Matemática Financeira Aplicada À Gestão Empresarial Ii: Credenciada Junto Ao Mec Pela PORTARIA #1.282 DO DIA 26/10/2010

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CREDENCIADA JUNTO AO MEC PELA

PORTARIA Nº 1.282 DO DIA 26/10/2010
MATERIAL DIDÁTICO
MATEMÁTICA FINANCEIRA
APLICADA À GESTÃO
EMPRESARIAL II
Impressão
e
Editoração
0800 283 8380

www.ucamprominas.com.br
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 4
UNIDADE 1 - SÉRIES DE ANUIDADES E APLICAÇÕES DIVERSAS NA GESTÃO

EMPRESARIAL .......................................................................................................... 8
1.1. Aspectos Introdutórios da Gestão Financeira Empresarial ............................ 8
1.2. Decisões no Universo da Gestão Financeira Empresarial ........................... 10
1.3. Empresa: Acumulação e Crescimento? ....................................................... 12
1.4. Planejamento Estratégico dentro de Uma Empresa .................................... 14
1.5. Decisão – Características Fundamentais ..................................................... 16
1.6. Séries de Anuidades .................................................................................... 17
1.7. Classificação das Séries de Pagamentos ou Anuidades ............................. 17
1.8. Série de Pagamentos Iguais com Termos Vencidos .................................... 19
1.9. Série de Pagamentos Iguais com Termos Antecipados ............................... 23
1.10. Série de Pagamentos Variáveis com Termos Vencidos............................... 26
1.11. Valor Presente de uma série de pagamento variáveis usando as teclas <
CF 0 >, <CF j >, <N j > e <NPV> .............................................................................. 28
1.12. Classificação dos Indicadores de Análise de Projetos de Investimentos

Empresariais .......................................................................................................... 31
1.13. Valor Presente Líquido ................................................................................. 32
1.14. Taxa Interna de Retorno (TIR ou IRR) ......................................................... 36
UNIDADE 2 - SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES DIVERSAS NA

GESTÃO EMPRESARIAL ........................................................................................ 42
2.1. Aspectos Introdutórios da Teoria da Amortização ........................................ 42
2.2. Conceitos Fundamentais.............................................................................. 44
2.3. Sistema de Amortização Constante (SAC) .................................................. 47
2.4. Montagem da Planilha no SAC .................................................................... 48
2.5. Sistema Francês de Amortização (ou Tabela Price) .................................... 57
2.6. Sistema de Amortização Misto (SAM) .......................................................... 65

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2.7. Comparações entre o SAC, SAF e SAM ...................................................... 66
CONCLUSÃO DA DISCIPLINA ................................................................................ 68
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 70
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INTRODUÇÃO
Vamos iniciar a disposição teórica de uma das disciplinas mais importantes

que compõem a sua matriz curricular do seu curso, que é a disciplina de Matemática
Financeira Aplicada a Gestão Empresarial II, ou seja, uma disciplina em que
estaremos estudando e aplicando as principais ferramentas relacionadas aos
financiamentos, empréstimos e indicadores para a caracterização da viabilidade
econômica de projetos empresariais. Desta forma, você saberia escolher qual o
melhor tipo de financiamento a ser realizado? Ou seja, devo usar o SAC ou PRICE?
Saberia descrever se um determinado projeto é ou não financeiramente atrativo?
Saberia descrever a atratividade financeira da implementação de um projeto
empresarial? Saberia interpretar o risco associado à implementação de um dado
projeto? Você saberia interpretar o significado da Taxa Mínima de Atratividade?
Saberia calcular o valor das prestações iguais em uma compra feita em trinta seis
vezes? Saberia interpretar o prazo de carência ou prazo de diferimento? Para
respondermos questões como estas e muitas outras que aparecem comumente na
nossa vida, seja ela pessoal ou empresarial, é que utilizamos dos conceitos,
métodos e técnicas da Matemática Financeira Aplicada à Gestão Financeira, tais
como séries de anuidades, sistemas de amortização, valor presente líquido, taxa
interna de retorno, payback descontado e ponto de Fischer.
Neste sentido, o objetivo geral da disciplina é apresentar os principais
conceitos, resultados e métodos da Matemática Financeira Aplicada à Gestão
Empresarial no que diz respeito a parte das séries de anuidades, sistemas de
amortização e indicadores para a caracterização da viabilidade econômica de
projetos empresariais, que nos auxiliem para uma tomada de decisão confiável em
operações financeiras de caráter empresarial e pessoal, procurando sempre a
maximização de resultados pessoais e empresariais e/ou minimização de riscos
associados.
Antes de iniciarmos, propriamente dito, todos os aspectos teóricos
relacionados à disciplina em si, listamos aqui alguns Cases Empresariais que são
interpretados e resolvidos a partir das ferramentas práticas da Matemática
Financeira.
Case Empresarial 01: Uma das decisões mais importantes a nível
estratégico dentro de uma empresa é a tomada de decisão com relação à decisão
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de investir, já que se trata de um processo complexo. Desta maneira, considere a

seguinte afirmação: “Alguns empresários podem prescindir de projetos para
seus investimentos porque têm larga experiência e/ou porque têm boa
intuição”. Como podemos analisar a afirmação anterior, utilizando os métodos da
gestão financeira empresarial?
Case Empresarial 02: A CAU Consultoria, após diversas reuniões
estratégicas, decide realizar um investimento, com 3 anos de vida útil, que irá gerar
receitas mensais de acordo com a disposição de dados a seguir. A taxa de desconto
será 18% ao ano, capitalizada de mensalmente. Qual seria o valor atual deste
investimento?
Meses Número de Meses Valor (em R$)

1 a 12 12 7.000,00
13 a 20 08 10.000,00
21 a 24 04 11.000,00
25 a 35 11 16.000,00
36 01 21.000,00
Case Empresarial 03: A fim de melhorar seus equipamentos a CAU

Consultoria, deseja realizar um projeto, onde são dispostos os seguintes dados:
Custo Inicial = R$400.000,00
Valor Residual = R$65.000,00
Vida útil = 15 anos
Receita Anual = R$145.000,00
Custo Operacional Anual = R$98.000,00
Qual a taxa de juros implícita nesta operação? O projeto com relação ao risco
do investimento inicial é viável para a empresa?
Case Empresarial 04: Um empréstimo de R$150.000,00 feito pela CAU

Consultoria deve ser liquidado em 36 prestações mensais, pelo Sistema Price,
sendo que a primeira vence um mês após a data do contrato. A taxa de juros
cobrada é de 12% ao ano. Calcular o valor das prestações, os valores das parcelas
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de amortizações, as parcelas de juros de cada prestação e o saldo devedor após

cada pagamento e construir a planilha do empréstimo.
Case Empresarial 05: Uma empresa deseja avaliar o fluxo de caixa de

investimento (convencional) num terreno, sendo o investimento inicial no valor de
R$10.000,00. Devido à localização do terreno, estima-se que será possível vendê-lo
após quatro anos por R$11.000,00. Sabendo-se que a taxa mínima de atratividade
da empresa é de 13% ao ano, e que estão previstas entradas de caixa relativas à
utilização do terreno por terceiros apresentadas no Quadro a seguir:
Ano Entradas
01 R$2.500,00
02 R$1.450,00
03 R$3.550,00
Desta forma, pede-se para caracterizar a atratividade do projeto pelo VPL e

TIR?
A fim de atingirmos os nossos objetivos, o nosso guia de estudos está
estruturado em duas Unidades, descritas a seguir:
 Unidade 1: Séries de Anuidades e Aplicações Diversas na Gestão

Empresarial – apresentaremos as informações iniciais sobre a acumulação de
capital em uma empresa, discutiremos as propriedades fundamentais das séries de
anuidades, bem como, ilustraremos a resolução de diversas situações do mercado
financeiro em geral. Além disso, apresentaremos o valor presente líquido e a taxa
interna de retorno como dois indicadores para a caracterização da viabilidade
econômica de projetos empresariais.
 Unidade 2: Sistemas de Amortização e Aplicações Diversas na

Gestão Empresarial – discutiremos os três principais tipos de sistemas de
amortização que temos na prática do mercado financeiro brasileiro, que são o SAC,
o PRICE e o SAM, bem como, apresentaremos a resolução de problemas simulados
do mercado financeiro, especificamente falando na parte de financiamentos.
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Para finalizarmos os aspectos introdutórios da nossa disciplina, deve-se

destacar que “aprendizagem” não significa, apenas, realizar os acréscimos na
estrutura cognitiva do aluno; é preciso, sobretudo, estabelecer modificações para
que ela se configure como uma aprendizagem significativa. Desta forma, é muito
importante que você pesquise em outras fontes bibliográficas, tais como artigos,
revistas e, principalmente, nas nossas referências.
Além disso, tentaremos buscar uma linguagem bastante simples como forma
de propiciar um bom entendimento dos aspectos discutidos na disciplina. Sempre
refaça os diversos exemplos ilustrativos deste material de apoio.
“O ignorante afirma, o sábio duvida, o sensato reflete.”

(Aristóteles)
“Nem tudo o que pode ser contado conta, e nem tudo o que conta pode
ser contado”.
(Albert Einstein)
“O caminho certo é aquele que nos leva ao encontro da realização”.

(Desconhecido)
" Não há vento favorável para aquele que não sabe onde quer ir."
(Sêneca)
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UNIDADE 1 - SÉRIES DE ANUIDADES E APLICAÇÕES

DIVERSAS NA GESTÃO EMPRESARIAL
Nesta primeira Unidade, é de nosso interesse apresentar os principais

conceitos e propriedades envolvendo as séries de pagamentos, bem como discutir
os pontos centrais do Valor Presente Líquido (VPL) e da Taxa Interna de Retorno
(IRR). Além disso, discutiremos o VPL e a TIR como indicadores para a
caracterizaçao da viabilidade econômica de projetos.
Objetivo geral da unidade:

Apresentar os principais conceitos e propriedades das séries de anuidades,
do valor presente líquido e da taxa interna de retorno, bem como resolver aplicações
cotidianas da gestão financeira na HP 12C.
Objetivos específicos da unidade:

 apresentar informações básicas da gestão financeira aplicada ao meio
empresarial;
 apresentar e discutir os conceitos relacionados às séries de pagamentos;
 estar plenamente familiarizado com o conceito de Valor Presente Líquido e
de Taxa Interna de Retorno;
 interpretar e aplicar o conceito de Taxa de Mínima Atratividade;
 reconhecer o valor presente líquido como um indicador relacionado à
rentabilidade de um dado projeto empresarial;
 reconhecer a taxa interna de retorno como um indicador relacionado ao
risco associado a um dado projeto empresarial;
 resolver diversas situações práticas envolvendo os tópicos descritos
anteriormente na HP 12C.
1.1. Aspectos Introdutórios da Gestão Financeira Empresarial

Como você define uma empresa? Qual seria o seu ponto de vista com relação
a uma empresa? Em verdade, segundo Clemente e Alceu (2009), podemos dizer
que Empresas são organizações que envolvem recursos humanos, materiais e
financeiros, e que podem ser analisadas segundo diferentes pontos de vista.
Exemplificando, pode-se considerar a empresa como uma entidade de natureza
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política, privilegiando a análise da luta pelo poder e das formas como este é
exercido.
Sendo assim, a análise do processo decisório na empresa não pode
prescindir desse tipo de consideração. De outra forma, ou alternativamente,
podemos encarar a empresa como unidade sociocultural, destacando-se o contexto
em que as pessoas interagem e a forma como isso influencia a sobrevivência e
o crescimento da empresa.
Do ponto de vista administrativo, segundo Clemente e Alceu (2009), os
enfoques podem ser diferenciados, mas todos consideram a empresa como uma
organização que dispõe de um conjunto de recursos e busca atingir certo(s)
objetivo(s). Ou seja, neste contexto, as atividades de planejamento e controle são
privilegiadas.
Figura 01: A empresa como entidade.

