Slide INF201 Graf
Slide INF201 Graf
Slide INF201 Graf
Jawa Tengah
1
Defenisi Graf
Adalah pasangan himpunan (Vertices atau
node atau simpul, Edges atau arcs atau sisi)
yang menghubungkan sepasang simpul.
Node tidak boleh kosong, sedangkan sisi
boleh.
Node pada graf biasanya dinomori dengan
huruf seperti a, b, c, ... Dengan angka 1, 2,
3, ... Sedangkan sisi biasa ditandai dengan no
urut sisi seperti e1, e2, e3, ...
2
Beberapa Graf Khusus
a. Graf Lengkap (Complete Graph)
Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap simpulnya mempunyai sisi
ke semua simpul lainnya. Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan
dengan Kn. Jumlah sisi pada graf lengkap yang terdiri dari n buah simpul
adalah n(n – 1)/2.
K1 K2 K3 K4 K5 K6
3
b. Graf Lingkaran
Graf lingkaran adalah graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua.
Graf lingkaran dengan n simpul dilambangkan dengan Cn.
4
c. Graf Teratur (Regular Graphs)
Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama disebut graf
teratur. Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut disebut
sebagai graf teratur derajat r. Jumlah sisi pada graf teratur adalah nr/2.
5
Latihan
Berapa jumlah maksimum dan jumlah
minimum simpul pada graf sederhana
yang mempunyai 16 buah sisi dan tiap
simpul berderajat sama dan tiap simpul
berderajat ≥ 4 ?
6
Jawaban: Tiap simpul berderajat sama -> graf
teratur.
Jumlah sisi pada graf teratur berderajat r adalah e =
nr/2. Jadi, n = 2e/r = (2)(16)/r = 32/r.
Untuk r = 4, jumlah simpul yang dapat dibuat adalah
maksimum, yaitu n = 32/4 = 8.
Untuk r yang lain (r > 4 dan r merupakan pembagi
bilangan bulat dari 32):
r = 8 -> n = 32/8 = 4 -> tidak mungkin membuat
graf sederhana.
r = 16 -> n = 32/16 = 2 -> tidak mungkin membuat
graf sederhana.
Jadi, jumlah simpul yang dapat dibuat adalah 8 buah
(maksimum dan minimum).
7
d. Graf Bipartite (Bipartite Graph)
Graf G yang himpunan simpulnya dapat dipisah menjadi dua himpunan
bagian V1 dan V2, sedemikian sehingga setiap sisi pada G menghubungkan
sebuah simpul di V1 ke sebuah simpul di V2 disebut graf bipartit dan
dinyatakan sebagai G(V1, V2).
V1 V2
8
Graf G di bawah ini adalah graf bipartit, karena simpul-simpunya dapat
dibagi menjadi V1 = {a, b, d} dan V2 = {c, e, f, g}
a b
g c
f
e d
G
H 1 H 2 H 3
W G E
A = [aij],
1, jika simpul i dan j bertetangga
aij = {
0, jika simpul i dan j tidak bertetangga
10
Contoh:
1 1
1
2 5
3
2 3
3
2 4
4 4
1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4
1 0 1 1 0 0
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0
2 1 0 1 0 0
2 1 0 1 1 2 1 0 1 1
3 1 1 0 1 0
3 1 1 0 1 3 1 0 0 0
4 0 0 1 0 0
4 0 1 1 0 4 0 1 1 0
5 0 0 0 0 0
(a) (b) (c)
1
e e 4
1
e 3
e 2
2 e 8
e 6 3
e 5
e 7
4
1 2 3 4
1 0 1 2 0
2 1 0 1 1
3 2 1 1 2
4 0 1 2 0
11
Derajat tiap simpul i:
(a) Untuk graf tak-berarah
n
d(vi) = a
j 1
ij
n
dout (vi) = jumlah nilai pada baris i = a
j 1
ij
12
a
10 12
8
e b
15 9
11
d 14 c
a b c d e
a 12 10
b 12 9 11 8
c 9 14
d 11 14 15
e 10 8 15
13
2. Matriks Bersisian (incidency matrix)
A = [aij],
1 2
e 2
e 4 e 3
3
e 5
e1 e2 e3 e4 e5
1 1 1 0 1 0
2 1 1 1 0 0
3 0 0 1 1 1
4 0 0 0 0 1
14
3. Senarai Ketetanggaan (adjacency list)
1 1
1
2 5
3
2 3
3
2 4
4 4
15
Graf Isomorfik
Diketahui matriks ketetanggaan (adjacency
matrices) dari sebuah graf tidak berarah.
Gambarkan dua buah graf yang yang
bersesuaian dengan matriks tersebut.
0 1 0 0 1
1 0 1 1 1
0 1 1 1 0
0 1 1 0 1
1 1 0 1 0
16
Jawaban:
2
1 2 3
1
3
5 4
5 4
17
Graf Isomorfik
Dua buah graf yang sama tetapi secara geometri berbeda disebut graf
yang saling isomorfik.
