SISTEM PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL DAN

SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

Di Ajukan Untuk Mata Kuliah :
MATEMATIKA SMA

DOSEN :
Maharani Izzatin, M.Pd

NAMA KELOMPOK 3:
1. Ika Sari Nursiswandini (14601040020)
2. Hulwanun Lika Hanifa (15601040007)
3. Risca Novita Sari (15601040009)
4. Ica Hermawati (15601040026)

UNIVERSITAS NEGERI BORNEO TARAKAN

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
TARAKAN
2017
 SILABUS PEMBELAJARAN

Nama Sekolah : ...................................

Mata Pelajaran : MATEMATIKA
Kelas / Program : X / UMUM
Semester : GANJIL

Standar Kompetensi: 3. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan pertidaksamaan satu
variabel.

Penilaian
Nilai Budaya Alokasi
Kewirausahaan/ Indikator
Dan Kegiatan Bentuk Waktu Sumber / Bahan
Kompetensi Dasar Materi Ajar Pencapaian
Karakter Ekonomi Kreatif Pembelajaran Instru / Alat
Kompetensi Teknik Contoh (menit)
Bangsa men Instrumen

3.1. Menyelesaikan - Sistem  Rasa  Berorientasi - - Menentukan Tugas Uraian 1. Tentukan 4 × 45 Sumber:
sistem Persamaan ingin tugas dan Mengidentifi penyelesaian individu. singkat. himpunan menit
Buku paket
persamaan Linear dan tahu hasil kasi langkah sistem persamaan penyelesaian
(Buku
linear dan Kuadrat. - langkah linear dua dari sistem
 Mandiri  Percaya diri Matematika
sistem penyelesaian variabel. persamaan
SMA dan MA
persamaan  Kreatif  Keorisinilan sistem linear
ESIS Kelas X
campuran persamaan berikut:
 Kerja Semester Ganjil
linear dan linear dua
- Sistem keras Jilid 1A,
kuadrat dalam variabel.
dua variabel
persamaan
3x  4 y  24 karangan Sri
linear dua
 Kurnianingsih,
variabel.
- 2 x  5 y  23 dkk) hal. 126-
130, 130-132,
Menggunaka
 n sistem 133, 134-138.
persamaan
Buku referensi
linear dua
lain.
variabel
untuk
menyelesaika
Alat:
n soal. - Memberikan
tafsiran - Laptop
geometri dari
- LCD
- Menentukan penyelesaian
penyelesaian sistem - OHP
sistem persamaan
persamaan linear dua
linear dua variabel.
variabel.

- Menentukan
tafsiran
geometri dari
penyelesaian
sistem
persamaan
linear dua
variabel.

- Sistem - - Menentukan Tugas Uraian - Tentukan 2 × 45 Sumber:

persamaan Mengidentifi penyelesaian singkat. himpunan menit
kelompok. Buku paket hal.
linear tiga kasi langkah- sistem persamaan penyelesaian
138-144.
variabel. langkah linear tiga dari sistem
penyelesaian variabel. persaman Buku referensi
sistem linear lain.
persamaan berikut:
linear tiga
variabel. Alat:
- - Laptop
 Menggunaka - LCD
 x  3y  z  3
n sistem  - OHP
persamaan  x  2 y  3 z  2
linear tiga  x  y  z 1
variabel 
untuk
menyelesaika
n soal.
- Menentukan
penyelesaian
sistem
persamaan
linear tiga
variabel.

- Sistem - Melakukan - Mengerjakan Ulangan Pilihan 1.Himpunan 2 × 45

persamaan ulangan soal dengan harian. ganda. penyelesaian menit
linear dua berisi materi baik
sistem
variabel. yang berkaitan
persamaan
berkaitan dengan
dengan materi 3x  4 y  24
- Sistem penyelesaian mengenai 
2 x  5 y  23
persamaan dari sistem penyelesaian
adalah
linear tiga persamaan dari sistem
variabel. linear dua persamaan  x, y  .
variabel dan linear dua Nilai dari
sistem variabel dan 5x  3 y  .....
persamaan sistem
linear tiga persamaan Uraian 2. Himpunan
variabel. linear tiga obyekti penyelesaian
variabel. f. sistem
persamaan
  x  2y  z  4

 2 x  y  3z  6
3x  y  2 z  0


adalah
 x, y, z  .
Nilai dari
xyz  ....

- Sistem - - Menentukan Tugas Uraian - Nilai y 2 × 45 Sumber:

persamaan Mengidentifi penyelesaian individu. obyektif yang menit
Buku paket hal.
linear dan kasi langkah sistem . memenuhi 144-148.
kuadrat dua - langkah persamaan sistem
variabel. penyelesaian linear dan persamaan: Buku referensi
sistem kuadrat dua lain.
persamaan variabel. 
 x2  y 2  9
linear dan 
 x5

kuadrat dua Alat:
variabel. adalah….
- Laptop
- LCD
- Menentukan - OHP
penyelesaian
sistem
persamaan
linear dan
kuadrat dua
variabel
dengan
menggunaka
n grafik.
- Memeriksa
 hasil
penyelesaian
sistem
persamaan
linear dan
kuadrat dua
variabel
berdasarkan
grafik,
dengan
menggunaka
n metode
eliminasi -
substitusi.

- Sistem - - Menentukan Kuis. Uraian - Himpunan 2 × 45 Sumber:

persamaan Mengidentifi penyelesaian obyektif penyelesaian menit
Buku paket hal.
kuadrat kasi langkah- sistem . sistem
148-152.
(pengayaan). langkah persamaan persamaan:
penyelesaian kuadrat dua Buku referensi
sistem variabel.  y  x2  3x lain.

persamaan 2
 y  6 x  2x
kuadrat dua
variabel. adalah Alat:
 x1, y1  ;  x2 , y2  - Laptop
, maka nilai dari
- Menentukan - LCD
x1  y1  x2  y2  ....
penyelesaian - OHP
sistem
persamaan
kuadrat dua
variabel.
 - Sistem - Menentukan - Tugas Uraian - Tentukan 2 × 45 Sumber:
persamaan penyelesaian Menyelesaika singkat. himpunan menit
Buku paket hal.
linear dan sistem n sistem penyelesaian
individ 153-156.
bentuk aljabar persamaan persamaan dari sistem
u.
berderajat dua linear dan linear dan persamaan: Buku referensi
dengan dua bentuk bentuk aljabar  x2  xy  y 2  46 lain.
variabel aljabar berderajat dua 
(pengayaan). berderajat dengan dua  x  2 y  1
dua dengan variabel. Alat:
dua variabel. - Laptop
- LCD
- OHP

3.2.Merancang model - Penerapan  Rasa  Berorientasi - - Tugas Uraian - Dua orang 2 × 45 Sumber:
matematika dari sistem ingin tugas dan Mengidentifi Mengidentifi kelompok. obyektif anak menit
Buku paket hal.
 masalah yang persamaan tahu hasil kasi masalah ka-si . berbelanja di 125, 134-138
berkaitan dengan linear dua sehari-hari masalah sebuah toko.
 Mandiri  Percaya diri Buku referensi
sistem persamaan dan tiga yang yang berhu- Anak
lain.
linear. variabel.  Kreatif  Keorisinilan berhubungan bungan pertama
dengan dengan membayar
 Kerja
sistem sistem Rp7.450,00
keras Alat:
persamaan persamaan untuk
linear. linear, membeli 3 - Laptop
menentukan pensil dan 2 - LCD
- Menentukan
besaran dari buku tulis,
besaran dari - OHP
masalah sedangkan
suatu masalah
tersebut anak kedua
dalam
sebagai harus
matematika,
variabel, membayar
mata pelajaran
membuat Rp11.550,00
lain atau
model untuk
kehidupan
matematikan membeli 5
sehari-hari
ya, pensil dan 3
yang
menyelesaik buku tulis.
berhubungan
an modelnya, Maka harga
dengan sistem
dan pensil per
persamaan
menafsirkan buah
linear, yang
hasil adalah.....
dirancang
penyelesaian
sebagai
masalah
variabel sistem
tersebut.
persamaan
linearnya.
- Merumuskan
model
3.3.Menyelesaikan matematika
model
 Berorientasi dari suatu
matematika dari
 Rasa tugas dan masalah
masalah yang dalam
ingin hasil
berkaitan dengan matematika,
tahu
sistem persamaan  Percaya diri mata
linear dan  Mandiri
 Keorisinilan pelajaran lain
penafsirannya. atau
 Kreatif kehidupan
sehari-hari
 Kerja
yang
keras
berhubungan
dengan
sistem
persamaan
linear.

