constante, dotado de pe-

quenos furos alinhados e equiespaçados na parte superior. Dentro desse tubo
Na corda representada acima, notamos a presença de uma onda estacionária
existe um gás inflamável que, ao vazar pelos furos, é posto em combustão por
com três nodos (ou nós) e dois antinodos (ou ventres). As ondas parciais que
um operador, determinando chamas iguais.
se superpõem para a formação da onda estacionária têm período T e compri-
mento de onda ␭. Na primeira figura, retratamos o instante t0 = 0 em que os
pontos da corda compreendidos entre os nodos invertem o sentido do seu mo-
vimento (velocidade nula). Nas demais figuras, esboçamos o perfil da corda
em outros instantes até o término de um ciclo, destacando com setas azuis o
sentido e a intensidade da velocidade dos pontos vibrantes. Destaquemos que,
no instante t8 = T, os pontos da corda compreendidos entre os nodos invertem
novamente o sentido do seu movimento (velocidade nula), dando início a um
novo ciclo.
Na foto (B), tampou-se uma das extremidades do tubo e fez-se vibrar na em-
bocadura uma fonte sonora de frequência variável. Ajustou-se a frequência da
fonte até que se formou dentro do tubo uma onda estacionária de igual
frequência, caracterizada pelos nós (ou nodos) e pelos ventres (antinodos). A
posição dos nós (interferência destrutiva) fica evidenciada pelas chamas mais
baixas (pressão praticamente nula), enquanto a posição dos ventres
(interferência construtiva) fica evidenciada pelas chamas mais altas (máxima
Foto de uma corda na qual está presente uma onda estacionária com três nós pressão).
e dois ventres.
184
1. Faz-se vibrar periodicamente a extremidade A de uma corda AB

leve e flexível e observa-se a configuração estacionária esque-
matizada a seguir.
a) A que se deve o fenômeno observado?

b) Observando-se que junto ao êmbolo a areia permanece em
repouso, que se pode afirmar a respeito desse ponto?
Sabendo-se que as perturbações se deslocam ao longo da corda c) Sabendo-se que a distância entre dois montículos consecu-
com velocidade de módulo igual a 4,0m/s, pede-se obter tivos de areia é de 3,50 cm e que a frequência do som emitido
a) a amplitude das ondas parciais que originaram a configuração pelo alto-falante é de 4800Hz, qual o módulo da velocidade de
estacionária; propagação do som no ar?
b) o comprimento das ondas citadas no item anterior; Resolução
c) a frequência de vibração do ponto A. a) O fenômeno é devido à formação de ondas estacionárias, que
Resolução resultam da superposição das ondas emitidas pelo alto-falante
As ondas produzidas em A propagam-se ao longo da corda, indo com as ondas refletidas pelo êmbolo.
sofrer reflexão na extremidade fixa B. Com a continuidade da pro- b) Esse ponto é um nó de deslocamento.
dução de ondas em A, ocorre superposição das ondas incidentes c) A distância entre dois montículos consecutivos é a distância
com as ondas refletidas, o que determina interferência. Em ␭
certos pontos da corda (ventres), a interferência é permanente- entre dois nós, ou seja, ––– .
2
mente construtiva e em outros (nós), é permanentemente des-
trutiva. Instala-se na corda uma “onda parada” que não se deslo- Então:
ca, sendo, por isso, chamada onda estacionária. ␭
––– = 3,50 cm ⇒ ␭ = 7,00 cm
a) A amplitude das ondas parciais que originaram a onda 2
estacionária é a metade da amplitude desta última.
Como V = ␭ f ⇒ V = 7,00 . 10–2m . 4800Hz
A
a = –––
2 V = 336m/s
4,0m
Com A = ––––– = 2,0m, obtém-se: a = 1,0m Respostas: a) Formação de ondas estacionárias
2
b) É um nó (ou nodo)
c) 336m/s
b) O comprimento das ondas parciais que originam a onda esta-
cionária é igual ao comprimento desta última. Na onda estacio-
nária, a distância entre dois nós consecutivos equivale a ␭/2. 3. (UESPI-MODELO ENEM) – Uma corda tem suas extremidades
Assim, da figura, tem-se: fixas em duas paredes paralelas. Quando oscilando em seu
harmônico fundamental, ou primeiro harmônico, os únicos nós
␭ presentes na corda são aqueles localizados nas paredes. Qual o
3 ––– = 3,0m número de nós intermediários (isto é, excluindo os nós nas
2
paredes) que tal corda apresenta ao oscilar em seu sétimo
Então: harmônico?
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
␭ = 2,0m
Resolução
A onda estacionária correspondente ao sétimo harmônico está
c) A frequência de vibração do ponto A é a mesma da vibração representada a seguir.
de qualquer ponto da corda. Tal frequência pode ser calculada
por:
V
V = ␭f ⇒ f = –––
␭
Excluindo-se os dois nós correspondentes aos pontos de fixação

4,0
f = ––– (Hz) ⇒ f = 2,0Hz da onda, podem ser notados 6 nós na figura de interferência em
2,0 questão.
Resposta: B
Respostas: a) 1,0m
b) 2,0m
4. (UFG-MODELO ENEM) – Durante a construção de uma estrada,
c) 2,0Hz
o motor de uma máquina compactadora de solo, similar a um
bate-estaca, emite um som de 68 Hz na entrada de um túnel reto,
2. Na figura, temos um tubo de vidro, fechado de um lado por um que mede 30 m de comprimento. Um pedestre transitando pelo
pistão. Na outra extremidade, existe um pequeno alto-falante que túnel percebe que uma onda sonora estacionária é formada no
emite som de frequência e amplitude constantes. No interior do interior do túnel, notando a ocorrência de posições de alta inten-
tubo, existe areia fina, além de ar. Ajustando-se conveniente- sidade sonora e pontos de silêncio (intensidade sonora nula). Da-
mente o pistão, consegue-se obter uma situação em que, em cer- do que a velocidade do som no ar é de 340 m/s, quantos pontos
tos locais, a areia se agita violentamente e, em outros, ela fica em de intensidade nula o pedestre vai contar ao atravessar o túnel?
repouso, formando montículos. a) 6 b) 12 c) 13 d) 24 e) 25
185
Resolução
O túnel se comporta como um tubo sonoro aberto.
V 340
f = n ––– ⇒ 68 = n ––––– ⇒ n = 12
2L 2 . 30
n é a ordem do harmônico formado dentro do túnel ou o número

de nós (locais de interferência destrutiva – intensidade sonora
nula) presentes na onda estacionária obtida. Resposta: B
5. (CESGRANRIO-MODELO ENEM) – A figura abaixo ilustra uma

fotografia de múltipla exposição da onda estacionária estabelecida
numa corda cujas extremidades são fixas.
Qual das opções pode representar corretamente sucessivas posi- Se a distância entre as barras A e B é igual a 1,8 m e a velocidade
ções desta corda vibrante? de propagação das ondas na corda é de 60 m/s, a frequência de
vibração do alto-falante será, em Hz, igual a
a) 33 b) 50 c) 60 d) 72 e) 108
8. (MODELO ENEM) – No esquema, mostra-se um trecho de uma

corda elástica no qual podem ser observados quatro lóbulos de
uma onda estacionária. No instante representado, a corda está na
situação de máxima deformação.
Sabendo-se que os pontos vibrantes da corda têm frequência

igual a 2,0Hz, pode-se afirmar que
a) a amplitude das ondas parciais que se superpõem na forma-
ção da onda estacionária vale 0,50m;
b) o comprimento de onda das ondas parciais que se superpõem
na formação da onda estacionária vale 3,0m;
c) a velocidade de propagação da onda estacionária tem módulo
igual a 4,0m.s–1;
d) decorrido 0,125s do instante representado no esquema, a cor-
da apresentar-se-á retilínea, sem deformação;
e) os pontos da corda pertencentes a dois lóbulos adjacentes
vibram em concordância de fase.
9. No esquema, mostra-se um trecho de uma corda elástica no qual

podem ser observados quatro lóbulos de uma onda estacionária.
No instante representado, a corda está na situação de máxima
deformação.
6. Uma onda estacionária estabelece-se numa corda elástica fixada
entre dois pontos distantes 50cm entre si. Incluindo-se os extre-
mos, contam-se 11 nodos ao longo da corda. O comprimento de
onda da onda progressiva que deu origem à onda estacionária é,
em cm, igual a:
50 100
a) ––– b) –––– c) 2,5 d) 5,0 e) 10
11 11
Sabendo-se que os pontos vibrantes da corda têm frequência
igual a 0,50Hz, pede-se:
7. (VUNESP-FMJ-MODELO ENEM) – A figura mostra uma monta- a) determinar o módulo da velocidade de propagação das ondas
gem para obtenção de ondas estacionárias numa corda mantida parciais que se superpõem na formação da onda estacionária,
tracionada entre uma haste vibrante, presa a um alto-falante, e bem como a sua amplitude;
uma barra B. Para oscilar adequadamente, a corda passa por uma b) esboçar o perfil da corda decorrido 0,50s do instante represen-
ranhura existente na barra A. tado no esquema.
186
10. (UFPR) – Um alto-falante é colocado no ponto A da figura abaixo, a) 171m/s b) 336m/s c) 340m/s
emitindo um som de frequência constante e igual a 100Hz. Ao d) 342m/s e) 427m/s
longo do tubo AB, fechado em B, é deslocado um microfone liga-
do a um aparelho capaz de medir a intensidade sonora. Verifica-se 12. Diante da embocadura de uma proveta em cujo interior existe pó
que, a partir de A, e a cada 1,75m, ouve-se uma intensidade má- de cortiça, faz-se vibrar um diapasão, que emite um som puro de
xima e a meia distância desses pontos nada se ouve. frequência 6800Hz. O pó de cortiça aglomera-se em montículos
equiespaçados, conforme ilustra a figura.
Determine o comprimento de onda do som emitido e o módulo da

sua velocidade de propagação no meio considerado.
a) Explique sucintamente como se formam os montículos de pó
de cortiça.
11. Um alto-falante, emitindo um som de frequência 570Hz, é posto b) Qual o módulo da velocidade do som no interior da proveta?
na embocadura de um tubo fechado de comprimento 75cm, con-
forme ilustra a figura. 13. Um tubo de vidro, aberto nas duas extremidades, é parcialmente
mergulhado em água, em posição vertical, de modo que a parte
emersa, cheia de ar, pode ser variada, movendo-se o tubo para
cima ou para baixo. Colocando-se em funcionamento um diapasão
de frequência f = 2075Hz acima da extremidade superior do tubo,
observa-se que a coluna de ar ressoa para alguns comprimentos
particulares da parte emersa do tubo. Numa experiência, foram
verificadas duas ressonâncias consecutivas para os comprimen-
tos de 28cm e 36cm, respectivamente. Determine
a) o comprimento de onda das ondas geradas pela vibração do
O perfil da onda estacionária estabelecida no tubo está indicado diapasão;
no esquema. Nessas condições, qual o módulo da velocidade de b) o módulo da velocidade de propagação do som no ar, no local
propagação das ondas sonoras no ar que preenche o tubo? da experiência.
2. Batimentos vez mais, haverá um instante t2 em que elas passarão por P

em oposição de fase (⌬␸P = ␲ rad), o que acarretará na
É o fenômeno que ocorre quando há superposição de onda resultante um mínimo de amplitude (amplitude nula).
duas ondas de mesma natureza, mesma direção, Como, em seguida, as ondas continuam defasando-se,
mesma amplitude (a) e frequências próximas (f1 艑 f2). haverá um instante t3 em que elas passarão por P nova-
Neste caso, em que os períodos também são próxi- mente em concordância de fase (⌬␸P = 2␲ rad), o que acar-
mos, a defasagem das ondas num ponto genérico P varia retará na onda resultante um máximo de amplitude (2a).
lenta e periodicamente, pois uma onda vai, cada vez E assim, o fenômeno vai-se repetindo continuamente,
mais, atrasando-se em relação à outra. verificando-se em P alternâncias periódicas entre máximos
Na figura, temos duas ondas, (1) e (2), que foram e mínimos de amplitude (ou de intensidade).
consideradas triangulares para facilitar a construção e o Batimento é cada passagem da onda resultante
entendimento. A onda resultante da superposição de (1) e por um máximo de amplitude (ou de intensidade).
(2) também está representada na figura.
Os batimentos ocorrem periodicamente com uma
frequência dada por:
fb = | f 1 – f2 |
Nota: Para que o ouvido humano perceba distinta-

mente os batimentos resultantes da superposição de duas
ondas sonoras, o período de ocorrência desses
batimentos deve ser maior que um décimo de segundo
1
Consideremos um ponto P (ver figura) recebendo es- (Tb > 0,10s). Como fb = –– , concluímos que fb < 10Hz,
Tb
sas ondas. Suponhamos que as ondas atinjam o ponto P em
concordâcia de fase num certo instante t1, com ⌬␸P = 0. isto é, o ouvido humano perceberá distintamente a passa-
Nesse instante, ocorre em P interferência construtiva en- gem do som resultante por máximos de intensidade se a
tre as ondas, o que acarreta na onda resultante um máximo frequência com que ocorrem esses máximos for menor
de amplitude (2a). Como as ondas vão-se defasando cada que 10Hz.
187
A onda resultante tem amplitude variável entre 0 e 2a, porém essa onda é periódica. Demonstra-se que sua
frequência é dada pela média aritmética entre f1 e f2.
f1 + f2
fr = ––––––
2
A figura ilustra a superposição de duas ondas sonoras de mesma direção, mesma amplitude (a) e frequências próximas (f1 f2). Há formação de batimentos que
f1 + f2
podem ser notados por um observador com ouvido em O. Observemos que a onda resultante tem frequência constante, dada por fr = –––––––– , porém amplitude
2
(intensidade) variável. Os batimentos são os máximos de intensidade da onda resultante, sendo captados pelo observador com frequência dada por fb = | f1 – f2 |.
L
T = 2π –––
g
1
f = ––
T

1 g
f = –––– –––
2π L
A foto acima mostra um aparato experimental para a observação do fenômeno

de batimentos. Dois diapasões próximos entre si, capazes de emitir sons
simples de frequências ligeiramente diferentes, são percutidos simultanea-
mente utilizando para isso os martelos de borracha. Seus sons, amplificados
pelas respectivas caixas de ressonância de madeira, superpõem-se, proporcio-
nando a um observador situado nas vizinhanças a audição de um som re-
sultante de intensidade oscilante. Cada passagem do som resultante por um
máximo de intensidade caracteriza um batimento.
3. Ressonância
Todo sistema tem pelo menos uma frequência natu-
ral de vibração ou oscilação.
Um pêndulo simples de comprimento igual a L, por
exemplo, que opera num local em que a intensidade da O mesmo ocorre com um oscilador massa-mola
aceleração da gravidade vale g, tem apenas uma frequên- ideal, que também tem apenas uma frequência natural de
cia natural de oscilação (f). Sendo T o período do pêndu- oscilação. Sendo m a massa oscilante, K a constante
lo, temos: elástica da mola, T o período e f a frequência, temos:
188
Dependendo da duração da ressonância e da intensi-

dade do som emitido pelo garoto, a lâmina de cristal, cuja
espessura é relativamente pequena, poderá quebrar-se.
Na foto ao lado, emitiu-se um som de fre-

quência igual a uma das frequências naturais
de vibração do cálice e este entrou em resso-
nância com a onda sonora, vibrando com am-
plitude crescente até estilhaçar-se.
m
T = 2π –––
K
1
f = ––
T

