FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB)

Dosen Pembimbing:

Siti Maryatul Kiptiyah, S.Si, S.Pd., M.Pd.

Disusun oleh:

1. Candrika Deva Yani (1401420024)

2. Intan Nurkhaliza (1401420181)

3. Fadi Majid Muhammad (1401420324)

PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA

PRODI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR

FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

TAHUN 2020/2021
 KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT. karena telah melimpahkan karunia-Nya kepada kita
semua, sehingga kami dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “Faktor Persekutuan
Terbesar (FPB)” secara tepat waktu tanpa terkendala suatu halangan apapun. Tidak lupa
shalawat serta salam kita tujukan kepada Nabi Muhammad SAW. yang kita nantikan
syafaatnya di akhirat kelak.

Makalah ini disusun unutk memenuhi tugas mata kuliah “Pendalaman Materi
Matematika” dari Ibu Siti Maryatul Kiptiyah, S.Si, S.Pd., M.Pd. selaku dosen pengampu yang
memberikan tugas ini.

Makalah ini disusun dari beberapa sumber internet dan buku. Tak lupa kami
mengucapkan banyak terimakasih kepada pihak yang telah membantu dalam penyusunan
makalah ini.

Kami menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam pembuatan makalah ini.
Oleh karena itu, diharapkan kritik dan saran yang membangun demi perbaikan yang lebih
baik dimasa mendatang. Akhir kata, semoga makalah ini bermanfaat bagi kita semua.

Penulis

2
 DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR .............................................................................................................. 2

DAFTAR ISI............................................................................................................................. 3
BAB I PENDAHULUAN ......................................................................................................... 4
A. Latar Belakang .......................................................................................................... 4
B. Rumusan Masalah ..................................................................................................... 4
C. Tujuan ........................................................................................................................ 5
BAB II PEMBAHASAN .......................................................................................................... 6
A. Definisi Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) ......................................................... 6
B. Istilah-Istilah yang berkaitan dengan FPB ............................................................. 6
C. Cara Pengerjaan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)......................................... 7
D. Contoh Soal yang berkaitan dengan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) ........ 7
E. Contoh Soal Pemecahan Masalah Sehari-hari yang berkaitan dengan Faktor
Persekutuan Terbesar (FPB) .............................................................................................. 9
F. Bilangan Prima dan Faktorisasi Prima .................................................................... 10
G. Himpunan Faktor Persekutuan ............................................................................. 11
BAB III PENUTUP ................................................................................................................ 15
A. Kesimpulan ................................................................................................................... 15
B. Saran.............................................................................................................................. 15
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................. 16

3
 BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi (IPTEK) yang semakin pesat telah
membawa implikasi perubahan dalam dunia pendidikan. Oleh karena itu, dibutuhkan
matematika sebagai salah satu ilmu dasar yang dewasa ini telah berkembang amat pesat,
baik materi maupun kegunaannya.

Pendidikan matematika di tingkat SD mempunyai peranan yang sangat penting

sebab jenjang ini merupakan pondasi yang sangat menentukan dalam membentuk sikap,
kepribadian, dan kecerdasan anak. Pentingnya pendidikan matematika di tingkat SD
menuntut guru lebih kreatif dalam proses pembelajaran matematika. Tidak hanya
mengajarkan teori tetapi juga harus memberikan contoh-contoh yang erat kaitannya
dengan kehidupan sehari-hari.

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) merupakan salah satu materi penting yang
wajib dikuasai terutama sebagai calon guru di tingkat SD yang nantinya akan diajarkan
kepada siswa mulai kelas 4. Namun seringkali siswa masih kesulitan saat memecahkan
soal FPB. Hal ini karena beberapa factor, yakni penguasaan konsep yang kurang
maksimal dan metode mengajar guru yang kurang bervariasi dalam menyampaikan
materi, sehingga siswa merasa bahwa materi FPB sangat sulit dipahami di awal-awal.

