12/10/2012

1
CAPTULO 04 - CINEMTICA DOS
FLUIDOS 1 PARTE
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIS
ENGENHARIA CIVIL E DE MINAS
Profa. Eliane Jusino
INTRODUO
Cine!"i#a Cine!"i#a Cine!"i#a Cine!"i#a $ %are &a !e#'ni#a (ue esu&a os !o)i!enos se! se! se! se! se se se se
referir referir referir referir *s *s *s *s for+as for+as for+as for+as (ue (ue (ue (ue os os os os %ro&u,e! %ro&u,e! %ro&u,e! %ro&u,e!- ou se.a- esu&o &as !assas &os
#or%os e! !o)i!eno.
Din'!i#a Din'!i#a Din'!i#a Din'!i#a $ %are &a !e#'ni#a (ue esu&a o !o)i!eno &os #or%os-
rela#ionan&o rela#ionan&o rela#ionan&o rela#ionan&o/ // /os os os os *s *s *s *s for+as for+as for+as for+as (ue (ue (ue (ue o oo o %ro&u,e! %ro&u,e! %ro&u,e! %ro&u,e!.
Va!os analisar )"rios as%e#os &o !o)i!eno &os flui&os se!
#onsi&erar!os as for+as ne#ess"rias %ara %ro&u,ir o es#oa!eno.
Ser0o analisa&as a )elo#i&a&e- a a#elera+0o- a &es#ri+0o e a
)isuali,a+0o &o !o)i!eno.
A AA A #ine!"i#a #ine!"i#a #ine!"i#a #ine!"i#a &o &o &o &o es#oa!eno es#oa!eno es#oa!eno es#oa!eno 1 11 1 u! u! u! u! %asso %asso %asso %asso essen#ial essen#ial essen#ial essen#ial %ara %ara %ara %ara o oo o enen&i!eno enen&i!eno enen&i!eno enen&i!eno
#o!%leo #o!%leo #o!%leo #o!%leo &a &a &a &a &in'!i#a &in'!i#a &in'!i#a &in'!i#a &os &os &os &os flui&os flui&os flui&os flui&os. .. .
12/10/2012
2
4.1 O CAMPO DE VELOCIDADE
As As As As !ol1#ulas !ol1#ulas !ol1#ulas !ol1#ulas &os flui&os se!%re es0o se !o)i!enan&o &e u! %ono
%ara ouro %ono- %or1! %ela 2ran&e 2ran&e 2ran&e 2ran&e (uani&a&e (uani&a&e (uani&a&e (uani&a&e &e &e &e &e !ol1#ulas !ol1#ulas !ol1#ulas !ol1#ulas (ue (ue (ue (ue
#on1! #on1! #on1! #on1! u! u! u! u! flui&o flui&o flui&o flui&o fi#a in)i")el in)i")el in)i")el in)i")el &es#re)er &es#re)er &es#re)er &es#re)er o oo o !o)i!eno !o)i!eno !o)i!eno !o)i!eno &e o&as as
!ol1#ulas !ol1#ulas !ol1#ulas !ol1#ulas in&i)i&ual!ene in&i)i&ual!ene in&i)i&ual!ene in&i)i&ual!ene.
Por isso 1 for!ula&o a aa a hiptese hiptese hiptese hiptese do do do do meio meio meio meio contnuo contnuo contnuo contnuo e 1 #onsi&era&o o
flui&o #o!o composto composto composto composto por por por por partculas partculas partculas partculas fluidas fluidas fluidas fluidas (ue inera2e! enre si e
#o! o !eio. Ca&a %ar3#ula #on1! !uias !ol1#ulas.
Assi! o oo o escoamento escoamento escoamento escoamento descrito descrito descrito descrito pelo pelo pelo pelo movimento movimento movimento movimento das das das das partculas partculas partculas partculas fluidas fluidas fluidas fluidas
4)elo#i&a&e e a#elera+0o5 e! )e, &o !o)i!eno &as !ol1#ulas.
As %ar3#ulas infiniesi!ais &e flui&o s0o #o!%a#as 4 uma uma uma uma decorrncia decorrncia decorrncia decorrncia
da da da da hiptese hiptese hiptese hiptese de de de de meio meio meio meio contnuo contnuo contnuo contnuo5. Assi!- nu! &a&o insane- a &es#ri+0o
&e (ual(uer %ro%rie&a&e &o flui&o 4iso 1- !assa es%e#3fi#a- %ress0o-
)elo#i&a&e e a#elera+0o5 %o&e ser for!ula&a e! fun+0o &a %osi+0o &a
%ar3#ula.
4.1 O CAMPO DE VELOCIDADE
Ca!%o Ca!%o Ca!%o Ca!%o &e &e &e &e Es#oa!eno Es#oa!eno Es#oa!eno Es#oa!eno $ A%resena+0o &os %ar'!eros &o flui&o e!
fun+0o &as #oor&ena&as es%a#iais- ese %o&e ser &iferene a #a&a
insane e- &ese !o&o- 1 11 1 %re#iso %re#iso %re#iso %re#iso &eer!inar &eer!inar &eer!inar &eer!inar os os os os )"rios )"rios )"rios )"rios %ar'!eros %ar'!eros %ar'!eros %ar'!eros e! e! e! e!
fun+0o fun+0o fun+0o fun+0o &as &as &as &as #oor&ena&as #oor&ena&as #oor&ena&as #oor&ena&as es%a#iais es%a#iais es%a#iais es%a#iais e ee e &o &o &o &o e!%o e!%o e!%o e!%o %ara %ara %ara %ara &es#re)er &es#re)er &es#re)er &es#re)er
oal!ene oal!ene oal!ene oal!ene o oo o es#oa!eno es#oa!eno es#oa!eno es#oa!eno.
Assi! Assi! Assi! Assi! %ara %ara %ara %ara o oo o #a!%o #a!%o #a!%o #a!%o &e &e &e &e )elo#i&a&e )elo#i&a&e )elo#i&a&e )elo#i&a&e6 66 6
On&e6 u- u- u- u- )- )- )- )- 7 77 7 s0o #o!%onenes &o )eor )elo#i&a&e nas &ire+8es 9- 9- 9- 9- :- :- :- :- , ,, ,.
Co!o )elo#i&a&e &a %ar3#ula 1 i2ual a a9a &e )aria+0o e!%oral &o
)eor %osi+0o &a %ar3#ula.
12/10/2012
3
4.1 O CAMPO DE VELOCIDADE
A %osi+0o &a %ar3#ula A AA A- e! rela+0o ao sise!a &e #oor&ena&as- 1 &a&a
%ela seu )eor %osi+0o- r rr rA AA A - e (ue ese )eor 1 u!a fun+0o &o e!%o se a
%ar3#ula es" se !o)i!enan&o- ou se.a6
4.1 O CAMPO DE VELOCIDADE
Po&e/se &es#re)er o #a!%o )eorial &e )elo#i&a&e es%e#ifi#an&o a
)elo#i&a&e &e o&as as %ar3#ulas flui&as- ou se.a6
O !;&ulo &e V VV V 1 re%resena&o %or6
A AA A mudana mudana mudana mudana de de de de velocidade velocidade velocidade velocidade provoca provoca provoca provoca uma uma uma uma acelerao, acelerao, acelerao, acelerao, que que que que pode pode pode pode ser ser ser ser devida devida devida devida
a aa a uma uma uma uma mudana mudana mudana mudana de de de de velocidade velocidade velocidade velocidade e/ou e/ou e/ou e/ou direo direo direo direo. .. .