Dengan kata lain, misalkan sisi e bersisian dengan simpul u dan v di G1,
maka sisi e’ yang berkoresponden di G2 harus bersisian dengan simpul u’
dan v’ yang di G2.
Dua buah graf yang isomorfik adalah graf yang sama, kecuali penamaan
simpul dan sisinya saja yang berbeda. Ini benar karena sebuah graf dapat
digambarkan dalam banyak cara.
18
3 d c v w
1 2 a b x y
19
z
a v w
e
c
b d
x y
(a) G1 (b) G2
a b c d e x y w v z
a 0 1 1 1 0 x 0 1 1 1 0
b 1 0 1 0 0 y 1 0 1 0 0
AG1 = c 1 1 0 1 0 AG2 = w 1 1 0 1 0
d 1 0 1 0 1 v 1 0 1 0 1
e 0 0 0 1 0 z 0 0 0 1 0
20
(a)
(b)
Gambar 6.38 (a) Dua buah graf isomorfik, (b) tiga buah graf isomorfik
21
Dari definisi graf isomorfik dapat dikemukakan bahwa dua buah graf
isomorfik memenuhi ketiga syarat berikut [DEO74]:
1. Mempunyai jumlah simpul yang sama.
2. Mempunyai jumlah sisi yang sama
3. Mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu
Namun, ketiga syarat ini ternyata belum cukup menjamin. Pemeriksaan
secara visual perlu dilakukan.
w
u
x
y
(a) (b)
22
Latihan
Apakah pasangan graf di bawah ini
isomorfik?
a p
e t
d h f b s w u q
g v
c r
23
Latihan
Apakah pasangan graf di bawah ini
isomorfik?
a b p q
e f t
u
d c s r
24
Latihan
Gambarkan 2 buah graf yang isomorfik
dengan graf teratur berderajat 3 yang
mempunyai 8 buah simpul
25
Jawaban:
26
Graf Planar (Planar Graph) dan
Graf Bidang (Plane Graph)
Graf yang dapat digambarkan pada bidang datar
dengan sisi-sisi tidak saling memotong (bersilangan)
disebut graf planar,
jika tidak, maka ia disebut graf tak-planar.
K4 adalah graf planar:
27
K5 adalah graf tidak planar:
28
Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang
tidak saling berpotongan disebut graf bidang (plane
graph).
Tiga buah graf planar. Graf (b) dan (c) adalah graf bidang
29
Aplikasi Graf Planar
Persoalan utilitas (utility problem)
H H H H 1 H H
1 2 3 2 3
W G E W G E
(a) (b)
(a) Graf persoalan utilitas (K3,3), (b) graf persoalan utilitas bukan graf planar.
30
Aplikasi Graf Planar
31
Latihan
Gambarkan graf (kiri) di bawah ini sehingga
tidak ada sisi-sisi yang berpotongan (menjadi
graf bidang). (Solusi: graf kanan)
32
Sisi-sisi pada graf bidang membagi bidang datar
menjadi beberapa wilayah (region) atau muka (face).
R 2
R 3
R 4
R 6
R 5
R 1
33
Hubungan antara jumlah simpul (n), jumlah sisi (e),
dan jumlah wilayah (f) pada graf bidang:
n – e + f = 2 (Rumus Euler)
R 2
R 3
R 4
R 6
R 5
R 1
34
Latihan
Misalkan graf sederhana planar memiliki 24
buah simpul, masing-masing simpul
berderajat 4. Representasi planar dari graf
tersebut membagi bidang datar menjadi
sejumlah wilayah atau muka. Berapa banyak
wilayah yang terbentuk?
35
Jawaban:
Diketahui n = jumlah simpul = 24, maka jumlah
derajat seluruh simpul = 24 4 = 96.
36
Pada graf planar sederhana terhubung dengan f
buah wilayah, n buah simpul, dan e buah sisi (e > 2)
selalu berlaku:
e 3n – 6
37
Contoh: Pada K4, n = 4, e = 6, memenuhi ketidaksamaan
Euler, sebab
6 3(4) – 6. Jadi, K4 adalah graf planar.
Pada graf K5, n = 5 dan e = 10, tidak memenuhi
ketidaksamaan Euler sebab
10 3(5) – 6. Jadi, K5 tidak planar
K4 K5 K3,3
38
Ketidaksamaan e 3n – 6 tidak berlaku untuk K3,3
karena
e = 9, n = 6
9 (3)(6) – 6 = 12 (jadi, e 3n – 6)
39
Contoh Graf K3,3 pada Gambar di bawah memenuhi
ketidaksamaan e 2n – 4, karena
e = 9, n = 6
9 (2)(6) – 4 = 8 (salah)
yang berarti K3,3 bukan graf planar.
H H H H 1 H H
1 2 3 2 3
W G E W G E
40