Folytonos függvény

Azt mondjuk, hogy a valós számok egy A részhalmazán értelmezett f: A → R függvény folytonos az értelmezési tartományának egy u pontjában, és ezt ${\displaystyle f\in C(u)}$ -val jelöljük, ha minden ε pozitív számhoz létezik olyan δ pozitív szám, hogy minden olyan x ∈ A számra, amely u-tól δ-nál kisebb mértékben tér el, teljesül, hogy az f(x) függvényérték ε-nál kisebb távolságra van f(u)-tól. Azaz

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall x\in A\quad (\;|x-u|<\delta \;\Rightarrow \;|f(x)-f(u)|<\varepsilon )}$ 

Magyarázat. a függvény u-beli folytonossága azt jelenti, hogy akármilyen kicsi ε hibakorlátot is szabunk, mindig lesz az u körül olyan kis ( u-δ, u+δ ) intervallum, amelyen belüli x-ekre a függvény f(x) értékei a hibakorlátnál – ε-nál – kisebb mértékben térnek el f(u)-tól.

Legyen f a valós számok egy A részhalmazán értelmezett, valós értékű függvény és legyen u ∈ A. Az, hogy az f függvény az u pontban folytonos, egyenértékű azzal, hogy

• u az A-nak vagy izolált pontja, vagy
• u az A-nak torlódási pontja és létezik az f(u)-val egyenlő ${\displaystyle \lim \limits _{x\to u}f(x)}$  határérték.

u torlódási pontja A-nak, ha bármely pozitív ε-hoz létezik A-nak olyan u-val nem egyenlő eleme, melynek távolsága u-tól kisebb, mint ε. A-nak izolált pontja u, ha nem torlódási pontja, azaz létezik olyan pozitív ε, melyre A-nak nincs más eleme az (u-ε , u+ε) nyílt intervallumban, csak u.

Ezt még Heine-féle definíciónak illetve a folytonosságra vonatkozó átviteli elvnek is szokták nevezni.

Az f valós számok halmazának egy A részhalmazán értelmezett valós értékű függvény akkor és csak akkor folytonos az u ∈ A pontban, ha minden, az értelmezési tartományában haladó, u-hoz konvergáló (x_n) sorozat esetén a függvényértékek (f(x_n)) sorozata is konvergens és az f(u) számhoz tart, azaz

${\displaystyle \forall (x_{n}):\mathbb {N} \to A\quad (\;\lim \limits _{n\to \infty }x_{n}=u\;\Rightarrow \;\lim \limits _{n\to \infty }f(x_{n})=f(u))}$ 

Azt mondjuk, hogy egy f függvény folytonos az értelmezési tartományának egy H részhalmazán, és ezt ${\displaystyle f\in C(H)}$ -val jelöljük, ha f folytonos a H halmaz minden pontjában. Röviden csak azt mondjuk, hogy f folytonos, és ezt ${\displaystyle f\in C}$ -vel jelöljük, ha f folytonos az értelmezési tartományán.

Lásd: Intervallumon értelmezett függvények

Ha ${\displaystyle X}$  és ${\displaystyle Y}$  a valós számok részhalmazai, akkor az ${\displaystyle f:X\to Y}$  függvény uniform folytonos, ha bármely ${\displaystyle \epsilon >0}$ -ra létezik ${\displaystyle \delta >0}$ , úgy, hogy bármely ${\displaystyle x,y\in X}$ , ${\displaystyle |x-y|<\delta }$  teljesül, hogy ${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\epsilon }$ . A folytonosság és az uniform folytonosság között az a különbség, hogy az uniform folytonosság esetén a ${\displaystyle \delta }$  értéke csak ${\displaystyle \epsilon }$ -tól függ, magától az ${\displaystyle a}$  ponttól nem.

Legyen ${\displaystyle I}$  a valós számok egy intervalluma. Az ${\displaystyle f:I\to R}$  függvény abszolút folytonos az ${\displaystyle I}$  halmazon, ha bármely pozitív ${\displaystyle \epsilon }$ -hoz létezik egy pozitív ${\displaystyle \delta }$ , úgy, hogy bármely véges sorozatára a páronként diszjunkt ${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$  részintervallumoknak teljesül, hogy:^[2]

${\displaystyle \sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta }$ -ra igaz :${\displaystyle \displaystyle \sum _{k}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\epsilon .}$ .

