BAHAN

AJAR
KALKULUS

HABIB RATU PERWIRA NEGARA. M.Pd

AHMAD, S.Pd., M.Pd
Desventri Etmy, S.Pd., M.Pd

UNIVERSITAS BUMIGORA

KALKULUS: RELASI FUNGSI HABIB RATU PERWIRA NEGARA

 BAB III LIMIT FUNGSI

A. Limit Aljabar
1. Pengertian Limit Fungsi Secara Intuitif
Limit dapat digunakan untuk menjelaskan pengaruh variabel fungsi yang
bergerak mendekati suatu titik terhadap fungsi tersebut.
lim
Limit x mendekati c dari suatu fungsi f(x) dapat ditulis f(x) dibaca
xc
“limit x mendekati c dari f(x)”.
Artinya x mendekati bilangan c sedekat mungkin baik dari sebelah kiri
lim lim
( 
f(x)) maupun dari sebelah kanan ( f(x)).
xc x  c

lim lim lim

Jika f(x) = f(x) = L maka f(x) = L
x  c x  c xc

Untuk dapat memahami pengertian limit secara intuitif, perhatikanlah

Teladan berikut:
lim
1. Tentukan (3x-1)
x2
Jawab : Jika f(x) = 3x - 1, dengan menggunakan tabel :
x 1 1,5 1,9 1,99  ...  2,01 2,1 2,5 3
F(x) … … … …  …  … … … ...
Dari tabel bisa terlihat bahwa jika x mendekati 2, baik dari sebelah
kiri maupun kanan, maka f(x) mendekati ... .
lim x2  9
2. Tentukan
x3 x3
Jawab : Dengan menggunakan tabel :
x 2 2,5 2,9 2,99  3  3,01 3,1 3,5 4
f(x) ... ... ... ...  ...  ... ... ... ...

KALKULUS: RELASI FUNGSI HABIB RATU PERWIRA NEGARA

 lim x2  9
Jadi = ....
x3 x3
Lim 1
3. Tentukan
x0 x

Jawab : Dengan pendekatan tabel sebagai berikut :

x -3 -2 -1 -0,1 -0,01  0  0,01 0,1 1 2 3
f(x) ... ... ... … …  ...  … … ... ... ...
Lim 1
Jadi = ...
x0 x

x2  x  2
4. Tentukan Lim
x 2 x2
0
Jika variabel x diganti dengan 2, maka f(x) = (tidak dapat
0
ditemukan)
Untuk itu perhatikanlah tabel berikut:
x 0 1,1 1,5 1,9 1,999 2.000 2,001 2,01 2,5 2,7
f(x) 1 2,1 2,5 2,9 2,999 ??? 3,001 3,01 3,5 3,7
x2  x  2
Dari uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa f (x) = :
x2
mendekati 3. jika x mendekati 2, baik didekati dari sebelah kiri (disebut
limit kiri) maupun di dekati dari sebelah kanan (disebut limit kanan).
Dapat ditulis:
x2  x  2
lim 3
x2 x2

2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Nilai

Tertentu
Menentukan limit dengan cara diatas tidaklah efisien. Untuk mengatasinya,
kita dapat menentukan nilai limit suatu fungsi dengan beberapa cara, yaitu:
a. Subtitusi
Perhatikanlah Teladan berikut!
Teladan 1:
Tentukan nilai  
lim x 2  8 !
x 3

Penyelesaian:
Nilai limit dari fungsi f(x) = x2 – 8 dapat kita ketahui secara langsung,
yaitu dengan cara mensubtitusikan x = 3 ke f(x), sehingga diperoleh:
 
lim x 2  8  32  8  9  8  1
x 3

KALKULUS: RELASI FUNGSI HABIB RATU PERWIRA NEGARA

 Artinya bila x dekat 3 maka x2 – 8 dekat pada 32 – 8 =9 – 8 = 1 Dengan
ketentuan sebagai berikut:
a) Jika f (a) = c, maka lim f ( x)  a
xa

c
b) Jika f (a) = , maka lim f ( x)  ~
0 xa

0
c) Jika f (a) = , maka lim f ( x)  0
c xa

Latihan
1. Tentukan lim 2𝑥 =
𝑥→2

2. Tentukan lim 3𝑥(2𝑥 − 1) =

𝑥→−1

3. Tentukan lim (𝑥 + 3)1984 =

𝑥→−4

4. Tentukan lim (5 − 𝑥)4/3 =

𝑥→−3

b. Pemfaktoran
Cara ini digunakan ketika fungsi-fungsi tersebut bisa difaktorkan
sehingga tidak menghasilkan nilai tak terdefinisi.
Perhatikanlah Teladan berikut!
Teladan 2:
x2  9
Tentukan nilai lim !
x 3 x  3

32  9 0
Jika x = 3 kita subtitusikan maka f (3) =  .
33 0
Kita telah mengetahui bahwa semua bilangan yang dibagi dengan 0
x2  9
tidak terdefinisi. Ini berarti untuk menentukan nilai lim , kita harus
x 3 x  3

mencari fungsi yang baru sehingga tidak terjadi pembagian dengan nol.
Untuk menentukan fungsi yang baru itu, kita tinggal menfaktorkan
fungsi f(x) sehingga menjadi:

x  3x  3  x  3. , dengan  x  3   1

 
x  3  x 3

Jadi, lim
x2  9
= lim
x  3x  3
x 3 x  3 x 3 x  3
= lim  x  3
x 3

=3+3=6

KALKULUS: RELASI FUNGSI HABIB RATU PERWIRA NEGARA

 Latihan
Tentukan
Lim Lim x2  4 Lim x2  x  6
1. 5x+6 5. 9.
x3 x 2 x2 x  3 x 2  7 x  12

Lim 5x  1 Lim x2  x Lim 2x2  9x  5

2. 6. 10.
x  3 4x  2 x0 x x  5 4 x 2  17 x  15

Lim 3x  6 Lim x2  2x  8 x 3  2 x 2  3x
Lim
3. 7. 11.
x  2 x2 x2 x2 x0 x2  x

Lim x 1 Lim x5 Limx3  1

4. 8. 12.
x  1 x 1 x  5 2 x  9 x  5 x  1 x2  1
2 2

KALKULUS: RELASI FUNGSI HABIB RATU PERWIRA NEGARA