LIMIT FUNGSI

Oleh :
RESWITA
APA ITU LIMIT?
Arti kata:
batas, membatasi, mempersempit,
mendekatkan.
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI

Dalam kehidupan sehari-hari, orang

sering dihadapkan pada masalah-
masalah pendekatan suatu
nilai/besaran.
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI

Contoh:
a. Letak rumah Budi dekat dengan rumah Tono.
b. Ketika hari sudah mendekati senja, datanglah yang ditunggu-
tunggu.
c. Nilai ujian matematika Anton hampir 9.
d. ……dst.

Pertanyaan:
Seberapa dekat/mendekati/hampir besaran-besaran atau nilai-
nilai pada contoh di atas dengan besaran/nilai yang
sebenarnya?
LATAR BELAKANG DAN MOTIVASI

Dari ketiga contoh tersebut, kita

mungkin tidak mengetahui
letak/dekat/nilai yang sesungguhnya.
CONTOH-CONTOH LAIN TERKAIT
DENGAN MASALAH PENDEKATAN

1 1 1 1 1 31
    
2 4 8 16 32 32

………………..
1 1 1  1 2 
n
1 1 1 1 1
     ...  n 
2 4 8 16 32 2 2 1  1 2 

………………….dst.
CONTOH-CONTOH LAIN TERKAIT
DENGAN MASALAH PENDEKATAN

Apabila jumlahan dilakukan untuk n “sangat besar”,

maka hasil jumlahan akan “mendekati” 1.
SIFAT-SIFAT DASAR LIMIT FUNGSI
(i) lim k  k
x c

(ii) lim x  c
x c

(iii) Jika lim f ( xdan

) lim g (ada,
x) dan kR
xc xc
maka:

(a)lim
x c
 f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)
x c x c

(b)lim kf ( x )  k lim f ( x)
x c x c
SIFAT-SIFAT DASAR LIMIT FUNGSI

(c)lim
x c
 f ( x).g ( x)  lim f ( x). lim g ( x)
x c x c

f ( x) lim f ( x)
(d)lim  x c , asalkan lim g ( x)  0
x c g ( x ) lim g ( x) x c
x c
CONTOH-CONTOH
1. 
Hitung lim 3 x 2  x  6.
x  1

Penyelesaian:


x  1

lim 3 x  x  6  lim 3 x  lim x  lim 6
2
x  1
2
x  1 x  1

 3 lim x  (1)  6
2


x  1


 3 lim x  1  6
x  1
2

 3(1) 2  1  6  2
CONTOH-CONTOH

x 2  2 x  15
2. Hitung lim .
x2 x3
Penyelesaian:

x  2 x  15
2 
lim x 2  2 x  15 
lim  x2
x2 x3 limx  3

lim x   2 lim x  lim15 2  2.2  15

x2
2
2
 x2 x2

x2
lim x  lim 3 23
x2 x2

 3
CONTOH-CONTOH
x 2  3x  2
4. Hitung lim .
x 1 x 1
2

Penyelesaian:
Karena lim
x 1
x 2
 1  0 dan limx 2  3 x  2,  0
x 1

maka sifat
f ( x) lim f ( x)
lim  x c
x c g ( x ) lim g ( x)
x c

tak dapat langsung digunakan. Apakah dengan demikian

limit yang ditanyakan menjadi tak ada?
CONTOH-CONTOH
Perhatikan bahwa untuk x,  1 .

x 2  3 x  2 ( x  1)( x  2) x  2
 
x 1
2
( x  1)( x  1) x  1
Oleh karena itu, ,

x 2  3x  2 x2
lim  lim
x 1 x 1
2 x 1 x  1

lim( x  2) 1  2 1
 x 1
 
lim( x  1) 1  1 2
x 1
LIMIT TAK HINGGA
Untuk c  , definisi limit dapat dituliskan sebagai
berikut.

Definisi: Fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk x

mendekati ∞ , ditulis

lim f ( x)  L
x 
jika untuk nilai x yang “sangat besar tak terbatas” arah
positif berakibat f(x) “mendekati” L.
LIMIT TAK HINGGA
Untuk c  , definisi limit dapat dituliskan sebagai
berikut.

Definisi: Fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk x

mendekati ─∞ , ditulis

lim f ( x)  L
x  
jika untuk nilai x yang “sangat besar tak terbatas” arah
negatif berakibat f(x) “mendekati” L.
LIMIT TAK HINGGA
Definisi: Fungsi f dikatakan mempunyai limit tak hingga
untuk x mendekati c , ditulis

lim f ( x)  
x c
jika untuk nilai x yang “sangat dekat” dengan c, tetapi
x  c nilai f(x) menjadi “besar tak terbatas” arah
berakibat
positif.
LIMIT TAK HINGGA
Definisi: Fungsi f dikatakan mempunyai limit negatif tak
hingga untuk x mendekati c , ditulis

lim f ( x)  
x c
jika untuk nilai x yang “sangat dekat” dengan c, tetapi
x  c nilai f(x) menjadi “besar tak terbatas” arah
berakibat
negatif.
LIMIT TAK HINGGA
Definisi: Fungsi f dikatakan mempunyai limit tak hingga
untuk x mendekati tak hingga , ditulis

lim f ( x)  
x 
jika untuk nilai x yang “cukup besar” arah positif,
berakibat nilai f(x) menjadi “besar tak terbatas” arah
positif.
LIMIT TAK HINGGA
Dari definisi-definisi di atas, mudah dipahami:

1
1. lim  , untuk x  0
x 0 x

1
2. lim  , untuk x  0
x 0 x

1
3. lim  0 5. lim x  
x  x x 

1
4. lim  0 6. lim x  
x   x x  
CONTOH1
CONTOH 2
8.
SELESAI