Az alábbi állítások a valós ${\displaystyle f}$  függvényre vonatkozóan az ${\displaystyle [a,b]}$  kompakt intervallumon ekvivalensek:^[3]

1. ${\displaystyle f}$  abszolút folytonos;
2. ${\displaystyle f}$ -nek majdnem mindenhol létezik egy ${\displaystyle f'}$  deriváltja, amely Lebesgue-integrálható és${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt}$  bármely ${\displaystyle x}$ -re az ${\displaystyle [a,b]}$  intervallumon;
3. létezik egy ${\displaystyle g}$  Lebesgue-integrálható függvény ${\displaystyle [a,b]}$  intervallumon, úgy, hogy ${\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}g(t)\,dt}$  bármely ${\displaystyle x}$ -re az ${\displaystyle [a,b]}$  intervallumon.

Ha a fentiek teljesülnek, akkor majdnem mindenhol ${\displaystyle g=f'}$ . Az első és harmadik pont ekvivalenciáját a Lebesgue-integrálás alaptételének nevezik.^[4]

Bővebben: Szakadás (matematika)

A valós-valós függvények leképezését legtöbbször egy képlettel adják meg. A függvény vizsgálata, vagyis analízise legtöbbször annak az ${\displaystyle D_{f}\subset \Re }$  halmaznak (értelmezési tartomány) a meghatározásával kezdődik, amelynek minden pontjában értelmezhető a képlet műveletsora, azaz kiszámítható, tehát létezik a megfelelő ${\displaystyle f(x)}$  helyettesítési érték.

Ha a szakadási helyen a függvény határértéke ±∞, akkor szingularitásról beszélünk.

Ha egy ${\displaystyle v\in \Re }$  hely a függvény szakadási helye, ahol a határérték létezik és véges, akkor képlet hozzárendelését kiegészítve a ${\displaystyle f(v):=\lim[f(x)]}$  előírással, a (grafikon) szakadása megszüntethető.

Egy ${\displaystyle v\in D_{f}}$  hely a függvény ugráshelye, ha létezik mind a bal-, mind a jobb oldali határérték és ezek egyike megegyezik a függvényértékkel.

Ha a függvénynek a ${\displaystyle v}$  helyen van bal oldali és jobb oldali határértéke, de ezek vagy különbözők, vagy a közös érték nem egyezik meg az ${\displaystyle f(v)}$  helyettesítési értékkel, a szakadás elsőfajú. (A gyakorlati alkalmazásoknál ez utóbbi esetben is megszüntethető a szakadás.)

Minden egyéb esetben, például, ha a jobb és bal oldali határértékek különbözőek (végesek), és egyik sem egyezik meg az ${\displaystyle f(v)}$  helyettesítési értékkel, a szakadás másodfajú és nem megszüntethető.

• Egyenletes folytonosság
• Abszolút folytonosság

1. ↑ Kezdetben a folytonosságnak egy sokkal pontatlanabb, ugyanakkor igen szemléletes intuitív képe is élt: nevezetesen, a folytonos függvények görbéje (ill. a görbe ábrázolt darabja) megrajzolható az íróeszköz „felemelése” nélkül. A tizennyolcadik század második felétől kezdve a számtalan „topológiailag elfajult” függvénygörbe (ide tartoznak például a fraktálszerű görbék, mint pl. a Poincaré-görbe) felfedezése meglehetősen tarthatatlanná tette ezt a képet.
2. ↑ Royden 1988, Sect. 5.4, page 108; Nielsen 1997, Definition 15.6 on page 251; Athreya & Lahiri 2006, Definitions 4.4.1, 4.4.2 on pages 128,129. The interval I is assumed to be bounded and closed in the former two books but not the latter book.
3. ↑ Nielsen 1997, Theorem 20.8 on page 354; also Royden 1988, Sect. 5.4, page 110 and Athreya & Lahiri 2006, Theorems 4.4.1, 4.4.2 on pages 129,130.
4. ↑ Athreya & Lahiri 2006, before Theorem 4.4.1 on page 129.

 

A Wikimédia Commons tartalmaz Folytonos függvény témájú médiaállományokat.

• PlanetMath: continuous Archiválva 2006. szeptember 25-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Encyclopaedia of Mathematics: Continuous function