B. Rumusan Masalah

1. Apa definisi dari Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)?

2. Apa saja istilah-istilah yang berkaitan dengan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)?
3. Bagaimana pengerjaan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)?
4. Bagaimana contoh soal Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan pengerjaannya?
5. Bagaimana contoh soal tentang pemecahan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)?
6. Bagaimana cara menentukan bilangan prima dan faktorisasi prima?

4
C. Tujuan

1. Untuk mengetahui definisi dari Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)?

2. Untuk mengetahui istilah-istilah yang berkaitan dengan Faktor Persekutuan Terbesar
(FPB)?
3. Untuk mengetahui cara pengerjaan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)?
4. Untuk mengetahui contoh soal Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan
pengerjaannya?
5. Untuk mengetahui contoh soal tentang pemecahan masalah sehari-hari yang berkaitan
dengan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)?
6. Untuk mengetahui cara menentukan bilangan prima dan faktorisasi prima?

5
 BAB II

PEMBAHASAN

A. Definisi Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Faktor persekutuan adalah faktor yang sama dari dua bilangan atau lebih. Faktor
Persekutuan Terbesar (FPB) adalah faktor persekutuan yang nilainya terbesar di antara
faktor-faktor persekutuan lainnya. Konsep FPB sering digunakan untuk
menyederhanakan pecahan, menentukan berapa potong kain yang terbesar, dan
sebagainya.

B. Istilah-Istilah yang berkaitan dengan FPB

1. Faktor
Faktor adalah bilangan-bilangan yang dapat membagi habis sebuah bilangan.
Contoh:
Angka 10 bisa dibagi habis oleh 1, 2, 5, 10. Jadi, 1, 2, 5, dan 10 adalah faktor dari 10.
2. Faktor Persekutuan
Faktor persekutuan adalah faktor-faktor yang sama dari dua bilangan atau lebih.
Contoh:
Tentukan faktor persekutuan dari 12 dan 18!
Faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12
Faktor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, 18
Jadi, faktor persekutuan dari 12 dan 18 adalah 1, 2, 3, dan 6.
3. Bilangan Prima
Bilangan prima adalah bilangan bulat positif dengan dua faktor, yaitu hanya dapat
dibagi 1 dan bilangan itu sendiri.
Contoh:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …
4. Faktor Prima
Faktor prima adalah faktor-faktor yang merupakan bilangan prima.
Faktor dari 15 adalah 1, 3, 5, 15
Jadi, faktor prima dari 15 adalah 3 dan 5.

6
 5. Faktorisasi Prima
Faktorisasi prima adalah proses menyatakan suatu bilangan bulat sebagai hasil
perkalian dari faktor-faktor prima.
Contoh:
Faktorisasi prima dari 75 adalah 3×5×5 atau 3×52

C. Cara Pengerjaan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

1. Menggunakan Himpunan Faktor Persekutuan

a. Tentukan faktor dari masing-masing bilangan
b. Tentukan faktor persekutuan dari kedua bilangan
c. Tentukan bilangan faktor persekutuan yang terbesar
2. Menggunakan Pohon Faktor
a. Buatlah pohon faktor dari kedua bilangan yang dicari FPB-nya
b. Tulis faktorisasi primanya
c. Pilihlah bilangan pokok yang sama pada kedua faktorisasi prima
d. Jika bilangan tersebut memiliki pangkat yang berbeda, ambil bilangan prima
dengan pangkat yang terendah
3. Menggunakan Tabel
a. Buatlah tabel untuk mencari faktorisasi prima dari bilangan yang dicari FPB-nya
b. Bagilah bilangan tersebut dengan faktor prima sampai habis semua (ditandai
dengan hasil akhirnya harus 1 (satu))
c. Beri tanda pada faktor prima yang sama

D. Contoh Soal yang berkaitan dengan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Penyelesaian FPB menggunakan Himpunan Faktor Persekutuan

