F05_L19_GEOMETRIA ESP.

- CONE

Prof. Marcão
1. (ITA 2012) A superfície lateral de um cone circular reto é um setor 9. (ITA 2002) Seja S a área total da superfície de um cone circular reto
circular de 120º a área igual a 3π cm2. A área total e o volume deste de altura h, e seja m a razão entre as áreas lateral e da base desse
cone medem, em cm2 e cm3, respectivamente cone. Obtenha uma expressão que forneça h em função apenas de
S e m.
2. (ITA 2009) Uma esfera é colocada no interior de um cone circular
reto de 8 cm de altura e de 60º de ângulo de vértice. Os pontos de 10. (IME 2002) Um cone e um cilindro circulares retos têm uma base
contato da esfera com a superfície lateral do cone definem uma comum e o vértice do cone se encontra no centro base do cilindro.
circunferência e distam 2√3 cm do vértice do cone. O volume do Determine o ângulo formado pelo eixo do cone e sua geratriz,
cone não ocupado pela esfera, em cm3, é igual a sabendo-se que a razão entre a área total do cilindro e a área total
do cone é 7/4.
3. (Ita 2016) Uma esfera S1 , de raio R  0, está inscrita num cone
11. (Ita 2001) O raio da base de um cone circular reto é igual à média
circular reto K. Outra esfera, S2 , de raio r, com 0  r  R, está
aritmética da altura e a geratriz do cone. Sabendo-se que o volume
contida no interior de K e é simultaneamente tangente à esfera S1 e do cone é 128π m3, temos que o raio da base e a altura do cone
à superfície lateral de K. O volume de K é igual a medem, respectivamente, em metros:
R 5 2R 5 R 5 a) 9 e 8 b) 8 e 6 c) 8 e 7
a) . b) . c) . d) 9 e 6 e) 10 e 8
3r(R  r) 3r(R  r) r(R  r)
4 R 5 5R 5 12. (ITA 1999) Num cone circular reto, a altura é a média geométrica
d) . e) . entre o raio da base e a geratriz. A razão entre a altura e o raio da
3r(R  r) 3r(R  r)
base é:
4. (ITA 2000) Um cone circular reto com altura de 8 cm e raio da 1 5 5 1 5 1
a) b) c)
base de 2cm está inscrito numa esfera que, por sua vez, está 2 2 2
inscrita num cilindro. A razão entre as áreas das superfícies totais 3
do cilindro e do cone é igual a 5 1 5 1
d) e)
3 2
a)
3
2

2 1  b)
9
4
2 1  c)
9
4
 6 1   13. (ITA 1984) A figura abaixo é a seção de dois cones retos cortados
d)
27
8
3 1  e)
27
16
3 1   por um plano paralelo às bases. O volume da seção hachurada é:
5 7 1
a)   D3 b)   D3 c)   D3
6 12 3
5. A área lateral de um cone é igual a soma das áreas da base e da d)   D3 e) 2  D3
secção meridiana. Se o raio da base é igual R , então o volume do
cone é :
a)2R2 b) 2R 3 
c)3 2  1  D

22R3
d) 
e) 1  2 R3  2D

 2
3  1 
6. (ITA 1988) Considere um cone circular reto circunscrito a uma
esfera de raio 2 cm . Sabendo-se que a área do círculo, limitado 2D

