AYUNAN MATEMATIS

A. Tujuan
1. Untuk menentukan percepatan gravitasi setempat
2. Memahami pengaruh panjang tali, massa beban dan besar sudut simpangan pada hasil
pengukuran.
3. Mengetahui azas ayunan matematis
4. Mengetahui periode getar secara umum untuk simpanan maksimum
5. Mengaplikasikan hukum hooke dalam kehidupan

B. Teori Dasar
Ayunan Matematis (ayunan sederhana) terdiri atas suatu bandul m yang digantungkan
melalui seutas tali yang ringan. Jika bandul m diberi simpangan sedikit ke kiri atau ke
kanan dari posisi seimbangnya dan kemudian dilepaskan, maka bandul m akan bergerak
bolak-balik di sekitar titik keseimbangannya, jika tidak terjadi puntiran dalam gerakan ini
maka gerakan ini disebut gerak harmonik sederhana, lihat gambar 1.

Gambar 1. Ayunan Sederhana

Pada ayunan sederhana dengan panjang tali ayunan 𝑙, garis yang ditempuh bandul
tidak merupakan suatu garis lurus tetapi merupakan suatu busur lingkaran dengan jejari 𝑙, atau

𝑥=𝜃.𝑙

𝑥 = Jarak tempuh
𝜃 = sudut simpangan bandul
𝑙 = panjang tali ayunan
Pada ayunan sederhana bekerja gaya pembalik yang memenuhi Hukum Hooke agar tejadinya
gerakan harmonik sederhana, dimana besarnya gaya tersebut adalah :

𝐹 = −𝑘. (2)

Pada gambar (1) kita lihat ada dua gaya yang bekerja pada m yaitu berat bandul mg dan
tegangan tali T. Komponen gaya mg Cos sebanding dengan T dan komponen gaya mg Sin
merupakan gaya yang selalu berusaha mengembalikan bandul kepada posisi seimbangnya,
sehingga dapat kita tuliskan:

F = -mg sin 𝜃 (3)

Untuk yang kecil (± 00C– 150C), maka Sin = 𝜃 Sehingga persamaan (3) dapat di tulis
menjadi :

F = -mg 𝜃 (4)

Dari persamaan 2 dan 4 diperoleh :

𝒎𝒈
K=
𝐥

Untuk gerak harmonik sederhana periode getarnya adalah:

𝒎
T = 2𝛑√
𝒌

dari persamaan (5) dan (6) kita dapatkan

𝒍
T = 2𝛑√
𝒈
Ayunan sederhana merupakan suatu metoda sederhana yang cukup teliti untuk mengukur
percepatan gravitasi bumi di suatu tempat, dengan memperhatikan syarat-syarat sbb:
a. Tali penggantung tidak bersifat elastis.
b. Bandul cukup kecil dan bentuknya sedemikian sehingga pengaruh gesekan dengan udara
dapat diabaikan
c. Simpangan yang diberikan cukup kecil, hal ini dapat diatasi antara lain dengan
mempergunakan tali yang cukup panjang.

Dengan mengatur dan mengukur T kita dapat menghitung percepatan gravitasi di suatu
tempat.Untuk pengukuran yang lebih baik lakukanlah pengukuran dengan panjang t yang
berbeda dan massa bandul m yang berbeda pula.
Gerak harmonik sederhana, bila suatu benda bergerak bolak-balik terhadap suatu titik
tertentu, maka benda tersebut dinamakan bergetar. Dalam ilmu fisika dasar, terdapat beberapa
kasus bergetar, diantaranya adalah gerak harmonik sederhana. Gerak harmonic sederhana
adalah gerak bolak-balik benda mulai satu titik keseimbangan tertentu dengan banyaknya
getaran benda dalam setiap detik selalu konstan. Terjadi karena gaya pemulih (restoring
force). Dinamakan gaya pemulih karena gaya ini selalu melawan perubahan posisi benda agar
kembali ke titik seimbang. Karena itulah terjadi gerak harmonik. Pengertian sederhana adalah
bahwa kita menganggap tidak ada gaya displatif, misalnya gaya gesek dengan udara, atau
gaya gesek antara komponen system (pegas dengan beban, atau pegas dengan statifnya). 1

