Graf (Bag.

2)
Bahan Kuliah
IF2120 Matematika Diskrit

Program Studi Teknik Informatika

STEI-ITB
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 1
Representasi Graf

1. Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix)

A = [aij],
1, jika simpul i dan j bertetangga
aij = {
0, jika simpul i dan j tidak bertetangga

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 2

Contoh:

1 1
1

2 5
3
2 3

3
2 4
4 4

1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4
1 0 1 1 0 0
1 0 1 1 0 1 0 1 0 0
2 1 0 1 0 0
2 1 0 1 1 2 1 0 1 1
3 1 1 0 1 0
3 1 1 0 1   3 1 0 0 0
  4 0 0 1 0 0  
4 0 1 1 0 4 0 1 1 0
5 0 0 0 0 0
(a) (b) (c)

1
e1 e4
e3
e2
2 e8
e6 3
e5
e7
4

1 2 3 4
1
0 1 2 0
2 1 0 1 1
3 2 1 2 2
4 0 1 2 0
3
Derajat tiap simpul i:
(a) Untuk graf tak-berarah
n
d(vi) =  aij
j =1

(b) Untuk graf berarah,

n
din (vj) = jumlah nilai pada kolom j = a
i =1
ij

n
dout (vi) = jumlah nilai pada baris i = a
j =1
ij

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 4

 a

10 12
8
e b

15 9
11

d 14 c

a b c d e
a   12   10
b 12  9 11 8 
c   9  14 
 
d   11 14  15
e 10 8  15  

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 5

2. Matriks Bersisian (incidency matrix)

A = [aij],

1, jika simpul i bersisian dengan sisi j

aij = {
0, jika simpul i tidak bersisian dengan sisi j

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 6

3. Senarai Ketetanggaan (adjacency list)

1 1
1

2 5
3
2 3

3
2 4
4
4

Simpul Simpul Tetangga Simpul Simpul Tetangga Simpul Simpul Terminal

1 2, 3 1 2, 3 1 2
2 1, 3, 4 2 1, 3 2 1, 3, 4
3 1, 2, 4 3 1, 2, 4 3 1
4 2, 3 4 3 4 2, 3
5 -
(a) (b) (c)

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 7

Graf Isomorfik
• Diketahui matriks ketetanggaan (adjacency matrices) dari sebuah graf
tidak berarah. Gambarkan dua buah graf yang yang bersesuaian
dengan matriks tersebut.

0 1 0 0 1
1 0 1 1 1

0 1 1 1 0
 
0 1 1 0 1
1 1 0 1 0

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 8

• Jawaban:
2
1 2 3

1
3
5 4
5 4

• Dua buah graf yang sama (hanya penggambaran secara geometri

berbeda)
→ isomorfik!

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 9

 Graf Isomorfik
• Dua buah graf yang sama tetapi secara geometri berbeda disebut graf yang saling
isomorfik.

• Dua buah graf, G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu
antara simpul-simpul keduanya dan antara sisi-sisi keduaya sedemikian sehingga
hubungan kebersisian tetap terjaga.

• Dengan kata lain, misalkan sisi e bersisian dengan simpul u dan v di G1, maka sisi e’
yang berkoresponden di G2 harus bersisian dengan simpul u’ dan v’ yang di G2.

• Dua buah graf yang isomorfik adalah graf yang sama, kecuali penamaan simpul dan
sisinya saja yang berbeda. Ini benar karena sebuah graf dapat digambarkan dalam
banyak cara.
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 10
 3 d c v w

1 2 a b x y

(a) G1 (b) G2 (c) G3

Gambar G1 isomorfik dengan G2, tetapi G1 tidak isomorfik dengan G3

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 11

 z

a v w
e

c
b d
x y

(a) G1 (b) G2

Gambar Graf (a) dan graf (b) isomorfik [DEO74]

a b c d e x y w v z
a 0 1 1 1 0 x 0 1 1 1 0
b 1 0 1 0 0 y 1 0 1 0 0
   
AG1 = c 1 1 0 1 0 AG2 = w 1 1 0 1 0
   
d 1 0 1 0 1 v 1 0 1 0 1
e 0 0 0 1 0 z 0 0 0 1 0
 (a)

(b)

Gambar (a) Dua buah graf isomorfik, (b) tiga buah graf isomorfik

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 13

Dari definisi graf isomorfik dapat dikemukakan bahwa dua buah graf isomorfik
memenuhi ketiga syarat berikut [DEO74]:
1. Mempunyai jumlah simpul yang sama.
2. Mempunyai jumlah sisi yang sama
3. Mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu

Namun, ketiga syarat ini ternyata belum cukup menjamin. Pemeriksaan secara
visual perlu dilakukan, seperti contoh dua buah graf di bawah ini:
w
u

x
y
Simpul y bertetangga dengan hanya satu simpul
v
berderajat 1
Simpul x bertetangga dengan u dan v
yang masing-masing berderajat 1 Kesimpulan: kedua graf tidak isomorfik
Latihan
• Apakah pasangan graf di bawah ini isomorfik?

a p

e t

d h f b s w u q
g v

c r

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 15

Latihan
• Apakah pasangan graf di bawah ini isomorfik?

a b p q

e f t
u

d c s r

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 16

Latihan
• Gambarkan 2 buah graf yang isomorfik dengan graf teratur berderajat
3 yang mempunyai 8 buah simpul

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 17

• Jawaban: (contoh dua kemungkinan gambar grafnya)

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 18

Graf Planar (Planar Graph) dan Graf Bidang (Plane Graph)

• Graf yang dapat digambarkan pada bidang datar dengan sisi-sisi tidak saling
memotong (bersilangan) disebut graf planar,
• jika tidak, maka ia disebut graf tak-planar.
• Contoh: K4 di bawah ini adalah graf planar:

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 19

• K5 adalah graf tidak planar:

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 20

Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang tidak saling
berpotongan disebut graf bidang (plane graph).

(a) (b) (c)

Tiga buah graf planar. Graf (b) dan (c) adalah graf bidang

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 21

Aplikasi Graf Planar
Persoalan utilitas (utility problem)

H1 H2 H3 H1 H2 H3

W G E W G E

(a) (b)

(a) Graf persoalan utilitas (K3,3), (b) graf persoalan utilitas bukan graf planar.

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 22

Aplikasi Graf Planar

• Perancangan IC (Integrated Circuit)

• Tidak boleh ada kawat-kawat di dalam IC-board yang saling

bersilangan → dapat menimbulkan interferensi arus listrik →
malfunction

• Perancangan kawat memenuhi prinsip graf planar

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 23

Latihan
• Gambarkan graf (kiri) di bawah ini sehingga tidak ada sisi-sisi yang
berpotongan (menjadi graf bidang). (Solusi: graf kanan)

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 24

• Sisi-sisi pada graf bidang membagi bidang datar menjadi beberapa
wilayah (region) atau muka (face).

• Graf bidang pada gambar di bawah initerdiri atas 6 wilayah

(termasuk wilayah terluar):

R2 R3 R4
R6
R5
R1

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 25

• Hubungan antara jumlah simpul (n), jumlah sisi (e), dan jumlah wilayah (f) pada
graf bidang:
n – e + f = 2 (Rumus Euler)

R2 R3 R4
R6
R5
R1

• Pada Gambar di atas, e = 11 dan n = 7, f = 6, maka 7 – 11 + 6 = 2.

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 26

Latihan
• Misalkan graf sederhana planar memiliki 24 buah simpul, masing-
masing simpul berderajat 4. Representasi planar dari graf tersebut
membagi bidang datar menjadi sejumlah wilayah atau muka. Berapa
banyak wilayah yang terbentuk?

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 27

Jawaban:
Diketahui n = jumlah simpul = 24, maka jumlah derajat seluruh simpul = 24  4 = 96.

Menurut lemma jabat tangan,

jumlah derajat = 2  jumlah sisi,
sehingga
jumlah sisi = e = jumlah derajat/2 = 96/2 = 48

Dari rumus Euler, n – e + f = 2, sehingga

f = 2 – n + e = 2 – 24 + 48 = 26 buah.

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 28

• Pada graf planar sederhana terhubung dengan f buah wilayah, n buah
simpul, dan e buah sisi (e > 2) selalu berlaku:
e  3n – 6

• Ketidaksamaan yang terakhir dinamakan ketidaksamaan Euler,

• Ketidaksamaan ini dapat digunakan untuk menunjukkan keplanaran

suatu graf sederhana

• Jika sebuah graf planar, maka ia memenuhi ketidaksamaan Euler,

sebaliknya jika tidak planar maka ketidaksamaan tersebut tidak
dipenuhi.

