Apostila I - Limites - Curso Matemática PDF
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LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
Prof.ª.: CLEAN MARIA REIS LOURENÇO
DISCIPLINA: CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
PÓLO DE RIACHINHO
APOSTILA I
ANANÁS – TO
SETEMBRO/2012
1
1. Introdução
1. O que é cálculo?
Assim, com a matemática básica você pode fazer o problema com a inclinação
em linha reta; com o cálculo você pode fazer o problema com a inclinação curva. Veja
outros exemplos.
Prof.ª. Clean Maria Reis Lourenço – Graduada em Licenciatura em Matemática – Fundação Universidade do
Tocantins, Licenciatura em Computação – UFRPE e Especialista em Mídias na Educação UFT.
Com a matemática básica você pode determinar o comprimento de um cabo
soterrâneo que corre diagonalmente de uma quina de um parque para outra. Com o
cálculo você pode determinar o comprimento o de um cabo subterrâneo entre duas
torres que tem o formato de uma catenária (que por sinal é diferente de um arco circular
simples ou uma parábola).
Para resolver um ploblema com o cálculo, você tem que dividir o problema da
inclinação curva em pedaços pequenos e fazer cada pedaço separadamente. A figura
abaixo mostra uma pequena parte da inclinação curva ampliada em muitas vezes o seu
tamanho.
2. Limite
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Tocantins, Licenciatura em Computação – UFRPE e Especialista em Mídias na Educação UFT.
O conceito de limite é uma das ideias que distinguem o calculo da álgebra e da
trigonometria. Veremos nessa aula como definir e calcular os limites de funções. A
maioria dos limites pode ser obtida por substituição, analise gráfica, aproximação
numérica, álgebra ou alguma combinação dessas.
A noção de limite nos fornece um caminho preciso para verificar como as
funções variam continuamente. Também usamos limites para definir retas tangentes à
gráficos de funções e posteriormente a derivada de uma função. A derivada que
veremos adiante, fornece um caminho para quantificar a taxa a que valores de uma
função variam a cada instante.
Exemplo: 01
𝑥 + 2, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 3
Considere a função dada por f(x) = { e calculamos os limites laterais
2𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 > 3
quando x tende a 3 pela direita e pela esquerda.
Assim, percebe-se intuitivamente que quando x tende a 3 pela esquerda, f(x) tende a e
escrevemos.
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 5
𝑥→3−
Assim, percebe-se intuitivamente que quando x tende a 3 pela esquerda, f(x) tende a e
escrevemos.
𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 6
𝑥→3+
à direita de b são iguais à L, isto é, lim 𝑓 (𝑥) = lim 𝑓 (𝑥) = 𝐿. Caso contrário,
𝑥→b+ 𝑥→b−
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𝑥−2
Consideremos a função f(x) = e vejamos qual o limite quando x tende a 2; se x
𝑥 2 −4
tender a 2 pela esquerda ou pela direita, notamos que o numerador tende a ), bem como
0
o denominador. Teríamos então uma fração impossível de ser calculada ( 0 ) e que é
𝑥−2 1
Assim sendo, as funções f(x) = e h(x) = têm um mesmo comportamento
𝑥 2 −4 (𝑥+2)
Exemplos
𝑥 2 −10𝑥+25 (𝑥 −5). (𝑥 −5)
a)𝑙𝑖𝑚𝑓(𝑥) = = 𝑙𝑖𝑚 = 𝑙𝑖𝑚 (x – 5) = 0
𝑥→5 𝑥−5 𝑥→5 𝑥−5 𝑥→5
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5
f(3,01) = = 500,
0,01
5
f(3,001) = 0,001 = 5000.
Observamos que as imagens vão ficando cada vez maiores, superando qualquer
valor fixado. Dizemos, neste caso, que o limite de f(x), quando x tende a 3 pela direita, é
infinito, e escrevemos:
5
lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) = = ∞.
𝑥→3+ 𝑥→3+ 𝑥−3
5
f(2,99) = −0,01 = -500,
5
f(2,999) = −0,001 = -5000.
Observamos que as imagens vão ficando cada vez menores, ficando abaixo de
qualquer valor fixado. Dizemos, neste caso, que o limite de f(x), quando x tende a 3 pela
esquerda , é infinito, e escrevemos:
5
lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) = = - ∞.
𝑥→3− 𝑥→3− 𝑥−3
De um modo geral, o limite de uma função é infinito quando os valores de f(x) vão
ficando cada vez maiores, superando qualquer valor fixado; da mesma forma, dizemos
que o limite de uma função é menos infinito quando os valores de f(x) vão ficando cada
vez menores, de modo a se situarem abaixo de qualquer valor fixado.
5. Propriedades dos Limites
Teorema 1
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3. Regra da Diferenciação: lim (𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = 𝐿. 𝑀
𝑥→c
O limite do quociente de duas funções é o quociente de seus limites, desde que o limite
do denominador não seja zero.
𝑟 𝑟
6. Regra da Potenciação: se r e s são inteiros e s≠0, então lim (𝑓 (𝑥 𝑠 ) = 𝐿𝑠 desde
𝑥→c
𝑟
que 𝐿 seja um número real.
𝑠
Teorema 2
Teorema 3
Os limites de funções racionais podem ser obtidos por substituição, caso o Limite do
denominador não seja zero.
Se 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) são polinômios e 𝑄(𝑐) ≠ 0, então
𝑃(𝑥) 𝑃(𝑐)
lim =
𝑥→c 𝑄(𝑥) 𝑄(𝑐)
Exercício resolvido
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02- Limite de uma função racional
𝑥 2 + 5𝑥 + 6 32 −5.3+ 6 9−15+6 0
b) 𝑙𝑖𝑚 = = = =0
𝑥→3 𝑥−5 3−5 −2 −2
4𝑥 − 5 32 −5.3+ 6 9−15+6 0
c) 𝑙𝑖𝑚( )= = = =0
𝑥→3 5𝑥−1 3−5 −2 −2
𝑥+2 1+2
𝑙𝑖𝑚 = = =3
𝑥→1 𝑥 1
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