3499 11059 1 PB
3499 11059 1 PB
3499 11059 1 PB
Rizqona Maharani
STAIN Kudus, Jawa Tengah, Indonesia
rmaharanii@yahoo.com
Abstract
The purpose of this paper is to determine the solution of second-
order linier differential equation for simple and physical
pendulum motion. Based on the analysis of force components,
the pendulum motion forms a homogeneous second-order linier
differential equation with constant coefficients denoted by 𝜃 ′′ +
𝑔
𝐿
𝜃 = 0 . The method used to solve the second-order linier
differential equation is the Laplace Transform. The choice of
method is based on the ease of solving the initial value problems
by changing domain t with domain s using algebraic equations
or using tables that contain laplace transform. The result of this
study is solution of second-order linier differential equation by
using laplace transform which in form
𝑠𝐴
𝜃(𝑡) = ℒ −1 {𝜃(𝑠)} = ℒ −1 { 2 }
𝑠 + 𝜔2
Then, the solution can be used to determine the equation of
pendulum motion which include the equation of displacement,
velocity, and acceleration of the simple and physical pendulum.
Abstrak
Tujuan paper ini adalah untuk menentukan penyelesaian
persamaan diferensial linier orde dua gerak pendulum
sederhana dan fisis. Berdasarkan analisis komponen gayanya,
maka gerak pendulum membentuk persamaan diferensial
linier orde dua homogen dengan koefisien konstan yang
𝑔
dinyatakan dengan 𝜃 ′′ + 𝜃 = 0. Metode yang digunakan
𝐿
APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE PADA PERSAMAAN...
A. PENDAHULUAN
Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang digunakan
secara luas dalam berbagai bidang kehidupan, termasuk dalam m
enyelesaikan permasalahan di bidang teknik, fisika, ekonomi dan
yang lainnya. Permasalahan pada bidang tersebut kemudian
diidentifikasi, dirumuskan, dan dimodelkan untuk dapat ditentukan
solusinya. Adapun pemodelan yang menggunakan simbol
matematika dan logika untuk menyajikan permasalahan objek
disebut pemodelan matematika atau pemodelan simbolik (Susanta,
2008: 1.6).
Tujuan dari pemodelan matematika adalah untuk
memberikan diskripsi terkait keadaan, sifat, maupun perilaku objek
agar mudah dikenali, diperlajari, dan dimanipulasi (Susanta, 2008:
1.4). Hal yang perlu dilakukan saat menyusun model matematika
pada suatu permasalahan adalah mengidentifikasi semua besaran
yang terlibat dalam masalah tersebut, memberi lambang pada semua
besaran, menentukan satuan untuk semua besaran, menentukan
besaran konstanta dan variabel, menentukan hubungan variabel dan
konstanta sehingga terbentuk model matematika, mencari solusi
B. PEMBAHASAN
Persamaan Diferensial Linier Orde Dua Homogen dengan
Koefisien Konstan
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat
fungsi yang tidak diketahui dan derivatifnya. Persamaan diferensial
ditinjau dari banyaknya variabel bebas dari fungsi yang tidak
diketahui, dikelompokkan menjadi persamaan diferensial biasa dan
persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial biasa adalah
persamaan diferensial dimana fungsi yang tidak diketahui adalah
fungsi dari satu variabel bebas. Sedangkan persamaan diferensial
parsial adalah persamaan diferensial yang memuat derivatif parsial
fungsi yang tidak diketahui terhadap dua atau lebih variabel bebas
(Suyono, 2003: 1-2). Sedangkan orde dari persamaan diferensial
ditunjukkan oleh derivatif tertinggi yang muncul dalam persamaan
tersebut (Boyce, 2001: 18).
