Análise e Otimização - 2º Trabalho

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI
Comparação de métodos numéricos
Exercício apresentado à disciplina Análise e

Otimização de Processos Químicos do curso
de Engenharia Química sob orientação do
Professor Reimar.
Danielly Cristina Alves Abreu
Mariana Cecílio de Oliveira Monteiro
Ouro Branco, maio de 2015

1 INTRODUÇÃO
Dentre os métodos utilizados na otimização unidimensional irrestrita estão, o método

da busca da razão áurea, método de Newton e método da interpolação quadrática. Esses
métodos apresentam em comum as seguintes características: Cada novo ponto é obtido a
partir de um processo de otimização unidimensional, que tem como ponto de partida o ponto
anterior e a direção na qual é feita a busca unidimensional é uma função das avaliações
anteriores da função objetivo [1].
O método da seção áurea é um método iterativo direto, do tipo “redução do intervalo”,
que se baseia na suposição da unimodalidade da função objetivo. Não havendo garantia da
unimodalidade, o intervalo tem que ser subdividido em subintervalos em que tal garantia
exista. Nesse método, a cada iteração são comparados os resultados de dois experimentos. Em
função dos resultados, uma fração do intervalo é eliminada. O subintervalo remanescente fica
sendo o intervalo para a iteração seguinte. O procedimento se encerra quando o intervalo
remanescente de uma iteração for menor do que uma tolerância estabelecida previamente. [2]
O método da interpolação quadrática aproveita-se do fato de que um polinômio de
segundo grau frequentemente fornece uma boa aproximação para a forma de f(x) nas
proximidades do ponto ótimo, conforme Figura 1. [3]
Figura 1: Descrição gráfica da interpolação quadrática
Assim como existe somente uma reta ligando dois pontos, há apenas uma função
quadrática ou parabólica ligando três pontos. Então, se houver três pontos que conjuntamente
delimitem um ponto ótimo, pode-se ajustar uma parábola aos três pontos. É possível, desse
modo, derivá-la, igualar o resultado a zero, e resolver para determinar uma estimativa do
2
ponto ótimo x. Pode-se mostrar mediante um pouco de manipulação algébrica que o resultado
é [3]:
𝑓(𝑥0)(𝑥12 − 𝑥22 ) + 𝑓(𝑥1)(𝑥22 − 𝑥02 ) + 𝑓(𝑥2)(𝑥02 − 𝑥12 )

𝑥3 = 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 1
2𝑓(𝑥0)(𝑥1 − 𝑥2) + 2𝑓(𝑥1)(𝑥2 − 𝑥0) + 2𝑓(𝑥2)(𝑥0 − 𝑥1)
O método de Newton utiliza a Equação 2 para encontrar o mínimo ou máximo de f(x).

Deve-se observar que essa equação pode também ser deduzida escrevendo-se uma série de
Taylor de segunda ordem para f(x) e fazendo a derivada da série igual a zero. O método de
Newton é um método aberto, análogo ao método de Newton- Raphson, porque não exige
aproximações inicias que delimitem o ponto ótimo. Além disso, ele também compartilha a
desvantagem de poder ser divergente. Finalmente, em geral, é uma boa ideia verificar se a
segunda derivada tem o sinal correto para confirmar que a técnica está convergindo para o
resultado desejado. [3]
′
𝑓(𝑥𝑖)
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 − "
𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 2
𝑓(𝑥𝑖)
Embora o método de Newton funcione bem em alguns casos, é impraticável para

aqueles em que as derivadas não podem ser calculadas convenientemente. Para tais casos,
outras abordagens que não envolvem o cálculo das derivadas estão disponíveis.[3]
2 OBJETIVO
Aplicar os métodos da razão áurea, método de Newton e interpolação quadrática para

otimização de uma função e de um problema de engenharia química e comparar os resultados
obtidos.
3 RESULTADOS
Aplicou-se os métodos descritos acima para a maximização da função apresentada na

Equação 3 e para resolução de um problema de engenharia envolvendo um trocador de calor.
3
𝑥2
𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 3
10
Os dados para o dimensionamento do trocador de calor e as equações do balanço são

apresentados a seguir:
Tabela 1: Dados para o dimensionamento do trocador de calor