Bandul matematis adalah salah satu matematis yang bergerak mengikuti gerak harmonik
sederhana. bandul matematis merupakan benda ideal yang terdiri dari sebuah titik massa yang
digantungkan pada tali ringan yang tidak bermassa. jika bandul disimpangkan dengan sudut θ
dari posisi setimbangnya lalu dilepaskan maka bandul akan berayun pada bidang vertikal
karena pengaruh dari gaya grafitasinya. Berdasarkan penurunan hukum-hukum newton
disebutkan bahwa periode ayunan bandul sederhana dapat di hitung sebagai berikut :
𝟏
T = 2π √ T : Periode ayunan (detik). l : Panjang tali (m).2
𝒈

1 Syahrul, John Adler dan Andriana:2003

2 Hidayatullah, Arief:2015
Percepatan gravitasi bumi (g) adalah percepatan yang dialami oleh benda karena beratnya
sendiri. Berat benda adalah ukuran gaya tarik bumi terhadap benda tadi. Gaya ini disebut gaya
gravitasi, yaitu gaya tarik menarik anatara 2 massa atau lebih. Jika terjadi interakasi antara 2
benda masing-masing bermassa m dan M. yang berjarak r, pada nilai terapan gravitasi ( =
tetapan Cavendish (G) = 6,670 x 10-8dyne
cm/gram2), maka besar interakasi (F) tersebut adalah

𝒎𝑴
F=G
𝒓𝟐

Persamaan ( I ) berlaku umum terhadap semua massa di jagad raya ini. Jika di jumpai sebuah
benda massa m yang berada diatas permukaan bumi uang berjarak r terhadap pusat bumi, dam
bumi bermassa M maka berat dari m tersebut adalah B sebagai

𝒎𝑴
F=G
𝒓𝟐

Menurut hukum II Newtown, jika sebuah benda bermassa m yang tetap dan bergerak dengan
percepatan a, maka gaya resultan dari system tersebut adalah F=m.a. jika hal ini diterapkan
untuk m yang menderita gaya berat B sehingga mengalami percepatan g, dipenuhi hubungan

B = m.g

dan diperoleh nilai percepatan gravitasi bumi

𝒎𝑴
G=G
𝒓𝟐

Jika bumi dapat di pandang seperti bola yang berjereji R dan tetap dipermukaan bumi tersebut
memiliki percepatan gravitasi bumi g0 maka terdapat hubungan dengan g sebagai

𝑹𝟐
g = g0
𝒓𝟐

Untuk m berada pada ketinggian h dari permukaan bumi, maka hubungan itu menjadi
𝑹
g = g0 ( 𝑹+𝒉 )𝟐 = g0 R2 ( R + h )-2
Jika h<<R maka persamaan diatas

dapat didekati dengan persamaan

 𝒉
g = g0 (1 – 2 )
𝑹

Percepatan gravitasi suatu obyek yang berada pada permukaan laut dikatakan ekivalen dengan
1 g, yang didefinisikan memiliki nilai 9,80665 m/s2. Percepatan di tempat lain seharusnya
dikoreksi dari nilai ini sesuai dengan ketinggian dan juga pengaruh benda-benda bermassa
besar di sekitarnya. Umumnya digunakan nilai 9,81 m/s2 untuk mudahnya. Nilai g dapat
diukur dengan berbagai metoda. Bentuk-bentuk paling sederhana misalnya dengan
menggunakan pegas atau bandul yang diketahui konstanta-konstantanya. Dengan melakukan
pengukuran dapat ditentukan nilai percepatan gravitasi di suatu tempat, yang umumnya
berbeda dengan tempat lain. 3

