ANÁLISE

COMBINATÓRIA

(n + 3)! = (n + 3)(n + 2)!

1 fatorial
Sendo n um número natural diferente de zero, (n + 3)! = (n + 3)(n + 2)(n + 1)!
chamamos de fatorial de n a expressão: (n + 1)! = (n + 1)n!
n !  1 2  3  ...  (n  2)(n  1)n É possível também simplificar radicais. Por
5!
O fatorial é uma ferramenta muito importante na exemplo, dado a fração . Vimos que 5! é
3!
análise combinatória, por isso é importante estudar
equivalente a 5.4.3!. Então podemos escrever a
seu conceito para que possa nos auxiliar mais tarde.
fração da seguinte forma:
Matematicamente, podemos definir fatorial como:
5  4  3!
1, n  0 3!
n!  
 n(n  1)!, n  0 Agora podemos simplificar o 3! do numerador com
o 3! do denominador. Temos então:
Observe que, com essa definição resolvemos todos
os casos: 5  4  3! 5  4  3!
  5  4  20
a) 0! = 1 (por definição) 3! 3!

b) 1! = 1.(1  1)! = 1.0! = 1.1 = 1 Exemplos:

c) 2! = 2.(2  1)! = 2.1! = 2.1 = 2 10!5! 10! 35!

Calcule I) , II) e III) .
7!3! 2!(10  2)! 3!(35  3)!
d) 3! = 3. (3  1)! =3.2! = 3.2.1 = 6
I)
e) 4! = 4.(4  1)! = 4.3! = 4.3.2.1 = 24, e assim por
diante. 10!5! 10  9  8  7! 5  4  3!
  10  9  8  5  4  14400
7!3! 7! 3!
A definição pode ser simplificada por: ao produto
dos números naturais começando em n e
decrescendo até 1 denominamos de fatorial de n 10! 10! 10  9  8! 90
e representamos por n!. II)     45
2!(10  2)! 2!8! 2! 8! 2
2 manipulações com fatorial
III)
5! é equivalente a 5 . 4 . 3 . 2 . 1, mas também 35! 35! 35  34  33  32! 35  34  33
  
podemos escrevê-lo de outras formas, em função de 3!(35  3)! 3!32! 3! 32! 3  2 1
fatoriais menores, tais como 4!, 3! e 2!:
39270
  6545
5! = 5 . 4! 6
3 princípio aditivo
5! = 5 . 4 . 3!
Enunciamos abaixo o que chamamos de princípio
5! = 5 . 4 . 3 . 2! aditivo:
Genericamente temos, por exemplo:

Prof. Cínthia Soares Manso – Introdução à probabilidade e à estatística - EPUFABC 13

 Capítulo 2 – Análise Combinatória Introdução à probabilidade e à estatística

Se A e B são dois conjuntos disjuntos, com m e n podemos elaborar a seguinte árvore de

elementos, respectivamente, então A ∪ B possui possibilidades (ou diagrama de árvore):
m + n elementos.

Vejamos alguns exemplos:

Numa classe existem 18 rapazes e 12 garotas. De

quantas maneiras podemos selecionar 1 estudante?

Existem 18 + 12 = 30 estudantes. Logo, podemos

selecionar 1 estudante de 30 maneiras. O diagrama nos mostra o total de 2x3 caminhos, ou
seja, 6 caminhos distintos possíveis. São eles: A1B1,
Numa confeitaria há 5 sabores de picolés e 3
A1B2, A1B3, A2B1, A2B2 e A2B3.
sabores de salgados. Suponha que Maria só tenha
permissão para tomar um picolé ou comer um Pode-se denotar a enumeração como uma técnica
salgado. Quantos são os possíveis pedidos que eficaz para a solução deste problema, listando
Maria pode fazer? exaustivamente todas as possibilidades de
caminhos distintos para se locomover de um ponto
Ou Maria escolhe um sabor de picolé dentre os 5 ou 1
a outro. A árvore de possibilidades é outra técnica
tipo de salgado dentre os 3. Portanto, Maria pode
que esquematiza essa enumeração. Mas, fica claro
fazer 8 pedidos diferentes.
que, se a quantidade de caminhos continuasse a
aumentar, representar todos os agrupamentos seria
4 princípio fundamental da contagem
um processo muito trabalhoso. Nesses casos,
ou princípio multiplicativo
utiliza-se a técnica do princípio multiplicativo,
Também chamado de princípio multiplicativo, o enunciado a seguir:
princípio fundamental da contagem consiste em
uma técnica que esquematiza a resolução de Suponha a realização de dois experimentos. Se o
problemas que envolvem situações de contagem, experimento 1 pode gerar qualquer um de m
sem enumeração. resultados possíveis e se, para cada um dos
resultados do experimento 1, houver n resultados
Sua principal ferramenta é a árvore de possíveis para o experimento 2, então os dois
possibilidades que permite sistematizar o problema experimentos possuem conjuntamente m∙n
e, assim, chegar à sua solução. diferentes resultados possíveis.
Considere as casas A, B e C, conforme a figura
Demonstração do princípio multiplicativo: O
abaixo:
princípio multiplicativo pode ser demonstrado ao
serem enumerados todos os possíveis resultados
dos dois experimentos; isto é,

(1,1), (1,2), ... , (1,n)

Quantas são as possibilidades de se locomover de A (2,1), (2,2), ... , (2,n)

a C, passando por B?