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 29

• Contoh: Pada K4, n = 4, e = 6, memenuhi ketidaksamaan Euler, sebab
6  3(4) – 6. Jadi, K4 adalah graf planar.

Pada graf K5, n = 5 dan e = 10, tidak memenuhi ketidaksamaan Euler sebab
10  3(5) – 6. Jadi, K5 tidak planar

K4 K5 K3,3
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 30
Ketidaksamaan e  3n – 6 tidak berlaku untuk K3,3
karena
e = 9, n = 6
9  (3)(6) – 6 = 12 (jadi, e  3n – 6)

padahal graf K3,3 bukan graf planar!

Buat asumsi baru: setiap daerah pada graf planar dibatasi oleh
paling sedikit empat buah sisi,

Dari penurunan rumus diperoleh

e  2n - 4
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 31
Contoh Graf K3,3 pada Gambar di bawah memenuhi ketidaksamaan e  2n – 4,
karena
e = 9, n = 6
9  (2)(6) – 4 = 8 (salah)

yang berarti K3,3 bukan graf planar.

H1 H2 H3 H1 H2 H3

W G E W G E
 Teorema Kuratowski

Berguna untuk menentukan dengan tegas keplanaran suatu graf.

(a) (b) (c)

Gambar (a) Graf Kuratowski pertama (K5)

(b) Graf Kuratowski kedua (K3, 3)
(c) Graf yang isomorfik dengan graf Kuratowski kedua
Kazimierz Kuratowski (February 2, 1896 – June 18, 1980)
was a Polish mathematician and logician. He was one of the
leading representatives of the Warsaw School of Mathematics.
(Sumber: Wikipedia)

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 34

Sifat graf Kuratowski adalah:
1. Kedua graf Kuratowski adalah graf teratur.
2. Kedua graf Kuratowski adalah graf tidak-planar
3. Penghapusan sisi atau simpul dari graf Kuratowski menyebabkannya
menjadi graf planar.
4. Graf Kuratowski pertama adalah graf tidak-planar dengan jumlah
simpul minimum, dan graf Kuratowski kedua adalah graf tidak-planar
dengan jumlah sisi minimum.

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 35

TEOREMA Kuratowski. Graf G bersifat planar jika dan
hanya jika ia tidak mengandung upagraf yang isomorfik
dengan salah satu graf Kuratowski atau homeomorfik
(homeomorphic) dengan salah satu dari keduanya.

v y
x

G1 G2 G3

Gambar Tiga buah graf yang homemorfik satu sama lain.

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 36

Contoh: Kita gunakan Teorema Kuratowski untuk
memeriksa keplanaran graf. Graf G di bawah ini bukan
graf planar karena ia mengandung upagraf (G1) yang
sama dengan K3,3.

a b a b
c c

f e d f e d

G1
G

Graf G tidak planar karena ia mengandung upagraf yang sama dengan K3,3.

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 37

Graf G tidak planar karena ia mengandung upagraf (G1)
yang homeomorfik dengan K5 (dengan membuang
simpul-simpul yang berderajat 2 dari G1, diperoleh K5).

a a a

i b i b
h c h c h c

d d

g f e g f e g e

G G1 K5

Gambar Graf G, upagraf G1 dari G yang homeomorfik dengan K5.

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 38
 Latihan
• Perlihatkan dengan teorema Kuratowski bahwa graf Petersen tidak planar.

Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 39

Jawaban:
1 1 1

6 7 2 6 7 2 6 2
10

9 8 3 9 8 3 3
5 5 5

4 4 4
(a) Graf Petersen, G (b) G1 (c) G2

1 3 5
Gambar (a) Graf Petersen
(b) G1 adalah upagraf dari G
(c) G2 homeomorfik dengan G1
(d) G2 isomorfik dengan K3,3
2 4 6
(d) K3,3
Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 40
Latihan

Periksalah dengan teorema Kuratowski bahwa graf berikut tidak planar

Graf Dual (Dual graph)
Untuk setiap graf bidang G, kita dapat membuat graf dual G* dengan
cara sebagai berikut:
1. Setiap wilayah atau muka f dinyatakan sebagai sebuah simpul v*,
termasuk wilayah luar.
2. Tariklah sebuah sisi e* dari sebuah simpul v1* ke simpul v2*
melewati sisi e pada graf asal.
3. Jika sisi e pada salah satu simpulnya berderajat satu, maka sisi e*
adalah berupa sisi gelang
 G*

G* G