-
Menyelesaika
n model
matematika
dari suatu
masalah
dalam
matematika,
mata
pelajaran lain
atau
kehidupan
sehari-hari
yang
berhubungan
dengan
sistem
persamaan
linear.

- Menafsirkan
penyelesaian
masalah
dalam
matematika,
mata
pelajaran lain
 atau
kehidupan
sehari-hari
yang
berhubungan
dengan
sistem
persamaan
linear.

- Sistem - Melakukan - Mengerjakan Ulangan Pilihan - Himpunan 2 × 45

persamaan ulangan soal dengan harian. ganda. penyelesaian menit
linear dan berisi materi baik sistem
kuadrat dua yang berkaitan persamaan:
variabel. berkaitan dengan
dengan materi
- Sistem
sistem menge-nai  y  1  x
persamaan  2
kuadrat.
persamaan sistem  y  x  4 x  5
linear dan persamaan adalah
- Sistem kuadrat dua linear dan
persamaan variabel, kuadrat dua
linear dan
bentuk
sistem variabel,  x1, y1  ;  x2 , y2 
persamaan sistem
aljabar kuadrat, persamaan , maka nilai dari
berderajat sistem kuadrat, x1  y1  x2  y2  ....
dua dengan persamaan sistem
dua linear dan persamaan
variabel. a. -8
bentuk linear dan
d. 0
Penerapan aljabar bentuk
sistem berderajat aljabar b. -6
persamaan dua dengan berderajat e. 2
linear dua dua variabel, dua dengan
c. -2
dan tiga serta dua variabel,
variabel. penerapan serta
sistem penerapan
persamaan sistem
linear dua persamaan
 dan tiga linear dua
variabel. dan tiga
variabel.

3.4. Menyelesaikan Pertidaksamaan.  Rasa  Berorientasi - - Menjelaskan Tugas Uraian 1. Nilai x yang 4 × 45 Sumber:
pertidaksamaan ingin tugas dan Mengidentifi sifat dan individu. singkat. memenuhi menit
- Buku paket hal.
satu variabel yang tahu hasil kasi langkah- aturan yang
Pertidaksama 164-168, 168-
melibatkan langkah digunakan
an linear.  Mandiri  Percaya diri pertidaksama 171, 172-174
bentuk pecahan penyelesaian dalam proses
aljabar.  Kreatif  Keorisinilan pertidaksama penyelesaian an Buku referensi
an yang pertidaksam lain.
- Pertidaksa  Kerja
maan satu keras
memuat aan. 3x  2  5x  14
variabel
bentuk linear adalah…
satu variabel. Alat:
berbentuk
pecahan - Menggunakan - Laptop
aljabar pertidaksama - LCD
(pecahan an yang
bentuk linear memuat - OHP
dan kuadrat) bentuk linear - Menentukan
satu variable penyelesaian
untuk pertidaksama
menyelesaika an satu 2. Nilai x yang
n soal. variabel yang memenuhi
melibatkan
- Menentukan
bentuk pertidaksama
penyelesaian
pecahan an
pertidaksama
aljabar
an yang 5 7
(pecahan 
memuat x7 x5
bentuk linear
bentuk linear dan kuadrat). adalah…
satu variabel.
-
Mengidentifi
kasi langkah
- langkah
penyelesaian
 pertidaksama
an satu
variabel yang
melibatkan
bentuk
pecahan
aljabar
(pecahan
bentuk linear
dan kuadrat).
- Menggunakan
pertidaksama
an satu
variabel yang
melibatkan
bentuk
pecahan
aljabar
(pecahan
bentuk linear
dan kuadrat)
untuk
menyelesaika
n soal.
- Menentukan
penyelesaian
pertidaksama
an yang
memuat
bentuk linear
satu variabel
yang
melibatkan
bentuk
pecahan
aljabar
(bentuk linear
 dan kuadrat).

- Pertidaksa - Menentukan - Menentukan Tugas Uraian 1. Nilai x 2 × 45 Sumber:

maan bentuk penyelesaian penyelesaian kelompok. singkat. yang menit
Buku paket hal.
akar. pertidaksama pertidaksama memenuhi 175-177, 179-
an yang an bentuk
182
memuat akar dan
bentuk akar. bentuk nilai pertidaksama Buku referensi
mutlak. an lain.
- Pertidaksa-
maan bentuk 4x  8  2
- Menentukan
nilai mutlak. adalah…
penyelesaian Alat:
pertidaksama
- Laptop
an yang
2. Tentukan
memuat nilai - LCD
himpunan
mutlak. - OHP
penyelesaian
dari
pertidaksama
an 3x  6  3
.

3.5.Merancang - Penerapan  Rasa  Berorientasi - - Tugas Uraian - Jumlah dari 2 × 45 Sumber:

model kon-sep ingin tugas dan hasil Mengidentifi Mengidentifi kelompo singkat. dua biangan menit
Buku paket hal.
matematika dari pertidak- tahu kasi masalah ka-si k. ganjil
 Percaya diri 183-185.
masalah yang samaan satu yang masalah berurutan
 Mandiri
berkaitan dengan variabel  Keorisinilan berhubungan yang lebih dari 21. Buku referensi
pertidaksamaan dalam  Kreatif dengan berhubungan Tentukanlah lain.
satu variabel. menyelesai pertidaksama dengan nilai dari
 Kerja
kan masalah keras an satu pertidaksama bilangan
nyata. variabel. an satu yang terbesar Alat:
variabel, dari kedua - Laptop
menentukan bilangan
- Menentukan besaran dari tersebut. - LCD
 besaran dari masalah - OHP
suatu masalah tersebut
dalam sebagai
matematika, variabel,
mata pelajaran membuat
lain atau model
kehidupan matematika-
sehari-hari nya,
yang menyelesaik
berhubungan an modelnya,
dengan dan
pertidaksamaa menafsirkan
n satu variabel, hasil
yang dirancang penyelesaian
sebagai masalah
variabel tersebut.
pertidaksamaa
n satu
3.6. Menyelesaikan  Berorientasi variabelnya.
model tugas dan hasil
matematika dari
 Percaya diri
masalah yang  Rasa ingin - Merumuskan
berkaitan dengan tahu  Keorisinilan model
pertidaksamaan matematika
 Mandiri
satu variabel dan dari suatu
penafsirannya.  Kreatif masalah
 Kerja dalam
keras matematika,
mata
pelajaran lain
atau
kehidupan
sehari-hari
yang
berhubungan
dengan
pertidak-
samaan satu
 variabel.