1) Tentukan FPB dari 18 dan 24!
Jawab:
Faktor dari 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Faktor dari 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Faktor persekutuan dari 18 dan 24 = {1, 2, 3, 6}
Jadi, FPB dari 18 dan 24 adalah 6.
2) Tentukan FPB dari 4, 8 dan 12

7
 Jawab:

Faktor dari 4 = {1, 2, 4}

Faktor dari 8 = {1, 2, 4, 8}
Faktor dari 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Faktor persekutuan dari 4, 8, dan 12 = {1, 2, 4}
Jadi, FPB dari 4, 8, dan 12 adalah 4.
Penyeselesaian FPB menggunakan Pohon Faktor
1) Tentukan FPB dari 48 dan 64
Jawab:

48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 24 x 3
64 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26
Jadi, FPB dari 64 dan 48 adalah 24 = 16
2) Tentukan FPB dari 24, 40, dan 72
Jawab:

8
 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
40 = 2 x 2 x 2 x 5 = 23 x 5
72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 23 x 32
Jadi, FPB dari 24, 40 dan 72 adalah 23 = 8

Penyelesaian FPB menggunakan Tabel

1) Tentukan FPB dari 75, 105, dan 120

Jawab:
75 105 120
2 75 105 60
2 75 105 30
2 75 105 15
3 25 35 5
5 5 7 1
5 1 7 1
7 1 1 1
Jadi, FPB dari 75, 105, dan 120 adalah 3 x 5 = 15.

E. Contoh Soal Pemecahan Masalah Sehari-hari yang berkaitan dengan Faktor

Persekutuan Terbesar (FPB)

1) Pak Glen menyediakan bantuan berupa 125 buah buku tulis dan 75 buah pena untuk
dibagikan ke anak-anak sebanyak-banyaknya. Tiap anak mendapatkan buku tulis dan
pena sama banyak. Berapa pena yang didapatkan oleh tiap anak?
Penyelesaian:
Diketahui: 125 buku dan 75 pena
Ditanya: pena yang didapatkan tiap anak
Jawab:
Tentukan dulu FPB dari 125 dan 75
125 = 5 x 5 x 5 = 53
75 = 3 x 5 x 5 = 3 x 52

9
 FPB dari 125 dan 75 adalah 52 atau 25. Jadi, banyaknya anak yang mendapatkan
bantuan buku tulis dan pena sama banyak adalah 25 anak.

Jadi, banyaknya pena yang didapatkan setiap anak:

75 : 25 = 3 buah.
2) Sasuke mempunyai 35 permen milkita dan 45 permen blaster. Permen tersebut akan
dimasukan dalam kotak dengan isi yang sama. Ada berapa kotak untuk permen
tersebut? Berapa permen milkita dan blaster pada masing-masing kotak?
Penyelesaian:
Diketahui: 35 milkita dan 45 blaster
Ditanya: banyaknya permen milkita dan blaster pada masing-masing kotak
Jawab:
Tentukan dulu FPB dari 35 dan 45
35 = 5 x 7
45 = 3 x 3 x 5 = 32 x 5
FPB 35 dan 45 adalah 5. Jadi, ada 5 kotak permen yang isinya sama.
Banyaknya permen milkita dalam masing-masing kotak:
35 : 5 = 7
Banyaknya permen blaster dalam masing-masing kotak:
45 : 5 = 9
Jadi, banyaknya permen milkita dalam masing-masing kotak sebanyak 7 buah,
sedangkan banyaknya permen blaster dalam masing-masing kotak sebanyak 9 buah.

F. Bilangan Prima dan Faktorisasi Prima

Bilangan Prima adalah bilangan yang hanya memiliki dua faktor pembagi (berupa
bilangan bulat positif), yaitu satu dan bilangan itu sendiri. Contoh bilangan yang
termasuk bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, dan 17. Kenapa bilangan-bilangan
tersebut adalah bilangan prima? Karena bilangan-bilangan tersebut hanya akan habis
dibagi oleh satu dan bilangan itu sendiri.