C. Alat dan Bahan

1. Stopwatch
2. Bola logam (± 2 buah).
3. Tali (benang)
4. Penggaris panjang
5. Statif

D. Cara Kerja
1. Gantunglah bola logam dengan tali (benang) pada statif seperti pada gambar(l). Pada
bandul sederhana, massa terpusat di ujung benang, sedang masa benang dapat
diabaikan
2. Ukurlah panjang tali penggantung yang diukur mulai dari titik simpul pada tiang statif
sampai ketengah-tengah bola. Ambilah panjang tali > 1 meter.
3. Berilah simpangan yang kecil seperti yang telah dijelaskan di atas (batas maksimum )
kemudian dilepaskan dan diusahakan agar tidak terjadi gerakan puntir.
4. Biarkan dahulu bandut berayun selama 30 detik. Setelah itu catatlah waktu yang
diperlukan bandul untuk melakukan 50 getaran. Catatlah waktu tersebut untuk settap
10 kali getaran, lak-ukan pengukuran sebanyak 5 kali.
5. Ulangi langkah ke 2 sampai langkah ke 3 untuk panjang tali yang berbeda (10 macam
panjang tali). Ukur waktu untuk 50 kali getaran, lakukan 1 kali pengukuran.
6. Ulangi langkah ke 2 dan ke 3 untuk berat bandul yang berbeda lalu lakukan
pengukuran seperti langkah ke 5.

E. Tugas Pendahuluan
𝑙
1. Buktikan bahwa T  2√𝑔
untuk mencari periode memerlukan beberapa keterangan diantaranya:
a. jarak tempuh bandul: x = 𝜃 × 𝑙
b. gaya pembalik (pulih): F= -k . x
c. gaya bandul untuk mengembalikan ke posisi seimbangnya apabila mg cos 𝜃 adalah
sebanding T (tali) dan mg sin 𝜃 gaya yang berusaha untuk kembali ke posisi awal,
maka dapat dirumuskan sebagai: F= -m.g sin 𝜃

3 Anonym 2015
 *bernilai (-) karena arah selalu berlawanan dengan simpangan (y/x).
d. sudut maksimum (±0 𝑑𝑒𝑟𝑎𝑗𝑎𝑡 − 15 𝑑𝑒𝑟𝑎𝑗𝑎𝑡); sin 𝜃 = 𝜃. maka persamaanya F=
m.g.𝜃
e. dapat disederhanakan oleh gaya pembalik dan sudut maksimum
F= F
− kx = − mg 𝜃
k . 𝜃 . 𝑙 = mg 𝜃
𝑚 .𝑔
k= 𝑙
𝑚
f. gerak harmonik sederhana, periode getar: T= 2𝜋 √ 𝑘

𝑚
𝑚 𝑙
 T= 2𝜋 √ 𝑙  T= 2𝜋 √𝑔
𝑚 .𝑔
g. maka di dapatkan: T= 2𝜋 √ 𝑘

* T= periode
l= panjang tali
g= gravitasi.

2. Bila percepatan gravitasi di sebuah planet besarnya adalah 5g, dimana g adalah
percepatan gravitasi bumi dan bandul sederhana di bumi mempunyai waktu ayun T,
berapakah waktu ayun bandul jika dibawa ke planet tersebut.
di bumi = di planet
𝑙1 𝑙2
T= 2𝜋 √ = T2= 2𝜋 √
𝑔1 𝑔2

T2 . g = T22 . 5g
𝑇2
√ = 5
5
1
5
√5 𝑇 = 𝑇2

3. Tuliskan periode getar secara umum untuk simpangan maksimum =

Persamaan 1: busur lingkaran ( x = 𝜃 . 𝑙 )
persamaan 2: hukum hooke ( f= -k. x )
persamaan 3: gerak balik bandul ( F= -mg. sin 𝜃 )
𝑚
persamaan 4: gerak harmonik ( T= 2𝜋 √ 𝑘
persamaan 2 dan 3 persamaan 1 dan 4
𝑚
F=F T= 2𝜋 √ 𝑘
𝑘 .𝜃 .𝑙
√
𝑔 sin 𝜃
−k . x = − mg sin 𝜃 T= 2𝜋 𝑘
k ( 𝜃 . 𝑙 ) = mg sin 𝜃
𝑘 .𝜃 𝑙 𝜃 .𝑙
m= 𝑔 sin 𝜃 T= 2𝜋 √𝑔 sin 𝜃