1 K
f = –––– –––
2π m
Por outro lado, sistemas mais complexos como uma
corda de violão, um carro, uma ponte ou um prédio apre-
sentam muitas frequências naturais de vibração.
Verifica-se que, se for fornecida energia a um siste-
ma numa de suas frequências naturais de vibração, ele
oscila, procurando fazê-lo com amplitude cada vez
maior. Diz-se, então, que o sistema entrou em resso-
nância com o agente oscilador, isto é, ele “aceitou” a
energia transferida já que esta lhe foi entregue numa de
suas frequências naturais de oscilação.
Assim:
Ressonância é o fenômeno pelo qual um sistema
recebe energia periodicamente, numa de suas
frequências naturais de vibração.
Na ilustração abaixo, o garoto está emitindo uma no-

Um caso clássico de ressonância foi o da Ponte de Tacoma, em Washington,
ta musical de frequência igual a uma das frequências na- Estados Unidos, que desabou em 1940, apenas quatro meses depois da sua
turais de vibração da lâmina de cristal. inauguração. O vento fez a estrutura oscilar numa de suas frequências natu-
rais, levando-a à total destruição.
A sintonização de um aparelho de rádio constitui um

exemplo de ressonância elétrica. Quando giramos o sin-
tonizador, fazemos com que a frequência de uma corren-
te alternada no receptor se torne igual à das ondas
emitidas pela estação que desejamos captar.
4. Difração
Consideremos um carro trafegando ao longo de uma
Verifica-se que a lâmina entra em ressonância com rua A, com a buzina acionada, dirigindo-se para o cruza-
o agente excitador (onda sonora), passando a vibrar com mento desta rua com uma outra rua, B, conforme re-
amplitude crescente. presenta o esquema.
189
É de fácil constatação que pessoas situadas nas ruas

A e B, nas regiões P, Q e R, poderão ouvir o som da bu-
zina do carro.
As pessoas da região Q ouvirão o som direto, mas as

pessoas das regiões P e R captarão ondas sonoras que Nesta foto aérea, ondas do mar sofrem difração discreta na fenda existente no
quebra-mar, praticamente não atingindo as regiões P e Q. Isso ocorre porque a
“viraram as esquinas”, isto é, contornaram obstáculos, largura da fenda é muito grande em comparação com o comprimento de onda.
sofrendo difração.
Assim: Ondas de comprimento de onda maior difratam-se, em
Difração é o fenômeno pelo qual uma onda bi ou idênticas condições, mais intensamente do que ondas de
tridimensional atinge, em meios homogêneos e mesma natureza, porém de comprimento de onda menor.
isótropos, regiões posteriores a barreiras ou fen-
das que, de acordo com o Princípio da Propagação Verifica-se experimentalmente que:
Retilínea, deveriam ser de “sombra”, isto é, des- (I) As ondas longas de rádio difratam-se
providas da propagação ondulatória.
mais que as ondas de FM.
As ondas de rádio AM e FM, bem como as ondas de
(II) A luz vermelha difrata-se mais que a luz
TV, contornam árvores, prédios e montanhas, durante a
sua propagação, sendo captadas pelos aparelhos recepto- violeta.
res. Essas ondas sofrem difração.
(III) Os sons graves difratam-se mais que os
A difração é um fenômeno tipicamente ondulatório que
pode ocorrer com ondas mecânicas ou eletromagnéticas. sons agudos.
É de verificação experimental que, quanto mais com-
patível (menor ou igual) for a dimensão d do obstáculo
em comparação com o comprimento de onda ␭, mais in-
tensa é a difração.
Favorece a difração: d ⭐ ␭ Os pontos de uma frente de onda (linha ou super-
fície) num determinado instante t constituem fontes
elementares de ondas secundárias, que se propagam
para além da região já atingida pela perturbação
com a mesma velocidade da onda original. Num
instante t + ⌬t, a frente de onda é a envoltória das
ondas elementares geradas no instante t.
Nas fotos acima, ondas de comprimento de onda igual a ␭ que se propagam Cristian Huygens (1629-1695), físico
na superfície da água de uma cuba de ondas estão transpondo uma fenda de e astrônomo holandês, formulou uma
largura d. Na foto (A), na qual d > ␭, a difração é bem discreta, mas, na foto teoria ondulatória para a luz que se
(B), na qual d ␭, a difração é bem acentuada. contrapunha à teoria corpuscular
proposta por Newton.
190
A figura seguinte esquematiza a propagação de on-

das em meios homogêneos e isótropos, segundo o Prin-
• um anteparo opaco (A1) dotado de uma fenda es-
cípio de Huygens. Observemos que nesses meios, pelo
treita (F).
fato de a velocidade da onda ter a mesma intensidade em
• um anteparo opaco (A2) dotado de duas fendas es-
qualquer direção, a forma de onda fica preservada, isto é:
treitas (F1 e F2).
uma onda reta mantém-se reta; uma onda circular man-
• um anteparo opaco (A3).
tém-se circular etc.
• uma fonte de luz monocromática (L).
Na figura seguinte, representamos, em perspectiva, a
disposição dos elementos citados. É importante observar
que L deve ser colocada diante de F, com esta fenda
equidistante de F1 e F2. Além disso, é conveniente que
o comprimento c seja bem menor que o comprimento b.
O que ocorre é basicamente o seguinte: a luz emitida

por L difrata-se em F, passando a se propagar na região
entre A1 e A2. Ao atingir F1 e F2, essa luz sofre nova di-
fração, passando a se propagar na região entre A2 e A3.
As fendas F1 e F2 comportam-se como fontes coerentes
(em concordância de fase), emitindo ondas de mesma
frequência. Por isso, na região entre A2 e A3, as ondas
sofrem interferência, determinando superfícies ventrais
e superfícies nodais.
Em A3, são projetadas faixas brilhantes (iluminadas)
intercaladas por faixas escuras. Essas faixas, equidistantes
No esquema acima, ondas retas que se propagam
entre si, são denominadas franjas de interferência. Nas
na superfície da água estão “contornando” um obstáculo, franjas brilhantes, ocorre interferência construtiva, en-
sofrendo difração. Estão destacadas as ondas elementares que, quanto nas franjas escuras, ocorre interferência destrutiva.
conforme o Princípio de Huygens, asseguram a propagação ondulatória à
direita do obstáculo. Observemos que as ondas difratadas também são retas.
Trata-se de um procedimento
prático por meio do qual se
promove a difração da luz em duas
fendas, com posterior in-
terferência. Essa experiência deu
forte apoio à teoria ondulatória de
Huygens, que admitia a luz como
onda.
A franja central é a mais brilhante de todas. À medida
Thomas Young que se afasta dessa franja, percebe-se um enfraquecimento
(1773-1829), físico e médico inglês.
na intensidade luminosa, como indica o gráfico a seguir.
191
5. Polarização
Dizemos que uma onda é polarizada (ou linear-
mente polarizada ou plano-polarizada) quando,
em todos os pontos atingidos pela onda, as
vibrações se fazem na mesma direção.
Verifica-se que a polarização é um fenômeno que só

ocorre com ondas exclusivamente transversais. Assim,
concluímos que o som jamais pode ser polarizado. A
experiência mostra que a luz pode ser polarizada, sendo
esta uma evidência de que ela é uma onda exclusivamente
transversal (dentro de seu comportamento ondulatório).
A luz pode ser polarizada.

O som não pode ser polarizado.
Difração da luz em fenda simples: os raios luminosos originados na fenda
percorrem distâncias diferentes até o filme fotográfico, determinando regiões
claras (interferência construtiva) intercaladas por regiões escuras (inter-
ferência destrutiva).
A fenda vertical transmite apenas ondas transversais que provocam vibrações

exclusivamente na direção vertical, comportando-se assim como um
Luz monocromática azul difrata-se nas fendas e bordas de uma lâmina de polarizador vertical para as ondas que se propagam na corda. Se a segunda
barbear, permitindo a obtenção de uma foto na qual podem ser observadas fenda estiver disposta horizontalmente, não haverá transmissão para o trecho
franjas de interferência. da corda existente depois dela.
192
FOCO NA
A LUZ É UMA PROPAGAÇÃO DE ONDAS OU DE PARTÍCULAS?
Esta é uma das mais interessantes controvérsias da his- Em meados do século XVII, embora todos acreditassem
tória da ciência. Newton foi o mais importante propo- no modelo corpuscular de Newton (porque este gozava de
nente de uma teoria corpuscular para a luz. Ele acreditava grande autoridade e reputação), Huygens defendia a
que a luz fosse constituída de um feixe de partículas de teoria ondulatória da luz.
grande velocidade, que emanavam de fontes luminosas Para ele, a luz era uma onda. Inicialmente, o modelo
como o Sol, uma lâmpada acesa etc. A trajetória dessas ondulatório não teve aceitação entre os cientistas, e o
partículas era retilínea e elas poderiam atravessar certos modelo corpuscular de Newton foi aceito por mais de
materiais e ser refletidas por outros. Quando atingiam os um século.
olhos, causavam a sensação de ver.
Em 1801, Thomas Young ressuscitou a teoria ondula-
tória com suas experiências relativas à interferência. No
entanto, o trabalho de Young passou despercebido por
mais de uma década. Talvez o maior passo para a
aceitação da teoria ondulatória tenha sido dado pelo
físico francês Augustin Fresnel (1788-1827), que realizou
extensas experiências sobre interferência e difração,
dando a esses fenômenos uma base matemática.
Em 1850, Foucault mediu a velocidade da luz na água e
mostrou que era menor que no ar, anulando, portanto, a
teoria das partículas de Newton.
O modelo ondulatório pôde explicar uma série de fe-
nômenos ópticos conhecidos na época, como, por exem-
plo, a reflexão, a refração, a interferência e a difração.
Com esse modelo corpuscular, podem-se explicar vá- Em 1860, James Clerk Maxwell publicou sua teoria
rios fenômenos ópticos, como a reflexão e a absorção da matemática do eletromagnetismo, que explicou todos os
luz. A reflexão era explicada de modo satisfatório, com- fenômenos elétricos e magnéticos, e também levava a
parando a reflexão das “partículas” de luz com choques equação de onda para a propagação das ondas
perfeitamente elásticos entre pequenas esferas e super- eletromagnéticas. A velocidade destas ondas, prevista
fícies de corpos de massa muito maior que a das esferas. por intermédio de constantes elétricas e magnéticas,
mensuráveis em experiências estáticas de laboratório, é
Para explicar a refração, Newton admitiu que
igual à velocidade da luz medida diretamente. Maxwell
quando as partículas de luz, propagando-se no ar,
sugeriu que essa concordância não era casual, mas
aproximavam-se da água, por exemplo, eram forte-
indicava ser a luz uma onda eletromagnética.
mente atraídas por ela. Então, embora a componente
horizontal da velocidade da luz não fosse afetada por Em 1887, Hertz confirmou a teoria de Maxwell, pro-
essa atração, a componente vertical aumentava. duzindo e detectando ondas num laboratório, mediante
meios estritamente elétricos, e mostrando que essas
Assim, a luz se aproximava da normal e a explicação
ondas eletromagnéticas possuíam as propriedades das
ficava coerente com aquilo que se observava experimen-
ondas luminosas.
talmente. Entretanto, por essa teoria, a luz teria, na
água, uma velocidade maior que no ar, o que sabemos Embora se pensasse que o problema da natureza da
hoje ser incorreto. luz estivesse totalmente resolvido, a teoria ondulatória,
então em vigor, não pôde explicar o efeito fotoelétrico,
descoberto por Hertz e investigado em 1900 por Lenard.
Este descobriu que a luz, ao incidir sobre uma superfície
metálica, arranca elétrons da superfície e que a energia
desses elétrons não depende da intensidade da luz. Em
1905, Einstein demonstrou que esse resultado poderia
ser explicado admitindo que a energia de uma onda
luminosa estivesse quantificada em pequenos pacotes
ou corpúsculos, os fótons.
Estava renascendo um novo modelo corpuscular.
E qual das teorias é aceita atualmente?
Como os fenômenos de propagação da luz são mais
bem explicados pelo modelo ondulatório (difração,
interferência e refração só encontram explicação
satisfatória no modelo ondulatório) e os da interação da
A velocidade da luz na água só foi determinada luz com a matéria, mais bem explicados pelo modelo
experimentalmente por volta de 1850, cerca de 200 anos corpuscular, aceita-se atualmente que a luz apresenta
depois. uma natureza dupla (dualidade onda-partícula).
193
14. Duas ondas sonoras de frequências f1 = 1003Hz e f2 = 997Hz Resolução

superpõem-se. Essas ondas têm mesma amplitude e propa- A onda que segue por BC percorre um comprimento de onda a
gam-se na mesma direção. mais que a que segue por AC.
V
⌬x = ␭ ⇒ ⌬x = –––
f
3,0 . 108
⌬x = ––––––––– – (m) ⌬x = 5,0 . 10–7m = 5 000Å
6,0 . 1014
Resposta: 5 000Å
a) Qual a denominação que se dá ao fenômeno que resulta da 16. (UnB-MODELO ENEM) – Como qualquer outra radiação, as mi-
superposição dessas ondas? cro-ondas podem ser refletidas, transmitidas ou absorvidas, de-
b) Qual a frequência da onda resultante da superposição dessas pendendo do material com que interagem. O forno de micro-on-
ondas? das utiliza todos esses três fenômenos. No forno, como ilustra a
c) Qual a frequência de ocorrência do fenômeno que se deu co- figura abaixo, um dispositivo chamado magnétron gera micro-on-
mo resposta no item a? das de frequência igual a 2,45GHz que, por meio de um dispersor,
Resolução são insertas no interior do forno em várias direções, visando
a) Como as frequências das ondas que se superpõem são pró- minimizar a formação de ondas estacionárias. As micro-ondas
ximas, temos a ocorrência do fenômeno denominado bati- são, então, refletidas pelas paredes metálicas do forno e absor-
mento. vidas pelas moléculas de água do alimento colocado em seu in-
b) A frequência da onda resultante (fr) é dada por: terior.
f + f2
fr = ––1–––––
2
Assim:
1003 + 997
fr = ––––––––––– (Hz) ⇒ fr = 1000Hz
2
c) A frequência de ocorrência dos batimentos (fb) é dada por:

fb = |f1 – f2| = |1003 – 997| (Hz)
fb = 6Hz
Respostas: a) Batimento
b) 1000Hz
c) 6Hz
15. No esquema, representam-se, vistos de cima, dois anteparos A partir dessas informações, julgue os itens que se seguem.
opacos. O da esquerda possui duas fendas estreitas, A e B, (1) No interior do forno de micro-ondas, as moléculas de água do
próximas entre si. A reta ON é perpendicular aos anteparos e alimento são responsáveis pela conversão de energia
passa pelo ponto médio de AB. Pela esquerda, incide no sistema eletromagnética em energia térmica.
luz monocromática, de frequência 6,0 . 1014Hz. No anteparo da (2) Considerando que as micro-ondas não conseguem atingir as
direita, formam-se franjas de interferência, isto é, faixas ilumi- moléculas de água que estão a uma maior profundidade em
nadas intercaladas por faixas escuras. A intensidade luminosa (l) uma peça grande de alimento, é correto afirmar que as partes
varia com a posição (x), conforme o gráfico abaixo. internas dessa peça serão cozidas principalmente devido às
correntes de convecção.
(3) Vasilhames apropriados para cozer alimentos em micro-ondas
devem ser feitos de materiais que absorvam radiação
eletromagnética na faixa de 2 . 109 Hz a 3 . 109 Hz.
(4) A eliminação das ondas estacionárias pela atuação do
dispersor permite que os alimentos sejam cozidos mais
uniformemente.
Estão corretos:
a) todos os itens b) apenas (1), (2) e (3)
c) apenas (1), (3) e (4) d) apenas (2), (3) e (4)
e) apenas (1) e (4)
Resolução
(1) Correto. As moléculas de água atingidas pelas micro-ondas de
frequência igual a 2,45GHz entram em ressonância e vibram
intensamente, tranformando a energia recebida em energia
térmica.
Adotando-se para a velocidade da luz o valor 3,0 . 108m/s, calcular (2) Errado. As partes internas do alimento (sólido) são cozidas
a diferença entre os percursos BC e AC. principalmente pelo calor recebido por condução.
194
(3) Errado. Os vasilhames apropriados para cozer alimentos em A figura observada no anteparo é
micro-ondas devem ser feitos de materiais que transmitam típica do fenômeno físico deno-
radiação eletromagnética na faixa de 2 . 109 Hz a 3 . 109Hz. minado
(4) Correto. A formação de ondas estacionárias no interior do a) interferência. b) dispersão.
forno faria com que os alimentos sofressem um super- c) difração. d) reflexão.
cozimento nas regiões dos ventres das ondas e um cozimento e) refração.
precário nas regiões dos nós. Resolução
Resposta: E A figura observada no anteparo é
determinada pela interferência
17. (UFRS-MODELO ENEM) – Mediante uma engenhosa montagem entre as ondas luminosas que
experimental, Thomas Young (1773-1829) fez a luz de uma única sofreram difração nas duas
fonte passar por duas pequenas fendas paralelas, dando origem a pequenas fendas paralelas citadas.
um par de fontes luminosas coerentes idênticas, que produziram Resposta: A
sobre um anteparo uma figura como a registrada na fotografia a
seguir.
18. Considere dois alto-falantes que emitem sons simples de fre- No esquema a seguir, aparecem quatro diapasões, A, B, C e D,
quências fA e fB, respectivamente, com fA > fB. Sabendo-se que que, se percutidos, emitem sons puros de frequência constante.
fB = 1540Hz e que há formação de batimentos à razão de quatro
por segundo, determinar
a) a frequência fA;
b) a frequência do som resultante.
19. A escala musical proposta por Zarlin é construída de modo que,

conhecendo-se a frequência de uma determinada nota, pode-se
obter a frequência de todas as demais, bastando multiplicar-se
esta frequência por fatores bem definidos.
Por exemplo, se conhecermos a frequência do Dó de uma deter-
minada oitava, as frequências das notas subsequentes serão
obtidas multiplicando-se a frequência do Dó respectivamente por
fatores F, dados conforme aparece no esquema a seguir. Batendo-se no diapasão A, escuta-se exclusivamente o seu som.
Acionando-se o diapasão B, o mesmo acontece. Entretanto, per-
cutindo-se C, o diapasão D também entra em vibração, embora
esteja afastado. Sendo fA, fB, fC e fD as frequências dos sons
emitidos pelos diapasões A, B, C e D, respectivamente, responda
aos dois testes seguintes:
21. A explicação para a vibração do diapasão D está ligada ao fenô-

meno denominado
a) reflexão; b) interferência; c) batimentos;
d) ressonância; e) difração.
22. Em relação às frequências fA, fB, fC e fD, é correto que:

a) Adote para uma das notas Lá do teclado de um piano a) fA = fB b) fB = fC c) fC = fD
frequência igual a 400Hz. Supondo que a afinação desse piano d) fA > fB e) fB < fC
obedeça à escala de Zarlin, qual a frequência da nota Si
contígua? 23. (MODELO ENEM) – O dispositivo representado na figura é utili-
b) Supondo que a nota Lá citada no item anterior fique por alguma zado para o estudo experimental da ressonância. Num suporte
razão desafinada, apresentando frequência 10% acima dos fixo à mesa do laboratório, acoplam-se osciladores, constituídos
400Hz, qual a frequência dos batimentos produzidos se forem de lâminas flexíveis em cujos extremos superiores encaixam-se
tocadas simultaneamente essa nota Lá e a nota Si contígua? massores.
20. Seja uma corda de comprimento L e densidade linear ␳, tracio-

nada por uma força de intensidade F. A frequência fundamental de
vibração da corda é dada por:

1 F
f = –––– –––
2L ␳
Duas cordas elásticas, (1) e (2), de mesma densidade linear ␳ e de

comprimentos respectivamente iguais a 25cm e 50cm são
tangidas, emitindo som.
Verifica-se que, quando as cordas vibram no modo fundamental,
há produção de batimentos na frequência de dez por segundo. Sa-
bendo-se que as cordas estão tracionadas por forças de inten-
Suponhamos que, acionando-se o oscilador A, C entre em vibra-
sidades F1 = 36N e F2 = 100N, calcular o valor de ␳, em g/m.
ção e B permaneça em repouso.
195
O ponto A não está alinhado com O e F. Nota-se, em A, a presen-

ça de luz. Este fenômeno se deve à
a) refração; b) dispersão; c) interferência;
d) difração; e) polarização.
28. (PUC-RS-MODELO ENEM) – A figura abaixo representa um feixe

de luz propagando-se da esquerda para a direita, incidindo em dois
anteparos: o primeiro com dois pequenos orifícios e o segundo
opaco. Neste, forma-se uma série de franjas claras e escuras,
conforme a figura abaixo.
Sendo fA, fB e fC as frequências naturais de vibração dos oscilado-

res A, B e C, respectivamente, podemos concluir que:
a) fA = fB = fC b) fA > fB > fC c) fA = fC < fB
d) fA = fC ⫽ fB e) fA = fC > fB
24. Emitindo-se determinadas notas musicais, por exemplo, em um

violino, é possível trincar-se à distância uma fina lâmina de cristal.
O fenômeno que melhor se relaciona com o fato é
a) batimentos. b) polarização. c) ressonância.
d) difração. e) refração. Os fenômenos responsáveis pelo aparecimento das franjas são,
sucessivamente,
25. (MODELO ENEM) – Em dias de clássicos futebolísticos que a) a refração e a interferência;
promovem grandes concentrações de populares, teme-se pela b) a polarização e a interferência;
segurança do Estádio do Morumbi, em São Paulo, sobretudo c) a reflexão e a difração;
nos momentos de gol. A alegria e o entusiasmo dos torcedores, d) a difração e a polarização;
geralmente manifestado por meio de pulos e batidas de pés no e) a difração e a interferência.
chão, faz com que toda a estrutura do estádio vibre. Se essa
vibração for mantida por muito tempo, pode levar partes da 29. Na montagem da Experiência de Young, esquematizada abaixo, F
construção ou mesmo toda ela a desabar, ocasionando uma é uma fonte de luz monocromática de comprimento de onda igual
catástrofe. O fenômeno ondulatório que melhor explica o caso é a ␭.
a) difração. b) interferência. c) refração.
d) ressonância. e) polarização.
26. Analise as proposições a seguir:

(01) A recepção de uma chamada de telefone celular no interior
de um automóvel com todos os vidros fechados é explicada
pela dupla refração das micro-ondas nos vidros do veículo.
(02) A recepção de uma chamada de telefone celular no interior
de uma bolsa de lona totalmente fechada é explicada pela
difração das micro-ondas nos minúsculos orifícios existentes
na trama dos fios da lona.
(04) O papel alumínio utilizado na cozinha para cobrir assados
tem uma face mais reflexiva que a outra. Ao envolver-se um Na região onde se localiza o primeiro máximo secundário, a dife-
alimento com papel alumínio, é recomendável voltar-se a rença entre os percursos ópticos dos raios provenientes das
face mais reflexiva do papel para o forno. fendas a e b é:
(08) Uma prática comum consiste em soprarmos a superficie de a) ␭/3 b) ␭/2 c) ␭ d) 2 ␭ e) 3 ␭
líquidos quentes – como sopas e chás, por exemplo – na
tentativa de resfriá-los mais rapidamente. O resfriamento 30. Na figura abaixo, está esquematizado um procedimento experi-
mais rápido é explicado pela redução da pressão dos vapores mental para a obtenção de franjas de interferência projetadas num
sobre a superficie líquida, o que favorece a evaporação, que anteparo opaco A3 (Experiência de Thomas Young). Os anteparos
é um processo endotérmico. A1 e A2 são dotados de fendas muito estreitas (F0, F1 e F2), nas
(16) Em geral, as ondas de rádio AM têm maior alcance que as de quais a luz sofre expressiva difração. O gráfico anexo a A3 mostra
rádio FM. Isso ocorre principalmente devido ao fato de as on- a variação da intensidade luminosa (I) neste anteparo em função
das de AM terem maior comprimento de onda que as ondas da posição (x).
de FM.
Dê como resposta a soma dos números associados às propo-
sições corretas.
27. A figura abaixo mostra uma fonte luminosa puntiforme F colocada

em frente a um anteparo opaco, no qual existe um orifício O, de
diâmetro pequeno.
196
Sabendo que a luz momonocromática utilizada tem frequência 33. (UFC-MODELO ENEM) – Sabemos que a luz apresenta proprie-
igual a 5,0 . 1014Hz e que se propaga no local da experiência com dades de polarização, interferência, refração e difração. Os diagra-
velocidade de módulo 3,0 . 108m/s, calcule, em ângstrons mas abaixo identificam estas propriedades:
(1m = 1010Å):
a) o comprimento de onda da luz;
b) a diferença entre os percursos ópticos (b – a) de dois raios que
partem respectivamente de F2 e F1 e atingem A3 em P.
31. (ITA) – Luz linearmente polarizada (ou plano-polarizada) é aquela

que
a) apresenta uma só frequência;
b) se refletiu num espelho plano;
c) tem comprimento de onda menor que o da radiação ultravio-
leta;
d) tem a oscilação, associada a sua onda, paralela a um plano;
e) tem a oscilação, associada a sua onda, na direção da propagação.
32. (UNIRIO) – Entre as afirmativas abaixo, a respeito de fenômenos

ondulatórios, assinale a que é FALSA:
a) A velocidade de uma onda depende do meio de propagação.
b) A velocidade do som no ar independe da frequência. Entre as opções apresentadas, indique aquela que contém as pro-
c) No vácuo, todas as ondas eletromagnéticas têm a mesma priedades na seguinte ordem: difração, interferência, refração e
velocidade de propagação. polarização.
d) Ondas sonoras no ar são longitudinais. a) I, II, IV e III b) II, I, IV e III c) IV, II, I e III
e) Ondas sonoras podem ser polarizadas. d) III, IV, I e II e) IV, I, III e II
5) A 6) E 7) B 13) a) 16cm 18) a) 1544Hz

b) 332m/s b) 1542Hz
8) D 9) a) 1,0m/s e 0,30m
19) a) 450Hz 20) 40g/m 21) D
(corda retilínea) b) 10Hz
b) ––––––––––––––––
10) 3,5m e 350m/s 11) D 22) C 23) D 24) C
25) D 26) 27 27) D

12) a) Os montículos de pó de cortiça formam-se nas posições dos
nós da onda estacionária presente no tubo. Essas posições
28) E 29) C 30) a) 6000Å
são de mínima vibração, o que provoca a aglomeração do
b) 9000Å
pó.
b) 340m/s 31) D 32) E 33) A
197
CAPÍTULO
Ondas
4 ACÚSTICA
O som é o estimulador de um dos principais

sentidos humanos: a audição. O farfalhar da
folhagem de uma árvore ou o gorjear de
passarinhos chegam aos nossos ouvidos por meio
de ondas sonoras. Os infindáveis sons naturais ou
produzidos das mais diversas formas compõem
um vasto universo que dá a cada momento um
matiz específico, único. O timbre de cada voz ou
de cada instrumento musical estimula todo um mosaico sensorial capaz de alegrar ou entristecer; excitar ou
enternecer. A acústica é a parte da Física que estuda as ondas sonoras.
1. Introdução Admitindo que o meio de propagação seja o ar, há

três tipos principais de fontes sonoras:
A Acústica é a parte da ondulatória que estuda espe- (I) Cordas vibrantes
cificamente o som: sua geração, propagação e capta- Nesta categoria, estão incluídos todos os instrumen-
ção pelo ouvido humano. tos musicais de cordas, como o violão, a viola, o violino,
o violoncelo, o contrabaixo, o cavaquinho, o bandolim, o
banjo, a cítara, a harpa etc.
Chamamos de som as
vibrações mecânicas perió-
dicas que ao atingirem nos-
sos órgãos auditivos nos
dão a sensação da audição.
Recordemos que o som
é constituído por ondas
mecânicas, que exigem um
meio material para se pro-
pagar, e que sua frequência
se situa entre o mínimo de
20Hz e o máximo de
20 000Hz (som audível).
Os instrumentos musicais são fontes sonoras.
2. Principais fontes sonoras

Um dos instrumentos musicais mais populares que há é o violão, utilizado em
Fonte sonora é qualquer dispositivo capaz de emi- todos os gêneros musicais, desde a música country até a música flamenca.
tir sons. Tangendo-se suas cordas, elas vibram, fazendo o ar vibrar, havendo a
produção de som.
198
(II) Colunas de ar em vibração 3. Cordas sonoras

Nesta categoria, estão incluídos todos os instrumen-
tos musicais de sopro, como os diversos tipos de flautas, São cordas que, tangidas, vibram, emitindo som.
o trompete, a trompa, o trombone, o baixo-tuba, o fagote,
o oboé, o saxofone etc.
Consideremos uma corda elástica, de comprimento
igual a L, presa nas duas extremidades.
As bandas de música tradicionais são fundamentadas nos instrumentos de

sopro, como os trombones de vara, que aparecem nesta foto. A coluna de ar
interna ao instrumento vibra, provocando vibrações no ar externo, o que gera
som.
(III) Membranas e placas vibrantes

