TOPIK LEBIH LANJUT TENTANG TEORI KELOMPOK

PENGANTAR
Salah satu sifat dari suatu grup adalah bahwa ia mengandung identitas dan setiap elemen dari
sebuah grup memiliki kebalikannya. Di sini kita akan menunjukkan bahwa grup hingga yang
urutannya dapat dibagi oleh p prima harus selalu mengandung unsur pesanan p . Ini akan
ditetapkan oleh Teorema Cauchy's. Kami akan memperluas ide ini untuk pembagi kekuatan
utama menggunakan Teorema Sylow. Selain itu, pengantar yang sangat singkat akan
diberikan
kelompok Galois.
10.1 TEORI CAUCHY UNTUK KELOMPOK
Teorema I. (Teorema Cauchy's) Misalkan G menjadi kelompok terbatas dan misalkan
p menjadi bilangan prima yang membagi urutan G, maka G berisi elemen pesanan p .
CONTOH 1. Biarkan G menjadi kelompok terbatas dan biarkan p menjadi prima. Jika setiap
elemen G memiliki urutan kekuatan p , maka G memiliki perintah kekuasaan h .
Solusinya akan disajikan dengan argumen kontradiksi. Jika urutan G bukan
kekuatan p , maka di sana ada prime p’≠ p sedemikian rupa sehingga p’ membagi urutan G.
Jadi, menurut Teorema Cauchy, G memiliki elemen urutan p’ .Ini adalah kontradiksi.
10.2 KELOMPOK ORDER 2p DAN p2
Di sini kita akan mengklasifikasikan kelompok pesanan 2p dan p2 untuk setiap
prime p . Jika p ganjil, kita akan menggunakan Teorema Cauchy's
untuk menunjukkan bahwa setiap kelompok pesanan 2 p adalah siklik atau dihedral.
Teorema II. Misalkan G adalah grup dengan urutan 2 p di mana p adalah bilangan ganjil,
maka G adalah siklik atau dihedral.
Teorema III. Misalkan G adalah sekelompok orde p2 di mana p adalah prima, maka G adalah
abelian.
Untuk bukti, lihat Soal 10.9.
10.3 THE SYLOW THEOREMS
Teorema Sylow sangat berguna untuk menghitung elemen-elemen orde kekuatan utama yang
akan membantu tentukan struktur kelompok.
Teorema IV. (The First Sylow Theorem) Misalkan n adalah bilangan bulat non-negatif, G
adalah grup hingga yang urutannya dapat dibagi oleh pn , di mana p adalah prima. Kemudian
G berisi subkelompok pesanan pn .
Catatan.Teorema Sylow Pertama tidak menjamin subkelompok menjadi
normal. Faktanya, tak satu pun dari subkelompok mungkin normal.
DEFINISI 10.1: Misalkan G menjadi grup terbatas order pnk , di mana p adalah prima dan di
mana p tidak membagi k . Sebuah p-subgroup dari G adalah subkelompok urutan pm , di
mana m n . Sylow p -subgroup of G adalah subgroup pesanan pn .
CONTOH 2. Pertimbangkan kelompok angka empat
Q={±1 , ±i , ± j ± , ± k }
Q memiliki urutan 8 = 23 dengan semua subkelompoknya menjadi 2-subkelompok. Q sendiri
adalah satu-satunya Sylow 2-subkelompok.
DEFINISI 10.2: Untuk setiap subkelompok S dari G kelompok, normalizer dari S di G
didefinisikan sebagai himpunan N ( s)={g ∈ G , gS g−1=S }
Teorema V. Untuk setiap subkelompok S dari suatu kelompok hingga G, N ( S ) akan
menjadi subkelompok terbesar dari G yang mengandung S sebagai subkelompok normal.
Bukti Teorema V adalah sebagai berikut. Sekarang uS u−1=S  , jadi u ∈ N ( S) dan,
karenanya, N ( S) ≠ ∅.Jika a , b ∈ N (S),maka (a b−1)S (a−1 b)=a( b−1 Sb) a−1=a−1 Sa=S
.Dengan demikian, a , b ∈ N (S) dan N ( S) akan menjadi subkelompok G. Jadi, dengan
definisi N ( S), S adalah subkelompok normal N ( S) dan N ( S) berisi subkelompok yang
memiliki S sebagai subkelompok normal.
