Dimensionamento ao cisalhamento de vigas de concreto reforçado com

fibras de aço sem estribos: uma análise paramétrica

Shear design of steel fiber reinforced concrete beams without stirrups: a

parametric analysis

RESUMO
Algumas normativas apresentam recomendações de dimensionamento ao cisalhamento de vigas
de concreto reforçado com fibras, porém com diferenças entre si. Desse modo, esse artigo tem
como objetivo realizar o dimensionamento ao cisalhamento e análise paramétrica de vigas em
concreto reforçado com fibras de aço (CRFA) sem estribos, baseando-se nos métodos propostos
pela recém lançada NBR 16935:2021, pelo FIB Model Code 2010, pela RILEM TC 162-TDF
e pela norma Alemã Richtlinie. Para execução do trabalho, realizou-se uma pesquisa na
literatura de publicações de ensaios experimentais de vigas de CRFA, com armadura
longitudinal e sem estribos, para obter valores experimentais a serem comparados com as
previsões teóricas de capacidade cisalhante fornecidas pelas normativas. E para a análise
paramétrica, buscou-se trabalhos com resultados de resistência residual à tração baseado no
ensaio EN 14651, ensaio similar ao indicado pela NBR 16935:2021. Os parâmetros variados Comentado [RP1]: A NBR que foi baseado no EN
foram a largura (bw), altura útil (d) e a taxa de armadura longitudinal (ρ). Os resultados mostram
que o FIB Model Code 2010 e a NBR 16935:2021 apresentaram valores previstos
característicos mais próximos aos resultados experimentais sendo menos conservadores em
relação as demais normativas. Dentre os parâmetros analisados, a taxa de armadura longitudinal
apresentou a maior influência nos resultados.

Palavras-chave: Concreto reforçado com fibras. Vigas sem estribo. Capacidade ao

cisalhamento. Análise paramétrica. NBR 16935.

ABSTRACT
Some standards present recommendations for shear dimensioning of fiber reinforced concrete
beams, but with some differences between them. Thus, this article purposes to carry out the
shear design and parametric analysis of beams in steel fiber reinforced concrete (SFRC),
without stirrups, based on the methods proposed by the recently released NBR 16935:2021, the
FIB Model Code 2010, RILEM TC 162-TDF and the German standard Richtlinie. To carry out
the work, a literature search was carried out on publications of experimental tests of SFRC
beams, with longitudinal reinforcement and without stirrups, to obtain experimental values to
be compared with the theoretical predictions of shear capacity by the standards. And for the
parametric analysis, studies were sought with residual tensile strength results based on the EN
14651 test, a test similar to that indicated by NBR 16935: 2021. Varied parameters were width
(bw), useful height (d) and longitudinal reinforcement ratio (ρ). The results show that the FIB
Model Code 2010 and NBR 16935:2021 presented characteristic predicted values closer to the
experimental results, being less conservative in relation to the other regulations. Among the
analyzed parameters, the longitudinal reinforcement ratio had the greatest influence on the
results.

Keywords: Fiber reinforced concrete. Beams without stirrups. Shear capacity. Parametric
analysis. NBR 16935.
1 INTRODUÇÃO
O concreto apresenta ótima resistência à compressão, porém reduzida resistência à tração, e
uma opção para melhorar essa resistência é a utilização de fibras dispersas na mistura, sendo as
fibras de aço as mais comumente utilizadas (LANTSOGHT, 2019a). As primeiras vigas
reforçadas com fibras ensaiadas para resistir ao cisalhamento foram testadas em 1972 e desde
então vários estudos demonstraram que a presença de fibras de aço aumenta a resistência ao
cisalhamento de vigas de concreto (BARROS; FOSTER, 2018). As fibras podem ou não
substituir as armaduras transversais convencionais de aço em vigas de concreto armado.
Entretanto, apesar do alto potencial, uma abordagem de modelagem consensual ainda não existe
para prever a resistência ao cisalhamento do concreto reforçado com fibras em vigas
(BARROS; FOSTER, 2018).
O uso do concreto reforçado com fibras (CRF) de aço está diretamente relacionado ao seu
comportamento pós-fissuração em tração. O ensaio de flexão de três pontos de acordo com a
normativa EN 14651 (CEN, 2007), é um dos ensaios recomendados para avaliar os parâmetros
pós-fissuração para aplicação do CRF como material estrutural (TRINDADE, 2020).
A tração na pós-fissuração, ou pull-out, é a resposta do reforço da fibra em materiais à base de
cimento. Característica distintiva que define o desempenho em termos de manutenção,
durabilidade e resistência em elementos estruturais de CRF (BARROS; FOSTER, 2018).
As fibras de aço no CRF têm sido utilizadas como armadura primária ou secundária em
elementos estruturais, conforme sugerido em códigos e recomendações internacionais RILEM
TC 162-TDF (RILEM, 2003), EHE-08 (CPH, 2008), FIB Model Code (FIB, 2010), CNR-DT
204 (CNR, 2006), ACI 318-08 (ACI, 2007), AS 3600-2018 (AS, 2018). O ensaio de flexão de
três pontos normatizado pela EN 14651 (CEN, 2007) é indicado para parametrizar a resistência
residual para correspondentes aberturas de fissuras e, desse modo, obter a lei constitutiva a ser
aplicada no projeto estrutural de elementos do CRF.
O estudo desenvolvido por Lantsoght (2019b) apresenta um banco de dados de 488
experimentos de cisalhamento em vigas de concreto com fibras de aço sem estribos, além de
compilar diversas equações empíricas e disposições de códigos e de pesquisadores para
previsão da capacidade de cisalhamento. A comparação realizada demonstra uma grande
dispersão nos valores experimentais com os previstos nos modelos e conclui ainda, que nenhum
dos métodos disponíveis descreve adequadamente o comportamento de vigas CRF com fibras
de aço que falham por cisalhamento.
Em fevereiro de 2021, houve a publicação da normativa brasileira de projeto de estruturas de
concreto reforçado com fibras. A NBR 16935 (ABNT, 2021) estabelece os requisitos de
desempenho mecânico para estruturas de concreto reforçado com fibras (CRF) para atuação
isolada ou em conjunto com as armaduras. Também foi publicada a NBR 16940 (ABNT, 2021)
que apresenta o método de ensaio para determinação das resistências à tração na flexão (limite
de proporcionalidade e resistências residuais), com procedimento semelhante ao recomendado
pela EN 14651 (CEN, 2007).
Desse modo, esse artigo tem como objetivo realizar uma análise paramétrica, partindo de
resultados experimentais de outros autores, que apresentem dados de resistência residual à
tração, resistência à compressão e variação do volume de fibras. A análise paramétrica foi feita
através da variação dos parâmetros largura (bw), altura útil (d) e taxa de armadura longitudinal
(ρ). Também foi realizada uma pesquisa de dados de ensaios experimentais, para serem
comparados com a previsão de capacidade cisalhante das normativas abordadas, bem como
avaliar a NBR 16935 (ABNT, 2021) frente às demais normativas internacionais no que se refere
a vigas de CRF com armadura longitudinal e sem armadura transversal.
2 REFERENCIAL TEÓRICO

