Makalah Matematika Limit Fungsi
Makalah Matematika Limit Fungsi
Makalah Matematika Limit Fungsi
LIMIT FUNGSI
Oleh :
1. Fatimah Azzahroh
2. Santi
3. Siti Sarah
4. Dewi Sujinah
5. Mutiara Fatmiyah
6. Nike Agustiana
Kelas : XI MIPA 2
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah memberikan
rahmat serta karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan pembuatan makalah
yang berjudul Limit Fungsi dalam rangka memenuhi tugas Kelompok Mata Pelajaran
Matematika. Semoga makalah ini dapat dipergunakan sebagai salah satu acuan atau
petunjuk maupun pedoman bagi yang membaca makalah ini.
Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini banyak terdapat
kekurangan dan kesalahan. Saran dan kritik yang membangun akan penulis terima
dengan hati terbuka agar dapat meningkatkan kualitas makalah ini.
Demikian yang dapan penulis sampaikan. Atas perhatiannya penulis ucapkan
terima kasih.
Penulis
i
DAFTAR ISI
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah ....................................................................... 1
B. Identifikasi Masalah ............................................................................. 1
C. Metode Penelitian................................................................................. 1
D. tujuanPembahasan ................................................................................ 2
BAB II PEMBAHASAN
A. Limit Fungsi Aljabar ............................................................................ 3
B. Teorema Limit ...................................................................................... 8
C. Limit Fungsi Trigonometri................................................................... 10
D. Fungsi Limit Fungsi dalam Kehidupan Sehari-hari ............................. 11
DAFTAR PUSTAKA
ii
BAB I
PENDAHULUAN
B. Identifikasi Masalah
1. Pengertian Limit Fungsi Secara Intuitif?
2. Cara Menentukan Limit Fungsi Aljabar?
C. Metode Penelitian
1. Ruang Lingkup Kajian
Lingkup kajian pada makalah ini pada dasarnya mencakup:
1
Pengertian, Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati
nilai Tertentu dan Bila Variabelnya Mendekati Tak Terhingga, Teorema
Limit, Serta Limit Fungsi Trigonometri.
3. Sistematika Penulisan
Makalah yang berjudul “Limit” ini tersusun dalam 3 bab, yaitu:
1
Bab Pertama, merupakan bab Pendahuluan, menguraikan tentang Latar
Belakang, Identifikasi Masalah, Metode Penelitian dan Tujuan Pembahasan.
Bab Ketiga, merupakan bab Penutup yang meliputi kesimpulan dan saran.
D. Tujuan Pembahasan
1. Untuk Mengetahui Pengertian dari Limit.
2. Untuk Mengetahui Cara Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya
Mendekati nilai Tertentu dan Bila Variabelnya Mendekati Tak Terhingga
3. Untuk Mengetahui Teorema Limit
4. Untuk Mengetahui Limit Fungsi Trigonometri.
2
BAB II
PEMBAHASAN
x2 x 2
Dari uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa f (x) = : mendekati
x2
3. jika x mendekati 2, baik didekati dari sebelah kiri (disebut limit kiri)
maupun di dekati dari sebelah kanan (disebut limit kanan). Dapat ditulis :
x2 x 2
lim 3
x 2 x2
2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Nilai
Tertentu
Menentukan limit dengan cara diatas tidaklah efisien. Untuk mengatasinya,
kita dapat menentukan nilai limit suatu fungsi dengan beberapa cara, yaitu:
a. Subtitusi
Perhatikanlah contoh berikut!
Contoh:
Tentukan nilai
lim x 2 8 !
x 3
Penyelesaian :
3
Nilai limit dari fungsi f(x) = x2 – 8 dapat kita ketahui secara langsung,
yaitu dengan cara mensubtitusikan x =3 ke f(x)
lim x 2 8 32 8 9 8
x 3
1
Artinya bilamana x dekat 3 maka x2 – 8 dekat pada 32 – 8 =9 – 8 = 1
Dengan ketentuan sebagai berikut:
a) Jika f (a) = c, maka lim f ( x) a
xa
c
b) Jika f (a) = , maka lim f ( x) ~
0 xa
0
c) Jika f (a) = , maka lim f ( x) 0
c xa
b. Pemfaktoran
Cara ini digunakan ketika fungsi-fungsi tersebut bisa difaktorkan
sehingga tidak menghasilkan nilai tak terdefinisi.
Perhatikanlah contoh berikut!
Contoh:
x2 9
Tentukan nilai lim !
x 3 x 3
32 9 0
Jika x = 3 kita subtitusikan maka f (3) = .