Sabe-se que para cada um dos dois caminhos que

levam de A a B existem outros três caminhos que (m,1), (m,2), ... , (m,n)
levam de B a C. Sistematizando esse raciocínio, e
Dizemos que o resultado é (i, j) se o experimento 1
chamando os caminhos que levam de A a B de A1 e
levar ao seu i-ésimo resultado possível e o
A2, e os caminhos que levam de B a C de B1, B2 e B3,

14 Prof. Cínthia Soares Manso – Introdução à probabilidade e à estatística - EPUFABC

 Capítulo 2 – Análise Combinatória Introdução à probabilidade e à estatística

experimento 2 levar ao seu j-ésimo resultado b) E quantas placas de automóvel seriam possíveis
possível. se a repetição entre letras ou números fosse
proibida?
Uma pequena comunidade é composta por 10
mulheres, cada uma com 3 filhos. Se uma mulher e a) Pela versão generalizada do princípio básico, a
um de seus filhos devem ser escolhidos como mãe e resposta é 26.26.26.10.10.10.10 = 175.760.000.
filho do ano, quantas escolhas diferentes são
possíveis? b) Neste caso, seriam 26.25.24.10.9.8.7 = 78.624.000
placas de automóvel possíveis.
Supondo a escolha da mulher como o resultado do
primeiro experimento, e a subsequente escolha de um Existem quantos números naturais com quatro
de seus filhos como o resultado do segundo algarismos ímpares distintos?
experimento, vemos a partir do princípio básico que Os algarismos ímpares são: 1, 3, 5, 7, 9. Um número
há 10 X 3 = 30 escolhas possíveis. com 4 algarismos é da forma: abcd.
Quando há mais que dois experimentos a serem A escolha de um algarismo para ocupar a posição a
realizados, pode-se generalizar o princípio básico. pode ser feita de 5 maneiras. Uma vez escolhido o
algarismo para a posição a, restam 4 possibilidades
Se r experimentos são tais que o primeiro
para a escolha do algarismo da posição b. Para a
experimento pode levar a qualquer um de n1,
posição c, restam 3 possibilidades. Para a posição d
resultados possíveis; e se, para cada um desses n1,
restam 2. Pelo Princípio Multiplicativo, a quantidade
resultados houver n2 resultados possíveis para o
de números de 4 algarismos ímpares distintos é:
segundo experimento; e se, para cada um dos
possíveis resultados dos dois primeiros 5 x 4 x 3 x 2 = 120.
experimentos houver n3, resultados possíveis para o
terceiro experimento; e se ..., então haverá um total 5 arranjos simples
de n1.n2 . ... . nr resultados possíveis para os r
Analise a seguinte situação-problema: Quantos
experimentos.
números naturais de dois algarismos distintos
Exemplos: podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3 e 4?

O grêmio de uma faculdade é formado por 3 Sabemos, pelo princípio fundamental da contagem
calouros, 4 estudantes do segundo ano, 5 que:
estudantes do terceiro ano e 2 formandos. Um
dezenas unidades
subcomitê de 4 pessoas, formado por uma pessoa
de cada ano, deve ser escolhido. Quantos 4  3 = 12
subcomitês diferentes são possíveis?
Logo, podemos formar 12 números nas condições
Podemos entender a escolha de um subcomitê como o do problema, sendo eles:
resultado combinado dos quatro experimentos
12 21 31 41
separados de escolha de um único representante de
cada uma das classes. Daí segue, a partir da versão 13 23 32 42
generalizada do princípio básico, que há 3.4.5.2 = 14 24 34 43
120 subcomitês possíveis.
Tais agrupamentos são diferentes por dois motivos:
a) Quantas diferentes placas de automóvel com 7
caracteres são possíveis se os três primeiros 1º) Os elementos componentes dos agrupamento
campos forem ocupados por letras e os 4 campos são diferentes.
finais por números?

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 Capítulo 2 – Análise Combinatória Introdução à probabilidade e à estatística

Exemplo: Os agrupamentos 12 e 13 são diferentes, Logo, podemos deduzir que a fórmula para uma
pois são compostos por elementos diferentes, ou permutação com repetição é dada por:
seja, os elementos são de naturezas diferentes.
𝐴𝑟 (𝑚,𝑝) = 𝑚𝑝
2º) A ordem dos elementos nos agrupamentos é
diferente. Veja o seguinte exemplo:

Exemplo: Os agrupamentos 12 e 21 são diferentes, Quantos números naturais de dois algarismos

pois, embora sejam compostos pelos mesmos podem ser formados com os números 1, 2, 3 e 4?
elementos (têm a mesma natureza), a ordem nos
agrupamentos é diferente. Observe que o enunciado não impõe restrições
quanto aos algarismos serem repetidos, e precisamos
Agrupamentos que diferem pela natureza dos formar números de 2 algarismos a partir de 4
elementos que os compõem ou pela ordem dos números, portanto temos um arranjo com repetição:
elementos em cada agrupamento são chamados
arranjos simples. 𝐴𝑟 (4,2) = 42 = 16.

Definição: Seja M = {m1; m2; m3; ... ; mn} um Podemos formar 16 números distintos.
conjunto com n elementos distintos e p um
número natural tal que n  p. Chama-se arranjo 7 permutações
simples toda sequência de p elementos tomados
Considere o seguinte problema:
entre os n elementos de M sem repetição.
Quantos números naturais de três algarismos
Os arranjos simples são representados pela letra A
distintos podem ser formados com os algarismos 1,
maiúscula acrescida de dois índices numéricos, n e
2 e 3?
p, com n  p e {n; p} ∈ ℕ:
Sabemos, pelo princípio fundamental da contagem,
n! que:
An, p 
(n  p)!
centenas dezenas unidades
O primeiro índice (n) indica de quantos elementos 3  2  1 =6
distintos dispomos para formar os agrupamentos, e
o segundo índice (p) mostra quantos elementos Logo, podemos formar 6 números nas condições do
determinam um agrupamento. enunciado, sendo eles:

“ An, p ” lê-se como arranjo de n elementos tomados 123 213 312

de p em p.
132 231 321

Observe que nos agrupamentos houve apenas

6 ARRANJOS COM REPETIÇÃO
“troca” da posição de seus elementos.
Ocorre quando todos os 𝑚 elementos podem
aparecer repetidos em cada grupo de 𝑝 elementos. Outro problema: Quantos diferentes arranjos
ordenados das letras a, b e c são possíveis?
Pelo príncipio fundamental da contagem temos que
o número e agrupamentos que podem ocorrer é Por enumeração direta vemos que são 6, ou seja,
dado por: abc, acb, bac, bca, cab e cba. Cada combinação é
conhecida como uma permutação.
𝑚∙𝑚∙𝑚∙𝑚∙… ∙𝑚

𝑝 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑧

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 Capítulo 2 – Análise Combinatória Introdução à probabilidade e à estatística

Tais agrupamentos diferem pela ordem dos

elementos e, portanto, correspondem aos arranjos 8 permutações com repetição

de 3 elementos tomados 3 a 3, isto é: A3,3 .

Seja a1, a1, a2, a2, ..., a2, ..., ak, ..., ak uma sequência com
Quando os arranjos diferem apenas pela ordem n elementos em que:
dos elementos, isto é, quando os dois índices
dos arranjos são iguais, eles são chamados - O elemento a1 aparece n1 vezes;
permutações simples.
- O elemento a2 aparece n2 vezes;
Definição: Seja M = {m1; m2; m3; ... ; mn} um
- O elemento a3 aparece n3 vezes;
conjunto com n elementos distintos. Chama-se
permutação toda sequência de n elementos
tomados entre os n elementos de M sem repetição.
- O elemento ak aparece nk vezes;
As permutações simples de n elementos são
representadas pela letra P maiúscula, acrescida do É possível provar que o número de permutações
índice n: desses n elementos é dado por:

n! n! n! n!
Pn  An,n     n! Pn( n1 ,n2 ,...,nk ) 
(n  n)! 0! 1 n1 !  n2 !  ...  n2 !

Logo, podemos dizer que: Existem quantos anagramas da palavra “AMERICA”?

Pn  n ! Inicialmente, pensemos as duas letras A como duas

letras distintas, digamos A1, A2. Desse modo,
Vejamos alguns exemplos: permutando as letras da palavra “América”, podemos
formar 7! “palavras” distintas.
Quantas diferentes ordens de rebatedores são
possíveis em um time de beisebol formado por 9 Agora, qualquer uma dessas 7! “palavras” pode ser
jogadores? obtida de cada uma das outras permutando A1 e A2.

Há 9! = 362.880 ordens de rebatedores possíveis. Como as letras A1, A2 podem ser permutadas de 2!
maneiras distintas, todas as 7! “palavras” se dividem
A Sra. Jones possui dez livros que pretende colocar em 2! grupos de palavras idênticas.
em sua prateleira. Destes, quatro são de
matemática, três são de química, dois são de 7!
Portanto, existem = 2520 anagramas da palavra
história e um é um livro de línguas. A Sra. Jones 2!
deseja arranjá-los de forma que todos os livros que “AMERICA”.
tratam do mesmo assunto permaneçam juntos na
prateleira. Quantos diferentes arranjos são Quantos diferentes arranjos de letras podem ser
possíveis? formados a partir das letras PEPPER?

Há 4!  3!  2!  1! arranjos referentes ao alinhamento Há 6! permutações possíveis se as letras fossem

dos livros de matemática, depois dos livros de distintas, 3! permutações da letra P e 2! permutações
química, história e de línguas. Para ordenar os da letra E. Temos:
assuntos há 4! arranjos. Portanto, há 4! possíveis
ordens de assuntos, a resposta desejada é 6!
P6(3,2)   60
4!  4!  3!  2!  1! = 6912. 3!2!

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 Capítulo 2 – Análise Combinatória Introdução à probabilidade e à estatística

Temos então 60 permutações possíveis da palavra Uma forma de resolver esse problema, evitando as
“PEPPER”. permutações que resultem na mesma disposição é
tomando um dos componentes como referência, ou
Um torneio de xadrez tem dez competidores, dos seja, torná-lo fixo e permutar os demais. Por
quais quatro são russos, três são dos Estados exemplo, ao fixar o componente A, sobram 3
Unidos, dois são da Grã-Bretanha e um é do Brasil. lugares para posicionar os demais, de modo que
Se o resultado do torneio listar apenas a o número de maneiras que eles podem ser
nacionalidade dos jogadores em sua ordem de arranjados é:
colocação, quantos resultados serão possíveis?
lugar 1 lugar 2 lugar 3 lugar 4
10!
Há  12600 resultados possíveis. A  3  2  1
4!3!2!1!
Ou seja, 3!
9 permutações circulares
Assim, a fórmula para permutação circular é dada
Permutações circulares são os casos de por:
permutações em que dispomos elementos em
lugares em torno de um círculo. PCn  (n  1)!
Numa mesa ou numa roda onde temos as “pessoas”
A, B, C, D, E e F, há a possibilidade de permutá- 10 combinação
las, porém algumas permutações não fazem Considere o seguinte problema: Quantas retas
diferença nenhuma! distintas ficam determinadas por quatro pontos
distintos e não colineares três a três?