-
Menyelesaika
n model
matematika
dari suatu
masalah
dalam
matematika,
mata
pelajaran lain
atau
kehidupan
sehari-hari
yang
berhubungan
dengan
pertidaksama
an satu
variabel.

- Menafsirkan
penyelesaian
masalah
dalam
matematika,
mata
pelajaran lain
atau
kehidupan
sehari-hari
yang
berhubungan
dengan
pertidaksama
 an satu
variabel.

- Pertidaksa - Melakukan - Mengerjakan Ulangan Pilihan 1. Nilai x yang 2 × 45

maan linear. ulangan berisi soal dengan harian. ganda. memenuhi menit
materi yang baik berkaitan pertidaksama
- Pertidaksa
berkaitan dengan materi an
maan satu
dengan mengenai 2
variabel x  3  4 x  3  12
pertidak- pertidaksa-
berbentuk adalah.......
samaan linear, maan linear,
pecahan
pertidaksamaa pertidak- a. 2  x  9
aljabar
n pecahan samaan
(pecahan
(pecahan pecahan b. 3  x  9
bentuk linear
bentuk linear (pecahan
dan kuadrat)
dan kuadrat), bentuk linear c. x  9 atau
- pertidaksamaa dan kuadrat), x  1
Pertidaksama n bentuk akar, pertidak- d. x  9 atau
an bentuk pertidaksamaa samaan bentuk x  2
akar. n bentuk nilai akar,
mutlak, dan pertidaksamaa e. x  9 atau
-
penerapan n bentuk nilai x  3
Pertidaksama
konsep mutlak, dan
an bentuk
pertidaksama- pene-rapan
nilai mutlak.
an satu konsep Uraian
- Penerapan variabel dalam pertidak- singkat.
konsep 2. Tentukan
menyelesaikan samaan satu
pertidaksam himpunan
masalah nyata. variabel
aan satu penyelesaian
dalam
variabel dari
menyelesaikan
dalam pertidaksama
masalah nyata.
menyelesai an berikut:
kan a.
masalah 3x2  7x  2  0
nyata.
b.
3x  9x  x2  4
2
 x 1
c.
x3

d. x 1

e.
x2  2x  3x  6

f.
9 x  12  3

Mengetahui, Guru Mata Pelajaran Matematika

Kepala Sekolah

__________________ ________________
NIP/NIK. NIP/NIK.
 Materi Sistem Persamaan Linear Dan Pertidaksamaan Satu Variabel

A. Sistem Persamaan Linear Dengan 2 Variabel / SPL 2 Variabel

Sistem persamaan linear dengan dua variable (SPLDV) dalam
variabel x dan y dapat ditulis sebagai berikut :

a1 x  b1 y  c1
a 2 x  b2 y  c 2

Dengan a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2  R

Cara menyelesaikannya dengan :

a. Metode Eliminasi
b. Metode Substitusi
c. Metode Campuran Eliminasi dan Substitusi
d. Metode Grafik
Contoh :Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut

x y 2
3 x  7 y  2

1. Eliminasi
x y 2 x3 3x  3 y  6
3 x  7 y  2 x1 3 x  7 y  2

4y = 8

y =2

x y 2 x7 7 x  7 y  14
3 x  7 y  2 x1 3 x  7 y  2

4x = 16

x= 4
2. Substitusi

Dari persamaan (1) y = x – 2 disubstitusikan ke persamaan (2)

diperoleh

3x – 7(x – 2) = -2

3x – 7x + 14 = -2

-4x = -16

x=4

Untuk x = 4 disubstitusikan ke persamaan (1)

4–y=2

y =4–2

=2

3. Campuran Eliminasi dan Substitusi

x y 2 x3 3x  3 y  6
3 x  7 y  2 x1 3 x  7 y  2

4y = 8

y =2

y = 2 disubstitusikan ke persamaan (1)

x–2=2

x = 4
 4. Grafik

3x – 7y = -2

(4,2)

x–y=2
-2

Dengan grafik dapat dilihat :

a. Jika kedua garis berpotongan pada satu titik (himpunan

penyelesainnya tepat satu anggota)
b. Jika kedua garis sejajar, tidak mempunyai himpunan penyelesaian
c. Jika kedua garis berhimpit (himpunan penyelesaiannya mampunyai
anggota tak terhingga)
B. Sistem Persamaan Linear Dengan 3 Variabel / SPL 3 Variabel
Sistem persamaan linear dengan tiga variabel (SPLTV) dalam variabel x,
y, dan z dapat ditulis sebagai berikut :

a1 x  b1 y  c1 z  d1
a 2 x  b2 y  c 2 z  d 2
a3 x  b3 y  c3 z  d 3

Dengan a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 , c1 , c2 , c3 , d1 , d 2 , d 3  R

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari SPL berikut :

x yz 3
2x  y  z  5
x  2y  z  7
Dengan Metode campuran Eliminasi dan Substitusi :

Misal dimulai dengan mengeliminasi z

(1) dan (2)

x yz 3
2x  y  z  5

3x + 2y = 8 ..............................(4)

(1) dan (3)

2x  y  z  5
x  2y  z  7

x -y = -2............................(5)

(4) dan (5)

3x + 2y = 8 x1 3x + 2y = 8

x -y = -2 x 3 3x - 3y = -6

5y = 14

y = 14/5

3x + 2y = 8 x1 3x + 2y = 8

x -y = -2 x 2 2x - 2y = -4

5x = 4
 x = 4/5

x = 4/5 dan y = 14/5 disubstitusi ke persamaan (1) :

x+y–z=3

4/5 + 14/5 – z = 3

18/5 – z = 3

z = 18/5 – 3

z = 3/5

Jadi HP : {4/5,14/5,3/5}

C. Sistem Persamaan Linear Dan Kuadrat

Sistem persamaan yang terdiri atas sebuah persamaan linear dan sebuah
persamaan berbentuk kuadrat yang masing-masing memuat dua variabel
disebut sistem persamaan linear dan kuadrat (SPLK). Berdasarkan
karakteristik dari bentuk kuadratnya SPLK dapat di kelompokan sebagai
berikut :

1. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit

2. SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit
 SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit
Bentuk Umum SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk eksplisit dapat
dituliskan sebagai berikut :

y = px + q ………………………. Bagian linear

y = ax2 + bx + c ………………… Bagian kuadrat

dengan p, q, a, b dan c  R

Cara menyelesaikannya :
1. Substitusi
Substitusikan y = px + q ke y = ax2 + bx + c

Diperoleh :

px + q = ax2 + bx + c

ax2 + (b-p)x + (c-q) = 0

dengan D = (b-p)2 – 4.a.(c-q)

ada 3 kemungkinan himpunan penyelesainnya :

a. Jika D = 0 (parabola berpotongan dengan garis di satu titik)

b. Jika D >0 (parabola berpotongan dengan garis di dua titik)
c. Jika D < 0 (parabola dan garis tidak berpotongan)
2. Grafik
Ada 3 kemungkinan :

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesian dari :

y = 2 –x

y = x2

jawab :
Substitusika y = 2 – x ke y = x2 diperoleh :

x2 = 2 – x D = b2 – 4ac

x2 + x – 2 = 0 D = (1)2 – 4.(1).(2) = 1 + 8 = 9

(x – 1)(x + 2) = 0 D > 0 (ada 2 penyelesaian)

x = 1 atau x = -2

x = 1 disubstitusikan ke y = 2 – x = 2 – 1 = 1

x = -2 disubstitusikan ke y = 2 – (-2) = 2 + 2 = 4

Jadi himpunan penyelesaian {(1,1),(-2,4)}

Dengan grafik dapat digambarkan sebagai berikut




 SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit
Secara umum, SPLK dengan bagian kuadrat berbentuk implisit dapat
dituliskan sebagai berikut :

px + qy + r = 0 ………………………..bagian linear

ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0 …….bagian kuadrat

bentuk implisit

dengan a, b, c, d, e, f, p, q, dan r merupakan bilangan real

Bagian kuadrat yang berbentuk implisit ada dua kemungkinan , yaitu :

