PERTEMUAN 11:

LIMIT FUNGSI

A. TUJUAN PEMBELAJARAN
Teorama tentang limit merupakan akar dari aljabar kalkulus. Dalam bab
ini akan dibahas mengenai limit fungsi. Setelah mempelajari bab ini, Anda
diharapkan mampu: menyelesaikan perhitungan menggunakan konsep limit.

B. URAIAN MATERI
Tujuan Pembelajaran 11.1:
menyelesaikan perhitungan menggunakan konsep limit

LIMIT FUNGSI ALJABAR

Pengertian Limit Fungsi
Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan berkembang apabila
variabel di dalam fungsi yang bersangkutan terus menerus berkembang
mendekati suatu nilai tertentu. Notasi untuk limit fungsi:
( )

Dibaca “ limit fungsi f(x) untuk x mendekati a adalah L. Artinya jika variabel
x berkembang secara terus menerus hingga mendekati bilangan tertentu a,
maka nilai fungsi f(x) pun akan berkembang hingga mendekati L. Pada notasi
tersebut x → a harus ditafsirkan sebagai x mendekati a, dan bukan berarti x =
a.
Untuk dapat memahami pengertian limit, perhatikanlah contoh berikut:
x2  x  2
Fungsi f di definisikan sebagai f(x) =
x2
0
Jika variabel x diganti dengan 2, maka f(x) = (tidak dapat ditemukan)
0
Untuk itu perhatikanlah tabel berikut :
x 0 1,1 1,5 1,9 1,999 2.000 2,001 2,01 2,5 2,7
f(x) 1 2,1 2,5 2,9 2,999 ??? 3,001 3,01 3,5 3,7

125
 x2  x  2
Dari uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa f (x) = :
x2
mendekati 3. jika x mendekati 2, baik didekati dari sebelah kiri (disebut
limit kiri) maupun di dekati dari sebelah kanan (disebut limit kanan).
x2  x  2
Dapat ditulis : lim 3
x 2 x2

Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Nilai

Tertentu
Menentukan limit dengan cara diatas tidaklah efisien. Untuk
mengatasinya, kita dapat menentukan nilai limit suatu fungsi dengan
beberapa cara, yaitu:
a. Subtitusi
Perhatikanlah contoh berikut!
Contoh:
Tentukan nilai 
lim x2  8 !
x 3

Penyelesaian :
Nilai limit dari fungsi f(x) = x2 – 8 dapat kita ketahui secara langsung,
yaitu dengan cara mensubtitusikan x =3 ke f(x)
 
lim x2  8  32  8  9  8  1
x 3

Artinya bilamana x dekat 3 maka x2 – 8 dekat pada 32 – 8 =9 – 8 = 1

Dengan ketentuan sebagai berikut:
a) Jika f (a) = c, maka lim f ( x)  a
x a

c
b) Jika f (a) = , maka lim f ( x) ~
0 x a

0
c) Jika f (a) = , maka lim f ( x)  0
c x a

b. Pemfaktoran
Cara ini digunakan ketika fungsi-fungsi tersebut bisa difaktorkan
sehingga tidak menghasilkan nilai tak terdefinisi.
Perhatikanlah contoh berikut!

126
 Contoh:
x2  9
Tentukan nilai lim !
x 3 x  3

32  9 0
Jika x = 3 kita subtitusikan maka f (3) =  .
33 0
Kita telah mengetahui bahwa semua bilangan yang dibagi dengan 0
x2  9
tidak terdefinisi. Ini berarti untuk menentukan nilai lim , kita
x 3 x  3

harus mencari fungsi yang baru sehingga tidak terjadi pembagian

dengan nol. Untuk menentukan fungsi yang baru itu, kita tinggal
menfaktorkan fungsi f(x) sehingga menjadi:

x  3x  3  x  3.  x  3   1
x  3  x 3

Jadi, lim
x2  9
= lim
x  3x  3
x 3 x  3 x 3 x  3
= lim x  3
x 3

=3+3=6
c. Merasionalkan Penyebut
Cara yang ke-tiga ini digunakan apabila penyebutnya berbentuk akar
yang perlu dirasionalkan, sehingga tidak terjadi pembagian angka 0
dengan 0.
Perhatikanlah contoh berikut!
Contoh:
x 2  3x  2
Tentukan nilai lim
x 2 x2
Penyelesaian:

x 2  3x  2 x 2  3x  2 x  2
lim = lim .
x 2 x2 x 2 x2 x2

x 2
 3x  2  x2 
 
= lim 2
x 2
x2

127
 = lim
x  1x  2 x2 
x 2  x  2
= lim x  1 x  2
x 2

= 2  1. 2  2
=1.0
=0
d. Merasionalkan Pembilang
Perhatikanlah contoh berikut!
Contoh:

3x  2  4 x  3
Tentukan nilai lim !
x 1 x 1
Penyelesaian:

3x  2  4 x  3
lim
x 1 x 1
3x  2  4 x  3 3x  2  4 x  3
= lim .
x 1 x 1 3x  2  4 x  3

  
2
3x  2  4 x  3 2

= lim

x 1  x  1 3x  2  4 x  3 
 x 1
x  1 
= lim
x 1 3x  2  4 x  3
 x  1
x  1 
= lim
x 1 3x  2  4 x  3
1
= lim
x 1 3x  2  4 x  3
1
=
3.1  2  4.1  3
1 1 1
= = = 
1  1 11 2

128
2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Tak
Berhingga
Bentuk limit fungsi aljabar yang variabelnya mendekati tak
berhingga,diantaranya:

dan lim  f ( x)  g ( x)

f ( x)
lim
x~ g ( x) x ~

Dalam limit fungsi aljabar mendekati tak berhingga, kita harus mengenal
nilai yang boleh atau tidak boleh berikut:
Nilai yang boleh (Nilai tentu): Nilai yang tidak boleh (Nilai Tak Tentu):
=k

=0

=0

= 00
-
k. =

Untuk menentukan nilai limit dari bentuk-bentuk tersebut, dapat dilakukan

cara-cara sebagai berikut:
a. Membagi dengan pangkat tertinggi
f ( x)
Cara ini digunakan untuk mencari nilai lim . Caranya dengan
x~ g ( x)
membagi f(x) dan g(x) dengan pangkat yang tertinggi dari n yang
terdapat pada f(x ) atau g (x).
Contoh:
Tentukan nilai limit dari:
4x  1
a. lim
x ~ 2 x  1

4x  1
b. lim
x ~ x2  x

c.

129
Penyelesaian:
4x  1
a. untuk menentukan nilai dari lim perhatikan pangkat
x ~ 2x  1
tertinggi dari x pada f (x ) = 4x – 1 dan g(x) = 2x + 1. ternyata
pangkat tertinggi dari x adalah satu.
4x 1

4x  1
lim = lim x x
x ~ 2 x  1 x ~ 2 x 1

x x
1
4
= lim x
x ~ 1
2
x
1
4
= ~
1
2
~
40 4
= = =2
20 2
4x  1
b. Perhatikan fungsi h (x) = ! Fungsi tersebut memiliki x
x2  2
dengan pangkat tertinggi 2, yaitu x2 yang terdapat pada x2 – 2. jadi,
4x  1
untuk menentukan nilai lim maka fungsi 4x + 1 dan x2 – 2
x ~ x 2  x

harus dibagi dengan x2 .

4x 1
 2
4x  1 2
lim 2 = lim x 2 x
x ~ x  x x ~ x 2
2
 2
x x
4 1
 2
= lim x x
x ~ 2
1 2
x
4 1
 2
~ (~)
=
2
1 2
(~)

130
 00
=
1 0
0
= = 0
1

c. dalam fungsi tersebut pangkat tertinggi adalah 5, maka

pembilang dan penyebut dibagi dengan x5.