2.1 Ensaio de flexão de três pontos

O ensaio de flexão de três pontos, de acordo com EN 14651 (CEN, 2007), é realizado em uma
viga prismática com 500 mm de vão e comprimento total de 550 mm, seção transversal de
(150×150) mm e um entalhe de 25 mm de profundidade localizado no meio do vão da viga,
conforme ilustrado na Figura 1. Segundo a NBR 16940 (ABNT, 2021), norma que aborda esse
ensaio, de maneira semelhante, os corpos de prova também devem ter seção de (150 x 150) mm,
porém o comprimento pode variar entre 550 mm e 700 mm, com distância entre os apoios (vão)
de 500 mm. A tolerância das dimensões nominais deve ser inferior a 2 mm. O formato e a
dimensão dos corpos de prova, para o ensaio, devem ser feitos com concretos com agregado
com no máximo 25 mm de diâmetro e fibras com comprimento máximo de 60 mm.

Figura 1 - Ensaio de flexão de três pontos de acordo com EN 14651: (a) ensaio experimental
realizado em Trindade (2020) e (b) geometria de uma viga ensaiada, com dimensões em mm

Fonte: Trindade (2020), adaptado pelos autores.

A partir do ensaio, uma curva força (F) versus deslocamento expresso em CMOD (Crack Mouth
Opening Displacement), que corresponde à abertura do entalhe na face inferior da viga, pode
ser desenvolvida. Esse ensaio é importante, pois fornece a lei constitutiva para
dimensionamento dos elementos estruturais em CRF, incluindo o cisalhamento.
Para análise dos parâmetros após a fissuração, o comportamento do CRF em termos de
resistência à tração residual na flexão é indicado por valores de fR,j (j=1, 2, 3 e 4)
correspondentes às aberturas de fissuras de 0,50 mm (CMOD1), 1,50 mm (CMOD2), 2,50 mm
(CMOD3) e 3,50 mm (CMOD4) e definido segundo a Equação 01.

𝟑. 𝑭𝒋 . 𝒍 Eq. 01
𝒇𝑹,𝒋 =
𝟐. 𝒃. 𝒉𝟐𝒔𝒑

onde Fj é a carga pontual medida no meio do corpo de prova correspondente às aberturas de

fissuras, l é o comprimento do vão, b é a largura e hsp é a distância entre a ponta do entalhe e
do topo da viga na seção do meio do vão.
O limite de proporcionalidade fL é outro parâmetro importante adotado no projeto de CRF e
pode ser determinado a partir da Equação 02.
 𝟑. 𝑭𝑳 . 𝒍 Eq. 02
𝒇𝑳 =
𝟐. 𝒃. 𝒉𝟐𝒔𝒑

onde, FL é a carga medida com maior valor entre 0 ≤ CMOD ≤ 0,05 mm.
Destaca-se que os dados obtidos, de resistência à tração residual na flexão, para serem aplicados
nesse trabalho se referenciam a resultados de ensaios de flexão de três pontos segundo
EN 14651 (CEN, 2007).

2.2 Mecanismos de transferência de cisalhamento no CRF

Assim como para vigas de concreto armado, a zona de compressão do concreto fornece
resistência ao cisalhamento (Vcz), a armadura de flexão fornece resistência ao cisalhamento por
meio da ação do pino (Vd) e os agregados que se projetam da face da fissura fornecem
resistência ao cisalhamento através do intertravamento (Va). A contribuição da tensão residual
no concreto através da fissura é substituída pela resistência à tração do CRF (σ f,cr). A Figura 2
apresenta uma visão geral dos mecanismos de transferência de cisalhamento em vigas de CRF
com fibras de aço.

Figura 2 - Visão geral dos mecanismos de transferência de cisalhamento para CRF com fibras
de aço.

Fonte: Lantsoght (2019a).

Os parâmetros que afetam a capacidade ao cisalhamento de vigas de CRF com fibras de aço
são dependentes da resistência à compressão do concreto, quantidade de armadura longitudinal
de flexão, relação a/d (sendo “a” a distância de aplicação da carga em relação ao apoio e “d” a
altura útil), altura do elemento estrutural, propriedade e volume de fibras. Vários autores
desenvolveram expressões para quantificar a contribuição de fibras de aço na capacidade de
cisalhamento e sabe-se que as fibras aumentam a resistência ao cisalhamento de vigas sem
estribos, mas não se sabe exatamente como cada mecanismo de resistência ao cisalhamento é
afetado por elas (LANTSOGHT,2019a).