Sebagai contoh, 5 hanya akan habis dibagi oleh 1 dan 5, lalu 11 hanya akan habis
dibagi oleh 1 dan 11, dan seterusnya. Kenapa 1 bukan bilangan prima?

10
 Perhatikan definisi bilangan prima. Adapun 1 hanya memiliki satu faktor, yaitu 1. Maka
sudah jelas bahwa 1 bukan bilangan prima karena hanya memiliki satu faktor.

Faktor prima adalah faktor-faktor suatu bilangan yang berbentuk bilangan prima.
Sedangkan faktorisasi prima adalah perkalian faktor-faktor prima tersebut. Cara untuk
mendapatkan faktor prima dari sebuah bilangan adalah membagi bilangan tersebut
dengan bilangan prima sampai didapat hasil bagi berupa bilangan prima.

Sebagai contoh, kita ambil angka 12. Pertama-tama kita bagi 12 dengan 2,
didapat hasil baginya adalah 6. Selanjutnya, 6 kita bagi dengan 2, didapat hasil baginya
adalah 3. Karena 3 adalah bilangan prima, maka proses pemfaktoran selesai. Dengan
demikian didapat:

Faktor prima dari 12 adalah 2, 2, 3 sedangkan faktorisasi prima dari 12 adalah 2 x 2 x 3.

G. Himpunan Faktor Persekutuan

Perhatikan dua bilangan

a=6
b=8
Jika A adalah himpunan semua faktor dari a, dan B adalah himpunan semua faktor dari b,
serta C adalah himpunan semua faktor persekutuan dari a dan b, maka:
𝐴 = {−6, − 3, − 2, − 1, 1, 2, 3, 6 }
𝐵 = {−8, − 4, − 2, − 1, 1, 2, 4, 8}
𝐶 = {−2, −1, 1, 2 }

Unsur (anggota, elemen) dari C yang terbesar adalah 2. Dalam hal ini, 2 disebut faktor
persekutuan yang terbesar dari a=6 dan b=8.
2 juga disebut bilangan bulat positif terbesar yang membagi a=6 dan b=8.

Sekarang bagaimana kalau diambil 𝑎 = −6 dan 𝑏 = 8.

Didapat unsur dari C yang terbesar adalah 2. Dalam hal ini, 2 disebut faktor persekutuan
yang terbesar dari 𝑎 = −6 dan 𝑏 = 8. 2 juga disebut bilangan bulat positif terbesar yang
membagi 𝑎 = −6 dan 𝑏 = 8.

Dengan jalan yang sama, jika diambil 𝑎 = −6 dan 𝑏 = −8, maka juga akan diperoleh
faktor persekutuan terbesar dari 𝑎 = −6 dan 𝑏 = −8 adalah 2. Jika untuk menyatakan
faktor persekutuan terbesar dari a dan b digunakan lambang (𝑎, 𝑏) maka dapat ditentukan
bahwa:
(6,8) = 2
(−6,8) = 2
(−6, −8) = 2
Apa yang dapat Anda simpulkan?

11
Bagaimana dengan 𝑎 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = 6?
Bandingkan jika 𝑎 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = 0!

Definisi 1
Ditentukan 𝑥, 𝑦 𝜖 𝑍 dan keduanya tidak bersama-sama bernilai 0.
𝒑 𝝐 𝒁 disebut pembagi (faktor) persekutuan (common divisor, common factor) dari x
dan y jika 𝑝 ⃒ 𝑥 dan 𝑝 ⃒ 𝑦.

𝒑 𝝐 𝒁 disebut pembagi (faktor) persekutuan terbesar (gcd = greatest common divisor,

gcf = greatest common factor) dari x dan y jika p adalah bilangan bulat positif terbesar
yang membagi x (yaitu 𝑝 ⃒ 𝑥) dan membagi y (yaitu 𝑝 ⃒ 𝑦 ).

Notasi:
d =(x,y) dibaca d adalah faktor (pembagi) persekutuan terbesar dari x dan y.