Selain itu, persamaan diferensial juga dikelompokkan
menjadi persamaan linier atau nonlinier. Persamaan diferensial biasa
'
yang dinyatakan ke dalam bentuk F (t , y, y ,..., y
(n)
) 0 merupakan
linier jika F merupakan fungsi linier dari variabel-variabel
y, y ' ,..., y ( n ) . Definisi tersebut juga berlaku untuk persamaan
diferensial parsial. Persamaan diferensial linier orde n adalah
persamaan yang berbentuk:
dn y dn−1 y dy
a0 (t) dtn + a1 (t) dtn−1 + ⋯ + an−1 (t) dt + an (t)y = g(t) ...(1)
dn y dn−1 y dy
a0 + a1 + ⋯ + an−1 + an y = 0 ...(2)
dtn dtn−1 dt
Dengan a0 , a1 , ..., an konstan dan ≥ 2
(Suyono, 2003: 34)
𝑑2 𝑦 𝑑𝑦
a0 𝑑𝑥 2 + a1 𝑑𝑥 + a2 𝑦 = 0 ...(3)
Transformasi Laplace
Definisi 1 Transformasi Laplace dari fungsi F(t) didefinisikan sebagai
berikut:
𝑥
ℒ{𝐹(𝑡)} = 𝑓 (𝑠) = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹(𝑡)𝑑𝑡 ...(4)
∞ 𝑁
𝑓 (𝑠) = ℒ{𝐹 (𝑡)} = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹 (𝑡)𝑑𝑡 = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹 (𝑡)𝑑𝑡 +
∞
∫𝑁 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹(𝑡)𝑑𝑡
∞ ∞
|∫𝑁 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹(𝑡)𝑑𝑡| ≤ ∫𝑁 𝑒 −𝑠𝑡 |𝐹(𝑡)|𝑑𝑡
∞
≤ ∫𝑁 𝑒 −𝑠𝑡 𝑀𝑒 𝛾𝑡 𝑑𝑡
∞
≤ 𝑀 ∫𝑁 𝑒 −𝑠𝑡 𝑒 𝛾𝑡 𝑑𝑡
1 ∞
≤ 𝑀 [−(𝑠−𝛾) 𝑒 −(𝑠−𝛾)𝑡 ]
𝑁
𝑀𝑒 −(𝑠−𝛾)𝑁
=− −(𝑠−𝛾)
, untuk 𝑠 > 𝛾
∞
Jadi ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹 (𝑡)𝑑𝑡 ada untuk semua 𝑠 > 𝛾
Definisi 4 (Invers Transformasi Laplace) Jika ℒ{F(t)} = f(s), maka
F(t) disebut suatu invers transformasi Laplace dari f(s) dan secara
simbolis ditulis F(t) = ℒ −1 {𝑓(𝑠)}.
transformasi Laplace sehingga 𝑓(𝑠) dan 𝑔(𝑠) ada, jika 𝑓(𝑠) = 𝑔(𝑠)
untuk 𝑠 > 𝛾 maka 𝐹(𝑡) = 𝐺(𝑡) pada selang kekontinuannya.
Bukti:
∞
𝑓 (𝑠) = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹 (𝑡) 𝑑𝑡 ada, jadi konvergen
∞
𝑔(𝑠) = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐺(𝑡) 𝑑𝑡 ada, jadi konvergen
∞ ∞
𝑓 (𝑠) = 𝑔(𝑠) maka ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹 (𝑡) 𝑑𝑡 = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐺 (𝑡) 𝑑𝑡
∞ ∞
Atau ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 − ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐺(𝑡) 𝑑𝑡 = 0