Como uma reta fica determinada por dois pontos

Nesse exemplo as pessoas A, B, C, D, E e F estão em distintos, vamos escrever todos os possíveis pares
posições diferentes, todavia a disposição delas de pontos distintos.
na mesa ainda é a mesma. Esse tipo de permutação
não é contada, apenas os eventos que de fato são AB BA CA DA
diferentes e que não equivalem a simplesmente AC BC CB DB
girar as pessoas nas posições em que estão. AD BC CD DC
Outro exemplo:
Esses doze pares de pontos são os arranjos dos
quatro pontos tomados dois a dois, isto é:

4! 4! 4  3  2!
A4,2     4  3  12
 4  2 ! 2! 2

Observe que, no círculo o vizinho direto de A é Repare que a reta determinada pelos pontos A e B e
sempre D, o vizinho esquerdo é sempre B e C a reta determinada pelos pontos B e A não são
sempre está a sua frente. Embora as posições sejam distintas, isto é, a ordem em que tomamos os
diferentes, a disposição é sempre a mesma. elementos no agrupamento não importa.
Devemos, pois, excluir as retas que estão sendo

18 Prof. Cínthia Soares Manso – Introdução à probabilidade e à estatística - EPUFABC

 Capítulo 2 – Análise Combinatória Introdução à probabilidade e à estatística

contadas duas vezes e escrever apenas os pares de Em resumo, temos as seguintes relações:
pontos que determinam retas distintas:
Arranjos Simples: Faz distinção tanto em relação à
AB AC AD ordem quanto em relação à natureza dos elementos
BC BD CD do conjunto.

Logo, ficam determinadas seis retas distintas. n!

An, p 
(n  p)!
Agrupamentos que diferem apenas pelos
elementos que os compõem (natureza), e não Exemplo: A quantidade de números de três
pela ordem dos elementos, são chamados algarismos distintos que podemos formar com os
combinações. elementos do conjunto {1, 3, 5, 7, 9} é
5!
Definição: Seja M = {m1; m2; m3; ... ; mn} um A5,3   60 .
conjunto com n elementos distintos e p um
 5  3 !
número natural tal que n  p. Chama-se
Arranjo com repetição: Permite a repetição dos
combinação todo subconjunto de p elementos
elementos a serem agrupados.
tomados entre os n elementos de M sem repetição.
𝐴𝑟(𝑚,𝑝) = 𝑚𝑝
As combinações são representadas pela letra C
maiúscula acrescida de dois índices numéricos, n e Exemplo: A quantidade de números de três
p, com n  p e {𝑛, 𝑝} ∈ ℕ: algarismos distintos que podemos formar com os
elementos do conjunto {1, 3, 5, 7, 9} é
n!
Cn, p 
p !(n  p)! 𝐴𝑟(5,3) = 5³ = 125.

O primeiro índice (n) indica de quantos elementos Permutação: Diferem somente pela ordem.
distintos dispomos para formar os agrupamentos, e
o segundo índice (p) mostra quantos elementos Pn  n !
determinam um agrupamento.
Exemplo: O número de anagramas da palavra
“ Cn, p ” lê-se como combinação de n elementos EPUFABC é 7! = 5040

tomados de p em p. Permutações com elementos repetidos:

Podemos também representar por: n!

Pn( n1 ,n2 ,...,nk ) 
n1 !  n2 !  ...  n2 !
n n!
 
 p  p ! n  p  ! Exemplo: O número de anagramas da palavra
7!
Um comitê de três pessoas deve ser formado a CINTHIA é P7(2)   2520
2!
partir de um grupo de 20 pessoas. Quantos comitês
diferentes são possíveis?

 20  20! 20! 20 19 18 17! Permutação circular:

   
 3  3! 20  3! 3!17! 3!17!
PCn  (n  1)!
20 19 18
  20 19  3  1140
6 Exemplo: O número de maneiras distintas e dispor
7 pessoas ao redor de uma mesa é (7 – 1)! = 720.

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 Capítulo 2 – Análise Combinatória Introdução à probabilidade e à estatística

𝑛!
Combinação: Faz distinção apenas à natureza dos 8. ( PUC - SP ) A expressão (𝑛+2)! é igual a:
elementos, não levando em consideração a ordem
em que se apresentam no problema. a) 2
𝑛 1
b) (𝑛+2)(𝑛+1)
𝑛
c) (𝑛+2)(𝑛+1)
1 𝑛
n n! d) 𝑛 e) 𝑛+ 2
Cn , p  
 p  p !(n  p)! 101! +102!
9. (FMABC - SP) Simplifique 100!
Exemplo: O número de maneiras de escolher 2
alunos dentre os 40 presentes em uma sala de aula a) 101 103 b) 102! c)100000
 40  40!
é dado por:    780 . d) 101! e)10 403
 2  2!(40  2)!
10. (PUC-SP) Se (n-6)! = 720, então n é igual a:

a) 12 b) 576 c) 16
LISTA DE EXERCÍCIOS d) 4 e) 30

11. Os valores de x que verificam a expressão

(𝑥+2)!
1. Resolva as seguintes equações fatoriais: = 20 são:
𝑥!

a)
(𝑥+2)!
=0
𝑥!
b) (𝑥−1)! = 5! a) 3 ou -6 b) 6 c) -3 ou 6
𝑥!
d) 3 e) -3
2. (UA-AM) Simplifique a expressão:
12. Calcule os valores de:
(𝑛 + 1)! + 𝑛! 7! 3! . 5!
, (𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 1) a) 4! b) 4! .
(𝑛 + 2)! 6!

(𝑛−1)! 1 12!−13! 12!

3. (PUC-RS) Se (𝑛+1)!−𝑛! = , então 𝑛 é igual a: c) 12!
d) 10!+9!
81

1 𝑛
a) 13 b) 11 c) 9 13. Efetuando 𝑛! − (𝑛−1)!
obtém-se:
d)8 e) 6
1 2 𝑛!(𝑛+1)!
a) (𝑛+1)! b) 𝑛! c)
4. (UFF – RJ) O produto 20.18.16.14. ... .6.4.2 é 𝑛−1

equivalente a: 2𝑛+1
d) (𝑛+1)! e) 0
20! 20!
a) 2 b) 2.10! c) 210 𝑛! 1
20! 14. (PUC – RJ) Se (𝑛+2)!+(𝑛+1)! = então:
d) 210.10! e) 48
10!