1. Bentuk implisit yang tidak dapat di faktorkan, dan

2. Bentuk implisit yang dapat difaktorkan

Contoh : bentuk implisit yang tidak dapat di faktorkan

Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini.

x + y – 1 = 0 ……………..bagian linear

x2 + y2 – 25 = 0 …………bagian kuadrat berbentuk implisit yang

tidak dapat di faktorkan

Dari persamaan x + y – 1 = 0 , y = 1- x

Substitusikan y ke persamaan x2 + y2 – 25 = 0, di peroleh :

x2 + (1-x)2 – 25 = 0

x2 + 1 – 2x + x2 – 25 = 0

2x2 – 2x – 24 = 0

x2 – x -12 = 0

(x + 3)(x – 4) = 0

x = -3 atau x = 4

Substitusikan nilai x = -3 atau x = 4 kepersamaan y = 1- x

Untuk x = -3,diperoleh :

y = 1- (-3) = 4 (-3, 4)
Untuk x = 4, diperoleh :

y = 1- 4 = -3 (4, -3)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { (-3, 4), (4, -3)}

Contoh : bentuk implisit yang dapat di faktorkan

Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut :

2x + 3y = 8

4x2 – 12y + 9y2 = 16

Bagian bentuk kuadrat dapat difaktorkan sebagai berikut .

4x2 – 12y + 9y2 = 16

(2x – 3y)2 – 16 = 0

(2x – 3y + 4)(2x -3y – 4) = 0

2x – 3y + 4 = 0 atau 2x -3y – 4 = 0

Penggabungan dengan persamaan linear semula, diperoleh :

2x + 3y = 8

2x – 3y – 4 = 0

Dari SPLDV ini di peroleh penyelesaian (1,2)

2x + 3y = 8

2x – 3y – 4 = 0

2
Dari SPLDV ini di peroleh penyelesaian (3,3)

2
Jadi himpunan penyelesaian SPLK itu adalah {(1,2), (3,3)}
D. Sistem Persamaan Kuadrat - Kuadrat
Bentuk Umum :

y = ax2 + bx + c

y = px2 + qx + r

Cara menyelesaikannya :

1. Substitusi

Persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh :

(a – p)x2 + (b – q)x + (c – r) = 0 dengan

D = (b – q)2 – 4.(a – p).(c – r)

Kemungkinan penyelesaiannya :

a. Jika D > 0 (parabola saling berpotongan di dua titik)

b. Jika D = 0 ( parabola saling berpotongan di satu titik)
c. Jika D < 0 (parabola tidak saling berpotongan)
2. Grafik
Dengan menggambar kedua parabola dalam satu sistem koordinat

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari

y = x2

y = 8 – x2

Jawab :

Substitusikan (1) ke (2)

x2 = 8 – x2

2x2 – 8 = 0
x2 – 4 = 0

(x – 2)(x + 2) = 0

x = 2 atau x = -2

x = 2 diperoleh y = 22 = 4

x = -2 diperoleh y = (-2)2 = 4

Jadi HP : {(2,4) , (-2,4)}

E. Merancang Model Matematika Yang Berkaitan Dengan Sistem

Persamaan Linear
Langkah pertama yang diperlukan adalah kita harus mampu
mengidentifikasi bahwa karakteristik masalah yang akan diselesaikan
berkaiatan dengan sistem persamaan (SPLDV, SPLTV, atau SPLK). Setelah
masalah teridentifikasi, penyelesaian selanjutnya adalah melalui langkah-
langkah sebagai berikut :
 1. Nyatakan besaran yang ada dalam masalah sebagai variabel
(dilambangkan dengan huruf) sistem persamaan.
2. Rumuskan sisteam persamaan yang mrupakan model matematika dari
masalah.
3. Tentukan penyelesaian dari model matematika sistem persamaan yang
diperoleh pada langkah 2.
4. Tafsirkan hasil yang diperoleh sesuai dengan masalah semula
Contoh :

Sepuluh tahun yang lalu umur kakek enam kali umur adikku. Lima tahun yang
akan datang jumlah umur kakek dan adikku sama dengan 93 tahun. Jika umur
nenek lebih muda 6 tahun dari kakek. Berapa umur kakek sekarang.

Jawab :

Misal : umur kakek sekarang adalah x

Umur adikku sekarang adalah y

Diperoleh persamaan :

a. x – 10 = 6(y – 10)
x – 6y = -50 .............. (1)

b. (x + 5)+(y + 5) = 93

x + y + 10 = 93

x + y = 83...................(2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2)

x – 6y = -50

x + y = 83

- 7y = -133
 y = 19

substitusikan y = 19 kepersamaan berikut :

x + y = 83

x = 83 – 19

= 64

Contoh :

Diketahui y = px – 14 dan y = 2x2 + 5x – 12, tentukan batas-batas p supaya

a. Berpotongan di 2 titik
b. Bersinggungan
c. Tidak berpotongan maupun bersinggungan
Jawab :

y = px – 14 substitusikan ke y = 2x2 + 5x – 12

diperoleh :

2x2 + 5x – 12 = px – 14

2x2 + (5 – p)x + 2 = 0

D = (5 – p)2 – 4.2.2

= 25 – 10p + p2 – 16

= p2 – 10p + 9

a. Berpotongan di dua titik (D > 0)

p2 – 10p + 9 > 0

(p – 1)(p – 9) > 0

p < 1 atau p > 9

 b. Bersinggungan di satu titik (D = 0)

p2 – 10p + 9 = 0

(p – 1)(p – 9) = 0

p = 1 atau p = 9

c. Tidak berpotongan dan menyinggung (D < 0)

p2 – 10p + 9 < 0

(p - 1)(p – 9) < 0

1<p<9

F. Pertidaksamaan Pecahan

Perhatikan bentuk-bentuk pertidaksamaan berikut.

1 𝑥−3 4
i) <0 iii) 2𝑥+1 > 𝑥
𝑥−2
𝑥−1 𝑥 2 −9
ii) ≤0 iv) ≥0
𝑥−3𝑥 𝑥 2 −3𝑥+2

Tiap pertidaksamaan di atas memuat variabel x pada bagian penyebut dari suatu
pecahan. Pertidaksamaan yang berciri demikian disebut pertidaksamaan bentuk
pecahan. Ada 4 macam bentuk baku dari pertidaksamaan bentuk pecahan, yaitu:

𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥)
1. <0 3. 𝑔(𝑥) > 0
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥)
2. ≤0 4. 𝑔(𝑥) ≥ 0
𝑔(𝑥)

Dengan 𝑓(𝑥), 𝑔(x) merupakan fungsi-fungsi dalam 𝑥, dan 𝑔(𝑥) ≠ 0

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan berbentuk

pecahan dapat ditentukan dengan menggunakan garis bilangan.

Sebagai contoh penyelesaian pertidaksamaan pecahan:

 𝑥−1
<0
𝑥−2

Dapat ditentukan melalui langkah=langkah sebagai berikut.