∞ ∞
∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐺(𝑡) 𝑑𝑡
∞ ∞
∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 − ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐺(𝑡) 𝑑𝑡 = 0
𝑒 −𝑠𝑡 ≠ 0 maka 𝐹 (𝑡) − 𝐺 (𝑡) = 0
Jadi 𝐹(𝑡) − 𝐺 (𝑡) dalam selang kekontinuannya
Bukti:
𝑥
Misalkan ℒ{𝐹1 (𝑡)} = 𝑓1 (𝑠) = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹1 (𝑡)𝑑𝑡 dan
𝑥
ℒ{𝐹2 (𝑡) } = 𝑓2 (𝑠) = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹2 (𝑡)𝑑𝑡
∞
Maka ℒ{𝑐1 𝐹1 (𝑡) + 𝑐2 𝐹2 (𝑡)} = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 {𝑐1 𝐹1 (𝑡) + 𝑐2 𝐹2 (𝑡)} 𝑑𝑡
∞ ∞
= ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝑐1 𝐹1 (𝑡) 𝑑𝑡 + ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝑐2 𝐹2 (𝑡)𝑑𝑡
∞ ∞
= 𝑐1 ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹1 (𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑐2 ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹2 (𝑡)𝑑𝑡
= 𝑐1 ℒ{𝐹1 (𝑡)} + 𝑐2 ℒ{𝐹2 (𝑡)}
= 𝑐1 𝑓1 (𝑠) + 𝑐2 𝑓2 (𝑠)
Bukti:
𝑥
ℒ{𝐹 ′ (𝑡)} = ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹 ′ (𝑡)𝑑𝑡
𝑎
= lim ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹 ′ (𝑡)𝑑𝑡
𝑎→∞
𝑎
= lim {[𝑒 −𝑠𝑡 𝐹(𝑡)]𝑎0 + 𝑠 ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹 (𝑡)𝑑𝑡}
𝑎→∞
𝑎
= 0 − 𝐹 (0) + 𝑠 ∫0 𝑒 −𝑠𝑡 𝐹(𝑡)𝑑𝑡
= 𝑠𝑓(𝑠) − 𝐹 (0)
Bukti:
Menurut Teorema 4 ℒ{𝐺(𝑡)} = 𝑠ℒ{𝐺(𝑡)} − 𝐺 (0) = 𝑠𝑔(𝑠) − 𝐺(0)
Misalkan 𝐺 (𝑡) = 𝐹 ′ (𝑡), maka:
ℒ{𝐹 ′′ (𝑡)} = 𝑠ℒ{𝐹 ′ (𝑡)} − 𝐹 ′ (0)
= 𝑠[𝑠ℒ{𝐹 (𝑡)} − 𝐹(0)] − 𝐹 ′ (0)
= 𝑠 2 ℒ{𝐹(𝑡)} − 𝑠𝐹(0) − 𝐹 ′ (0)
= 𝑠 2 𝑓(𝑠) − 𝑠𝐹(0) − 𝐹 ′ (0)
Bukti:
Menurut Teorema 4 ℒ{𝐺(𝑡)} = 𝑠ℒ{𝐺(𝑡)} − 𝐺 (0) = 𝑠𝑔(𝑡) − 𝑔(0)
Misalkan 𝐺 (𝑡) = 𝐹 𝑛 (𝑡) dimana 𝑛 = 1, 2, 3, …, maka:
5 𝑎 sin 𝑎𝑡
𝑠2 − 𝑎2
6 𝑠 cosh 𝑎𝑡
𝑠 2 − 𝑎2
𝑎
7 𝑠 2 − 𝑎2 sin 𝑎𝑡
(Spiegel, 1993)
Gaya yang bekerja pada bola pendulum adalah gaya berat 𝑤 dan gaya
tegangan tali 𝐹𝑇 . Bila Tali membuat sudut 𝜃 terhadap vertikal, berat
memiliki komponen-komponen 𝑤 cos 𝜃 sepanjang tali dan 𝑤 sin 𝜃
tegak lurus tali dalam arah berkurangnya 𝜃. Karena tidak ada gaya
gesek udara, maka pendulum melakukan osilasi sepanjang busur