CONTOH 3. Pertimbangkan kelompok dihedral  D6 yang dihasilkan oleh αdan β, di mana α
memiliki urutan 6, β memiliki urutan 2, dan αβ =β α 5 5 . Set dengan 12 elemennya adalah
sebagai berikut:
D6={u , α , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 , β , β 2 , β 3 , β 4 , β 5 }
Ini dengan mudah dapat diverifikasi bahwa {u , α 3 } adalah 2-subkelompok D6 

. Jadi,  N ({u , α 3 })=D 6 .

Teorema VI. Mengingat bahwa G adalah grup hingga yang urutannya dapat dibagi oleh p ,
di mana p adalah prima, dan S adalah a Sylow p -subgroup dari G. Jika S’  adalah p-subgroup
dari N ( S ), maka S ' ⊆S .
Teorema VII. Mengingat bahwa G adalah grup hingga yang urutannya dapat dibagi oleh p ,
di mana p adalah prima. Jika S adalah Sylow p -subgroup dari G, maka S adalah satu-satunya
Sylow p -subgroup dari N ( S ).
Bukti singkat dari Teorema VII disajikan di bawah ini.
S adalah p- sub grup Sylow dari N ( S ) dan oleh Teorema VI, p-sub-grup lainnya, S’ ,
dari N ( S ) terkandung di S . Kemudian S’=S sejak urutan S’ sama dengan urutan S .
Teorema VIII. Mengingat bahwa G adalah grup hingga, S adalah subkelompok G,
dan p adalah prima. Lalu untuk semua g ∈G , gS g−1 juga merupakan subkelompok G. Selain
itu, jika S adalah Sylow p -subgroup, maka  gS g−1 juga merupakan Sylow p -subgroup.
DEFINISI 10.3: Jika x ∈ G, maka unsur-unsur dalam bentuk  gS g−1 untuk g ∈G
disebut konjugasi dari x .
Kita akan menggunakan  x G untuk menunjukkan himpunan semua konjugasi x oleh elemen G.
CONTOH 4. Biarkan G menjadi grup. Misalkan a , b ∈G. Kemudian a G=b G atau  a G ∩ bG=∅
Misalkan a G ∩ bG ≠ ∅ . Kemudian ada c ∈a G ∩ bG sehingga c=xa x−1dan c= yb y−1untuk
beberapa x , y ∈G. Lalu a=x−1 cx dan, karenanya, untuk
setiap d ∈a G , d=ga g−1=g x−1 cxg=g x−1 yb y−1 x g−1=(g x −1 y) y (g x−1 y )−1 ∈bG . Jadi
a G ⊆ b G .
Kita dapat menggunakan argumen yang sama untuk menunjukkan bahwa a G ⊇b G, dan,
karenanya, a G=b G .
Kami dapat memperluas notasi ini ke subkelompok.
DEFINISI 10.4: Subkelompok G’ dari grup G adalah konjugat dari subkelompok S dari G
jika ada g ∈G sehinggaG=gS g−1.
Catatan . Jika A adalah subkelompok G, maka himpunan semua konjugat S oleh
elemen A dilambangkan dengan SA dimana
S A ={aS a−1 ,sehingga a ∈ A }
Teorema IX. (Sylow Theorems) Diberikan bahwa G menjadi grup urutan hingga pnk
di mana p tidak membagi k dan p adalah prima. Misalkan Sp adalah jumlah Sylow p -
subgroup dari G. Lalu
(a) setiap p -subgroup terkandung dalam Sylow p -subgroup dari G; (The Sylow Theorem
Kedua)
(b) sembarang Sylow p -subgroups dari G adalah konjugat dalam G;
(c) S p ¼ mp þ 1 untuk beberapa non-negatif bilangan bulat m ;
(d) S  p membagi k ; b,c,d merupakan (Teori Sylow Ketiga)
Anda akan diminta untuk membuktikan Teorema Sylow sebagai latihan.
10.4 KELOMPOK GALOIS
Di bagian ini kami akan memperkenalkan kelompok Galois. Namun, topiknya terlalu maju
untuk level teks ini, dan karenanya hanya pengantar singkat akan diberikan. Disarankan agar
Anda diperkenalkan Lingkaran dan Lingkaran di Bab 11 dan 12 sebelum mempelajari bagian
ini.
Teorema X. Biarkan F menjadi subbidang (lihat Bab 11 dan 12) dari bidang f . Himpunan
semua otomorfisme f atau F sehingga f (r )=r untuk semua r di F dilambangkan
oleh Gal f /F . Yaitu, Gal f /F  terdiri dari semua fungsi f : F → F yang memenuhi berikut:
(a)  f menjaga penjumlahan dan perkalian
(b)  f adalah satu ke satu dan ke
(c) jika r ∈ F maka f (r )=r 
CONTOH 5. Biarkan z=(a+bi )∈ C  dan biarkan
f :C → C
sedemikian rupa sehingga f (z)= ź ∈C .