12/10/2012
4
EXEMPLO 4.1 p. 14!
O #a!%o &e )elo#i&a&e &e u! es#oa!eno 1 &a&o %or
on&e Vo Vo Vo Vo e l ll l s0o #onsanes. Deer!ine o lo#al no #a!%o &e es#oa!eno
on&e a )elo#i&a&e 1 i2ual a Vo Vo Vo Vo e #onsrua u! es<o+o &o #a!%o &e
)elo#i&a&e no %ri!eiro (ua&rane 49 99 9 = == = > >> >- -- - : :: : = == = > >> >5.
Solu+0o Solu+0o Solu+0o Solu+0o6 66 6 Os #o!%onenes &o )eor )elo#i&a&e nas &ire+8es- 9- 9- 9- 9- : :: : e , ,, , s0o
Assi!- o !;&ulo &o )eor )elo#i&a&e 1
4?.@5 4?.@5 4?.@5 4?.@5
Noe (ue o lo#al on&e a )elo#i&a&e 1 i2ual a Vo Vo Vo Vo 1 o #3r#ulo #o! raio l ll l e #o!
#enro na ori2e! &o sise!a &e #oor&ena&as 4)e.a Fi2ura a5. A &ire+0o &o
)eor )elo#i&a&e e! rela+0o ao ei9o 9 99 9 1 forne#i&a %elo 'n2ulo A AA A- &efini&o
%or A AA A B BB B ar#an ar#an ar#an ar#an 4)Cu5 4)Cu5 4)Cu5 4)Cu5. Para ese es#oa!eno 4)e.a fi2ura <5
EXEMPLO 4.1 - p. 14!
Fi2ura ?.@ Fi2ura ?.@ Fi2ura ?.@ Fi2ura ?.@
12/10/2012
5
Ao lon2o &o ei9o 9 99 9 4: 4: 4: 4: B BB B > >> >5 55 5 n;s e!os (ue an an an anA AA A B BB B > >> > &e !o&o (ue A AA A B BB B > >> >D DD D ou
A AA A B BB B @E> @E> @E> @E> D DD D. De !o&o an"lo2o- ao lon2o &o ei9o : :: : 49 49 49 49 B BB B > >> >5 55 5 n;s e!os
an an an anA AA A B BB B F FF FG GG G &e !o&o (ue A AA A B BB B H> H> H> H> D DD D ou A AA A B BB B IJ> IJ> IJ> IJ> D DD D.
Noe- a!<1!- (ue %ara : :: : B BB B > >> > n;s en#onra!os
En(uano %ara 9 99 9 B BB B > >> > n;s en#onra!os
EXEMPLO 4.1 - p. 14!
Iso in&i#a 4se Vo Vo Vo Vo = == = > >> >5 (ue o es#oa!eno 1
&iri2i&o %ara a ori2e! no ei9o : e %ara fora
&a ori2e! ao lon2o &o ei9o 9 4fi2ura a5
A &eer!ina+0o &e V VV V e A AA A e! ouros %onos &o %lano 9 $ : nos %er!ie
es<o+ar o #a!%o &e )elo#i&a&e 4)e.a fi2ura a5. Por e9e!%lo- a )elo#i&a&e
es" in#lina&a &e $ $$ $ ?K ?K ?K ?KD DD D e! rela+0o ao ei9o 9 na rea : :: : B BB B 9 99 9 4an an an anA AA A B BB B )Cu )Cu )Cu )Cu B BB B
B BB B / // / :C9 :C9 :C9 :C9 B BB B / // / @ @@ @5.
N;s a!<1! en#onra!os (ue V VV V B BB B > >> > na ori2e! 49 99 9 B BB B : :: : B BB B > >> >5 e- %or ese
!oi)o- a ori2e! um um um um ponto ponto ponto ponto de de de de estagnao estagnao estagnao estagnao. A E( E( E( E(. .. . ? ?? ?. .. .@ @@ @ !osra (ue (uano
!ais &isane &a ori2e! esi)er o %ono (ue es" sen&o analisa&o !aior 1
a )elo#i&a&e &o es#oa!eno. L se!%re %oss3)el o<er infor!a+8es so<re o
es#oa!eno analisan&o #ui&a&osa!ene o #a!%o &e )elo#i&a&e.
EXEMPLO 4.1 - p. 14!
12/10/2012
6
4.1.1 DESCRIO EULERIANA E LA"RAN"EANA
DOS ESCOAMENTOS
Mo&o &e analisar %ro<le!as na !e#'ni#a &os flui&os6
Euleriana Euleriana Euleriana Euleriana $ $$ $ uili,a #on#eios &e #a!%os &e )elo#i&a&e- o !o)i!eno &o
flui&o 1 &es#rio %ela es%e#ifi#a+0o #o!%lea &os %ar'!eros ne#ess"rios
4%or e9e!%lo- %ress0o- !assa es%e#3fi#a e )elo#i&a&e5 e! e! e! e! fun+0o fun+0o fun+0o fun+0o &as &as &as &as
#oor&ena&as #oor&ena&as #oor&ena&as #oor&ena&as es%a#iais es%a#iais es%a#iais es%a#iais e ee e &o &o &o &o e!%o e!%o e!%o e!%o. O<M! O<M! O<M! O<M!/ // /se se se se infor!a+8es infor!a+8es infor!a+8es infor!a+8es e! e! e! e! fun+0o fun+0o fun+0o fun+0o &o &o &o &o
(ue (ue (ue (ue a#one#e a#one#e a#one#e a#one#e e! e! e! e! %onos %onos %onos %onos fi9os fi9os fi9os fi9os &o &o &o &o es#oa!eno es#oa!eno es#oa!eno es#oa!eno en(uano en(uano en(uano en(uano o oo o flui&o flui&o flui&o flui&o es#oa es#oa es#oa es#oa %or %or %or %or
eses eses eses eses %onos %onos %onos %onos. .. .
La2ran2eana La2ran2eana La2ran2eana La2ran2eana $ $$ $ en)ol)e en)ol)e en)ol)e en)ol)e se2uir se2uir se2uir se2uir as as as as %ar3#ulas %ar3#ulas %ar3#ulas %ar3#ulas flui&as flui&as flui&as flui&as e &eer!inar #o!o as
%ro%rie&a&es &a %ar3#ulas s0o s0o s0o s0o Nroula&asO Nroula&asO Nroula&asO Nroula&asO 4i&enifi#a&as 4i&enifi#a&as 4i&enifi#a&as 4i&enifi#a&as5 e suas
%ro%rie&a&es %ro%rie&a&es %ro%rie&a&es %ro%rie&a&es s0o s0o s0o s0o &eer!ina&as &eer!ina&as &eer!ina&as &eer!ina&as &urane &urane &urane &urane o oo o !o)i!eno !o)i!eno !o)i!eno !o)i!eno. .. .
