Tugas Proyek Aljabar Linear Rahamdi
Tugas Proyek Aljabar Linear Rahamdi
Tugas Proyek Aljabar Linear Rahamdi
Disusun oleh:
Nama : Rahmadi
Nim : 5203230007
Mata Kuliah: Aljabar Linier A
Dosen Pengampu: Rudi Salman,ST.,MT.
FAKULTAS TEKNIK
2021
KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Allah Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan
rahmat-Nya berupa kesempatan untuk menyelesaikan makalah tugas proyek yang
berjudul “PENYELESAIAN MAGIC SQUARE UKURAN 3X3 DENGAN
MENGGUNAKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL)”. Makalah ini
dibuat penulis untuk belajar dan memenuhi tugas proyek mata kuliah Aljabar
Linear 1 sebelum Ujian Tengah Semester. Makalah ini dapat terselesaikan atas
bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Maka dari itu ucapan terima kasih
diberikan kepada:
1. Dosen pengampu mata kuliah Aljabar Linear Bapak Rudi Salman. yang
telah berkenan membimbing dan mendidik dengan sabar hingga saat ini.
2. Bapak dan ibu kami yang selalu memberikan dukungan materi, dorongan,
dan doa dalam menjalani pendidikan di Universitas Negeri Medan ini.
3. Teman-teman yang telah mendukung penyelesaian makalah ini.
Penulis
i
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR..............................................................................................i
DAFTAR ISI............................................................................................................ii
DAFTAR GAMBAR..............................................................................................iii
DAFTAR TABEL...................................................................................................iv
BAB I.......................................................................................................................1
PENDAHULUAN...................................................................................................1
1.1 Latar Belakang..........................................................................................1
1.3 Tujuan........................................................................................................2
1.4 Manfaat......................................................................................................2
BAB II......................................................................................................................3
TINJAUAN PUSTAKA..........................................................................................3
2.1 Sistem Persamaan Linear (SPL)................................................................3
2.2 Matriks.......................................................................................................5
BAB III....................................................................................................................9
PEMBAHASAN......................................................................................................9
BAB IV..................................................................................................................15
PENUTUP..............................................................................................................15
4.1 Kesimpulan..............................................................................................15
DAFTAR PUSTAKA............................................................................................16
LAMPIRAN TANYA JAWAB.............................................................................17
DAFTAR GAMBAR
PENDAHULUAN
1
1.2 Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah dalam penelitian ini adalah:
1. Bagaimana penyelesaian Magic Square berukuran 3x3 dengan
menggunakan Sistem Persamaan Linear (SPL)?
1.3 Tujuan
Berdasarkan rumusan masalah tersebut, maka tujuan penelitian ini adalah
sebagai berikut.
1. Untuk mendapatkan penyelesaian Magic Square berukuran 3x3 dengan
menggunakan Sistem Persamaan Linear (SPL).
1.4 Manfaat
Beberapa manfaat yang diharapkan diperoleh dari penelitian ini adalah sebagai
berikut.
1. Manfaat Teoritis
Dengan adanya penelitian ini, diharapkan akan menambah wawasan
dan pengetahuan mengenai matriks dan Sistem Persamaan Linear (SPL)
serta pemahaman baru tentang pola Magic Square, mampu memanfaatkan
matriks dan Sistem Persamaan Linear untuk menyelesaikan Magic Square
dengan ordo 3x3, serta diharapkan mampu dijadikan sebagai salah satu
sarana pengembangan ilmu perhitungan khususnya pada cabang Aljabar
Linear yang secara teoritis dipelajari di bangku perkuliahan.
2. Manfaat Praktis
Bagi penulis, makalah ini sebagai pemenuhan kewajiban salah satu
tugas di mata kuliah Aljabar Linear serta dapat menjadi bahan acuan
tambahan penulis dalam mempelajari mata kuliah Aljabar Linear di
kemudian hari.
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.2 Matriks
2.2.1 Definisi
Suatu matriks adalah jajaran empat persegi panjang dari bilangan-
bilangan (disebut entri dari matriks, yang mana entri ini merupakan
anggota bilangan real).