Fonte: Elaborado pelo próprio autor.
Economicamente falando, segundo Clemente e Alceu (2009), a empresa é

vista como uma unidade produtiva, que transforma insumos em produtos, gerando,
desta forma, valor. A empresa, ao produzir bens e serviços demandados pelo
mercado, obtém lucro para sobreviver e crescer, contribui para o bem-estar com sua
produção e estimula outras atividades produtivas para a frente, através de seu
produto, e para trás, através de suas compras de insumos.
Por outro lado, verificamos que na visão contábil, a empresa é vista,
principalmente, como uma unidade de contas, uma “azienda”, pois procura mostrar a
evolução do patrimônio em movimento. O patrimônio de qualquer empresa modifica-
se a todo instante, devido às decisões de seus gestores, e a contabilidade provê os
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registros necessários (nas diversas contas) para que se possa acompanhar sua
evolução.
Além disso, segundo Clemente e Alceu (2009), em termos da Engenharia, a
empresa é uma unidade técnica que desenvolve determinado processo de
transformação, sujeito aos princípios e leis da Física e da Química.
Figura 02: A empresa vista de outras maneiras.

Observação Importante! Para os objetivos de Análises de Investimentos, a

Empresa é considerada como uma entidade orientada para a acumulação de
capital. A Empresa é uma entidade de capital cujo objetivo é a sua valorização.
1.2. Decisões no Universo da Gestão Financeira Empresarial

O objetivo de valorização da empresa é alcançado quando as decisões
tomadas pelos gestores conduzem a um saldo líquido de ganhos. Tal saldo pode ser
decorrente do estudo coerente dos custos dentro da mesma. Essas decisões podem
ser classificadas como mostramos na Figura 03 a seguir.
Níveis de Decisão Objeto Alcance Temporal

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Estratégica Relações da empresa com o Médio ou Longo

meio ambiente (por exemplo, Prazos.
decisões de capital).
Administrativa Organização (interna) da Médio ou Longo

empresa. Prazos.
Operacional Processo de Produção (ou de Curto ou Médio

transformação). Prazos.
Figura 03: Decisões financeiras na empresa.
As decisões de capital pertencem tipicamente ao nível estratégico, pois

implicam mudança no relacionamento da empresa com seus clientes, fornecedores
e concorrentes, com o sistema financeiro e com o governo. Essas decisões
apresentam horizonte de médio ou longo prazo e, geralmente, são irreversíveis. Em
outras palavras, isso significa que as decisões de capital:
i) Envolvem valores muito altos de recursos.
ii) Por muito tempo a vida da empresa é afetada.
iii) São irreversíveis ou possuem custos de reversibilidade muito altos.
Sendo assim, segundo Clemente e Alceu (2009), é de fundamental

importância à gestão, bem como o controle orçamentário e financeiro dentro de uma
empresa, ou seja, por isso, é conveniente que tais decisões se baseiem, tanto
quanto possível, em previsão e cálculo de todas as suas implicações relevantes e,
especificamente falando, relacionando os custos diversos envolvidos.
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Figura 04: Importância das decisões de capital em uma empresa.

Todavia, é importante salientarmos que não podemos esperar, já que as

análises e avaliações relativas às decisões de capital eliminem o risco, isto é, a
possibilidade de que os resultados previstos não se confirmem conforme é
esperado. Em termos gerais de mercado, pode-se até melhorar o ambiente de forma
substancial, bem como as informações (ciência do gerenciamento) e as condições
de risco para a tomada de decisão, porém sempre teremos a existência do risco.
Figura 05: A Empresa e as Decisões de Capital.

1.3. Empresa: Acumulação e Crescimento?

Como falamos anteriormente, a Empresa é uma entidade de capital cujo
objetivo é sua valorização, decorrente da capacidade de gerar lucros e da
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acumulação dos mesmos. Grosso modo, o conceito de capital e seu cálculo é

diretamente responsável por grandes divergências entre economistas célebres.
Neste contexto, entretanto, podemos considerar o capital (acumulado) de
certa empresa como sendo seu valor de mercado, isto é, como o valor pelo qual
poderia ser vendida. Segundo Clemente e Alceu (2009), esse conceito apresenta
como principal inconveniente o fato de depender da conjuntura econômica, do ritmo
dos negócios e das expectativas, mas isso é aceitável no presente contexto.
Suponhamos que o capital total investido em certa empresa em um dado
período seja C1 e que, decorrido certo tempo, o capital que pode ser recuperado
seja C2. Então, o capital (líquido) acumulado (ou desacumulado) no período é a
diferença (C2 – C1). Logo, em termos gerais, espera-se que exista uma acumulação
de capital e não uma desacumulação.
Figura 06: Acumulação e Crescimento da Empresa.

Um outro termo muito importante no contexto da gestão financeira é a noção

de lucro, que entendemos ser a diferença entre receita e custo (ou despesa). Sendo
assim, qual a relação entre lucro e capital acumulado? O lucro obtido com o
próprio negócio é normalmente a principal fonte de valorização do capital, porém
nem todo lucro se transforma necessariamente em acumulação na empresa.
Segundo Clemente e Alceu (2009), lucro distribuído é o total de lucro não
acumulado na empresa.
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Dessa maneira, podemos escrever L = LD + LA, onde L = lucro total gerado

em certo período, LD = lucro distribuído e LA = lucro acumulado. Desta maneira,
pode-se dizer que lucro, no sentido mais amplo, pode ser encarado como a
valorização do capital: o lucro obtido em certo intervalo de tempo é o valor
total líquido que seria acrescido ao capital na ausência de retiradas por parte
dos proprietários do capital (CLEMENTE e ALCEU, 2009). Logo, do ponto de vista
econômico-financeiro, o objetivo da forma é a obtenção de lucro lato sensu,
precondição necessária à acumulação.
1.4. Planejamento Estratégico dentro de Uma Empresa

Em termos estratégicos, sabemos que dentro de uma organização temos
quatro grandes dimensões do BSC (Balanced Scorecard), que por si só, cada uma
estudada de forma separada, já é um estudo complexo, extenso e específica. Dentre
as quatro dimensões, a mais importante, com certeza, é a dimensão Finanças,
podendo ser vista como a mãe de todas as outras.
Segundo Clemente e Alceu (2009), o Balanced Scorecard pode ser
entendido como uma metodologia de medição e gestão de desempenho
desenvolvida pelos professores da Harvard Business School, Robert Kaplan e
David Norton, na década de 90.
As técnicas usadas na gestão financeira, dos serviços e da infraestrutura,
baseiam-se comumente em metodologias consagradas que podem utilizar a TI
(Tecnologia da Informação) e os softwares de ERP como soluções de apoio,
relacionando-a à gerência de serviços e garantia de resultados do negócio. Os
passos dessas metodologias incluem: definição da estratégia empresarial, gerência
do negócio, gerência de serviços e gestão da qualidade; passos estes
implementados através de indicadores de desempenho (ID). O BSC (Balanced
Scorecard) foi apresentado inicialmente como um modelo de avaliação e
performance empresarial, porém, a aplicação em empresas proporcionou seu
desenvolvimento para uma metodologia de gestão estratégica. Os requisitos para
definição desses indicadores tratam dos processos de um modelo da administração
de serviços e busca da maximização dos resultados baseados em quatro
perspectivas que refletem a visão e estratégia empresarial.
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Figura 07: Planejamento estratégico dentro de uma empresa.

Uma outra representação gráfica do BSC pode ser visualizada na Figura 08 a

seguir, na qual a sigla ROI significa Retorno Operacional de Investimento, sendo
um importante conceito na gestão financeira empresarial.
Figura 08: Planejamento estratégico dentro de uma empresa.

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1.5. Decisão – Características Fundamentais

Podemos enumerar de forma bastante simples as características principais do
processo decisório que têm importância na conceituação de racionalidade da ação
gerencial, que são:
 o processo de decisão é sequencial, i.e., temos uma sequência natural
para a implantação do mesmo;
 é um processo complexo, i.e., o processo na sua grande maioria exige um
alto grau de complexidade na implantação, acompanhamento e execução;
 é um processo que envolve valores subjetivos;
 é um processo desenvolvido dentro de um ambiente institucional com
regras mais ou menos definidas, isto é, o processo de decisão é desenvolvido
seguindo as regras de cada instituição (empresa).
A Figura 09 a seguir, nos mostra de forma resumida as principais
características que envolvem o processo de decisão.
Figura 09: As características do processo de decisão.

Fonte: Alessandro Ferreira (2014).
A partir do momento que apresentamos estas informações iniciais sobre a

gestão financeira aplicada ao meio empresarial, podemos agora trabalhar com as
ferramentas das séries de anuidades, Valor Presente Líquido e Taxa Interna de
Retorno. Vamos lá?
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1.6. Séries de Anuidades

O que é uma série de pagamentos ou recebimentos ou anuidades? Quais são
os elementos fundamentais das mesmas? Quais os tipos de séries? Quando
aplicamos as séries no mercado financeiro? Antes de trabalharmos as aplicações
práticas envolvendo as séries de pagamentos, vamos definir os elementos
fundamentais e classificá-las de acordo com alguns critérios. Sendo assim, os
conceitos fundamentais são descritos formalmente na Figura 10 a seguir.
Conceito Qual o seu significado?