4.1.1 DESCRIO EULERIANA E LA"RAN"EANA
DOS ESCOAMENTOS
E9e!%lo E9e!%lo E9e!%lo E9e!%lo6 66 6 An"lise &o es#oa!eno &a fu!a+a &es#arre2a&a &e u!a
#Pa!in16
Euleriana Euleriana Euleriana Euleriana6 66 6 Insala/se u! &is%osii)o %ara !e&ir a e!%eraura no o%o &a
#Pa!in1 4%ono O5 e re2israr a e!%eraura nese %ono e! fun+0o &o
e!%o. O er!Q!ero in&i#ar" a e!%eraura &e %ar3#ulas &i)ersas e!
insanes &iferenes.
E! fun+0o &o e!%o E! fun+0o &o e!%o E! fun+0o &o e!%o E! fun+0o &o e!%o
A uili,a+0o &e )"rios er!Q!eros
fi9os e! &i)ersos %onos nos forne#er" o
#a!%o &e e!%eraura &o es#oa!eno-
R RR R 49- 49- 49- 49- :- :- :- :- ,- ,- ,- ,- 5 5 5 5.
A e!%eraura &a %ar3#ula e! fun+0o
&o e!%o n0o %o&e ser &eer!ina&a a
!enos (ue #onPe+a!os a %osi+0o &a
%ar3#ula e! fun+0o &o e!%o.
12/10/2012
7
4.1.1 DESCRIO EULERIANA E LA"RAN"EANA
DOS ESCOAMENTOS
E9e!%lo E9e!%lo E9e!%lo E9e!%lo6 66 6 An"lise &o es#oa!eno &a fu!a+a &es#arre2a&a &e u!a
#Pa!in1.
La2ran2eana La2ran2eana La2ran2eana La2ran2eana6 66 6 Insala/se u! &is%osii)o %ara !e&ir a e!%eraura nu!a
%ar3#ula flui&a 4%ar3#ula A5 e re2isra/se a sua e!%eraura &urane o
!o)i!eno. Assi! o<1! a Pis;ria &a e!%eraura &a %ar3#ula.
A uili,a+0o &e u! #on.uno &e &is%osii)os %ara !e&ir a e!%eraura e!
)"rias %ar3#ulas forne#e a Pis;ria &as e!%erauras &esas %ar3#ulas.
Se &is%user!os &as infor!a+8es sufi#ienes %ara a &es#ri+0o Euleriana Euleriana Euleriana Euleriana
1 %oss3)el &eer!inar o&as as infor!a+8es La2ran2eana La2ran2eana La2ran2eana La2ran2eana &o es#oa!eno
e! (ues0o e )i#e )ersa.
Usual!ene usa/se o !1o&o Euleriano Euleriano Euleriano Euleriano %ara &es#re)er o es#oa!eno
ano e! in)esi2a+8es e9%eri!enais (uano nas anal3i#as.
4.1.1 DESCRIO EULERIANA E LA"RAN"EANA
DOS ESCOAMENTOS
M1o&o Nu!1ri#o- usa/se o !1o&o La2ran2eano La2ran2eano La2ran2eano La2ran2eano- %ois a resolu+0o &os
es#oa!enos s0o s0o s0o s0o <asea&os <asea&os <asea&os <asea&os na na na na an"lise an"lise an"lise an"lise &e &e &e &e %ar3#ulas %ar3#ulas %ar3#ulas %ar3#ulas in&i)i&uais in&i)i&uais in&i)i&uais in&i)i&uais e ee e nas nas nas nas
inera+8es inera+8es inera+8es inera+8es &esas &esas &esas &esas %ar3#ulas %ar3#ulas %ar3#ulas %ar3#ulas flui&as flui&as flui&as flui&as e- assi!- &es#re)e! o es#oa!eno a
%arir &e er!os La2ran2eanos La2ran2eanos La2ran2eanos La2ran2eanos. .. .
E9e!%lo E9e!%lo E9e!%lo E9e!%lo6 66 6 La2ran2eana La2ran2eana La2ran2eana La2ran2eana
A uili,a+0o &e ra+a&or o%a#os &e Raios S orna %oss3)el se2uir o
es#oa!eno &e san2ue nas ar1rias e o<er &es#ri+0o La2ran2eana La2ran2eana La2ran2eana La2ran2eana &o
es#oa!eno.
Ra!<1! %o&e ser Til %ara analisar o es#oa!eno e! !"(uina
Pi&r"uli#as 4#o!o <o!<as e ur<inas5 aon&e as %ar3#ulas flui&as 2anPa!
ou %er&e! ener2ia ao lon2o &e suas ra.e;rias.
12/10/2012
8
4.1.# ESCOAMENTOS UNIDIMENSIONAIS$
%IDIMENSIONAIS E TRIDIMENSIONAIS
Geral!ene os es#oa!enos s0o ri&i!ensionais- ransi;rios e #o!%le9os
Mas %o&e/se uili,ar Pi%;eses si!%lifi#a&ora- &es&e (ue n0o sa#rifi(ue a
%re#is0o #o!o uni&i!ensional ou <i&i!ensional.
Co!%onenes Co!%onenes Co!%onenes Co!%onenes &a &a &a &a Velo#i&a&e Velo#i&a&e Velo#i&a&e Velo#i&a&e $ $$ $ u- u- u- u- ) )) ) - -- - 7 77 7. .. .
E9e!%lo E9e!%lo E9e!%lo E9e!%lo &e &e &e &e Es#oa!eno Es#oa!eno Es#oa!eno Es#oa!eno Rri&i!ensional Rri&i!ensional Rri&i!ensional Rri&i!ensional
Es#oa!eno &e ar e! orno &e u!a asa &e a)i0o 1 Rri&i!ensional e
Co!%le9o.
S; S; S; S; 1 11 1 %oss3)el %oss3)el %oss3)el %oss3)el !o&elar !o&elar !o&elar !o&elar o oo o es#oa!eno es#oa!eno es#oa!eno es#oa!eno <i <i <i <i ou ou ou ou uni&i!ensional uni&i!ensional uni&i!ensional uni&i!ensional se se se se os os os os resula&os resula&os resula&os resula&os
nu!1ri#os nu!1ri#os nu!1ri#os nu!1ri#os se se se se a%ro9i!are! a%ro9i!are! a%ro9i!are! a%ro9i!are! &os &os &os &os resula&os resula&os resula&os resula&os e9%eri!enais e9%eri!enais e9%eri!enais e9%eri!enais. .. .