lingkaran dengan besar amplitudo tetap sama. Sehingga hubungan
Dengan,
𝑚: massa benda (kg)
𝑔 : percepatan gravitasi (𝑚/𝑠 2 )
𝑎 : percepatan (𝑚/𝑠 2 )
Pada gerak bandul tersebut akan mendekati gerak harmonik
sederhana jika mempunyai simpangan kecil. Dengan demikian untuk
sudut yang kecil, akan digunakan pendekatan sin 𝜃 ≈ 𝜃, sehingga
persamaan (1.1) menjadi:
𝑑2 𝑥
−𝑚𝑔 sin 𝜃 ≈ −𝑚𝑔𝜃 = 𝑚 2 … (1.2)
𝑑𝑡
𝑑2 𝑥 𝑑2 𝜃
Mengingat 𝑥 = 𝐿𝜃, maka 𝑑𝑡 2 = 𝐿 𝑑𝑡 2 . Sehingga persamaan (1.2) dapat
dinyatakan dengan:
𝑑2 𝜃
−𝑚𝑔𝜃 = 𝑚𝐿 𝑑𝑡 2
𝑑2 𝜃
−𝑔𝜃 = 𝐿
𝑑𝑡 2
𝑑2 𝜃 𝑔
=− 𝜃
𝑑𝑡 2 𝐿
𝑑2 𝜃 𝑔
𝑑𝑡 2
+𝐿𝜃 =0
′′ 𝑔
𝜃 +𝐿𝜃 =0 … (1.3)
𝑔
𝜃 ′′ + 𝜃=0
𝐿
𝜃 ′′ + 𝜔2 𝜃 =
0 … (1.4)
𝑔
Dengan 𝜔 adalah frekuensi sudut, 𝜔 = √ 𝐿
Jika diberikan syarat awal 𝜃(0) = 𝐴, 𝜃 ′ (0) = 𝐵 = 0, ℒ{𝜃} = 𝜃(𝑠)
maka dengan menggunakan transformasi Laplace pada kedua ruas
dari persamaan (1.4) diperoleh:
ℒ{𝜃 ′′ + 𝜔2 𝜃} = ℒ{0}
ℒ{𝜃 ′′ } + ℒ{𝜔2 𝜃} = 0
ℒ{𝜃 ′′ } + 𝜔2 ℒ{𝜃} = 0
[𝑠 2 ℒ{𝜃} − 𝑠𝜃 (0) − 𝜃 ′ (0)] + 𝜔2 ℒ{𝜃} = 0
𝑠 2 𝜃(𝑠) − 𝑠𝐴 − 𝐵 + 𝜔2 𝜃(𝑠) = 0
𝑠 2 𝜃(𝑠) − 𝑠𝐴 − 𝐵 + 𝜔2 𝜃(𝑠) = 0
(𝑠 2 + 𝜔2 )𝜃(𝑠) = 𝑠𝐴 + 𝐵
𝑠𝐴+0
𝜃 (𝑠 ) =
𝑠 2 +𝜔 2
𝑠𝐴
𝜃(𝑠) =
𝑠 2 +𝜔 2
𝑠𝐴
ℒ −1 {𝜃(𝑠)} = ℒ −1 {𝑠2+𝜔2}
𝑠𝐴
𝜃(𝑡) = ℒ −1 {𝑠2+𝜔2}
𝑠
= 𝐴ℒ −1 { }
𝑠 2 +𝜔 2
= 𝐴 cos 𝜔𝑡
𝜃(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 0)
𝜃(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + ∅)
Berdasarkan persamaan perpindahan gerak pendulum yang sudah
diperoleh, maka dapat persamaan kecepatan dan percapatan
angularnya adalah
Dan
𝑑𝜔 𝑑(−𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + ∅))
𝛼 (𝑡) = = = −𝐴𝜔2 cos(𝜔𝑡 + ∅) 𝑟𝑎𝑑 2 /𝑠
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑2 𝜃
−𝑚𝑔ℓ sin 𝜃 = 𝐼 𝑑𝑡 2
𝑑2 𝜃
−𝑚𝑔ℓ𝜃 = 𝐼 𝑑𝑡 2
−𝑚𝑔ℓ𝜃 𝑑2𝜃
𝐼
= 𝑑𝑡 2
𝑑2 𝜃 𝑚𝑔ℓ𝜃
𝑑𝑡 2
+ 𝐼
=0
𝑚𝑔ℓ
𝜃 ′′ + 𝜃=0
𝐼
′′ 2
𝜃 +𝜔 𝜃 = 0 … (2.3)
𝑚𝑔ℓ
Dengan 𝜔 adalah frekuensi sudut yang bernilai√
𝐼
Bentuk persamaan (2.3) adalah termasuk persamaan diferensial
linear orde dua homogeny dengan koefisien konstan. Sama halnya
dengan permasalahan bandul sederhana, pada bandul fisis ini akan
diberikan syarat awal yang harus dipenuhi dan akan diselesaikan
dengan transformasi Laplace.