33 0
Kita telah mengetahui bahwa semua bilangan yang dibagi dengan 0 tidak
x2 9
terdefinisi. Ini berarti untuk menentukan nilai lim , kita harus
x 3 x 3
mencari fungsi yang baru sehingga tidak terjadi pembagian dengan nol.
Untuk menentukan fungsi yang baru itu, kita tinggal menfaktorkan fungsi
f (x) sehingga menjadi:
Jadi, lim
x2 9
= lim
x 3x 3
x 3 x 3 x 3 x 3
= lim x 3
x 3
=3+3=6
4
c. Merasionalkan Penyebut
Cara yang ke-tiga ini digunakan apanila penyebutnya berbentuk akar yang
perlu dirasionalkan, sehingga tidak terjadi pembagian angka 0 dengan 0.
Perhatikanlah contoh berikut!
Contoh:
x 2 3x 2
Tentukan nilai lim !
x 2 x2
Penyelesaian:
x 2 3x 2 x 2 3x 2 x 2
lim = lim .
x 2 x2 x 2 x2 x2
x 2
3x 2 x2
= lim 2
x2
x2
= lim
x 1x 2 x 2
x 2 x 2
= lim x 1 x 2
x 2
= 2 1. 2 2
=1.0
=0
d. Merasionalkan Pembilang
Perhatikanlah contoh berikut!
Contoh:
3x 2 4 x 3
Tentukan nilai lim !
x 1 x 1
Penyelesaian:
3x 2 4 x 3
lim
x 1 x 1
3x 2 4 x 3 3x 2 4 x 3
= lim .
x 1 x 1 3x 2 4 x 3
2
3x 2 4 x 3
2
= lim
x 1 x 1 3 x 2 4x 3
5
x 1
x 1
= lim
x 1 3x 2 4 x 3
x 1
x 1
= lim
x 1 3x 2 4 x 3
1
= lim
x 1 3x 2 4 x 3
1
=
3.1 2 4.1 3
1 1 1
= = =
1 1 11 2
Penyelesaian:
4x 1
a. untuk menentukan nilai dari lim perhatikan pangkat tertinggi
x~ 2x 1
dari x pada f (x ) = 4x – 1 dan g(x) = 2x + 1. ternyata pangkat
tertinggi dari x adalah satu.
4x 1
4x 1
lim = lim x x
x~ 2 x 1 x~ 2 x 1
x x
6
1
4
= lim x
x~ 1
2
x
1
4
= ~
1
2
~
40 4
= = =2
20 2
4x 1
b. Perhatikan fungsi h (x) = ! Fungsi tersebut memiliki x dengan
x2 2
pangkat tertinggi 2, yaitu x2 yang terdapat pada x2 – 2. jadi, untuk
4x 1
menentukan nilai lim maka fungsi 4x + 1 dan x2 – 2 harus
x ~ x 2 x
dibagi dengan x2 .
4x 1
4x 1 2
x2
lim 2 = lim x 2
x ~ x x x~ x 2
x2 x2
4 1
2
= lim x x
x~ 2
1 2
x
4 1
~ (~) 2
=
2
1
(~) 2
00
=
1 0
0
= = 0
1
b. Mengalikan dengan faktor lawan
Cara ini digunakan untuk menyelesaikan lim f ( x) g ( x) . Jika kita
x ~
[f (x) g (x)]
(x) + g (x)] dengan sehingga bentuknya menjadi:
[f (x) g (x)]
[f (x) g (x)]
lim f ( x) g ( x) .
x ~ [f (x) g (x)]
7
= lim
[f (x)] 2
[g (x)] 2
ataupun sebaliknya.
x ~ f (x) g (x)
Contoh:
Penyelesaian:
lim x 2 2 x x 2 x
x ~
x2 2x x2 x
= lim x 2 2 x x 2 x .
x ~
x2 2x x2 x
= lim
x 2
2 x2 1
x ~
x2 2x x2 x
3x
= lim
x ~
x2 2x x2 x
3x
= lim x
x ~
x2 2x x2 x
x2 x2 x2 x2
3
=
1 0 1 0
3
=
2
B. TEOREMA LIMIT
Teorema limit yang akan disajikan berikut ini yang sangat berguna dalam
menangani hampir semua masalah limit. Misalkan n bilangan bulat positif, k
sebuah konstanta dan f, g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di a maka:
1. lim k k
x a
2. lim x a
xa
8
f ( x) lim f ( x)
6. lim x a , dimana lim g(x) ≠ 0
x a g ( x) lim g ( x) x a
x a
Contoh:
x2 9
Carilah a. lim 3x x !