4.1.& ESCOAMENTOS EM RE"IME PERMANENTE
E TRANSIT'RIOS
Re2i!e Re2i!e Re2i!e Re2i!e Per!anene Per!anene Per!anene Per!anene A )elo#i&a&e nu! nu! nu! nu! &a&o &a&o &a&o &a&o %ono %ono %ono %ono n0o )aria #o! o
e!%o.
Rransi;rio Rransi;rio Rransi;rio Rransi;rio A )elo#i&a&e )aria #o! o e!%o
Es#oa!eno Es#oa!eno Es#oa!eno Es#oa!eno Rransi;rio Rransi;rio Rransi;rio Rransi;rio $ Es#oa!eno n0o %eri;&i#os- ransi;rio
%eri;&i#os e os es#oa!enos )er&a&eira!ene alea;rios.
Es#oa!eno Es#oa!eno Es#oa!eno Es#oa!eno n0o n0o n0o n0o %eri;&i#o %eri;&i#o %eri;&i#o %eri;&i#o / Fe#Pa!eno &e u!a )"l)ula (ue %o&e
le)ar ao 2ol%e &e ar3ee 4variaes de presso decorrentes de
variaes da vazo, causadas por alguma perturbao, voluntria
ou involuntria, que se imponha ao fluxo de lquidos em condutos)
Efeios Efeios Efeios Efeios ransi;rios ransi;rios ransi;rios ransi;rios %eri;&i#os %eri;&i#os %eri;&i#os %eri;&i#os / In.e+0o %eri;&i#a &e !isura ar/
2asolina nos #ilin&ros &e u! !oor auo!"i#o.
Efeios Efeios Efeios Efeios ransi;rios ransi;rios ransi;rios ransi;rios alea;rios alea;rios alea;rios alea;rios / Es#oa!eno ur<ulenos- %o&e ser
o<ser)a&o nas orneiras- ra.a&as irre2ulares &e )eno.
12/10/2012
9
4.1.& ESCOAMENTOS EM RE"IME PERMANENTE
E TRANSIT'RIOS
L LL L i!%orane i!%orane i!%orane i!%orane enen&er enen&er enen&er enen&er (ue (ue (ue (ue a aa a &efini+0o &efini+0o &efini+0o &efini+0o &e &e &e &e es#oa!eno es#oa!eno es#oa!eno es#oa!eno e! e! e! e! re2i!e re2i!e re2i!e re2i!e
%er!anene %er!anene %er!anene %er!anene 1 11 1 a%li#")el a%li#")el a%li#")el a%li#")el a aa a %onos %onos %onos %onos fi9os fi9os fi9os fi9os. .. .
Todos Todos Todos Todos os os os os parmetros parmetros parmetros parmetros do do do do escoamento escoamento escoamento escoamento !velocidade, !velocidade, !velocidade, !velocidade, temperatura, temperatura, temperatura, temperatura, e ee e massa massa massa massa
especfica" especfica" especfica" especfica" so so so so independentes independentes independentes independentes do do do do tempo tempo tempo tempo em em em em qualquer qualquer qualquer qualquer ponto ponto ponto ponto. .. .
#ntretanto, #ntretanto, #ntretanto, #ntretanto, o oo o valor valor valor valor do do do do parmetro parmetro parmetro parmetro para para para para uma uma uma uma partcula partcula partcula partcula fluida fluida fluida fluida pode pode pode pode variar variar variar variar com com com com
o oo o tempo tempo tempo tempo enquanto enquanto enquanto enquanto ela ela ela ela escoa escoa escoa escoa de de de de um um um um ponto ponto ponto ponto para para para para outro outro outro outro mesmo mesmo mesmo mesmo que que que que o oo o regime regime regime regime
se$a se$a se$a se$a permanente permanente permanente permanente. .. .
E9 E9 E9 E9.6 .6 .6 .6 O #a!%o &e e!%eraura 2era&o %elo es#oa!eno &e 2"s e!
#o!<us0o &e u! auo!;)el %o&e %er!ane#er inalera&o &urane Poras-
!as a e!%eraura &e u!a %ar3#ula flui&a &es#arre2a&a P" K !inuos 1
!ais <ai9a (ue *(uela &a %ar3#ula (ue es" na e!inMn#ia &e ser
&es#arre2a&a %elo #ano &o es#a%a!eno.
4.1.4 LIN(AS DE CORRENTE$ LIN(AS DE
EMISSO E TRA)ET'RIA
Con#eio uili,a&os %ara a.u&ar a )isuali,a+0o e an"lise &os #a!%os &e
es#oa!enos.
LinPa LinPa LinPa LinPa &e &e &e &e Correne Correne Correne Correne $ $$ $ Rra<alPo Anal3i#o
LinPas LinPas LinPas LinPas &e &e &e &e E!iss0o E!iss0o E!iss0o E!iss0o e ee e Rra.e;ria Rra.e;ria Rra.e;ria Rra.e;ria $ $$ $ Uili,a&as e! ra<alPos e9%eri!enais
LinPas LinPas LinPas LinPas &e &e &e &e Correne Correne Correne Correne6 66 6 LinPa Con3nua (ue 1 se!%re an2ene ao #a!%o &e
)elo#i&a&e- se o re2i!e 1 %er!anene- na&a !u&a #o! o e!%o nu!
%ono fi9o 4in#lusi)e a &ire+0o &o )eor )elo#i&a&e5. As linPas &e #orrene
s0o linPas fi9as no es%a+o.
As linPas &e #orrene s0o o<i&as- analii#a!ene- ine2ran&o as e(ua+8es
(ue &efine! as linPas an2enes ao #a!%o )elo#i&a&e.
12/10/2012
10
Para os es#oa!enos <i&i!ensionais- a in#lina+0o &a linPa &e #orrene-
&:C&9 &:C&9 &:C&9 &:C&9- %re#isa ser i2ual a an2ene &o 'n2ulo (ue o )eor )elo#i&a&e fa,
#o! o ei9o 9- ou se.a.
Esa e(ua+0o %o&e ser ine2ra&a %ara forne#er as e(ua+8es &as linPas
&e #orrene se o #a!%o &e )elo#i&a&e for &a&o #o!o u!a fun+0o &e 9 e :
4e t tt t se o es#oa!eno for ransi;rio5.
4.1.4 LIN(AS DE CORRENTE$ LIN(AS DE
EMISSO E TRA)ET'RIA
4?.I5 4?.I5 4?.I5 4?.I5
E9e!%lo E9e!%lo E9e!%lo E9e!%lo ? ?? ?. .. .I II I $ $$ $ %"2 %"2 %"2 %"2. .. . @K> @K> @K> @K>
Deer!ine as linPas &e #orrene %ara o es#oa!eno <i&i!ensional e!
re2i!e %er!anene a%resena&o no E9e!%lo ?.@-
Solu+0o Solu+0o Solu+0o Solu+0o6 66 6 Co!o u uu u % %% % !Vo/l" !Vo/l" !Vo/l" !Vo/l" & && & e v vv v % %% % ' '' ' !Vo/l" !Vo/l" !Vo/l" !Vo/l" ( (( (- e!os (ue as linPas &e
#orrene s0o &a&as %ela solu+0o &a e(ua+0o6
Noe (ue as )ari")eis %o&e! ser se%ara&as e a e(ua+0o resulane
ine2ra&a- ou se.a-
4.1.4 LIN(AS DE CORRENTE$ LIN(AS DE
EMISSO E TRA)ET'RIA
ou ou ou ou
12/10/2012
11
Assi!- n;s en#onra!os (ue ao lon2o &e u!a linPa &e #orrene
N;s %o&e!os #onsruir )"rias linPas &e #orrene no %lano 9 $ : uili,an&o
)alores &iferenes &e C CC C.