Nessa categoria, estão incluídas as cordas vocais
(que na realidade são membranas), os alto-falantes, os
tambores em geral, os gongos, os pratos de baterias etc.
Perturbando periodicamente essa corda, observare-
mos a formação de ondas estacionárias que diferirão
entre si pelo número de lóbulos, conforme representam
as figuras a seguir, em que aparecem os três primeiros
modos de vibração, denominados, respectivamente, 1.o
harmônico (ou modo fundamental), 2.o harmônico e 3.o
harmônico.
É importante observar que, nas extremidades fixas,
sempre haverá formação de nós.
Sendo ␭i o comprimento de onda da onda estacioná-

ria presente na corda, esse comprimento pode ser
expresso em função de L, em cada caso, por:
Os tambores utilizados nas orquestas sinfônicas são denominados tímpanos.
Ao serem percutidos, uma pele (membrana) é posta em vibração, o que ␭1 2L
faz o ar vibrar, havendo produção de som. 1.o harmônico: L = ––– ⇒ ␭1 = –––
2 1
␭2 2L
2.o harmônico: L = 2 ––– ⇒ ␭2 = –––
2 2
Nas caixas acústicas, há geralmente

␭3 2L
dois tipos de alto-falantes: os woofers, 3.o harmônico: L = 3 ––– ⇒ ␭3 = –––
que reproduzem as baixas e médias 2 3
frequências, e os tweeters, que repro-
duzem as altas. Os cones desses alto-fa-
lantes recebem impulsos elétricos e
⯗ ⯗ ⯗
avançam e retrocedem de acordo com a
frequência do sinal, fazendo as partí- ␭ 2L
culas de ar oscilar, havendo produção n.o harmônico: L = n –––n ⇒ ␭n = ––– I
2 n
de som.
199
Sendo V o módulo da velocidade das ondas parciais Equação de Lagrange-Helmholts

que se superpõem para a formação das ondas estacionárias Conforme vimos no capítulo 4, o módulo da veloci-
e fn a frequência de um harmônico de ordem n, vem: dade de propagação de um pulso numa corda tensa (V) é
proporcional à raiz quadrada da intensidade da força
V tensora na corda (F) e inversamente proporcional à raiz
V = ␭n fn ⇒ fn = ––––– II
␭n quadrada de sua densidade linear (␳), isto é:
Substituindo I em II , temos: F
V= ––
␳
(Fórmula de Taylor)
V V
fn = –––– ⇒ fn = n –––––
2L 2L V
––– Lembrando que para uma corda sonora fn = n ––– ,
n 2L
Notas: substituindo a Fórmula de Taylor, obtemos a Equação de
(A) n é a ordem do harmônico ou o número de ven- Lagrange-Helmholts.
tres da onda estacionária considerada.
(B) f2 = 2f1; f3 = 3f1; ... ; fn = nf1.
n F
fn = ––– –––
␳
2L
Notas:
(A) A densidade linear ␳ traduz a relação da massa
de corda por unidade de comprimento.
m
␳ = –––
L
(B) A frequência de um determinado harmônico em

uma corda cresce com a intensidade da força
Nesta sequência de fotos, o rapaz perturba a corda periodicamente, obtendo
tensora. Quadruplicando-se F, por exemplo, fn
ondas estacionárias correspondentes ao 1.o, 2.o e 3.o harmônicos, res- dobra.
pectivamente. Sendo f1, f2 e f3 as frequências desses três modos de vibração,
temos: f2 = 2f1 e f3 = 3f1.
O piano é um instrumento
musical em que cordas
metálicas de comprimen-
tos e densidades lineares
Quando uma diferentes são percutidas
corda de violão é por pequenos martelos,
tangida, ela emite emitindo som. As cordas
uma nota musical. grossas e longas são as
Essa nota não é que emitem os sons mais
constituída de uma graves (menor frequên-
única frequência, mas, cia), enquanto as cordas
sim, matizada pela finas e curtas são as que
presença de várias emitem os sons mais agu-
frequências. A menor dos (maior frequência).
frequência emitida pela Um afinador de pianos,
corda é chamada como o da foto, ao fazer
de frequência seu trabalho, gradua a
fundamental, f1. intensidade da força
As demais frequências tensora em cada corda,
são múltiplas da utilizando uma ferra-
fundamental e menta especial. Quanto
correspondem aos maior for a tensão numa
harmônicos superiores: determinada corda, mais
2f1 (segundo agudo será o som emitido
harmônico) etc. por ela.
200
1. Na figura a seguir, a corda vibrante (que emite som) tem massa por 2. Uma corda de densidade linear igual a 0,020kg/m e comprimento
unidade de comprimento igual a 0,10kg/m e está sujeita a uma 0,50m está sob tensão de 200N. Determine
força tensora de intensidade de 230,4N. a) o módulo da velocidade de um pulso na corda;
Pede-se calcular b) o comprimento de onda ␭1 e a frequência f1 da onda fun-
damental que se forma na corda;
c) o comprimento de onda do som fundamental emitido, saben-
do que o módulo da velocidade do som no ar vale 340 m/s.
Resolução
a) Pela Fórmula de Taylor:
F 200
V= –– = ––––– (m/s) ⇒ V = 100m/s
a) a frequência e o comprimento de onda do som emitido pela ␳ 0,020
corda nas condições da figura (módulo da velocidade do
som = 300m/s); b) O comprimento de onda fundamental ␭1 na corda corresponde
b) a frequência do som correspondente ao harmônico fundamen- ao dobro do comprimento da corda.
tal.
Resolução ␭1 = 2L = 2 . 0,50 ⇒ ␭1 = 1,00m
a) A frequência do som emitido pela corda é igual à frequência de
vibração dos pontos da corda.
V 100
fsom = fcorda Como V = ␭1 f1 ⇒ f1 = ––– = –––– (Hz) ⇒ f1 = 100Hz
␭1 1,00
Na corda vibrante, o comprimento de onda corresponde a

quatro vezes o comprimento indicado (1,0cm). c) O som emitido tem frequência igual à da onda na corda.
␭corda = 4 . dn,v = 4 . 1,0 cm Vsom 340

␭som = –––––– – ⇒ ␭som = ––––– (m) ⇒ ␭som = 3,40m
fsom 100
␭corda = 4,0cm ⇒ ␭corda = 4,0 . 10–2 m
A velocidade da onda na corda pode ser calculada pela Fórmu-

la de Taylor. Respostas: a) V = 100m/s
F b) ␭1 = 1,00m; f1 = 100Hz
Vcorda = –– c) 3,40m
␳
3. (VUNESP-MODELO ENEM) – Um fio elástico é esticado e tem
Com F = 230,4 N e ␳ = 0,10kg/m, vem:
suas extremidades presas a um gancho fixo em uma parede e a
230,4 um motor que lhe transmite vibrações transversais. A distância
Vcorda = –––––– (m/s) ⇒ Vcorda = 48m/s entre a parede e o motor é de 60 cm. Observa-se a formação de
0,10
ondas estacionárias reproduzidas na figura quando o motor vibra
com frequência de 100 Hz. A velocidade de propagação das ondas
Com Vcorda = 48m/s e ␭corda = 4,0 . 10–2m, calculemos fcorda: que se deslocam ao longo do fio para formar as ondas
estacionárias tem intensidade igual a:
Vcorda 48m/s
Vcorda = ␭corda . fcorda ⇒ fcorda = –––––– – = –––––––––––
␭corda 4,0 . 10–2m
fcorda = 1200Hz ⇒ fsom = 1200Hz
O comprimento de onda do som é dado por:

Vsom 300m/s
Vsom = ␭som . fsom ⇒ ␭som = –––––– – = –––––––––– a) zero b) 20 m/s c) 30 m/s
fsom 1200Hz
d) 40 m/s e) 60 m/s
Resolução
␭som = 0,25m = 25cm ␭
(I) 3 –– = 60 cm ⇒ ␭ = 40 cm = 0,40 m
2
b) Na onda estacionária presente na corda, temos três ventres.
Por isso, a frequência de vibração da corda corresponde ao 3.o (II) V = ␭f ⇒ V = 0,40 . 100 (m/s)
harmônico. O harmônico fundamental tem frequência igual a
um terço, isto é: V = 40 m/s
1
f1 = ––– f3
3 Resposta: D
Com f3 = 1200Hz, obtém-se: f1 = 400Hz 4. (UPE-MODELO ENEM) – Um cabo de telefone tem 4,00m de
comprimento e massa igual a 0,20kg. Um pulso ondulatório
O som correspondente ao harmônico fundamental também transversal é produzido, dando-se um arranco em uma extre-
tem frequência 400Hz. midade do cabo. O pulso realiza quatro deslocamentos de ida e
volta ao longo do cabo em 0,80s. A intensidade da força de tração
Respostas: a) 1200Hz e 25cm no cabo vale, em newtons:
b) 400Hz a) 100 b) 80 c) 60 d) 40 e) 20
201
Resolução
D 8 . 4,00 F . 4,00
(I) V = ––– ⇒ V = ––––––– (m/s) ⇒ V = 40,0 m/s 40,0 = ––––––– ⇒ 1600 = F . 20
⌬t 0,80 0,20
(II) Fórmula de Taylor:

Da qual: F = 80N
F F FL
V= –– = ––– = ––––
␳ m m
–– Resposta: B
L
5. (FUVEST) – Uma corda de violão tem 0,60m de comprimento. Os 9. (ITA) – Quando afinadas, a frequência fundamental da corda lá de
três maiores comprimentos de ondas estacionárias que se podem um violino é de 440Hz e a frequência fundamental da corda mi
estabelecer nessa corda são (em metros): deste mesmo instrumento é de 660Hz. A que distância da
a) 1,2; 0,60; 0,40; b) 1,2; 0,60; 0,30; extremidade da corda lá se deve colocar o dedo para se obter o
c) 0,60; 0,30; 0,20; d) 0,60; 0,30; 0,15; som correspondente ao da corda mi? O comprimento total da
e) 0,60; 0,20; 0,12. corda lá é igual a L e a distância pedida deve corresponder ao
comprimento vibratório da corda.
6. (UFMG) – Bruna afina a corda mi de seu violino, para que ela vibre a) 4L/9 b) L/2 c) 3L/5 d) 2L/3
com uma frequência mínima de 680 Hz. e) Não é possível a experiência.
A parte vibrante das cordas do violino de Bruna mede 35 cm de
comprimento, como mostrado nesta figura: 10. Considere um pulso transversal propagando-se ao longo de uma
corda homogênea feita de um material de densidade volumétrica
igual a ␮.
A corda tem comprimento ᐉ, secção circular de raio constante igual a
r e está tracionada por uma força de intensidade F. Sendo V o módulo
da velocidade de propagação do pulso, podemos afirmar que:
1 F 1 F
a) V = –– –––– b) V = –– ––––
r ␲␮ ᐉ ␲␮
Considerando essas informações e sabendo que o som se propa-
ga no ar com velocidade de intensidade 340m/s,
␲ F ␲ F
a) calcule a intensidade da velocidade de propagação de uma c) V = –– –––– d) V = –– ––––
onda na corda mi desse violino; r ␮ ᐉ ␮
b) considere que a corda mi esteja vibrando conforme a
frequência de 680 Hz.
F
Determine o comprimento de onda, no ar, da onda sonora e) V = ––––
produzida por essa corda. ␮
7. Uma corda de comprimento L está presa em suas extremidades 11. (MODELO ENEM) – Um violinista deseja aumentar a frequência
e nela se estabelecem ondas estacionárias. Para o harmônico de do som emitido por uma das cordas do seu instrumento. Isto
ordem n, o comprimento de onda da onda gerada é ␭n = 18cm e poderá ser conseguido
para o harmônico de ordem n + 1 o comprimento de onda é a) aumentando-se o comprimento vibratório e tracionando-se
␭n + 1 = 16cm. Determine, em cm, o comprimento L da corda. mais intensamente a corda;
b) diminuindo-se o comprimento vibratório e tracionando-se me-
8. (CESGRANRIO) – O comprimento das cordas de um violão (entre nos intensamente a corda;
suas extremidades fixas) é de 60,0cm. Ao ser dedilhada, a 2.a cor- c) diminuindo-se o comprimento vibratório e tracionando-se mais
da (lá) emite um som de frequência fundamental igual a 220Hz. intensamente a corda;
Qual será a frequência do novo som fundamental emitido, quando d) aumentando-se o comprimento vibratório e tracionando-se
o violonista, ao dedilhar esta mesma corda, fixar o dedo no traste menos intensamente a corda;
a 12,0cm de sua extremidade (figura)? e) todas as sugestões são inadequadas para que o violinista
consiga seu objetivo.
12. (FUVEST) – A frequência fundamental do som emitido por uma

corda vibrante é dada pela expressão:
1 F
f = ––– ––––
2L ␳
em que F é a tração, ␳ é a densidade linear e L é o comprimento

da corda.
Uma corda de 0,50m, com densidade linear 10–2kg/m, está sub-
metida a uma tração de 100N.
a) Calcule a frequência fundamental do som emitido pela corda.
b) O que se deve fazer com essa corda para dobrar a frequência
do som fundamental?
202
13. Uma corda de piano com 40,0cm de comprimento e massa 5,00g a) expressar a frequência f em função de L, F e ␳;
é distendida sob ação de uma força de tração de intensidade b) determinar o fator pelo qual se deve multiplicar F para que o
320N. A frequência do modo fundamental de vibração é: número de ventres observados na corda dobre.
a) 100Hz b) 200Hz c) 400Hz
d) 800Hz e) 1200Hz 19. (MODELO ENEM) – Na figura, está representado um aparato
experimental para o estudo de ondas estacionárias num fio
14. (FEI) – Uma corda vibrante tem massa m = 10g e comprimento elástico. G é um gerador de frequências, A é um alto-falante em
ᐉ = 1,0m e possui ambas extremidades fixas nos pontos A e B. cujo cone está fixado um pino e B é um bloco de massa
Quando a corda vibra na frequência de 100Hz, verifica-se a for- desconhecida.
mação do estado estacionário indicado na figura abaixo. Ajustando-se G para 20Hz, o pino preso ao cone de A vibra na
mesma frequência, provocando no fio de densidade linear
5,0 . 10–1kg/m o estado estacionário esquematizado.
Determinar o comprimento de onda e a intensidade da força tensora