2.3 Modelos de dimensionamento ao cisalhamento de vigas de CRF com fibras de aço com
armadura longitudinal e sem armadura transversal
A escolha das normativas adotadas para o dimensionamento ao cisalhamento das vigas foi
realizada considerando o estudo desenvolvido por Lantsoght (2019b), que indicou uma grande
dispersão na razão entre os valores experimentais e os previstos após aplicação de quatro
normativas: FIB Model Code (FIB, 2010), RILEM (RILEM, 2003), normativa Alemã (DAfStb,
2012) e normativa Francesa (AFGC, 2013). Porém, dentre essas quatro normativas, os códigos
que adotam os métodos de previsão de capacidade de cisalhamento baseados no Eurocode, isto
é, RILEM (RILEM, 2003), FIB Model Code (FIB, 2010) e normativa Alemã (DAfStb, 2012)
forneceram resultados razoáveis, com coeficientes de variação de 27 a 29% entre resultados
experimentais e resultados previstos (LANTSOGHT, 2019b). Desse modo, essas três
normativas foram adotadas, além da recém publicada normativa NBR 16935 (ABNT, 2021),
sendo que todas incluem o efeito das fibras na capacidade de cisalhamento de vigas sem
estribos. As orientações e equacionamento destas normativas são apresentadas a seguir.

2.3.1 ABNT NBR 16935:2021

A resistência do elemento estrutural (VRd,F) em uma determinada seção transversal,
considerando o modelo linear indicado pela NBR 16935 (ABNT, 2021), é apresentada nas
Equações 03 a 07.
𝟏/𝟑
𝟎, 𝟏𝟖 𝒇𝑭𝒕𝒖𝒌
𝑽𝑹𝒅,𝑭 = { . 𝒌. [𝟏𝟎𝟎. 𝝆𝟏 . (𝟏 + 𝟕, 𝟓. ) . 𝒇𝒄𝒌 ] + 𝟎, 𝟏𝟓. 𝝈𝒄𝒑 } . 𝒃𝒘 . 𝒅
𝜸𝒄 𝒇𝒄𝒕𝒌 Eq. 03
≥ 𝑽𝑹𝒅,𝑭𝒎í𝒏

𝟐𝟎𝟎
𝒌= 𝟏+√ ≤ 𝟐, 𝟎 Eq. 04
𝒅
𝑨𝒔𝒍
𝛒𝟏 = Eq. 05
𝒃𝒘 . 𝒅
𝒘𝒖 Eq. 06
𝒇𝑭𝒕𝒖 = 𝒇𝑭𝒕𝒔 − . (𝒇𝑭𝒕𝒔 − 𝟎, 𝟓. 𝒇𝑹𝟑 + 𝟎, 𝟐. 𝒇𝑹𝟏 ) ≥ 𝟎
𝑪𝑴𝑶𝑫𝟑
𝒇𝑭𝒕𝒔 = 𝟎, 𝟒𝟓. 𝒇𝑹𝟏 Eq. 07

onde: γc é o coeficiente de ponderação do CRF e vale 1,5;

d é a altura útil da seção transversal;
bw é a menor largura da seção transversal na parte tracionada da viga;
σcp igual a zero para elementos em concreto armado;
𝛒𝟏 é a taxa de armadura longitudinal;
Asl é a área da armadura longitudinal da viga;
fFtu é a resistência característica à tração direta do CRF, valor último. Para determinar fFtuk
considerar wu= 1,5 mm na Equação 06;
CMOD3 corresponde a uma medida da abertura do entalhe de w= 2,5 mm.
fctk é a resistência característica do concreto à tração direta;
fck é a resistência característica à compressão do concreto;
fR1 é a resistência residual à tração na flexão do CRF correspondente ao CMOD1= 0,5 mm;
fR3 é a resistência residual à tração na flexão do CRF correspondente ao CMOD3= 2,5 mm;
O valor mínimo de VRd,F é o indicado nas Equações 08 e 09 e é limitado superiormente pelo
valor obtido pelas Equações 10 e 11. A armadura mínima de cisalhamento convencional
(estribos), conforme previsto na NBR 6118 (ABNT, 2014), pode ser dispensada quando for
utilizado o CRF e a condição apresentada na Equação 12 for atendida.

𝑽𝑹𝒅,𝑭𝒎𝒊𝒏 = (𝝂𝒎𝒊𝒏 + 𝟎, 𝟏𝟓. 𝝈𝒄𝒑 ). 𝒃𝒘 . 𝒅 Eq. 08

𝟑/𝟐 𝟏/𝟐 Eq. 09
𝝂𝒎𝒊𝒏 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟓. 𝒌 . 𝒇𝒄𝒌
𝒇𝒄𝒌 𝒄𝒐𝒕𝜽 + 𝒄𝒐𝒕𝜶
𝑽𝑹𝒅,𝒎𝒂𝒙 = 𝒌𝒄 . . 𝒃 . 𝒛. Eq. 10
𝜸𝒄 𝒘 𝟏 + 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝜽
𝟑𝟎 𝟏/𝟑
𝒌𝒄 = 𝟎, 𝟓. ( ) ≤ 𝟎, 𝟓 Eq. 11
𝒇𝒄𝒌
 𝒇𝑭𝒕𝒖𝒌 ≥ 𝟎, 𝟎𝟖. √𝒇𝒄𝒌 Eq. 12

2.3.2 FIB Model Code 2010

Segundo o FIB Model Code (FIB, 2010), a estimativa da resistência ao cisalhamento de vigas
de concreto com fibras de aço pode ser feita por dois métodos (KRASSOWSKA et al., 2019):
- VMC1 (método da treliça): a influência das fibras na capacidade de cisalhamento é considerada
usando a razão da resistência à tração residual característica na flexão da fibra (f Ftuk),
determinado para a abertura da fissura inicial wu=1,5 mm;
- VMC2 (Teoria do Campo de Compressão Modificada Simplificada - SMCFT): a participação
das fibras na transferência de tensões de cisalhamento é considerada pela introdução da tensão
de tração característica residual (fFtuk) do concreto com fibras determinado pelo método direto
do teste de tração e largura da fissura final correspondente a w u bem como com mudança no
ângulo da biela comprimida.
Neste artigo será adotado o método VMC1, onde a força cortante resistente de cálculo (VRd,F) é
determinada pelas Equações 13 a 17:
𝟏/𝟑
𝟎, 𝟏𝟖 𝒇𝑭𝒕𝒖𝒌
𝑽𝑹𝒅,𝑭 = { . 𝒌. [𝟏𝟎𝟎. 𝝆𝟏 . (𝟏 + 𝟕, 𝟓. ) . 𝒇𝒄𝒌 ] + 𝟎, 𝟏𝟓. 𝝈𝒄𝒑 } . 𝒃𝒘 . 𝒅 Eq. 13
𝜸𝒄 𝒇𝒄𝒕𝒌