(𝑛+2)!+(𝑛+1)! a) n = 2 b) n = 12 c) n = 5
5. Simplifique a expressão (𝑛+1)! d) n = 7 e) n = 10
6. (UNIFOR) - A soma de todos os números primos
que são divisores de 30! é: 15. (Unitau-SP) Sendo n ≠ 0, o(s) valor(es) de n tal
(𝑛+1)!−𝑛!
que = 7𝑛 é (são):
a) 140 b) 139 c) 132 (𝑛−1)!

d) 130 e) 129 a)7. b) 0 e 7. c) 0 e 10.

7. Se (n + 1)! = 10∙n!, então ( n - 1 )² vale : d)1. e) 0 e 2.
(𝑛+2)! (𝑛−2)!
a) 100 b) 81 c) 64 16. A solução da equação (𝑛+1)!(𝑛−1)!
= 4 é um
d) 36 e) 25 número natural:

20 Prof. Cínthia Soares Manso – Introdução à probabilidade e à estatística - EPUFABC

 Capítulo 2 – Análise Combinatória Introdução à probabilidade e à estatística

a) par b) cubo perfeito c) maior que 10 23. (FGV) Uma pessoa vai retirar dinheiro num
caixa eletrônico de um banco mas, na hora de
d) divisível por 5 e) múltiplo de 3 digitar a senha, esquece-se do número. Ela
lembra que o número tem 5 algarismos, começa
17. a) De quantas maneiras podemos escolher um com 6, não tem algarismos repetidos e tem o
quadrado preto e um quadrado branco num algarismo 7 em alguma posição. O número
tabuleiro de xadrez (i. e. um tabuleiro 8 x 8)? máximo de tentativas para acertar a senha é :
b) De quantas maneiras podemos escolher um
quadrado preto e um quadrado branco num a) 1 680 b) 1 344 c) 720
tabuleiro de xadrez se os dois quadrados não d) 224 e) 136
podem pertencer à mesma linha ou coluna?
24. (FUVEST) Quantos são os números inteiros
positivos de 5 algarismos que não têm
18. Uma bandeira é formada por quatro listras, que algarismos adjacentes iguais?
devem ser coloridas usando as cores amarelo, a) 59. b) 9×84. c)8×94.
branco e cinza, não devendo listras adjacentes d) 85. e) 95.
ter a mesma cor. De quantos modos pode ser
colorida a bandeira? 25. (FUVEST) Um estudante terminou um trabalho
que tinha n páginas. Para numerar todas essas
19. Um alfabeto consiste de três letras: A, B, C. páginas, iniciando com a página 1, ele escreveu
Nesta língua, uma palavra é uma sequencia 270 algarismos. Então o valor de n é:
arbitrária de não mais do que três letras. a) 99 b) 112 c) 126
Quantas palavras existem nesta língua? d) 148 e) 270

20. Dispondo-se de 10 bolas, 7 apitos e 12 camisas, 26. UFMG) Observe o diagrama:

de quantas maneiras distintas estes objetos
podem ser distribuídos entre duas pessoas, de
modo que cada uma receba, ao menos, 3 bolas, 2
apitos e 4 camisas?

21. De quantas maneiras podemos colocar uma

torre branca e uma torre preta num tabuleiro
de xadrez de modo que uma não ameace a
O número de ligações distintas entre X e Z é:
outra?
a) 39 b) 41 c) 35 d) 45
22. (FUVEST) As atuais placas de licenciamento de 27. (UFPE) Uma prova de matemática é constituída
automóveis constam de sete símbolos sendo de 16 questões do tipo múltipla escolha, tendo
três letras, dentre as 26 do alfabeto, seguidas de cada questão 5 alternativas distintas. Se todas
quatro algarismos. as 16 questões forem respondidas ao acaso, o
número de maneiras distintas de se preencher o
a) Quantas placas distintas podemos ter sem o
cartão de respostas será:
algarismo zero na primeira posição reservada aos
a) 80 b) 165 c) 532
algarismos?
d) 1610 e) 516
b) No conjunto de todas as placas distintas
possíveis, qual a porcentagem daquelas que têm as
28. (ENEM) O código de barras, contido na maior
duas primeiras letras iguais?
parte dos produtos industrializados, consiste
num conjunto de várias barras que podem estar

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 Capítulo 2 – Análise Combinatória Introdução à probabilidade e à estatística

preenchidas com cor escura ou não. Quando um diferentes poderiam existir?