A noa+0o usual %ara a linPas &e #orrene 1 ) )) ) % %% % constante constante constante constante na na na na linha linha linha linha de de de de
corrente corrente corrente corrente. .. .
Assi!- a e(ua+0o %ara as linPas &e #orrene &ese es#oa!eno 16
Co!o ser" &is#ui&o !ais #ui&a&osa!ene no Ca%. U- a fun+0o ) )) ) % %% % ) )) ) !&, !&, !&, !&, (" (" (" ("
1 &eno!ina&a fun+0o fun+0o fun+0o fun+0o #orrene #orrene #orrene #orrene.
4.1.4 LIN(AS DE CORRENTE$ LIN(AS DE
EMISSO E TRA)ET'RIA
on&e C CC C 1 u!a #onsane
A Fi2ura ?.I a<ai9o !osra as linPas &e #orrene &o %ri!eiro (ua&rane.
U!a #o!%ara+0o &esa fi2ura #o! a Fi2ura ?.@ !osra (ue as linPas s0o s0o s0o s0o
an2enes an2enes an2enes an2enes ao #a!%o &e )elo#i&a&e.
4.1.4 LIN(AS DE CORRENTE$ LIN(AS DE
EMISSO E TRA)ET'RIA
Fi2ura ?.I Fi2ura ?.I Fi2ura ?.I Fi2ura ?.I
12/10/2012
12
LinPas LinPas LinPas LinPas &e &e &e &e E!iss0o E!iss0o E!iss0o E!iss0o6 66 6 #onsise e! e! e! e! o&as o&as o&as o&as as as as as %ar3#ulas %ar3#ulas %ar3#ulas %ar3#ulas &o &o &o &o es#oa!eno es#oa!eno es#oa!eno es#oa!eno (ue (ue (ue (ue
%assara! %assara! %assara! %assara! %or %or %or %or u! u! u! u! &eer!ina&o &eer!ina&o &eer!ina&o &eer!ina&o %ono %ono %ono %ono. S0o !ais uili,a&as e! ra<alPos
e9%eri!enais &o (ue e;ri#os.
E9 E9 E9 E9.6 Foo2rafias insan'neas &e %ar3#ulas !ar#a&as (ue %assa! %or u!
&eer!ina&o %ono.
Ral linPa %o&e ser %ro&u,i&a %ela in.e+0o #on3nua &e u! ra+a&or flui&o
nu!a &a&a %osi+0o 4fu!a+a e! ar- ou inas #o! "2ua $ o ra+a&or &e)e
a%resenar !assa es%e#3fi#a %r;9i!a &a &o flui&o (ue es#oa %ara (ue os
efeios &e e!%u9o n0o se.a! i!%oranes5.
Rra.e;ria Rra.e;ria Rra.e;ria Rra.e;ria6 66 6 1 u!a u!a u!a u!a linPa linPa linPa linPa ra+a&a ra+a&a ra+a&a ra+a&a %or %or %or %or u!a u!a u!a u!a &a&a &a&a &a&a &a&a %ar3#ula %ar3#ula %ar3#ula %ar3#ula (ue (ue (ue (ue es#oa es#oa es#oa es#oa &e &e &e &e u! u! u! u!
%ono %ono %ono %ono %ara %ara %ara %ara ouro ouro ouro ouro- 1 u! #on#eio La2ran2eano La2ran2eano La2ran2eano La2ran2eano e (ue %o&e ser %ro&u,i&o no
la<ora;rio !ar#an&o/se u!a %ar3#ula flui&a 4N%ina&o u! %e(ueno
ele!eno flui&oO5 e iran&o u!a foo2rafia &e lon2a e9%osi+0o &o
!o)i!eno.
4.1.4 LIN(AS DE CORRENTE$ LIN(AS DE
EMISSO E TRA)ET'RIA
4.1.4 LIN(AS DE CORRENTE$ LIN(AS DE
EMISSO E TRA)ET'RIA
E9e!%lo E9e!%lo E9e!%lo E9e!%lo ? ?? ?. .. .V VV V $ $$ $ %"2 %"2 %"2 %"2. .. . @K@ @K@ @K@ @K@
2ua es#oa no ne<uli,a&or os#ilane !osra&o na Fi2ura E?.Va e %ro&u,
u! #a!%o &e )elo#i&a&e &a&o %or6
On&e u uu uo oo o, ,, , v vv vo oo o e ee e * ** * !freq+ncia" !freq+ncia" !freq+ncia" !freq+ncia" s0o #onsanes. Noe (ue o #o!%onene ( (( ( &o
)eor )elo#i&a&e %er!ane#e #onsane 4v vv v % %% % v vv vo oo o5 e (ue o #o!%onene & && & e!
( (( ( % %% % , ,, , #oin#i&e #o! a )elo#i&a&e &e ne<uli,a&or os#ilane 4u uu u % %% % u uu uo oo o sen sen sen sen! !! !* ** *t" t" t" t"
e! ( (( ( % %% % , ,, ,5.
4a5 Deer!ine a linPa &e #orrene (ue
%assa %ela ori2e! e! t tt t % %% % , ,, , e e!
t tt t % %% % /2
4<5 Deer!ine a ra.e;ria &a %ar3#ula
(ue esa)a na ori2e! e! t tt t % %% % , ,, , e
e! t tt t % %% % /2
4#5 Dis#ua o for!ao &as linPas &e
e!iss0o (ue %assa! %ela ori2e!.
12/10/2012
13
4.1.4 LIN(AS DE CORRENTE$ LIN(AS DE
EMISSO E TRA)ET'RIA
Solu+0o Solu+0o Solu+0o Solu+0o6 66 6 4a5 Co!o u uu u % %% % u uu uo oo o sen- sen- sen- sen-* ** *!t !t !t !t . .. . (/v (/v (/v (/vo oo o" "" " / // / e v vv v % %% % v vv vo oo o se2ue (ue as linPas &e
#orrene s0o &a&as %ela solu+0o &e 4)e.a a E(. ?.I5
Noe (ue as )ari")eis %o&e! ser se%ara&as e a e(ua+0o resulane
ine2ra&a 4e! (ual(uer insane &o e!%o5- ou se.a-
On&e 0 00 0 1 u!a #onsane. O Valor &e 0 00 0 %ara a linPa &e #orrene (ue %assa
ara)1s &a ori2e! 4& && & % %% % ( (( ( % %% % , ,, ,5 e! t tt t % %% % , ,, , 1 u uu uo oo o v vv vo oo o/ // /* ** *.