na corda.
15. Uma corda homogênea AB, de comprimento ᐉ e massa m, tem
as duas extremidades fixas. Estabelece-se um estado estacio-
nário com apenas um nó intermediário, por meio de um abalo
transversal de frequência f. A força tensora na corda tem inten-
sidade F. Mantendo-se a frequência do abalo, altera-se apenas a Desprezando-se o atrito entre o fio e a polia e adotando-se
intensidade da força tensora na corda para F’, de modo a aparece- g = 10m/s2, pode-se afirmar que
rem dois nós entre A e B. Calcular a relação entre F e F’. a) o comprimento de onda das ondas que se propagam através
do fio vale 60cm;
16. Duas cordas de mesma espessura foram construídas com um b) a velocidade das ondas que se propagam através do fio tem
mesmo material, uma com comprimento L1 = 60cm e outra com intensidade de 3,0m/s;
comprimento L2 = 40cm. A primeira é submetida a uma tensão c) a massa de B vale 1,8kg;
T1 = 40N e a segunda, a uma tensão T2 = 90N. Quando postas em d) aumentando-se a frequência de G a partir de 20Hz, obter-se-á
oscilação, verifica-se que a de comprimento L1 tem frequência o próximo estado estacionário para 40Hz;
fundamental de 36Hz. A partir desses dados, determine em Hz, e) diminuindo-se a frequência de G a partir de 20Hz, obter-se-á o
para a corda L2, sua frequência fundamental. próximo estado estacionário para 10Hz.
17. Um dos instrumentos musicais 20. (IME) – Um pescador desenvolveu um método original de medir
mais consagrados no Brasil é o o peso dos peixes pescados. Ele utiliza uma vara com uma linha
violão, verdadeiro ícone da de 2,0m de comprimento e um frequencímetro. Ao pescar um
MPB. Dedilhando suas seis peixe, ele “percute” a linha na posição da figura e mede a fre-
cordas, um músico pode con- quência do som produzido.
duzir um ouvinte do chorinho O pescador quer selecionar uma linha adequada, de modo que
ao samba, da bossa nova ao para um peixe de peso 10N ele obtenha uma frequência funda-
pagode. mental de 50Hz.
a) Em que porcentagem você aumentaria a intensidade da força

de tração em uma das cordas do instrumento, atarrachando a
correspondente cravelha, para aumentar a frequência do seu
som fundamental em 10%?
b) Em que porcentagem você reduziria o comprimento vibratório
de uma das cordas do instrumento, pressionando-a num ponto
do braço, para aumentar a frequência do seu som fundamental
em 25%?
18. No esquema, representa-se a montagem da Experiência de Mel-

de para a obtenção de ondas estacionárias numa corda tensa. Determine a massa (em gramas) de linha que deverá ser utilizada
para se obter o resultado desejado.
21. As figuras abaixo mostram um fio homogêneo de seção reta

constante esticado por um bloco de massa M = 2,0kg. Despreze
o peso do fio e considere a aceleração da gravidade igual a
10m/s2. Na figura (1), o fio é esticado de tal maneira que vibra no
2.o harmônico com frequência de 400Hz.
Posteriormente, na figura (2),
o bloco é mergulhado com-
pletamente em um certo lí-
quido; para o 2.o harmônico, a
frequência de vibração do fio
O diapasão elétrico, vibrando sempre com frequência f, perturba é de 320Hz. O empuxo, em
a corda, ao longo da qual se distinguem três ventres. newtons, exercido pelo líqui-
Sendo F a intensidade da força tensora na corda, L o comprimento do sobre o bloco é de:
vibratório e ␳ a densidade linear (massa da corda por unidade de a) 20 b) 13 c) 7,2
comprimento), pede-se: d) 5,0 e) zero
203
4. Tubos sonoros Sendo ␭i o comprimento de onda da onda estacioná-

ria presente no tubo, esse comprimento pode ser expres-
São tubos que, ao serem soprados, fazem a coluna so em função de L, em cada caso, por:
de ar interna vibrar, havendo a produção de som. ␭1 2L
1.o harmônico: L = ––– ⇒ ␭1 = –––
2 1
(I) Abertos: têm a extremidade oposta à emboca- ␭2 2L

dura (entrada de ar) aberta. 2.o harmônico: L = 2 ––– ⇒ ␭2 = –––
2 2
Quando um tubo aberto ressoa, forma-se uma onda
estacionária no ar de seu interior. ␭3 2L
Verifica-se que nas duas extremidades do tubo (em- 3.o harmônico: L = 3 ––– ⇒ ␭3 = –––
2 3
bocadura e extremidade aberta) há formação de ventres
(interferência construtiva). • • •
• • •
• • •
␭n 2L
n.o harmônico: L = n ––– ⇒ ␭n = ––– I
2 n
Sendo V o módulo da velocidade das ondas parciais

que se superpõem para a formação das ondas estacionárias
(II) Fechados: têm a extremidade oposta à embo-
e fn a frequência de um harmônico de ordem n, vem:
cadura (entrada de ar) fechada.
Quando um tubo fechado ressoa, forma-se uma onda
estacionária no ar de seu interior. V
V = ␭n fn ⇒ fn = ––––– II
Verifica-se que na embocadura há formação de um ␭n
ventre (interferência construtiva), e que na extremidade
fechada há formação de um nó (interferência destrutiva). Substituindo I em II , temos:
V V
fn = –––– ⇒ fn = n –––––
2L 2L
–––
n
Notas:
(A) n é a ordem do harmônico ou o número de nós
da onda estacionária considerada.
(I) Tubos Abertos
(B) f2 = 2f1; f3 = 3f1; ... ; fn = nf1.
Nas figuras a seguir, estão representadas as três pri-
(C) A frequência de um determinado harmônico em
meiras ondas estacionárias que podem surgir na coluna
um tubo aberto é inversamente proporcional ao com-
de ar do interior de um tubo aberto de comprimento útil
primento útil do tubo. Dobrando-se L, por exemplo, fn
igual a L. Esses três modos de vibração correspondem,
reduz-se à metade (o som fica mais grave).
respectivamente, ao 1.o harmônico (ou modo fundamen-
tal), 2.o harmônico e 3.o harmônico. (D) Os tubos sonoros abertos reproduzem to-
dos os harmônicos, tanto os de ordem ím-
par como os de ordem par.
(II) Tubos Fechados

Na figura adiante, estão representadas as três pri-
meiras ondas estacionárias que podem surgir na coluna
de ar do interior de um tubo fechado de comprimento útil
igual a L. Esses três modos de vibração correspondem,
respectivamente, ao 1.o harmônico (ou modo fundamen-
tal), 3.o harmônico e 5.o harmônico.
204
V V
f(2n – 1) = ––––––– ⇒ f(2n – 1) = (2n – 1) –––––
4L 4L
––––––
2n – 1
Notas:
(A) (2n – 1) é a ordem do harmônico e n é o núme-

ro de nós da onda estacionária considerada.
(B) f3 = 3f1; f5 = 5f1; ... ; f(2n – 1) = (2n – 1) f1.
(C) A frequência de um determinado harmônico em

Sendo ␭i o comprimento de onda da onda estacioná- um tubo fechado é inversamente proporcional
ria presente no tubo, esse comprimento pode ser expres- ao comprimento útil do tubo. Dobrando-se L, por
so em função de L, em cada caso, por: exemplo, f(2n – 1) reduz-se à metade (o som fica
mais grave).
␭1 4L
1.o harmônico: L = ––– ⇒ ␭1 = ––– (D)
4 1 Os tubos sonoros fechados reproduzem
apenas os harmônicos de ordem ímpar.
3␭3 4L
3.o harmônico: L = –––– ⇒ ␭3 = –––
4 3
5␭5 4L
5.o harmônico: L = –––– ⇒ ␭5 = –––
4 5
• • •
• • •
• • •
(2n – 1) ␭(2n –1)

(2n – 1).o harmônico: L = –––––––––––––––
4
4L
␭(2n – 1) = ––––––––– I
2n – 1
Sendo V o módulo da velocidade das ondas parciais

que se superpõem para a formação das ondas estacio-
nárias e f(2n – 1) a frequência de um harmônico de ordem
(2n – 1), vem:
Em algumas igrejas do mundo, há órgãos muito antigos, capazes de emitir
belíssimos sons, adequados à execução de música sacra. Alguns desses órgãos
V chegam a ter mais de 2000 tubos sonoros, chamados de foles, que podem
V = ␭(2n–1) f(2n–1) ⇒ f(2n – 1) = –––––––– II operar abertos ou fechados. Com os tubos abertos, obtém-se um timbre
␭(2n – 1) mais rico, já que todos os harmônicos, os de ordem ímpar e os de
ordem par, estão presentes. Com os tubos fechados, entretanto, obtém-se
um timbre mais pobre, já que apenas os harmônicos de ordem ímpar
estão presentes. Os tubos longos emitem os sons de baixa frequência
Substituindo I em II , temos: (graves), e os tubos curtos emitem os sons de alta frequência (agudos).
205
22. Em um tubo fechado, forma-se uma onda estacionária conforme

a figura a seguir. 1000,0cm3 = 50,0cm2 L1 L1 = 20,0cm
Na segunda ressonância, temos:
a) Qual o comprimento de onda do 5.o harmônico produzido no

tubo?
b) Qual o comprimento de onda desse mesmo harmônico, se abrir-
mos a extremidade fechada do tubo?
Resolução
a) Na figura, está representado o 3.o harmônico (n = 2), e dela
concluímos que:
840,0cm3 = 50,0cm2 L2 L2 = 16,8cm
{ n=2
␭
––– = 4,0cm ⇒ ␭ = 8,0cm
2
A diferença entre L1 e L2 corresponde à metade do comprimento
de onda do som.
Então:
␭ ␭
␭ ––– = L1 – L2 ⇒ ––– = 20,0 – 16,8 ⇒ ␭ = 6,4cm
Para tubo fechado: L = (2n – 1) ––– 2 2
4
8,0cm Como:
Então: L = (2 . 2 – 1) –––––– = 6,0cm V = ␭f ⇒ V = 6,4 . 10–2 . 5341 ⇒ V 342m/s
4
Resposta: aproximadamente 342m/s
Para o 5.o harmônico, lembrando que:
4L 4 . 6,0cm 24. (UFMA-MODELO ENEM) – Considere um tubo de comprimento

␭ = –––––– ⇒ ␭5 = ––––––––– ⇒ ␭5 = 4,8cm 35 cm, com uma das extremidades fechada e a outra aberta. Uma
2n – 1 5
fonte sonora introduz nesse tubo uma onda acústica com
velocidade de 340 m/s e frequência 1,7 kHz. Quantos nós e
b) Abrindo-se a extremidade fechada e lembrando que para tubo quantos ventres a onda estacionária, gerada no interior do tubo,
aberto: apresenta?
a) 4 nós e 3 ventres b) 4 nós e 5 ventres
2L 2 . 6,0cm c) 3 nós e 4 ventres d) 5 nós e 4 ventres
␭ = –––– ⇒ ␭5 = ––––––––– ⇒ ␭5 = 2,4cm
n 5 e) 4 nós e 4 ventres
Resolução
Respostas: a) 4,8cm (I) V = ␭ f ⇒ 340 = ␭ 1700 ⇒ ␭ = 0,20m = 20 cm
b) 2,4cm
(II) Na extremidade fechada do tubo, forma-se um nó (interferên-
23. Um diapasão vibra com frequência de 5341Hz na boca de uma cia destrutiva) e em sua extremidade aberta, forma-se um
proveta cilíndrica, cuja secção transversal tem área igual a ventre (interferência construtiva).
50,0cm2. A proveta é lentamente esvaziada e ressoa quando con- Tendo-se em conta essas características, a onda estacionária
tém 1000,0cm3 de água. Entra em ressonância novamente quan- de comprimento de onda 20 cm posiciona-se no interior do
do contém 840,0cm3 de água. tubo de comprimento 35 cm conforme o esquema a seguir.
Determinar o módulo da velocidade do som nas condições da ex-
periência.
Resolução
Na primeira ressonância, temos:
Resposta: E
25. (ITA-MODELO ENEM) – Um diapasão de 440 Hz soa acima de

um tubo de ressonância contendo um êmbolo móvel, como
mostrado na figura. A uma temperatura ambiente de 0°C, a
primeira ressonância ocorre quando o êmbolo está a uma dis-
tância h abaixo do topo do tubo.
206
Dado que a velocidade do som no ar (em Na temperatura de 0°C, temos:

m/s) a uma temperatura T (em °C) é
v = 331,5 + 0,607T, conclui-se que a V=␭f
20°C a posição do êmbolo para a pri-
331,5 = 4h . 440
meira ressonância, relativa a sua posição
a 0°C, é: h = 0,1884m
a) 2,8 cm acima. b) 1,2 cm acima. h = 18,84 cm
c) 0,7 cm abaixo. d) 1,4 cm abaixo. Na temperatura de 20°C, temos:
e) 4,8 cm abaixo.
V’ = ␭’f
331,5 + 0,607 . (20) = 4h’ . 440

343,64 = 4h’ . 440
Resolução
h’ = 0,1953m
h’ = 19,53 cm
A primeira ressonância ocorre quando a
Portanto:
altura h do tubo corresponder a um
quarto do comprimento de onda do som ⌬h = h’ – h = 19,53 – 18,84 (cm)
emitido pelo diapasão. ⌬h = 0,69cm 0,7 cm
␭
h = ––– ⇒ ␭ = 4h Assim, após o aquecimento do ar para 20°C, para se obter a
4 primeira ressonância, o êmbolo deve ser deslocado 0,7 cm para
baixo da sua posição inicial.
Resposta: C
26. O quinto harmônico emitido por um tubo sonoro aberto tem fre- b) Qual o menor comprimento da coluna de ar para que se verifi-
quência de 1700Hz. Sendo o módulo da velocidade do som no ar que ressonância?
que preenche o tubo igual a 340m/s, o comprimento útil do tubo
é de: 30. (ITA) – Dois tubos de órgão, A e B, têm o mesmo comprimento
a) 0,20m b) 0,50m c) 1,0m d) 1,5m e) 2,0m. L, sendo que A é fechado e B é aberto. Sejam fA e fB as frequên-
cias fundamentais emitidas, respectivamente, por A e B. Desig-
27. (FUVEST-SP) – Um tubo aberto de comprimento L só pode emitir nando por V o módulo da velocidade do som no ar, pode-se
V afirmar que:
sons de frequência fn = n ––– (n inteiro). V V
2L a) fA = 2fB b) fA = ––– c) fB = –––
2L 4L
Sendo V = 340m/s e L = 1m:
a) Qual a frequência do som fundamental emitido pelo tubo? 1 V
b) Qual o comprimento de onda correspondente a esse som? d) fA = ––– fB e) fA = –––
4 4L
28. Um tubo sonoro aberto é soprado com ar, verificando-se a forma- 31. (UFC) – Considere dois tubos sonoros, um aberto e outro fecha-
ção de uma onda estacionária em seu interior. Essa onda possui do, ambos de mesmo comprimento e situados no mesmo am-
dois ventres situados na região interna do tubo. Sabendo-se que biente. Se o som de frequência fundamental emitido pelo tubo
a velocidade do som no ar tem módulo igual a 340m/s e que o aberto tem comprimento de onda de 34cm, qual o comprimento
som emitido pelo tubo tem frequência de 1020Hz, pedem-se: de onda, em centímetros, do som de frequência fundamental
a) o comprimento do tubo; emitido pelo tubo fechado?
b) a frequência do seu som fundamental.
32. (MODELO ENEM) – Um tubo sonoro, como
29. Em um experimento para medir a velocidade do som no ar, utili- o da figura ao lado, emite um som que se
zou-se de um tubo contendo água, aberto em uma extremidade, propaga no ar com velocidade de módulo
e um gerador de áudio com um alto-falante, que produziu uma 340m/s. Pode-se afirmar que o compri-
onda de 250Hz. Observou-se que ocorria ressonância quando a mento de onda e a frequência da onda
coluna de ar tinha comprimento de 96cm e que, abaixando o nível sonora emitida são, respectivamente:
da água, a próxima ressonância ocorria quando a coluna de ar a) 0,75m e 340Hz.
apresentava comprimento de 160cm (como indicam as figuras). b) 0,80m e 425Hz.
c) 1,00m e 230Hz.
d) 1,50m e 455Hz.
e) 2,02m e 230Hz.
33. (VUNESP) – Um tubo de 1,0m de comprimento é fechado em

