Bab 1, Bab 2, Bab 3-1
Bab 1, Bab 2, Bab 3-1
Bab 1, Bab 2, Bab 3-1
I. PENDAHULUAN
Topologi berasal dari bahasa Yunani yaitu topos yang berarti tempat dan
logos yang berarti cababng. Sehingga topologi merupakan suatu cabang ilmu
matematika yang bersangkutan dengan tata ruang yang tidak berubah dalam
deformasi dwikontinu (yaitu ruang yang dapat ditekuk, dilipat, disusut,
direntangkan, dan dipilin, tetapi tidak diperkenankan untuk dipotong, dirobek,
ditusuk, atau lainnya). Topologi modern sebagai bagian dari analisis muncul
pada abad ke-20 seiring berkembangnya teori himpunan. Namun, sebenarnya
topologi telah dirintis sejak tahun 1600-an. Gottfried W. Leibniz (1646-1716)
adalah orang pertama yang mengamati bahwa terdapat suatu geometri dimana
dalam mempelajarinya, posisi merupakan hal yang terpenting.
Adapun rumusan masalah dari makalah “Topologi Garis dan Bidang: Gabungan
dan Irisan Dua Himpunan, serta Himpunan Terhubung dan Himpunan Terpisah”,
adalah sebagai berikut:
1. Bagaimanakah Gabungan dan Irisan dua himpunan dalam ruang topologi?
2. Apakah syarat himpunan terhubung dalam ruang topologi?
3. Apakah syarat himpunan terpisah dalam ruang topologi?
1.3 Tujuan
Adapun tujuan dari makalah “Topologi Garis dan Bidang: Gabungan dan Irisan
Dua Himpunan, Himpunan Terhubung dan Himpunan Terpisah”, adalah sebagai
berikut:
1. Untuk mengetahui Gabungan dan Irisan dua himpunan dalam ruang
topologi.
2. Untuk mengetahui syarat himpunan terhubung dalam ruang topologi.
3. Untuk mengetahui syarat himpunan terpisah dalam ruang topologi.
3
II. PEMBAHASAN
Misal 𝑋 adalah suatu himpunan tidak kosong. Suatu kelas 𝜏 yang anggotanya
subset-subset dari 𝑋 disebut topologi pada X, bila dan hanya bila 𝜏 memenuhi
ketiga aksioma berikut:
1. 𝑋 𝑑𝑎𝑛 ∅ termasuk dalam 𝜏
2. Gabungan dari himpunan-himpunan anggota dari 𝜏 adalah anggota 𝜏
3. Irisan dari dua himpunan anggota 𝜏 adalah anggota 𝜏
Anggota-anggota dari 𝜏 disebut himpunan-himpunan buka dari 𝜏, dan 𝑋 bersama
𝜏 yaitu (𝑋, 𝜏) disebut ruang topologi.
Apabila T adalah suatu topologi pada X maka kelas himpunan bagian yang
tertutup dari X mempunyai sifat:
a. X dan ∅ adalah himpunan-himpunan yang tertutup.
b. Irisan dari sejumlah sebarang himpunan yang tertutup adalah tertutup.
c. Gabungan dari setiap dua himpunan yang tertutup adalah tertutup.
Contoh:
1. Dua topologi 𝑇1 dan 𝑇2 pada X={a,b,c,d,e} dengan 𝑇1 =
{𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}} dan 𝑇2 =
{𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}}. Apakah 𝑇1 ∩ 𝑇2 merupakan topologi
pada X?
2. X={1,2,3,4,5} dengan 𝑇1 = {𝑋, ∅, {1}, {5}, {1,5}}, 𝑇2 = {𝑋, ∅, {2}, {5}, {2,5}}.
Apakah 𝑇1 ∪ 𝑇2 merupakan topologi?
3. Diberikan 𝑇1 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑏}, {𝑎, 𝑏}}, 𝑇2 = {𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑎, 𝑏}}, 𝑑𝑎𝑛 𝑇1 =
{𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑏, 𝑐}}, pada 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}.
a. Tentukan 𝑇1 ∩ 𝑇2 ∩ 𝑇3 dan 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇3 !
b. Apakah 𝑇1 ∩ 𝑇2 ∩ 𝑇3 merupakan topologi?
c. Apakah 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇3 merupakan topologi?
Misal 𝑋 adalah ruang topologi. Suatu titik 𝑝 ∈ 𝑋 adalah titik kumpul dari 𝐴 ⊂ 𝑋
bila dan hanya bila setiap himpunan buka 𝐺 yang memuat 𝑝, memuat suatu titik
yang berbeda dengan 𝑝 atau “bila G buka, 𝑝 ∈ 𝐺 maka (𝐺 − {𝑝}) ∩ 𝐴 ≠ ∅.