Sekarang, jika  f (z)=f (z 1 ), maka ź=z 1 . Jadi,  z= ź=f (z )=z 1=z 1. Ini menyiratkan
bahwa f adalah satu ke satu.
Selanjutnya, misalkan  z 2 ∈ C  , kode domain f . Sekarang  z 2=z 2 dan z 2 ∈ C , domain f . Yaitu,
untuk setiap  z 2 dalam codomain dari f , z 2 adalah domain dari f sehingga  f (z 2)=z 2=z 2. Ini
menyiratkan bahwa f adalah ke. Dapat ditunjukkan juga bahwa f mempertahankan
penambahan dan perkalian.
Diskusi di atas menyiratkan bahwa f adalah automorfisme C yang mana f (b)=b untuk
semua b ∈ R. Oleh karena itu, f ∈ Gal C /R.

Pertimbangkan bidang solusi dari polinomial  p(x )=0, dilambangkan dengan  F p(x), dimana
koefisien dari polinomial berada di F . Selain itu, jika F adalah subbidang dari  F p(x), biarkan
himpunan automorfisme dari beberapa fungsi yang membuat F tidak berubah dinotasikan
oleh Gal F p(x) /F . Kemudian fungsi dalam Gal F p(x) /F akan terkait dengan akar  p(x ). Jadi
salah satu caranya belajar tentang solusi dari  p(x )=0 akan mempelajari komposisi set Gal
F p(x) /F . Nanti, kapan Anda mempelajari struktur cincin dan bidang, Anda akan mengamati
bahwa set ini juga tidak mungkin diklasifikasi struktur karena set Gal F p(x) /F hanya
memiliki satu operasi alami: komposisi.
Teorema XI. Biarkan F menjadi subbidang (lihat Bab 11 dan 12) dari bidang F. Operasi
komposisi fungsi di Gal F /F kan memenuhi yang berikut:
(a) Jika  f , g ∈Gal F / F, maka f ∘ g∈ Gal F /F . ( Penutupan )
(b) Jika f , g , h ∈Gal F /F , makaf ∘( g ∘ h)=(f ∘ g)∘ h . ( Asosiasi )
(c) Ada i∈ Gal F /F yang unik sehingga untuk semua f ∈ Gal F/ F , f ∘ i=f =i∘ f  
(Keberadaan identitas )
( d ) Untuk semua f ∈ Gal F/ F, ada i∈ Gal F /F  sehingga f ∘ i=i=i∘ f   . ( Adanya invers )
Amati dari Teorema XI bahwa Gal F /F adalah grup sehubungan dengan komposisi fungsi.
Kelompok tersebut disebut kelompok Galois dari F lebih F .
DEFINISI 10.5: Biarkan F menjadi subbidang (lihat Bab 11 dan 12) dari bidang F.
Grup Galois dari F over F adalah himpunan Gal F /F dengan komposisi fungsi sebagai
operasi.
Memecahkan Masalah
10.1. Misalkan G adalah grup hingga dan untuk g 2 G sedemikian sehingga f g , g 2 , g 3 , ...
g adalah terbatas, maka ada positif integer k sehingga u ¼ g k .
Karena f g , g 2 , g 3 , ... g adalah terbatas, g n ¼ g m untuk beberapa bilangan bulat m > n >
1. Dengan demikian, m À n adalah bilangan bulat positif, dan
u g  n ¼ g n ¼ g  m ¼ g m À n g n sehingga u ¼ g m À n . Membiarkan k ¼ m À n ,
lalu u ¼ g  k .
10.2. Biarkan G menjadi grup dan biarkan g 2 G memiliki urutan hingga n . Kemudian
subkelompok yang dihasilkan oleh g , S ð g Þ¼f u , g , g 2 , ..., g n À1 g dan S ð g Þ
memiliki urutan n .
Mari A ¼ f u , g , g 2 , ..., g n A1 g, di mana unsur-unsur A adalah berbeda,
maka S ð g Þ¼f g k sehingga k 2 Zg A . Sebaliknya, jika k 2 Z, maka dengan algoritma
pembagian ada q , r 2 Z sehingga k ¼ nq þ r , 0
r < n .