Langkah 1

Nilai nol bagian pembilang : 𝑥– 1 = 0 ⇒ 𝑥 = 1

1 2
Nilai nol bagian penyebut : 𝑥– 2 = 0 ⇒ 𝑥 = 2
Gambar 3.12
Langkah 2

Nilai nol bagian pembilang dan penyebut ditempatkan pada diagram garis
bilangan. Nilai-nilai nol itu membagi garis bilangan menjadi 3 interval, yaitu 𝑥 <
1 , 1 < 𝑥 < 2, dan 𝑥 > 2. Perhatikan gambar 3.12

Langkah 3

Tanda-tanda interval ditentukan dengan cara mengambil nilai-nilai uji yang

berada dalam masing-masing interval. Dalam contoh ini diambil nilai-nilai uji 𝑥 =
0 (berada dalam interval 𝑥 < 1), 𝑥 = 112 (berada dalam interval 1 < 𝑥 < 2) dan
𝑥 = 3 (berada dalam interval 𝑥 > 2. nilai-nilai uji 𝑥 = 0 , 𝑥 = 112 dan 𝑥 = 3 di
𝑥−1
substitusikan ke bentuk pecahan 𝑥−2 di peroleh:

0−1 −1
Untuk 𝑥 = 0 → 0−2 = −2 = +12 , interval 𝑥 < 1 bertanda + atau > 0

1
112 −1
Untuk 𝑥 = 112 → = 2
1 = −2 , interval 0 < 𝑥 < 1 bertanda - atau < 0
112 −2 −
2

3−1 2
Untuk 𝑥 = 3 → 3−2 = 1 = +2 , interval 𝑥 > 2 bertanda + atau > 0

Tanda-tanda interval itu kemudian dituliskan pada interval –interval yang

bersesuaian seperti diperlihatkan pada gambar 3,13 dibawah
 + | − | +

1 2

Gambar 3.13

Langkah 4

Dari tanda-tanda interval pada gambar 3.13 interval yang memenuhi adalah 1 <
𝑥 < 2 (perhatikan bagian yang diarsir pada gambar 3.13), jadi, himpunan
𝑥−1
penyelesaian pertidaksamaan pecahan 𝑥−2 < 0 adalah HP = {𝑥 | 1 < 𝑥 < 2}

Cara penentuan penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan berbentuk

𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥)
pecahan 𝑔(𝑥) < 0 ,𝑔(𝑥) ≤ 0 > 0 , atau . 𝑔(𝑥) ≥ 0
𝑔(𝑥)

Step 1 Step 2 Step 3 Step 4

Carilah nilai nol bagian Gambarlah nilai- Tentukan tanda- Berdasarkan tanda-tanda
pembilang dan bagian nilai nol itu pada tanda interval interval yang di peroleh
penyebut dari bentuk diagram garis dengan cara pada langkah 3, kita dapat
𝑓(𝑥) bilangan,sehingga mensubstitusikan menetukan interval yang
pecahan𝑔(𝑥)yaitu
diperoleh nilai-nilai uji memenuhi. Dalam
𝑓(𝑥) = 0 dan 𝑔(𝑥) =
interval-interval yang berada menetukan interval yang
0
dalam masing- memenuhi itu, perlu di
masing interval. ingat adanya syarat bahwa
bagian penyebut tidak
boleh sama dengan nol
atau 𝑔(𝑥) ≠ 0

G. Pertidaksamaan Bentuk Akar (Pengayaan)

Perhatikan pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini.

i) √𝑥 − 3 < 1 iii) √𝑥 − 1 > √𝑥 2 − 3

 ii) √6 − 3𝑥 ≤ 3 iv) √2𝑥 + 3 ≥ √𝑥 − 1

Variabel x pada tiap pertidaksamaan di atas terdapat dalam tanda akar.

Pertidaksamaan yang berciri seperti itu disebut pertidaksamaan berbentuk akar
atau pertidaksamaan irasional. Jadi, pertidaksamaan berbentuk akar atau
pertidaksamaan irasional adalah pertidaksamaan yang variabelnya terdapat dalam
tanda akar.

Ada 8 macam bentuk pertidaksamaan irasional yang sering di jumpai,

yaitu:

1. √𝑢(𝑥) < 𝑎 5. √𝑢(𝑥) < √𝑣(𝑥)

2. √𝑢(𝑥) ≤ 𝑎 6. √𝑢(𝑥) ≤ √𝑣(𝑥)

3. √𝑢(𝑥) > 𝑎 7. √𝑢(𝑥) > √𝑣(𝑥)

4. √𝑢(𝑥) ≥ 𝑎 8. √𝑢(𝑥) ≥ √𝑣(𝑥)

5.
 𝑎 bilangan real positif atau nol, 𝑎 ≥ 0
 𝑢(𝑥) dan 𝑣(𝑥) merupakan fungsi-fungsi dalam x dengan syarat 𝑢(𝑥) ≥ 0 dan
𝑣(𝑥) ≥ 0

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan irasional dapat

ditentukan dengan menggunakan sifat berikut :

1. Jika √𝑢(𝑥) ≤ √𝑣(𝑥) maka √𝑢(𝑥) ≤ √𝑣(𝑥),

2. Jika √𝑢(𝑥) ≥ √𝑣(𝑥) maka √𝑢(𝑥) ≥ √𝑣(𝑥)

Kedua sifat itu dapt diungkapkan sebagai berikut: jika kedua ruas dari
pertidaksamaan irasional dikuadratkan, maka tanda dari pertidaksamaan itu tidak
mengalami perubahan (tetap), sebagai contoh, penyelesaian atau himpunan
penyelesaian pertidaksamaan irasional:

√𝑥 − 2 < 3

Dapat ditentukan melaui langkah-langkah sebagai berkut.

Langkah 1

Kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan,diperoleh:

x−2 <9

⇒ x < 11

Langkah 2

Tetapkan syarat untuk fungsi yang berada dalam tanda akar: 𝑢(𝑥) ≥ 0

x−2 ≥0

⇒ x ≥2

Langkah 3

Interval yang memenuhi diperoleh dengan

menggabungkan hasil-hasil pada langkah 1 dan langkah
2 pada diagram garis bilangan seperti diperlihatkan pada
gambar 3.26 berikut

Dari gambar 3-26, interval yang memenuhi adalah 2 ≤ 𝑥 < 11

Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan irasional √𝑥 − 2 < 3 adalah HP =

{𝑥 | 2 ≤ 𝑥 < 11}

Cara mencari penyelesaian dari suatu pertidaksamaan irasional

Step 1 Step 2 Step 3
Kuadratkan kedua ruas Berlakukan syarat untuk Interval yang memenuhi
pertidaksamaan dengan tanda fungsi-fungsi yang berada di diperoleh dengan cara
pertidaksamaan tetap. bawah tanda akar, yaitu menggabungkan
harus positif atau nol penyelesaian pada langkah
1 dan penyelesaian pada
 langkah 2

H. Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Sebelum membahas cara menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak, akan

dibahas terlebih dahulu pengertian nilai mutlak serta sifat-sifatnya.

Nilai mutlak dan sifat-sifatnya

Misalkan x adalah suatu bilangan real. Nilai mutlak x (dilambangkan dengan |x|)
adalah nilai tak negative dari bilangan real x itu

1 1 1 1
Sebagai contoh: |3| = 3, |−4| = 4 , |2| = 2 , dan | − 4 | = . ditetapkan pula
4

bahwa nilai mutlak bilangan nol sama dengan bilangan itu sendiri, atau |0|=0.
Dengan demikian, untuk tiap bilangan real x akan berlaku |x|≥0

Berdasarkan uraian diatas, nilai mutlak suatu bilangan dapat didefinisikan

sebagai berikut.