leitor óptico passa sobre essas barras, a leitura a) 69 b) 2024 c) 9562
de uma barra clara é convertida no número 0 e d) 12144 e) 13824
a de uma barra escura, no número 1. Observe
abaixo um exemplo simplificado de um código 31. (UFC) A quantidade de números inteiros,
em um sistema de código com 20 barras. positivos e ímpares, formados por três
algarismos distintos, escolhidos dentre os
algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, é igual a:
a) 320 b) 332 c) 348
d) 360 e) 384
Se o leitor óptico for passado da esquerda para
a direita irá ler: 01011010111010110001.
32. (VUNESP) Considere o conjunto A = {1; 2; 3; 4;
Se o leitor óptico for passado da direita para a
5}. Quantos números de dois algarismos
esquerda irá ler: 10001101011101011010.
distintos é possível formar com os elementos do
No sistema de código de barras, para se
conjunto A, de modo que:
organizar o processo de leitura óptica de cada
a) a soma dos algarismos seja ímpar?
código, deve-se levar em consideração que
b) a soma dos algarismos seja par?
alguns códigos podem ter leitura da esquerda
para a direita igual à da direita para a esquerda,
33. (ENEM) A escrita Braile para cegos é um
como o código 00000000111100000000, no
sistema de símbolos no qual cada caráter é um
sistema descrito acima. Em um sistema de
conjunto de 6 pontos dispostos em forma
códigos que utilize apenas cinco barras, a
retangular, dos quais pelo menos um se destaca
quantidade de códigos com leitura da esquerda
em relação aos demais. Por exemplo, a letra A é
para a direita igual à da direita para a esquerda,
representada:
desconsiderando-se todas as barras claras ou
todas as escuras, é:
a) 14. b) 12. c) 8.
d) 6. e) 4.
O número total de caracteres que podem ser
29. (UFES) Um "Shopping Center" possui 4 portas representados no sistema Braile é:
de entrada para o andar térreo, 5 escadas a) 12. b) 31. c) 36.
rolantes ligando o térreo ao primeiro d) 63. e) 720.
pavimento e 3 elevadores que conduzem do
primeiro para o segundo pavimento. De quantas 34. (MACKENZIE) A quantidade de números
maneiras diferentes uma pessoa, partindo de inteiros compreendidos entre 300 e 500 que
fora do "Shopping Center" pode atingir o podemos formar, usando apenas os algarismos
segundo pavimento usando os acessos 3, 4 e 5, é:
mencionados? a) 30 b) 24 c) 42
a) 12 b) 17 c) 19 d) 52 e) 18
d) 23 e) 60
35. (UEL) Para responder a certo questionário,
30. (CESGRANRIO) Durante a Copa do Mundo, que preenche-se o cartão apresentado a seguir,
foi disputada por 24 países, as tampinhas de colocando-se um "x" em uma só resposta para
Coca-Cola traziam palpites sobre os países que cada questão.
se classificariam nos três primeiros lugares (por
exemplo: 1° lugar, Brasil; 2° lugar, Nigéria; 3°
lugar, Holanda). Se, em cada tampinha, os três
países são distintos, quantas tampinhas

22 Prof. Cínthia Soares Manso – Introdução à probabilidade e à estatística - EPUFABC

 Capítulo 2 – Análise Combinatória Introdução à probabilidade e à estatística

a) 551 b) 552 c) 553

d) 554 e) 555

39. (FUVEST) Um apreciador deseja adquirir, para

sua adega, 10 garrafas de vinho de um lote
De quantas maneiras distintas pode-se constituído por 4 garrafas da Espanha, 5
responder a esse questionário? garrafas da Itália e 6 garrafas da França, todas
a) 3 125 b) 120 c) 32 d) 25 e) 15 de diferentes marcas.
a) De quantas maneiras é possível escolher 10
36. a) De um grupo de cinco mulheres e sete garrafas desse lote?
homens, quantos comitês diferentes formados b) De quantas maneiras é possível escolher 10
por duas mulheres e três homens podem ser garrafas do lote, sendo 2 garrafas da Espanha, 4
formados? da Itália e 4 da França?
b) E se dois dos homens estiverem brigados e se
recusarem a trabalhar juntos? 40. (ENEM) O jogo-da-velha é um jogo popular,
originado na Inglaterra. O nome “velha” surgiu
37. (ENEM) Doze times se inscreveram em um do fato de esse jogo ser praticado, à época em
torneio de futebol amador. O jogo de abertura que foi criado, por senhoras idosas que tinham
do torneio foi escolhido da seguinte forma: dificuldades de visão e não conseguiam mais
primeiro foram sorteados 4 times para compor bordar. Esse jogo consiste na disputa de dois
o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo adversários que, em um tabuleiro 3×3, devem
A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo conseguir alinhar verticalmente,
de abertura do torneio, sendo que o primeiro horizontalmente ou na diagonal, 3 peças de
deles jogaria em seu próprio campo, e o formato idêntico. Cada jogador, após escolher o
segundo seria o time visitante. A quantidade formato da peça com a qual irá jogar, coloca
total de escolhas possíveis para o Grupo A e a uma peça por vez, em qualquer casa do
quantidade total de escolhas dos times do jogo tabuleiro, e passa a vez para o adversário. Vence
de abertura podem ser calculadas através de: o primeiro que alinhar 3 peças.
a) uma combinação e um arranjo,
respectivamente.
b) um arranjo e uma combinação,
respectivamente.
c) um arranjo e uma permutação,
respectivamente. No tabuleiro representado ao lado, estão
d) duas combinações. registradas as jogadas de dois adversários em
e) dois arranjos. um dado momento. Observe que uma das peças
tem formato de círculo e a outra tem a forma de
38. (FUVEST) Maria deve criar uma senha de 4 um xis. Considere as regras do jogo-da-velha e o
dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, fato de que, neste momento, é a vez do jogador
somente os algarismos 1,2,3,4,5 podem ser que utiliza os círculos. Para garantir a vitória na
usados e um mesmo algarismo pode aparecer sua próxima jogada, esse jogador pode
mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria posicionar a peça no tabuleiro de:
não quer que sua senha contenha o número 13, a) uma só maneira.
isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente b) duas maneiras distintas.
pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas c) três maneiras distintas.
Maria pode escolher sua senha? d) quatro maneiras distintas.
e) cinco maneiras distintas.