Série de Denominamos de Série de Pagamentos ou
Pagamentos Recebimentos, Série de Prestações ou Anuidades a toda
sequência finita ou infinita de Pagamentos ou
Recebimentos em datas previamente estipuladas.
Termo da Série Cada um destes pagamentos ou recebimentos, referidos
a uma mesma taxa de juros compostos, será chamado de
Termo da Série ou Termo da Anuidade.
Período O intervalo de tempo entre dois períodos é denominado
de Período.
Duração É a soma dos períodos define a Duração da Série de
Pagamentos ou Anuidades.
Valor Atual ou É a soma dos valores atuais dos seus termos, soma esta
Valor Presente realizada para uma mesma data e à mesma taxa de juros
da Série compostos.
Valor Futuro ou É a soma dos montantes ou valores futuros dos seus
Montante da termos, considerando uma mesma data e uma mesma
Série taxa de juros compostos.
Quadro 10: Descrição dos conceitos fundamentais envolvendo as séries de anuidades.
1.7. Classificação das Séries de Pagamentos ou Anuidades

Para a resolução de problemas simulados na gestão financeira envolvendo as
séries de anuidades, é necessário à classificação com relação a alguns critérios, tais
como quanto ao número de termos, natureza dos termos, entre outros. Tais critérios
são apresentados formalmente na sequência.
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Figura 11: Critérios de classificação das séries.

Dessa maneira, temos que as séries são classificadas e identificadas como

segue.
 Quanto ao Número de termos:
- finita – quando existir o pagamento da última prestação;

- infinita (ou perpétua) – quando não existir o pagamento da última
prestação.
 Quanto à Natureza dos seus termos:
- uniforme – quando todos os termos forem iguais;

- não uniforme (ou variável) – quando os termos não forem iguais.
 Quanto ao Intervalo entre seus termos:
- periódica – quando o intervalo de tempo entre dois termos sucessivos for

constante;
- não periódica – quando o intervalo de tempo entre dois termos sucessivos
não for constante.
 Quanto ao Vencimento de seus termos:
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- postecipada (ou vencida) – quando os termos ocorrerem ao final de cada

período;
- antecipada – quando os termos ocorrerem no início de cada período.
 Quanto à Ocorrência do primeiro termo:
- Diferida – quando o primeiro termo só ocorrer após alguns períodos. Este

prazo é chamado de prazo de diferimento ou prazo de carência. Observe que tal
prazo aparece de maneira comum no mercado financeiro.
- não diferida – quando não tivermos o prazo de carência.
1.8. Série de Pagamentos Iguais com Termos Vencidos

Uma Série de Pagamentos Iguais com Termos Vencidos, possui as
seguintes características principais:
- os pagamentos são periódicos e sem diferimento;
- os termos são iguais;
- o intervalo de tempo entre cada termo é constante;
- os termos ocorrem ao final dos períodos;
- o primeiro termo ocorre ao final do primeiro período.
Cada termo da série de pagamentos ou recebimentos iguais será
representado por PMT (veja a tecla na HP 12C). Com relação às demais variáveis
serão representadas pelos símbolos já conhecidos (PV, i, n e FV), ou seja:
PV = valor presente, valor atual, capital inicial ou principal;
FV = valor futuro ou montante;
i = taxa de juros compostos, coerente com a unidade de tempo (mês,
trimestre, etc.);
n = número de pagamentos ou recebimentos, número de períodos
(coincidentes com o número de prestações) referentes à unidade de tempo da taxa.
Geometricamente, temos as seguintes duas situações a analisar:
 AMORTIZAÇÃO
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Figura 12: Amortização em uma série de pagamentos iguais de termos vencidos.

Na amortização, o Valor Presente (PV) é obtido pela expressão PV = PMT

(1  i ) n  1 (1  i ) n  1
x , onde é o fator de valor atual, para uma série de
(1  i ) n x i (1  i ) n x i
pagamentos de termos iguais de termos vencidos. De outra forma, o Valor Futuro
(1  i ) n x i
de PMT, na amortização, é obtido pela expressão PMT = PV x , onde
(1  i ) n  1
(1  i ) n x i
é o fator de recuperação de capital, para uma série de pagamentos
(1  i ) n  1
iguais de termos vencidos.
 CAPITALIZAÇÃO
Figura 13: A capitalização em uma série de pagamentos iguais de termos vencidos.

Na capitalização, o valor de FV é obtido pela expressão FV = PMT x

(1  i ) n  1 (1  i ) n  1
, onde é o fator de acumulação de capital, para uma série de
i i
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pagamentos iguais de termos vencidos. De outra forma, o valor de PMT, na

i i
capitalização, é obtido pela expressão PMT = FV x , onde éo
(1  i )  1
n
(1  i ) n  1
fator de formação de capital para uma série de pagamentos iguais de termos
vencidos. Vejamos a resolução de algumas situações de mercado envolvendo as
séries de pagamentos implementadas através da HP 12C.
Exemplo 01: Uma distribuidora de componentes eletrônicos vende certo
produto em 8 prestações mensais iguais de R$ 72,30, sendo a primeira, paga 30
dias após a compra. A taxa de juros de crédito pessoal da distribuidora é de 1,25%
ao mês. Qual o preço à vista desse produto?
Solução: Primeiramente, devemos perceber que se trata de uma série de
pagamentos de termos vencidos e iguais, já que as prestações são iguais e
mensais, sendo que a primeira é paga 30 dias após a compra. Daí, resolvendo na
HP 12C, temos a seguinte sequência de passos:
Qual tecla usar? O que temos no Qual é o significado?

visor?
<f> <REG> 0,00 Limpa os registradores.
8 <n> 8,00 Insere o número de
prestações mensais.
1.25 1,25 Insere a taxa mensal de
juros.
72.30 <CHS> <PMT> - 72,30 Valor da prestação
mensal.
<PV> 547,18 Preço à vista do
produto.
Exemplo 02: Uma instituição financeira operando com a taxa de 2,5% ao mês
concedeu um empréstimo no valor de R$ 40.000,00 a uma pessoa jurídica. Tal
empréstimo deve ser amortizado em 9 prestações mensais e iguais, sendo que a
primeira vence em 30 dias. Qual é o valor da prestação mensal que está pessoa
jurídica irá pagar mensalmente?
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Solução: A sequência de passos da resolução na HP 12C é apresentada a

seguir.

visor?

2.5 2,50 Insere a taxa mensal da
operação em questão.
40000 <CHS> - 40000,00 Insere o valor do
<PV> empréstimo feito pela
pessoa jurídica.
<PMT> 5.018,28 Valor da prestação
mensal paga pela
pessoa jurídica.
Exemplo 03: Gilberto é um administrador de empresas que deposita

mensalmente a quantia de R$275,00 em uma instituição financeira, durante o
período de 10 meses, a uma taxa de 1,35% ao mês. Quanto Gilberto terá na data do
último depósito?
seguir.
visor?
0,00 Limpa os registradores.
<f> <REG>
1.35 1,35 Insere a taxa mensal.
275 <CHS> - 275,00 Insere o depósito
<PMT> mensal feito por
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Gilberto.
<FV> 2.923,22 Valor do Montante que
Gilberto terá na data do
último depósito.
1.9. Série de Pagamentos Iguais com Termos Antecipados

Primeiramente, salientamos que uma Série de Pagamentos Iguais com
Termos Antecipados, possui as seguintes características principais:
- os pagamentos são periódicos e sem diferimento;
- os termos são iguais;
- o intervalo de tempo entre cada termo é constante;
- os termos ocorrem no início dos períodos;
- o primeiro termo ocorre no início do primeiro período.
Geometricamente, mais uma vez temos duas situações a analisar, a

amortização e capitalização, como seguem.
 AMORTIZAÇÃO
Figura 14: A amortização em uma série de pagamentos iguais antecipada.

Na amortização, o valor presente (PV) é obtido pela expressão PV = PMT x (1

(1  i ) n  1 PV
+ i) x , enquanto que o valor de PMT é dado por PMT = .
(1  i ) n x i (1  i ) n  1
(1  i ) x
(1  i ) n x i
24
 CAPITALIZAÇÃO
Figura 15: A capitalização em uma série de pagamentos iguais antecipada.

(1  i ) n  1
Na capitalização, o valor de FV é dado por FV = PMT x (1 + i) x ,
i
FV
enquanto o valor de PMT é dado por PMT = . Salientamos que
(1  i) n  1
(1  i) x
i
para a resolução de problemas envolvendo as séries de pagamentos iguais no
âmbito da HP 12C, procederemos da seguinte forma:
1) Para trabalharmos com série de pagamentos ou recebimentos
antecipados, pressione as funções <g> <BEG> e aparecerá no visor a palavra
BEGIN, que significa “início”, ou seja, pagamentos ou recebimentos feitos no início
do período. Para retirar essa instrução, basta pressionar as funções <g> <END>.
2) Para a série de pagamentos ou recebimentos postecipados, você nada

fará, ou seja, o que indica que a calculadora resolverá o problema, considerando
pagamentos ou recebimentos postecipados.
Vejamos alguns exemplos ilustrativos envolvendo a série de pagamentos
antecipados que podem aparecer no cotidiano financeiro.
Exemplo 04: Determinar o preço à vista de um componente eletrônico,
adquirido pela Sigma S/C em 4 prestações iguais, mensais e sucessivas, no valor de
R$455,75. A primeira prestação será paga na data da compra e a taxa de juros em
questão é de 1,42% ao mês.
seguir.
25

visor?
<g> <BEG> 0,00 BEGIN Para resolver problemas
com pagamentos
antecipados.
4 <n> 4,00 BEGIN Introduz o número de
pagamentos mensais.
1.42 1,42 BEGIN Introduz a taxa mensal.
455.75 <CHS> - 455.75 BEGIN Introduz o valor dos
<PMT> pagamentos iguais.
<PV> 1.785,07 BEGIN Preço à vista do
componente cirúrgico.
Exemplo 05: O preço à vista de uma peça é de R$1.800,00, ou ainda a

mesma está sendo negociada em 10 prestações mensais, iguais e sucessivas,
sendo, a primeira, paga na data de hoje. Sabendo-se que a distribuidora da peça
usa uma taxa de 2,10% ao mês, qual o valor da prestação mensal?
seguir.
visor?
com pagamentos
antecipados.
1800 <CHS> <PV> -1.800,00 BEGIN Preço à vista da peça
em questão.
10 <n> 10,00 BEGIN Insere o número de
prestações.
2.10 2,10 BEGIN Introduz a taxa mensal.
<PMT> 197,29 BEGIN Valor da prestação
mensal.
26
Exemplo 06: Calcular o montante de 18 depósitos mensais, iguais e

sucessivos, no valor de R$480,00 efetuados por um estudante de direito, à taxa de
1,2% ao mês, sendo o primeiro depósito realizado na data de hoje.
seguir.
visor?
com pagamentos
antecipados.
18 <n> 18,00 BEGIN Insere o prazo em
meses.
1.20 1,20 BEGIN Insere a taxa mensal.
480 <CHS> - 480,00 BEGIN Valor do depósito.
<PMT>
<FV> 9.695,27 BEGIN Valor do Montante.
1.10. Série de Pagamentos Variáveis com Termos Vencidos

Agora não vamos ter mais o contexto da função PMT da calculadora HP 12C,
o que poderia resultar numa dificuldade inicial de cálculo, porém, vamos aprender
novas funções que tendem a facilitar também os cálculos mesmo para esta situação
de pagamentos distintos. Aqui, o Valor Presente é calculado pela soma dos valores
atualizados de cada um de seus termos a uma mesma taxa i, enquanto que o Valor
Futuro pode ser determinado pelo somatório dos montantes de cada termo ou,
capitalizando o valor presente para a data futura desejada.
27
Figura 16: O valor presente e o valor futuro em uma série de pagamentos variáveis.
Sendo assim, por exemplo, para a amortização, temos a seguinte situação

geométrica.
Figura 17: A amortização para uma série de pagamentos variáveis.