Definisi: Nilai mutlak

Untuk tiap bilangan real x, nilai mutlak x ditentukan sebagai

𝑥, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥ 0
|𝑥| = {
−𝑥, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 0

Sifat-sifat nilai mutlak suatu bilangan real x dapat dirangkum sebagai berikut:

1. Untuk 𝑎 ∈ ℝ dan 𝑎 ≥ 0, berlaku:

i) |𝑥| < 𝑎 ⟺ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎
ii) |𝑥| ≤ 𝑎 ⟺ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎
iii) |𝑥| > 𝑎 ⟺ 𝑥 < −𝑎 atau 𝑥 > 𝑎
iv) |𝑥| ≥ 𝑎 ⟺ 𝑥 ≤ −𝑎 atau 𝑥 ≥ 𝑎
 2. |𝑥| = √𝑥 2
3. Untuk tiap 𝑥 ∈ ℝ dan 𝑦 ∈ ℝ, berlaku:
i) |𝑥 . 𝑦| = |𝑥||𝑦|
𝑥 |𝑥|
ii) |𝑦| = |𝑦|, dengan 𝑦 ≠ 0

iii) |𝑥 − 𝑦| ≥ |𝑥| − |𝑦|

iv) |𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦|

Pertidaksamaan nilai mutlak

Perhatika pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ini.

i) |𝑥 − 1| < 2
ii) |2𝑥 − 3| < 3
iii) |3𝑥 − 1| ≤ |𝑥 − 2|
iv) |𝑥 2 − 𝑥 + 1| ≥ 3
v) |𝑥 − 1|2 − 2|𝑥 − 1| − 8 > 0

Variabel x pada tiap pertidaksamaan diatas berada didalam tanda mutlak.

Pertidaksamaan yang berciri seperti itu disebut pertidaksamaan nilai mutlak.

Jadi, pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang variabelnya berada

dalam tanda mutlak.

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai

mutlak dapat dicari dengan menggunakan sifat-sifat nilai mutlak yang telah
dibahas Sebelumnya.

I. Merancang Model Matematika Yang Berkatan Dengan Pertidaksamaan

Satu Variabel

Dalam beberapa perhitungan matematika dan dalam kehidupan sehari-hari, suatu

masalah kadang-kadang dapat diterjemahkan dalam model matematika yang
berbentuk pertidaksamaan satu variabel. Pertidaksamaan satu variable yang
deiperoleh dapat berbentuk
  Pertidaksamaan linear
 Pertidaksamaan kuadrat
 Pertidaksamaan irasional, atau
 Pertidaksamaan nilai mutlak

Dalam pasal ini hanya akan dibahas rancangan model matematika pertidaksamaan
satu variabel yang berbentuk pertidakasamaan linear dan yang berbentuk
pertidaksamaan kuadrat.

Jika dalam suatu masalah memuat kata seperti:”kurang dari”,”tidak

lebih dari”,”lebih dari”,atau”tidak kurang dari”, maka merupakan indikasi
bahwa masalah tersebut berkaitan dengan model matematika yang berkaitan
dengan pertidaksamaan satu variabel . setelah diketahui bahwa masalahnya
merupakan model matematika yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu
variabel, selanjutnya masalah tersebut dipecahkan melalui langkah-langkah
sebagai berikut:

1. Tentukan besaran dalam masalah yang dirancang sebagai variabel

pertidakasamaannya
2. Rumuskan pertidaksamaan yang merupakan model matematika dari
masalah.
3. Tentukan penyelesaian dari model matematika
4. Berikan tafsiran terhadap hasil yang diperoleh.

J. Merancang model matematika yang berbentuk pertidaksamaan linear

Untuk memahami bagaimana memecahkan masalah yang berkaitan dengan model

matematika yang berbentuk pertidaksamaan linear satu variabel, simaklah ilustrasi
berikut ini.

Jumlah dua buah bilangan asli kurang dari 20

Jika bilangan pertama sama dengan 6, tentukan batas-batas bilangan yang

kedua.
Dari kalimat”jumlah dua buah bilangan asli kurang dari 20” merupakan
indikator bahwa masalah tersebut berkaitan dengan model matematika mengenai
bentuk pertidaksamaan satu variabel. Selanjutnya, masalah tersebut dipecahkan
sebagai berikut.

1. Bilangan pertama diketahui sama dengan 6, bilangan kedua dimisalkan

sama dengan x. (menentukan besaran dalam masalah sebagai variabel x)
2. Berdasarkan ketentuan dalam soal, diperoleh hubungan atau ekspresi
matematika (merumuskan model matematika dari masalah)
𝟔 + 𝒙 < 𝟐𝟎
3. Penyelesaian dari moel matematika 6 + 𝑥 < 20 ditentukan sebagai
berikut.
6 + 𝑥 < 20
𝑥 < 20 − 6
𝒙 < 𝟏𝟒
(menentukan penyelesaiaan dari model matematika)
4. Jadi, bilangan kedua terletak dalam batas
𝒙 < 𝟏𝟒
(memberikan tafsiran terhadap hasil yang diperoleh)
 KISI-KISI
SISTEM PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL DAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL
Satuan Pendidikan : SMA AlokasiWaktu : 100 menit
Kelas/Semester : X/1 JumlahSoal : 14
Mata Pelajaran : Matematika Tahun/pelajaran : 2011/2012

Standar kompetensi:
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan pertidaksamaan satu variabel.
Kompetensi dasar dan indikator pencapaian kompetensi
3.1 Menyelesaikan sistem persamaan linear dan sistem persamaan campuran linear dan kuadrat dalam dua variabel
 Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel.
 Memberikan tafsiran geometri dari penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel.
 Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel.
 Mengerjakan soal dengan baik berkaitan dengan materi mengenai penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel dan
sistem persamaan linear tiga variabel.
 Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel.
 Menentukan penyelesaian sistem persamaan kuadrat dua variabel.
 Menyelesaikan sistem persamaan linear dan bentuk aljabar berderajat dua dengan dua variabel.
3.2 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear
 Mengidentifika-si masalah yang berhu-bungan dengan sistem persamaan linear, menentukan besaran dari masalah tersebut
sebagai variabel, membuat model matematikanya, menyelesaikan modelnya, dan menafsirkan hasil penyelesaian masalah
tersebut.
3.3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan penafsirannya.
  Mengerjakan soal dengan baik berkaitan dengan materi menge-nai sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel, sistem
persamaan kuadrat, sistem persamaan linear dan bentuk aljabar berderajat dua dengan dua variabel, serta penerapan sistem
persamaan linear dua dan tiga variabel.
3.4 Menyelesaikan pertidaksamaan satu variabel yang melibatkan bentuk pecahan aljabar
 Menjelaskan sifat dan aturan yang digunakan dalam proses penyelesaian pertidaksamaan
 Menentukan penyelesaian pertidaksamaan satu variabel yang melibatkan bentuk pecahan aljabar (pecahan bentuk linear dan
kuadrat).
 Menentukan penyelesaian pertidaksamaan bentuk akar dan bentuk nilai mutlak.
3.5 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel.
 Mengidentifika-si masalah yang berhubungan dengan pertidaksamaan satu variabel, menentukan besaran dari masalah
tersebut sebagai variabel, membuat model matematika-nya, menyelesaikan modelnya, dan menafsirkan hasil penyelesaian
masalah tersebut.
3.6 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel dan penafsirannya.
 Mengerjakan soal dengan baik berkaitan dengan materi mengenai pertidaksa-maan linear, pertidak-samaan pecahan (pecahan
bentuk linear dan kuadrat), pertidak-samaan bentuk akar, pertidaksamaan bentuk nilai mutlak, dan pene-rapan konsep
pertidak-samaan satu variabel dalam menyelesaikan masalah nyata.