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 Capítulo 2 – Análise Combinatória Introdução à probabilidade e à estatística

46. (ENEM) Estima-se que haja, no Acre, 209

41. (UEMG) Uma secretária possui 6 camisas, 4 espécies de mamíferos, distribuídas conforme a
saias e 3 pares de sapatos. O número de tabela abaixo.
maneiras distintas com que a secretária poderá
se arrumar usando 1 camisa, 1 saia e 1 par de
sapatos corresponde a:
a) 13 b) 126 c) 72 d) 54

42. (Mackenzie) Em uma sala de aula há 25 alunos,

quatro deles considerados gênios. O número de
grupos, com três alunos, que pode ser formado,
incluindo pelo menos um dos gênios, é:
a) 580 b) 1200 c) 970
d) 1050 e) 780

43. (Mackenzie) Com os professores A, B, C, D, E, F,

G e H de uma escola, podemos formar, com a Deseja-se realizar um estudo comparativo entre
presença obrigatória de C, D e F, n comissões de três dessas espécies de mamíferos — uma do
7 professores. O valor de n é: grupo Cetáceos, outra do grupo Primatas e a
a) 5 b) 35 c) 21 terceira do grupo Roedores. O número de
d) 120 e) 70 conjuntos distintos que podem ser formados
com essas espécies para esse estudo é igual a:
44. (FUVEST) Um lotação possui três bancos para a) 1.320. b) 2.090 c) 5.845.
passageiros, cada um com três lugares, e deve d) 6.600. e) 7.245.
transportar os três membros da família Sousa, o
casal Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. 47. (Mackenzie) Um hacker está tentando invadir
Além disso, um site do Governo e, para isso, utiliza um
1. a família Sousa quer ocupar um mesmo programa que consegue testar 163 diferentes
banco; senhas por minuto. A senha é composta por 5
2. Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado. caracteres escolhidos entre os algarismos de 0 a
Nessas condições, o número de maneiras 9 e as letras de A a F. Sabendo que o programa
distintas de dispor os nove passageiros no testa cada senha uma única vez e que já testou,
lotação é igual a: sem sucesso, 75% das senhas possíveis, o
a) 928 b) 1152 c) 182 tempo decorrido desde o início de sua execução
d) 2412 e) 3456 é de:
a) 2 horas e 16 minutos.
45. Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, b) 1 hora e 40 minutos.
com exceção de Andréia, que vive brigando com c) 3 horas e 48 minutos.
Manoel e Alberto. Nessa classe, será constituída d) 3 horas e 12 minutos.
uma comissão de cinco alunos, com a exigência e) 2 horas e 30 minutos.
de que cada membro se relacione bem com
todos os outros. Quantas comissões podem ser 48. (FATEC) Considere que todas as x pessoas que
formadas? estavam em uma festa trocaram apertos de mão
a) 71 b) 75 c) 80 entre si uma única vez, num total de y
d) 83 e) 87 cumprimentos. Se foram trocados mais de 990
cumprimentos, o numero mínimo de pessoas
que podem estar nessa festa é:

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 Capítulo 2 – Análise Combinatória Introdução à probabilidade e à estatística

a) 26 b) 34 c) 38 53. (VUNESP) O setor de emergência de um

d) 46 e) 48 hospital conta, para os plantões noturnos, com
3 pediatras, 4 clínicos gerais e 5 enfermeiros. As
49. (FUVEST) Em uma certa comunidade, dois equipes de plantão deverão ser constituídas por
homens sempre se cumprimentam (na chegada) 1 pediatra, 1 clínico geral e 2 enfermeiros.
com um aperto de mão e se despedem (na Determine:
saída) com outro aperto de mão. Um homem e a) quantos pares distintos de enfermeiros
uma mulher se cumprimentam com um aperto podem ser formados;
de mão, mas se despedem com um aceno. Duas b) quantas equipes de plantão distintas podem
mulheres só trocam acenos, tanto para se ser formadas.
cumprimentarem quanto para se despedirem.
54. (UEL) Um número capicua é um número que se
Em uma comemoração, na qual 37 pessoas pode ler indistintamente em ambos os sentidos,
almoçaram juntas, todos se cumprimentaram e da esquerda para a direita ou da direita para a
se despediram na forma descrita acima. esquerda (exemplo: 5335).
Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo Em um hotel de uma cidade, onde os jogadores
que foram trocados 720 apertos de mão? de um time se hospedaram, o número de
a) 16 b) 17 c) 18 quartos era igual ao número de capicuas pares
d) 19 e)20 de 3 algarismos. Quantos eram os quartos do
hotel?
50. (FGV) De quantas formas podemos permutar as a) 20 b) 40 c) 80
letras da palavra ELOGIAR, de modo que as d) 90 e) 100
letras A e R fiquem juntas em qualquer ordem?
a) 360 b) 720 c) 1080 55. (UEL) Quando os deputados estaduais
d) 1440 e) 1 800 assumiram as suas funções na Câmara
Legislativa, tiveram que responder a três
51. (UFMG) O jogo de dominó possui 28 peças questionamentos cada um. No primeiro, cada
distintas. Quatro jogadores repartem entre si deputado teria que escolher um colega para
essas 28 peças, ficando cada um com 7 peças. presidir os trabalhos, dentre cinco previamente
De quantas maneiras distintas se pode fazer tal indicados. No segundo, deveria escolher, com
distribuição ? ordem de preferência, três de seis prioridades
28!
a) 7!4!
28!
b) 4!24!
28!
c) (7!)4 d)
28! previamente definidas para o primeiro ano de
7!21!
mandato. No último, deveria escolher dois
dentre sete colegas indicados para uma reunião
52. (VUNESP) Uma grande firma oferecerá aos seus
com o governador. Considerando que todos
funcionários 10 minicursos diferentes, dos
responderam a todos os questionamentos,
quais só 4 serão de informática. Para obter um
conforme solicitado, qual o número de
certificado de participação, o funcionário
respostas diferentes que cada deputado poderia
deverá cursar 4 minicursos diferentes, sendo
dar?
que exatamente 2 deles deverão ser de
a) 167 b) 810 c) 8400
informática.
d) 10500 e) 12600
Determine de quantas maneiras distintas um
56. (PUCCamp) O número de anagramas da palavra
funcionário terá a liberdade de escolher
EXPLODIR, nos quais as vogais aparecem juntas,
a) os minicursos que não são de informática;
é:
b) os 4 minicursos, de modo a obter um
a) 4320 b) 2160 c) 1440
certificado.
d) 720 e) 360

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 Capítulo 2 – Análise Combinatória Introdução à probabilidade e à estatística

57. (VUNESP) A diretoria de uma empresa compõe- melhora, que é a razão do novo número de
se de n dirigentes, contando o presidente. possibilidades de senhas em relação ao antigo.
Considere todas as comissões de três membros O coeficiente de melhora da alteração
que poderiam ser formadas com esses n recomendada é
dirigentes. Se o número que incluem o 606
a)106
62!
b)10!
62! 4!
c) 10!56!
presidente é igual ao número daquelas que não
d)62!-10! e) 626-106
o incluem, calcule o valor de n.

