LIMIT TAK HINGGA

LIMIT FUNGSI

Limit Fungsi. Limit fungsi f(x) merupakan nilai hampiran dari f(x) untuk nilai x
mendekati nilai tertentu misal x=a. Bentuk umum : Lim f(x)
x->a
Jika diketahui dua buah fungsi f(x) dan g(x) masing-masing memiliki sebuah nilai
limit, maka jumlah, selisih, perkalian, dan pembagian dari kedua fungsi tersebut
juga mempunyai sebuah nilai limit. Di bawah ini sifat-sifat limit fungsi aljabar :

1. Limit penjumlahan fungsi

merupakan penjumlahan limit masing-masing fungsi.
lim (f(x) +g(x)) = lim f(x) + lim g(x)
2. Limit selisih fungsi
merupakan selisih limit masing-masing fungsi.
lim (f(x) – g(x)) = lim f(x) – lim g(x)
3. Limit perkalian fungsi
merupakan perkalian limit masing-masing fungsi.
lim (f(x).g(x)) = lim f(x) . lim g(x)
4. Limit pembagian fungsi
merupakan pembagian limit masing-masing fungsi.
f ( x) lim f ( x )
lim = lim g ( x)
g ( x)

A. LIMIT FUNGSI ALJABAR

 Limit hingga adalah limit yang mempunyai nilai hampiran, dan nilai ini
menghampiri nilai tersebut. spt X 0 atau X 1 dan lain-lain.
Contoh : 1 1
lim  0
x 0 x 0

x 1 11 2
lim   1
x 1 2 2 2

1
 Limit Tak Hingga
Limit tak hingga adalah limit yang tidak memiliki nilai hampiran. Dan
limit tersebut tidak terbatas nilainya. spt limit x ∞
Contoh: x 
lim  1
x  x 

1. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Nilai

Tertentu

Menentukan limit dengan cara diatas tidaklah efisien. Untuk

mengatasinya, kita dapat menentukan nilai limit suatu fungsi dengan
beberapa cara, yaitu:
a. Subtitusi
Perhatikanlah contoh berikut!
Contoh:

Tentukan nilai lim

x 3

x2  8 ! 
Penyelesaian :
Nilai limit dari fungsi f(x) = x2 – 8 dapat kita ketahui secara langsung,
yaitu dengan cara mensubtitusikan x =3 ke f(x)
lim x 2  8  32  8  9  8
x 3

1
Artinya bilamana x dekat 3 maka x2 – 8 dekat pada 32 – 8 =9 – 8 = 1
Dengan ketentuan sebagai berikut:

a) Jika f (a) = c, maka lim f ( x)  a

xa

c f ( x)  ~
b) Jika f (a) = , maka lim
xa
0
0 f ( x)  0
c) Jika f (a) = , maka lim
xa
c

2
b. Pemfaktoran
Cara ini digunakan ketika fungsi-fungsi tersebut bisa difaktorkan
sehingga tidak menghasilkan nilai tak terdefinisi.
Perhatikanlah contoh berikut!
Contoh:
x2  9
Tentukan nilai lim !
x 3 x3
32  9 0
Jika x = 3 kita subtitusikan maka f (3) =  .
33 0
Kita telah mengetahui bahwa semua bilangan yang dibagi dengan 0

x2  9
tidak terdefinisi. Ini berarti untuk menentukan nilai lim , kita
x 3 x3
harus mencari fungsi yang baru sehingga tidak terjadi pembagian
dengan nol. Untuk menentukan fungsi yang baru itu, kita tinggal
menfaktorkan fungsi f (x) sehingga menjadi:

 x  3 x  3   x  3.  x 3

  1
 x  3  x 3

x 2  9 lim  x  3 x  3
Jadi, lim = x 3
x 3 x3  x  3
= lim
x 3
 x  3
=3+3=6

c. Merasionalkan Penyebut
Cara yang ke-tiga ini digunakan apanila penyebutnya berbentuk akar
yang perlu dirasionalkan, sehingga tidak terjadi pembagian angka 0
dengan 0.
Perhatikanlah contoh berikut!
Contoh:
x 2  3x  2
Tentukan nilai lim !
x2 x2

