Nothing Special   »   [go: up one dir, main page]
Scribd Logo
Unggah

Selamat datang di Scribd!

  • 442 tayangan

    Akar Bilangan Kompleks (Pertemuan 5)

    Diunggah oleh

    Muhammad Risqul
    Dokumen tersebut membahas rumus umum akar pangkat dari bilangan kompleks berdasarkan Teorema De Moivre. Teorema ini menyatakan bahwa akar pangkat n dari bilangan kompleks z = r(cosθ + isenθ) adalah rn(cosnθ + isnθ). Dokumen tersebut juga mendefinisikan akar pangkat n dari bilangan kompleks w sebagai bilangan kompleks z yang memenuhi zn = wn, dan memberikan contoh penyelesaian soal terk

    Hak Cipta:

    © All Rights Reserved
    Unduh sebagai PDF, TXT atau baca online dari Scribd

    Akar Bilangan Kompleks (Pertemuan 5)

    Diunggah oleh

    Muhammad Risqul
    442 tayangan5 halaman
    Dokumen tersebut membahas rumus umum akar pangkat dari bilangan kompleks berdasarkan Teorema De Moivre. Teorema ini menyatakan bahwa akar pangkat n dari bilangan kompleks z = r(cosθ + isenθ) adalah rn(cosnθ + isnθ). Dokumen tersebut juga mendefinisikan akar pangkat n dari bilangan kompleks w sebagai bilangan kompleks z yang memenuhi zn = wn, dan memberikan contoh penyelesaian soal terk

    Deskripsi Asli:

    Hak Cipta

    © © All Rights Reserved

    Format Tersedia

    PDF, TXT atau baca online dari Scribd

    Apakah menurut Anda dokumen ini bermanfaat?

    Apakah konten ini tidak pantas?

    Dokumen tersebut membahas rumus umum akar pangkat dari bilangan kompleks berdasarkan Teorema De Moivre. Teorema ini menyatakan bahwa akar pangkat n dari bilangan kompleks z = r(cosθ + isenθ) adalah rn(cosnθ + isnθ). Dokumen tersebut juga mendefinisikan akar pangkat n dari bilangan kompleks w sebagai bilangan kompleks z yang memenuhi zn = wn, dan memberikan contoh penyelesaian soal terk

    Hak Cipta:

    © All Rights Reserved
    Unduh sebagai PDF, TXT atau baca online dari Scribd
    Unduh sebagai pdf atau txt
    442 tayangan5 halaman

    Akar Bilangan Kompleks (Pertemuan 5)

    Diunggah oleh

    Muhammad Risqul
    Dokumen tersebut membahas rumus umum akar pangkat dari bilangan kompleks berdasarkan Teorema De Moivre. Teorema ini menyatakan bahwa akar pangkat n dari bilangan kompleks z = r(cosθ + isenθ) adalah rn(cosnθ + isnθ). Dokumen tersebut juga mendefinisikan akar pangkat n dari bilangan kompleks w sebagai bilangan kompleks z yang memenuhi zn = wn, dan memberikan contoh penyelesaian soal terk

    Hak Cipta:

    © All Rights Reserved
    Unduh sebagai PDF, TXT atau baca online dari Scribd
    Unduh sebagai pdf atau txt
    dari 5

    Akar Bilangan Kompleks

    Sebelum membicarakan akar bilangan kompleks, terlebih dahulu akan dibahas rumus De
    Moivre sebagai dasar untuk memperoleh rumus umum akar pangkat dari bilangan kompleks .

    Diberikan dengan dan , diperoleh:

    ( ) ( )

    Perumuman dari memberikan:

    ( ) ( )

    Jika diperoleh:

    untuk setiap

    Berdasarkan uraian di atas, gagasan tersebut disajikan pada teorema yang dikenal dengan
    Teorema De Moivre.

    Teorema 1.3.1 (De Moivre):

    Jika 𝑧 𝐶 dengan 𝑧 𝑟( 𝜃 𝑖 𝜃), maka 𝑧 𝑛 𝑟𝑛( 𝑛𝜃 𝑖 𝑛𝜃) untuk setiap


    𝑛 𝑁.

    Bukti:

    Gunakan induksi matematika.

    (1). Untuk , maka ( )

    (2). Jika benar untuk , diperoleh ( ) Selanjutnya akan


    ditunjukkan benar untuk .

    ( ) ( )

    ( ( ) ( ))

    ( ( ) ( ) )

    Jadi terbukti bahwa:

    ( ) untuk setiap
    Teorema De Moivre berlaku untuk setiap , hal ini dapat diperluas untuk setiap .
    Perluasan tersebut disajikan pada teorema berikut.

    Teorema 1.3.2:

    Jika 𝑧 𝐶 dengan 𝑧 𝑟( 𝜃 𝑖 𝜃), maka 𝑧 𝑛 𝑟𝑛( 𝑛𝜃 𝑖 𝑛𝜃) untuk setiap


    𝑛 𝑍.

    Akar pangkat dari bilangan real positif dinotasikan dengan √ . Sedangkan dalam sistem
    bilangan kompleks, akar pangkat dari bilangan kompleks dinotasikan dengan tidak
    dengan √ .

    Definisi:

    Diberikan 𝑧 𝑤 𝐶. Akar pangkat 𝑛 dari 𝑤 ditulis 𝑤 𝑛 didefinisikan sebagai bilangan


    kompleks 𝑧 sehingga berlaku:

    𝑍𝑛 𝑤𝑛 𝑁, dan 𝑛 ≥ 2

    Contoh:

    Hitunglah !

    Penyelesaian:

    Cara 1:

    Namakan , diperoleh:

    ( )( )

    atau

    Untuk diperoleh

    Untuk , diperoleh √ atau √


    Cara 2:

    Namakan , diperoleh:

    ( )

    ( ) ( )

    Akibatnya, diperoleh sistem persamaan:

    Penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah:

    √ √ dan

    Jadi akar pangkat 3 dari adalah:

    √ √
    2 2 2 2
    Cara 3:

    Namakan , diperoleh . Jika ( ), diperoleh

    ( )
    2 2
    Menurut sifat kesamaan dua buah bilangan kompleks diperoleh:

    , maka

    2 , maka

    Jadi,

    2 2
    ( ) ( )

    Untuk diperoleh √
    Untuk diperoleh √

    Untuk 2 diperoleh

    Berdasarkan penyelesaian cara 3 di atas, pangkat dari bilangan kompleks disajikan pada
    teorema berikut.

    Teorema 1.3.3:
    𝜃 𝑘𝜋 𝜃 𝑘𝜋
    Diberikan 𝑧 𝑤 𝐶 dengan 𝑤 𝑟( 𝑖 ) dengan 𝑘 2 𝑛
    𝑛 𝑛

    Contoh:

    Tentukan akar-akar dari persamaan 2 2√ .

    Penyelesaian:

    Namakan 2 2 √ dan . Diperoleh | | √ 2 √

    √ √
    dan , maka

    Jadi diperoleh,

    √ ( ) dengan

    2( ( ) ( ))

    Untuk maka 2( ) √

    Untuk , maka 2( ) √
    Latihan:

    1. Hitunglah:
    a. ( )
    b. ( )
    2. Tentukan akar-akar dari persamaan:
    a.
    b.
    √

    Anda mungkin juga menyukai