Variáveis Especificadas Parâmetros
W1=1000 lb/h U=100 BTU/h ft2ºF
T1=200ºF Cp1=1 BTU/lb ºF
T3=60ºF Cp3= 1 BTU/lb ºF
T2=100ºF Ib= 3200 $; Ab=50ft2
M=0.48
Pa=0.0432 $/lb
𝑎 = 0.5 ∗ 𝑝𝑎 ∗ 𝑤1 ∗ (𝑡1 − 𝑡2) 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 4
𝑚
𝑤1 ∗ 𝐶𝑝1 ∗ (𝑡1 − 𝑡2)
𝑏 = 𝐼𝑏 ∗ [(0.5) ∗ (0.02) + 0.1] ∗ [ ] 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 5
𝐴𝑏 ∗ 𝑈
140−𝑥 0.48
𝑎 𝑙𝑛 40
𝐶𝑡 = + 𝑏 ∗ [ ] 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 6
𝑥 100 − 𝑥
Os resultados obtidos em Excel® são exibidos a seguir:
Método de Interpolação Quadrática

Função: (2*SIN(x))-(x^2/10)
i xo f(xo) x1 f(x1) x2 f(x2) x3 f(x3) ∆
1 0,00000 0,00000 1,00000 1,58294 4,00000 -3,11360 1,50553 1,76908
2 1,00000 1,58294 1,50553 1,76908 4,00000 -3,11360 1,49025 1,77143 0,0023520
3 1,00000 1,58294 1,49025 1,77143 1,50553 1,76908 1,42564 1,77572 0,0042907
4 1,00000 1,58294 1,42564 1,77572 1,49025 1,77143 1,42660 1,77572 0,0000030
5 1,42564 1,77572 1,42660 1,77572 1,49025 1,77143 1,42755 1,77573 0,0000010
4
Método de Newton
i x f(x) f'(x) f''(x)
0 2,50000 0,57194 -2,102287 -1,39694
1 0,99508 1,57859 0,889853 -1,87761
2 1,46901 1,77385 -0,090582 -2,18965
3 1,42764 1,77573 -0,000197 -2,17954
4 1,42755 1,77573 0,000000 -2,17952
Método da Função Áurea

i xl f(xl) x2 f(x2) x1 f(x1) xu f(xu) d
1 0,00000 0,00000 1,52788 1,76472 2,47212 0,63001 4,00000 -3,11360 2,47212
2 0,00000 0,00000 0,94428 1,53098 1,52788 1,76472 2,47212 0,63001 1,52784
3 0,94428 1,53098 1,52788 1,76472 1,52593 1,76514 2,47212 0,63001 0,58165
4 1,52593 1,76514 1,52593 1,76514 1,96286 1,46296 2,47212 0,63001 0,43693
5 1,52593 1,76514 1,84067 1,58881 1,52593 1,76514 1,96286 1,46296 0,12220
6 1,84067 1,58881 1,52593 1,76514 2,07184 1,32491 1,96286 1,46296 0,23118
7 1,84067 1,58881 1,77331 1,64466 1,52593 1,76514 2,07184 1,32491 0,29853
8 1,77331 1,64466 1,52593 1,76514 2,03732 1,37121 2,07184 1,32491 0,26401
9 1,77331 1,64466 1,79465 1,62802 1,52593 1,76514 2,03732 1,37121 0,24267
10 1,79465 1,62802 1,52593 1,76514 2,04761 1,35766 2,03732 1,37121 0,25296
11 1,79465 1,62802 1,78829 1,63308 1,52593 1,76514 2,04761 1,35766 0,25931
E para o problema do trocador de calor:
Método de Interpolação Quadrática