uma das extremidades. Um fio esticado é colocado transver-
salmente próximo da extremidade aberta. O fio, de 0,40m de
comprimento e massa de 8,0g, está preso em ambas as extre-
midades e vibra no seu modo fundamental. Em consequência, a
coluna de ar vibra em ressonância, também no seu modo funda-
mental. Determinar
a) a frequência das vibrações da coluna de ar;
a) Considerando as informações do texto, encontre a velocidade b) a intensidade da tensão do fio (módulo da velocidade do som
do som neste ambiente. no ar = 340m/s).
207
34. (CESGRANRIO) – O maior tubo do órgão de uma catedral tem Se a velocidade do som no ar tem módulo de
comprimento 10m; o tubo menor tem comprimento 2,0cm. Os 340m/s, a frequência do som emitido pelo al-
tubos são abertos e o som se propaga em seu interior com to-falante e a distância L2 da superfície livre da
velocidade de módulo 340m/s. Quais são os valores extremos da água à “boca” do tubo no instante em que
faixa de frequências sonoras que o órgão pode emitir, sabendo-se ocorre a segunda ressonância valem, respecti-
que os tubos ressoam no modo fundamental? vamente:
a) 500Hz e 34cm b) 500Hz e 51cm
35. (MODELO ENEM) – No diagrama a seguir, estão representadas c) 1000Hz e 34cm d) 1000Hz e 51cm
as curvas (A) e (B), dos comprimentos de onda (␭) dos modos e) 2000Hz e 34cm
fundamentais de vibração de tubos sonoros, em função do
comprimento (L) desses tubos.
40. Faz-se vibrar um diapasão próximo à

boca de uma proveta à medida que se
vai retirando água do seu interior. A
coluna de ar na proveta começa a vibrar
quando o nível livre atinge uma dis-
tância ᐉ1 da borda. Continua-se a tirar
água da proveta e a coluna de ar vibra
novamente quando o nível livre atinge
uma distância ᐉ2 da borda. Assim, a
Considere as proposições: relação ᐉ2/ᐉ1 vale:

I. A curva (A) corresponde a tubos abertos e a (B), a tubos a) 1/2 b) 2 c) 1/3 d) 3
fechados. e) não pode ser calculada sem o conhecimento da frequência do
II. A curva (A) corresponde a tubos fechados e a (B), a tubos diapasão.
abertos. 41. (UNICAMP-SP) – O ruído sonoro nas proximidades de rodovias
III. Um tubo de comprimento L = 30cm que se adapte à curva (A) resulta predominantemente da compressão do ar pelos pneus de
soprado com ar (módulo da velocidade do som no ar: 342m/s) veículos que trafegam a altas velocidades. O uso de asfalto
emite um som de frequência 285Hz. emborrachado pode reduzir significativamente esse ruído. O
Responda: gráfico abaixo mostra duas curvas de intensidade do ruído sonoro
a) Apenas I e III são corretas. b) Apenas II e III são corretas. em função da frequência, uma para asfalto comum e outra para
c) Apenas I é correta. d) Apenas II é correta. asfalto emborrachado.
e) Apenas III é correta.
36. Uma fonte sonora emitindo um som simples de frequência igual

a 440Hz (nota lá) é colocada sucessivamente na embocadura de
cinco tubos cilíndricos de vidro, A, B, C, D e E, fechados numa das
extremidades, de comprimentos, respectivamente, iguais a
6,25cm, 15,00cm, 18,75cm, 37,50cm e 93,75cm. Sabendo que
os tubos são preenchidos por ar e que o som se propaga neste
meio com velocidade de módulo igual a 330m/s, determine que
tubo(s) entrou (entraram) em ressonância com a fonte.
37. Uma proveta tem 60cm de profundidade e recebe a maior quan-

tidade de água possível para que o ar restante entre em res- a) As intensidades da figura foram obtidas a uma distância
sonância com o som de um diapasão que emite na frequência de r = 10 m da rodovia. Considere que a intensidade do ruído
680Hz. sonoro é dada por I = P / 4␲r2, em que P é a potência de
Determine a altura de água na proveta. emissão do ruído. Calcule P na frequência de 1000 Hz para o
Dado: módulo da velocidade do som no ar = 340m/s. caso do asfalto emborrachado.
b) Uma possível explicação para a origem do pico em torno de
38. (UFC) – Considere o arranjo representado na figura a seguir, no 1000Hz é que as ranhuras longitudinais dos pneus em contato
qual vemos um tubo sonoro T, em que está ajustado o êmbolo E, com o solo funcionam como tubos sonoros abertos nas
que pode ser movido convenientemente, e uma fonte F, que extremidades. O modo fundamental de vibração em um tubo aber-
emite som de frequência constante f. Utilizando esse arranjo, um to ocorre quando o comprimento de onda é igual ao dobro do
estudante verificou que, deslocando o êmbolo para a direita, comprimento do tubo. Considerando que a frequência funda-
desde a posição em que ᐉ é igual a zero, a primeira ressonância mental de vibração seja 1000Hz, qual deve ser o comprimento do
tubo? A velocidade de propagação do som no ar é v = 340 m/s.
ocorreu na posição em que ᐉ1 = 18cm. Supondo que o estudante
continue a deslocar o êmbolo para a direita, em que valor sub- 42. O dispositivo da figura ao lado per-
sequente ᐉ2, em centímetros, ocorrerá uma nova ressonância? mite determinar a frequência do som
emitido por uma fonte sonora. A fon-
te é colocada na embocadura do
tubo A e a altura da coluna de ar
pode ser variada, mergulhando o tu-
bo A mais ou menos no recipiente B
que contém água. Variando a altura
39. (MODELO ENEM) – Um alto-falante emite som de frequência L, foram encontrados dois pontos
constante sobre o tubo sonoro da figura. A água escoa lentamente sucessivos de ressonância, distan-
pela torneira O do tubo, inicialmente cheio. No instante em que o ciados entre si de 0,20m.
nível da água se encontra à distância L1 = 17cm da “boca” do tubo, Sendo de 340m/s o módulo da velocidade do som no ar, calcule a
ocorre um primeiro reforço do som (ressonância). frequência do som emitido pela fonte.
208
5. Qualidades Um intervalo acústico importante da escala musical

fisiológicas do som chamada natural é a oitava, em que i = 2, o que signifi-
ca que a frequência da nota mais aguda é o dobro da fre-
A orelha humana normal distingue no som três qua- quência da nota mais grave. Dois dós consecutivos num
lidades diversas, denominadas qualidades fisiológicas. teclado, por exemplo, estão intercalados por uma oitava.
São elas: a altura (ou tom), a intensidade auditiva (ou
sonoridade) e o timbre.
9 10
Tom maior: i = ––– ; Tom menor: i = –––
8 9
16 25
A orelha humana é um incrível detector de ondas sonoras, que se divide em Semitom maior: i = ––– ; Semitom menor: i = –––
três partes fundamentais: a orelha externa, constituída pelo pavilhão 15 24
(orelha), pelo canal auditivo e pelo tímpano (membrana elástica que vibra ao (bemóis e sustenidos)
ser atingida pelas ondas sonoras), a orelha média, na qual se localizam um Nota:
sistema de pequenos ossos (martelo, bigorna e estribo) e a Trompa de Eus- É importante observar que a altura de um som está
táquio (que faz a comunicação entre o ouvido e a faringe) e a orelha interna,
que é preenchida por um líquido aquoso que faz a comunicação com a cóclea
ligada exclusivamente à sua frequência, nada tendo que
(ou caracol), elemento vital da audição, local em que se situam os terminais ver com o “volume” desse som, que está associado à
fibrosos do nervo auditivo que transmitem as informações para o cérebro, intensidade de onda.
onde se processa finalmente a interpretação dos sinais.
Muitas vezes, pedimos equivocadamente que as pessoas
falem mais baixo (ou mais alto) quando, na verdade, dese-
É a qualidade que permite a um ouvido distinguir um jamos que elas falem com menor (ou maior) intensidade.
som baixo (grave) de um som alto (agudo).
Som baixo (grave) ⇒ baixa frequência
Som alto (agudo) ⇒ alta frequência
É a qualidade que permite a um ouvido distinguir um
som fraco de um som forte.
Som fraco ⇒ pequena intensidade
Som forte ⇒ grande intensidade
Som Baixo (grave) Som Agudo (alto)
voz masculina voz feminina
Sejam:
tenor soprano
S0: sonoridade de referência;
violoncelo violino S: sonoridade do som considerado;
contrabaixo guitarra I0: intensidade do som de referência;
I: intensidade do som considerado;
mugir de um boi relinchar de um cavalo ⌬S = S – S0: magnitude da sensação auditiva ou ní-
vel do som.
Verifica-se que:
É a grandeza adimensional i, dada pelo quociente I
entre as frequências f2 e f1 dos sons considerados. ⌬S = k log –––
Matematicamente: I0
f2 “A magnitude da sensação auditiva (nível do som) é
i = ––– (f2 > f1) função do 1.o grau do logaritmo do agente excitador.”
f1
(Lei de Weber-Fechner)
209
A constante de proporcionalidade k pode receber va- O gráfico anterior é um audiograma de um ouvido

lores arbitrários, mas seu valor mais comum é 10. Neste normal, no qual fica claro que um melhor desempenho
caso, a magnitude da sensação auditiva ⌬S fica expressa ocorre para as médias frequências, entre 1 000Hz e
em decibel (dB). 5 000Hz. Na frequência de 1 000Hz, por exemplo, o ou-
I vido começa a perceber o som praticamente com 0 dB
⌬S = 10 log ––– (⌬S em dB) (limiar da audição) e passa a sentir dor a partir de 120 dB
I0 (limiar da dor).
Na tabela abaixo, temos a magnitude da sensação au-
ditiva para alguns sons. Esses valores pressupõem S0 = 0
e I0 = 10–16 W/cm2. É a qualidade que permite distinguir sons de mesma
Sons ⌬S (dB) altura e intensidade, emitidos por fontes diferentes.
Os responsáveis pelo timbre são os harmônicos (fre-
Tique-taque de um relógio 10 quências múltiplas) que acompanham cada som funda-
mental.
Farfalhar de folhas ao vento 20
Se um piano e um violino, por exemplo, emitirem a
Cochichos, conversação à mesma nota musical, com a mesma intensidade, conse-
40
meia-voz guiremos distinguir os dois sons. Cada um apresentará
Ondas do mar numa praia um timbre característico. Isso ocorre porque, embora o
50
tranquila som fundamental seja o mesmo, os harmônicos que
acompanham o som de cada instrumento variam em
Conversação normal 60 quantidade e intensidade. Isso determina para cada ins-
trumento uma forma de onda diferente, o que nos permi-
Conversação animada 90 te afirmar que o timbre de um som está associado à
respectiva forma de onda.
Tráfego urbano pesado 100
Gritos de várias pessoas em

110
ambiente fechado
Boate ou discoteca 120

Limiar
da dor
Avião a jato decolando a 30m
140
de distância
200 ou
Grandes explosões
mais
Perigo para os ouvidos

O gráfico A, acima, caracteriza o som de um violino ao emitir a nota musical
LÁ. Trata-se de um som complexo, constituído basicamente por quatro harmô-
nicos: o fundamental (gráfico B) e mais três de ordem superior (gráficos C, D
e E).
Pessoas diferentes que entoa-

rem a mesma nota musical dian-
te do microfone do equipamento
da foto ao lado observarão
na tela do osciloscópio formas
de onda diferentes, compatíveis
com cada timbre de voz.
210
Mesmo com o avanço da tecnologia, é praticamente impossível repetir por meio de sintetizadores eletrônicos o timbre exato de um instrumento musical acústico.
Nas fotos acima, temos as formas de onda da mesma nota musical emitida por instrumentos acústicos e sintetizados. As diferenças entre os gráficos A e A’, B e B’
indicam, respectivamente, as diferenças de timbre.
43. Uma onda sonora chega a um ouvinte com intensidade I, dando-lhe projetado para filtrar os ruídos contínuos e de baixa frequência,
uma sensação sonora S. Por quanto deveria ser multiplicada a como o do motor de aviões, carros e trens, mas não bloqueia os
intensidade da onda que chega a esse ouvinte, para que sua sen- sons de alta frequência, como a voz humana, campainhas e
sação sonora aumentasse de x? latidos de cachorros. O mecanismo de bloqueio do som segue um
Resolução princípio de física: o de que uma onda pode ser anulada por outra
Queremos que a nova sonoridade seja: igual, emitida em sentido contrário. O fone capta o ruído externo
S’ = S + x ⇒ S’ – S = x e transmite as informações para um microprocessador que, de-
Seja I’ = n I a intensidade sonora que provoca a sensação sonora pois de identificar sua intensidade, envia por meio de um alto-fa-
S’. lante uma onda sonora idêntica. Só para se ter uma ideia de sua
utilidade, o ruído interno dentro de um trem de metrô é de 95 dB,
Pela Lei de Weber-Fechner, podemos escrever: enquanto sons a partir de 130 dB – equivalentes ao de uma
turbina de avião a 100m de distância – podem causar danos per-
I I’ manentes à audição.
S – S0 = K log ––– (1) e S’ – S0 = K log ––– (2)
I0 I0 (Adaptado de Veja, edição de 21 de abril de 2004).
Com base nas informações do texto e lembrando que o nível de