Jika diberikan syarat awal 𝜃(0) = 𝐴, 𝜃 ′ (0) = 𝐵 = 0, ℒ{𝜃} = 𝜃(𝑠)
maka dengan menggunakan transformasi Laplace pada kedua ruas
dari persamaan (2.3) diperoleh:
ℒ{𝜃 ′′ + 𝜔2 𝜃} = ℒ{0}
ℒ{𝜃 ′′ } + ℒ{𝜔2 𝜃} = 0
ℒ{𝜃 ′′ } + 𝜔2 ℒ{𝜃} = 0
[𝑠 2 ℒ{𝜃} − 𝑠𝜃 (0) − 𝜃 ′ (0)] + 𝜔2 ℒ{𝜃} = 0
𝑠 2 𝜃(𝑠) − 𝑠𝐴 − 𝐵 + 𝜔2 𝜃(𝑠) = 0
𝑠 2 𝜃(𝑠) − 𝑠𝐴 − 𝐵 + 𝜔2 𝜃(𝑠) = 0
(𝑠 2 + 𝜔2 )𝜃(𝑠) = 𝑠𝐴 + 𝐵
𝑠𝐴+0
𝜃(𝑠) = 𝑠2 +𝜔2
𝑠𝐴
𝜃(𝑠) = 𝑠2 +𝜔2
𝑠𝐴
= ℒ −1 {𝑠2 +𝜔2}
𝑠
= 𝐴ℒ −1 { }
𝑠 2+𝜔 2
= 𝐴 cos 𝜔𝑡
𝜃(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 0)
𝜃(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + ∅)
Berdasarkan analisis komponen-kompenen gaya yang
bekerja pada pendulum biasa dan fisis diperoleh pemodelan
matematika yang berbentuk persamaan diferensial linier orde dua
yang diberikan syarat awal tertentu. Kemudian dengan
menggunakan metode transformasi laplace diperoleh persamaan
gerak pendulum biasa dan fisis, yaitu 𝜃(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + ∅). Kedua
pendulum tersebut memiliki persamaan perpindahan yang sama
sehingga untuk persamaan kecepatan dan percepatannya juga sama.
Akibatnya jika kedua pendulum diberikan simpangan dan 𝜔𝑡 yang
sama, maka diperoleh besar magnitudo perpindahan, kecepatan, dan
percepatan yang sama pula.
C. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan terkait aplikasi transformasi laplace pada
permasalahan pemodelan matematika dalam mencari persamaan
gerak pendulum sederhana dan fisis yang berupa PD linier orde dua
homogen dengan koefisien konstan dapat dilakukan dengan
menganalisis terlebih dahulu komponen-komponen yang bekerja
pada pendulum sederhana dan pendulum fisis, sehingga terbentuk
persamaan diferensial homogen dengan syarat awal. Bentuk umum
persamaannya adalah 𝜃 ′′ + 𝜔2 𝜃 = 0 . Ambil transformasi Laplace
dari persamaan diferensial dan gunakan syarat awalnya sehingga
terbentuk ℒ{𝜃} = 𝜃(𝑠) . Selanjutnya, digunakan transformasi Laplace
dari 𝜃(𝑠) sehingga terbentuk 𝜃(𝑡) = ℒ −1 {𝜃(𝑠)}. Akibatnya, diperoleh
persamaan gerak pendulum sederhana dan fisis 𝜃(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 +
∅). Hal itu berarti jika simpangan dan 𝜔𝑡 kedua pendulum sama,
maka besar magnitudo perpindahan, kecepatan dan percepatan
pendulum juga sama.
DAFTAR PUSTAKA