Tingkat
Tingkat kesukaran
ranah No Bentuk Skor
no Indikator soal jumlah
kognitif soal soal (100)
mudah sedang sukar

1 Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear C3 1 1 Uraian √ 5

dua variabel.
2 Memberikan tafsiran geometri dari penyelesaian C3 1 2 Uraian √ 9
sistem persamaan linear dua variabel.

3 Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear C3 1 3 Uraian √ 8

tiga variabel.

4 Mengerjakan soal dengan baik berkaitan dengan C3 2 4 dan 5 Uraian √ 5

materi mengenai penyelesaian dari sistem persamaan
linear dua variabel dan sistem persamaan linear tiga
variabel.

5 Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear C3 1 6 Uraian √ 5

dan kuadrat dua variabel.

6 Menentukan penyelesaian sistem persamaan kuadrat C3 1 7 Uraian √ 5

dua variabel.

7 Menyelesaikan sistem persamaan linear dan bentuk C3 1 8 Uraian √ 5

aljabar berderajat dua dengan dua variabel.

8 Mengidentifikasi masalah yang berhubungan dengan C6 1 9 Uraian √ 10

sistem persamaan linear, menentukan besaran dari
masalah tersebut sebagai variabel, membuat model
 matematikanya, menyelesaikan modelnya, dan
menafsirkan hasil penyelesaian masalah tersebut.

9 Mengerjakan soal dengan baik berkaitan dengan C6 1 10 Uraian √ 10

materi menge-nai sistem persamaan linear dan
kuadrat dua variabel, sistem persamaan kuadrat,
sistem persamaan linear dan bentuk aljabar
berderajat dua dengan dua variabel, serta penerapan
sistem persamaan linear dua dan tiga variabel.

10 Menjelaskan sifat dan aturan yang digunakan dalam C3 1 11 Uraian √ 8

proses penyelesaian pertidaksamaan

11 Menentukan penyelesaian pertidaksamaan satu C3 1 12 Uraian √ 10

variabel yang melibatkan bentuk pecahan aljabar
(pecahan bentuk linear dan kuadrat)
12 Menentukan penyelesaian pertidaksamaan bentuk C3 1 13 dan Uraian √ 10
akar dan bentuk nilai mutlak.
14

13 Mengidentifika-si masalah yang berhubungan C6 1 15 Uraian √ 10

dengan pertidaksamaan satu variabel, menentukan
besaran dari masalah tersebut sebagai variabel,
membuat model matematika-nya, menyelesaikan
modelnya, dan menafsirkan hasil penyelesaian
 masalah tersebut.

14 Mengerjakan soal dengan baik berkaitan dengan C6 1 16 Uraian -

materi mengenai pertidaksa-maan linear, pertidak-
samaan pecahan (pecahan bentuk linear dan kuadrat),
pertidak-samaan bentuk akar, pertidaksamaan bentuk
nilai mutlak, dan pene-rapan konsep pertidak-samaan
satu variabel dalam menyelesaikan masalah nyata.
Soal dan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dan Pertidaksamaan Satu
Variabel

1. Carilah himpunan penyelesaian SPLDV berikut.

2x + 3y = 13
3x + 4y = 19
Penyelesaian :
Untuk mencari nilai x, kita eliminasi variabel y
2x + 3y = 13 x4 8x + 12y = 52
3x + 4y = 19 x3 9x + 12y = 57
-x = -5
x=5
Untuk mencari nilai y, kita eliminasi variabel x
2x + 3y = 13 x3 6x + 9y = 39
3x + 4y = 19 x2 6x + 8y = 38
y= 1

Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV tersebut adalah {(5,1)}

2. Carilah penyelesaian dari SPLDV berikut dan buatlah sketsa tafsiran

geometrinya :
x+y=5
3x + 2y =12
Penyelesaian :
 Eliminasi
x+y=5 x2 2x + 2y = 10
3x + 2y =12 x1 3x + 2y = 12
-x = -2
x=2
 Substitusi nilai x = 2 kepersamaan x + y = 5
x+y=5
 2+y=5
y=5–2
y=3

jadi penyelesaiannya adalah (2,3)

Tafsiran geometri :

3. Carilah himpunan penyelesaian SPLTV berikut :

x – 2y + z = 6
3x + y – 2z = 4
7x – 6y – z = 10

Penyelesaian :
Dari persamaan x – 2y + z = 6 x = 2y – z + 6. Variabel x ini
disubstitusikan ke persamaan 3x =+ y – 2z = 4 dan 7x – 6y – z = 10,
diperoleh :
3(2y – z + 6) + y – 2z = 4
6y – 3z + 18 + y – 2z = 4
7y – 5z = -14 …………….(1)
Dan
7(2y – z + 6) – 6y – z = 10
14y – 7z + 48 – 6y – z = 10
 8y – 8z = - 32
y – z = - 4 ……………….(2)

persamaan (1) dan (2) membentuk SPLDV y dan z

7y – 5z = -14
y–z=-4
dari persamaan y – z = - 4 y=z–4
variabel y disubstitusikan kepersamaan 7y – 5z = -14, diperoleh :
7(z – 4) – 5z = -14
7z – 28 – 5z = -14
2z = 14
z=7
substitusikan nilai z = 7 kepersamaan y = z – 4, diperoleh :
y=7–4=3
substitusikan nilai y = 3 dan z = 7 ke persamaan x = 2y – z + 6, diperoleh
:
x = 2(3) – 7 + 6 = 5
jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5, 3, 7)}

4. Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut ini :

2x – 3y = 7
3x + 2y = 4

Penyelesaian :
Dari persamaan 2x – 3y = 7
2x = 7 + 3y
7+3𝑦
x= 2
7+3𝑦
x= disubstitusikan ke persamaan 3x + 2y = 4, diperoleh :
2
7+3𝑦
3( ) + 2y = 4, masing-masing ruas dikalikan 2
2

3(7 + 3y) + 4y = 8
 21 + 9y + 4y = 8
13y = - 13
y=-1

7+3𝑦
substitusikan nilai y = -1 ke persamaan x = , di peroleh :
2

7+3(−1)
x= =2
2

jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(2, -1)}

5. Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut ini :

5x – y + 2z = 25

3x + 2y – 3z = 16

2x – y + z = 9

Penyelesaian :
Eliminasi variabel y

Dari persamaan pertama dan kedua

5x – y + 2z = 25 x2 10x – 2y + 4z = 50

3x + 2y – 3z = 16 x1 3x + 2y – z = 16

13x + z = 66 …………..(1)

Dari persamaan kedua dan ketiga

3x + 2y – 3z = 16 x1 3x + 2y – 3z = 16

2x – y + z = 9 x2 4x – 2y + 2z = 18

7x – z = 34 …………….(2)

Persamaan (1) dan (2) merupakan SPLDV x dan z

13x + z = 66
 7x – z = 34

Eliminasi variabel z

13x + z = 66

7x – z = 34

20x = 100

x=5

Eliminasi variabel x

13x + z = 66 x7 91x + 7z = 462

7x – z = 34 x 13 91x – 13z = 442

20z = 20

z=1

Substitusikan nilai-nilai x = 5 dan z = 1 ke persamaan 2x – y + z = 9,

diperoleh :

