Извод

У математичкој анализи, грани математике, извод је мера како (колико брзо) функција мења своје вредности када јој се улазне вредности мењају. Извод криве у некој тачки представља коефицијент правца тангенте дате криве у тој тачки.

Извод функције f(x) у тачки a се дефинише као:

${\displaystyle f'(x)|_{x=a}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}}}$

уколико лимес постоји. Иначе, извод можемо схватити и као линеарни оператор.

Поступак проналажења извода функције се назива диференцијацијом. Диференцијација процес обратан у односу на интеграљење.

Симболе ${\displaystyle dx}$, ${\displaystyle dy}$, и ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ је осмислио Готфрид Вилхелм Лајбниц године 1675. Још се често користи када се функција y = f(x) гледа као однос зависних и независних променљивих. У том случају се први извод обележава као

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df}{dx}},{\text{ или }}{\frac {d}{dx}}f,}$

и некада се гледао као инфинитезимални количник. Изводи вишег реда се обележавају нотацијом

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}},{\text{ или }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f}$

за n-ти извод функције ${\displaystyle y=f(x)}$. Они представљају скраћени запис поновног вршења оператора извода, пример:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}$

Са Лајбницовом нотацијом можемо записати извод функције ${\displaystyle y}$ у тачки ${\displaystyle x=a}$ на два начина:

${\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}={\frac {dy}{dx}}(a).}$

Лајбницова нотација дозвољава прецизирање променљиве по којој се врши извод, што је битно у парцијалним изводима. Такође олакшава памћење формуле за извод сложене функције

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

Најчешћи начин записивања извода је користећи Лагранжову нотацију која користи ознаку прим ('), тако да је извод функције ${\displaystyle f}$ записан као ${\displaystyle f'}$. Слично, други и трећи изводи се обележавају:

${\displaystyle (f')'=f''}$   и   ${\displaystyle (f'')'=f'''.}$

Да би се означио ред извода изнад 3, неки аутори користе римске бројеве у натпису, а неки арапске бројеве у заградама:

${\displaystyle f^{\mathrm {iv} }}$   или   ${\displaystyle f^{(4)}.}$

n-ти извод се означава као ${\displaystyle f^{(n)}}$, овај запис се користи када се говори о изводу као о сопственој функцији.

Њутнова нотација за диференцијацију (такође звана тачкасти запис за диференцијацију) ставља тачку преко зависне променљиве. Односно, ако је y функција од t, тада је дериват od y у односу на t

${\displaystyle {\dot {y}}}$

Виши деривати су представљени помоћу више тачака, као у

${\displaystyle {\ddot {y}},{\overset {...}{y}}}$

Њутнов запис се обично користи када независна променљива означава време. Ако је локација y функција od t, тада и ${\displaystyle {\dot {y}}}$ означава брзину,^[1] а ${\displaystyle {\ddot {y}}}$ означава убрзање.^[2]

Изводи су користан алат за испитивање графика функција. Све тачке унутар домена реалних функција које представљају локалне екстремуме имају за први извод нулу. Међутим, нису све критичне тачке локални екстремуми; на пример f (x) = x³ има критичну тачку у x = 0, али нема ни локални максимум, ни локални минимум у овој тачки.

Други извод функције се може користити за испитивање конвексности функције. Превојне тачке (тачке у којима функција прелази из конвексног у конкавни облик) имају за други извод нулу.

Ако је функција f диференцијабилна у тачки x₀, онда ће коефицијент правца тангенте криве y = f (x) у тачки T ( x₀, f (x₀) ), бити једнака tg α = f ' (x₀), где је α угао који тангента заклапа са позитивним делом x-осе, а једначина исте тангенте ће гласити:

y - y₀ = f ' (x₀) · ( x − x₀ ),

где је y₀ = f (x₀).

Једначина нормале у датој тачки Т ће бити:

y −y₀ = −1/f ' (x₀) · ( x−x₀ )

Изводи се могу теоретски рачунати по дефиницији у сваком примеру, али се у пракси често користе већ готови рачуни познатијих, једноставнијих функција. Изводи сложенијих функција се рачунају помоћу одређених правила.