4. Mengapa simpangan yang dibentuk tidak boleh besar ?

  karena jika simpangan terlalu besar maka percobaan kita akan sulit mendapatkan
getaran/ayunan harmoniknya.
 untuk 𝜃 yang kecil (10 derajat – 15 derajat) maka sin 𝜃 = 𝜃.
 komponen mg sin 𝜃 merupakan gaya yang selalu berusaha mengembalikkan
benda kepada posisi seimbangnya sehingga tidak akan terjadi pemutaran. Karena
bila terjadi pemutaran mungkin hasil tidak akan akurat.

F. Tabel Pengamatan

Panjang tali = …. M

No Getaran ke- t (s) t2 (s) T (s) T2 (s)

1
2
3
4
5
G. Data Hasil Percobaan
1. Panjang tali = 1 m
θ = 15º
Getaran ke- t (s) t2 (s)
10 19,89 393,6121
20 20,20 401,778
30 20,15 406,0225
40 20,29 411,6841
50 19,97 398,8009
100,5 2013,8976

2. Panjang tali = 1,2 m

θ = 15º
Getaran ke- t (s) t2 (s)
10 20,22 408,8484
20 20,23 409,2529
30 20,38 415,3444
40 20,21 408,4441
50 20,55 422,3025
101,59 2064,1923

3. Panjang tali = 1,4 m

θ = 15º
Getaran ke- t (s) t2 (s)
10 20,48 419,4304
20 20,81 433,0561
30 20,63 425,596
40 20,77 431,3929
50 20,77 431,3929
103,46 2140,8683

4. Panjang tali = 1,6 m

θ = 15º
Getaran ke- t (s) t2 (s)
10 21,30 453,69
20 20,80 432,64
30 20,82 433,47
40 20,81 433,056
50 20,73 429,732
104,46 2182,588
H. Pengolahan Data
1. Panjang tali 1 m
l=1m 𝜃 = 15 °
1 1
∆l = 2 . 𝑛𝑠𝑡 ∆𝜃 = 2 𝑛𝑠𝑡
1 1
∆l = 2 . 1 𝑚𝑚 ∆𝜃 = 2 . 1°
∆l = 0,5 mm = 0,0005 m ∆𝜃 = 0.5 °
(ℓ ± ∆ℓ ) = ( 1 ± 0.0005 )𝑚 ( 𝜃 ± ∆𝜃 ) = ( 15 ± 0.5 )°
𝑡 𝛴𝑡 100,5
T = 𝑛 = 𝑛 = 5 = 20,1
1 𝑛 ( Σ𝑡 2 )−(Σ𝑡)2 ∆𝑇
∆T = √ KSR = 𝑥 100%
𝑛 𝑛−1 𝑇
1 5 (2013,8976 )−(100,5)2 0,5546
∆T = √ KSR = x 100%
10 5 −1 20,1
(40557835,4328576 )−( 10100,25)
∆T = 0,1√ 4
∆T = 0,5546 s KSR = 2,759% (4 AP)

4𝜋 2 𝑙
g= 𝑇2
4 .3,142 .1
g = 20,12
g = 9,76 m/s2

2. Panjang tali 1,2 m

l = 1,2 m 𝜃 = 15 °
1 1
∆l = 2 . 𝑛𝑠𝑡 ∆𝜃 = 2 𝑛𝑠𝑡
1 1
∆l = 2 . 1 𝑚𝑚 ∆𝜃 = 2 . 1°
∆l = 0,5 mm = 0,0005 m ∆𝜃 = 0.5 °
(ℓ ± ∆ℓ ) = ( 1 ± 0.0005 )𝑚 ( 𝜃 ± ∆𝜃 ) = ( 15 ± 0.5 )°
𝑡 𝛴𝑡 101,59
T = 𝑛 = 𝑛 = 5 = 20,318
1 𝑛 ( Σ𝑡 2 )−(Σ𝑡)2 ∆𝑇
∆T = √ KSR = 𝑥 100%
𝑛 𝑛−1 𝑇
1 5 (2064,1923 )−(101,59)2 0,08583312
∆T = √ KSR = x 100%
5 5−1 20,318
∆T = 0,1√0,10835
∆T = 0,08583312 s KSR = 0,0032 % (2AP)