𝟐𝟎𝟎
𝒌 =𝟏+√ ≤ 𝟐, 𝟎 (𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂) Eq. 14
𝒅

𝒇𝒄𝒌 = 𝒇𝒄𝒎 − 𝟖 Eq. 15

𝒘𝒖
𝒇𝑭𝒕𝒖 = 𝒇𝑭𝒕𝒔 − . (𝒇𝑭𝒕𝒔 − 𝟎, 𝟓. 𝒇𝑹𝟑 + 𝟎, 𝟐. 𝒇𝑹𝟏 ) ≥ 𝟎 Eq. 16
𝟐. 𝟓
𝒇𝑭𝒕𝒔 = 𝟎, 𝟒𝟓. 𝒇𝑹𝟏 Eq. 17
onde: ρ1 ≤ 2 %, γc = 1,5, wu= 1,5 mm (para determinar fFtuk), σcp vale zero para elementos em
concreto armado.
O valor mínimo de VRd,F é o mesmo indicado nas Equações 08 e 09 e a garantia de ductilidade
é respeitada segundo indicação da Equação 12.
As expressões do FIB Model Code (FIB, 2010) combinam o efeito do concreto e das fibras,
mas a expressão resultante é empírica e não considera as contribuições dos diferentes
mecanismos de transporte de cisalhamento (LANTSOGHT,2019a).
Observa-se que as recomendações apresentadas na NBR 16935 (ABNT, 2021) são similares ao
FIB Model Code (FIB, 2010), entretanto a norma Brasileira não apresenta a limitação da taxa
de armadura longitudinal (𝝆) de 2 %.

2.3.3 RILEM TC 162-TDF

As equações da força cortante resistente de cálculo (V Rd) indicadas pela RILEM (RILEM, 2003)
separam a contribuição do concreto (Vcd) da contribuição da fibra (Vfd) e estão apresentadas
nas Equações 18 a 23.

𝑽𝑹𝒅 = 𝑽𝒄𝒅 + 𝑽𝒇𝒅 Eq. 18

𝟎, 𝟏𝟖 Eq. 19
𝑽𝒄𝒅 =[ . 𝒌. (𝟏𝟎𝟎. 𝝆. 𝒇𝒄𝒌 )𝟏/𝟑 + 𝟎, 𝟏𝟓. 𝝈𝒄𝒑 ] . 𝒃𝒘 . 𝒅
𝜸𝒄
𝑽𝒇𝒅 = 𝟎, 𝟕. 𝒌𝒇 . 𝒌. 𝝉𝒇𝒅 . 𝒃𝒘 . 𝒅 Eq. 20
 𝒉𝒇 𝒉𝒇 Eq. 21
𝒌𝒇 = 𝟏 + 𝒏. ( ) . ( ) ≤ 𝟏, 𝟓
𝒃𝒘 𝒅
𝒃𝒇 − 𝒃𝒘 𝟑. 𝒃𝒘 Eq. 22
𝒏= ≤ 𝟑𝒆𝒏 ≤
𝒉𝒇 𝒉𝒇
𝟎, 𝟏𝟖 Eq. 23
𝝉𝒇𝒅 = . 𝒇𝑹𝒌,𝟒
𝜸𝒄
onde: ρ ≤ 2 %,, kf= 1 se seção retangular, σcp vale zero para elementos em concreto armado e
fRk,4 é a tensão residual característica para o estado limite último para um CMOD de 3,5 mm. O
valor de k segue a mesma recomendação do FIB Model Code (FIB, 2010).
Destaca-se que na RILEM (RILEM, 2003) o valor de 𝜸𝒄 não é apresentado explicitamente,
sendo as Equações 19 e 23 apresentadas por Zamanzadeh et al. (2015).

2.3.4 Normativa Alemã Richtlinie

As equações da força cortante resistente de cálculo (VfRd) indicadas pela normativa Alemã
(DAfStb, 2012) também separam a contribuição do concreto (VRd,c) da contribuição da fibra
(VRd,cf), e estão apresentadas nas Equações 24 a 29.

𝒇 Eq. 24
𝑽𝑹𝒅 = 𝑽𝑹𝒅,𝒄 + 𝑽𝑹𝒅,𝒄𝒇
𝑪𝑹𝒅,𝒄 Eq. 25
𝑽𝑹𝒅,𝒄 = . 𝒌. (𝟏𝟎𝟎. 𝝆. 𝒇𝒄𝒌 )𝟏/𝟑 . 𝒃𝒘 . 𝒅
𝜸𝒄
𝒇 𝒇 Eq. 26
𝜶𝒄 . 𝒇𝒄𝒕𝑹,𝒖 . 𝒃𝒘 . 𝒉
𝑽𝑹𝒅,𝒄𝒇 = 𝒇
𝜸𝒄𝒕
𝒇 𝒇 𝒇 𝒇 Eq. 27
𝒇𝒄𝒕𝑹,𝒖 = 𝒌𝑭 . 𝒌𝑮 . 𝟎, 𝟑𝟕. 𝒇𝒄𝒇𝒍𝒌,𝑳𝟐
𝒇 𝒇 Eq. 28
𝒌𝑮 = 𝟏, 𝟎 + 𝟎, 𝟓. 𝑨𝒄𝒕 ≤ 𝟏, 𝟕
𝒇 Eq. 29
𝑨𝒄𝒕 = 𝒃𝒘 . 𝒅, 𝒄𝒐𝒎 𝒅 ≤ 𝟏, 𝟓𝒎
onde: ρ ≤ 2 %, CRd,c= 0,15, γc= 1,5, γfct= 1,25, αfc=0,85 considera os efeitos de longo prazo,
𝒇
kfF=0,5 para cisalhamento e 𝒇𝒄𝒇𝒍𝒌,𝑳𝟐 é a tensão residual característica para o estado limite último
para um CMOD de 3,5 mm.
Para seções sujeitas a tensões axiais, o valor de VRd,cf vale zero. O valor de k segue a mesma
recomendação do FIB Model Code (FIB, 2010).