4@5 4@5 4@5 4@5
ou
4.1.4 LIN(AS DE CORRENTE$ LIN(AS DE
EMISSO E TRA)ET'RIA
Assi!- a e(ua+0o &esa linPa &e #orrene e6
De !o&o an"lo2o- a E(. @ !osra (ue 0 00 0 % %% % , ,, , %ara linPa &e #orrene (ue
%assa %ela ori2e! no insane t tt t % %% % /2. Assi!- a e(ua+0o &esa linPa &e
#orrene 16
4V5 4V5 4V5 4V5
12/10/2012
14
A fi2ura E?.V< !osra esas &uas linPas &e #orrene. As &uas linPas n0o
s0o #oin#i&enes %or(ue o es#oa!eno 1 ransi;rio. Por e9e!%lo- na
ori2e! 4& && & % %% % ( (( ( % %% % , ,, ,5 a )elo#i&a&e 1 e! t tt t % %% % , ,, , e
e! t tt t % %% % /2 .
Assi!- o 'n2ulo &a linPa &e #orrene (ue %assa %ela ori2e! )aria ao lon2o
&o e!%o. De !o&o an"lo2o- as for!as &as linPas &e #orrene s0o fun+0o
&o e!%o.
4.1.4 LIN(AS DE CORRENTE$ LIN(AS DE
EMISSO E TRA)ET'RIA
4.1.4 LIN(AS DE CORRENTE$ LIN(AS DE
EMISSO E TRA)ET'RIA
E9e!%lo E9e!%lo E9e!%lo E9e!%lo ? ?? ?. .. .V VV V $ $$ $ %"2 %"2 %"2 %"2. .. . @K@ @K@ @K@ @K@
4<5 A ra.e;ria &a %ar3#ula 4os lo#ais o#u%a&os %ela %ar3#ula e! fun+0o
&o e!%o5 %o&e ser o<i&a a %arir &a )elo#i&a&e e &a &efini+0o &e
)elo#i&a&e. Co!o u uu u % %% % d&/dt d&/dt d&/dt d&/dt e v vv v % %% % d(/dt d(/dt d(/dt d(/dt-
A se2un&a e(ua+0o %o&e ser ine2ra&a 4%or(ue vo vo vo vo 1 #onsane5 e forne#e
a #oor&ena&a ( (( ( &a ra.e;ria- ou se.a-
On&e 0 00 01 11 1 1 u!a #onsane.
4?5 4?5 4?5 4?5
12/10/2012
15
4.1.4 LIN(AS DE CORRENTE$ LIN(AS DE
EMISSO E TRA)ET'RIA
E9e!%lo E9e!%lo E9e!%lo E9e!%lo ? ?? ?. .. .V VV V
Uili,an&o esa rela+0o enre ( (( ( e t tt t n;s %o&e!os rees#re)er a e(ua+0o &e
d& d& d& d&/ // /dt dt dt dt &o se2uine !o&o
Esa e(ua+0o %o&e ser ine2ra&a e forne#er o #o!%onene & && & &a ra.e;ria-
ou se.a-
On&e 0 00 02 22 2 1 u!a #onsane. Para #a&a %ar3#ula (ue esa)a na ori2e! 4& && & % %% %
( (( ( % %% % , ,, ,5 no insane t tt t % %% % , ,, ,- as E(. ? e K forne#e! 0 00 01 11 1 % %% % 0 00 02 22 2 % %% % , ,, ,. Assi!- as
ra.e;rias s0o &efini&as %or6
4K5 4K5 4K5 4K5
4U5 4U5 4U5 4U5
4.1.4 LIN(AS DE CORRENTE$ LIN(AS DE
EMISSO E TRA)ET'RIA
E9e!%lo E9e!%lo E9e!%lo E9e!%lo ? ?? ?. .. .V VV V / // / %"2 %"2 %"2 %"2. .. . @K@ @K@ @K@ @K@
De !o&o an"lo2o- %ara a %ar3#ula (ue esa)a na ori2e! e! t tt t % %% % /2-
as E(s. ? e K forne#e! 0 00 01 11 1 % %% % ' '' 'vo/2 e 0 00 02 22 2 % %% % ' '' 'uo/2 . Assi!- a ra.e;ria
%ara esa %ar3#ula 16
As ra.e;rias %o&e! ser #onsru3&as a %arir &e &!t", &!t", &!t", &!t", (!t" (!t" (!t" (!t" %ara t tt t 3 33 3 , ,, , ou
%ela eli!ina+0o &o e!%o E(. J. Pro#e&en&o &ese !o&o-
O<ser)e (ue as ra.e;rias e as linPas &e #orrene n0o s0o #oin#i&enes
%or(ue o re2i!e &o es#oa!eno 1 o ransi;rio.
4J5 4J5 4J5 4J5
12/10/2012
16
4.1.4 LIN(AS DE CORRENTE$ LIN(AS DE
EMISSO E TRA)ET'RIA
E9e!%lo E9e!%lo E9e!%lo E9e!%lo ? ?? ?. .. .V VV V / // / %"2 %"2 %"2 %"2. .. . @K@ @K@ @K@ @K@
4#5 A linPa &e e!iss0o (ue %assa %ela ori2e! e! t tt t % %% % , ,, , 1 o lu2ar
2eo!1ri#o e! t tt t % %% % , ,, , &as %ar3#ulas (ue %assara! %re)ia!ene %ela
ori2e! 4t tt t 4 44 4 , ,, ,5 . A for!a 2eral &as linPas &e e!iss0o %o&e! ser
&eer!ina&as &o se2uine !o&o.
Ca&a %ar3#ula (ue es#oou %ela ori2e! se &eslo#a nu!a linPa rea 4as
ra.e;rias s0o ra&iais a %arir &a ori2e!5 e a in#lina+0o &e #a&a u!a
&esas reas es" #oni&a no iner)alo 5 55 5 v vv vo oo o/ // /u uu uo oo o 4)e.a fi2ura E?.V&5.
As %ar3#ulas (ue %assa! %ela ori2e!
e! insanes &iferenes es0o
lo#ali,a&as e! raios &iferenes &a
ori2e!.
Se in.e"sse!os #oninua!ene u!
filee &e ina no ne<uli,a&or n;s
o<er3a!os u!a linPa &e e!iss0o #o!
for!ao i2ual a linPa !osra&a na fi2ura.
4.1.4 LIN(AS DE CORRENTE$ LIN(AS DE
EMISSO E TRA)ET'RIA
E9e!%lo E9e!%lo E9e!%lo E9e!%lo ? ?? ?. .. .V VV V / // / %"2 %"2 %"2 %"2. .. . @K@ @K@ @K@ @K@
Co!o o es#oa!eno 1 ransi;rio- as linPas &e e!iss0o )ariar0o #o! o
e!%o- !as se!%re a%resenar0o o #ar"er os#ilane e sinuoso !osra&o
na fi2ura.