O Valor Presente é obtido pela expressão Matemática:

PMT1 PMT2 PMT3 PMTn
PV =    ... 
1  i (1  i) 2
(1  i) 3
(1  i) n
Além disso, o Valor Futuro é dado pela seguinte expressão:
FV = PMT 1 x (1 + i) n 1 + PMT 2 x (1 + i) n  2 + ... + PMT n
Ou seja,
28
FV = PV x (1 + i) n
1.11. Valor Presente de uma série de pagamento variáveis usando as teclas <
CF 0 >, <CF j >, <N j > e <NPV>

Podemos simplificar alguns cálculos associados à série de pagamentos
variáveis através das teclas < CF 0 >, <CF j >, <N j > e <NPV>, sendo que:
CF 0 : fluxo de caixa na data zero
CF j = fluxo de caixa de ordem j, para j = 1, 2, 3, ..., n
N j : número de vezes que o fluxo CF j se repete
NPV = valor presente líquido

Observação Importante! Para a função <NPV>, a HP 12C calcula diretamente o
valor presente de até 20 (vinte) grupos de fluxo de caixa (excluindo o fluxo
inicial), cada grupo contendo um máximo de 99 fluxos iguais.
Exemplo 07: Gilberto realiza um empréstimo liquidando o mesmo em cinco

prestações anuais e sucessivas de R$25.000,00, R$35.000,00, R$40.000,
R$50.000,00 e R$24.000,00. A taxa de juros utilizada na operação pela instituição
financeira foi de 18% ao ano. Qual o valor do empréstimo realizado por Gilberto.
seguir.
visor?
25000 <g> <CF j 25.000,00 Fluxo na data 1.
>
>
>
29
>
>
18 18,00 Taxa de juros anual (em
%).
<f> <NPV> 106.948,20 Valor do empréstimo.
Exemplo 08: A Sigma S/C após diversas reuniões estratégicas no ano de

2014, decide realizar um investimento, com três anos de vida útil, que irá gerar
receitas mensais de acordo com o quadro abaixo. A taxa de desconto será 18% ao
ano, capitalizada de maneira mensal. Calcular quanto vale este investimento na data
atual.
Meses Número de Meses Valor (em R$)
1 a 12 12 9.000,00
13 a 20 08 7.000,00
21 a 24 04 11.000,00
25 a 35 10 14.000,00
36 02 18.000,00

seguir.
visor?
8000 <g> <CF j > 9.000,00 Valor dos fluxos do
primeiro grupo.
12 <g> < N j > 12,00 Número de vezes que
este valor se repete.
segundo grupo.
30
11000 <g> <CF j 11.000,00 Valor dos fluxos do
> terceiro grupo.

14000 <g> <CF j 14.000,00 Valor dos fluxos do
> quarto grupo.

18000 <g> <CF j 18.000,00 Valor do fluxo do quinto
> grupo.

18 <ENTER> 12 1,50 Taxa mensal (em %).
<  > 
<f> <NPV> 274.107,14 Valor do Investimento
na Data Atual.
Exemplo 09: Calcular o valor presente de um fluxo de caixa com quatro

prestações mensais, sucessivas e crescentes em progressão aritmética de razão
igual a R$1.000,00. A primeira prestação tem valor igual a R$7.500,00 e a taxa de
juros mensal da operação é 1,46%.
seguir.
visor?
7500 <g> <CF j > 7.500,00 Fluxo na data 1.
>
31
1.46 1,46 Taxa de juros mensal

(em %).
<f> <NPV> 34.653,51 Valor presente.
1.12. Classificação dos Indicadores de Análise de Projetos de Investimentos

Empresariais
Como caracterizar a viabilidade econômica de projetos empresariais com as
ferramentas da Matemática Financeira? Em verdade, podemos averiguar se um
determinado projeto é ou não viável para uma empresa, a partir da rentabilidade do
mesmo e a partir do risco associado ao projeto. Para tal, utilizamos dos indicadores
financeiros.
Indicador é uma medida de ordem quantitativa ou qualitativa, dotada de
significado particular e utilizada para organizar e captar as informações relevantes
dos elementos que compõem o objeto que está sendo observado. De outra forma, é
sabido que no mundo globalizado e amplamente concorrido, uma das decisões mais
difíceis dentro de uma empresa é decidir se a mesma deve investir ou não, ou
especificamente falando, se um determinado projeto é atrativo ou não. Neste
sentido, um investimento para uma empresa é um desembolso feito visando gerar
um fluxo de benefícios futuros, usualmente superior a um ano.
Ressaltamos que o grande campo de aplicação das Técnicas de Análise de
Investimentos Empresariais está associado ao processo de geração de indicadores
utilizados na seleção de alternativas de investimentos e, mais recentemente na
avaliação de impacto desses investimentos no EVA (Economic Value Added) de
unidades de negócio.
Com relação à análise da viabilidade de projetos empresariais, podemos
dividir a análise levando em consideração a rentabilidade, bem como o risco
associado ao mesmo. Em outras palavras, isto significa que temos dois grupos de
indicadores, o que se relacionam com a rentabilidade e os que estão associados
com o risco do projeto. Aqui estaremos falando diretamente sobre aplicações
envolvendo o Valor Presente Líquido (VPL ou NPV) e a Taxa Interna de Retorno
(IRR ou TIR). Grosso modo, os principais indicadores utilizados para a
caracterização da viabilidade econômica de projetos industriais são descritos na
Figura 18 a seguir.
32
Figura 18: Principais indicadores utilizados na viabilidade econômica de projetos empresariais.

De outra forma, a classificação dos indicadores com relação à rentabilidade e

ao risco apresentado no respectivo projeto a ser estudado é apresentada na Figura
19 abaixo.
Figura 19: Classificação dos indicadores.

1.13. Valor Presente Líquido

Segundo Clemente e Alceu (2009), o Valor Presente Líquido de um fluxo de
caixa consiste em calcularmos o valor presente de uma série de pagamentos (ou
33
recebimentos), descontado a uma taxa, e deduzir, deste, o valor do fluxo inicial

(valor do empréstimo, do financiamento ou do investimento). Utilizamos a notação
VPL ou NPV para representar o valor presente líquido. Grosso modo, da equação:
CF1 CF2 CF3 CFn
PV =    ... 
1  i (1  i) 2
(1  i) 3
(1  i) n
Temos que:
CF1 CF2 CF3 CFn
NPV = =    ...  – CF 0
1  i (1  i) 2
(1  i) 3
(1  i) n
Como vimos anteriormente, o Valor Presente Líquido é um indicador
relacionado à rentabilidade do projeto, sendo assim, temos a seguinte análise para a
averiguação da atratividade do ganho adicional com relação ao contexto abordado:
Interpretação via VPL ou NPV! Se NPV > 0, então haverá um ganho adicional
(expresso em valores atuais) em relação ao mesmo investimento aplicado à
taxa de desconto, isto é, o investimento será atrativo. Contrariamente, se NPV
< 0, teremos uma perda (expressa em valores de hoje) e o investimento não
será atrativo. Ou seja, constitui um primeiro método ou critério de avaliação de
investimento capital.
Figura 20: Caracterização da atratividade do projeto em análise via a interpretação do VPL.

Exemplo 10: Um empréstimo no valor de R$12.000,00 será quitado em três

prestações mensais e sucessivas de R$3.150,00, R$4.950,00 e R$7.430,00.
Sabendo que a taxa de juros praticada nesta operação é de 1,98% ao mês, qual é o
valor presente líquido?
34

seguir.
visor?
12000 <CHS> <g> -12.000,00 Valor do empréstimo.
<CF 0 >
3150 <g> <CF j > 3.150,00 Valor do primeiro

pagamento.
4950 <g> <CF j > 4.950,00 Valor do segundo
pagamento.
7430 <g> <CF j > 7.430,00 Valor do terceiro
pagamento.
1.98 1,98 Taxa mensal de juros
(%).
<f> <NPV> 2.854,07 Valor presente líquido.
Exemplo 11: Examinar se a Sigma S/C pode aceitar o projeto abaixo,

adotando-se uma taxa de 8% ao mês. As características do projeto estão descritas
a seguir.
Investimento inicial = R$8.000,00
Vida útil = 10 meses
Receitas líquidas mensais = R$900,00
Valor residual = R$2.000,00
35
A Figura 21 a seguir descreve o diagrama de fluxo de caixa do

projeto.
Figura 21: A disposição geométrica do exemplo.

Solução: Primeiramente, observe que o valor residual seria uma receita que
aparece na última data do horizonte da situação descrita no exemplo. A solução
deste problema é obtida da seguinte maneira pela HP 12C.

visor?
8000 <CHS> <g> -8.000,00 Valor do investimento
<CF 0 > inicial.
900 <g> <CF j > 900,00 Valor da primeira receita

líquida mensal.
9 <g> <N j > 9,00 Número de vezes que
2900 <g> <CF j > 2.900,00 Valor da décima receita
líquida mensal.
8 8,00 Taxa mensal de juros
(em %).
<f> <NPV> -1.034,54 Valor presente líquido.
36
De acordo com o critério via VPL, como o NPV = – 1.034,54 < 0, concluímos
que o projeto não deve ser aceito.
1.14. Taxa Interna de Retorno (TIR ou IRR)

Segundo Clemente e Alceu (2009), Taxa Interna de Retorno (IRR ou TIR) é
a taxa de desconto que torna o valor presente líquido de um fluxo de caixa igual a
zero. A taxa interna de retorno será obtida quando igualamos a equação NPV =
CF1 CF2 CF3 CFn
   ...  – CF 0 a zero, isto é, quando executamos NPV
1  i (1  i) 2
(1  i) 3
(1  i) n
CF1 CF2 CF3 CFn n CF j

= 
1  i (1  i) 2

(1  i) 3
 ... 
(1  i) n
– CF 0 = 0, ou ainda, CF 0 =  (1  i)
j 1
j
.
Note que em outras palavras, podemos interpretar a Taxa Interna de Retorno

(IRR) como sendo aquela que iguala no momento zero, o valor presente das
entradas (recebimentos) com o das saídas (pagamentos) previstas no fluxo de caixa.
De outro modo, a Taxa Interna de Retorno, nas operações de empréstimos,
Financiamentos ou de aplicações de recursos, nada mais é do que a taxa de juros
da operação.
Figura 22: Interpretação da Taxa Interna de Retorno.