2.4 Modos de ruptura de vigas

No estudo de Krassowska et al. (2019), a análise do padrão de fissura mostra como a
incorporação de fibras no concreto influencia no modo de falha de vigas armadas com a mesma
armadura transversal.
As fissuras perpendiculares ao eixo longitudinal representam a falha por flexão - Figura 3 (a),
enquanto na ruptura por cisalhamento, a propagação de fissuras ocorre em direção ao ponto de
aplicação de carga concentrada e em direção ao posicionamento da armadura longitudinal -
Figura 3 (b).
 Figura 3 – Ruptura da viga de CRF ocorrendo por: (a) flexão e (b) cisalhamento

Fonte: Krassowska et al. (2019), adaptado pelos autores.

3 MÉTODO
A metodologia do presente trabalho consistiu em realizar uma pesquisa analítica de publicações
de ensaios experimentais de vigas de concreto reforçado com fibras de aço com armadura
longitudinal e sem estribos. Foram obtidos valores experimentais de modo a serem comparados
com previsões de capacidade cisalhante dos modelos normativos internacionais e da normativa
Brasileira.
Os estudos desenvolvidos por Amin e Foster (2016), Zamanzadeh et al. (2015) e Pansuk (2017)
foram os selecionados por apresentarem todos os dados necessários para realização do
dimensionamento ao cisalhamento e pelo fato do modo de ruptura das vigas ocorrer por
cisalhamento. A Figura 4 exemplifica o modo de ruptura por cisalhamento em uma viga
ensaiada por Amin e Foster (2016).

Figura 4 – Ruptura da viga de CRF ocorrendo por cisalhamento

Fonte: Amin e Foster (2016), adaptado pelos autores.

Além disso, diversos outros artigos foram consultados, incluindo autores indicados em
Lantsoght (2019b), porém essas publicações não incluíam dados de resistência residual à tração
determinada segundo a normativa EN 14651 (CEN, 2007) ou o modo de ruptura não tinha
ocorrido por cisalhamento. Dessa forma, não era possível aplicar exatamente o indicado pelas
normativas adotadas neste trabalho, sendo assim, estes artigos não foram selecionados.
A Tabela 1 apresenta os dados das fibras e parâmetros geométricos das vigas ensaiadas por
Amin e Foster (2016), Zamanzadeh et al. (2015) e Pansuk (2017) sendo que todas as vigas
apresentadas são armadas com armadura longitudinal, não possuem armadura transversal e o
modo de ruptura ocorreu por cisalhamento.
A maior parte das seções transversais das vigas são retangulares, com exceção das vigas
identificadas como S_W70 e S_W110 que possuem seções I, com largura da alma de 70 cm e
110 cm, respectivamente. Para essas duas vigas, no cálculo da capacidade de cisalhamento
indicado pela RILEM (RILEM, 2003), o cálculo do parâmetro kf considerou o fato da viga
possuir seção I.
Todas as fibras utilizadas nas vigas são de aço, entretanto, na pesquisa de Zamanzadeh et al.
(2015) foram utilizadas fibras de aço recicláveis provenientes de pneus usados.
 Tabela 1 – Características das vigas ensaiadas em CRF de aço sem estribos
bw h d fcm Tipo de Vf
Autor Ident. ρ a/d lf/df1
(mm) (mm) (mm) (MPa) fibra (%)
Amin e
B25-0-
Foster 300 700 622 0,0198 2,81 34 hooked 0,32 65
0-0
(2016)
Amin e
B50-0-
Foster 300 700 622 0,0198 2,81 36 hooked 0,69 65
0-0
(2016)
Zamanzadeh
S_W70 70 300 270 0,0332 2,56 50 recycled 0,77 58
et al. (2015)
Zamanzadeh
S_W110 110 300 270 0,0212 2,56 50 recycled 0,77 58
et al. (2015)
Zamanzadeh
S_W150 150 300 270 0,0155 2,56 50 recycled 0,77 58
et al. (2015)
Pansuk
NS08 150 400 350 0,0561 2,86 121,1 hooked 0,80 65
(2017)
Pansuk
NS16 150 400 350 0,0561 2,86 120,3 hooked 1,60 65
(2017)
1
lf/df é a relação entre o comprimento e o diâmetro da fibra (circulares) ou diâmetro
equivalente (não circulares).
Fonte: Os autores (2021).

A Tabela 2 apresentada a resistência à tração residual na flexão dos CRFs utilizadas nas vigas
ensaiadas. O CRF da viga identificada como B50-0-0-0 possui um comportamento hardening
e os demais CRF das vigas ensaiadas possuem um comportamento softening.

Tabela 2 – Resistência à tração residual na flexão das vigas ensaiadas em CRF de aço sem
estribos
fcm fR1 fR2 fR3 fR4
Autor Identificação
(MPa) (MPa) (MPa) (MPa) (MPa)
Amin e Foster (2016) B25-0-0-0 34,0 1,59 1,68 1,71 1,51
Amin e Foster (2016) B50-0-0-0 36,0 4,49 5,72 5,38 5,27
Zamanzadeh et al. (2015) S_W70 50,0 3,57 3,45 3,24 2,94
Zamanzadeh et al. (2015) S_W110 50,0 3,57 3,45 3,24 2,94
Zamanzadeh et al. (2015) S_W150 50,0 3,57 3,45 3,24 2,94
Pansuk (2017) NS08 121,11 - - - -
Pansuk (2017) NS16 120,30 - - - -
Fonte: Os autores (2021).