4𝜋 2 𝑙
g= 𝑇2
4 .3,142 .1,2
g = 20,3182
g = 11,4640 m/s2

3. Panjang tali 1,4 m

l = 1,4 m 𝜃 = 15 °
1 1
∆l = 2 . 𝑛𝑠𝑡 ∆𝜃 = 2 𝑛𝑠𝑡
1 1
∆l = . 1 𝑚𝑚 ∆𝜃 = . 1°
2 2
∆l = 0,5 mm = 0,0005 m ∆𝜃 = 0.5 °
(ℓ ± ∆ℓ ) = ( 1 ± 0.0005 )𝑚 ( 𝜃 ± ∆𝜃 ) = ( 15 ± 0.5 )°
 𝑡 𝛴𝑡 103,46
T=𝑛= = = 20,692
𝑛 5
1 𝑛 ( Σ𝑡 2 )−(Σ𝑡)2 ∆𝑇
∆T = √ KSR = 𝑥 100%
𝑛 𝑛−1 𝑇
1 5 (2140,8693 )−(103,46)2 0,06118
∆T = √ KSR = x 100%
5 5 −1 20,692
(10704,346 )−(10703,9716 )
∆T = 0,2√ 4
∆T = 0,06118 s KSR = 0,2958% (4 AP)

4𝜋 2 𝑙
g= 𝑇2
4 .3,142 .1,4
g= 20,6922
g = 12,8 m/s2

4. Panjang tali 1,6 m

l = 1,6 m 𝜃 = 15 °
1 1
∆l = 2 . 𝑛𝑠𝑡 ∆𝜃 = 2 𝑛𝑠𝑡
1 1
∆l = . 1 𝑚𝑚 ∆𝜃 = . 1°
2 2
∆l = 0,5 mm = 0,0005 m ∆𝜃 = 0.5 °
(ℓ ± ∆ℓ ) = ( 1 ± 0.0005 )𝑚 ( 𝜃 ± ∆𝜃 ) = ( 15 ± 0.5 )°
𝑡 𝛴𝑡 104,46
T = 𝑛 = 𝑛 = 5 = 20,892
1 𝑛 ( Σ𝑡 2 )−(Σ𝑡)2 ∆𝑇
∆T = √ KSR = 𝑥 100%
𝑛 𝑛−1 𝑇
1 5 (2182,588 )−(2182,588)2 0,10239
∆T = √ KSR = x 100%
5 5 −1 20,892
(10.912,94 )−(10.911,8916 )
∆T = 0,1√ 4
∆T = 0,10239 s KSR = 0,4909 % (4 AP)

4𝜋 2 𝑙
g= 𝑇2
4 .3,142 .1,6
g = 20,8922
g = 14,4 m/s2

Grafik T2 terhadap panjang tali

440
435
430
425
420
415
410
405
400
0.9 1.1 1.3 1.5 1.7
panjang tali (m)
I. Analisa dan Pembahasan

Pada praktikum kali ini dilakukan pengamatan dan perhitungan tentang ayunan
matematis. Hal yang pertama dilakukan adalah menghitung waktu dari sudut 150. Benda
melakukan getaran secara lengkap apabila benda mulai bergerak dari titik di mana benda
tersebut dilepaskan dan kembali lagi ke titik tersebut. dilakukan 10 kali periode dengan
menggunakan panjang tali yang berbeda, yaitu 100 cm, 120 cm, 140 cm, dan 160 cm.

Dengan beban matematis ini, percepatan gravitasi (g) dapat ditentukan setelah diketahui
berapa besarnya periode dimana periode berbanding terbalik dengan gravitasi (g).