Como foi apresentado anteriormente, a Taxa Interna de Retorno pode ser

utilizada como um indicador associado ao risco de implantação de determinado
37
projeto. Porém, para tal análise, é necessário definirmos a Taxa de Mínima

Atratividade (TMA) como segue.
Definição (Taxa de Mínima Atratividade – TMA) – De acordo com Clemente
e Alceu (2009), chamamos de Taxa de Mínima Atratividade (TMA) a melhor taxa,
com baixo grau de risco, disponível para aplicação do capital em análise.
Desta forma, a decisão de investir sempre terá pelo menos duas alternativas
a serem avaliadas: “Investir no capital” ou “Investir na Taxa de Mínima
Atratividade”. Ou ainda, o conceito de riqueza gerada deve levar em conta
somente o excedente sobre aquilo que já se tem, isto é, o que será obtido além da
aplicação do capital na TMA. Esse conceito, desde há muito defendido pelos
economistas, denomina-se lucro residual. Atualmente, uma variação desse
conceito de excedente tem sido tratada como Valor Econômico Agregado ou
Economic Value Added (EVA). Portanto, o critério via TIR para atratividade de um
projeto é apresentado na Figura 23 a seguir.
Figura 23: Conclusão da atratividade de um projeto via TIR.

Vejamos alguns exemplos que envolvem o cálculo da Taxa Interna de

Retorno em situações cotidianas da gestão financeira.
Exemplo 12: Calcular a taxa interna de retorno, correspondente a um
empréstimo feito por um gestor de R$15.000,00 a ser liquidado em quatro
pagamentos mensais de R$4.500,00, R$5.000,00, R$3.500,00 e R$5.500,00.
38
Solução: Inicialmente, vamos representar o diagrama de fluxo de caixa desta

operação tomando-se como referência a instituição financeira, ou seja, vamos
desenhar o mesmo na visão da instituição financeira.
Figura 24: A interpretação geométrica do exemplo.

Logo, a HP 12C faz este cálculo usando a função <IRR> (que significa
Internal Rate Return).
visor?
15000 <CHS> <g> -15.000,00 Valor do empréstimo.
<CF 0 >

pagamento.
pagamento.
pagamento.
5500 <g> <CF j > 5.500,00 Valor do quarto
pagamento.
<f> <IRR> 8,81 Taxa Interna de Retorno
Mensal (em %).
39
Exemplo 13: Um maquinário agrícola no valor de R$45.000,00 é totalmente

financiado por um agricultor, para pagamento em 9 parcelas mensais, sendo, as 3
primeiras, de R$4.500,00, as 2 seguintes, de R$5.000,00, as 3 seguintes,
R$6.500,00 e, a nona, de R$7.500,00. Qual a taxa de juros implícita nesta
operação?
seguir.
visor?
45000 <CHS> <g> -45.000,00 Valor do financiamento.
<CF 0 >

primeiro grupo.
segundo grupo.
terceiro grupo.
7500 <g> <CF j > 7.500,00 Valor do fluxo do quarto
grupo.
<f> <IRR> 2,16 Taxa Interna de Retorno
Mensal (em %).
Exemplo 14: Uma empresa na área de Logística cuja Taxa de Mínima

Atratividade, após o imposto de renda, é de 12% ao ano está analisando a
viabilidade financeira de um novo investimento. O Fluxo de Caixa anual do projeto
de investimentos em análise está representado no DFC da Figura 25 a seguir.
40
Figura 25: DFC do exemplo.

Calcular os indicadores de retorno Valor Presente Líquido e Taxa Interna de

Retorno, bem como, comentar sobre a atratividade do projeto considerando tais
indicadores calculados.
Solução: A sequência de passos da resolução na HP 12C para cálculo do
VPL e TIR são apresentadas a seguir.
 Cálculo do Valor Presente Líquido

visor?
- 380 <g> <CF0> - 380,00 Fluxo na data zero.
30 <g> <CFj> 30,00 Fluxo na data 1.
130 <g> <CFj> 70,00 Fluxo que se repete.
4 <g> <Nj> 4,00 Número de vezes que o
fluxo se repete.
12 12,00 Taxa de juros.
<f> <NPV> 80,14 Valor presente líquido.
 Cálculo do Valor Presente Líquido

41

visor?
- 380 <g> <CF0> - 380,00 Fluxo na data zero.
130 <g> <CFj> 70,00 Fluxo que se repete.
4 <g> <Nj> 4,00 Número de vezes que o
fluxo se repete.
12 12,00 Taxa de juros.
<f> <IRR> 16,19 Valor da Taxa Interna
de Retorno.
Conclusão do Problema: Desta forma, concluímos pelo VPL ou pela TIR

que o projeto é atrativo, ou seja, que se deve investir no mesmo. Observe que
independentemente de você tomar a decisão pela rentabilidade ou pelo risco
associado ao projeto em questão, você deve optar na implementação do mesmo.
Observação Importante! Quando falamos em risco, no contexto da gestão

empresarial, temos o risco do negócio (que está associado à implementação
do projeto) e o risco de gestão (que está diretamente associada à decisão do
gestor em questão).
42
UNIDADE 2 - SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO E

APLICAÇÕES DIVERSAS NA GESTÃO EMPRESARIAL
Nesta segunda Unidade, é de nosso interesse apresentar os aspectos

teóricos relacionados aos principais sistemas de amortização praticados no âmbito
do mercado financeiro brasileiro, bem como resolver situações práticas envolvendo
tais regimes aplicados à gestão financeira.
Objetivo geral da unidade:

Interpretar e aplicar as principais propriedades dos sistemas de amortização
na resolução de situações práticas da gestão financeira.
Objetivos específicos da unidade:

 estar plenamente familiarizado com os principais sistemas de amortização
do mercado brasileiro;
 apresentar as propriedades fundamentais do sistema de amortização
constante ou SAC;
 apresentar as propriedades fundamentais do sistema de prestação
constante ou Sistema Price;
 apresentar as propriedades fundamentais do sistema de amortização SAM;
 implementar na HP 12C situações envolvendo tais sistemas de amortização
na área financeira;
 efetuar um comparativo entre os principais sistemas de amortização;
 resolver diversas situações práticas envolvendo os tópicos descritos
anteriormente.
2.1. Aspectos Introdutórios da Teoria da Amortização

Amortizar significa o ato de saldarmos determinada dívida, ou seja, quitarmos
a mesma. E, quando falamos, em empréstimos e financiamentos, de uma forma
geral, este termo é de fundamental importância para o entendimento dos
empréstimos e financiamentos. É interessante percebermos que na prática do
mercado financeiro, principalmente nos dias atuais, a disponibilidade de recursos é,
sem dúvida, fator preponderante na decisão da implantação de um investimento
43
como, por exemplo, a construção da casa própria, a aquisição de um equipamento

para a empresa, a compra de um veículo, a compra de uma moto, entre outros.
Comprar, seja a prazo ou à vista, sempre é necessário que tenhamos dinheiro
ou capital, obviamente, na falta dos mesmos recorremos aos empréstimos e
financiamentos. No Brasil, especificamente falando, os empréstimos podem ser de
curto, médio e longo prazo. Segundo Samanez (2007), os empréstimos de curto
prazo e médio prazo caracterizam-se, normalmente, por serem saldados em até 12
meses, e na visão empresarial, é utilizado pelas organizações com o intuito de
melhorar o capital de giro. Contrariamente, os empréstimos de longo prazo
(financiamentos), por existirem várias modalidades de restituição do principal e dos
encargos financeiros, têm um tratamento especial e devem ser olhados com mais
cautela, já que envolvem quantidades maiores de dinheiro.
Segundo Samanez (2007), essas operações de créditos têm suas condições
previamente fixadas por contratos bilaterais entre a empresa e o órgão financiador
(instituição financeira).
Figura 26: Aspectos introdutórios da amortização.

Ressaltamos que o valor desses empréstimos, ao qual chamamos de

principal, deverá ser restituído à instituição financeira, acrescidos da sua
44
remuneração, que são os juros. Neste contexto, a maneira pela qual devolvemos o
principal mais os juros da operação são chamamos de Sistema de Amortização.
Figura 27: Considerações gerais sobre a amortização.

É de nosso interesse estudar os principais tipos de sistemas de amortização

praticados em instituições bancárias ou instituições financeiras no âmbito do
mercado financeiro brasileiro, que são o SAC, o PRICE e o SAM.
2.2. Conceitos Fundamentais

Para compreendermos melhor os sistemas de amortização, é necessário
introduzirmos alguns conceitos relacionados aos mesmos, que irão servir de alicerce
para a criação das regras e cálculos envolvendo os mesmos. Tais conceitos
introdutórios são apresentados na Figura 28 a seguir e definidos formalmente na
sequência.
Figura 28: Conceitos Fundamentais da Teoria da Amortização.

45
Sendo assim, de acordo com Samanez (2006), podemos interpretar em

termos formais estes conceitos, como seguem:
 CREDOR – aquele que concede o empréstimo ou financiamento;
 DEVEDOR ou MUTUÁRIO – aquele que recebe o empréstimo ou
financiamento;
 TAXA DE JUROS – taxa contratada entre as partes;
 PRESTAÇÃO – soma da amortização, acrescida dos juros e outros
encargos financeiros pagos em um dado período;
 AMORTIZAÇÃO – refere-se às parcelas de devolução do principal (capital
emprestado);
 PRAZO DE AMORTIZAÇÃO – intervalo de tempo durante o qual serão
pagas as amortizações;
 SALDO DEVEDOR – trata-se do estado da dívida (débito) em
determinado estado de tempo;
 IOF – imposto sobre operações financeiras;
 PRAZO DE CARÊNCIA – corresponde ao período compreendido entre a
primeira liberação do empréstimo ou financiamento e o pagamento da primeira
amortização;
 PRAZO TOTAL – considera-se a soma do prazo de carência com o prazo
de amortização;
 PLANILHA – quadro pelo qual são inseridos os valores referentes ao
empréstimo ou financiamento, constituído de várias colunas, que apresentam, após
cada pagamento, a parcela de juros pagos, a amortização, a prestação, os encargos
financeiros (IOF, aval, comissões, taxa de abertura de crédito, entre outros) e o
saldo devedor.
46
Figura 29: O processo de quitação de um empréstimo.