Com os dados apresentados na Tabela 1 e da Tabela 2 foi possível determinar a previsão de

capacidade cisalhante característica através das normativas abordadas neste trabalho, e por meio
dos resultados obtidos foi possível realizar a comparação com os valores obtidos
experimentalmente.
Na sequência, a fim de avaliar a influência de alguns parâmetros na previsão da resistência ao
cisalhamento, uma análise paramétrica foi realizada abordando as seguintes variáveis: largura
(bw), altura útil (d) e taxa de armadura longitudinal (ρ). Para obtenção dos dados experimentais
do concreto reforçado com fibras de aço, foram pesquisados artigos que indicassem dados de
resistência à compressão e de resistência à tração residual na flexão com no mínimo três
variações de volume de fibras. Também foram realizadas as verificações de possibilidade de
dispensa da armadura transversal bem como de valores mínimos de resistência ao cisalhamento.
Os valores de resistência à compressão e de resistência à tração residual na flexão com três
variações de volume de fibras foram obtidos a partir da pesquisa realizada por Lee (2017). Esses
valores foram utilizados para o desenvolvimento da análise paramétrica e são apresentados na
Tabela 3.

Tabela 3 – Resultados de resistências residuais à tração obtidos por Lee (2017)

Vf (%) fck (MPa) fL (MPa) fR1 (MPa) fR2 (MPa) fR3 (MPa) fR4 (MPa)
0,250 55,6 5,345 4,330 3,003 2,232 1,608
0,375 55,6 5,646 4,647 3,517 2,686 2,385
0,500 55,6 5,705 6,178 4,996 3,398 2,719
Fonte: Lee (2017).

Além disso, para o dimensionamento ao cisalhamento adotou-se uma viga padrão com as
seguintes características: largura (bw) de 200 mm, altura (h) de 500 mm, altura útil (d) de
450 mm e taxa de armadura longitudinal (ρ) de 1 %. As variações de bw, d e ρ ocorreram
conforme apresentado na Tabela 4.

Tabela 4 – Variáveis e limites inicial e final para análise paramétrica

Limite Limite
Parâmetro Variação
inicial final
ρ (%) 0,2 2,0 0,2
bw (mm) 200 800 10
d (mm) 200 800 10
Fonte: Os autores (2021).

O valor final para a taxa de armadura longitudinal foi limitado em 2 %, pois este é o limite
indicado por três das normativas adotadas. Além disso, a análise paramétrica foi realizada com
resultados de cálculo, isto é, ponderados e variando apenas um parâmetro por análise. Dessa
forma, quando os demais parâmetros não estavam em análise, eles foram considerados como
valores fixos com as medidas padrão informadas.

4 RESULTADOS E DISCUSSÕES

4.1 Comparação entre resultados experimentais e normativos

Com a aplicação dos dados apresentados em Amin e Foster (2016), Zamanzadeh et al. (2015)
e Pansuk (2017), foi possível calcular a previsão característica da capacidade cisalhante das
vigas ensaiadas. A Tabela 5 apresenta os resultados obtidos experimentalmente pelos autores e
os valores resultantes do dimensionamento segundo as três normas internacionais adotadas e a
norma Brasileira.
Os resultados obtidos pela NBR 16935 (ABNT, 2021) e pelo FIB Model Code (FIB, 2010)
foram os mesmos, considerando que as equações de determinação de resistência do elemento
são iguais. Além disso, para Pansuk et al. (2017) os valores previstos pela RILEM (RILEM,
2003) e normativa Alemã (DAfStb, 2012) não foram indicados, porque os autores apresentaram
apenas o valor de fFtuk.
Analisando a Tabela 5, observa-se que as resistências características estimadas pelas
normativas FIB Model Code (FIB, 2010), NBR 16935 (ABNT, 2021) foram superiores aos
valores experimentais obtidos por Amin e Foster (2016) nos dois ensaios, já para as normativas
Alemã (DAfStb, 2012) e RILEM (RILEM, 2003) as resistências estimadas foram superiores
aos valores experimentais apenas para o ensaio identificado como B50-0-0-0. Isso pode estar
relacionado ao fato de que o CRF dessa viga possui um comportamento hardening, podendo
caracterizar que as normativas não apresentam bons resultados teóricos para esse tipo de
concreto. Entretanto, uma maior investigação com CRFA com esse comportamento deve ser
realizada para comprovar esse resultado observado.

Tabela 5 - Capacidade de cisalhamento de vigas de CRF sem estribos de acordo com

resultados experimentais e valores característicos de resistências das normativas
Vexp VRk,NBR VRk,FIB VRk,RILEM VRk,Alemã
Autores Identificação
(kN) (kN) (kN) (kN) (kN)
Amin e Foster B25-0-0-0 274,00 296,50 296,50 251,31 247,75
(2016) B50-0-0-0 344,00 406,28 406,28 394,99 463,28
S_W70 81,29 54,22 54,22 48,61 38,08
Zamanzadeh et
S_W110 95,81 73,37 73,37 66,27 54,79
al. (2015)
S_W150 109,17 90,13 90,13 82,48 70,96
NS08 340,00 280,68 280,68 - -
Pansuk (2017)
NS16 531,00 297,17 297,17 - -
Fonte: Os autores (2021).