“Himpunan dari titik-titik kumpul dari A ditulis 𝐴′ dan disebut set derive dari
A.”
Apabila 𝑋 ruang diskrit yaitu (𝑋, 𝑌) dengan 𝑌 = {𝑋, ∅} maka 𝑋 adalah himpunan
buka yang memuat sebarang 𝑝 ∈ 𝑋. Jadi 𝑝 adalah titik kumpul dari setiap subset
dari 𝑋, kecuali set kosong ∅ dan set {𝑝} . Jadi set dari titik-titik kumpul 𝐴 ⊂
𝑋 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢 𝐴′ adalah:
5
∅, 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝐴 = ∅
′
𝐴 = {𝑝}𝑐 = 𝑋 − {𝑝}, 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝐴 = {𝑝}
𝑋, 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝐴 𝑚𝑒𝑚𝑢𝑎𝑡 𝑑𝑢𝑎 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑙𝑒𝑏𝑖ℎ
Tiap-tiap titik dalam A adalah titik kumpul dari B sehingga A dan B bukan
himpunan-himpunan terpisah.
Perhatikan bahwa:
𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐺) ∪ (𝐴 ∩ 𝐻) bila dan hanya bila 𝐴 ⊂ 𝐺 ∪ 𝐻
∅ = (𝐴 ∩ 𝐺) ∪ (𝐴 ∩ 𝐻) bila dan hanya bila 𝐺 ∩ 𝐻 ⊂ 𝐴𝑐
Oleh karena itu 𝐺 ∪ 𝐻 tak terhubung bila dan hanya bila:
𝐴 ∩ 𝐺 = ∅, 𝐴 ∩ 𝐻 = ∅, 𝐴 ⊂ 𝐺 ∪ 𝐻 𝑑𝑎𝑛 𝐺 ∩ 𝐻 ⊂ 𝐴𝑐
Contoh:
Perhatikan topologi pada 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} dengan 𝜏=
{𝑋, ∅, {𝑎, 𝑏, 𝑐}, {𝑐, 𝑑, 𝑒}, {𝑐}}
Himpunan 𝐴 = {𝑎, 𝑑, 𝑒} adalah tak terhubung karena 𝐺 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} dan 𝐻 =
{𝑐, 𝑑, 𝑒} maka 𝐴 ∩ 𝐺 = {𝑎} dan 𝐴 ∩ 𝐻 = {𝑑, 𝑒} merupakan himpunan-himpunan
lepas yang kosong dan gabungannya= A (G dan H tidak lepas}.
Hubungan dasar antara keterhubungan dan keterpisahan dengan teorema:
a. Suatu himpunan disebut terhubung bila dan hanya bila himpunan tersebut
buka merupakan gabungan dari himpuan-himpunan terpisah yang tak kosong.
b. Bila A dan B himpunan-himpunan terhubung yang tidak terpisah maka 𝐴 ∪ 𝐵
adalah terhubung.
2.4.4 Komponen
Contoh:
a. Bila X terhubung maka X mempunyai tepat satu komponen yaitu X itu
sendiri.
b. Perhatikan topologi pada 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} dengan 𝜏=
{𝑋, ∅, {𝑎}, {𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑐, 𝑑}, {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}} Komponen dari X adalah
{𝑎} 𝑑𝑎𝑛 {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}. Subset terhubung dari X , seperti {𝑏, 𝑑, 𝑒} adalah satu
subset dari komponen-komponen.
Ruang topologi X disebut terhubung lokal di 𝑝 ∈ 𝑋 bila dan hanya bila setiap
himpunan buka yang memuat p termasuk dalam himpunan buka terhubung yang
memuat p yaitu bila himpunan terhubung buka yang memuat p membentuk basis
lokal di p. X disebut terhubung lokal bila X terhubung lokal di setiap titik atau
bila subset-subset terhubung dari X membentuk basis untuk X.
Contoh:
a. Setiap ruang diskrit X adalah terhubung lokal karena bila 𝑝 ∈ 𝑋 𝑚𝑎𝑘𝑎 {𝑝}
adalah himpunan terhubung buka yang memuat p, yang termasuk ke dalam
setiap set buka yang memuat p.
Catatan: X tak terhubung bila X memuat lebih dari satu titik.
8
III. PENUTUP
3.1 Simpulan
Sifat irisan dan gabungan dua himpunan dalam ruang topologi: T adalah suatu
topologi pada X maka kelas himpunan bagian yang tertutup dari X mempunyai
sifat:
d. X dan ∅ adalah himpunan-himpunan yang tertutup.
e. Irisan dari sejumlah sebarang himpunan yang tertutup adalah tertutup.
f. Gabungan dari setiap dua himpunan yang tertutup adalah tertutup.