As As As As linhas linhas linhas linhas de de de de corrente, corrente, corrente, corrente, as as as as tra$etrias tra$etrias tra$etrias tra$etrias e ee e as as as as
linhas linhas linhas linhas de de de de emisso emisso emisso emisso no no no no so so so so coincidentes coincidentes coincidentes coincidentes
neste neste neste neste e&emplo, e&emplo, e&emplo, e&emplo, mas mas mas mas todas todas todas todas estas estas estas estas linhas linhas linhas linhas
seriam seriam seriam seriam idnticas idnticas idnticas idnticas se se se se o oo o escoamento escoamento escoamento escoamento
ocorresse ocorresse ocorresse ocorresse em em em em regime regime regime regime permanente permanente permanente permanente.
12/10/2012
17
4.# O CAMPO DE ACELERAO
Para a%li#ar a Se2un&a Lei &e Ne7on 46 66 6 % %% % m mm m. .. .a aa a5- ano a a<or&a2e! La2ran2eana
(uano na Euleriana- 1 ne#ess"rio es%e#ifi#ar a%ro%ria&a!ene a a#elera+0o &a
%ar3#ula.
Para o !1o&o &e La2ran2e 4#u.a a uili,a+0o n0o 1 fre(Wene5 1 es%e#ifi#a&a a
a#elera+0o &o flui&o &o !es!o !o&o uili,a&o na !e#'ni#a &os #or%os r32i&os.
Na Des#ri+0o Des#ri+0o Des#ri+0o Des#ri+0o Euleriana Euleriana Euleriana Euleriana $ es%e#ifi#a o #a!%o &e a#elera+0o 4fun+0o &a %osi+0o e
&o e!%o5 e n0o 1 analisa&o o !o)i!eno &a %ar3#ula isola&a- iso 1 an"lo2o a
&es#re)er o es#oa!eno #o! o #a!%o &e )elo#i&a&e V VV V !&, !&, !&, !&, (, (, (, (, 7, 7, 7, 7, t" t" t" t" e n0o #o! o
#on.uno &e )elo#i&a&e &as %ar3#ulas.
A a#elera+0o &e u!a %ar3#ula 1 a a9a &e )aria+0o &e sua )elo#i&a&e- e!
es#oa!eno e! re2i!e ransi;rio- a )elo#i&a&e nu!a &a&a %osi+0o 4o#u%a&a
%or &iferenes %ar3#ulas5 %o&e )ariar #o! o e!%o e- &ese !o&o- %ro%or#ionar
u!a a#elera+0o- !as u!a %ar3#ula flui&a a!<1! %o&e ser a#elera&a en(uano
es#oa &e u! %ono %ara ouro &e)i&o a )aria+0o &e sua )elo#i&a&e.
4.#.1 DERIVADA MATERIAL
Consi&eran&o a %ar3#ula flui&a (ue se !o)e ao lon2o &e u!a ra.e;ria.
Deri)a&a Deri)a&a Deri)a&a Deri)a&a Maerial Maerial Maerial Maerial $ 1 u!a &eri)a&a o!a&a ao lon2o &e u! #a!inPo
!o)en&o/se #o! )elo#i&a&e v vv v- &es#ria #o!o a a9a &e )aria+0o e! rela+0o
ao e!%o &e al2u!a (uani&a&e 4#alor- e!%eraura- )elo#i&a&e5 (ue es"
sen&o rans%ora&a %or #orrene flui&a.
Velo#i&a&e e Posi+0o
&e u!a %ar3#ula A AA A no
insane t tt t
12/10/2012
18
4.#.1 DERIVADA MATERIAL
A )elo#i&a&e &a %ar3#ula A, A, A, A, V VV VA AA A , ,, , 1 u!a fun+0o &e sua %osi+0o e &o e!%o- ou
se.a.
On&e6 & && &A AA A % %% % & && &A AA A !t", !t", !t", !t", ( (( (A AA A % %% % ( (( (A AA A !t", !t", !t", !t", 7 77 7A AA A % %% % 7 77 7A AA A !t", !t", !t", !t", &efine! a %osi+0o &a %ar3#ula flui&a.
A a#elera+0o &a %ar3#ula 1 i2ual a a9a &e )aria+0o &e sua )elo#i&a&e6
Co!o a )elo#i&a&e %o&e ser u!a fun+0o &a %osi+0o e &o e!%o- seu )alor
%o&e ser alera&o e! fun+0o &a )aria+0o &o e!%o- <e! #o!o- &e)i&o a
!u&an+a &e %osi+0o.
4.#.1 DERIVADA MATERIAL
Uili,an&o/se a re2ra &a #a&eia &a &iferen#ia+0o %ara o<er a a#elera+0o &a
%ar3#ula A AA A- e!/se6
Le!<ran&o (ue u uu uA AA A % %% % d& d& d& d&A AA A/dt, /dt, /dt, /dt, v vv vA AA A % %% % d( d( d( d(A AA A/dt /dt /dt /dt e 8 88 8A AA A % %% % d7 d7 d7 d7A AA A/dt /dt /dt /dt- %o&e/se rees#re)er a
e(ua+0o anerior &o se2uine !o&o6
Generali,an&o6 V!u, V!u, V!u, V!u, v, v, v, v, 8" 8" 8" 8"
4?.I5 4?.I5 4?.I5 4?.I5
4?.V5 4?.V5 4?.V5 4?.V5
12/10/2012
19
4.#.1 DERIVADA MATERIAL
Os #o!%onenes es#alares &esa e(ua+0o )eorial s0o6
On&e6 a& a& a& a&- a( a( a( a( e a7 a7 a7 a7 s0o os #o!%onenes &o )eor a#elera+0o nas &ire+8es &, &, &, &, ( (( ( e
7 77 7.
O resula&o anerior !uias )e,es 1 es#rio #o!o6
4?.?5 4?.?5 4?.?5 4?.?5
4.#.1 DERIVADA MATERIAL
On&e o o%era&or
1 &eno!ina&o derivada derivada derivada derivada material material material material ou derivada derivada derivada derivada su9stantiva su9stantiva su9stantiva su9stantiva.
U!a oura noa+0o 16
4V 4V 4V 4V. .. . 5 55 5 4 44 4 5 55 5 $ 1 o %ro&uo es#alar &a )elo#i&a&e- V VV V- #o! o o%era&or 2ra&iene-
4?.K5 4?.K5 4?.K5 4?.K5
4?.U5 4?.U5 4?.U5 4?.U5
1 11 1 u! u! u! u! o%era&or o%era&or o%era&or o%era&or )eorial- )eorial- )eorial- )eorial- forne#e forne#e forne#e forne#e u!a u!a u!a u!a
noa+0o noa+0o noa+0o noa+0o #on)eniene #on)eniene #on)eniene #on)eniene %ara %ara %ara %ara as as as as
&eri)a&as &eri)a&as &eri)a&as &eri)a&as es%a#iais es%a#iais es%a#iais es%a#iais (ue (ue (ue (ue a%are#e! a%are#e! a%are#e! a%are#e!
na na na na re%resena+0o re%resena+0o re%resena+0o re%resena+0o #aresiana #aresiana #aresiana #aresiana &a &a &a &a
&eri)a&a &eri)a&a &eri)a&a &eri)a&a !aerial !aerial !aerial !aerial. .. .