pela circunferência formada por pontos de tangência as duas 4D

superfícies, é 2 cm2 , calcule a altura desse cone. 14. (ITA 2006) As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da
geratriz de um cone circular reto formam, nesta ordem, uma
7. (ITA 2007) Um cone eqüilátero está inscrito numa esfera de raio progressão aritmética de razão 2 metros. Calcule a área total
igual a 4 m. Determine a que distancia do centro da esfera deve-se deste cone em m2
traçar um plano paralelo à base do cone, para que a diferença das
áreas das secções (na esfera e no cone) seja igual à área da base 15. (ITA 2005) Um dos catetos de um triangulo retângulo mede 3 2cm .
do cone. O volume do sólido gerado pela rotação deste triângulo em trono da
hipotenusa é  cm³ . Determine os ângulos deste triângulo.
8. (ITA 2004) A área total da superfície de um cone circular reto, cujo
raio da base mede R cm, é igual à terça parte da área de um círculo 16. (IME 2002) Um cone e um cilindro circulares retos têm uma base
de diâmetro igual ao perímetro da seção meridiana do cone. O comum e o vértice do cone se encontra no centro base do cilindro.
volume deste cone, em cm³ , é igual a Determine o ângulo formado pelo eixo do cone e sua geratriz,
 sabendo-se que a razão entre a área total do cilindro e a área total
a)  R³ b)  2 R³ c) R³ do cone é 7/4.
2
 17. (IFT Moscou) Em um cone se inscreveu um cilindro cuja altura é
d)  3R³ e) R³ igual ao raio da base do cone . Encontrar o ângulo entre o eixo do
3
cone e a geratriz , sabendo que a razão entre a área total do cilindro
e a área da base do cone é 3/2.
1
18. (OCM 1985) – Um plano passando pelo vértice de um cone sólido 13) A
circular reto, formando com a base deste cone um ângulo   45º , 14) 𝐴 𝑇 = 96𝜋
determina sobre esta base uma corda AB de comprimento igual a 15) 300 𝑒 600
3
2 3cm . Se o arco AB corresponde a um ângulo central   60º , 16) 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
4
1
determine o raio r da base, a altura h e o volume do cone. 17) 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
2
18) 𝑟 = 2√3 ℎ=3 𝑉 = 12𝜋
19. (IFT Moscou) Pelo vértice de um cone traça-se um plano que forma 𝜋 𝑡𝑔𝛼
19) 𝑉 = . . 𝑎3
com a base do cone um ângulo  . Este plano corta a base por 24 𝑠𝑒𝑛 2𝛽 𝛽
2
𝑡𝑔
2
uma corda AB de tamanho a , que corresponde a um arco  . 20) demo
Determine o volume do cone . 𝐴 𝐵−𝐴
21) 𝑟 = √ . √
𝜋 𝐵+𝐴
20. Em um cone de revolução de vértice V, traçam-se as geratrizes 22) 𝑉 =
256√2
𝜋 23)
400
diametralmente opostas VA e VB , assim como VC e VD . Um plano 3 √91
não paralelo a base intersecta a VA, VB, VC e VD nos pontos P, Q,
R e S respectivamente. Demonstre que:
1 1 1 1
+ = +
𝑉𝑃 𝑉𝑄 𝑉𝑅 𝑉𝑆
21. Em um cone de revolução a área da base é A e a área da superfície
lateral é B. Calcule o raio da esfera inscrita no cone.

22. Se tem um cone de revolução de vértice V e um cilindro de

revolução, de tal modo que a base do cilindro está contida na base
do cone e o vértice V é o centro da outra base do cilindro. A geratriz
VB do cone intercepta uma geratirz do cilindro em N. O cilindro
determina no cone, outro cone equivalente a um dos cilindros
parciais. Se 𝑁𝐵 = √6 e a área da coroa circular determinada na
base do cone é 28𝜋, calcule o volume do cone inicial.

23. A figura ilustra uma montanha circular com a forma de um cone reto.
Se você construir uma “pista” de comprimento mínimo para um trem
de turismo,que realiza um passeio panorâmico ao redor da
montanha, que inicia-se no ponto A e termina no ponto B, a pista
iniciará com um trecho de subida e, em seguida, com um trecho de
descida. Qual é o comprimento do trecho de descida?

GABARITO
2√2
1) 𝑉 = 𝜋 𝑒 𝐴 𝑇 = 4𝜋
3
416𝜋
2) 𝑉 =
9
3)A
4)D
5) D
6) ℎ = 2√2 + 2
7) 1
8) E
𝑆
9) 𝑅 = √
𝜋(𝑚+1)
3
10) 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
4
11) B
12) E