Revisão Do Módulo 07 - Função Quadrática - G PDF
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6 36 4(1)(8) 6 2 x 1 2
f ( x) 0 x
2 2 x 2 4
b) D(f ) IR .
f ( x) x 2 6x 8 : f (0) (0) 2 6(0) 8 8
IM(f ) [1, [
V b ; (6) ; 4 3; 1
2a 4a 2(1) 4(1)
2 4 4( 1)(3) 2 4 x 1
f ( x) 0 x 1
c) 2 2 x 2 3 .
D( f ) IR
f ( x ) x 2x 3 : f (0) (0) 2(0) 3 3
2 2
IM( f ) ] , 4]
V b ; (2) ; 16 1; 4
2a 4a 2( 1) 4( 1)
2. A função f(x) = ax2 + bx + c passa pela origem. Sabendo que f(–2) = 0, calcule o valor de a abc b ?
2 2
ab
Solução. O gráfico passa pela origem, f(0) = 0. Logo, c = 0. Utilizando a informação que f(– 2) = 0 vem:
i) f (2) 0 a.(2) 2 b.(2) 0 4a 2b 0 2b 4a b 2a
.
a 2 abc b 2 a 2 a(2a)(0) (2a) 2 a 2 4a 2 5a 2 5
ii ) 2 (a 0)
ab a(2a) 2a 2 2a 2
6. (ANGLO) A parábola definida por y = x2 + mx + 9 será tangente aos eixos das abscissas se, e somente se:
a) m = 6 ou m = - 6 b) - 6< m < 6 c) 6 m 6 d) m 6 e) m 6
Solução. O gráfico da parábola tangencia o eixo das abscissas quando suas raízes são reais e iguais.
Isso ocorre se = 0.
f ( x) x 2 mx 9 m 6
i) (m) 2 4(1)(9) 0 m 2 16 0
b 4ac 0 m 6
2
Zero : x 3 (dupla) .
ii ) m 6 f ( x) x 2 6 x 9 ( x 3) 2
f (0) 9
Zero : x 3 (dupla)
iii ) m 6 f ( x) x 2 6 x 9 ( x 3) 2
f (0) 9
7. (PUC) Ao levantar dados para a realização de um evento, a comissão organizadora observou que, se cada
pessoa pagasse R$6,00 por sua inscrição, poderia contar com 460 participantes, arrecadando um total de
R$2.760,00. Entretanto, também estimou que, a cada aumento de R$1,50 no preço de inscrição, receberia 10
participantes a menos. Considerando tais estimativas, para que a arrecadação seja a maior possível, o preço
unitário, em reais, da inscrição em tal evento deve ser:
a) 15,00 b) 24,50 c) 32,75 d) 37,50 e) 42,50
Solução. Descrevendo a situação na tabela até uma generalização, temos:
Número de participantes Preço do ingresso (R$) Arrecadação (R$)
460 6 460.(6)
460 – 1.(10) 6 + 1.(1,50) (460 – 1.10).( 6 + 1.(1,50))
460 – 2.(10) 6 + 2.(1,50) (460 – 2.10).( 6 + 2.(1,50))
460 – 3.(10) 6 + 3.(1,50) (460 – 3.10).( 6 + 3.(1,50))
... ... ...
460 – x.(10) 6 + x.(1,50) (460 – x.10).( 6 + x.(1,50))
A expressão, então da arrecadação é:
A(x) = (460 – 10x).(6 + 1,50x) = 2760 + 690x – 60x – 15x2 = – 15x2 + 630x + 2760. Uma função quadrática.
A maior arrecadação ocorrerá com máximo número de aumentos x dados.
b (630) (630)
Esse valor corresponde à abscissa do vértice da função: x V 21.
2a 2( 15) ( 30)
OBS: Caso fosse pedida a arrecadação máxima, teríamos: (460 – 210).(37,50) = R$9.375,00. Com x = 20
ou x = 22, a arrecadação seria de R$9.360,00. Menores que para x = 21.
8. (PUC) Usando uma unidade monetária conveniente, o lucro obtido com a venda de uma unidade de certo
produto é x – 10, sendo x o preço de venda e 10 o preço de custo. A quantidade vendida, a cada mês,
depende do preço de venda e é, aproximadamente, igual a 70 – x. Nas condições dadas, o lucro mensal
obtido com a venda do produto é, aproximadamente, uma função quadrática de x, cujo valor máximo, na
unidade monetária usada, é:
a) 1200 b) 1000 c) 900 d) 800 e) 600
Solução. De acordo com as informações, o custo total da produção é C(x) = 10.(70 – x), pois 10 é o
preço unitário e (70 – x) a quantidade produzida.
O total obtido pela venda do produto será V(x) = x.(70 – x). Sendo o lucro a diferença entre o valor
arrecadado na venda e o custo, temos:
L( x ) x.70 x 10.70 x 70x x 2 700 10x x 2 80x 700
[6400 4( 1)( 700)] [6400 2800] 3600 .
L(máximo) y V 900
4a 4(1) 4 4
9. (VUNESP) Num terreno, na forma de um triângulo retângulo com catetos com medidas 20 e 30 metros,
deseja-se construir uma casa retangular de dimensões x e y, como indicado na figura.
a) Exprima y em função de x.
Solução. Observando a semelhança nos triângulos assinalados, temos:
30 x x 600 20x
600 30y 20x xy xy 600 30y 20x 0 y
y 20 y 30 .
60 2x
y
3
60 2x 60x 2x 2 2x 2 (20) 20 3 60
A x.y x.
3
3
3
20x x V
22
3
4
3
(20).
4 4
15
.
60 2(15) 60 30 30
Logo, y 10
3 3 3
10. (UNIRIO) Em uma fábrica, o custo de produção de x produtos é dado por c(x) = – x2 + 22x + 1. Se cada
produto é vendido por R$10,00, o número de produtos que devem ser vendidos para se ter um lucro de
R$44,00 é:
a) 3 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15
Solução. O arrecadado com a venda é V(x) = 10x. O lucro será a diferença entre a venda e o custo.
Temos:
L( x ) 10x x 2 22x 1 10x x 2 22x 1 x 2 12x 1
x 2 12x 1 44 x 2 12x 45 0
L( x ) 44
12 18 .
x 3 0
12 144 4(1)( 45) 12 144 180 12 324 12 18 1 2
x
2 2 2 2 x 12 18
15
2
2
A quantidade de produtos não pode ser negativa. Logo, x = 15.