x 4
2
b. lim
x 3 2x
Penyelesaian:
x 4
a) lim 3x 2 x = lim 3x 2 lim x
x 4 x 4
(teorema 4)
= 3 lim x lim x
x 4
2
x 4
(teorema 7)
= 3. (4)2 – 4 (teorema 2)
= 3. 16 – 4 = 44
x2 9 lim x 2 9
b) lim = x 3 (teorema 6)
x 3 2x lim 2 x
x 3
lim ( x 2 9)
x 3
= (teorema 8 dan 3)
2 lim x
x 3
9
lim x 2 lim 9
x 3 x 3
= (teorema 4)
2 lim x
x 3
(lim x) 2 lim 9
x 3 x 3
= (teorema 7)
2 lim x
x 3
32 9
= (teorema 1 dan 2)
2.3
18 3 1
= = 2 = 2
6 6 2
sin x
2. lim 1
x 0 x
ax ax a
3. lim 1 → lim
x 0 sin ax x 0 sin bx b
sin ax sin ax a
4. lim 1 → lim
x 0 ax x 0 bx b
10
Contoh:
Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi trigonometri berikut!
sin 3 x sin 5 x
a. lim b. lim
x 0 2x x 0 sin 2 x
Penyelesaian:
sin 3 x sin 3x 3x
a. lim = lim .
x 0 2x x 0 3x 2 x
sin 3x 3x
= lim . lim
x 0 3x x 0 2 x
3 3
=1. =
2 2
sin 5 x sin 5 x 2 x 5 x
b. lim = lim . .
x 0 sin 2 x x 0 5 x sin 2 x 2 x
sin 5 x 2x 5x
= lim . lim . lim
x 0 5x x 0 sin 2 x x 0 2x
5 5
= 1. 1 . =
2 2
11
tersebut. Ternyata, jarak fokus lensa cekung tersebut dapat diperoleh
dengan rumus dengan
f = jarak fokus lesa,
s =jarak mata ke benda dan
s’=titik jauh mata penderita.
Jadi, dengan menggunakan limit fungsi, penderita rabun jauh dapat
tertolong sehingga penderita tersebut dapat melihat dengan normal
kembali. Selain itu, limit fungsi berguna untuk menghitung rotasi bumi
dan benda lain yang seperti elips.
2. Bidang kedokteran
Limit juga berguna untuk menghitung kerusakan jantung yang
biasa ditampilkan dalam bentuk USG pada kasus cardiac carest. Pada
kasus ini sang dokter hanya bisa melihat data-data dari USG tapi tidak
bisa menentukan dengan cepat bagian sel mana yang rusak di jantung
sementara sel jantung itu sangat banyak. Maka pada kasus ini dibutuhkan
penghitungan limit untuk menebak luas area sel jantung yang rusak.
Contoh lain adalah populasi bakteri atau virus dan kemungkinan berapa
persen virus itu menular dengan melalui udara, area kontribusi dan
kecepatan angin dihitung grafiknya melalui limit
3. Bidang Kimia
Dalam bidang ini, limit fungsi berguna untuk menghitung
kekuatan besi yang bergesekan dengan air asin dan menghitung
ketahanannya dalam menghadapi pengkaratan. Pembuatan tanggal
kedaluarsa makanan.
4. Bidang Ekonomi
Limit fungsi sering digunakan oleh pemerintah dalam
menentukkan pajak yang harus dibayar oleh masyarakat. Dalam bidang
ekonomi, limit fungsi juga sering digunakan dalam menghitung biaya
rata-rata dan bunga.
12
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Dalam bahasa Matematika, limit menjelaskan nilai suatu fungsi jika didekati
dari titik tertentu. Mengapa harus didekati dari titik tertentu dan bukan tepat di
titik tertentu? Hal ini disebabkan tidak semua fungsi terdefinisi pada semua titik.
Faktor terpenting adalah memahami konsep dan definisi dari limit fungsi itu
sendiri dan juga sifat-sifatnya.
B. Saran
Demikianlah Makalah Matematika Dasar ini, Makalah ini tentunya masih
banyak kekurangan yang harus dilengkapi,untuk mencapai kesempurnaan. Kami
hanyalah manusia biasa yang penuh dengan kekurangan, untuk itu penulis mohon
dengan segala kerendahan hati, untuk memberikan Saran dan Kritiknya yang
bersifat membangun, dengan harapan agar makalah ini bisa lebih sempurna.
13
DAFTAR PUSTAKA
14