${\displaystyle {\bigl (}x^{n}{\bigr )}'=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {(x+\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x}}{\Bigr )}}$; ${\displaystyle a^{n}-b^{n}={\bigl (}a-b{\bigr )}{\bigl (}a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\ldots +a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}{\bigr )}}$

${\displaystyle (x+\Delta x)^{n}-x^{n}={\bigl (}(x+\Delta x)-x{\bigr )}{\bigl (}(x+\Delta x)^{n-1}+(x+\Delta x)^{n-2}x+(x+\Delta x)^{n-3}x^{2}+\ldots +(x+\Delta x)^{2}x^{n-3}+(x+\Delta x)x^{n-2}+x^{n-1}{\bigr )}}$${\displaystyle (x+\Delta x)^{n}-x^{n}\thickapprox n\Delta xx^{n-1}}$

${\displaystyle {\bigl (}x^{n}{\bigr )}'=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {n\Delta xx^{n-1}}{\Delta x}}{\Bigr )}=nx^{n-1}}$; n - било који број

${\displaystyle {\Bigl (}e^{x}{\Bigr )}^{,}=\ lim_{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {e^{(x+\Delta x)}-e^{x}}{\Delta x}}{\Bigr )}}$; ${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\bigl (}1+{\frac {1}{n}}{\bigr )}^{n}=\lim _{h\to 0}{\bigl (}1+h{\bigr )}^{\frac {1}{h}}}$

${\displaystyle {\frac {e^{(x+\Delta x)}-e^{x}}{\Delta x}}=e^{x}{\frac {e^{\Delta x}-1}{\Delta x}}}$; ${\displaystyle e^{\Delta x}-1=h{\xrightarrow[{\Delta x\rightarrow 0}]{}}0}$ => ${\displaystyle \Delta x=ln(1+h)}$

${\displaystyle {\frac {e^{\Delta x}-1}{\Delta x}}={\frac {h}{ln(1+h)}}={\frac {1}{ln(1+h)^{\frac {1}{h}}}}}$= 1, ln(e) = 1

Коначно: ${\displaystyle {\Bigl (}e^{x}{\Bigr )}^{,}=e^{x}}$

${\displaystyle {\Bigl (}ln(x){\Bigr )}^{,}=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {ln(x+\Delta x)-ln(x)}{\Delta x}}{\Bigr )}}$;${\displaystyle ln(x+\Delta x)-ln(x)=ln{\bigl (}{\frac {x+\Delta x}{x}}{\bigr )}=ln{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}}$

${\displaystyle {\frac {ln(x+\Delta x)-ln(x)}{\Delta x}}={\frac {1}{x}}{\frac {ln{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}}{\frac {\Delta x}{x}}}}$; ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {ln{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}}{\frac {\Delta x}{x}}}{\Bigr )}=1}$

${\displaystyle {\Bigl (}ln(x){\Bigr )}^{,}={\frac {1}{x}}}$

${\displaystyle {\Bigl (}a^{x}{\Bigr )}^{,}=\ lim_{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {a^{(x+\Delta x)}-a^{x}}{\Delta x}}{\Bigr )}}$; ${\displaystyle {\frac {a^{(x+\Delta x)}-a^{x}}{\Delta x}}=a^{x}{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}}$

${\displaystyle a^{\Delta x}-1=h}$ => ${\displaystyle \Delta x=log_{a}(1+h)={\frac {ln(1+h)}{lna}}}$

${\displaystyle {\Bigl (}a^{x}{\Bigr )}^{,}=a^{x}ln(a)}$

${\displaystyle {\Bigl (}log_{a}(x){\Bigr )}^{,}=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {log_{a}(x+\Delta x)-log_{a}(x)}{\Delta x}}{\Bigr )}}$; ${\displaystyle log_{a}(x+\Delta x)-log_{a}(x)=log_{a}{\bigl (}{\frac {x+\Delta x}{x}}{\bigr )}=log_{a}{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}}$

${\displaystyle log_{a}{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}={\frac {ln{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}}{lna}}}$

${\displaystyle {\Bigl (}log_{a}(x){\Bigr )}^{,}={\frac {1}{xlna}}}$

${\displaystyle {\Bigl (}sin(x){\Bigr )}^{,}=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {sin(x+\Delta x)-\sin {x}}{\Delta x}}{\Bigr )}}$

${\displaystyle sin(\alpha )-sin(\beta )=2sin({\frac {\alpha -\beta }{2}})cos({\frac {\alpha +\beta }{2}})}$=> ${\displaystyle {\frac {sin(x+\Delta x)-\sin {x}}{\Delta x}}=2{\frac {sin{\frac {\Delta x}{2}}}{\Delta x}}cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})}$.Како ${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}{\xrightarrow[{x\rightarrow 0}]{}}1\Rightarrow }$

${\displaystyle {\Bigl (}sin(x){\Bigr )}^{,}=\cos x}$

${\displaystyle {\Bigl (}cos(x){\Bigr )}^{,}=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {cos(x+\Delta x)-\cos {x}}{\Delta x}}{\Bigr )}}$

${\displaystyle cos(\alpha )-cos(\beta )=-2sin({\frac {\alpha -\beta }{2}}sin({\frac {\alpha +\beta }{2}})}$=>

${\displaystyle {\frac {cos(x+\Delta x)-\cos {x}}{\Delta x}}=-2{\frac {sin{\frac {\Delta x}{2}}}{\Delta x}}sin(x+{\frac {\Delta x}{2}})}$=>