Subtraindo (1) de (2), vem: I’ intensidade sonora (N), em decibéis, correspondente a uma
––––
I’ I I0 intensidade específica (I), é dado por
S’ – S = K (log ––– – log ––– ) = K log –––––
I0 I0 I I
–––– N = 10 log –– ,
I0 I0
I’ nI
S’ – S = K log ––– = K log ––– em que I0 é a intensidade mínima auditiva, julgue as afirmações
I I abaixo.
I. O princípio de física a que a reportagem se refere é
x denominado interferência, e a onda sonora enviada para anular
x = K log n ⇒ log n = ––– ⇒ n = 10x/K o ruído deve estar em oposição de fase com este.
K
II. Quando operando em potência máxima, o fone de ouvido,
mencionado no texto, permite que a intensidade física do
Resposta: A intensidade sonora deverá ser multiplicada por
ruído captado pelo ouvido seja dez vezes menor.
n = 10x/K
III. O fone de ouvido, referido no texto, tem eficiência na
atenuação de ruídos graves, mas não tem eficiência na
44. (UFPR-MODELO ENEM) – Quando ouvimos uma banda de rock
atenuação de ruídos agudos.
ou uma orquestra sinfônica executar uma música, podemos
Está (ão) correta (s)
distinguir o som emitido por cada um dos instrumentos tocados
a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III.
pelos músicos. Essa é uma das capacidades de nosso aparelho
d) apenas I e III. e) I, II e III.
auditivo. A qualidade do som que nos permite diferenciar cada um
Resolução
dos instrumentos, mesmo quando tocam simultaneamente a
(I) CORRETA
mesma nota musical, é chamada de
A antionda emitida pelo fone de ouvido tem as mesmas carac-
a) amplitude. b) potência. c) intensidade.
terísticas da onda principal (externa ao equipamento), estando
d) timbre. e) frequência.
em oposição de fase em relação a esta. Na superposição,
Resolução
essas ondas se anulam devido à interferência destrutiva que
O timbre é a qualidade fisiológica do som relacionada com a forma
ocorre entre elas.
de onda característica do som considerado. Instrumentos
(II) CORRETA
musicais diferentes, emitindo a mesma nota musical, têm timbre
diferente, isto é, as respectivas ondas sonoras diferem-se pelo I I
número de harmônicos que acompanham o som fundamental e N = 10 log –– ⇒ – 10 = 10 log ––
I0 I0
pela intensidade com que cada harmônico contribui na formação
do som resultante.
I I I0
Resposta: D log –– = – 1 ⇒ –– = 10– 1 ⇒ I = –––
I0 I0 10
45. (UFPA-MODELO ENEM)
O RUÍDO FICA DO LADO DE FORA (III) CORRETA
Ruídos de baixa frequência: graves (bloqueados); ruídos de
Afinal inventaram o que faltava nestes tempos barulhentos: o alta frequência: agudos (não bloqueados).
fone de ouvido que bloqueia os ruídos externos. Em potência
máxima, é capaz de reduzir em 10 dB a barulheira externa. Ele foi Resposta: E
211
46. Dois diapasões, A e B, emitem sons puros de frequências 400Hz

e 800Hz, respectivamente. Aponte a alternativa correta:
a) O som de A é mais agudo que o de B.
b) O som de A é mais alto que o de B.
c) O som de A é mais forte que o de B.
d) O som de A está uma oitava acima do de B.
e) O som de A está uma oitava abaixo do de B.
47. (SANTA CASA) – A escala musical proposta por Zarlin é cons-

truída de modo que, conhecendo-se a frequência de uma nota,
pode-se obter a frequência de todas as demais, multiplicando-se A afirmativa correta é:
esta por fatores bem definidos. Por exemplo: se conhecermos o a) O som produzido pela onda I possui o mesmo timbre do pro-
Dó de uma oitava, as demais notas serão obtidas pelo produto da duzido pela onda II.
frequência do Dó pelo fator F dado na tabela seguinte: b) O som produzido pela onda III é mais alto que o produzido pela
onda II.
DÓ RÉ MI FÁ SOL LÁ SI DÓ c) O som produzido pela onda II possui maior intensidade que o
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ da onda III.
F=1 9 5 4 3 5 15 2 oitava d) As figuras I e II representam ondas de um mesmo instrumento.
––– ––– ––– ––– ––– ––– seguinte
8 4 3 2 3 8 e) As velocidades de propagação das ondas I e II, no ar, são dife-
rentes.
Definem-se ainda como bemol e sustenido de uma nota os pro-
dutos da frequência dessa nota por 24/25 ou 25/24, respectiva-
mente. Qual é a razão entre o Lá sustenido de uma oitava e o Mi 52. (MODELO ENEM) – João assovia em um microfone ligado a um
bemol da oitava seguinte? osciloscópio, e o perfil da onda sonora está representado a seguir.
a) 625/864; b) 864/625; Maria assovia no mesmo microfone, e o perfil da onda sonora
c) 625/432; d) 432/625; também está representado a seguir.
e) depende da oitava adotada. Supondo que durante a experiência os controles do osciloscópio
foram mantidos inalterados, aponte a alternativa correta:
a) João assoviou mais alto que Maria, porém mais fraco.
48. Considere os seguintes sons: b) João assoviou mais alto que Maria e também mais forte.
Som A: correspondente ao mugir de um boi. c) João assoviou mais baixo que Maria, porém mais forte.
Som B: correspondente ao relinchar de um cavalo. d) João assoviou mais baixo que Maria e também mais fraco.
É correto afirmar que e) João assoviou com a mesma altura e com a mesma amplitude
a) o som A é mais forte que o som B. do assovio de Maria.
b) o som A tem a mesma forma de onda que o som B.
c) o som A é mais baixo que o som B.
d) o som A é constituído de ondas longitudinais, enquanto o som
B é formado de ondas transversais.
e) apenas o som A pode propagar-se no vácuo.
49. A dificuldade que uma pessoa tem em imitar a voz de outra é de-
vida ao fato de a pessoa
a) não ouvir bem o som da própria voz;
b) não conseguir reproduzir os mesmos sons fundamentais da
voz da outra pessoa;
c) não conseguir reproduzir os mesmos harmônicos do som da
voz da outra pessoa;
d) não conseguir emitir a voz com a mesma sonoridade da voz da
outra pessoa;
e) ter uma capacidade de concentração limitada ao fazer a imita-
ção.
50. (UEL) – Considere a proposição a seguir: “A qualidade que mais

diferencia a voz de um homem da de uma mulher é que,
geralmente, a do homem é mais ................................... e forte
que a da mulher, que é mais ................................... e fraca.”
A proposição acima torna-se fisicamente correta se as lacunas
forem preenchidas, respectivamente, por
a) máscula e feminil; b) grave e aguda;
c) seca e timbrosa; d) alta e baixa; 53. (MODELO ENEM) – Além do dano que podem causar à audição,
e) máscula e musical. os sons fortes têm vários outros efeitos físicos. Sons de 140
decibéis (dB) (som de um avião a jato pousando) podem produzir
numerosas sensações desagradáveis, entre elas, perda de
51. (UFOP-MODELO ENEM) – As figuras representam ondas equilíbrio e náusea. A unidade decibel (dB), utilizada no texto,
sonoras que se propagam no ar. representa
212
a) a frequência do som. primeiro, ouvirá o som, se se colocar a uma distância da fonte

b) a intensidade física do som. igual ao dobro da distância do primeiro observador.
c) o nível sonoro do som. Dado: log 2 = 0,30.
d) a potência do som.
e) o timbre do som.
60. (UNICAMP) – É usual medirmos o nível de uma fonte sonora em
decibels (dB). O nível em dB é relacionado à intensidade I da fonte
54. (EFOMM) – Em relação à intensidade sonora de referência, pela fórmula
I0 = 10–12W/m2, o nível sonoro associado à intensidade sonora de I
10–3W/m2 é de: Nível sonoro (dB) = 10 log10 –––
a) 2,5dB b) 25dB c) 40dB d) 90dB e) 150dB I0
em que l0 = 10–12W/m2 é um valor padrão de intensidade muito

55. Com um equipamento propício, mede-se o nível de ruído num próximo do limite de audibilidade humana.
ponto do cruzamento das avenidas Ipiranga e São João (em São Os níveis sonoros necessários para uma pessoa ouvir variam de
Paulo). Uma primeira amostra, levantada às 6h, revela 20dB, indivíduo para indivíduo. No gráfico abaixo, estes níveis estão re-
enquanto outra, obtida às 18h, acusa 100dB. Podemos afirmar presentados em função da frequência do som para dois indiví-
que, da primeira amostra para a segunda, a intensidade sonora duos, A e B. O nível sonoro acima do qual um ser humano come-
ficou multiplicada por: ça a sentir dor é aproximadamente 120dB, independentemente
a) 5 b) 50 c) 80 d)105 e) 108 da frequência.
56. Uma onda longitudinal tem nível sonoro de 40dB. Uma outra onda
longitudinal de mesma frequência e no mesmo meio de propa-
gação tem nível sonoro de 60 dB. Quantas vezes a intensidade
física da segunda onda é maior que a da primeira?
57. Na cerimônia de abertura da Olimpíada de Atlanta, apresentou-se

um coral constituído por 100 vozes, e na execução de uma mú-
sica observou-se que o nível de intensidade sonora alcançou
100dB. Admitindo que todas as vozes tivessem a mesma intensi-
dade, como deve acontecer num coral de boa qualidade, o nível
de intensidade sonora de cada componente, em dB, era:
a) 10,0 b) 100 c) 80,0 d) 1,00 e) 2,00
58. Um observador portando um decibelímetro (aparelho para medir

nível sonoro em decibel) observa que, estando a 5,0m de uma
fonte sonora, recebe 80dB. A que distância esse observador deve a) Que frequências o indivíduo A consegue ouvir melhor que o
ficar da fonte, para que o nível sonoro caia para 60dB? Supor a indivíduo B?
onda sonora propagando-se com potência constante. b) Qual a intensidade I mínima de um som (em W/m2) que causa
dor em um ser humano?
c) Um beija-flor bate as asas 100 vezes por segundo, emitindo
59. Um observador, situado a uma certa distância de uma fonte sono- um ruído que atinge o ouvinte com um nível de 10dB. Quanto
ra pontual, percebe o som com sonoridade de 36dB. Calcule com a intensidade I deste ruído precisa ser amplificada para ser au-
que intensidade um outro observador, subjetivamente igual ao dível para o indivíduo B?
6. Efeito Doppler-Fizeau
É o fenômeno que consiste em um observador
captar uma frequência aparente diferente da fre-
quência real das ondas emitidas por uma fonte,
pelo fato de haver aproximação ou afastamento
entre os dois.
O Efeito Doppler-Fizeau é um fenômeno comum,
que pode ser observado com todos os tipos de ondas, me-
cânicas ou eletromagnéticas, mas que fica bastante evi-
dente quando as ondas envolvidas são sonoras.
Consideremos as situações esquematizadas a seguir, Neste caso, o observador receberá mais frentes de
em que um observador está nas proximidades de uma fá- ondas por unidade de tempo do que receberia se estives-
brica, cuja sirene emite um som de frequência constante se em repouso. Isso significa que ele captará uma fre-
fF. Seja fO a frequência percebida pelo observador. quência aparente fO maior do que a frequência real fF
É claro que, se o observador estiver em repouso em emitida pela fonte, isto é, ele ouvirá um som mais alto
relação à sirene, fO = fF. (agudo) do que o verdadeiro som da sirene.
213
Ao utilizar esta fórmula, entretanto, devemos respei-

Aproximação: fO > fF tar a convenção de sinais adotada quando se faz a sua de-
dução: o sentido positivo para VO e VF é o sentido obser-
vador → fonte, conforme ilustram os esquemas a seguir:
Neste caso, o observador receberá menos frentes de No exemplo acima, VO > 0 e VF < 0.
ondas por unidade de tempo do que receberia se estives- fO fF
se em repouso. Isso significa que ele captará uma fre- ––––––– = –––––––
quência aparente fO menor do que a frequência real fF V + VO V – VF
emitida pela fonte, isto é, ele ouvirá um som mais baixo
(grave) do que o verdadeiro som da sirene.
Afastamento: fO < fF
Nota: Estamos supondo que o observador seja menos

veloz do que as ondas.
No exemplo acima, VO < 0 e VF > 0.
fO fF
––––––– = –––––––
V – VO V + VF
Quando assistimos a uma corrida de Fórmula 1 de um

local fixo no autódromo ou mesmo pela televisão, percebemos
nitidamente o Efeito Doppler-Fizeau com o som produzido pelo
funcionamento dos motores. Observando um dos carros, notamos
um ronco mais agudo na aproximação e um ronco mais grave no afastamento.
Sejam:
fF: frequência real emitida por uma fonte de ondas;
fO: frequência aparente captada por um observador;
VF: valor absoluto da velocidade da fonte de ondas;
VO: valor absoluto da velocidade do observador;
V: valor absoluto da velocidade das ondas em rela-
ção a um referencial no solo.
Ao observar o espaço, os astrônomos têm condições de dizer, fundamentados
Demonstra-se que: pelo Efeito Doppler-Fizeau, se uma estrela está aproximando-se ou
afastando-se da Terra. Basta que seja observada com que coloração é
fO fF captada, em nosso planeta, a luz emitida pelo astro. Se a estrela se apresenta
––––––– = ––––––– avermelhada, seu espectro está deslocado para as baixas frequências:
V+ – VO V+– VF isso significa afastamento. Se a estrela se apresentar azulada, entretanto, seu
espectro está deslocado para as altas frequências: isso significa aproximação.
214
61. Uma fonte sonora, que emite uma determinada nota, move-se d) observador e fonte movendo-se em sentidos opostos numa
com velocidade constante de módulo 20m/s em relação a um trajetória retilínea, um afastando-se do outro, com velocidades
observador parado. Calcular a relação entre as frequências apa- de módulos iguais a 66m/s.
rentes que o observador percebe quando a fonte se aproxima e Resolução
quando a fonte se afasta. Adotar para o módulo da velocidade do
fO fF
som o valor 340m/s. –––––––– = ––––––––
Resolução V+ V
– O V +
– VF
fO fF
–––––––– = ––––––––
V+ V
– O V +
– VF a)
1.o caso: A fonte aproxima-se do observador.
fO 1200
–––––––– = ––––––––
330 + 66 330 + 0
fO = 1440Hz
fO1 fF
––––––– = –––––––– b)
340 + 0 340 – 20
340
fO1 = ––––––– fF
320
2.o caso: A fonte afasta-se do observador.

