Números Complexos - Forma Trigonométrica - Gabarito - 2008 PDF

COLGIO PEDRO II UNIDADE ESCOLAR SO CRISTVO III
3a SRIE - MATEMTICA I
COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR
LISTA DE COMPLEXOS MULTIPLICAO, DIVISO E POTENCIAO NA FORMA

TRIGONOMTRICA - GABARITO
1. Sejam z1 e z2 os nmeros complexos z1 = 3.(cos30 + isen30) e z2 = 5.(cos45 + isen45). Que
nmero complexo representa o produto de z1 por z2?
Soluo. Utilizando a expresso para o produto na forma trigonomtrica, temos que se os
complexos so:
z1 z1 (cos 1 isen 1 )
z 2 z 2 (cos 2 isen 2 )
,ento z1 z 2 z1 z 2 [cos(1 2 ) isen(1 2 )] . Logo,
o produto pedido ser: z1 z 2 3.5[cos(35 45 ) isen(35 45 )] 15(cos 75 isen75 ).

2. Sejam os complexos z1 = 4.(cos 60 + i sen 60) e z2 = (cos 90 + i sen 90). Qual a forma algbrica do
complexo z = z1.z2?
Soluo. O produto : z1 z 2 4.1[cos(60 90 ) isen(60 90 )] 4(cos 150 isen150 ). Como 30
= (180 - 150) temos que sen150 = sen30 e cos150 = - cos30, pois 150 2 Quadrante.
Substituindo, vem: z1 z 2 4(
3
1
i( ) 2 3 2i.
2
2
3. Dados z1 = 10.(cos 90 + i sen 90) e z2 = 2.(cos 30 + i sen 30), que nmero complexo representa
z1z2?
Soluo. Utilizando a expresso para o quociente na forma trigonomtrica, temos que se os
complexos so:
z1 z1 (cos 1 isen 1 )
z 2 z 2 (cos 2 isen 2 )
o quociente pedido ser: z1 z 2
,ento z1 z 2
z1
z2
[cos(1 2 ) isen (1 2 )] . Logo,
10
[cos(90 30 ) isen(90 30 )] 5(cos 60 isen60 ).
2
4. Qual o produto dos trs nmeros complexos z1 = 2.(cos 40 + i sen 40) ; z2 = 3.(cos 135 + i sen
135) e z3 = (cos 125 + i sen 125)?
Soluo.
O produto : z1 z 2 z 3 2.3.1[cos(40 135 125 ) isen(40 135 125 )] 6(cos 300 isen300 ).
Como 60 = (360 - 300) temos que sen300 = - sen60 e cos300 = cos60, pois 300 4
Quadrante. Substituindo, vem: z1 z 2 z 3 6(
1
3
i( ) 3 3i.
2
2
5. Calcule o mdulo do nmero complexo (1 + 3i)4.

Soluo. O desenvolvimento binomial da potncia possvel, mas a escrita do complexo na
forma trigonomtrica simplifica os clculos. Calculando o mdulo, vem:
i) z 1 3i z 12 3 2 10
4
ii) z 1 3i z
4
10
2
10 10 2 100.
6. Dado o nmero complexo z = cos
+ i sen , qual o valor de z12?

6
6
n
n
Soluo. Lembrando que z z (cos isen ) z [cos(n ) isen(n )] , temos:
n
z n 1 (cos
12
isen )12 1[cos(12. ) isen(12. )] 1[cos(2 ) isen(2 )] 1.(1 0) 1.

6
6
6
6
7. Quando z1 = 2. (cos
3
3
+ i sen )e z2 = 2 . (cos
+ i sen
), calcule os valores de z1 + z2 e z1.z2,
4
4
4
4
respectivamente.
Soluo. O produto ser calculado na forma trigonomtrica. A soma ser realizada na forma
algbrica por motivos de simplificao dos clculos:
i) z1 z 2 2.2[cos(
ii) z1 z 2 2(cos
3
3
4
4
) isen(
)] 4(cos
isen
) 4(cos isen ) 4(1 0) 4.
4
4
4
4
4
3
3
2
2
2
2
2
isen ) 2(cos
isen ) 2[
i
i
2(i
) 2 2i.
4
4
4
4
2
2
2
2
2
8. Se um nmero complexo z tem mdulo igual a
2 e argumento igual a
, expresse a parte real e a

4
parte imaginaria de z7.