Função: (a/x)+1,842*((LN((140-x)/40)/(100-x)))^0,48
a i xo f(xo) x1 f(x1) x2 f(x2) x3 f(x3) ∆
2,16 1 1,0000 2,3855 30,0000 0,3130 139,9000 0,7568 81,2356 0,3116
2,16 2 30,0000 0,3130 81,2356 0,3116 139,9000 0,7568 55,8115 0,2981 -0,0136
2,16 3 15,0000 0,3765 55,8115 0,2981 81,2356 0,3116 61,3286 0,2994 0,0013
2,16 4 55,8115 0,2981 61,3286 0,2994 81,2356 0,3116 50,9403 0,2979 -0,0015
2,16 5 50,9403 0,2979 55,8115 0,2981 61,3286 0,2994 52,1360 0,2978 0,0000
2,16 6 50,9403 0,2979 52,1360 0,2978 61,3286 0,2994 52,2881 0,2978 0,0000
2,16 7 52,2881 0,2978 52,1360 0,2978 61,3286 0,2994 52,2195 0,2978 0,0000
2,16 8 52,1360 0,2978 52,2195 0,2978 52,2881 0,2978 52,2188 0,2978 0,0000
2,16 9 52,2195 0,2978 52,2188 0,2978 52,2881 0,2978 52,2188 0,2978 0,0000
5
Método da Razão Áurea
Função: (a/x)+1,842*((LN((140-x)/40)/(100-x)))^0,48
N Li xs Fs xi Fi Ls delta
2 0 53,48 247,5467 86,52 259,8506 140 140
3 0 33,05 260,7956 53,48 247,5467 86,52 86,52
4 33,05 53,48 247,5476 66,09 248,7572 86,52 53,47
5 33,05 45,67 249,6361 53,48 247,5476 66,09 33,04
6 45,67 53,48 247,5476 58,29 247,4314 66,09 20,42
7 53,48 58,29 247,4314 61,27 247,7315 66,09 12,61
8 53,48 56,46 247,3838 58,29 247,4314 61,27 7,79
9 53,48 55,32 247,4099 56,46 247,3838 58,29 4,81
10 55,32 56,46 247,3638 57,16 247,3892 58,29 2,97
11 55,32 56,02 247,3836 56,46 247,3638 57,16 1,84
56,02 56,46 247,3638 57,16 1,14
4 DISCUSSÃO
Observando-se os dados descritos acima, verifica-se que em ambas as situações,
aplicação direta da função e resolução do problema envolvendo um trocador de calor, os
métodos de Newton e da interpolação quadrática mostraram-se mais precisos em relação ao
método da busca da razão áurea. Para o primeiro exemplo, ambos, Newton e interpolação
quadrática convergiram para o mesmo valor: 1,42755, sendo que o método de Newton
convergiu com menos iterações, o que é coerente com a literatura. O método da busca da
razão áurea para esse exemplo convergiu rápido, mas de forma imprecisa. Vale ressaltar que o
método de Newton é caracterizado por convergir de forma rápida e precisa, mas pode também
divergir dependendo da situação. Além do mais, pode ser impraticável utilizá-lo em alguns
casos onde as derivadas não podem ser calculadas convenientemente, o que é observado no
segundo exemplo, onde devido a complexidade da função, conclui-se que esse método não é
adequado para otimização do trocador de calor e que outras abordagens que não envolvem o
cálculo das derivadas deveriam ser utilizadas. Recomenda-se ainda utilizar o método de
Newton apenas quando se está próximo do valor ótimo da função. No segundo exemplo
também se observa que entre o método da interpolação quadrática e o método da razão áurea,
o da interpolação quadrática é mais preciso.
6
5 CONCLUSÃO
Conclui-se então, que é muito importante conhecer os métodos númericos e suas

características, vantagens e desvantagens, para que a escolha destes seja feita da melhor forma
possível. Essa escolha cabe ao analista e depende de cada problema, cada situação, da
precisão buscada, do tempo (tempo para convergir) e dos recursos computacionais
disponíveis. Cabe ao analista verificar qual método atende com melhor fidelididade seus
objetivos.
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] RAMÍREZ J. A., CAMPELO F., GUIMARÃES F. G., BATISTA L.S., TAKAHASHI
R.H.C. Métodos Numéricos para Otimização Irrestrita.
Disponível em:< http://www.cpdee.ufmg.br/~lusoba/disciplinas/ele037/Unidade3.pdf>
Acesso em 14 de maio de 2015.
[2] CUNHA M. C.C. Métodos numéricos. 2 ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2000. 276 p.
[3] CHAPRA S.C. Métodos Numéricos Aplicados com MATLAB® para Engenheiros e
Cientistas. 3 ed. Editora McGraw Hill Brasil, 2013

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Dentre os métodos utilizados na otimização unidimensional irrestrita estão, o método

Figura 1: Descrição gráfica da interpolação quadrática

𝑓(𝑥0)(𝑥12 − 𝑥22 ) + 𝑓(𝑥1)(𝑥22 − 𝑥02 ) + 𝑓(𝑥2)(𝑥02 − 𝑥12 )

O método de Newton utiliza a Equação 2 para encontrar o mínimo ou máximo de f(x).

Embora o método de Newton funcione bem em alguns casos, é impraticável para

Aplicar os métodos da razão áurea, método de Newton e interpolação quadrática para

Aplicou-se os métodos descritos acima para a maximização da função apresentada na

Os dados para o dimensionamento do trocador de calor e as equações do balanço são

Tabela 1: Dados para o dimensionamento do trocador de calor

𝑎 = 0.5 ∗ 𝑝𝑎 ∗ 𝑤1 ∗ (𝑡1 − 𝑡2) 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 4

Os resultados obtidos em Excel® são exibidos a seguir:

Método de Interpolação Quadrática

Método da Função Áurea

E para o problema do trocador de calor:

Método de Interpolação Quadrática

Conclui-se então, que é muito importante conhecer os métodos númericos e suas

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