Bentuk umum matriks:
PEMBAHASAN
3
𝑎1,1 + 𝑎2,1 + 𝑎3,1 = ∑𝑖=1 𝑎𝑖,1
jumlah setiap kolom {𝑎1,2 + 𝑎2,2 + 𝑎3,2 = ∑3𝑖=1 𝑎𝑖,2 (1)
3
𝑎1,3 + 𝑎2,3 + 𝑎3,3 = ∑𝑖=1 𝑎 𝑖,3
1 1 1 0 0 0 0 0 0 a1,1
15
0 0 0 1 1 1 0 0 0 a1,2
15
0 0 0 0 0 0 1 1 1 a1,3
15
1 0 0 1 0 0 1 0 0 a2,1
15
0 1 0 0 1 0 0 1 0 a2,2 =
15
0 0 1 0 0 1 0 0 1 a2,3
15
1 0 0 0 1 0 0 0 1 a3,1
15
0 0 1 0 1 0 1 0 0 a3,2
15
a3,3
Atau bentuk ringkasnya adalah:
1 1 1 0 0 0 0 0 0 15
0 0 0 1 1 1 0 0 0 15
0 0 0 0 0 0 1 1 1 15
1 0 0 1 0 0 1 0 0 15
0 1 0 0 1 0 0 1 0 15
0 0 1 0 0 1 0 0 1 15
1 0 0 0 1 0 0 0 1 15
0 0 1 0 1 0 1 0 0 15
1 0 0 0 0 0 0 0 1 10
0 1 0 0 0 0 0 1 0 10
0 0 1 0 0 0 0 -1 -1 -5
0 0 0 1 0 0 0 -1 -2 -10
0 0 0 0 1 0 0 0 0 5
0 0 0 0 0 1 0 1 2 20
0 0 0 0 0 0 1 1 1 15
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
(3)
Dari Sistem Persamaan Linear (SPL) yang sudah disederhanakan di
atas, diperoleh nilai a2,2 yaitu 5. Artinya, bilangan yang menempati kotak
tengah pada Magic Square berukuran 3 × 3 haruslah 5. Kemudian, dari
Sistem Persamaan Linear (SPL) tersebut diperoleh pula 6 persamaan
berikut:
a1,1 = 10 ‒ a3,3
a1,2 = 10 ‒ a3,2
a1,3 = ‒5 + a3,2 + a3,3 (4)
a2,1 = ‒10 + a3,2 + 2a3,3
a2,3 = 20 ‒ a3,2 ‒ 2a3,3
a3,1 = 15 ‒ a3,2 ‒ a3,3
(a3,2; a3,3) a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3
(1,6) 4 9 2 3 5 7 8 1 6
(1,8) 2 9 4 7 5 3 6 1 8
(3,4) 6 7 2 1 5 9 8 3 4
(3,8) 2 7 6 9 5 1 4 3 8
(7,2) 8 3 4 1 5 9 6 7 2
(7,6) 4 3 8 9 5 1 2 7 6
(9,2) 8 1 6 3 5 7 4 9 2
(9,4) 6 1 8 7 5 3 2 9 4
Dari tabel di atas, kemudian dapat diperoleh 8 kumpulan bilangan
pada 8 buah Magic Square berukuran 3 × 3 yang mana ini disebut sebagai
penyelesaian Magic Square berukuran 3 × 3. Kedelapan Magic Square
tersebut adalah:
4 9 2 2 9 4 6 7 2 2 7 6
3 5 7 7 5 3 1 5 9 9 5 1
8 1 6 6 1 8 8 3 4 4 3 8
8 3 4 4 3 8 8 1 6 6 1 8
1 5 9 9 5 1 3 5 7 7 5 3
6 7 2 2 7 6 4 9 2 2 9 4
PENUTUP
4.1 Kesimpulan
Dari pembahasan yang sudah dijabarkan pada bab sebelumnya, maka
dapat disimpulkan langkah-langkah menyelesaikan Magic Square berukuran
3 × 3 dengan menggunakan Sistem Persamaan Linear (SPL) yaitu sebagai
berikut :
1. Menentukan bentuk umum dari Magic Square dan bilangan magic
2. Menentukan bentuk umum Sistem Persamaan Linear (SPL) dari
Magic Square
3. Menentukan bentuk umum matriks yang bersesuaian dengan Sistem
Persamaan Linear (SPL) dari Magic Square
4. Melakukan operasi baris elementer (OBE) terhadap matriks yang dari
Sistem Persamaan Linear (SPL) yang telah terbentuk
5. Menyusun kembali ke bentuk Sistem Persamaan Linear (SPL) dari hasil
operasi baris elementer (OBE)
6. Mencari penyelesaian Magic Square dengan menggunakan prinsip
solusi umum Sistem Persamaan Linear (SPL)
DAFTAR PUSTAKA
1. Pertanyaan Qori:
Magic Square ukuran 3x3 kenapa bentuk matriks yg diperbesar jadi ukurannya
berubah? Lalu penerapan Magic Square dalam kehidupan sehari-hari
contohnya apa?