Para os demais estudos, os resultados experimentais foram superiores às resistências

características estimadas pelas quatro normativas.
Verificando as vigas ensaiadas por Zamanzadeh et al. (2015) observa-se que os valores
previstos de capacidade cisalhante - exceto os valores previstos pelo FIB Model Code (FIB,
2010) e a NBR 16935 (ABNT, 2021), que são idênticos - são relativamente próximos, mas não
foi possível observar um padrão de resultados. Observa-se ainda que para quase todos os
resultados a normativa Alemã (DAfStb, 2012) foi a que apresentou as menores resistências
características estimadas (exceto para a viga B50-0-0-0).
Quanto aos valores de capacidade cisalhante experimental entre as vigas ensaiadas pelos
mesmos autores, observa-se que em todas houve acréscimo de resistência com o aumento do
volume de fibras, o mesmo observado nas previsões de resistência de cisalhamento segundo
todas as normativas. Porém, a porcentagem de acréscimo na previsão teórica foi diferente entre
as normativas.
Além disso, foi possível realizar comparações dos resultados experimentais em relação às
previsões de resistência característica ao cisalhamento dado pelas normativas conforme
apresentado na Figura 5.
Analisando os resultados dentre as quatro normas avaliadas, verifica-se que as que
apresentaram melhor correlação entre resultados experimentais e previstos foram o FIB Model
Code (FIB, 2010) e a NBR 16935 (ABNT, 2021), seguido da RILEM (RILEM, 2003) e por
último pela normativa Alemã (DAfStb, 2012). Tal resultado é diferente do observado por
Lantsoght (2019b), que indicou, a partir das análises realizadas pela sua pesquisa, melhor
correlação pela normativa Alemã (DAfStb, 2012), seguido da RILEM (RILEM, 2003) e em
seguida pelo FIB Model Code (FIB, 2010). Entretanto, ressalta-se que a metodologia de
determinação da resistência residual à tração adotada pela maioria dos autores que constam na
pesquisa de Lantsoght (2019b), não adotou a normativa EN 14651 (CEN, 2007) como modo de
determinação da resistência residual à tração.
O valor médio das relações Vexp / VRk para cada normativa foi de 1,26 para o FIB Model Code
(FIB, 2010) e a NBR 16935 (ABNT, 2021), de 1,28 para RILEM (RILEM, 2003) e de 1,45 para
normativa Alemã (DAfStb, 2012), resultando numa média geral de 1,33. Sendo que esse valor
corresponderia ao coeficiente de ponderação da resistência característica.
 Figura 5 - Previsões de resistência característica ao cisalhamento em comparação com
resultados experimentais

4.2 Análise paramétrica

Na primeira variação da análise paramétrica adotou-se constante a largura (bw) de 200 mm e a
altura (h) de 500 mm e variou-se a taxa de armadura longitudinal (ρ), conforme apresentado na
Tabela 4. O gráfico demonstrando a variação nos valores da força cortante resistente de cálculo
é visto na Figura 6. Considerando que os resultados obtidos pelo FIB Model Code (FIB, 2010)
e pela NBR 16935 (ABNT, 2021) são iguais, optou-se por apresentar na legenda dos gráficos
apenas NBR.

Figura 6 - Força cortante resistente de cálculo (VRd) em função da taxa de armadura

longitudinal (ρ) e do volume de fibras (Vf)

Fonte: Os autores (2021).

Para a maior taxa de armadura longitudinal analisada, 2 % e para o volume de fibras de 0,5 %,
o código FIB Model Code (FIB, 2010) e a NBR 16935 (ABNT, 2021) apresentaram a maior
força cortante resistente de cálculo, demonstrando que a taxa de armadura longitudinal (ρ) tem
significativo impacto no método adotado por essas normativas.
Observa-se que mesmo para uma variação constante de taxa de fibras, entre ρ=0,2 % a 2,0 %,
não se verifica uma diferença constante entre as forças cortantes resistentes de cálculo,
destacando nesse ponto as normativas da RILEM (RILEM, 2003) e normativa Alemã (DAfStb,
2012), que apresentam uma diferença significativa entre as taxas de 0,25 % e 0,375 % enquanto
a FIB Model Code (FIB, 2010) e a NBR 16935 (ABNT, 2021) apresentam uma maior diferença
entre as taxas de 0,375 % e 0,5 %.
O comportamento da curva no gráfico é similar entre a normativa Alemã (DAfStb, 2012) e
RILEM (RILEM, 2003), enquanto a curva do FIB Model Code (FIB, 2010) e da NBR 16935
(ABNT, 2021) apresentam um ganho mais significativo de resistência com o acréscimo da taxa
de armadura longitudinal.
Na sequência da análise paramétrica, adotou-se constante a altura (h) em 500 mm e a taxa de
armadura longitudinal (ρ) em 1 % e variou-se largura (bw), conforme apresentado na Figura 7.

Figura 7 - Força cortante resistente de cálculo (VRd) em função da largura (bw) e do volume de
fibras (Vf)

Fonte: Os autores (2021).

Observando os dados da Figura 7, constata-se uma maior homogeneidade dos resultados bem
como maiores valores de força cortante resistente de cálculo conforme o acréscimo da largura
e do volume de fibras.
A maior diferença dos resultados é observada na largura de 800 mm, especialmente entre os
resultados com diferentes volumes de fibras (Vf) do modelo da normativa Alemã (DAfStb,
2012), sendo que essa diferença foi sendo gradativamente ampliada desde a largura inicial de
200 mm.
Em todas as variações de largura desta análise, os valores obtidos pelo FIB Model Code (FIB,
2010 e NBR 16935 (ABNT, 2021) no Vf de 0,50 % foram os que apresentam maiores forças
cortantes resistentes de cálculo. Observa-se ainda que os valores de cortante resistente de
cálculo da RILEM (RILEM, 2003) para Vf de 0,50 % são praticamente os mesmos que o da
normativa Alemã (DAfStb, 2012) para Vf de 0,375 %. Para todos os códigos, os menores
valores de cortante resistente de cálculo ocorreram para o volume de fibras de 0,25 %.
E por fim, na última análise paramétrica adotou-se constante a largura (bw) em 200 mm e a taxa
de armadura longitudinal em 1 % e variou-se a altura útil (d), conforme demonstrado na Figura
8.

Figura 8 - Força cortante resistente de cálculo (VRd) em função da altura útil (d) e do volume
de fibras (Vf)

Fonte: Os autores (2021).