2(5) – y + 1 = 9

y=2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5, 2, 1)}

6. Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat dua

variabel berikut:
y=x–3
y = x2 – x – 2

Penyelesaian :
Substitusikan y = x – 3 ke y = x2 – x – 2, diperoleh :
x – 3 = x2 – x – 2
 x2 – 2x + 1 = 0
(x-1)2 = 0
X=1

Substitusikan x = 1 ke persamaan y = x – 3, diperoleh :

y = 1– 3 = - 2 (1, -2)

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(1, -2)}

7. Carilah himpunan penyelesaian sistem persamaan kuadrat dua variabel

berikut :
y=x+2

y = x2

Penyelesaian :

Substitusikan y = x + 2 ke persamaan kuadrat y = x2

x + 2 = x2

x2 – x – 2 = 0, merupakan persamaan kuadrat dalam x

(x + 1)(x – 2) = 0

x = -1 atau x = 2

Substitusikan x = -1 dan x = 2 ke persamaan y = x + 2, diperoleh :

y = -1 + 2 dan y=2+2

y=1 y=4

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(-1, 1), (2, 4)}

8. Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dan bentuk
aljabar berderajat dua dengan dua variabel berikut :
x+y–1=0
x2 + y2 – 25 = 0

Penyelesaian :
Dari persamaan x + y – 1 = 0 y=1–x
Substitusikan y ke persamaan x2 + y2 – 25 = 0, diperoleh :
x2 + (1-x)2 – 25 = 0
x2 + 1 – 2x + x2 – 25 = 0
2x2 – 2x – 24 = 0
x2 – x – 12 = 0
(x – 3)(x – 4) = 0
x = -3 atau x = 4

Substitusikan nilai-nilai x = -3 atau x = 4 ke persamaan y = 1 – x

Untuk x = -3 diperoleh :

y = 1 – (-3) = 4 (-3, 4)

Untuk x = 4, diperoleh :

y = 1 – 4 = -3 (4, -3)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(-3,4), (4, -3)}

9. Mesin produksi A menghasilkan 100 unit barang per jam, sedangkan

mesin produksi B menghasilkan 150 unit barang per jam. Dalam satu hari
kedua mesin itu diharapkan dapat mengahasilkan 2.600 unit barang.
Jumlah jam kerja dalam satu hari untuk mesin A dan mesin Badalah 20
jam. Berapa jam mesin A dan mesin B harus bekerja dalam satu hari ?
Penyelesaian :
Misalkan dalam satu hari mesin A bekerja x jam dan mesin B bekerja y
jam. Model matematika yang sesuai untuk persoalan di atas adalah
 x + y = 20 x + y = 20
100x + 150 y = 2.600 2x + 3y = 52

Dari persamaan x + y = 20 y = 20 – x

Substitusi y = 20 – x ke persamaan 2x + 3y = 52, di peroleh

2x + 3(20 – x) = 52

2x + 60 – 3x = 52

-x = -8

x=8

Substitusi x = 8 ke persamaan y = 20 – x, diperoleh :

y = 20 – 8 = 12

Jadi mesin A bekerja 8 jam perhari dan mesin B bekerja 12 jam per hari.

10. Ali, Badar, dan Carli berbelanja disebuah took buku. Ali membeli dua
buah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penghapus. Ali harus
membayar Rp 4.700. badar membeli sebuah buku tulis, dua buah pensil,
dan sebuah penghapus. Badar harus membayar Rp 4.300 . Carli membeli
tiga buah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penghapus. Carli harus
membayar Rp 7.100. Berapakah harga untuk sebuah buku tulis, sebuah
pensil, dan sebuah penghapus ?
Penyelesaian :

Dimisalkan bahwa :

Harga untuk sebuah buku tulis adalah x rupiah

Harga untuk sebuah pensil adalah y rupiah

Harga untuk sebuah penghapus adalah z rupiah

Dengan demikian model matematika yang sesuai dengan data persoalan di
atas adalah :

2x + y + z = 4.700

x + 2y + z = 4.300

3x + 2y + z = 7.100

Selanjutnya eliminasi variabel z diperoleh sebagai berikut :

2x + y + z = 4.700 x + 2y + z = 4.300

x + 2y + z = 4.300 3x + 2y + z = 7.100

x – y = 400 -2x = -2.800

x = 1.400

Substitusikan nilai x = 1.400 ke persamaan x – y = 400, diperoleh :

1.400 – y = 400 y = 1.000

Substitusikan nilai x = 1.400 dan y = 1.000 kepersamaan 2x + y + z =

4.700, diperoleh :

2(1.400) + 1.000 + z = 4.700

3.800 + z = 4.700

z = 900

Jadi, harga untuk sebuah buku tulis adalah Rp 1.400, harga untuk sebuat
pensil adalah Rp 1.000, dan harga untuk sebuah penghapus adalah Rp 900.
11. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
𝑥 𝑥 1
+2 < + 22
2 3

Penyelesaian :

𝑥 𝑥 1
+2 < + 22
2 3
𝑥 𝑥 1
− 3 < 22 − 2
2
3𝑥 2𝑥 1
− <
6 6 2
𝑥 1
<
6 2

𝑥<3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP { x | x < 3}

12. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan pecahan berikut

𝑥−2
< 0
𝑥 2 −3𝑥− 4
Penyelesaian :
Nilai nol pembilang : x – 2 = 0 x=2
Nilai nol penyebut : 𝑥 2 − 3𝑥 − 4 = 0 x = -1 atau x = 4
Tanda-tanda interval sekitar nilai-nilai nol di perlihatkan pada gambar
berikut

Dari gambar tersebut interval yang memenuhi adalah x < -1 atau 2 < x < 4.
𝑥−2
Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan < 0 adalah
𝑥 2 −3𝑥− 4
HP = { x | x < -1 atau 2 < x < 4}.
13. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut :
√3𝑥 + 1 > 4

Penyelsaian :

(i) Kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan, diperoleh :

3x + 1 > 16
3x > 15
x>5
(ii) Syarat u (x) ≥ 0, diperoleh :
3x + 1 ≥ 0
1
x≥− 3

Dengan menggabungkan penyelesaian (i) dan (ii), interval yang

memenuhi adalah x > 5.

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan √3𝑥 + 1 > 4 adalah

HP = {x | x > 5}.

14. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut :

| 3x - 4 | ≥ 8
Penyelesaian :
| 3x - 4 | ≥ 8
3x – 4 ≤ −8 atau 3x – 4 ≥ 8
3x ≤ −8 + 4 atau 3x ≥ 8 + 4
3x ≤ −4 atau 3x ≥ 12
1
x ≤ −1 3 atau x≥4

Jadi, himpunan penyelesaian pertidaksamaan | 3x - 4 | ≥ 8 adalah

1
HP = { x ≤ −1 3 atau x ≥ 4}
15. Jumlah dua bilangan tidak kurang dari 100 dan bilangan kedua sama
dengan tiga kali bilangan pertama. Tentukan batas- batas nilai dari kedua
bilangan itu.
Penyelesaiaan :
Misalkan bilangan pertama x, maka bilangan kedua sama dengan 3x.
Berdasarkan ketentuan yang ada dalam soal, diperoleh model matematika :
x + 3x ≥ 100
4x ≥ 100
Model matematika yang berbentuk pertidaksamaan linear satu variabel itu
diselesaikan sebagai berikut :
4x ≥ 100
x ≥ 25
Jadi, batasan-batasan nilai bilangan pertama tidak kurang dari 25 dan
batasan-batasan nilai bilangan kedua tidak kurang dari 75.

16. Pada indikator ini telah dibahas pada nomor soal sebelumnya