A partir do momento que introduzimos algumas considerações iniciais, bem

como apresentamos os principais elementos que formam a Teoria da Amortização, é
de nosso interesse agora discutir nas entrelinhas os principais sistemas de
amortização praticados no âmbito do mercado brasileiro, especificamente falando
para financiamentos de automóveis, crédito consignado e financiamento imobiliário,
que são: Sistema de Amortização Constante (SAC), Sistema Francês de
Amortização (Price) e o Sistema de Amortização Misto (SAM).
Figura 30: Principais Sistemas de Amortização praticados no mercado financeiro brasileiro.

Fonte: Alessandro Ferreira (2014).
47
2.3. Sistema de Amortização Constante (SAC)

É conhecido também como Sistema Hamburguês, sendo muito difundido
pelo Sistema Financeiro de Habitação (SFH), a partir da década de 70, que o adotou
nos financiamentos relativos a imóveis (casa própria).
Atualmente, ele é muito usado para financiamentos de longo prazo e também
nos financiamentos envolvendo o crédito imobiliário. É importante observarmos que
no Sistema de Amortização Constante (SAC), as parcelas de amortização do
principal são sempre iguais (ou constantes), por conta disso, a sua nomenclatura.
Além disso, aqui o valor da amortização é calculado através da divisão do
capital emprestado pelo número de parcelas de amortizações, enquanto que os
juros são calculados, a cada período, multiplicando-se a taxa de juros contratada
pelo saldo devedor existente sobre o período anterior, assumindo valores
decrescentes nos períodos. E, por fim, a prestação do financiamento, a cada
período, é igual à soma da amortização e dos encargos financeiros (juros,
comissões, entre outros), sendo periódica, sucessiva e decrescente em progressão
aritmética, de razão igual ao produto da taxa de juros pela parcela de amortização.
Curiosidade! Se você já observou as parcelas relativas ao financiamento de

uma casa, pode perfeitamente averiguar o decrescimento das parcelas do
financiamento, exatamente por conta da característica do SAC.
Figura 31: Principais características do SAC.

48
2.4. Montagem da Planilha no SAC

Para montagem da planilha associada ao SAC seguimos as etapas descritas
a seguir:
Primeira Etapa: O valor da amortização (A) é dado por:
PV
A= , (I)
n
Onde:
PV = principal (valor do empréstimo ou do financiamento);
n = número de amortizações.
Segunda Etapa: O saldo devedor de cada período t, (P t ), é dado por:
P t = P t 1 – A = A x (n – t) ( II )
Terceira Etapa: O valor dos juros de cada período t, (J t ), é dado por:
J t = i x P t 1 , ( III )
Onde:
i = taxa de juros.
Quarta Etapa: O valor da prestação para cada período t, (PMT t ), é dado por:
PMT t = A + J t ( IV )
Vejamos duas ilustrações envolvendo a aplicação do SAC em situações

cotidianos no âmbito financeiro.
Exemplo 15: A Sigma S/C solicita um empréstimo no valor de R$100.000,00
para a compra de um aparelho para a sua filial situada no interior de São Paulo.
Sendo assim, o banco libera no ato da assinatura do contrato, pelo sistema de
amortização SAC. A taxa de juros cobrada pelo banco é de 6% ao mês e o principal
será amortizado em 5 parcelas mensais. Pede-se:
a) Construir a planilha da operação de crédito.
b) Calcular o custo efetivo (mensal) do empréstimo realizado pelo Hospital
AFA.
49
Solução: De acordo com o Exemplo, temos que:

PV = R$100.000,00;
n = 5 meses;
i = 6% ao mês = 0,06 ao mês
Daí:
a) Construção da planilha
Vamos desenvolver as etapas descritas anteriormente:
Primeira Etapa: O cálculo da amortização mensal será feito pela fórmula (I).
Sendo assim, temos que:
100.000
A= = 20.000
5
Logo,
A = R$20.000,00/mês
Segunda Etapa: O saldo devedor, após o pagamento de cada prestação

mensal, é dado pela fórmula (II). Desta maneira, temos que:
 saldo devedor ao final do primeiro mês: P 1 = 100.000 – 20.000 = 80.000;
 saldo devedor ao final do segundo mês: P 2 = 80.000 – 20.000 = 60.000;
 saldo devedor ao final do terceiro mês: P 3 = 60.000 – 20.000 = 40.000;
 saldo devedor ao final do quarto mês: P 4 = 40.000 – 20.000 = 20.000;
 saldo devedor ao final do quinto mês: P 5 = 20.000 – 20.000 = 0.
Terceira Etapa: O cálculo dos juros de cada mês é feito pela fórmula (III).
Temos então que:
 juros do primeiro mês: J 1 = 0,06 x 100.000 = 6.000;
 juros do segundo mês: J 2 = 0,06 x 80.000 = 4.800;
 juros do terceiro mês: J 3 = 0,06 x 60.000 = 3.600;
 juros do quarto mês: J 4 = 0,06 x 40.000 = 2.400;
 juros do quinto mês: J 5 = 0,06 x 20.000 = 1.200.

50
Quarta Etapa: O valor da prestação para cada mês é dado pela expressão
(IV). Temos que:
 prestação ao final do primeiro mês: PMT 1 = 20.000 + 6.000 = 26.0000;
 prestação ao final do segundo mês: PMT 2 = 20.000 + 4.800 = 24.800;
 prestação ao final do terceiro mês: PMT 3 = 20.000 + 3.600 = 23.600;
 prestação ao final do quarto mês: PMT 4 = 20.000 + 2.400 = 22.400;
 prestação ao final do quinto mês: PMT 5 = 20.000 + 1.200 = 21.200.
A partir destas informações podemos construir a planilha da operação de

crédito como segue no Quadro 01 abaixo:
Quadro 01: A planilha da operação de crédito.

MÊS Pi A Ji PMT i
0 100.00
0
1 80.000 20.000 6.000 26.000
2 60.000 20.000 4.800 24.800
3 40.000 20.000 3.600 23.600
4 20.000 20.000 2.400 22.400
5 0 20.000 1.200 21.200
TOTAL 100.00 18.000 118.00
0 0
b) Uma vez construída a planilha da operação de crédito, calculamos o seu

custo efetivo mensal. O fluxo de caixa do banco é dado abaixo:
51

O presente problema pode ser resolvido na HP 12C, calculando a taxa interna

de retorno do fluxo de caixa acima:
Qual tecla usar? O que temos no Qual é o

visor? significado?
<f> <REG> 0,00 Limpa os
registradores.
100000 <CHS> <g> -100.000,00 Valor do
<CF 0 > Empréstimo.

pagamento.
pagamento.
pagamento.
22400 <g> <CF j > 22.400,00 Valor do quarto
pagamento.
21200 <g> <CF j > 21.200,00 Valor do quinto
52
pagamento.
<f> <IRR> 6,00 Custo efetivo
mensal (em %).
Portanto, concluímos que o custo efetivo será de 6% ao mês, pois a empresa

não paga qualquer outro encargo financeiro ao banco, apenas a taxa de juros de 6%
ao mês.
Exemplo 16: Vamos trabalhar com outros tipos de cobranças nas operações
de financiamento? Para tal, vamos considerar os mesmos dados do Exemplo 15
anterior, trabalhando, porém, que o banco concedeu quatro meses de carência a
Sigma S/C e os juros serão pagos mês a mês. De outra forma, será cobrada a taxa
de abertura de crédito de 0,5% sobre o valor financiado paga no ato da assinatura,
bem como o IOF de 3,5% sobre o valor do financiamento é também pago no ato da
assinatura do contrato. Logo, pede-se:
a) construir a planilha do financiamento;
b) calcular o custo efetivo (anual) deste empréstimo.
Solução: Neste caso, temos que:
a) Usando os cálculos do exemplo anterior temos a planilha descrita no
Quadro 02 abaixo:
Quadro 02: A planilha da operação de crédito.

M Pt A Jt TAC IOF PMT t
ÊS
0 100.000 *500 **3.500 4.000
1 100.000 6.000 6.000
2 100.000 6.000 6.000
3 100.000 6.000 6.000
4 80.000 20.000 6.000 26.000
5 60.000 20.000 4.800 24.800
6 40.000 20.000 3.600 23.600
7 20.000 20.000 2.400 22.400
8 0 20.000 1.200 21.200
TOTAL 100.000 36.000 500 3.500 140.000
53
* Taxa de abertura de crédito = TAC = 0,5% de 100.000 = 500;

** IOF = 3,5 DE 100.000 = 3.500.
b) O fluxo de caixa do banco, para esta operação, é dado abaixo:

O custo efetivo do empréstimo na verdade é a taxa interna de retorno do fluxo

de caixa acima. Sendo assim, resolvendo na HP 12C, temos que:
Qual tecla usar? O que temos no visor? Qual é o
significado?
registradores.
100000 -96.000,00 Valor emprestado.
<ENTER> 4000 <– >
96000 <CHS> <g>
<CF 0 >

primeiro grupo.
26000 <g> 26.000,00 Valor do fluxo do
<CF j > segundo grupo.

54
<CF j > terceiro grupo.