3
 Penyelesaian:
x 2  3x  2 x 2  3x  2 x2
lim = lim .
x2 x2 x2 x2 x2

= lim
x 2
 3x  2  x2 
x2
  x2
2

 x  1 x  2  x2 
= lim
x2  x  2
= lim
x2
 x  1 x  2
=  2  1. 22

=1.0
=0

d. Merasionalkan Pembilang
Perhatikanlah contoh berikut!
Contoh:
3x  2  4 x  3
Tentukan nilai lim !
x 1 x 1

Penyelesaian:
3x  2  4 x  3
lim
x 1 x 1

3x  2  4 x  3 3x  2  4x  3
= lim .
x 1 x 1 3x  2  4x  3

= lim
  
2
3x  2  4 x  3  2

x 1  x  1 
3x  2  4 x  3 
 x 1
= lim
x 1  x  1  3x  2  4 x  3 
  x  1
= lim
x 1  x  1  3x  2  4 x  3 
1
= lim
x 1 3x  2  4 x  3

4
 1
=
3 .1  2  4 .1  3
1 1 1
= = = 
1 1 11 2

2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Tak

Berhingga

Bentuk limit fungsi aljabar yang variabelnya mendekati tak

berhingga,diantaranya:

lim
f ( x)
dan lim  f ( x )  g ( x )
x ~ g ( x) x~

Untuk menentukan nilai limit dari bentuk-bentuk tersebut, dapat dilakukan

cara-cara sebagai berikut:

a. Membagi dengan pangkat tertinggi

f ( x)
Cara ini digunakan untuk mencari nilai lim . Caranya dengan
x ~ g ( x)

membagi f(x) dan g(x) dengan pangkat yang tertinggi dari n yang
terdapat pada f(x ) atau g (x).
Contoh:
Tentukan nilai limit dari:
4x  1 4x  1
a. lim b. lim
x~ 2x  1 x ~ x2  x
Penyelesaian:
4x  1
a. untuk menentukan nilai dari lim perhatikan pangkat
x~ 2x  1
tertinggi dari x pada f (x ) = 4x – 1 dan g(x) = 2x + 1. ternyata
pangkat tertinggi dari x adalah satu.
4x 1

4x  1
lim = lim x x
x~ 2x  1 x ~ 2 x 1

x x

5
 1
4
= lim x
x~ 1
2
x
1
4
= ~
1
2
~
40 4
= = =2
20 2

4x  1
b. Perhatikan fungsi h (x) = ! Fungsi tersebut memiliki x
x2  2
dengan pangkat tertinggi 2, yaitu x2 yang terdapat pada x2 – 2. jadi,

4x  1
untuk menentukan nilai lim maka fungsi 4x + 1 dan x2 – 2
x ~ x2  x
harus dibagi dengan x2 .
4x 1
 2
4x  1 x 2
x
lim 2
x ~ x  x
= lim
x~ x2 2
2
 2
x x
4 1
 2
= lim x x
x~ 2
1 2
x
4 1

~ (~) 2
=
2
1
(~) 2
00
=
1 0
0
= = 0
1

b. Mengalikan dengan faktor lawan

6
 Cara ini digunakan untuk menyelesaikan lim
x~
 f ( x)  g ( x) . Jika kita

dimitai menyelesaikan lim

x~
 f ( x)  g ( x) maka kita harus mengalikan

[f (x)  g (x)]
[f (x) + g (x)] dengan sehingga bentuknya menjadi:
[f (x)  g (x)]

lim f ( x)  g ( x) . [f (x)  g (x)]

x~ [f (x)  g (x)]

= lim
[f (x)]  [g (x)]2
2
 ataupun sebaliknya.
x ~ f (x)  g (x)

Contoh:

Tentukan nilai dari lim x2  2x  x2  x

x~

Penyelesaian:

lim x 2  2 x  x 2  x
x~

x2  2x  x2  x
= lim x2  2x  x2  x .
x~
x2  2x  x2  x

= lim
x 2
 
 2  x2  1 
x~
x2  2x  x2  x
3x
= lim
x~
x  2x  x2  x
2

3x
x
= lim
x ~
x2 2x x2 x
  
x2 x2 x2 x2
3
=
1 0  1 0
3
=
2

B. TEOREMA LIMIT

7
Teorema limit yang akan disajikan berikut ini yang sangat berguna dalam
menangani hampir semua masalah limit. Misalkan n bilangan bulat positif, k
sebuah konstanta dan f, g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di a
maka:

1. lim k k
xa

2. lim xa
xa

3. lim
x a
k f (x) = k lim f (x)
x a

4. lim
x a
[f (x) ± g (x)] = lim
x a
f (x) ± lim
x a
g (x)

5. lim
x a
v [f (x) . g (x)] = lim
x a
f (x) . lim
x a
g (x)

f ( x) lim f ( x)
6. lim  x a , dimana lim g(x) ≠ 0
xa g ( x) lim g ( x) x a
xa

7. lim
x a
[f (x) ]n = [ lim
x a
f (x)]n

n f ( x )  n lim f ( x )
8. lim
xa xa
dimana

lim f (x)  0 untuk n bilangan genap

x a

lim f (x) ≤ 0 untuk n bilangan ganjil

x a

Contoh:

Carilah a. lim
x 4
 
3x 2  x ! b. lim
x2  9
x 3 2x

Penyelesaian:

a) lim
x 4
 
3 x 2  x = lim 3 x 2  lim x
x4 x 4
(teorema 4)

8
 = 3 lim x 2  lim x (teorema 3)
x4 x4

 
= 3 lim
x 4
x  lim x
x 4
2
(teorema 7)

= 3. (4)2 – 4 (teorema 2)

= 3. 16 – 4 = 44

x2  9 lim x  9 2

b) lim = x 3 (teorema 6)
x 3 2x lim 2 x
x 3

lim( x 2  9)
x 3
= (teorema 8 dan 3)
2 lim x
x 3

lim x 2  lim 9
x 3 x 3
= (teorema 4)
2 lim x
x 3

(lim x) 2  lim 9
x 3 x 3
= (teorema 7)
2 lim x
x 3

32  9
= (teorema 1 dan 2)
2. 3

18 3 1
= = 2 = 2
6 6 2

C. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Rumus limit fungsi trigonometri:
a. Limit fungsi sinus

9
 x
1. lim 1
x 0 sin x
sin x
2. lim 1
x 0 x
ax ax a
3. lim 1 → lim 
x 0 sin ax x  0 sin bx b
sin ax sin ax a
4. lim 1 → lim 
x 0 ax x 0 bx b

b. Limit fungsi tangens

x
1. lim 1
x 0 tan x
tan x
2. lim 1
x 0 x
ax ax a
3. lim 1 → lim 
x 0 tan ax x 0 tan bx b
tan ax tan ax a
4. lim 1 → lim 
x 0 ax x 0 bx b
Contoh:
Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi trigonometri berikut!
sin 3 x sin 5 x
a. lim b. lim
x 0 2x x 0 sin 2 x

Penyelesaian:
sin 3 x sin 3 x 3 x
a. lim = lim .
x 0 2x x 0 3x 2x
sin 3 x 3x
= lim . lim
x 0 3x x  0 2 x
3 3
=1. =
2 2
sin 5 x sin 5 x 2 x 5 x
b. lim = lim . .
x 0 sin 2 x x 0 5 x sin 2 x 2 x
sin 5 x 2x 5x
= lim . lim . lim
x 0 5 x x 0 sin 2 x x 0 2 x

10
 5 5
= 1. 1 . =
2 2

Daftar Pustaka

Robiyatun, Alifah, Sinar(Siswa Rajin Belajar) (Sinar Mandiri: Klaten. tt)

Sudrajat, Asep, Prestasi Matematika 2 (Ganeca Axact: Bandung. 2000)

11
12