12/10/2012
20
4.#.1 DERIVADA MATERIAL
O<ser)e (ue a noa+0o re%resena o o%era&or6
: :: : conceito conceito conceito conceito de de de de ;erivada ;erivada ;erivada ;erivada <aterial <aterial <aterial <aterial muito muito muito muito =til =til =til =til na na na na an>lise an>lise an>lise an>lise de de de de v>rios v>rios v>rios v>rios parmetros parmetros parmetros parmetros
do do do do escoamento escoamento escoamento escoamento e ee e no no no no apenas apenas apenas apenas na na na na an>lise an>lise an>lise an>lise da da da da acelerao acelerao acelerao acelerao. .. . A AA A ;erivada ;erivada ;erivada ;erivada <aterial <aterial <aterial <aterial
de de de de qualquer qualquer qualquer qualquer vari>vel vari>vel vari>vel vari>vel igual igual igual igual a aa a ta&a ta&a ta&a ta&a com com com com que que que que a aa a vari>vel vari>vel vari>vel vari>vel muda muda muda muda com com com com o oo o tempo tempo tempo tempo
para para para para uma uma uma uma dada dada dada dada partcula partcula partcula partcula !como !como !como !como um um um um o9servador o9servador o9servador o9servador que que que que se se se se move move move move solid>rio solid>rio solid>rio solid>rio ao ao ao ao
escoamento escoamento escoamento escoamento ' '' ' ;escrio ;escrio ;escrio ;escrio ?agrangeana ?agrangeana ?agrangeana ?agrangeana" "" ". .. .
EXEMPLO 4.4
A Fi2. E ?.?a !osra o es#oa!eno in#o!%ress3)el- in)3s#i&o e e! re2i!e
%er!anene &e u! flui&o ao re&or &e u!a esfera &e raio a aa a. De a#or&o #o!
u!a an"lise !ais a)an+a&a &ese es#oa!eno- a )elo#i&a&e &o flui&o ao
lon2o &a linPa &e #orrene A AA A . .. . @ @@ @ 1 &a&a %or6
On&e Vo Vo Vo Vo 1 a )elo#i&a&e ao lon2e &a esfera. Deer!ine a a#elera+0o i!%osa
nu!a %ar3#ula flui&a en(uano ela es#oa ao lon2o &esa linPa &e #orrene.
12/10/2012
21
EXEMPLO 4.4
Aoluo Aoluo Aoluo AoluoB BB B Ao lon2o &a linPa &e #orrene A $ X s; e9ise u! #o!%onene &o
)eor )elo#i&a&e- %ois v vv v % %% % 8 88 8 % %% % , ,, ,. Assi!- a E(. ?.V fi#a resu!i&a a6
Co!o o re2i!e &o es#oa!eno 1 o %er!anene- a )elo#i&a&e nu! &a&o
%ono n0o )aria ao lon2o &o e!%o e- &ese !o&o- YuC Y B >. Uili,an&o a
&isri<ui+0o &e )elo#i&a&e forne#i&a-
ou
EXEMPLO 4.4
Noe (ue- ao lon2o &a linPa &e #orrene A $ X 4' '' ' C CC C 4 44 4 & && & 4 44 4 ' '' 'a aa a e ee e ( (( ( % %% % , ,, ,5- o )eor
a#elera+0o a%resena a%enas o #o!%onene & && & e (ue o )alor &ese
#o!%onene 1 ne2ai)o.
Assi!- o flui&o &esa#elera &a )elo#i&a&e ao lon2e- e! & && & % %% % ' '' ' C CC C- a1 a
)elo#i&a&e nula- V VV V % %% % , ,, , e! & && & % %% % ' '' 'a aa a 4%ono &e esa2na+0o5.
O #o!%ora!eno &e a& a& a& a& ao lon2o &a linPa &e #orrene A $ X es" !osra&o
na Fi2ura. E?.?<.
12/10/2012
22
EXEMPLO 4.4
Ese resula&o 1 i2ual a(uele o<i&o no E9e!%lo V.@ e (ue foi #al#ula&o a
%arir &a a#elera+0o na &ire+0o &a linPa &e #orrene a& a& a& a& % %% % V VV V. .. .DV/ DV/ DV/ DV/ Ds Ds Ds Ds.
A &esa#elera+0o !"9i!a o#orre e! & && & % %% % ' '' ' 1 11 1, ,, ,2,E 2,E 2,E 2,Ea aa a e- nese lo#al- a a#elera+0o
a%resena !;&ulo i2ual a . .. . , ,, ,, ,, ,F1 F1 F1 F1Vo Vo Vo Vo
2 22 2
/a /a /a /a.
L i!%orane ressalar (ue- &e !o&o 2eral- as %ar3#ulas (ue es#oa! e!
ouras linPas &e #orrene a%resena! os rMs #o!%onenes &o )eor
a#elera+0o 4a&, a&, a&, a&, a( a( a( a( e a7 a7 a7 a75 n0o nulos.
N;s %o&e!os en#onrar a#elera+0o 4ou &esa#elera+0o5 <asane inensas
nos es#oa!enos.
EXEMPLO 4.4
Consi&ere o es#oa!eno &e ar e! orno &e u!a <ola &e N<ase<allO (ue
a%resena raio a aa a % %% % GH GH GH GHmm mm mm mm e (ue se &eslo#a #o! )elo#i&a&e &e GG GG GG GG, ,, ,I II Im/s m/s m/s m/s. De
a#or&o #o! o resula&o &o E9e!%lo ?.? a !"9i!a &esa#elera+0o en#onra&a
na linPa &e #orrene fronal a <ola 1 &a&o %or6
Jote Jote Jote Jote que que que que est> est> est> est> acelerao acelerao acelerao acelerao , , , , apro&imadamente, apro&imadamente, apro&imadamente, apro&imadamente, H,,, H,,, H,,, H,,, ve7es ve7es ve7es ve7es maior maior maior maior do do do do que que que que a aa a
da da da da gravidade gravidade gravidade gravidade. .. . A AA A acelerao, acelerao, acelerao, acelerao, ou ou ou ou desacelerao, desacelerao, desacelerao, desacelerao, das das das das partculas partculas partculas partculas fluidas fluidas fluidas fluidas podem podem podem podem
ser ser ser ser 9astante 9astante 9astante 9astante grandes grandes grandes grandes em em em em muitos muitos muitos muitos escoamentos escoamentos escoamentos escoamentos. .. .