<CF j > quarto grupo

<CF j > quinto grupo

<CF j > sexto grupo
<f> <IRR> 6,84 Custo efetivo mensal

(em %)
100 <  > 1 <+> 1,07 1 + a taxa mensal
(forma unitária)
12 <y x > 1 <–> 121,28 Custo efetivo anual
100 <x> (em %)
Observação Importante! Nos empréstimos realizados, na prática, é comum as

instituições financeiras cobrarem o imposto sobre operações financeiras, aval,
comissões, entre outros. Estes encargos adicionais aumentam a taxa de juros
para o devedor, tornando indispensável o seu cálculo.
Exemplo 17: Uma instituição financeira para empréstimos pessoais empresta

R$300.000,00 a Sigma S/C nas seguintes condições:
a) Juros de 18% a.a., capitalizados semestralmente.
b) Carência de um ano.
c) Taxa de Abertura de Crédito (TAC) de 0,75% sobre o valor financiado,
pago no ato.
d) Comissão de 1% sobre o saldo devedor anual.
e) IOF de 2,5% sobre o valor do financiamento, pago no ato.
f) Amortizações semestrais constantes.
g) Prazo total do financiamento 3 anos e 6 meses.
Construir a planilha de financiamento e calcular o custo efetivo anual deste
empréstimo.
Solução: De acordo com o enunciado do problema, temos que:
55
PV = R$300.000,00
i = 18% ao ano = 9% ao semestre (taxa efetiva semestral)
Prazo de Carência = m = 1 ano = 2 semestres
Prazo total do financiamento = 3 anos e 6 meses = 7 semestres
Observe que o Prazo Total do Financiamento (PTF) é dado por:
PTF = n + m – 1,
Onde:
n = o número de amortizações e m = prazo de carência
Vamos considerar série de pagamentos com diferimento e termos
antecipados. Logo,
7 = n + m – 1 ou 7 = n + 2 – 1 ou n = 6 semestres
O valor da amortização semestral será dado por:
300.000
A= = 50.000
6
Desta maneira, temos a seguinte planilha.
Quadro 03: A planilha do Exemplo 17.
SEMESTRE Pt A J TAC COM IOF PMT t
0 300.000 2.250 7.500 9.750

1 300.000 27.000 27.000
2 250.000 50.000 27.000 2.500 79.500
3 200.000 50.000 22.500 72.500
4 150.000 50.000 18.000 1.500 69.500
5 100.000 50.000 13.500 63.500
6 50.000 50.000 9.000 500 59.500
7 0 50.000 4.500 54.500
TOTAL 300.000 121.500 2.250 4.500 7.500 435.750
Alguns valores da planilha foram calculados como segue:

TAC = 0,75%% de 300.000 = R$2.250,00
Comissão:
- primeiro ano (segundo semestre) = 1% de R$250.000,00 = R$2.500,00;
- segundo ano (quarto semestre) = 1% de R$150.000,00 = R$1.500,00;
56
- terceiro ano (sexto semestre) = 1% de R$50.000,00 = R$500,00;

IOF = 2,5% de R$300.000,00 = R$7.500,00.
Agora, vamos elaborar o diagrama de fluxo de caixa na visão do banco

(considerando múltiplos de R$1.000,00). Sendo assim, temos a seguinte
representação gráfica:

Para calcularmos o custo efetivo do empréstimo na calculadora HP 12C

devemos calcular a taxa interna de retorno de caixa como segue:
significado?
registradores.
290.25 <CHS> <g> -290,25 Valor do fluxo na data
<CF 0 > zero.
27 <g> <CF j > 27,00 Valor do primeiro

pagamento.
79.5 <g> <CF j > 79,50 Valor do segundo
pagamento.
72.50 <g> <CF j > 72,50 Valor do terceiro
57
pagamento.
69.5 <g> <CF j > 69,50 Valor do quarto
pagamento.
63.5 <g> <CF j > 63,50 Valor do quinto
pagamento.
59.5 <g> <CF j > 59,50 Valor do sexto
pagamento.
59.5 <g> <CF j > 59,50 Valor do sétimo
pagamento.
<f> <IRR> 10,29 Custo efetivo
semestral (em %).
100 <  > 1 <+> 1,10 1 + a taxa efetiva
semestral (forma
unitária).
2 <y x > 1 <–> 100 <x> 21,64 Custo efetivo anual do
empréstimo (em %).
2.5. Sistema Francês de Amortização (ou Tabela Price)

É comumente identificado pelos nomes “Sistema Price ou Tabela Price” ou
“Sistema de Prestação Constante” e é muito utilizado nas compras a prazo de
bens de consumo (com crédito direto ao consumidor). Aqui o sistema estipula que as
prestações devem ser iguais, periódicas e sucessivas. Os juros, por incidirem
sobre o saldo devedor, são decrescentes e as parcelas de amortização assumem
valores crescentes.
A soma dessas duas parcelas permanece sempre igual ao valor da prestação.
Com o auxílio de sua calculadora HP 12C pode-se obter facilmente as parcelas de
capital (amortização) e as de juros correspondentes a cada prestação, o saldo
devedor após cada pagamento, à soma das parcelas de juros consecutivas e o valor
das amortizações acumuladas até certo período. Em verdade, o que devemos
observar para não cometermos equívocos no mercado é que , o Sistema Price
apresenta as seguintes características:
a) quando a taxa de juros for anual, com pagamento mensal, semestral
ou trimestral, usa-se a taxa proporcional ao período de pagamento;
58
b) quando a taxa de juros for mensal, com pagamento semestral,

trimestral ou anual, usa-se a taxa equivalente ao período de pagamento.
Observação Importante! Sistema Price – normalmente os juros vão diminuindo

à medida que os períodos vão decorrendo, ao contrário da amortização, que
vai aumentando.
Figura 35: Principais características da tabela Price.

Exemplo 18: Um empréstimo de R$70.000,00 feito pela Sigma S/C deve ser
liquidado em 5 prestações mensais, pelo Sistema Price, sendo que a primeira
prestação do financiamento vence um mês após a data de assinatura do contrato. A
taxa de juros cobrada é de 36% ao ano.
Dessa forma, pede-se para calcular o valor das prestações, os valores das
parcelas de amortizações, as parcelas de juros de cada prestação e o saldo devedor
após cada pagamento e construir a planilha do empréstimo.
Solução: Neste caso, usaremos a função amarela AMORT que permite o
desdobramento das prestações iguais (PMT) em amortizações e juros. Com esta
função, poderemos calcular, também, o total de juros e amortizações entre duas
prestações. Desta maneira, na calculadora HP 12C podemos resolver o exemplo
procedendo conforme é mostrado a seguir.
59

significado?
registradores.
70000 <CHS> <PV> 70.000,00 Valor emprestado.
5 <n> 5,00 Número de
3 3,00 Taxa de juros mensal
(usamos a taxa
proporcional ao
período). Ver
observação acima.
<PMT> 15.284,82 Valor das prestações
mensais.
1 <f> <AMORT> 2.100,00 Juros referentes à
primeira prestação.
<x <>y> 13.184,82 Amortização referente
à primeira prestação.
RCL <PV> -56.815,18 Saldo devedor após o
pagamento da
segunda prestação.
à segunda prestação.
pagamento da
terceira prestação.
à terceira prestação.
60
pagamento da
1 <f> <AMORT> 877,41 Juros referentes à
quarta prestação.
à quarta prestação.
pagamento da quarta
prestação.
1 <f> <AMORT> 445,19 Juros referentes à
quinta prestação.
à quinta prestação.
RCL <PV> -0,00 Saldo devedor.
De acordo com os cálculos acima, podemos construir a seguinte planilha do

empréstimo:
MÊS Pt A Jt PMT t
0 70.000
1 56.815,18 13.184,82 2.100 15.284,82
2 43.234,82 13.580,36 1.704,46 15.284,82
3 29.247,04 13.987,78 1.297,04 15.284,82
4 14.839,63 14.407,41 877,41 15.284,82
5 0,00 14.839,63 445,19 15.284,82
TOTAL 70.000,00 6.424,10 76.424,10
Observação Importante! Os dados do Exemplo (PV, n e i) podem ser

introduzidos em qualquer ordem.
O fluxo de caixa na visão da instituição financeira é dado abaixo.

61

Exemplo 19: Um empréstimo de R$90.000,00 feito pela Sigma S/C deve ser
liquidado em 4 prestações trimestrais, pelo Sistema Price, a uma taxa de juros de
3,5% ao mês. Caracterizar a planilha do empréstimo.
Solução: Observe que neste caso, temos que:
PV = 90.000,00
n = 4 trimestres
i = 3,5% ao mês = 0,035 ao mês
Além disso, da teoria sobre taxas sabemos que a taxa trimestral composta
equivalente a 3,5% ao mês é dada por i t = 10,87% ao trimestre. Resolvendo o
Exemplo pela calculadora HP 12C (função amarela AMORT), temos que:

significado?
registradores.
90000 <CHS> <PV> -90.000,00 Valor emprestado.
prestações
trimestrais.
10.87 10,87 Taxa de juros
trimestral (usamos a
taxa equivalente
62
composta).
<PMT> 28.928,89 Valor das prestações
trimestrais.
à primeira prestação.
pagamento da
à segunda prestação.
pagamento da
à terceira prestação
pagamento da
quarta prestação.
à quarta prestação.
RCL <PV> -0,00 Saldo devedor.
Portanto, temos a planilha mostrada no Quadro 05.

63

TRIMESTRE Pt A Jt PMT t
0 90.000
1 70.854,11 19.145,89 9.783,00 28.928,89
2 49.627,06 21.227,05 7.701,84 28.928,89
3 26.092,62 23.534,43 5.394,46 28.928,89
4 0,0 26.092,62 2.836,27 28.928,89
TOTAL 90.000,00 25.715,57 115.715,57
O fluxo de caixa da instituição financeira é:

Exemplo 20: A Sigma S/C financiou a compra de um componente médico em

6 prestações mensais, iguais e sucessivas, pelo Sistema Francês, vencendo a
primeira prestação 30 dias após a compra. Sabendo-se que o valor financiado é de
R$650,00 e que a taxa de juros da loja é de 4,5% ao mês, calcular o valor da
prestação mensal e construir a planilha da operação.
Solução: Neste caso, temos que:
PV = R$650,00
n = 6 meses
i = 4,5% ao mês
PMT = ?
64
Resolvendo na HP 12C, temos:

significado?
registradores.
650 <CHS> <PV> -650,00 Valor financiado.
4.5 4,50 Taxa de juros mensal.
<PMT> 126,02 Valor das prestações
mensais.
Agora, vamos construir a planilha do financiamento através da função

AMORT.
Quadro 06: A Planilha do Exemplo 20.

MÊS Pt A Jt PMT t
0 650,00
1 - 96,77 29,25 126,02
553,23
2 - 101,13 24,90 126,02
452,10
3 - 105,68 20,34 126,02
346,43
4 - 110,43 15,59 126,02
236,00
5 - 115,40 10,62 126,02
120,59
6 0,00 120,59 5,43 126,02
TOTAL 650,00 106,13 756,13
O fluxo de caixa da loja está representado logo abaixo:
65

Para calcularmos o custo efetivo mensal desta operação, procede-se como é

mostrado na sequência, via HP 12C.
significado?
registradores.
650 <CHS> <g> <CF 0 > -650,00 Valor financiado.
126.02 <g> <CF j > 126,02 Valor da prestação

mensal.
6 <g> <N j > 6,00 Número de
<f> <IRR> 4,50 Custo do empréstimo
(em %).
2.6. Sistema de Amortização Misto (SAM)

Em termos históricos, pode-se dizer que o Sistema de Amortização Misto
(SAM) foi desenvolvido originalmente para as operações de financiamento do
Sistema Financeiro de Habitação.
Cabe ressaltar que nos dias atuais é conhecido também pela nomenclatura
Sistema de Amortizações Crescentes (SACRE). Em verdade, sem grandes
dificuldades, pode ser encarado como a média aritmética entre o Sistema Francês
66
(SAF) ou Price e o Sistema de Amortização Constante (SAC), daí explicando-se a

sua própria denominação. Para cada um dos valores de seu plano de pagamentos,
deve-se somar aqueles obtidos pelo SAF com os do SAC e efetuar a divisão por
dois.
Segundo Samanez (2007), aproximadamente até a metade do período de
financiamento, as amortizações são menores do que as do Sistema Price. Como
decorrência, a queda do saldo devedor é mais acentuada e são menores as chances
de resíduo ao final do contrato, como pode ocorrer no Sistema Price. Uma das
desvantagens do SAM é que suas prestações iniciais são ligeiramente mais altas
que as do Price. Contudo, após a metade do período, o mutuário sentirá uma queda
substancial no comprometimento de sua renda com o pagamento das prestações.
Figura 39: O sistema de amortização SAM.