Na Figura 8, observa-se um comportamento similar nos códigos FIB Model Code (FIB, 2010),
NBR 16935 (ABNT, 2021) e RILEM (RILEM, 2003), isto é, com o acréscimo da altura útil (d)
e do volume de fibras (Vf), aumenta-se proporcionalmente à cortante resistente de cálculo. Já
para a normativa Alemã (DAfStb, 2012), destaca-se o comportamento não padronizado
conforme a variação da altura útil, especialmente a partir da altura útil de aproximadamente
600 mm. Na altura útil de 800 mm, o maior valor de cortante resistente de cálculo foi o
determinado segundo o FIB Model Code (FIB, 2010) e a NBR 16935 (ABNT, 2021), de 158,77
kN para Vf de 0,50 %, enquanto os valores observados na RILEM (RILEM, 2003) foi de 140,92
kN e para a normativa Alemã (DAfStb, 2012) foi de 152,88 kN.
A Figura 9 apresenta uma comparação entre os valores previstos pela NBR 16935 (ABNT,
2021), RILEM (RILEM, 2003) e normativa Alemã (DAfStb, 2012). Essa comparação foi
realizada devido ao fato de que na análise paramétrica entre forças cortantes resistentes de
cálculo (VRd) em função da taxa de armadura longitudinal (ρ) foram observadas maiores
variações de resultados.
Verificou-se na comparação entre os resultados experimentais e os valores previstos pelas
normativas analisados neste trabalho (Tabela 5), que a NBR 16935 (ABNT, 2021) e o FIB
Model Code (FIB, 2010) apresentaram em quase todas as vigas analisadas os maiores valores
teóricos de capacidade cisalhante (exceto na viga B50-0-0-0), sendo ainda os valores mais
próximos dos resultados experimentais. Este comportamento é similar ao observado na Figura
9, que apresenta uma comparação entre os valores de força cortante de cálculo (VRd) das demais
normativas obtidos em relação à NBR 16935 (ABNT, 2021), considerando a variação da taxa
de armadura longitudinal (ρ) e o volume de fibras (Vf). Entretanto, percebe-se que para os
valores de volume de fibras de 0,375 % e 0,50 % e para baixas taxas de armadura longitudinal
(ρ < 0,45%) a NBR 16935 (ABNT, 2021) apresentou valores de capacidade cisalhante previstos
menores que as demais normativas analisadas.

Figura 9 – Comparação entre forças cortantes resistentes de cálculo (VRd) em função da taxa
de armadura longitudinal (ρ) e do volume de fibras (Vf)

Fonte: Os autores (2021).

5 CONCLUSÃO
Neste trabalho foram realizados dimensionamentos ao cisalhamento de vigas de concreto
reforçado com fibras de aço, com armadura longitudinal e sem armadura transversal, baseados
em resultados experimentais e segundo recomendações de três métodos internacionais: FIB
Model Code (FIB, 2010), RILEM (RILEM, 2003) e Normativa Alemã (DAfStb, 2012), além
da recém publicada NBR 16935 (ABNT, 2021).
Primeiramente, destaca-se o fato dos resultados obtidos NBR 16395 (ABNT, 2021) serem
exatamente iguais aos do FIB Model Code (FIB, 2010), observando apenas que a norma
Brasileira não apresenta a limitação da taxa de armadura longitudinal (𝝆) de 2 %.
Quanto aos resultados da análise comparativa entre resultados experimentais e resistência
característica ao cisalhamento previsto pelas normativas conclui-se que:
• A maioria dos resultados de resistência ao cisalhamento estimados pelas quatro
normativas foram superiores aos obtidos valores experimentalmente para as vigas
ensaiadas por Amin e Foster (2016), sendo possível que esse fato se justifique pelo
concreto utilizado pelos autores ter comportamento tipo hardening. Já para as vigas
ensaiadas por Zamanzadeh et al. (2015) e Pansuk (2017) os resultados experimentais
foram superiores aos estimados.
• Observou-se acréscimo de resistência ao cisalhamento com o aumento do volume de
fibras, tanto nos resultados experimentais quanto nas previsões de resistência
característica de cisalhamento segundo as quatro normativas.
• Os resultados teóricos foram próximos, mas não se verificou um padrão de resultados
de cada norma para as diferentes vigas ensaiadas, e as normas que apresentaram melhor
 correlação entre resultados experimentais e teóricos foi o FIB Model Code (FIB, 2010)
e a NBR 16935 (ABNT, 2021).
Quanto a análise paramétrica conclui-se que:
• A taxa de armadura longitudinal tem significativo impacto na capacidade de resistência
ao cisalhamento proposto pelo método da FIB Model Code (FIB, 2010) e da NBR 16935
(ABNT, 2021).
• Constata-se uma maior homogeneidade dos resultados de força cortante resistente entre
as normativas analisadas conforme o acréscimo da largura e do volume de fibras,
comportamento similar com a variação da altura útil até o valor de 60 cm.
• Para uma altura útil acima de 60 cm, verificou-se que esse parâmetro tem significativo
impacto no método proposto pela normativa Alemã (DAfStb, 2012), tanto no volume
de fibras de 0,375 % quanto no volume de fibras de 0,50 %.
• Nas três situações analisadas parametricamente, observa-se uma maior diferença da
resistência ao cisalhamento entre os diferentes volumes de fibras no método adotado
pela normativa Alemã (DAfStb, 2012) e pela RILEM (RILEM, 2003), que são métodos
que separam a contribuição do concreto da contribuição da fibra. Também, uma menor
diferença entre as resistências ao cisalhamento é identificada no método proposto pelo
FIB Model Code (FIB, 2010) e da NBR 16935 (ABNT, 2021) para diferentes volumes
de fibras onde o efeito do concreto e das fibras é combinado.
• Na grande maioria dos resultados da análise paramétrica, a norma FIB Model Code
(FIB, 2010) e NBR 16935 (ABNT, 2021) apresentam os maiores valores de capacidade
cisalhante de cálculo, sendo menos conservadores que as outras duas normas analisadas.

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