= = = = =

b. Mengalikan dengan faktor lawan

Cara ini digunakan untuk menyelesaikan lim  f ( x)  g ( x) . Jika kita
x ~

dimitai menyelesaikan lim  f ( x)  g ( x) maka kita harus mengalikan

x ~

[f (x)  g (x)]
[f (x) + g (x)] dengan sehingga bentuknya menjadi:
[f (x)  g (x)]
[f (x)  g (x)]
lim  f ( x)  g ( x) .
x ~ [f (x)  g (x)]

= lim
[f (x)]  [g (x)]2
2

ataupun sebaliknya.
x~ f (x)  g (x)
Contoh:

Tentukan nilai dari lim x 2  2 x  x 2  x

x ~

Penyelesaian:

lim x 2  2 x  x 2  x
x ~

x2  2x  x2  x
= lim x  2 x  x  x .
2 2
x ~
x2  2x  x2  x

= lim
x 2
 
 2  x2  1 
x ~
x2  2x  x2  x
3x
= lim
x ~
x  2x  x2  x
2

3x
= lim x
x ~
x2 2x x2 x
  
x2 x2 x2 x2

131
 3
=
1 0  1 0
3
=
2

B. TEOREMA LIMIT
Teorema limit yang akan disajikan berikut ini yang sangat berguna dalam
menangani hampir semua masalah limit. Misalkan n bilangan bulat positif, k
sebuah konstanta dan f, g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di a
maka:
1. lim k  k
x a

2. lim x  a
x a

3. lim k f (x) = k lim f (x)

x a x a

4. lim [f (x) ± g (x)] = lim f (x) ± lim g (x)

x a xa xa

5. lim v [f (x) . g (x)] = lim f (x) . lim g (x)

xa xa xa

f ( x) lim f ( x)
6. lim  x a , dimana lim g(x) ≠ 0
x a g ( x) lim g ( x) xa
x a

7. lim [f (x) ]n = [ lim f (x)]n

xa xa

8. lim n f ( x)  n lim f ( x) dimana

x a x a

lim f (x)  0 untuk n bilangan genap

xa

lim f (x) ≤ 0 untuk n bilangan ganjil

xa

Contoh:

x2  9
Carilah
x 4

a. lim 3x  x ! 2
 b. lim
x 3 2x

132
Penyelesaian:

x 4
 
a) lim 3x 2  x = lim 3x 2  lim x
x 4 x 4
(teorema 4)

= 3 lim x 2  lim x (teorema 3)

x 4 x 4

 
= 3 lim x  lim x
x 4
2
x 4
(teorema 7)

= 3. (4)2 – 4 (teorema 2)

= 3. 16 – 4 = 44

x2  9 lim x 2  9
b) lim = x 3 (teorema 6)
x 3 2x lim 2 x
x 3

lim ( x 2  9)
x 3
= (teorema 8 dan 3)
2 lim x
x 3

lim x2  lim 9
x 3 x 3
= (teorema 4)
2 lim x
x 3

(lim x) 2  lim 9
x 3 x 3
= (teorema 7)
2 lim x
x 3

32  9
= (teorema 1 dan 2)
2.3

18 3 1
= = 2 = 2
6 6 2

133
C. SOAL LATIHAN/TUGAS
1. ( )
2. ( )( )
3. √
4.

5.

6. √

7.

8.

9.

10.

D. DAFTAR PUSTAKA
Buku
Nugroho, Yulianto dkk. 2014. Matematika Ekonomi Dan Bisnis. Jakarta:
Rajawali Pers.
Atmaja Saputra. 2002. Matematika Ekonomi 1. Bandung: Ghalia Indonesia.
Dumairy. 2012. Matematika Terapan Untuk Bisnis Dan Ekonomi.
Yogyakarta: BPFE.

134