Dengan demikian, g k ¼ g nq þ r ¼ ð g n Þ q g r ¼ u q g r 2 A , dan,
karenanya, S ð g Þ A . Oleh karena itu S ð g Þ ¼ A . Jadi, A memiliki tepat
n elemen; yaitu, S ( g ) memiliki pesanan n .
10.3. Urutan elemen apa pun dari grup hingga adalah terbatas dan itu membagi urutan grup.
Soal 10.1 menunjukkan bahwa elemen-elemen dari grup hingga selalu berurutan
terbatas. Soal 10.2 mengatakan itu urutan elemen tersebut adalah urutan subkelompok yang
dihasilkannya. Dengan demikian, oleh Teorema Lagrange, urutan subkelompok membagi
urutan grup.
10.4. Mari G menjadi grup dan membiarkan s , t bilangan bulat positif. Misalkan g memiliki
order s untuk g 2 G, maka g  t ¼ u jika dan hanya jika s membagi t .
Jika s membagi t , maka t ¼ sk untuk beberapa bilangan bulat
positif k dan g t ¼ g sk ¼ u k ¼ u . Juga, dengan algoritma pembagian untuk bilangan bulat
selalu ada q , r 2 Z sehingga t ¼ sq þ r , 0 r < s , dan jika g t ¼ u , maka
g  r ¼ g t À persegi ¼ g t ð g s Þ À q ¼ u . Karena s adalah daya positif minimal g yang
sama dengan u , maka r ¼ 0 dan karenanya s membagi t .
10.5. Biarkan H menjadi subkelompok dari grup G, dengan x 2 G. Misalkan f adalah fungsi
sedemikian sehingga f ð h Þ ¼ xh , di mana f adalah 1-1 dan ke. 
Jika H adalah terbatas, maka xH dan H memiliki jumlah elemen yang sama. Jika f ð a Þ
¼ f ð b Þ untuk a , b 2 H , maka xa ¼ xb , dan, karenanya, a ¼ b . Ini menyiratkan
bahwa f adalah 12:59 . Selanjutnya, jika xh 2 xH , lalu f ð h Þ ¼ xh dan, karenanya, f adalah
ke. Jika H terbatas, dan karena ada satu-ke-satu dan ke berfungsi dari H ke xH ,
maka H dan xH memiliki jumlah elemen yang sama.
10.6. Jika S adalah subkelompok indeks 2 dalam grup terbatas G, maka S adalah
subkelompok normal G.
Jika x 2 S , maka xS ¼ Sx . Hal ini dapat ditunjukkan bahwa setiap koset kanan juga memiliki
jumlah elemen yang sama seperti S .
Karena G hanya memiliki dua coset kiri, ia hanya memiliki dua coset kanan, dan dengan
demikian, jika x = 2 S , maka keduanya coset kiri xS
dan hak koset Sx harus terdiri dari semua unsur-unsur G yang tidak S . Itu adalah,
xS ¼ f g 2 G, g = 2 S g ¼ Sx . Dengan demikian, S adalah subkelompok normal dari G.
10.7. Misalkan G adalah sekelompok orde 2 p di mana p adalah prima ganjil, maka G hanya
memiliki satu subkelompok
memesan p .
Sekarang G memiliki satu dan hanya satu Sylow p -subgroup (buktikan). Karena p adalah
kekuatan tertinggi dari p yang membagi
order G, maka Sylow p -subgroup G adalah order p . Artinya, ada tepat satu subkelompok G
dari memesan p .
10.8. Setiap grup siklik adalah abelian.
Misalkan G adalah siklik dengan generator g dan x , y 2 G.
Kemudian x ¼ g n dan y ¼ g m untuk beberapa n , m 2 Z.
Karenanya, xy ¼ g  n g m ¼ g n þ m ¼ g m  g n ¼ yx dan karenanya G adalah abelian.
10.9. Misalkan G adalah sekelompok orde p 2 di mana p adalah prima, maka G adalah
abelian.
Biarkan urutan G menjadi p  2 , dan biarkan Z ðGÞ menjadi pusat G (lihat masalah
10.10). Kemudian urutan Z ðGÞ 6¼ 1
(membuktikan). Jika Z (G) ¼ G, maka G adalah abelian. Misalkan Z ðGÞ 6¼ G, maka urutan
G = Z ðGÞ ¼ p (Lagrange
Dalil). Dengan demikian, G = Z ðGÞ adalah siklik dan karenanya G adalah abelian (lihat
masalah 10.16).