2.7. Comparações entre o SAC, SAF e SAM

Vejamos na Figura 40 a seguir, uma comparação geométrica entre os valores
dos três Sistemas de Amortização discutidos anteriormente.
67
Figura 40: Gráfico comparativo entre os três Sistemas de Amortização.

Fonte: Samanez (2007).
Observação Importante! Para finalizarmos a discussão com relação aos

sistemas de amortização, é interessante ressaltarmos que na prática
empresarial, para os financiamentos voltados para o crédito imobiliário,
atualmente é utilizado o sistema SAC, enquanto que para financiamentos de
carros, motos e bens em geral, utiliza-se o Price. Além disso, do ponto de vista
de custo podemos dizer que os dois sistemas são equivalentes. Deve-se
observar que no SAC você amortiza o saldo devedor mais rápido que no Price.
Como os juros são pagos sobre o saldo devedor, no SAC paga-se menos
juros, porém seguindo o SAC você só está pagando mais do que deve ao
banco em um período de tempo menor. Resumindo, antes de se escolher o
sistema de amortização em si, você deve levar em consideração a situação
financeira da pessoa ou da empresa que deseja realizar o financiamento. Mas,
podemos levar em consideração que o SAC é ideal para pessoas ou empresas
que querem reduzir o peso das parcelas no decorrer do financiamento,
pagando menos por mês ao final do prazo. Já o sistema Price é indicado para
as pessoas ou empresas que esperam aumentar a sua renda e,
consequentemente, uma redução relativa do custo da parcela em seu
orçamento.
68
CONCLUSÃO DA DISCIPLINA
Vimos mais uma vez que no mundo atual, a Matemática Financeira ocupa
uma posição muito importante, pois é a partir dela que podemos olhar de forma mais
estruturada para o que acontece no mercado financeiro, especificamente falando
para as operações envolvendo empréstimos e financiamentos, a partir da escassez
de recursos monetários, seja a nível pessoal ou empresarial.
Em verdade, sabe-se que o consumidor brasileiro na grande maioria dos
casos compra de forma desestrutura, sem necessidade prévia e não leva em
consideração os gastos, sendo assim, surge naturalmente a necessidade de
interpretação coerente sobre as operações referentes às séries de pagamentos, que
são praticadas comumente no mercado financeiro brasileiro, seja a nível pessoal ou
empresarial.
Grosso modo, é natural comprarmos a médio ou longo prazo utilizando uma
série de pagamentos iguais e de termos vencidos. Sendo assim, na prática é de
muita importância o entendimento dos conceitos fundamentais e da classificação
das séries de pagamentos ou anuidades ou recebimentos para a resolução e
respostas de questões relacionadas a empréstimos, investimentos, entre outros, que
aparecem no nosso cotidiano.
Sendo assim, a partir do estudo realizado na primeira Unidade, vimos as
informações iniciais sobre a aplicabilidade da Matemática Financeira aplicada à
gestão empresarial, especificamente falando no planejamento estratégico (BSC),
bem como com apontamentos para a caracterização de investir ou não em termos
gerenciais, que é uma das decisões mais difíceis em uma organização,
principalmente em períodos conturbados na economia brasileira. Além disso, por
exemplo, vimos que uma série de pagamentos é uma sequência finita ou infinita de
pagamentos ou recebimentos em datas previamente definidas, bem como que as
séries de pagamentos iguais com termos vencidos são as mais praticadas no âmbito
do mercado financeiro e implementamos diversas situações do contexto financeiro
na HP 12C.
Na sequência deste material, trabalhamos com os aspectos teóricos e
práticos envolvendo os sistemas de amortização mais praticados no mercado
brasileiro em termos de empréstimos e financiamentos, que são o SAC, PRICE e
SACRE. De outra forma, isto significa que independentemente do modo de
69
pagamento, quase sempre é necessário que tenhamos recursos para serem

utilizados, ou seja, faltando tais recursos, temos que recorrer aos empréstimos ou
financiamentos.
Além disso, vimos que a forma de devolução do principal acrescido dos juros,
são chamamos de Sistema de Amortização. Basicamente, é de fundamental
importância o entendimento dos conceitos fundamentais e classificação dos
sistemas de amortização para que possamos entender na essência as taxas e
custos dos empréstimos e financiamentos que são praticados no âmbito do mercado
financeiro brasileiro.
Salientamos ainda, que é necessário que você continue buscando novas
situações, a fim de desvendar esse maravilhoso mundo que é o da Matemática e,
especificamente falando sobre a Matemática Financeira e suas aplicações na gestão
financeira empresarial, aprimorando novas teorias para resolução de problemas na
área de negócios. Outro fato importante, é que você pode pesquisar diversos outros
exemplos envolvendo os aspectos teóricos discutidos ao longo deste material nas
referências citadas logo a seguir.
70
REFERÊNCIAS
BRUNI, Adriano L; FAMÀ, Rubens. Matemática Financeira: com HP 12Ce Excel.

São Paulo: Atlas, 2003.
CLEMENTE, Ademir; SOUZA, Alceu. Decisões Financeiras e Análise de

Investimentos: fundamentos, técnicas e aplicações. 6° Edição. São Paulo: Atlas,
2009.
FARIA, Rogerio Gomes de. Matemática Comercial e Financeira. 5 ed.. São Paulo:
Makron Books, 2000.
FILHO, Nelson Casarotto & KOPITTKE, Bruno H. Análise de Investimentos.

9ªEdição. São Paulo: Editora Atlas, 2000.
HAZZAN, S. Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2005.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matematica financeira. 6 ed.. São Paulo: Saraiva,

2000.
SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira: Aplicações à Análise de

Investimentos. São Paulo: Prentice Hall, 2001.

Matemática Financeira Aplicada À Gestão Empresarial Ii: Credenciada Junto Ao Mec Pela PORTARIA #1.282 DO DIA 26/10/2010

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Matemática Financeira Aplicada À Gestão Empresarial Ii: Credenciada Junto Ao Mec Pela PORTARIA #1.282 DO DIA 26/10/2010

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Matemática Financeira Aplicada À Gestão Empresarial Ii: Credenciada Junto Ao Mec Pela PORTARIA #1.282 DO DIA 26/10/2010

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1

CREDENCIADA JUNTO AO MEC PELA

0800 283 8380

UNIDADE 1 - SÉRIES DE ANUIDADES E APLICAÇÕES DIVERSAS NA GESTÃO

1.1. Aspectos Introdutórios da Gestão Financeira Empresarial ............................ 8

1.2. Decisões no Universo da Gestão Financeira Empresarial ........................... 10

1.3. Empresa: Acumulação e Crescimento? ....................................................... 12

1.4. Planejamento Estratégico dentro de Uma Empresa .................................... 14

1.5. Decisão – Características Fundamentais ..................................................... 16

1.6. Séries de Anuidades .................................................................................... 17

1.7. Classificação das Séries de Pagamentos ou Anuidades ............................. 17

1.8. Série de Pagamentos Iguais com Termos Vencidos .................................... 19

1.9. Série de Pagamentos Iguais com Termos Antecipados ............................... 23

1.10. Série de Pagamentos Variáveis com Termos Vencidos............................... 26

CF 0 >, <CF j >, <N j > e <NPV> .............................................................................. 28

1.12. Classificação dos Indicadores de Análise de Projetos de Investimentos

1.13. Valor Presente Líquido ................................................................................. 32

1.14. Taxa Interna de Retorno (TIR ou IRR) ......................................................... 36

UNIDADE 2 - SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO E APLICAÇÕES DIVERSAS NA

2.1. Aspectos Introdutórios da Teoria da Amortização ........................................ 42

2.2. Conceitos Fundamentais.............................................................................. 44

2.3. Sistema de Amortização Constante (SAC) .................................................. 47

2.4. Montagem da Planilha no SAC .................................................................... 48

2.5. Sistema Francês de Amortização (ou Tabela Price) .................................... 57

2.6. Sistema de Amortização Misto (SAM) .......................................................... 65

2.7. Comparações entre o SAC, SAF e SAM ...................................................... 66

CONCLUSÃO DA DISCIPLINA ................................................................................ 68

Vamos iniciar a disposição teórica de uma das disciplinas mais importantes

de investir, já que se trata de um processo complexo. Desta maneira, considere a

Meses Número de Meses Valor (em R$)

Case Empresarial 03: A fim de melhorar seus equipamentos a CAU

Case Empresarial 04: Um empréstimo de R$150.000,00 feito pela CAU

de amortizações, as parcelas de juros de cada prestação e o saldo devedor após

Case Empresarial 05: Uma empresa deseja avaliar o fluxo de caixa de

Desta forma, pede-se para caracterizar a atratividade do projeto pelo VPL e

 Unidade 1: Séries de Anuidades e Aplicações Diversas na Gestão

 Unidade 2: Sistemas de Amortização e Aplicações Diversas na

Para finalizarmos os aspectos introdutórios da nossa disciplina, deve-se

“O ignorante afirma, o sábio duvida, o sensato reflete.”

“O caminho certo é aquele que nos leva ao encontro da realização”.

UNIDADE 1 - SÉRIES DE ANUIDADES E APLICAÇÕES

Nesta primeira Unidade, é de nosso interesse apresentar os principais

Objetivo geral da unidade:

Objetivos específicos da unidade:

1.1. Aspectos Introdutórios da Gestão Financeira Empresarial

Figura 01: A empresa como entidade.

Economicamente falando, segundo Clemente e Alceu (2009), a empresa é

Figura 02: A empresa vista de outras maneiras.

Observação Importante! Para os objetivos de Análises de Investimentos, a

1.2. Decisões no Universo da Gestão Financeira Empresarial

Níveis de Decisão Objeto Alcance Temporal

Estratégica Relações da empresa com o Médio ou Longo

Administrativa Organização (interna) da Médio ou Longo

Operacional Processo de Produção (ou de Curto ou Médio

As decisões de capital pertencem tipicamente ao nível estratégico, pois

Sendo assim, segundo Clemente e Alceu (2009), é de fundamental

Figura 04: Importância das decisões de capital em uma empresa.

Todavia, é importante salientarmos que não podemos esperar, já que as