Deribatibo

Sa kalkulo, ang diperensiyasyon (Ingles: differentiation) ay isang paraan upang kwentahin ang deribatibo (Ingles: derivative) na tumutukoy sa sukat ng pagbabago ng isang punsiyon ayon sa isang ibinigay na input. Kung ang input ng punsiyon ay kumakatawan sa oras, ang deribatibo ay kumakatawan sa pagbabago ng punsiyon ayon sa pagbabago ng oras. Halimbawa, kung ang punsiyong y=f(x) ay tumatanggap ng oras bilang input at ang output ang posisyon ng bola sa oras ng ibinigay na input, ang deribatibo ng f(x) ang pagbabago ng posisyon ng bola sa ibinigay na oras o ang belosidad ng bola.

Ang diperensiasyon ang paraan upang kwentahin ang rate kung saan ang isang nakasalalay(sa halaga ng x) na output na y ng isang punsiyon ay nagbabago ayon sa pagbabago ng input na x ng punsiyong ito. Ang rate ng pagbabago ay tinatawag na deribatibo ng y sa respeto ng x. Ang pinakasimpleng kaso ay kapag ang y ay isang punsiyong linyar ng x na nangangahulugang ang y ay hinahati ng x sa isang linyang tuwid. Sa kasong ito, ang y = f(x) = m x + b, para sa mga real na bilang na m at b at ang lihis ay ibinigay ng

${\displaystyle m={\frac {{\text{pagbabago sa }}y}{{\text{pagbabago }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}},}$

kung saan ang simbolong Δ (malaking letrang Griyegong Delta) ay kumakatawan sa "pagbabago sa". Ang pormulang ito ay totoo dahil ang

y + Δy = f(x+ Δx) = m (x + Δx) + b = m x + b + m Δx = y + mΔx.

Δy = m Δx. Ito ay nagbibigay ng isang eksaktong halaga ng isang linyang tuwid. Gayunpaman, kung ang f ay hindi linyar, ang pagbabago sa y na hinati ng pagbabago sa x ay nagbabago. Sa klasikong heometriya, ang linyang tangent sa grapo ng punsiyong f sa isang real na bilang na a ay walang katulad na linya sa puntong (a, f(a)) na hindi nagtatagpo sa grapo ng f ng transbersal na nangangahulugang ang linya ay hindi dumadaan ng tuwid sa grapo. Ang deribatibo ng y sa respeto ng x sa a ay heometrikong ang lihis ng linyang tangent sa grapo ng f sa a. Ang lihis ng linyang tangent ay labis na malapit sa lihis ng linya sa (a, f(a)) at sa isang malapit na punto sa grapo halimbawa sa (a + h, f(a + h)). Ang mga linyang ito ay tinatawag na mga linyang sekant. Ang isang halaga ng h na malapit sa sero ay nagbibigay ng isang mabuting aproksimasyon sa lihis ng linyang tangent at ang mas maliit na mga halaga ng h ay sa pangkalahatan nagbibigay ng mahusay na mga aproksimasyon. Ang lihis na m ng linyang sekant ang pagkakaiba o diperensiya sa pagitan ng mga halagang y ng mga puntong ito na hinati ng pagkakaiba sa pagitan ng mga halagang x

${\displaystyle m={\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{(x+h)-(x)}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$

Ang ekspresyong ito ang diperensiyang kosiyente(difference quotient) ni Isaac Newton. Ang deribatibo ang halaga ng diperensiyang kosiyente habang ang mga linyang sekant ay papalapit sa linyang tangent. Sa mas pormal na paglalarawan, ang deribatibo ng punsiyong f sa a ang hangganan na

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

Ang linyang tangent sa (x, f(x))

Ang linyang sekant sa kurbang y= f(x) na tinutukoy ng mga puntong (x, f(x)) at (x+h, f(x+h))

Ang linyang tangent bilang hangganan ng mga sekant

ng diperensiyang kosiyente habang ang h ay papalapit sa sero, kung ang hangganang ito ay umiiral. Kung ang hangganan ay umiiral, ang f ay diperensiyable sa a. Dito, ang f′ (a) ay isa sa ilang mga karaniwang notasyon ng deribatibo. Katumbas nito, ang deribatibo ay sumasapat sa katangian na

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)-f'(a)\cdot h}{h}}=0,}$

na may intuitibong interpretasyon na ang linyang tangent sa f sa a ay nagbibigay ng pinakamahusay na aproksimasyong linyar.