Masalah Pelengkap
10.10. Biarkan G menjadi sembarang kelompok dan tentukan pusat G sebagai
Z ðGÞ ¼ f x 2 G, gx ¼ xg untuk semua g 2 Gg
Untuk setiap x 2 G, buktikan bahwa Z ðGÞ adalah grup abelian yang merupakan
subkelompok normal dari G.
10.11. Biarkan G menjadi grup apa saja dan tentukan
H ð x Þ¼f g 2 G, gx ¼ xg untuk semua g 2 Gg
Buktikan bahwa H ð x Þ adalah subkelompok G untuk setiap x 2 G.
10.12. Biarkan Q menjadi subkelompok Q ¼ fÆ1, Æ i , Æ j Æ k g dari kelompok perkalian
non zero-quaternions. Menemukan sebuah
kekuatan g n dari urutan k di mana g ¼ i 2 Q dan k ¼ 2.
10.13. Temukan semua konjugat dari elemen x di grup G ketika G ¼ S 3 dan x ¼ ð12Þ.
126
TOPIK LEBIH LANJUT TENTANG TEORI KELOMPOK
[CHAP. 10

Halaman 6
10.14. Tunjukkan bahwa Q = Z ð Q Þ adalah abelian mana kelompok angka empat Q ¼ fÆ1,
Æ i , Æ j Æ k g dan Z ð Q Þ ¼
f x 2 Q , gx ¼ xg untuk semua g 2 Q g.
10.15. Mengingat bahwa G adalah grup hingga dan p adalah bilangan prima yang membagi
urutan G. Buktikan bahwa ada x 2 G
sedemikian sehingga p membagi urutan H ð x Þ di mana H ð x Þ¼f g 2 G, gx ¼ xg , untuk
semua g 2 Gg.
10.16. Mengingat bahwa G adalah suatu kelompok, buktikan bahwa jika G = Z ðGÞ adalah
siklik, maka G adalah abelian ( Z ðGÞ didefinisikan dalam Soal 10.10).
10.17. Tunjukkan bahwa grup G ¼ S  5 memiliki pesanan n ¼ 8.
10.18. Tentukan semua 2-subkelompok S 3 .
10.19. Tentukan semua sub-grup Sylow 2 dari S 3 dan tentukan mana yang normal.
10.20. Untuk kelompok angka empat Q ¼ fÆ1, Æ i , Æ j , Æ k g,
( a ) Temukan semua 2-subkelompok Q ;
( b ) Temukan semua sub-grup Sylow 2 dari Q dan tentukan mana yang normal;
( c ) Tunjukkan bahwa S ¼ fÆ1, Æ i g adalah subkelompok Q dan temukan semua
normalizer S dalam Q ;
( D ) Tunjukkan bahwa S ¼ fÆ1, Æ k g yaitu subkelompok Q dan menemukan semua
konjugat dari S di Q .
10.21. Biarkan S menjadi subkelompok dari grup G dan biarkan g 2 G.
Tentukan f : S ! gsg À1 sedemikian rupa sehingga f ð s Þ ¼ gsg À1 . Tunjukkan
bahwa f adalah
satu lawan satu.
10.22. Biarkan G dan H menjadi kelompok dan biarkan S menjadi subkelompok dari H.
Biarkan f : G! H menjadi homomorfisme. Menunjukkan bahwa
Sebuah ¼ f x 2 G, f ð x Þ 2 S g yaitu subkelompok G.
10.23. Dalam Soal 10.23, jika S adalah subkelompok normal H, tunjukkan bahwa A adalah
subkelompok normal G.
10.24. Misalkan p adalah bilangan prima dan 0 < k < p . Jika G adalah grup dari order pk ,
tunjukkan bahwa jika S adalah subkelompok dari G dari
memesan p , maka S adalah subkelompok normal dari G.
10.25. Misalkan S adalah Sylow p -subgroup dari grup hingga G, di mana p adalah
prima. Buktikan bahwa jika gSg À1 S , maka g 2 N ð S Þ.
10.26. Misalkan p dan q adalah bilangan prima di mana p > q . Misalkan G adalah
sekelompok pesanan pq . Mengingat bahwa g adalah sebuah
elemen G of order p , menunjukkan bahwa S ð g Þ adalah subkelompok normal dari G.
10.27. Buktikan Teorema II, IV, dan IX.
10.28. Misalkan G adalah sekelompok orde 2 p , di mana p adalah prime yang
aneh. Tunjukkan bahwa G adalah abelian dan siklik.
BAB 10]
TOPIK LEBIH LANJUT TENTANG TEORI KELOMPOK
127

Teks asli
Group Theory
Sumbangkan terjemahan yang lebih baik