62. (ENEM 2013) Considere o seguinte jogo de

58. (UEL) Dos 30 candidatos ao preenchimento de
apostas:
4 vagas em certa empresa, sabe-se que 18 são
Numa cartela com 60 números disponíveis, um
do sexo masculino, 13 são fumantes e 7 são
apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os
mulheres que não fumam. De quantos modos
números disponíveis, serão sorteados apenas 6.
podem ser selecionados 2 homens e 2 mulheres
O apostador será premiado caso os 6 números
entre os não fumantes?
sorteados estejam entre os números escolhidos
a)140 b)945 c)2380
por ele numa mesma cartela.
d)3780 e) 57120
O quadro apresenta o preço de cada cartela, de
acordo com a quantidade de números
59. (ITA) O número de anagramas da palavra
escolhidos.
VESTIBULANDO, que não apresentam as cinco
vogais juntas, é:
a) 12! b) 8!.5! c) 12! - 8!
d) 12! - 8! e) 12! - 7!.5!

60. (FUVEST) Numa primeira fase de um

campeonato de xadrez cada jogador joga uma
vez contra todos os demais. Nessa fase foram Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para
realizados 78 jogos. Quantos eram os apostar, fizeram as seguintes opções:
jogadores? -Arthur: 250 cartelas com 6 números
a) 10 b) 11 c) 12 escolhidos;
d) 13 e) 14 -Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e
4 cartelas com 6 números escolhidos;
61. (ENEM 2013) Um banco solicitou aos seus -Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e
clientes a criação de uma senha pessoal de seis 10 cartelas com 6 números escolhidos;
dígitos, formada somente por algarismos de 0 a -Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos;
9, para acesso à conta corrente pela Internet. -Eduardo: 2 cartelas com 10 números
Entretanto, um especialista em sistemas de escolhidos.
segurança eletrônica recomendou à direção do Os dois apostadores com maiores
banco recadastrar seus usuários, solicitando, probabilidades de serem premiados são
para cada um deles, a criação de uma nova
senha com seis dígitos, permitindo agora o uso a) Caio e Eduardo
das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos b) Arthur e Eduardo
de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra c) Bruno e Caio.
maiúscula era considerada distinta de sua d) Arthur e Bruno.
versão minúscula. Além disso, era proibido o e) Douglas e Eduardo
uso de outros tipos de caracteres.
Uma forma de avaliar uma alteração no sistema 63. (ENEM 2014) Um cliente de uma videolocadora
de senhas é a verificação do coeficiente de tem o hábito de alugar dois filmes por vez.

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 Capítulo 2 – Análise Combinatória Introdução à probabilidade e à estatística

Quando os devolve, sempre pega outros dois GABARITO

filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a
1
videolocadora recebeu alguns lançamentos, 1)a) S = ∅ b) S = {120} 2) 3)C
𝑛+1
sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de 4) D 5) n + 3 6) E 7) C 8)B 9)E
drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia 10)A 11)D 12)a)210 b)
1
c) -12 d) 120
24
para ver todos esses 16 lançamentos.
13)A 14) C 15)A 16)A 17)a) 1024 b)768
Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de
18)24 modos 19) 39 palavras 20) 100 maneiras
ação e um de comédia. Quando se esgotarem as
21)3136 maneiras 22)a) 158.184.000 b) 3,85%
possibilidades de comédia, o cliente alugará um
23)B 24)E 25)C 26)B 27)E 28)D 29)E
filme de ação e um de drama, até que todos os
30)D 31)A 32) a) 12 possibilidades
lançamentos sejam visto e sem que nenhum
b) 8 possibilidades 33)D 34)E 35)C 36)a)
filme seja repetido.
350 comitês b) 300 comitês 37)A 38)A
De quantas formas distintas a estratégia desse
39)a) 3003 maneiras b) 450 maneiras 40)B
cliente poderá ser posta em prática?
41)C 42)C 43)A 44)E 45)A 46)A 47)D
a) 20 X 8!+(3!)² b) 8! X 5! X 3!
8! X 5! X 3! 8! X 5! X 3! 16!
48)D 49)B 50)D 51)C 52)a) 15 opções
c) 𝟐𝟖
d) 𝟐𝟐
e) 𝟐𝟖 b) 90 opções 53)a) 10 pares b) 120 equipes
54)B 55)E 56)A 57)n = 6 58)B 59)C
64. (ENEM 2015) Uma família composta por sete 60)D 61)A 62)A 63)B 64)A
pessoas adultas, após decidir o itinerário de sua
viagem, consultou o site de uma empresa aérea
e constatou que o voo para a data escolhida
estava quase lotado. Na figura, disponibilizada
pelo site, as poltronas ocupadas estão marcadas
com X e as únicas poltronas disponíveis são as
mostradas em branco.

O número de formas distintas de se acomodar a

família nesse voo é calculado por
9! 9!
a) 𝟐! b) 𝟕! 𝟐! c) 7!
5! 5! 4!
d) 𝟐! × 4! e) 4! × 3!

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