${\displaystyle {\Bigl (}cos(x){\Bigr )}^{,}=-\sin x}$

${\displaystyle {\Bigl (}tan(x){\Bigr )}^{,}={\Bigl (}{\frac {\sin {x}}{\cos {x}}}{\Bigr )}^{,}}$=${\displaystyle {\frac {{\Bigl (}\sin {x}{\Bigr )}^{,}\cos {x}-\sin {x}{\Bigl (}\cos {x}{\Bigr )}^{,}}{\cos {x}^{2}}}}$=${\displaystyle {\frac {\sin {x}^{2}+\cos {x}^{2}}{\cos {x}^{2}}}={\frac {1}{\cos {x}^{2}}}}$

${\displaystyle {\Bigl (}cot(x){\Bigr )}^{,}={\Bigl (}{\frac {\cos {x}}{\sin {x}}}{\Bigr )}^{,}}$=${\displaystyle {\frac {{\Bigl (}\cos {x}{\Bigr )}^{,}\sin {x}-\cos {x}{\Bigl (}\sin {x}{\Bigr )}^{,}}{\sin {x}^{2}}}}$= ${\displaystyle {\frac {-\sin {x}^{2}-\cos {x}^{2}}{\sin {x}^{2}}}={\frac {-1}{\sin {x}^{2}}}}$

Функција ${\displaystyle f(x)}$	Извод ${\displaystyle f'(x)}$			Функција ${\displaystyle f(x)}$	Извод ${\displaystyle f'(x)}$
${\displaystyle \sin x}$	${\displaystyle \cos x}$			${\displaystyle {\text{sh}}\,x}$	${\displaystyle {\text{ch}}\,x}$
${\displaystyle \cos x}$	${\displaystyle -\sin x}$			${\displaystyle {\text{ch}}\,x}$	${\displaystyle {\text{sh}}\,x}$
${\displaystyle {\text{tg}}\,x}$	${\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}x}}}$			${\displaystyle {\text{th}}\,x}$	${\displaystyle {\frac {1}{{\text{ch}}^{2}x}}}$
${\displaystyle {\text{ctg}}\,x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sin ^{2}x}}}$			${\displaystyle {\text{cth}}\,x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{{\text{sh}}^{2}x}}}$
${\displaystyle \arcsin x}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$			${\displaystyle {\text{Arsh}}\,x}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$
${\displaystyle \arccos x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$			${\displaystyle {\text{Arch}}\,x}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
${\displaystyle {\text{arctg}}\,x}$	${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}}$			${\displaystyle {\text{Arth}}\,x}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}}$
${\displaystyle {\text{arcctg}}\,x}$	${\displaystyle -{\frac {1}{1+x^{2}}}}$			${\displaystyle {\text{Arcth}}\,x}$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}}$
${\displaystyle e^{x}}$	${\displaystyle e^{x}}$			${\displaystyle a^{x}}$	${\displaystyle a^{x}\ln a}$
${\displaystyle \ln(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$			${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{x^{2}}}}$
${\displaystyle \log _{a}x}$	${\displaystyle {\frac {1}{x\ln a}}}$			${\displaystyle |x|}$	${\displaystyle {\frac {x}{|x|}}}$
${\displaystyle {\sqrt {x}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$			${\displaystyle x^{n}}$	${\displaystyle nx^{n-1}}$

Дата је сложена функција ${\displaystyle y=f(u)}$, где је ${\displaystyle u=g(x)}$

Извод је једнак производу извода појединачних делова

${\displaystyle (f\circ g)'(x)=(f(g(x))'=f'(u)g'(x)}$

Пример:

${\displaystyle [sin(x^{2})]'=sin'(x^{2})*(x^{2})'=2xcos(x^{2})}$

Збир извода је извод збира

${\displaystyle u'(x)\pm v'(x)=[u(x)\pm v(x)]'}$

Извод производа

${\displaystyle [u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)}$

Специјалан случај је извод функције помножене константом

${\displaystyle [cu(x)]'=c'u(x)+cu'(x)=0*u(x)+cu'(x)=cu'(x)}$

Извод количника

${\displaystyle {\bigl [}{\frac {u(x)}{v(x)}}{\bigr ]}'={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}}}$

Други извод се дефинише као извод првог извода:

${\displaystyle f''(x)|_{x=a}=(f'(x)|_{x=a})'\,}$

Слично важи и за сваки следећи извод:

${\displaystyle f'''(x)|_{x=a}=(f''(x)|_{x=a})'\,}$

${\displaystyle f^{(n)}(x)|_{x=a}=(f^{(n-1)}(x)|_{x=a})'\,}$

• Таблица извода
• Извод сложене функције

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Derivative”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Khan Academy: "Newton, Leibniz, and Usain Bolt"
• Weisstein, Eric W. „Derivative”. MathWorld. 
• Online Derivative Calculator from Wolfram Alpha.