fO 1200
–––––––– = ––––––––
330 + 0 330 – 66
fO = 1500Hz
c)
fO2 fF
––––––– = ––––––– –
340 + 0 340 + 20
340
fO = ––––––– fF
2 360
fO 1200
–––––––– = ––––––––
340 330 + 66 330 – 66
–––– fF
fO1 320 f 1 360
⬖ –––– = –––––––– ⇒ ––O–– = –––– fO = 1800Hz
fO2 340 fO2 320
–––– fF
360
d)
fO1 9
–––– = –––
fO2 8
Resposta: 9/8
62. Uma fonte emite um som de frequência igual a 1200Hz. Calcular

a frequência percebida por um observador nos seguintes casos fO 1200
–––––––– = ––––––––
(módulo da velocidade do som no ar = 330m/s): 330 – 66 330 + 66
a) fonte em repouso; observador movendo-se em “direção” à
fonte com velocidade de módulo 66m/s;
fO = 800Hz
b) observador em repouso; fonte movendo-se em “direção” ao
observador com velocidade de módulo 66m/s;
c) observador e fonte movendo-se em sentidos opostos numa
Respostas: a) 1440Hz b) 1500Hz
trajetória retilínea, um de encontro ao outro, com velocidades
c) 1800Hz d) 800Hz
de módulos iguais a 66m/s;
215
63. (UFPR-MODELO ENEM) – Os morcegos se orientam e encon- 64. Na foto abaixo, aparece o astrônomo norte-americano Edwin
tram suas presas emitindo, de suas narinas, ondas ultrassônicas Powell Hubble (1889-1953) que se notabilizou por descobrir que
e recebendo as ondas refletidas. Para detectar uma presa, na as nebulosas – galáxias situadas fora da Via Láctea –, afastam-se
mais completa escuridão, o morcego emite ondas numa certa umas das outras com velocidades diretamente proporcionais às
frequência fE, que são refletidas pela presa e voltam para ele com distâncias que as separam. Essa constatação deu forte amparo à
outra frequência, fD. O morcego ajusta a frequência emitida até teoria do Big Bang, segundo a qual o Universo se teria originado
que a recebida seja de 80 kHz, que corresponde ao máximo de a partir de uma grande explosão, encontrando-se desde essa sin-
sensibilidade para a audição de um morcego. Dessas forma, ele gularidade em franca expansão. As nebulosas foram observadas
pode tanto calcular a posição quanto a velocidade da presa. por Hubble avermelhadas ao invés de brancas, como se deveria
Considerando a velocidade do som no ar igual a 340 m/s, é correto esperar.
afirmar:
a) Ondas ultrassônicas são ondas sonoras com frequências mais
baixas que as detectadas pelo ouvido humano.
b) Se uma mariposa estiver voando de encontro ao morcego, a
frequência detectada pelo morcego será menor que a emitida
por ele.
c) Para a frequência de máxima sensibilidade de recepção, o
comprimento de onda vale 4,25 m.
d) Se o morcego está em repouso e uma mariposa está afas-
tando-se dele, do ponto de vista do morcego, o comprimento
de onda detectado será menor do que o da onda emitida por
ele.
e) Se a presa produzir suas próprias ondas ultrassonoras, pode
confundir o sistema de detecção do morcego e assim salvar a
vida dela.
Resolução
a) ERRADA
Ultrassons: ondas com frequências mais altas que as
detectadas pelo ouvido humano.
b) ERRADA
A frequência detectada pelo morcego será maior que a
emitida por ele.
c) ERRADA
Esse desvio observado no espectro luminoso emitido pelas galá-
V = ␭f ⇒ 340 = ␭ 80 . 103 ⇒ ␭ = 4,25 . 10–3 m xias no sentido das colorações vermelhas foi chamado de red
shift. O red shift pode ser explicado pela(o)
␭ = 4,25 mm a) difração da luz. b) inferência dos raios luminosos.
c) polarização da luz. d) Efeito Compton.
d) ERRADA e) Efeito Doppler.
O comprimento de onda detectado pelo morcego será maior Resolução
que o emitido por ele. O desvio observado no espectro luminoso emitido pelas galáxias
no sentido das colorações vermelhas (red shift) revela que estas
e) CORRETA estão em processo de afastamento do observador, o que é
explicado pelo Efeito Doppler luminoso.
Resposta: E Resposta: E
65. (UFJF-MODELO ENEM) – Um pescador P, ao se aproximar da a) fp < fA < fB < fC b) fp = fC < fA < fB
linha da costa com seu barco, aciona a buzina para avisar que está c) fp > fC > fB >fA d) fp > fA > fB > fC
chegando. Sua direção de deslocamento está alinhada com o e) fp < fA = fB = fC
ancoradouro, onde se encontra um companheiro C (conforme a
figura a seguir). 66. (UNISA) – A cor da luz emitida por certa estrela parece-nos mais
avermelhada do que é na realidade. Este fenômeno é devido ao
fato de
a) a estrela estar muito distante da Terra;
b) a luz propagar-se com velocidade muito grande no vácuo;
c) a luz sofrer refração na atmosfera;
d) a estrela estar-se afastando da Terra;
e) a estrela estar-se aproximando da Terra.
67. (PUC-MODELO ENEM) – Uma fonte sonora em repouso, situada

no ar em condições normais de temperatura e pressão, emite a
nota lá1 (frequência de 440Hz). Um observador, movendo-se
A frequência do som ouvido pelo pescador P é fp e as frequências
sobre uma reta que passa pela fonte, escuta a nota lá2 (frequên-
dos sons ouvidos pelas pessoas A, B e C são, respectivamente,
cia 880Hz). Supondo que a velocidade de propagação do som no
fA, fB e fC no instante mostrado. Podemos afirmar que: ar de módulo igual a 340m/s, podemos afirmar que o observador
216
a) aproxima-se da fonte com velocidade de módulo 340 m/s; Analise as proposições:

b) afasta-se da fonte com velocidade de módulo 340 m/s; I. f1/f2 = 16
c) aproxima-se da fonte com velocidade de módulo 640 m/s; II. A fonte sonora tem velocidade igual 3/5 da velocidade do som.
d) afasta-se da fonte com velocidade de módulo 640 m/s; III. A fonte sonora tem velocidade supersônica.
e) aproxima-se da fonte com velocidade de módulo 880 m/s. Responda mediante o código:
a) Se somente I for correta. b) Se somente II for correta.
c) Se somente III for correta. d) Se I, II e III forem corretas.
68. (FUVEST) – Um vagão desloca-se sem atrito sobre trilhos re- e) Se I, II e III forem incorretas.
tilíneos horizontais carregando um homem e um tambor. A velo-
cidade do trem em relação ao solo tem módulo igual a 100m/s.
O homem sobre o trem bate no tambor em intervalos regulares 73. No esquema abaixo, A é uma ambulância que se move a 108km/h
de um segundo. Duas outras pessoas paradas sobre os trilhos ou- e C é um carro que se move em sentido oposto ao da ambulância,
vem as batidas do tambor, a primeira situada diretamente no com velocidade 36 km/h.
sentido em que se move o trem, e a segunda no sentido oposto.
A ambulância, tocando sirene, emite um som de frequência 900Hz.

Supondo ausência de vento, determine
Se a velocidade do som no ar (suposto parado) tem módulo igual a
a) o intervalo de tempo em segundos entre duas batidas conse-
330m/s, calcule a frequência aparente do som ouvido pelo motoris-
cutivas ouvidas pela primeira pessoa;
ta de C
b) o número de batidas do tambor ouvidas por segundo pela se-
a) antes do cruzamento de seu carro com a ambulância;
gunda pessoa.
b) depois do cruzamento de seu carro com a ambulância.
Dado: módulo da velocidade do som = 400m/s.
74. (CEFET-CE) – Um motoqueiro ouve o som da sirene de um cami-

69. (UNIP-MODELO ENEM) – Uma fonte de ondas mecânicas (F) está
nhão dos bombeiros que trafega a seu lado. A sirene do caminhão
emitindo infrassons de frequência 17Hz.
emite um som de frequência constante e igual a 3550Hz. A
A fonte está em repouso, em relação ao solo, e um observador
velocidade do som no ar, considerado parado, tem intensidade
aproxima-se da fonte com velocidade constante de intensidade
igual a 340m/s. Ao chegarem a uma bifurcação, cuja abertura
V0’ em relação ao solo e direcionada para F.
corresponde a um ângulo ␪ = 60°, os veículos se separam e
Sabe-se que a velocidade dos infrassons no ar tem módulo igual
a 340m/s e que a faixa de frequências audíveis pelo observador é seguem caminhos diferentes com velocidades de módulos iguais
de 20Hz a 20 000Hz. O mínimo valor de V0 para que os infrassons a 108km/h, conforme ilustra a figura abaixo (vista aérea). Que
se transformem em som audível é de: frequência do som da sirene o motoqueiro passará a ouvir?
a) 60km/h b) 216km/h c) 180km/h
d) 90km/h e) 16km/h
70. (EFOMM) – Um passageiro, parado à beira de um trecho retilíneo

da estrada, observa um ônibus que se aproxima e ouve o som
produzido pela sucessão das explosões do motor (ronco do
motor). Ao passar pelo passageiro, a frequência do som que ele
ouve passa a ser 7/8 da frequência anterior. Se o módulo da
velocidade de propagação do som no ar é de 345m/s, qual é o
módulo da velocidade do ônibus?
71. (IME) – Um observador escuta a buzina de um carro em duas si- 75. Uma fonte sonora de frequência igual a 440Hz oscila em
tuações diferentes. Na primeira, o observador está parado e o car- movimento harmônico simples de amplitude 0,20m e pulsação
ro afasta-se com velocidade V; na segunda, o carro está parado e 550rad/s. Considere um observador em repouso num ponto do
o observador afasta-se com velocidade V. Em qual das duas si- prolongamento da trajetória da fonte. Supondo que o som se
tuações o tom ouvido pelo observador é mais grave? Justifique progague no meio com velocidade de módulo 330m/s, determine
sua resposta. os limites da faixa de frequências percebidas pelo observador.
72. (MODELO ENEM) – Uma fonte sonora de frequência f, deslocan- 76. Um pêndulo de comprimento 1,6m oscila com pequena amplitude
do-se em linha reta com velocidade constante, passa por um ob- angular sem sofrer os efeitos do ar (figura 1). A massa do pêndulo
servador parado. O observador verifica que as frequências f1, é uma fonte sonora operando com frequência constante f0 e M é
recebida quando a fonte se aproxima, e f2, recebida quando ela se um microfone fixo, cuja função é captar o som emitido pela massa
afasta, apresentam um intervalo de duas oitavas na escala pendular.
musical.
217
Adotando-se | g | = 10m/s2, pede-se:

a) comparar com f0 as frequências fA e fB captadas por M quando
No gráfico anexo (figura 2), está representada a variação da frequên- o pêndulo passa respectivamente pelas posições A e B,
cia (f) captada por M em função do tempo (t). simétricas em relação à posição vertical;
b) calcular o intervalo de tempo ⌬t indicado na figura 2.
5) A 6) a) 476m/s 7) 72cm 40) D 41) a) P = 3,6 . 10–3W

b) 0,50m b) 17cm
8) 275Hz 9) D 10) A
42) 850Hz 46) E 47) A
11) C
48) C 49) C 50) B
12) a) 100Hz
b) Reduzir L à metade ou quadruplicar F ou, ainda, alterar L e F 51) C 52) D 53) C
adequadamente.
54) D 55) E 56) Cem vezes.
F 9
13) B 14) 50cm e 25N 15) –– = ––
F’ 4
57) C 58) 50m 59) 30 dB
16) 81Hz 17) a) 21%
b) 20% 60) a) Frequências compreendidas entre 20Hz e 200Hz.
b) 1,0 W/m2
3 F c) Deve ser amplificada 100 vezes.
18) a) f = ––– ––
␳ 19) C 20) 5,0 . 10–1g
2L
1 65) A 66) D 67) A

b) ––
4
68) a) 0,75s 69) B 70) 23m/s

batida
21) C 26) B 27) a) 170Hz b) 0,80 ––––––––
segundo
b) 2,0m
28) a) 50cm 29) a) 320m/s 71) O tom é mais grave na segunda situação, em que o carro está
b) 340Hz b) 32cm parado e o observador afasta-se com velocidade V.
30) E 31) 68cm 32) B 72) B 73) a) 1 020Hz 74) 3250Hz

b) 800Hz
33) a) 85Hz 34) 17Hz e 8500Hz

b) 92,5N 75) 330Hz e 660Hz
35) B 36) Ressoaram os tubos C e E. 76) a) Aproximação: fA = fB > fO

Afastamento: fA = fB < fO
37) 47,5cm 38) 54cm 39) B b) 1,6␲s
218

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P1_Livro4_Mecanica_Alelex_1a154 08/08/12 11:30 Página I

5 – Origem e Evolução do Universo . . . . . . . . . . . . . . 79

6 – Noções de Física Moderna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9 – Noções de Hidrodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

2 – Interferência de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . 171

3 – Fenômenos Ondulatórios . . . . . . . . . . . . . 183

1 IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO

A bola recebe da cabeça do garoto um

Sendo o impulso uma grandeza de natureza vetorial, 3. Unidade e

A quantidade de movimento é sempre tangente à → →

dim [ Q ] = dim [ m ] . dim [ V ]

Em relação às grandezas fundamentais: massa (M),

Observe que [ I ] = [ Q ] , isto é, impulso e quanti-

dade de movimento têm as mesmas dimensões físicas

→ 6. Relação entre a energia

1. (UNISA) – A respeito da quantidade de movimento e da energia Resolução

d) Errada: A energia cinética é constante e a quantidade de movi-

2. Uma partícula se move em um plano de modo que suas coorde-

x = 1,5 t2 e y = 2,0 t2 em unidades do SI.

x = 1,5 t2 (1) y = 2,0 t2 (2) Resposta: 9,0 kg . m/s

4. Uma bola de futebol cai verticalmente, é cabeceada por um joga-

Aplicando-se o Teorema de Pitágo-

Q = 2,0 . 5,0t ⇒ Q = 10,0t (SI)

Resolução Qual o trabalho realizado pela força resultante sobre o carrinho,

Resolução → V2 = 0,2 g H = 0,2 . 10 . 72

␶F = ⌬Ecin = Ecin – Ecin 2) Q = mV

9. (UFAM) – Um menino faz girar uma pedra presa a uma haste

16. (UELON-PR) – Um veículo de massa 500kg, percorrendo uma

17. (UNAMA) – O gráfico a seguir representa a variação do módulo

13. (UFRJ) – Uma bola de tênis de massa m colide contra uma

18. (MODELO ENEM) – As leis de Newton têm validade nos siste-

19. (UFTM-MG-MODELO ENEM) – Professores de Física costumam

Notas → → Usamos o TEC quando pretendemos relacionar força

Aplicando-se a lei dos cossenos ao triângulo da figu-

Para o caso particular de ␣ = 90°, recaímos na aplica-

Verifique a semelhança entre o teorema da energia

d) A propriedade gráfica citada vale somente quando

e) Conceitua-se força média, em relação ao tempo,

28. (PUC-PR-MODELO ENEM) – Alguns automóveis têm o painel

30. Um automóvel desloca-se em uma estrada reta e horizontal com

31. (UFLA-MG) – Em uma partida de tênis, a bola atinge a raquete

34. Um corpo parte do repouso, em queda livre, de uma altura H

Sabendo-se que, ao atingir a cama, a velocidade da jovem é A velocidade escalar do mó-

3. O impulso exercido pela estrutura do veículo sobre o moto-

38. (VUNESP) – Um móvel de massa 5,0kg, em trajetória retilínea,

Energia eólica é a energia contida nas massas de ar em movi-

O sistema S é dito isolado quando a resultante de

A conservação da quantidade de movimento total

Ee = Ecin + Ecin = 1,2J

c) Usando a expressão da energia elástica, obtemos a constante

a) No ponto mais alto da trajetória, a velocidade do projétil é hori-

Respostas: a) – 4,0m/s Vx = 16m/s

e) Analisando-se o movimento horizontal (MU), vem:

dB = 19,2 + 32 . 1,2(m) ⇒ dB = 57,6m

53. Um barco de massa M está em repouso nas águas tranquilas de

VB2 = 144 + 256 = 400 ⇒ VB = 20,0m/s

54. Um caixote de massa m, aberto em cima, desliza, sem atrito, em

o foguete para conseguir alcançar a nave a tempo, pois deve partir

56. No esquema, temos um bloco A com o formato indicado, em 2) Velocidade do foguete:

57. (VUNESP-MODELO ENEM) – Uma astronauta de 60 kg pode mo- Q0 =

1,0 2,0 4 2gR