Soluo.
A forma trigonomtrica do complexo indicado : z
potncia ser: z
7
2 (cos 4 isen 4 )
7
8 2 (cos 7.
2 (cos
isen ). Logo, a
4
4
2
2
isen 7. ) 8 2 (
i
) 8(1 i).
4
4
2
2
i) Re(z) = 8
ii) Im(z) = - 8
9. Calcule o valor de (1 + i)4.
Soluo. O desenvolvimento binomial da potncia possvel, mas a escrita do complexo na
forma trigonomtrica simplifica os clculos. Calculando o mdulo e argumento, vem:
2
2
i) z 1 i z 1 1 2 z
z 2 (cos isen )
cos
4
4 z 4 4(1 0) 4

ii)
4
sen 1
z 4 4(cos 4 isen 4 )
4
4
10. Um nmero complexo z tal que o seu mdulo 2 2 e se argumento principal 15. Escreva a
forma algbrica de z3.
Soluo. A forma trigonomtrica do complexo indicado : z 2 2 (cos15 isen15 ). Logo, a
z 3 2 2 (cos 15 isen15 ) 3 16 2 (cos 3.15 isen3.15 )

potncia ser: z 16 2 (cos 45 isen 45 )
3
z 3 16 2 (
2
2
i
) 16(1 i ).
2
2
11. Qual o valor do complexo
1
?
(1 i )12
Soluo. Se z = 1 i ento calculamos o mdulo e argumento escrevendo a forma trigonomtrica.

Depois, basta aplicar a potncia negativa (- 12):
cos
3
3
3
2

z 2 (cos
isen )
i) z 1 i z 12 (1) 2 2 . Logo, temos:
4
4
4
sen 1
1
(1 i ) 12
12
(1 i )
1
1
(1 0)
.
64
64
z 12
ii)
z 12
12
[cos(12).
3
3
1
isen (12). ] 6 (cos 9 isen 9 )
4
4
2
109
2
2
12. Calcule o valor da expresso

2 i 2
, onde i a unidade imaginria dos complexos.
109
2
2
Soluo. Escrevendo
i
2
na forma trigonomtrica observando o mdulo 1 e os
2
2
1.(cos isen ) . Elevando a potncia
i
2
2
4
4
109
5
26
indicada, temos: z 109 1109 (cos 109. isen109. ) . Calculando
observamos que
4
4
4
4
5
o termo 26 indica 13 voltas completas. Calculamos apenas o cosseno e seno de
. Logo o
4
5
5
2
2
109
isen )
i
.
valor da potncia ser: z 1(cos
4
4
2
2
respectivos cosseno e seno, temos: z
13. Calcule o valor de (1 + i)10 + (1 - i)10, onde i a unidade imaginria.

Soluo. Escrevendo (1 + i) e (1 i) nas formas trigonomtricas e nas potncias, temos:
i) (1 i )
2 (cos
i) (1 i)
2 (cos
isen ) (1 i)10
4
4
3
3
isen ) (1 i)10
4
4
Logo, a soma ser: (32) + (- 32) = 0.
10
(cos
10
10
10
5
5
isen
) 32(cos
isen ) 32
4
4
2
2
(cos
30
30
15
15
isen
) 32(cos
isen
) 32
4
4
2
2
14. Calcular z5 , sendo z 2 i 2 3 .

Soluo. Se z 2 i 2 3 ento calculamos o mdulo e argumento escrevendo a forma
trigonomtrica. Depois, basta aplicar a potncia (5):
2 1
cos 4 2

i) z 2 i 2 3 z 2 2 (2 3 ) 2 4 12 16 4 . Logo,
3
sen 2 3 3
4
2
z 4(cos
ii)
isen )
3
3
z 5 4 5 (cos
5
5
1
3
isen ) 5 1024(cos
isen ) 1024( i
) 512 512 3i.
3
3
3
3
2
2

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LISTA DE COMPLEXOS MULTIPLICAO, DIVISO E POTENCIAO NA FORMA

,ento z1 z 2 z1 z 2 [cos(1 2 ) isen(1 2 )] . Logo,

o produto pedido ser: z1 z 2 3.5[cos(35 45 ) isen(35 45 )] 15(cos 75 isen75 ).

o quociente pedido ser: z1 z 2

[cos(1 2 ) isen (1 2 )] . Logo,

5. Calcule o mdulo do nmero complexo (1 + 3i)4.

6. Dado o nmero complexo z = cos

+ i sen , qual o valor de z12?

isen )12 1[cos(12. ) isen(12. )] 1[cos(2 ) isen(2 )] 1.(1 0) 1.

8. Se um nmero complexo z tem mdulo igual a

, expresse a parte real e a

parte imaginaria de z7.

A forma trigonomtrica do complexo indicado : z

z 3 2 2 (cos 15 isen15 ) 3 16 2 (cos 3.15 isen3.15 )

11. Qual o valor do complexo

Soluo. Se z = 1 i ento calculamos o mdulo e argumento escrevendo a forma trigonomtrica.

12. Calcule o valor da expresso

, onde i a unidade imaginria dos complexos.

na forma trigonomtrica observando o mdulo 1 e os

1.(cos isen ) . Elevando a potncia

13. Calcule o valor de (1 + i)10 + (1 - i)10, onde i a unidade imaginria.

Logo, a soma ser: (32) + (- 32) = 0.

14. Calcular z5 , sendo z 2 i 2 3 .

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