${\displaystyle f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h}$

sa f malapit sa a (i.e., para sa maliit na h).

Ang paghalili ng sero para sa h sa diperensiyang kosiyente ay nasasanhi ng dibisyon ng sero kaya ang lihis ng linyang tangent ay hindi direktang mahahanap gamit ang paraang ito. Sa halip, ilarawan ang Q(h) bilang diperensiyang kosiyente bilang isang punsiyon ng h:

${\displaystyle Q(h)={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

Ang Q(h) ang lihis ng linyang sekant sa pagitan ng (a, f(a)) at (a + h, f(a + h)). Kung ang f ay isang tuloy tuloy na punsiyon(walang patid), ang Q ay isang tuloy tuloy na punsiyon na malayo mula sa h = 0. Kung ang hangganang ${\displaystyle \textstyle \lim _{h\to 0}Q(h)}$ ay umiiral na nangangahulugang may paraan ng pagpili ng isang halaga para sa Q(0) na gumagawa sa grapo ng Q na tuloy tuloy na punsiyon, ang punsiyong f ay diperensiyable sa a at ang deribatibo sa a ay katumbas ng Q(0).

Halimbawa, ang punsiyong f(x) = x² ay diperensiyable sa x = 3 at ang deribatibo nito ay 6. Ang resultang ito ay mapapatunayan sa pamamagitan ng pagkukwenta ng hangganan habang ang h ay papalapit sa sero ng diperensiyang kosiyente ng f(3):

${\displaystyle f'(3)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(3+h)-f(3)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(3+h)^{2}-3^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {9+6h+h^{2}-9}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {6h+h^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{(6+h)}.}$

Ang huling ekspresyon ay nagpapakita na ang diperensiyang kosiyente ay katumbas ng 6 + h kapag ang h ≠ 0 at hindi matutukoy kapag ang h = 0, dahil sa depinisyon ng diperensiyang kosiyente. Gayunpaman, ang depinisyon ng hangganan ay nagsasaad na ang diperensiyang kosiyente ay hindi nangangailangang ilarawan kapag ang h = 0. Ang hangganan ang resulta ng pagpayag sa h na tumungo sa sero na nangangahulugang ito ang halaga na patutunguhan ng 6 + h habang ang h ay nagiging labis na maliit:

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{(6+h)}=6+0=6.}$

Kaya ang lihis ng grapo ng punsiyon sa puntong (3, 9) ay 6 at kaya ang deribatibo sa x = 3 ay f '(3) = 6.

Ang tawag sa proseso ng diperensiyasyon sa taas ay "diperensiyang kosiyente"(difference quotient). Ang prosesong ito ay mahaba at nakakapagod at kaya ay maraming mga pinaikling paraan na ginagamit upang pasimplehin ang proseso:

• Patakarang konstante: ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[c\right]=0.}$
• Patakarang konstante: Para sa anumang nakatakdang real na bilang na ${\displaystyle c}$ na pinarami(multiplied) ng isang punsiyon, ang deribatibo ang konstante na pinarami ng deribatibo ng punsiyon,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[cf(x)\right]=c{\frac {d}{dx}}\left[f(x)\right]}$

• Patakaran ng linyar na punsiyon: Para sa anumang mga real na bilang na ${\displaystyle m}$ at ${\displaystyle c}$,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[mx+c\right]=m}$

• Patakarang kapangyarihan(power rule):${\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}.\,}$
• Patakarang kadena(chain rule) :${\displaystyle h'(x)=f'(g(x))g'(x).\,}$
• Patakarang adisyon at subtraksiyon:
  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[f(x)\pm g(x)\right]={\frac {d}{dx}}\left[f(x)\right]\pm {\frac {d}{dx}}\left[g(x)\right]}$
• Patakarang produkto(product rule) :${\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v)=u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}+v\cdot {\dfrac {du}{dx}}}$.
• Patakarang kosiyente(quotient rule):${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad }$
• deribatibo ng eksponensyal:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=\ln(a)a^{x}}$

• deribatibo ng logaritmiko:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad x>0}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}}$

• deribatibo ng mga punsiyong trigonometriko:

${\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,}$	${\displaystyle (\sin ^{-1}x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}$
${\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\,}$	${\displaystyle (\cos ^{-1}x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}$
${\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x\,}$	${\displaystyle (\tan ^{-1}x)'={1 \over 1+x^{2}}\,}$
${\displaystyle (\sec x)'=\sec x\tan x\,}$	${\displaystyle (\sec ^{-1}x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}$
${\displaystyle (\csc x)'=-\csc x\cot x\,}$	${\displaystyle (\csc ^{-1}x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}$
${\displaystyle (\cot x)'=-\csc ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}=-(1+\cot ^{2}x)\,}$	${\displaystyle (\cot ^{-1}x)'=-{1 \over 1+x^{2}}\,}$

Gaya ng makikita sa itaas, ang 2 karaniwang notasyon ng deribatibo ay:

• notasyong Leibniz: : ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$
• notasyong Lagrange:

${\displaystyle f'\;}$ para sa unang deribatibo

${\displaystyle f''\;}$ para sa ikalawang deribatibo o deribatibo ng unang deribatibo

${\displaystyle f'''\;}$ para sa ikatlong deribatibo o deribatibo ng ikalawang deribatibo

Ang isang sperikal na mainit na hanging lobo(hot air balloon) ay pinupuno ng hangin. Ang bolyumay nagbabago sa rate na 2 kubikong talampakan kada minuto. Ano ang pagbabago ng radyus nito ayon sa pagbabago ng oras kung ang radyus ay katumbas ng 2 talampakan?

• Isulat ang kinakailangang mga pormula at mga impormasyon:

${\displaystyle Bolyum(V_{sphere})={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

${\displaystyle {\dot {V}}=2}$

${\displaystyle radyus=2\ }$

• Kunin ang deribatibo ng magkabilang panig ng ekwasyon ng bolyum ayon sa oras:

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

${\displaystyle {\dot {V}}}$	=	${\displaystyle {\frac {4}{3}}3\pi r^{2}{\dot {r}}}$
	=	${\displaystyle 4\pi r^{2}{\dot {r}}}$

• Lutasin ang radyus na ${\displaystyle {\dot {r}}}$.

${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {1}{4\pi r^{2}}}{\dot {V}}}$

• Ihalili ang mga impormasyon sa pormula

${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {1}{16\pi }}2}$

Sagot: ${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {1}{8\pi }}}$ talampakan/minuto(ft/min)

Ang isang tagayari ng isang kahon ay nagnanais na lumikha ng isang kahong may pang-ibabaw na sukat na 100 pulgadang(inches) na kinwadrado. Ano ang maksimum na sukat ng bolyum na mabubuo sa pamamagitan ng pagtupi ng material na ginamit sa isang kahon. Ang kahon ay isasara. Ang kahon ay may ilalim na kwadrado, ibabaw na kwadrardo at parihabang mga gilid.

• Isulat ang mga alam na pormula at impormasyon:

${\displaystyle A_{base}=x^{2}\ }$

${\displaystyle A_{side}=x\cdot h\ }$

${\displaystyle A_{total}=2x^{2}+4x\cdot h=100}$

${\displaystyle V=l\cdot w\cdot h=x^{2}\cdot h}$

• Tanggalin ang bariabulong h sa ekwasyon ng bolyum

${\displaystyle 2x^{2}+4xh=100\ }$

${\displaystyle x^{2}+2xh=50\ }$

${\displaystyle 2xh=50-x^{2}\ }$

${\displaystyle h={\frac {50-x^{2}}{2x}}}$

${\displaystyle V\ }$	=	${\displaystyle (x^{2})\left({\frac {50-x^{2}}{2x}}\right)}$
	=	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(50x-x^{3})}$

• Hanapin ang deribatibo ng ekwasyon ng bolyum upang i-maximize ang bolyum

${\displaystyle {\frac {dV}{dx}}={\frac {1}{2}}(50-3x^{2})}$

• Itakda ang ${\displaystyle {\frac {dV}{dx}}=0}$ at lutasin ang ${\displaystyle x\ }$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(50-3x^{2})=0}$

${\displaystyle 50-3x^{2}=0\ }$

${\displaystyle 3x^{2}=50\ }$

${\displaystyle x=\pm {\frac {\sqrt {50}}{\sqrt {3}}}}$

• Isaksak ang halagang x sa ekwasyon ng bolyum at pasimplehin

${\displaystyle V\ }$	=	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[50\cdot {\sqrt {\frac {50}{3}}}-\left({\sqrt {\frac {50}{3}}}\right)^{3}\right]}$
	=	${\displaystyle 68.04138174..\ }$

Sagot: ${\displaystyle V_{max}=68.04138174..\ }$