Jawab Lisa:
Dari Magic Square ukuran 3x3 itu kan ada 9 variabel yang berbeda dan
dalam sistem persamaan linear itu sesuai yang tertera di atas. Untuk koefisien-
koefisiennya dituangkan dalam matriks yang diperbesar sehingga diperoleh
matriks sebagai berikut. Nah jika dikembalikan dengan cara mengalikan maka
diperoleh ke bentuk sistem persamaan linear.
Jawab Khofifah:
Implementasi magic square dalam kehidupan sehari-hari ada dalam
permainan sudoku, selain itu bisa dimanfaatkan dalam membuat pola-pola
seperti pola bunga dan pemandangan sehingga menjadi sebuah karya seni.
Jawab Arofah:
Banyak kolom pada matriks yang diperbesar disesuaikan dengan
banyaknya variabel yang terdapat pada SPL yaitu sebanyak 9 variabel dari a1,1
hingga a3,3, sehingga banyak kolom matriks tersebut adalah 9. Sementara itu,
banyak baris pada matriks yang diperbesar tersebut disesuaikan dengan
banyak persamaan dalam SPL tersebut. Persamaan dalam SPL terbentuk dari
penjumlahan setiap baris, kolom, dan diagonal pada magic square. Karena
magic square berukuran 3x3 memiliki 3 baris, 3 kolom, dan 2 diagonal, maka
banyaknya persamaan yang terbentuk pada SPL pun sebanyak 8 persamaan,
inilah mengapa banyak baris pada matriks yang diperbesar yang bersesuaian
dengan SPL tersebut adalah 8.
2. Pertanyaan Yuliana:
Dalam penyelesaian tadi kenapa a3,2 haruslah bilangan ganjil dan a3,3 haruslah
bilangan genap?
Jawab Arofah:
Penetapan nilai a3,2 ganjil dan a3,3 genap dilakukan dengan tujuan untuk
memenuhi syarat dari magic square, yaitu tidak ada bilangan-bilangan pada
magic square yang berulang atau digunakan lebih dari satu kali. Karena
banyak kotak pada magic square ukuran 3 x 3 adalah 9, maka terdapat 9
bilangan yang dapat digunakan untuk mengisikan kotak-kotak tersebut, yaitu
bilangan dari 1 sampai 9. Sedangkan ingat bahwa angka 5 sudah digunakan
untuk menggantikan nilai variabel a2,2, maka tersisa 8 bilangan, dimana
kedelapan bilangan tersebut terdiri atas 4 bilangan ganjil dan 4 lainnya genap.
Dengan demikian, syarat agar tidak terjadi pengulangan bilangan pada magic
square adalah bilangan yang diisikan selain untuk variabel a2,2 haruslah terdiri
atas 4 bilangan ganjil dan 4 bilangan genap. Inilah yang mendasari kita untuk
melakukan percobaan penentuan nilai ganjil-genap untuk variabel bebas a3,2
dan a3,3. Dalam hal ini, percobaan yang dapat dilakukan adalah:
mensubstitusikan nilai ganjil untuk a3,2 dan a3,3 ganjil; a3,2 ganjil dan a3,3
genap; a3,2 genap dan a3,3 ganjil; a3,2 genap dan a3,3 genap. Dari percobaan
tersebut, pilihlah kemungkinan yang menghasilkan 4 nilai genap dan 4 nilai
ganjil untuk setiap variabel utama dan variabel bebas, maka kita akan temukan
hasil yang tepat adalah a3,2 ganjil dan a3,3 genap.
3. Pertanyaan Berlian:
Asal rumus m itu diperoleh darimana?
Jawab Wina:
4. Pertanyaan Venti:
Magic Square itu tidak harus ukuran 3x3 kan, nah yang ukuran 3x3 kenapa
ada 8 persamaan jika dinyatakan dalam sistem persamaan linear? Lalu untuk
yang ukuran nxn ada berapa persamaan?
Jawab Lisa:
Dari bentuk Magic Square 3x3 itu kana da 3 baris, 3 kolom, dan 2
diagonal dari situ 3 baris menjadi 3 buah persamaan, 3 kolom menjadi 3 buah
persamaan, dan 2 diagonal menjadi 2 buah persamaan jadi totalnya ada 8
persamaan yang membentuk sistem persamaan linear. Nah, untuk yang ukuran
nxn kana da n baris, n kolom, dan diagonalnya tetap 2 maka persamaannya
ada n+n+2 buah persamaan.