Pada percobaan ini, beban akan berayun-ayun apabila tali dimiringkan dengan sudut
0
15 . Hal ini disebabkan karena adanya gaya yang besarnya sebanding dengan jarak dari
suatu titik, sehingga selalu menuju titik keseimbangan.Benda melakukan getaran secara
lengkap apabila benda mulai bergerak dari titik di mana benda tersebut dilepaskan dan
kembali lagi ke titik tersebut

Pada ayunan matematis, alat yang digunakan harus siap pakai terutama stopwatch
sehingga tidak macet pada saat stopwatch tersebut harus berhenti ketika ayunan dihentikan.
Penggunaan panjang tali juga mempengaruhi untuk waktu yang diperlukan terhadap 10 kali
ayunan.

Berdasarkan hasil yang telah dilakukan dalam percobaan ini, diketahui bahwa semakin
pendek tali yang digunakan, maka waktu untuk 10 kali ayunan semakin kecil.

Waktu yang sudah didapatkan diperlukan untuk penghitungan percepatan gravitasi,

percepatan gravitas pada panjang tali 100 cm didapatkan nilai rata-rata gravitasi 9,76 adalah
m/s. Sedangkan pada panjang tali 120 cm didapatkan rata-rata 11,464 m/s. Dan pada
panjang tali 140 cm didapatkan nilai 12,8 m/s. Dan pada Panjang tali 160 cm didapatkan
nilai 14,4 m/s.

Pengaruh panjang tali sangat menentukan banyak getaran yang dihasilkan oleh bandul.
Semakin panjang tali maka semakin kecil getaran dan frekuensi yang dihasilkan, sedangkan
periodenya semakin bertambah. Hal ini dikarenakan jika tali semakin panjang, maka akan
sulit untuk bandul berayun sehingga bandul akan bergerak semakin lambat.

Ini juga bisa terjadi karena faktor perubahan percepatan gravitasi terjadi dari satu tempat
ke tempat lain seperti pengaruh geologi tetapi tidak berhubungan dengan geologi seperti
pengaruh lintang, ketinggian, dan suara.
J. Kesimpulan dan Saran

Kesimpulan
1. Besar kecilnya nilai percepatan gravitasi tergantung pada panjang tali dan periode
ayunan.
2. Besar sudut akan mempengaruhi ayunan karena adanya gaya yang besarnya sebanding
dengan jarak dari suatu titik, sehingga selalu menuju titik keseimbangan.
3. Semakin panjang tali, semakin besar pula nilai periode (T).
4. Semakin panjang tali, semakin besar pula nilai (t) atau waktu yang digunakan.
5. Besarnya gravitasi dipengaruhi oleh periode dan panjang tali

Saran
1. Dalam melakukan percobaan harus teliti dan cermat.
2. Gunakan stopwatch yang sama dalam menghitung waktu untuk mencapai 10 ayunan,
agar data yang dihasilkan valid
3. Percobaan harus dilakukan berulang – ulang untuk mendapatkan tingkat ketepatan
yang sesuai
4. Buatlah tali dengan percobaan yang paling panjang, agar bisa digunakan kembali
untuk melakukan percobaan selanjutnya dengan cara melilitkan tali pada statif
K. Daftar Pustaka

Syahrul, John Adler dan Andriana. 2003. Pengukuran Percepatan Gravitasi. Bandung:
Cabang Utama

Bakti, S. 2007. Desain Instrument Elektronik untuk Mengukur Gravitasi Muatan dengan
Prinsip Bandul matematis. Mataram: Gravity

Tipler, P. A. 1998. Fisika untuk Sains dan Teknik Jilid I (Terjemahan). Jakarta: Penerbit
Erlangga Jilid 1

Giancoli, Douglas C. 2001. Fisika Edisi Kelima Jilid 1. Jakarta: Penerbit Erlangga

Halliday dan Resnick. 1991. Fisika Jilid I (Terjemahan). Jakarta: Penerbit Erlangga.

Sutresna, Nana. 2006. Fisika Umum I. Bandung: Grafindo Media Pratama.