𝑑 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) dibaca d adalah faktor (pembagi) persekutuan terbesar dari

𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 .

Perlu diperhatikan bahwa d =(a,b) didefinisikan untuk setiap pasang bilangan bulat
𝑎, 𝑏 𝜖 𝑍 kecuali 𝑎 = 0 dan 𝑏 = 0 secara bersama-sama.
Demikian pula, perlu dipahami bahwa (a,b) selalu bernilai bilangan bulat positif, yaitu
𝑑 𝜖 𝑍 dan 𝑑 > 0 (atau 𝑑 ≥ 1).

Dari contoh di atas tampak adanya pola bahwa (p,q) dapat dinyatakan sebagai kombinasi
linier px+qy dengan 𝑥, 𝑦 𝜖 𝑍.

Teorema 1
Jika 𝑑 = (𝑥, 𝑦) maka d adalah bilangan bulat positif terkecil yang mempunyai bentuk
px+qy untuk suatu 𝑝, 𝑞 𝜖 𝑍, yaitu d dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari x dan
y.

12
Teorema 2
Jika k 𝜖 𝑁, maka 𝑘(𝑥, 𝑦) = (𝑘𝑥, 𝑘𝑦).

Contoh
(10, 17) = (6.10, 6.17) = 6 (10,17) = 6.1 = 6

Teorema 3
𝑥 𝑦
Jika x,y 𝜖 𝑍 dan 𝑑 = (𝑥, 𝑦), 𝑚𝑎𝑘𝑎 (𝑑 , 𝑑) = 1.

Teorema 4
Jika (𝑥, 𝑡)dan (𝑦, 𝑡) = (𝑥𝑦, 𝑡) = 1

13
 Teorema 5. Algoritma Euclides

Contoh:
Carilah (205, 75) dengan Algoritma Euclides!

Jawab:
205 = 2.75 + 55,
75 = 1.55 + 20,
55 = 2.20 + 15,
20 = 1.15 + 5,
15 = 3.5 + 0
Jadi, (205, 75)= 5

14
 BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) adalah faktor persekutuan yang nilainya

terbesar di antara faktor-faktor persekutuan lainnya. Konsep FPB sering digunakan
untuk menyederhanakan pecahan, menentukan berapa potong kain yang terbesar, dan
sebagainya.

Terdapat istilah-istilah yang berkaitan dengan FPB yaitu : Faktor, Faktor

persekutuan, Bilangan prima, Faktor prima, Faktorisasi prima. Cara mengerjakan
faktor persekutuan terbesar terdapat 3 cara yaitu: Menggunakan Himpunan Faktor
Persekutuan, pohon faktor dan tabel.

B. Saran

Makalah ini dapat dimanfaatkan oleh pembaca sebagai bahan untuk

menunjang pengetahuan, jika ada kesalahan diharapkan kritik dan saran pembaca.
Gunakan juga buku penuntun lain dalam mempelajari tentang faktor persekutuan
terbesar.

15
 DAFTAR PUSTAKA

Ruang Guru. 2020. FPB dan KPK Serupa Tetapi Tak Sama.
https://www.google.com/amp/s/www.ruangguru.com/blog/fpb-dan-kpk-serupa-tetapi-tak-
sama%3fhs_amp=true (diakses pada tanggal 12 Maret 2021)

Kelas Pintar. 2020. FPB, Pengertian dan Berbagai Cara untuk Menghitungnya.
https://www.kelaspintar.id/blog/edutech/fpb-pengertian-dan-berbagai-cara-untuk-
menghitungnya-5506/amp/ (diakses pada tanggal 12 Maret 2021)

Cara Aimyaya. 2019. Faktor Prima dan Faktorisasi (Bilangan) Prima.

https://www.cara.aimyaya.com/2015/10/faktor-prima-dan-faktorisasi-prima.html?m=1
(diakses pada tanggal 12 Maret 2021)
http://anyflip.com/rcwrk/srse

16